湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 第三章 直线的倾斜角与斜率导学案 新人教A版必修2

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.5 直线的一般式方程导学案新人教A版必修21.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.9799复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程。

⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程。

⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是。

思考：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、合作探究：新知：叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线探究1：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合.探究2：求直线的一般式方程1.已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式，斜截式，和一般式方程.2把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.【目标检测】A 级：必做题1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --=2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）.A ．1A ≠B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+=4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += .5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y +20-=平行，则m = .B 级：选做题1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.三、总结提升：1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式： 0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）；2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By +0C +=。

人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案一、教学目标1. 理解直线的倾斜角的概念，能够求直线的倾斜角。

2. 掌握直线的斜率计算公式，能够计算直线的斜率。

3. 理解倾斜角和斜率之间的关系，能够运用关系解决实际问题。

二、教学重点与难点1. 教学重点：直线的倾斜角的概念，直线的斜率计算公式，倾斜角与斜率之间的关系。

2. 教学难点：倾斜角与斜率之间的转换，运用关系解决实际问题。

三、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如登山绳的倾斜角度，引出直线的倾斜角的概念。

2. 新课导入：介绍直线的倾斜角和斜率的定义，讲解直线的倾斜角和斜率的概念。

3. 实例讲解：通过具体例题，讲解直线的斜率计算公式，引导学生理解并掌握公式。

4. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识计算直线的斜率，巩固所学内容。

5. 知识拓展：引导学生思考倾斜角和斜率之间的关系，讲解二者之间的关系。

6. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调直线的倾斜角和斜率的概念及计算方法。

四、作业布置1. 计算下列直线的斜率：（1）直线y=2x+1；（2）直线x=3。

2. 思考题：（1）直线的倾斜角和斜率之间的关系是什么？（2）如何运用直线的倾斜角和斜率解决实际问题？五、教学反思本节课通过具体实例引入直线的倾斜角的概念，让学生理解并掌握直线的斜率计算公式，通过练习题巩固所学内容。

在教学过程中，注意引导学生思考倾斜角和斜率之间的关系，培养学生的思维能力。

在作业布置上，既有计算题，又有思考题，让学生在巩固知识的能够运用所学知识解决实际问题。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标。

六、教学策略1. 运用数形结合的方法，通过图形展示直线的倾斜角和斜率，帮助学生直观理解概念。

2. 采用“问题驱动”的教学模式，引导学生主动探究直线的倾斜角和斜率之间的关系。

3. 利用实际生活中的实例，让学生体验数学与生活的紧密联系，提高学习兴趣。

4. 设计层次化、多样化的练习题，满足不同学生的学习需求，提高学生的实践能力。

《直线的倾斜角与斜率》导学案一、教学内容分析“直线的倾斜角和斜率”一节是解析几何的入门课，担负着开启全章的重任，因此在本课时的教学中不但要落实显性知识，更重要的是要揭示隐性知识：研究解析几何的基本方法——坐标法。

本课时涉及到两个概念——倾斜角和斜率,它们都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，倾斜角是从“形”的角度刻画直线的倾斜程度，而斜率是从“数”的角度刻画直线的倾斜程度。

二者联系的桥梁是正切函数值，进一步可以用直线上两点的坐标表示直线的斜率。

倾斜角是一个桥梁，利用它可以将两直线的位置关系问题转化为斜率问题。

而在建立直线方程，研究直线的几何性质时斜率起着重要的作用。

因此，坐标法和斜率是本课时的核心概念。

据此确定本课时的教学重点是：使学生经历几何问题代数化的过程，并初步了解解析几何研究问题的基本思想方法，体会坐标法。

理解斜率的定义，掌握过两点的直线的斜率公式。

二、教学目标分析1. 理解倾斜角的概念，体会在直角坐标系下，以坐标轴为“参照系”，用统一的标准刻画几何元素的思想方法。

2. 理解斜率的定义和斜率公式，经历几何问题代数化的过程，了解解析法的基本步骤，感受解析几何的思想方法。

3．通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。

三、教学问题诊断分析平面几何中，“两点确定一条直线”是没有“参照系”的，如何使学生在这一知识的基础上，顺利、自然地过渡到直角坐标系下用一个点和倾斜角确定一条直线，是比较困难的。

事实上，已知直线的倾斜角就相当于已知直线的方向，因此已知“两个点可以确定直线的方向”，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的。

