四川省成都七中实验学校_学年高二数学下学期期中试题(国际班)【含答案】

某某省某某七中2019-2020学年高二数学下学期半期考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数12z i =-，则z = ( ) A.i C.1255i + D. 1255i - 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义易得. 【详解】解：复数12z i =-， 则12z i =+. 故选：B.【点睛】考查共轭复数的定义，基础题.2.在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是( ) A. （2,1,3）B. （﹣2,﹣1,3） C. （2,1,﹣3）D. （2,﹣1,﹣3） 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间坐标对称的性质求解即可. 【详解】在空间直角坐标系O ﹣xyz 中,点A （2,﹣1,3）关于yOz 平面对称的点的坐标是（﹣2,﹣1,3）. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间坐标中求对称点的问题,属于基础题. 3.在极坐标系中，过点(2,)2π且与极轴平行的直线方程是（ ）A. 2ρ=B. 2πθ= C. sin 2ρθ= D. cos 2ρθ=【答案】C 【解析】点2,2π⎛⎫⎪⎝⎭对应的直角坐标为()0,2，则直线的直角坐标方程为2y =，转化为极坐标方程：sin 2ρθ=.4.如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面判断正确的是( )A. 在区间()2,1-内，()y f x =是增函数B. 在()1,3内，()y f x =是减函数C. 在()4,5内，()y f x =是增函数D. 在2x =时，()y f x =取到极小值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数大于零，函数递增；导数小于零，函数递减；先增后减，函数有极大值；先减后增，函数有极小值，对选项逐一进行判断即得答案.【详解】解：由图象知当32-＜x ＜2或x ＞4时，()0y f x '=>，函数为增函数， 当332x -<<-或2＜x ＜4时，()0y f x '=<，函数为减函数， 则当x 32=-或x ＝4函数取得极小值，在x ＝2时函数取得极大值， 故ABD 错误，正确的是C ， 故选：C.【点睛】本题考查了导函数的正负和原函数单调性关系，以及极大值极小值的判断，考查学生对于图像的理解和判断，基础题.5.函数2cos y x x =+在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上取最大值时，x 的值为（ ） A. 0B.π6C. π3D. π2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：函数2cos y x x =+的导数为12sin y x '=-，令12sin 0y x -'==得1sin 2x =，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以6x π=，当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，所以函数2cos y x x =+在0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以使得函数2cos y x x =+取得最大值的x 的值为6π，故选B. 考点：利用导数研究函数在闭区间上的最值.【点晴】本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于基础题.函数在闭区间上的最值一般从极值点和区间端点处取得，解答的基本思路是先利用导数研究函数在给定区间上的单调性，看能否找到所需要的最值点，否则求出极值和区间端点的函数值进行比较，来找到所需要的最值点和最值,本题中只需要研究在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，就能找到极大值点也就是最大值点.6.已知实数,,x y z 满足236x y z ++=，则222x y z++的最小值是( )A.B. 3C.187D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由柯西不等式得()()()222222212323xy z x y z ++++≥++， 即可算出答案.【详解】由柯西不等式得()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，则2222(23)361814147x y z x y z ++++≥==，当且仅当“123x y z==”时取等号.故222x y z ++的最小值是187. 故选：C【点睛】本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题.7.把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）A.2B. 24cmC. 2D. 2 【答案】D 【解析】设两段长分别为xcm,(12-x)cm,这两个正三角形的边长分别为x 3cm,12x3-cm,面积之和为22x x 433⎤⎛⎫⎛⎫+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦29x 2-8x 3+16).令S ′48x 93⎫-⎪⎝⎭=0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min 2. 8.若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是( ) A. （﹣∞，0]B. （﹣∞，0）C. [0，+∞）D. （0，+∞） 【答案】D 【解析】 【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论. 【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间, 只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴12x =, 故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0. 故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.9.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在+中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程x=确定出来x＝2，类似地不难得到11111+++＝（）A. 12B. 12C. 12D. 12【答案】C 【解析】【分析】+的例子，令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，解方程即可得到x的值.【详解】令11(0)111x x+=>++，即11xx+=，即210x x--=，解得x=(x=舍)，故11111+=++故选：C【点睛】本题考查归纳推理，算术和方程，读懂题中整体代换的方法、理解其解答过程是关键，属于基础题.10.二面角lαβ--为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面,αβ内，AC l⊥，BD l⊥，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为()A. 2aB. C. a D.【答案】A【解析】试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF=，对于本题考试中，d a =，m a =，2n =，60θ=，故2CD a ==．考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．11.已知函数f （x ）的导数()f x '满足f （x ）+x ()f x '＞()f x '-对x ∈R 恒成立，且实数x ，y 满足xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ），则下列关系式恒成立的是( )A. 331111x y <++ B. ln （x 2+1）＞ln （y 2+1） C.x y x y e e< D. x ﹣y ＞sin x ﹣sin y 【答案】D 【解析】 【分析】由题得f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），得到函数()g x 的单调性，由xf （x ）﹣yf （y ）＞f （y ）﹣f （x ）得到x ＞y .再逐一分析判断每一个选项的正误得解.【详解】因为f （x ）+x ()f x '＞()f x '-，所以f （x ）+（x +1）()f x '＞0，令g （x ）=（x +1）f （x ），则()g x '=f （x ）+（x +1）()f x '＞0对x ∈R 恒成立，∴g （x ）在x ∈R 时单调递增.又由题得实数x ，y 满足（x +1）f （x ）﹣（y +1）f （y ）＞0， 所以g （x ）＞g （y ）， ∴x ＞y ，取x =1，y =2-，则有331111x y >++成立，故A 选项错误； 又当x =1，y =1-时，有ln （1+x 2）=ln （1+y 2），故B 选项错误；令h （x ）xx e =，则h ′（x ）1x xe -=， 当x ＜1时，()h x '＞0，此时h （x ）单调递增，当x ＞1时，()h x '＜0，此时h （x ）单调递减，当y ＜x ＜1时，有h （x ）＞h （y ）成立，即有x yx ye e ＞成立，故C 选项错误； 令t （x ）=x -sin x ，则()t x '=1-cos x ≥0，此时t （x ）单调递增， 又∵x ＞y ，∴t （x ）＞t （y ），∴x ﹣sin x ＞y ﹣sin y ，即x ﹣y ＞sin x ﹣sin y ，故D 选项正确. 故选：D【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.设函数()xf x mπ=．若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值X 围是（ ） A. ()(),66,-∞-⋃∞ B. ()(),44,-∞-⋃∞ C. ()(),22,-∞-⋃∞ D. ()(),11,-∞-⋃∞ 【答案】C 【解析】由题意知：()f x 的极值为()203f x ⎡⎤=⎣⎦，因为00()0x f x m mππ='=， 所以,2x k k z mπππ=+∈，所以01,2x k k z m =+∈即01122x k m =+≥，所以02m x ≥，即2200[()]x f x +≥24m +3，而已知()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，所以224m m >+3，故2334m >，解得2m >或2m <-，故选C.考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法，考查分析问题与解决问题的能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.定积分54xdx ⎰=__________．【答案】50 【解析】 【分析】直接根据微积分基本定理即可得结果.【详解】由微积分基本定理可得52504250xdx x==⎰，故答案为50.【点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，属于基础题. 14.不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣5|＜2的解集是_____. 【答案】(),4-∞ 【解析】 【分析】分1x <,15x ≤≤与5x >三种情况去绝对值进行求解即可. 【详解】当1x <时,原不等式可化为：1﹣x +x ﹣5＜2,恒成立,15x ≤≤时,原不等式可化为：x ﹣1+x ﹣5＜2,解得：1≤x ＜4,5x >时,原不等式可化为：x ﹣1﹣x +5＜2,无解.综上：原不等式的解集是(),4-∞.故答案为：(),4-∞【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,属于基础题.15.已知函数()211020x e x x x ef x lnx x x⎧--+≤⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，，＞，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，则实数m 的取值X 围是_____.【答案】(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，【解析】 【分析】通过求导，得出分段函数各段上的单调性，从而画出图像.