在教学中应注意引导学生认识到这种联系。

函数是以图助数，利用图形使代数问题直观化，解析几何则是以数助形，用坐标法研究几何问题。

它们都体现了数形结合思想，但角度不同。

学生知道一次函数的图象是一条直线，这里研究的是直线的方程，学生容易将二者混淆，误认为方程就是一次函数。

因此在教学时要注意澄清二者的不同。

2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：3.1.1 倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性．3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．1. 通过倾斜角概念的学习，提升数学建模和直观想象的数学核心素养．2. 通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学核心素养．1．倾斜角的相关概念(1)两个前提：①直线l与x轴相交；②一个标准：取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角；③范围：0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.(2)作用：①表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；②确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．思考：下图中标的倾斜角α对不对？[提示]都不对．2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tan α．(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°(范围) 斜率 (范围)(0，＋∞)不存在(－∞，0)(4)经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1． 思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ [提示] 不是．若直线没斜率，则其倾斜角为90°.1．如图所示，直线l 与y 轴的夹角为45°，则l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．无法计算 B [根据倾斜角的定义知，l 的倾斜角为135°.]2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是( ) A.0° B ．45° C ．60° D ．90° A [∵k ＝04＝0，∴θ ＝0°.]3．已知经过两点(5，m )和(m ，8)的直线的斜率等于1，则m 的值是( ) A.5 B ．8 C ．132D ．7C [由斜率公式可得8－m m －5＝1，解之得m ＝132.]4．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B ． 3C.1D ．22A [由题意可知，k ＝tan 30°＝33.]直线的倾斜角【例1】 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )A.α＋45°B.α－135°C.135°－αD.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°D[根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.]求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[跟进训练]1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A.αB．180°－αC.180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】 (1)已知点A 的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B ，若k AB ＝4，则点B 的坐标为( )A.(2，0)或(0，－4) B ．(2，0)或(0，－8) C.(2，0)D ．(0，－8)(2)已知直线l 经过点A (1，2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(－1，0] B ．[0，1] C.[1，2]D ．[0，2](1)B (2)D [(1)设B (x ，0)或(0，y )，∵k AB ＝43－x 或k AB ＝4－y 3，∴43－x ＝4或4－y3＝4，∴x ＝2，y ＝－8，∴点B 的坐标为(2，0)或(0，－8).(2)由图可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l 的斜率满足0≤k ≤2.故选D.]解决斜率问题的方法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合列公式求解．[跟进训练]2．(1)已知过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为135°，则y ＝________． (2)过原点且斜率为33的直线l 绕原点逆时针方向旋转30°到达l ′位置，则直线l ′的斜率为________．(1)－5 (2)3 [(1)直线AB 的斜率k ＝tan 135°＝－1，又k ＝－3－y 2－4，由－3－y 2－4＝－1，得y ＝－5.(2)k ＝33时，即tan α＝33，α＝30°，绕原点按逆时针旋转30°到l ′位置时，x l ′＝60°.这时k l ′＝tan 60°＝ 3.]直线倾斜角与斜率的综合 [探究问题] 1．斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？ [提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可以互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1－y 2x 1－x 2. 2．斜率的正负与倾斜角范围有什么联系？ [提示] 当k ＝tan α＜0时， 倾斜角α是钝角； 当k ＝tan α＞0时， 倾斜角α是锐角； 当k ＝tan α＝0时， 倾斜角α是0°.【例3】 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．思路探究：作图――――――――――→直线与线段有公共点倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间――→求斜率求斜率范围及倾斜角范围[解] 如图所示，由题意可知k PA ＝4－0－3－1＝－1，k PB ＝2－03－1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.将本例变为： 已知A (3，3)，B (－4，2)，C (0，－2).若点D 在线段BC 上(包括端点)移动，求直线AD 的斜率的变化范围．[解] 如图所示．当点D 由B 运动到C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ，又k AB ＝3－23－（－4）＝17，k AC＝3－（－2）3－0＝53，所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，53.1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A ，B ，C 共线⇔k AB ＝k AC 或k AB 与k AC 都不存在． 3.y 2－y 1x 2－x 1的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x 轴垂直于x 轴α的大小 0° 0°＜α＜90°90° 90°＜α＜180°k 的范围 0k ＞0 不存在k ＜0 k 的增减情况k 随α的增大而增大k 随α的增大而增大1．对于下列命题：①若α是直线l 的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k 是直线的斜率，则k ∈R ；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C [由倾斜角和斜率概念可知①②③正确．]2．若经过A (2，1)，B (1，m )的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)A [由题意知k AB ＞0，即m －11－2＞0，解得m ＜1，故应选A.]3．已知直线AB 与直线AC 有相同的斜率，且A (1，0)，B (2，a )，C (a ，1)，则实数a 的值是________．1±52 [依题意：k AB ＝k AC ，即a －02－1＝1－0a －1， 解得a ＝1±52.]4．已知交于M (8，6)点的四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l 2过点N (5，3)，求这四条直线的倾斜角．[解] l 2的斜率为6－38－5＝1，∴l 2的倾斜角为45°，由题意可得：l 1的倾斜角为22.5°，l 3的倾斜角为67.5°，l 4的倾斜角为90°.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。

第三章第一节直线的倾斜角与斜率第一课时教学设计（一）根据新一轮课程改革的要求，新授课的教学设计必须用现代建构主义理念作指导，其核心意义在于不仅要突出学生对数学知识的掌握和数学能力的培养，还要关心和改善学生的学习方式，更要重视学生对数学的情感、态度等非智力因素的发展，如对创新起至关作用的“兴趣和好奇心”“问题意识”“毅力”等，从本质上体现素质教育的要求．本设计注重了探究过程的展开，使学生进一步理解、渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法；同时，本设计还注重培养学生对数学知识的理解能力、应用能力以及转化能力．教材分析直线的倾斜角和斜率从初中所学“两点确定一条直线”出发，引起学生对平面直角坐标系中的直线的几何要素的确定，是今后学习直线方程的必备知识．它不仅在人们的生活、生产、科技中有着广泛的实际应用，如神六的发射、建筑的设计有关计算等等，而且通过本节课的学习，能够培养学生观察、分析、猜想、抽象概括等数学基本思维方法．而这些又都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．学情分析教学对象是刚接触解析几何的学生，虽然具有一定的观察和分析问题的能力，抽象概括能力也已初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻与辩证，从而导致思维的片面、不够严谨，同时学生又很容易把本节内容与立体几何中所学的研究方法进行类比，但其在认知上有明显的不利因素：解析几何所用的研究方法与欧氏几何不同，前者是在直角坐标系的基础上，而后者所用的研究方法是以公理为基础，容易有思维的负迁移．教学目标1．知识与技能目标(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性．(3)理解直线的斜率的存在性．(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．设计意图：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求．2．过程与方法目标通过过两点的直线斜率公式及其应用，培养学生对数学知识的理解能力，应用能力及其转化能力；通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维．设计意图：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到有效、持续地发展．3．情感、态度与价值观(1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生的观察、探索能力，运用数学语言的表达能力、数学交流与评价能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点分析本节课的重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式．难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式．设计意图：这样确定重点，既能夯实“双基”，又培养学生观察、探索能力、运用数学语言表达能力、数学交流与评价能力．帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．教学策略与手段以问激学、以景激情、师生共同探讨，这样既能尊重学生的主体地位，又能充分发挥教师的主导作用，让学生亲历数学的发现过程，能充分调动学生学习的积极性与主动性．课前准备1．学生的学习准备：复习初中一次函数的图象及相关的性质，预习本节新课知识．2．教师的教学准备：了解学生原有的直线储备知识的基础上备课，制作课件．3．教学环境的设计与布置：在提前一周内，用黑板报及图片方式宣传创立解析几何的两位数学家笛卡儿和费马的相关历史，以及在几何方面有突出贡献(实现机器证明)的我国数学家吴文俊．4．教学用具的设计和准备：多媒体、三角板．教学过程创设情境，提出问题一次函数的图象有什么特点？提出问题在直角坐标系中棳过 一个定点P 的直线位置确定吗?问题：它对x 轴的相对位置有几种情形，请画出来？(学生总结概括)引入倾斜角的概念来刻画直线的倾斜程度．设计意图：这样，学生可以在对比、观察、思维的基础上提升自己的思维，使新旧知识之间尽可能产生自然的联系，而不是人为地告诉其正确的结果，把经验、结论强加给学生．尊重学生，首先要接纳学生的认知基础，并加以诱导，使不同层次的学生都得到发展，这也正是“双自主”实验所倡导的．由楼梯坡度的启发，引入直线的斜率图1 图2提问：日常生活中，我们还有没有表示倾斜程度的量呢？学生可以自主回答，教师根据学生的回答利用多媒体演示不同坡度的楼梯，并说明“坡度”实际就是“倾斜角α的正切”．从而得出斜率的概念．这样我们就得出一个是从“形”的方面刻画直线相对x 轴的倾斜程度——倾斜角，一个是从“数”的方面刻画直线相对x 轴的倾斜程度——斜率，同时强调倾斜角是90°的直线没有斜率．引入斜率的定义及表示法k ＝tan α(α≠90°)．设计意图：以日常生活中的斜面为例，引入斜率的概念，然后通过多媒体师生互动探讨，加深对斜率的理解，也有助于培养学生的观察分析，抽象概括能力．生活中的实例以及多彩的多媒体图片可激发学生的学习兴趣，充分引导学生主动参与的意识．在明白直线的倾斜角与斜率都是用来刻画倾斜程度的基础上，进一步提出问题：斜率为正或负时，倾斜角是怎样变化的？