若要方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点即可，从而得出m 的取值X 围.【详解】（1）x ≤0时，f ′（x ）=e x ﹣x ﹣1，易知f ′（0）=0，而f ″（x ）=e x ﹣1＜0， 所以f ′（x ）在（﹣∞，0]上递减，故f ′（x ）≥f ′（0）=0，故f （x ）在（﹣∞，0]上递增，且f （x ）≤f （0）11e=+，当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞. （2）x ＞0时，()21'lnxf x x -=，令f ′（x ）＞0，得0＜x ＜e ；f ′（x ）＜0得x ＞e ；故f （x ）在（0，e ）上递增，在（e ，+∞）递减， 故x ＞0时，()1()max f x f e e==；x →0时，f （x ）→﹣∞；x →+∞时，f （x ）→0. 由题意，若方程f （x ）﹣m =0恰有两个实根，只需y =m 与y =f （x ）恰有两个交点，同一坐标系画出它们图象如下：如图所示，当直线y =m 在图示①，②位置时，与y =f （x ）有两个交点，所以m 的X 围是：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，.故答案为：(]10e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，. 【点睛】本题考查了方程根的问题转化为函数图像交点问题，以及利用导数求函数单调性.考查了转化思想和数形结合，属于中档题. 16.已知函数f （x ）=x 223-ax 3（a ＞0），x ∈R .若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，则a 的取值X 围是_____.【答案】3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】由()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0，得10x x a ==或，根据对任意x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，分11a ≤， 112a<≤， 12a>三种情况讨论f （x 1），f （x 2）的值域即可. 【详解】因为()f x '=﹣2ax 2+2x 12ax x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()f x '=0得10x x a==或， ①：当11a≤，即a ≥1时，()f x '＜0，在x ∈[1，+∞）恒成立，所以f （x ）在[1，+∞）递减， ∵()2113f a =-，()16243f a =-， 若对任意的x 1∈（2，+∞），都存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）⋅f （x 2）=1，所以f （x 1）的值域为（1643a -∞-，），f （x 2）的值域为（213a -∞-，），由f （x 1）⋅f （x 2）=1得：()()211f x f x =. 显然，当f （x 1）→﹣∞时，()11f x →0（负数），故要满足结论，首先需满足：2103a -≥，16403a -≤，解得3342a ≤≤.所以312a ≤≤.②当112a<≤，即112a ≤<时，f （x 1）在（2，+∞）上递减，故此时f （x 1）1643a<-，f （x 2）在（1，1a）递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减，故()22113f x f a a ⎛⎫≤=> ⎪⎝⎭0. 此时只需16403a -≤即可，解得314a ≤＜. ③当12a >，即102a <＜时，f （x 1），f （x 2）的最大值都是2113f a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭0，所以()11f x 能取到所有正实数，而()2213f x a ≤，故此时不满足题意. 综上，a 的取值X 围是[3342，].故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题主要考查导数与函数的值域以及双变量问题，还考查了分类讨论思想和运算求解的能力，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.其中17题10分，18-22题每小题10分 17.已知函数()31132f x x =+. （1）求曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（2）求过点122A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，作曲线y =f （x ）的切线方程. 【答案】（1）172；（2）y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0.【解析】 【分析】 （1）函数()31132f x x =+的导数为()f x '=x 2，曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1，写出切线的方程，分别令x =0，y =0，得到在x ，y 轴上的截距，再利用三角形面积公式求解.（2）易得A （2，12）不在图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2，切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），再由231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩求解.【详解】（1）因为函数()31132f x x =+， 所以()f x '=x 2， 所以()1=1f '所以曲线y =f （x ）在点516P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线的斜率为k =1， 则切线的方程为y 56-=x ﹣1，即为6x ﹣6y ﹣1=0，令x =0，可得y 16=-；y =0，可得x 16=. 则切线与坐标轴围成的三角形的面积为S 111126672=⨯⨯=； （2）由A （2，12）和()31132f x x =+，可得f （2）811322=+≠，即A 不在f （x ）的图象上，设切点为（m ，n ），则切线的斜率为m 2， 切线的方程为y ﹣n =m 2（x ﹣m ），则231221132n m m n m ⎧-⎪=⎪-⎨⎪=+⎪⎩， 解得012m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或3192m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故切线的方程为y 12=或18x ﹣2y ﹣35=0. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.如图,五面体A ﹣BCC 1B 1中,AB 1＝4.底面ABC 是正三角形,AB =2.四边形BCC 1B 1是矩形,二面角A ﹣BC ﹣C 1为直二面角.（1）D 在AC 上运动,当D 在何处时,有AB 1//平面BDC 1,并且说明理由； （2）当AB 1//平面BDC 1时,求二面角C ﹣BC 1﹣D 余弦值.【答案】（1）当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,理由见解析；（2）313. 【解析】 【分析】(1)根据线面平行以及中位线的性质易得当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1,再连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ,进而证明DO //AB 1即可.(2)以B 为原点建立空间直角坐标系,再分别求得面1CBC 与面1BC D 的法向量,继而求得二面角1C BC D --的余弦值即可.【详解】(1)当D 为AC 中点时,有AB 1//平面BDC 1, 证明：连接B 1C 交BC 1于O ,连接DO ∵四边形BCC 1B 1是矩形∴O 为B 1C 中点又D 为AC 中点,从而DO //AB 1, ∵AB 1⊄平面BDC 1,DO ⊂平面BDC 1 ∴AB 1//平面BDC 1(2)建立空间直角坐标系B ﹣xyz 如图所示,则B （0,0,0）,A 3,1,0）,C （0,2,0）,D （32,32,0）,C 1（3,所以BD =（3,32,0）,1BC =（0,2,23）. 设()1,,n x y z =为平面BDC 1的法向量,则有330222230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,即33x z y z =⎧⎪⎨=-⎪⎩令1z =,可得平面BDC 1的一个法向量为1n =（3,3-,1）, 而平面BCC 1的一个法向量为()21,0,0n =, 所以cos 1n ＜,1221231313n n n n n ⋅===＞,故二面角C ﹣BC 1﹣D 的余弦值为31313.【点睛】本题主要考查了判断线面平行的条件,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.19.已知直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为212cos 4sin ρρθρθ+=+.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且||3AB =，求α的值.【答案】（1）222410x y x y +--+=；（2）3πα=或23πα=【解析】 【分析】(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；（2）联立直线和圆得到24sin 0t t α-=，根据弦长公式得到AB =.【详解】（1）圆C 的直角坐标方程为222410x y x y +--+=.（2）将直线l 的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有24sin 0t t α-=，由AB=sin 2α=，所以3πα=或23πα=.【点睛】这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t 的几何意义，一般t 的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故PA PB +，PA PB -，PA PB 均可用t 来表示，从而转化为韦达定理来解决.20.已知函数()ln(1),()(),0f x x g x xf x x '=+=≥，其中()f x '是()f x 的导函数.若[]*11()(),()(),n n g x g x g x g g x n +==∈N . （1）求()n g x 的表达式；（2）求证：()()()()2222211213111n g g f g n n -+-+-++-<+，其中n ∈N *. 【答案】（1）()*N 1n xg x n nx=∈+，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件猜想()1n xg x nx=+，利用数学归纳法证得猜想成立. （2）利用放缩法，结合裂项求和法，证得不等式成立. 【详解】（1）由题意可知，()01xg x x x=≥+，， 由已知 ()()()12111x x g x g x g g x g x x ⎛⎫⎡⎤=== ⎪⎣⎦++⎝⎭， 11211xx x x x x+==+++，()313xg x x =+，，猜想()*N 1n xg x n nx=∈+，，下面用数学归纳法证明： （i ）当 n =1 时，()11xg x x=+，结论成立：假设 n =k （k ≥1，k ∈N *） 时结论成立，即()1k xg x kx=+，那么，当n =k +1（k ≥1，k ∈N *）时，()()()()()1111111k k k k xg x x kx g x g g x x g x k x kx++⎡⎤====⎣⎦+++++，即结论成立. 由（i ）（ii ）可知，结论对 n ∈N * 成立.（2）∵()01xg x x x =≥+，， ∴()()221111111x g x g n x x n==-⇒-=-++， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）222211*********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22221111123n n ⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭()11111223341n n n ⎡⎤-++++⎢⎥⨯⨯⨯+⎢⎥⎣⎦＜11111112231n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦21111n n n n ⎛⎫=--=⎪++⎝⎭， ∴g （12﹣1）+g （22﹣1）+g （32﹣1）+…+g （n 2﹣1）21n n <+. 