直线具有 怎样的位置？学生思考，探究，可借助多媒体(教师演示或让学生亲自操作动画过程)．如图3：拖动点P ，改变直线的倾斜角α，可以观察到什么？然后由学生发现与总结．图3设计意图：充分利用现代化教学手段，引进数学实验，呈现直观、形象的数学，让问题的设计更具有开放性，更能激发学生的学习兴趣；把数学的学术形态转化为学生易于接受的教学形态，化解学生的认知疑难．探究：直线斜率与直线上两点有关吗？提出问题如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义tan α求出直线的斜率；如果给定直线上的两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎样求出直线的斜率呢？即已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求直线P 1P 2的斜率(见教材中图)．首先实验、演示，观察、猜想．利用几何画板课件演示：学生观察①两点坐标的变化；②观察斜率与坐标y 1－y 2x 2－x 1比值的关系，探索猜测k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 设计意图：多媒体课件的引入可以增强课堂的趣味性，能够在动态演示中化解教学难点，有效的解决教学重点．(学生思考，自主探究，合作交流)其次利用多媒体演示探究过程，最后请同学们用已学知识给出证明．(1)引导图形的4种可能情形．(2)把α转化到直角三角形中．(3)然后用数形结合的思想求出倾斜角的正切值．设计意图：利用多媒体演示探究过程，课堂上的探究成果，犹如磁铁一般吸引着学生．带着强烈的好奇心，学生的自主探究便扬帆起航了，更关键的是有如弗赖登塔尔指出的那样，有利于学生亲自参加“数学再创造”的历程．学生通过同化和顺应等心理活动，自主构建数学知识，不断完善数学认知结构，并有充分的机会表达自己对问题的理解和认识，从而获得成就感，改变那种“灌输——接受”的落后学习方式，让学生真正成为数学学习的主体．让他们感受到数学探索的价值和魅力．纠错题：根据学生对概念的理解，请同学们思考以下几个问题．(1)不论倾斜角α是锐角还是钝角，斜率表示式是否一样？(2)当直线倾斜角α确定后，k值与点A，B的顺序是否有关？(3)当直线AB与x轴平行或重合时，公式还成立吗？(4)当直线AB与y轴平行或重合时，公式还成立吗？教师结合学生的回答，强调公式的适用条件(让学生了解分类讨论的思想方法)并熟记公式，以便以后的应用．设计意图：不仅完善了斜率的公式，也有助于培养学生的质疑意识，养成勤于动脑的良好思维习惯．有助于帮助学生自主学习，学会学习．例题教学1如图4，已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．(由形定数)例1是简单的应用，可略讲．图42在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，－1，2和－3的直线．(由数定形)例2可用启发式教学：问1：已知斜率和原点，能不能迅速画出对应的直线？问2：通过斜率能找到倾斜角吗？问3：还可以选用什么方法找呢？(两点确定一条直线)最后师生共同利用斜率公式找出直线上除原点的另一点，并利用多媒体画出对应的直线．设计意图：通过教科书例1和例2，巩固对倾斜角与斜率概念的理解及应用，并且培养学生自主探究、解决问题的能力．课堂练习一组辨析概念的是非题．教科书本节练习中第1、2、3、4题，其中1、2题以对答案的方式，3、4题可借助计算机直接生成图象，使学生获得直接映象．设计意图：使学生进一步熟练对倾斜角、斜率的定义及斜率公式的理解．从而体验到学习的成功和快乐．课堂小结(1)今天学到了什么？(2)体验了哪些数学思想？(3)对今天的问题你还有什么困惑吗？设计意图：在这节课的最后由学生进行反思与评价；由学生谈学习本节课的最大收获，可以是知识上的，也可以是方法能力上的．知结构和板书设计1．必做题：课本习题3.1 A 组1、2、3、4、5题．2．备选练习：(1)直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若－1<k <1，则α的取值范围是( )A ．(－π4，π4)B ．[0，π4)∪(3π4，π) C ．(0，π4)∪(π2，3π4) D ．[0，π4)∪(3π4，π] (2)直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，若π4＜α＜3π4，则k 的取值范围是( ) A ．[－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1](3)已知直线l 的斜率A ＝－2k ＝－2，A (－1,1)为l 上的一定点，P (x ，y )为l 上的一动点，则y 关于x 的函数关系式是______________．设计意图：设计选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考与训练的空间．问题研讨1．新课程教学中如何把所学知识应用到生活实际中的应用意识的培养？2．探究式学习方法在目前的新课标下，如何在实际的课堂教学中使学生真正有所收益？怎么避免基础差的学生探究行为进展停顿的现象？3．“两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等”这个辨析题是否有价值？。