【点睛】本小题主要考查数学归纳法，考查不等式的证明，属于中档题. 21.已知函数f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立，求a 1,12⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，实数b 的最大值． 【答案】(1)见解析；(2)()1122ln + 【解析】 【分析】（1）求出()'f x 并对其因式分解，对a 与1的大小分类讨论，由()'f x 的正负情况判断()f x 的单调性．（2）把f （x ）≥﹣212x +ax+b 恒成立转化成b ≤﹣alnx+x 恒成立，令g （x ）=﹣alnx+x ，求出g ′（x ）=x ax-，判断g （x ）的单调性，从而求得g （x ）min =﹣alna+a ，令h （a ）=﹣alna+a ，求得h ′（a ）=﹣lna ＞0，即可求得h （a ）min ，问题得解． 【详解】（1）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0），定义域为（0，+∞）， ∴()()()11x a x af x a x x x---=-++-='，x ＞0 令f ′（x ）=0，则x 1=a ，x 2=1①当0＜a ＜1时，令f ′（x ）＞0，则a ＜x ＜1； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜a ，或x ＞1，∴f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； ②当a=1时，f ′（x ）≤0，且仅在x=1时，f ′（x ）=0， ∴f （x ）在（0，+∞）单调递减； ③当a ＞1时，令f ′（x ）＞0，则1＜x ＜a ； 令f ′（x ）＜0，则0＜x ＜1，或x ＞a ，∴在（0，1 ），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． 综上所述，当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，a ），（1，+∞）上单调递减；在（a ，1）上单调递增； 当a=1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递减；当a ＞1时，f （x ）在（0，1），（a ，+∞）上单调递减；在（1，a ）上单调递增． （2）∵f （x ）=﹣alnx+（a+1）x ﹣212x （a ＞0） 若()21f 2x x ax b ≥-++恒成立， ∴b ≤﹣alnx+x 恒成立 令g （x ）=﹣alnx+x ，x ＞0， 即b ≤g （x ）min ， ∵g ′（x ）=1a x a x x--=，（a ＞0）， ∴g （x ） 在（0，a ）单调递减，（a ，+∞） 单调递增； g （x ）min =g （a ）=﹣alna+a ∴b ≤﹣alna+a ，a ∈[12，1]， 令h （a ）=﹣alna+a∴h ′（a ）=﹣lna ＞0，∴h （a ）单调递增， ∴h （a ）min =h （12）=12（1+ln2）， ∴()1b 122ln ≤+ 即b 的最大值为()1122ln +【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，还考查了分类讨论思想及转化思想，考查计算能力，属于难题．22.已知函数()xe f x ax lnx x=-+.（1）a =1时,求函数f （x ）的极值；（2）若21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，,求f （x ）的最小值g （a ）的取值X 围. 【答案】（1）f （x ）极小值e ﹣1,无极大值；（2）[ln 2﹣1,e ﹣1].【解析】【分析】(1)代入1a =求导可得()()'21x x f x e x x-=-,再求导分析单调性与最值可知0x e x ->,进而求得()f x 的极值点与单调区间以及极值.(2)求导后构造导函数()()'p x fx =得出()()2'222(0)x e x x x p x x x -+-=>,再根据(1)中的结论可知()'0p x >恒成立,进而可得()'f x 在定义域上单调递增.再根据零点存在定理可知'0f x 在()0,∞+上有唯一解0x ,且012x ≤≤,进而求得最小值()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+,再根据隐零点问题消去参数a ,再构造函数关于极值点0x 的函数分析即可.【详解】(1)当a =1时,()()0xe f x x lnx x x=-+＞,则()()()'221111x x e x x f x e x x x x --=-+=-, 令h （x ）=e x ﹣x ,当x ∈（0,+∞）时,h ′（x ）=e x ﹣1＞0,∴在（0,+∞）上,h （x ）＞h （0）=1,即e x ＞x ,令f ′（x ）=0,则x =1,经检验,在（0,1）上,f ′（x ）＜0,f （x ）单调递减,在（1,+∞）上,f ′（x ）＞0,f （x ）单调递增,∴当x =1时,函数y =f （x ）取得极小值e ﹣1,无极大值；(2)()()'211(0)x e x f x a x x x -=-+>,令()()()'211(0)x e x p x f x a x x x -==-+>,则()()2'322(0)x e x x xp x x x -+-=>,由（1）知,当x ∈（0,+∞）时,e x ＞x ,e x （x 2﹣2x +2）﹣x ＞x （x 2﹣2x +2）﹣x =x （x ﹣1）2≥0,∴p ′（x ）＞0在（0,+∞）上恒成立,∴f ′（x ）在定义域上单调递增, ∵21142e a ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，, ∴()()2''11102042e f a f a =-+≤=-+≥，, ∴方程f ′（x ）=0在（0,+∞）上有唯一解,设方程f ′（x ）=0的解为x 0,则在（0,x 0）上f ′（x ）＜0,在（x 0,+∞）上f ′（x ）＞0,且1≤x 0≤2,∴f （x ）的最小值为()()00000x e g a f x ax lnx x ==-+, 由f ′（x ）=0得,()0020011x e x a x x -=+代入g （a ）得,()()[]000002112xe x g a lnx x x -=-+∈，，, 令()()[]2112x e x x lnx x x ϕ-=-+∈，，,则()()2'222x e x x xx x ϕ--+=,∵﹣x 2+2x ﹣2=﹣（x ﹣1）2﹣1≤﹣1,∴e x （﹣x 2+2x ﹣2）+x ≤x ﹣e x ＜0,∴φ（x ）在[1,2]上为减函数,∴()()()2,1x ϕϕϕ∈⎡⎤⎣⎦,∴g （a ）∈[ln 2﹣1,e ﹣1].【点睛】本题主要考查了求导分析函数单调性的问题,需要根据题意求出函数的极值点,再求出单调区间与极值.同时也考查了构造函数分析隐零点的问题,需要结合极值点满足的关系式消参,进而求导分析函数的单调性与取值X围.属于难题.。

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（ ）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -3．(0分)[ID ：13602]在ABC ∆中，若()()sin 12cos sin()A B B C A C -=+++，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形4．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 5．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=sin 2α=（ ）A ．12B 3C ．12-D ．3 6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan( ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-7．(0分)[ID ：13614]已知函数()()2cos 23cos 042x f x x πωωω⎛⎫=-->⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的最大值为（ ）. A ．1B ．65C ．43 D ．328．(0分)[ID ：13593]O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：,[0,)AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心9．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±10．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89C ．79D ．79-11．(0分)[ID ：13568]函数()()f x Asin ωx φ=+（其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象如图所示，为了得到()πg x sin ωx 6⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象上所有点( )A ．向右平移π12个单位长度 B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π6个单位长度 D ．向左平移π6个单位长度 12．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．3B ．3-C ．-2D ．213．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（ ） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72514．(0分)[ID ：13534]已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且2EC AE =，则向量EM =（）A ．1123AC AB + B ．1162AC AB + C ．1126AC AB + D ．1263AC AB + 15．(0分)[ID ：13533]下列命题中，真命题是（ ） A ．若a 与b 互为相反向量，则0a b += B ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = C ．若a 与b 都是单位向量，则1a b ⋅=D ．若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A =____________. 18．(0分)[ID ：13695]在ABC ∆所在平面上有一点P ，满足2PA PB PC AB ++=，则APC ∆与ABC ∆的面积比为___________19．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.20．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形．21．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 22．(0分)[ID ：13659]已知O 为ABC 的外心，3ABC π∠=，BO BA BC λμ=+，则λμ+的最大值为________23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13646]已知点()01A ，，()13B ，，()C x y ，，若以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为2，则y 关于x 的函数解析式为________________． 25．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．三、解答题26．(0分)[ID ：13790]已知点()0,2A 、()4,4B 、12OM t OA t OB =+. （1）若点M 在第二或第三象限，且12t =，求2t 的取值范围；（2）若14cos t θ=，2sin t θ=，R θ∈，求OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）若22t a =，求当OM AB ⊥，且ABM ∆的面积为12时，a 和2t 的值.27．(0分)[ID ：13789]已知平面上三个向量,,a b c ，其中(1,2)a =， （1）若25c =，且//a c ，求c 的坐标； （2）若52b =，且(2)(2)a b a b +⊥-，求a 与b 夹角的余弦值. 28．(0分)[ID ：13774]已知向量a →(1=，2)，b →(3=-，4)． （1）求a b +与a b -的夹角；（2）若a →(⊥a b λ→→+)，求实数λ的值．29．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.30．(0分)[ID ：13736]设函数21()sin 2cos ()24f x x x π=-+． （I ）若x ∈R ，求()f x 的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()02Bf =，B 为锐角，1b =，2c =，求ABC ∆的面积．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．C3．C4．B5．A6．A7．C8．A9．A10．C11．A12．C13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP和AC夹角为θ那么BC和AC的夹角也是θ所以19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】结合三角形的性质，对等式进行恒等变换，可以得到sin 1C =，进而求出角C 是直角，即可选出答案． 【详解】由题意知，()sin sin cos sin cos A B A B B A -=-，()()cos sin cos sin B C A C A B ++=-， 所以题中等式可转化为：sin cos sin cos 12cos sin A B B A A B -=-， 即sin cos sin cos 1A B B A +=， 则()sin 1A B +=， 故sin 1C =， 所以角C 为直角，即ABC ∆的形状一定是直角三角形． 故答案为C. 【点睛】本题考查了三角形的性质，及三角恒等变换，属于基础题．4．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 5．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.6．A解析：A【解析】 【分析】由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先化简函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，需满足22T π≥，根据函数在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以求3x πω+的范围，且是[]0,π的子集，最后求ω的范围.【详解】()cos 1cos 2f x x x πωω⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎭cos x x ωω=2cos 3x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，22T π∴≥ ,即2ππω≥ 02ω∴<≤ ，当[0,]2x π∈时，[,]3323x ππωπωπ+∈+， ∴ [,][0,]323πωπππ+⊆∴ 23ωπππ+≤，403ω∴<≤ ， 综上可知403ω<≤. 故选C【点睛】 本题考查三角函数的恒等变形，以及根据区间的单调性求参数的取值范围，属于中档题型，利用三角函数的奇偶性，周期性，对称性求解参数的值或范围是一个重点题型，首先将三角函数写成形如()sin y A x b ωϕ=++，或()cos y A x b ωϕ=++，()tan y A x b ωϕ=++的形式，然后利用三角函数的性质，借助公式，区间范围关系等将参数表示出来，得到函数参数的等式或不等式，求解.8．A解析：A【解析】【分析】 先根据||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量，确定||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致，可得到()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+，可得答案． 【详解】||AB AB 、||AC AC 分别表示向量AB 、AC 方向上的单位向量 ∴||||AB AC AB AC +的方向与BAC ∠的角平分线一致 又()||||AB AC OP OA AB AC λ=++， ∴()||||AB AC OP OA AP AB AC λ-==+ ∴向量AP 的方向与BAC ∠的角平分线一致∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的线性运算和几何意义．属中档题．9．A【解析】【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案．【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>，∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+==== 故选A ．【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号． 10．C解析：C【解析】【分析】 根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ 本题正确选项：C【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.解析：A【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得()f x 得解析式，再利用函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】解：根据函数()()f x Asin ωx φ=+ （其中A 0>，ω0>，πφ2<）的图象， 可得A 1=，12π7ππ4ω123⋅=-，ω2∴=． 再利用五点法作图可得π2φπ3⋅+=，求得πφ3=，()πf x sin 2x .3⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 为了得到()ππg x sin ωx sin 2x 66⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 只需将()f x 的图象上所有点向右平移π12个单位长度，即可， 故选A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin ωx φ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数()y Asin ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 12．C解析：C【解析】【分析】 求得22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a a b π=+=， 所以22,2cos 3a a b b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b+⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去），则2a b ⋅=-，故选C.本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =. 13．C解析：C【解析】【分析】由3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值． 【详解】 由题意可得3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 14．B 解析：B 【解析】 由题意结合向量的加法法则可得：213221()3221132211.62EM EC CMAC CB AC CA AB AC AC AB AC AB =+=+=++=-+=+ 本题选择B 选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．D解析：D【解析】根据两个向量和仍然是一个向量，可以判断A 的真假；根据向量数量积为0，两个向量可能垂直，可以判断B 的真假；根据向量数量积公式，我们可以判断C 的真假；根据数乘向量及其几何意义，可以判断D 的真假；进而得到答案．【详解】对A ，若a 与b 互为相反向量，则0a b +=，故A 为假命题；对B ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故B 为假命题；对C ，若a ，b 都是单位向量，则11a b -⋅，故C 为假命题；对D ，若k 为实数且0ka =，则0k =或0a =，故D 为真命题；故选：D ．【点睛】本题考查向量的加法及其几何意义、向量的数乘运算及其几何意义、面向量的数量积的运算，其中熟练掌握平面向量的基本定义，基本概念，是解答本题的关键．二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解.【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅- AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-，故答案为：16-.【点睛】 本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合 解析：23π. 【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得120cos A +=，解出A 即可. 【详解】 由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B ++=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B C A B B ++=， 通分得到()sin 2sin 0cos sin sin A B C A B B++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以sin 0sin C B ≠，故120cos A +=即1cos 2A =-. 因为()0,A π∈，故23A π=，填23π. 【点睛】 在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.18．【解析】∴即即即∴并且方向一样|BC|=3|AP|如果AP 和AC 夹角为θ那么BC 和AC 的夹角也是θ所以解析：13【解析】∴2PA PB PC AB ++=即()()0PA AB PB AB PC -+-+=2()PA PB PC PB PA ++=-，即30PA BC +=，即3PA CB =，∴//PA CB 并且方向一样，|BC |=3|AP |，如果AP 和AC 夹角为θ，那么BC 和AC 的夹角也是θ，12APC SAP AC sin θ=⋅， 12ABC S BC AC sin θ=⋅， 所以1.3APC ABC S S =19．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12- 【解析】【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值． 【详解】 (0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+， 12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π， ∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-，123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-， 1sin sin()262αβπ-=-=-． 故答案为：12-． 【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．20．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式 解析：等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=，即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形． 故答案为等腰.【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.21．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公 解析：13【解析】【分析】本题首先可根据cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果． 【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题． 22．【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系设列方程用表示出代入圆的方程再利用不等式解出的范围即可【详解】设的外接圆半径为1以外接圆圆心为原点建立坐标系因为所以不妨设则因为所以解得因为在圆上所以即所 解析：23【解析】【分析】以外接圆圆心为半径建立坐标系，设(),B x y ，列方程用、λμ表示出x y ，，代入圆的方程，再利用不等式解出λμ+的范围即可.