人教版高中数学直线的倾斜角和斜率教案第一章：直线的倾斜角教学目标：1. 理解直线的倾斜角的概念；2. 学会计算直线的倾斜角；3. 掌握直线的倾斜角与斜率的关系。

教学重点：直线的倾斜角的概念及计算方法。

教学难点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的直线的倾斜概念，提问：直线的倾斜角是什么？2. 讲解：讲解直线的倾斜角的定义，通过直角坐标系图，演示直线的倾斜角的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的倾斜角，并计算。

第二章：斜率的定义教学目标：1. 理解斜率的定义；2. 学会计算直线的斜率；3. 掌握斜率的符号表示。

教学重点：斜率的定义及计算方法。

教学难点：斜率的符号表示。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：引导学生回顾初中阶段学过的斜率概念，提问：斜率是什么？2. 讲解：讲解斜率的定义，通过直角坐标系图，演示斜率的计算方法。

3. 练习：让学生在直角坐标系图中找出给定直线的斜率，并计算。

第三章：斜率的计算教学目标：1. 掌握斜率的计算方法；2. 学会使用斜率公式；3. 能够应用斜率公式解决实际问题。

教学重点：斜率的计算方法及应用。

教学难点：斜率公式的运用。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾上一章所学的内容，提问：如何计算直线的斜率？2. 讲解：讲解斜率的计算方法，通过直角坐标系图，演示斜率的计算过程。

3. 练习：让学生运用斜率公式计算给定直线的斜率，并解决实际问题。

第四章：直线的倾斜角与斜率的关系教学目标：1. 理解直线的倾斜角与斜率的关系；2. 学会利用直线的倾斜角求斜率；3. 能够利用斜率求直线的倾斜角。

教学重点：直线的倾斜角与斜率的关系。

教学难点：利用斜率求直线的倾斜角。

教学准备：直角坐标系图。

教学过程：1. 引入：让学生回顾前几章所学的内容，提问：直线的倾斜角与斜率有什么关系？2. 讲解：讲解直线的倾斜角与斜率的关系，通过直角坐标系图，演示如何利用直线的倾斜角求斜率，以及如何利用斜率求直线的倾斜角。

课题：直线的倾斜角和斜率(1)课型：新授课教学目标:知识与技能1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．2.理解直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的存在性.4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：1.直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．．．．．.．．．P．和一个倾斜角α2.直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.3.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x 轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4．例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解: 设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y －0)／(x －0)，所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M 的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)5．练习: P86 1. 2. 3. 4.课堂小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．(2) 直线的斜率公式.课后作业: P89 习题3.1 1. 2. 3.4课后记:课题：直线的倾斜角和斜率(2)课 型：习题课教学目标：1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角4.培养学生分析探究和解决问题的能力.教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用教学过程1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？2) 斜率的计算公式是什么？2.巩固练习：1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：(1) α＝0°；（2）α＝60°；(3) α＝90°；（４）150°2).直线l 经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是3).过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A.1B.4C.1或3D.1或44).已知A (2，3)、B (－1，4)，则直线AB 的斜率是 .5).已知M (a,b )、N (a,c )(b ≠c ),则直线MN 的倾斜角是 .6).已知O (0，0)、P (a,b )(a ≠0)，直线OP 的斜率是 .7).已知),(),,(222111y x P y x P ，当21x x ≠时，直线21P P 的斜率k = ；当21x x ≠且21y y =时，直线21P P 的斜率为3．例题分析：例1.若三点)3,2(A ，)2,3(-B ，),21(m C 共线，求m 的值 解：22122132332=⇒+-=+--⇒=m m k k AC AB 说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础例2．如果直线l 经过A (－1,2m)、B (2，2m )二点，求直线l 的斜率K 的取值范围。