【详解】设ABC 的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， 因为3ABC π∠=，所以23AOC π∠=， 不妨设()A 1,0，122C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(),B x y ， 则()1,BA x y =--，12BC x y ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭，()y BO x =--，， 因为BO BA BC λμ=+，所以()1122x x x y y y λμλμ⎧⎛⎫--+=- ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪-+-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得121321x y λμλμμλμ⎧-⎪=⎪+-⎪⎨⎪⎪=⎪+-⎩， 因为B 在圆221x y +=上，所以221322111λμμλμλμ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+= ⎪+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()22213122λμμλμ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22132λμλμλμ+-+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭， 所以()()21210433λμλμ+-++≥， 解得23λμ+≤或2λμ+≥， 因为B 只能在优弧AC 上，所以23λμ+≤， 故23【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25- 【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.24．或【解析】【分析】求得然后求得进而求得利用平行四边形的面积列方程化简后求得关于的函数解析式【详解】依题意所以由于所以所以为邻边的平行四边形的面积化简得所以或故答案为：或【点睛】本小题主要考查平面向量解析：21y x =-或23y x =+ 【解析】 【分析】求得,ABAC ，然后求得cos ,AB AC ，进而求得sin ,AB AC ，利用平行四边形的面积列方程，化简后求得y 关于x 的函数解析式. 【详解】依题意()()1,2,,1AB AC x y ==-，所以25,AB AC x ==cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅=，由于[],0,πAB AC ∈，所以2sin ,1cos ,15AB AC AB AC x =-=-⎣AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积sin ,2AB AC AB AC ⋅⋅=，化简得()()23210x y x y -+--=，所以21y x =-或23y x =+. 故答案为：21y x =-或23y x =+. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查平面向量夹角的计算，考查同角三角函数的基本关系式，考查平行四边形面积的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.25．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3【解析】 【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）()(),11,0-∞--；（2）,55⎡-⎢⎣⎦；（3）5a =±，225t =.【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示，结合题意，即可求出2t 的取值范围；（2）根据向量投影的定义，利用三角函数的性质可求出OM 在AB 方向上投影的取值范围；（3）根据OM AB ⊥，转化为0OM AB ⋅=，结合ABM ∆的面积列出方程组，可求出a 与2t 的值. 【详解】（1）点()0,2A 、()4,4B ，()122124,24OM t OA t OB t t t =+=+，若点M 在第二或第三象限，且12t =，则2240440t t <⎧⎨+≠⎩，解得20t <且21t ≠-.因此，实数2t 的取值范围是()(),11,0-∞--；（2）()4,2AB =，()2124,24OM t t t =+，OM ∴在AB方向上的投影为4cos ,OM AB OM OM AB AB⋅⋅===θϕ+==，锐角ϕ满足cos 13ϕ=，sin 13ϕ=.因此，OM 在AB方向上投影的取值范围是⎡⎢⎣⎦； （3）()2124,24OM t t t =+，124240OM AB t t ⋅=+=，且22t a =，216t a ∴=-，()224,8OM a a =-，点M 到直线:240AB x y -+=的距离为2d =，且25AB =ABM ∆的面积为22112041222ABMS AB d a ∆=⋅=⨯=+=， 解得a =2225t a ==.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、向量投影的计算以及三角形的面积问题，同时也涉及了三角恒等变换思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.27．（1）(2,4)c =或(2,4)c =--；（2）1- 【解析】 【分析】（1）根据共线关系将c 用a 的形式表示，再根据模长完成坐标计算；（2）根据向量垂直关系得到数量积表达式，然后得到a b ⋅的结果，即可求解相应夹角. 【详解】 （1）//a c ，∴设c a λ=，R λ∈，则||||||||ca a λλ==，即|145|λλ=+=，得||2λ=，得2λ=±. 当2λ=时，(2,4)c =；当2λ=-时，(2,4)c =--. （2）(2)(2)a b a b +⊥-，∴ (2)(2)0a b a b +⋅-=，即222320a a b b +⋅-=，即5253204a b ⨯+⋅-⨯=，得52a b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则52cos 1||||5a b a b θ-⋅===-⨯.【点睛】向量垂直的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ⊥，则12120x x y y +=； 向量平行的坐标表示形式：已知()()1122,,,a x y b x y ==，若a b ，则12210x y x y -=.28．（1）34π； （2）1λ=-. 【解析】 【分析】(1)先求a b +与a b -的坐标，再代入向量的夹角公式求解.(2)由题得()0a a b λ⋅+=，解方程即得解. 【详解】（1）∵(1a =，2)，(3b =-，4)， ∴(2a b +=-，6)，(4a b -=，2)-， ∴()()2642202cos 240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯，，，； 又∵()0,a b a b ，π+-∈，∴34a b a b π+⋅-=； （2）当()a ab λ⊥+时，()0a a b λ⋅+=，∴()()1213240λλ⋅-+=，，，则13480λλ-++=，∴1λ=-． 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角的计算和向量垂直的坐标运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.29．（1）154;（2）[2,5] 【解析】 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标， （1）根据坐标直接求出数量积； （2）通过二次函数求出数量积的范围． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0),(0,0)B A ，13(,)22D ，53(,22C ， （1）因为,M N 分别是,BC CD 上的中点，93(,(,4422M N ∴，933(,),(,442AM AN ∴==，9327315((42884AM AN ∴⋅=⋅=+=；（2）设||||||||BM CN BC CD==,[0,1]λλ∈， 52,,2,2222M N λλ⎛⎫⎛+- ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以25222522AM AN λλλλ⎛⎛⋅=+⋅-=--+ ⎝⎭⎝⎭， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]． 【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．30．(1) [,]()44k k k Z ππππ-+∈;(2)2. 【解析】试题分析:(1)由二倍角公式和诱导公式化简函数()f x ,根据正弦函数的单调递增区间列出不等式,即可求出()f x 的单调递增区间;(2)由02B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求出角B ,再由余弦定理求出边a ,利用三角形的面积公式求出结果. 试题解析: （I ）由题意知，()21cos 21112sin2cos sin2sin224222x f x x x x x ππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=-+=-=- ⎪⎝⎭； 因为222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为(),44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（II ）因为1sin 022B f B ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以1sin 2B =，又B 为锐角，所以,cos 6B B π==.1b =，2c =，22221cos22a B a +-==⨯⨯a =因此111sin 2222ABC S ac B ∆==⨯=，所以ABC ∆。

2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请把答案填在答题卷指定的位置上）1．（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）①桌面是平面；②一个平面长3米，宽2米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间的点、线、面构成的；A．1B．2C．3D．42．（4分）如果OA∥O1A，OB∥O1B，那么∠AOB与∠A1O1B1（）A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对3．（4分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．（4分）下面说法错误的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条6．（4分）棱柱的侧面一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形7．（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面9．（4分）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．（4分）已知球的半径为6cm，则它的体积为（）A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm3 11．（4分）下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次收尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面12．（4分）已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件13．（4分）已知斜线段长是它在平面α上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线DD1与AB之间的距离为（）A．B．1C．D．15．（4分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥SBB．二面角S﹣AB﹣D与二面角S﹣BC﹣D相等C．AB∥平面SCDD．平面SAB⊥平面SBC二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）16．（4分）若正方体的对角线长为a，那么正方体的表面积为．17．（4分）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为．18．（4分）用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是．19．（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积是．20．（4分）已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。

2019-2020学年四川省成都市第七中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．设集合[]1,2A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B =（ ）A ．[]1,4B ．[]1,2C ．[]1,0-D ．[]0,2【答案】D【分析】根据题意，求得[0,4]B =，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合[]1,2A =-，可得{}2,[0,4]B y y x x A ==∈=， 所以[]0,2A B =故选：D2．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i【答案】A【分析】()12i z i -= 【详解】由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容. 3．sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．B ．12C ．12-D 【答案】B【分析】利用诱导公式cos160cos 20=-，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【详解】sin 20cos10cos160sin10-()sin 20cos10cos 18020sin10=--sin 20cos10cos 20sin10=+()sin 2010=+sin30=12=故选：B4．抛物线28y x =的焦点到直线30x y -=的距离是（ ） A ．3 B ．23C ．2D ．1【答案】A【解析】28y x =的焦点为()2,0，由点到直线的距离可得：233d ==，故选A. 5．如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是1x 、2x ，则下列判断正确的是（ ）A ．12x x >，甲比乙成绩稳定B ．12x x <，乙比甲成绩稳定C ．12x x =，甲比乙成绩稳定D ．12x x =，乙比甲成绩稳定 【答案】D【分析】由茎叶图分别求出12,x x ，从而得到12x x =，由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中，从而得到乙比甲成绩稳定. 【详解】由茎叶图知：11111151231281361431266x +++++==21121261271241321351266x +++++==所以12x x =由茎叶图知甲的数据较分散，乙的数据较集中所以乙比甲成绩稳定 故选：D【点睛】本题考查的是茎叶图的知识，较简单. 6．已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=【答案】A【详解】()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()2sin[2]2sin 2666g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 令262x k πππ-=+，k Z ∈，求得()23k x k Z ππ=+∈，故函数的图象的一条对称轴的方程为3x π=，故选A.7．直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的劣弧所对圆心角为（ ） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【答案】C 【解析】圆心到直线3230x y +-=的距离为，又圆半径为2，所以直线3230x y +-=截圆224x y +=所得的弦长为，可知两半径与弦围成等边三角形，所以所得的劣弧所对圆心角为60°. 8．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．()0,4B ．()4,1,43⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭ C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1，()4,+∞【答案】D【分析】利用图象求得不等式()()0f x f x '-<的解集，求得()()()xf x f xg x e'-'=，解不等式()0g x '<即可得出函数()g x 的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，因为()()xf xg x e =，所以，()()()()()()2x xxx f x e f x e f x f x g x e e ''--'==，解不等式()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞，因此，函数()g x 的单调递减区间为()0,1，()4,+∞. 故选：D.【点睛】易错点睛：本题考查利用导数求解函数的单调递减区间，通过解不等式()0g x '<得到()()0,14,x ∈+∞，但需要注意的是，函数()g x 的两个单调递减区间不能取并集，而应分开表示.9．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12B ．13C．4D．3【答案】C【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得44k -<<，再由几何概型概率公式即可得解.【详解】由题意圆221x y +=的圆心(0,0)，半径1r =， 由直线与圆相交可得直线(3)y k x =+与圆心的距离1d =<，解得k <<故所求概率为()21124P ⎛ ⎝⎭===--. 故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.10．()f x 是定义在非零实数集上的函数，()'f x 为其导函数，且0x >时，()()0xf x f x '-<，记0.3220.322(log 5)(2)(0.2)20.2log 5f f f a b c ===，，，则 （ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】C【分析】构造函数()()f x g x x=，可得()g x 在(0,)+∞的单调性，可得答案. 【详解】解:令()()f x g x x =，可得'2()()()g x xf x x f x '-=，由0x >时，()()0xf x f x '-<，可得'()0g x ＜，()g x 在(0,)+∞上单调递减，又22log 5log 42=＞，0.3122＜＜，240.20.0=，可得0.322log 520.2＞＞，故0.322(log 5)(2()0.2g g g ＜)＜，故c a b <<， 故选：C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，属于基础题.11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的左支上，2PF 与双曲线的右支交于点Q ，若1PFQ 是以1PFQ ∠为直角的等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．2CD【答案】D【分析】设1PF m =，2QF n =，利用双曲线的定义可得m =，2)n a =，再利用余弦定理可得,a c 的关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设1PF m =，2QF n =，则1QF m =，||2PQ m =，由双曲线的定义可知2122PF PF m n m a -=+-=，122QF QF m n a -=-=，解得22m a =，(222)n a =-，在12QF F 中，由余弦定理得2221212122cos135F F QF QF QF QF =+-︒， 即22222224(22)(222)222(222)12c a a a a a ⎛⎫=+--⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭， 所以223c c e a a===. 故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和离心率求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 12．已知不等式1ln a xx a x x e ++≥对()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．e B ．e 2- C ．e - D ．2e -【答案】C【分析】将不等式变形,通过构造函数()ln g x x x =-,求导数后,结合函数的单调性即可得解.【详解】不等式1ln ax x a x x e++≥对()1,x ∈+∞恒成立 可变形为1ln ax x x a x e≥-+, 即n n l l x x a a e x x e ----≥对()1,x ∈+∞恒成立 设()ln g x x x =- 则()11'1x g x x x-=-= 当()1,x ∈+∞时,()'0g x >,即()ln g x x x =-在()1,x ∈+∞时单调递增当()0,1x ∈时,()'0g x <,即()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减 因而()()x a g eg x -≥在()1,x ∈+∞上恒成立即可当()1,x ∈+∞时, 10,xee -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭而当0a <时(因四个选项都小于0,所以只需讨论0a <的情况)()0,1a x ∈因为()ln g x x x =-在()0,1x ∈时单调递减,若()()x a g e g x -≥只需x a e x -≤不等式两边同取自然底数的对数,可得ln x a x -≤ 当()1,x ∈+∞时, 0ln x < 化简不等式可得ln xa x-≤ 只需maxln x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 令()ln xh x x-=,()1,x ∈+∞ 则()()21ln 'ln xh x x -=,令()'0h x =解得x e =当()1,x e ∈时, ()'0h x >,则()ln xh x x -=在()1,e 内单调递增 当(),x e ∈+∞时, ()'0h x <,则()ln xh x x-=在(),e +∞内单调递减所以()ln x h x x -=在x e =处取得最大值, ()max ln eh x e e-==- 故e a -≤所以实数a 的最小值为e - 故选:C【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用,根据不等式恒成立问题求参数的取值,利用构造函数法求最值,对函数式的变形尤为重要,属于难题.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件2{26x y x y ≥≥+≤,则24z x y =+的最大值为______ ．【答案】20【解析】画可行域如图，目标函数24z x y =+，可看成是直线124zy x =-+的纵截距四倍，直线过()2,4A 点时z 有最大值20.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是： 准确无误的做出可行域（注意边界的实虚）；画出目标函数所对应的直线时要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错； 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取到.14．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++的值为______． 【答案】322+【分析】先根据等差中项的性质可知得31212()22a a a ⨯=+，进而利用通项公式表示出212q q =+，求得q ，代入91078a a a a ++中即可求得答案．【详解】解：设1a ，2a ，3a 为1a ，1a q ，21a q ，()10a >∵1a ，312a ，22a 成等差数列，∴1232a a a +=， 所以21112a a q a q +=，所以2210q q --=，0q ∴>，所以21q =+，()()812910678113221a q q a a q a a a q q ++===+++ 故答案为：322+15．