第三章第一节倾斜角与斜率三维目标1．理解直线的倾斜角和斜率的观点；2．理解直线倾斜角的独一性和斜率的存在性；3．掌握过两点的直线的斜率公式；4. 经过本节课的学习，学生领会数形联合的思想，逐渐养成察看和探究的习惯.________________________________________________________________________________目标三导学做思 1* 问题 1.初中我们学过一次函数y kx b( k 0) ，请问，一次函数的图象是什么？此中k 的正负对直线有何影响？进一步，当k>0 时，跟着k 的增大直线有何变化？问题 2.关于平面直角坐标系内的一条直线l ,它的地点由哪些条件确立的？问题 3.在数学中，我们能够用哪些量来刻画直线的“倾斜程度”？问题 4.什么叫直线的倾斜角？它的范围是什么？任何一条直线都有倾斜角吗？问题 5.什么叫直线的斜率？任何一条直线都有斜率吗？180o（0°≤ α＜ 180°）的时候，直线的斜率k 是怎样变化问题 6.当倾斜角从0o向来增大到的？问题 7. (小组合作 ) 探究怎样由直线上两点的坐标计算直线的斜率？平面直角坐标系下，直线l 经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)（此中x1≠x2），则直线 l 的斜率k= ?进一步：（ 1）运用该公式计算经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2)的直线l的斜率时，与这两个点坐标的次序相关吗？*（ 2）当 x1=x2时，该公式还合用吗？此时直线的斜率怎样？（3）当直线平行于 x 轴或许与 x 轴重合时，该公式合用吗？直线的斜率等于多少呢？【学做思2】1.求经过以下两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角仍是钝角（或是其余的特别角）．(1)(1,1) ， (2,4)；(2)(－ 3,5)， (0,2) ；(3)(4,4) ， (4,5)；(4)( 10,2) ， (－ 10,2)．【思虑】在本例（ 2）中，直线倾斜角的大小是多少？2.在平面直角坐标系中，画出经过原点而且斜率分别为1， -1,2 及 -3 的直线l1, l2, l3,l43.（ 1）已知点 A(3,4), 在座标轴上有一点B, 若直线 AB的斜率等于 2 ，则点 B 的坐标为_____________________;(2) 已知点 M(5,3) 和点 N(－ 3,2)，若直线 PM 和 PN 的斜率分别为 2和－7，则点 P 的坐标为 ________．4【】的取值范围是变式（ 1）若过 P(1－ a,1＋a)和 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，那么实数a____________（; 2）已知 a>0，若平面内三点A(1，－ a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a＝ ____________.达标检测1. 直线AB 过A(－ 1,0)和B(2，－3)两点，则AB 的倾斜角为()A ．30°B． 60°C． 120 °D． 150 °2.以下各组中的三点共线的是 ()A ． (1,4) ，(－1,2)， (3,5)B． (－ 2，－ 5)， (7,6)， (－ 5,3)C． (1,0) ， (0，－1D ．(0,0) ，(2,4)， (－ 1,3))， (7,2)33.已知直线 l1、l2、l3 的斜率分别为k1、k2、k3 ，以以下图所示，则 ()A ．k1<k 2<k 3B． k3<k 1<k 2C． k3<k 2<k1D． k1<k 3<k 24.已知点 P(－ 3 ，1)，点Q在y轴上，若直线 PQ 的倾斜角为 120°，则点Q的坐标为 ________5.已知 A( － 2,1)、B(2,3) 、C(1，－ 1) ，直线 l 经过点 C 与线段 AB 订交，求直线 l 斜率的取值范围．。