执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填的整数为_____．【答案】4【解析】试题分析：第一次循环：第二次循环：第三次循环：第四次循环：结束循环，因此判断框内①的取值范围为即应填的整数为4. 【解析】循环结构流程图16．点M 在曲线G ：3ln y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为__________. 【答案】2.【分析】设()00,3ln M x x ，得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭，得001ln 03x x +=，令()1ln 3f x x x=+，利用导数得单调性与最值，从而得出结论．【详解】解：设()00,3ln M x x ，则直线l 的方程为0x x =，由题意得001,N x x ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴00021,ln 333x OM ON OP x x ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭， ∴001ln 03x x +=， 令()1ln 3f x x x =+，则()22113133x f'x x x x -=-=， 由()'0f x =得13x =，∴函数()f x 在103⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，在1+3⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增， ∴函数()f x 在13x =处取得最小值，且11ln 11ln 3033f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，∴函数()f x 有两个零点，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的的单调性与最值，属于难题．三、解答题17．已知纵坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的参数方程为：1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）写出C 的直角坐标方程，并指出C 是什么曲线． （2）设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求PQ 值．【答案】（1）()2224x y -+=，它是以()2,0为圆心，半径为2的圆；（2.【分析】（1）将4cos ρθ=两边同时乘以ρ可得24cos ρρθ=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入即可求解；（2）将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值，12PQ t t -==.【详解】（1）∵4cos ρθ=，∴24cos ρρθ=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=得：224x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+= 它是以()2,0为圆心，半径为2的圆（2）把1212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 代入224x y x +=整理得250t -+=， 设其两根分别为1t 、2t ，则12t t +=125t t =， ∴12PQ t t =-==【点睛】关键点点睛：求弦长PQ 关键点是利用直线参数方程中t 的几何意义，设P 、Q 两点对应的参数为12,t t ，则12PQ t t -==，所以将直线l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，可得关于t 的一元二次方程，利用韦达定理可得12t t +，12t t 的值代入即可求弦长.18．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边长分别是a ，b ，c ，且3C π=，4c =.（Ⅰ）若3sin 4A =，求a ； （Ⅱ）若ABC 的面积等于a ，b . 【答案】（Ⅰ）a =（Ⅱ）4a b ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可知：342a =，进而可得结果；（Ⅱ）由ABC∆的面积等于1sin 2ABC S ab C ∆==，可得16ab =，再由余弦定理可得结果.试题解析：（Ⅰ）由正弦定理a c sinA sinC=可知：334a=，从而求得23a=（Ⅱ）由ABC∆的面积等于43，可知13432ABCS absinC ab∆===，从而16ab=①，由余弦定理2222c a b abcosC=+-可得，2216a b ab+-②，联立①②得4a b==.19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.【答案】（1）频率为：0.08；平均分为102；（2）25.【分析】（1）利用所有组频率和为1即可求得第七组的频率，然后利用81i iix x p==∑（其中i x表示第i组的中间值，i p表示该组的频率）求出平均值；（2）利用古典概率模型概率的计算方法求解即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：()10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08-++++++⨯=.用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：700.04800.12900.161000.31100.21200.06x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯1300.081400.04102+⨯+⨯=.（2）样本成绩属于第六组的有0.00610503⨯⨯=人，设为,,A B C ，样本成绩属于第八组的有0.00410502⨯⨯=人，设为,a b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名， 基本事件有： AB ，AC ，Aa ，Ab ，BC ，Ba ，Bb ，Ca ，Cb ，ab 共10个 他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件个数AB ，AC ，BC ，ab 共 4个 ∴他们的分差的绝对值小于10分的概率42105p ==. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解样本数据的平均值，考查古典模型概率的计算，难度一般.（1）计算样本数据的平均值时，只需利用每组中间值乘以本组频率求和即可得到答案； （2）古典概型的解答注意分析清楚基本事件总数及某事件成立时所包含的基本事件数. 20．已知322()3(1)f x x ax bx a a =+++>的图象在1x =-处的切线方程为0y =. （1）求常数,a b 的值；（2）若方程()f x c =在区间[4,1]-上有两个不同的实根，求实数c 的值.【答案】（1）29a b =⎧⎨=⎩；（2）0c 或4c =.【分析】（1）求出()'f x ，由(1)0,(1)0f f '-=-=，建立,a b 方程求解，即可求出结论；（2）根据函数的单调区间，极值，做出函数在[4,1]-的图象，即可求解.【详解】（1）2()36'=++f x x ax b ，由题意知2(1)0360(1)0130f a b f a b a ⎧-=-+=⎧⇒⎨⎨-=-+-+=⎩'⎩， 解得13a b =⎧⎨=⎩（舍去）或29a b =⎧⎨=⎩. （2）当2,9a b ==时，2()31293(3)(1)'=++=++f x x x x x故方程()0f x '=有根，根为3x =-或1x =-，x (,3)-∞-3-(3,1)--1-(1,)-+∞()'f x+-+()f x极大值 极小值由表可见，当1x =-时，()f x 有极小值0. 由上表可知()f x 的减函数区间为(3,1)--， 递增区间为(,3)-∞-，(1,)-+∞.因为(4)0,(3)4,(1)0,(0)4-=-=-==f f f f ，(1)20=f .由数形结合可得0c 或4c =.【点睛】本题考查导数的几何意义，应用函数的图象是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.21．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，离心率为22，过点F 的直线l 与C 相交于A B 、两点，点M 为线段AB 的中点. （1）当l 的倾斜角为45︒时，求直线OM 的方程；（2）试探究在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12y x =-（2）存在；定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，可得椭圆方程,与直线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，进而可得直线OM 的方程；（2）直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合平面向量数量积公式可得在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值，再验证直线l 的斜率为0的情况即可. 【详解】（1）由题得1c e c a ===，解得a =222a b c =+，得1b =，故椭圆方程为2212x y +=，设()()1122,,,A x y B x y ，易知直线l 的方程为1x y =+，由22112x y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23210y y +-=，于是12122313y y y y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，从而1212423x x y y +=++=，故211,,332OM M k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴所以直线OM 的方程为12y x =-. （2）①当直线l 的斜率不为0时，设()0,0Q x ，直线的方程为1x my =+，由22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222 -102m m y y ++=，所以1221222212m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪⋅=-⎪+⎩所以()()()()()210201212012012112QA QB x x x x y y my my x my my x y y ⋅=--+=++-++++ ()()()()()2222121200000022121121112122mm y y m y y x x x m m x x x m m --=+⋅++-+-+=+⋅+⋅-+-+++()22002231212x m x xm --=+-++，由023112x --=，得054x =，故此时点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，716QA QB ⋅=-；②当直线l 的斜率为0时，2257416QA QB ⎛⎫⋅=-=- ⎪⎝⎭.综上，在x 轴上存在定点5,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅为定值. 【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. (3)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.①当条件和结论不唯一时要分类讨论.②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径. 22．已知函数()()21ln f x x x x =--. （1）求函数()f x 的零点个数； （2）求证：()20f x x +>.【答案】（1）()f x 有两个零点，（2）证明见解析【分析】（1）抽象函数判断零点的个数，需要综合考虑导数，单调性，极值最值等等，还有特殊值的分析．（2）构造新函数，求新函数的最值，即可证明． 【详解】解：（1）()f x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 1x f x x x x x-=+-=+-．定义域在()0,+∞上，()'10f =， ∴01x <<时，()'0f x <；1x >时，()'0f x >，∴()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1， ∵()110f =-<，222222212112151ln 2120f e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()f x 在21,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有1个零点，∵()()21ln 10f e e e e e =--=->，∴()f x 在()1,e 内有1个零点， ∴()f x 有两个零点，证明：（2）令()()()221ln g x f x x x x x =+=-+，则()g x 定义域为()0,+∞，()211'2ln 12ln 3x g x x x x x -=++=-+， 令()12ln 3h x x x =-+，则()221'0h x x x =+>，∴()h x 在()0,+∞上是增函数，()120h =>，11ln402h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ∴01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =，即()0001'2ln 30g x x x =-+=，∴0013ln 22x x =-， ∴()00,x x ∈时，()'0g x <；()0,x x ∈+∞时，()'0g x >， ∴()g x 的单调减区间为()00,x ，单调增区间为()0,x +∞， ∴()()()()0000000min 00135121ln 2122222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫==-+=--+=--⎪⎝⎭，令()51222m x x x =--，1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()()()22221212114'20222x x x m x x x x+--=-+==≤对12x ≥成立，∴()m x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，∴1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()()5112022m x m >=--=，∴()min 0g x >，∴()20f x x +>.【点睛】（1）抽象函数大多数由基础函数进行加减乘除混合运算得来的，求导时应注意求导法则．（2）证明不等式成立问题，一般采取构造新函数的方法，可求导、单调性，求最值问题．。

四川省成都市第七中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．将圆221x y +=经过坐标变换后得到的曲线方程为（）．221641x y +=B ．4x 221164x y +=D ．．已知函数()sin cos f x a x =+上单调递增，则实数a 的范围是（．(],1-∞B ．[0,)2,⎡+∞⎣D ．．已知0.5e a -=，0.5b =，c ，则下列不等关系正确的是（）．a c b>>B ．a b a c>>D ．．已知椭圆(2222:1x y C a b+=的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线有相同的焦点，点P 为抛物线在第一象限内的交点，直线相切，则椭圆C 的长轴长为（．22+B ．24D ．．关于函数()114f x x x ⎛=- ⎝的零点，下列说法正确的是（）．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有两个零点．函数()f x 有三个零点231x x =二、填空题三、解答题(1)求证：平面PCE ⊥平面PBC ；(2)求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值21．已知过点()0,2的直线与抛物线过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点(1)若抛物线在N 点处的切线的斜率等于(2)设()0,11D ，求DAB 与NAB △22．已知函数()()1ln x x xf x =+-(1)求函数()f x 的最小值；(2)证明不等式()11ln 221nk k k =>⋅+∑参考答案：3．A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案【详解】利用分析法证明不等式则P M N N >⇒>，则“P 故选：A.4．D【分析】利用换元法，设化回椭圆的切线方程.所以()11111114ln f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111111114n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝⎭故选：C.12．A【分析】根据均值不等式可得0a ≤+()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域【详解】由22a b a b +=+得()2a b +-故()()()(2224a b a b a b a b +-++≤⇒+由于()()3322a b a b a b ab +=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a +=()()(2332a b a b a b a b a b ⎛+-++++- ⎝=()1,0,0B -，()0,0,3P ，(1,2C -(1223)PC =-- ，，，(22CE =- ，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111220223x y n CE n PC x y z ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-=⎪⎪⎩⎩所以()1,2,3n = ，(1223)PC =-- ，，，(022BC = ，设平面PBC 的法向量为22(,m x y =则2222220223y m BC m PC x y z ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+-⎪⎪⎩⎩ 可得()3,0,1m =-，又3030n m ⋅=+-=所以平面PCE ⊥平面PBC ，（2）由（1）知，()1,0,3PA =- ，平面令222t k =+≥，所以3182S t t =-，即函数()182f t t t =-则()()2218663f t t t '=-=-，令()f t '=令()0f t '>得23t <<，令()0f t '<得所以函数()f t 在区间(2,3)上单调递增，在所以3t =，函数()3182f t t t =-取到最大为即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值22．(1)2(2)证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >时，()1112ln 21221n nnk k k +=>+⋅+∑.【详解】（1）对函数求导可得()1f x '=-令函数()12ln g x x x x =--，则()1g x '=所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，。

高2013级数学半期考试题一、选择题1．如果sin α·tan α<0，且sin α＋cos α∈(0,1)，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知非零向量a ，b ，c 满足a ·b =a ·c ，则b 与c 的关系是 （ ） A ．相等 B ．共线 C ．垂直 D ．不确定3. ABC 的两个顶点()3,7A ，()2,5B -.若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ ） A ．()2,7- B ．()7,2- C ．()3,5-- D ．()5,3--4．由y ＝sinx 变换成y ＝－2sinx ，则( )A ．各点右移π个单位，纵坐标伸长到原来2倍B ．各点左移π个单位，纵坐标缩短到原来的12C ．各点右移π个单位，纵坐标缩短到原来的12D ．各点左移π2个单位，纵坐标伸长到原来的2倍5．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则( )A ．k 有最大值33，最小值33-B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值33-D ．k 有最大值0，最小值21-6．下面程序运行后输出的结果为( )A 50B 5C 25D 07．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由其散点图知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 为（ ）.A. 5.25 B 4.55 C.5.35 D. 6.05 8．连续掷两次骰子，以先后得到的点数,m n 为点(,)P m n 的坐标，设圆Q 的方程为2217x y +=；求点P 在圆Q 上的概率（ ）A.118B. 16C. 136D.1129． O 是ΔABC 所在的平面内的一点，且满足（-）·（+-2）=0，则ΔABC 的形状一定为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．斜三角形10、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在11、f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）12．函数x x x x f cos sin cos )(23-+=上最大值等于（ ）A ．274B ．278C ．2716D ．2732二、填空题13、若实数x,y 满足x yy x 则,3)2(22=+- 的最大值是__________．14. 已知ABC 中的顶点()4,5A ，重心()1,2G -，则BC 边的中点D 的坐标为__________.15. 向面积为9的∆ABC 内任投一点P,那么∆PBC 的面积小于3的概率是__________。

一、选择题1．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．42．(0分)[ID ：13577]设命题:p 函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题:q 函数cos y x=的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ） A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．p q ∧为假D ．p q ∨为真3．(0分)[ID ：13627]已知函数π()sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的图象关于直线2π3x =对称 B ．函数()f x 的图象关于点11π(,0)12对称 C ．函数()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点 4．(0分)[ID ：13626]如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则AC AD ⋅=（ ）A ．3B ．32C ．33D 35．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A 3B ．3C ．34D ．34-6．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．07．(0分)[ID ：13590]在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得BM AB AC λμ=+，则λμ+= A ．2B ．2-C ．12D ．12-8．(0分)[ID ：13573]已知1sin cos 2αα-=，且()0,απ∈，则sin cos αα+=（ ） A ．72B ．72-C ．72±D ．12±9．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．89-B ．89 C ．79D ．79-10．(0分)[ID ：13564]已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在π5π()1836，单调，则ω的最大值为 A ．11 B ．9 C ．7D ．511．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．4π C ．3π D ．512π 12．(0分)[ID ：13547]若函数sin()(0,||)y x ωϕωϕπ=-><在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如图所示，则,ωϕ的值（ ）A ．2,3πωϕ==B ．22,3πωϕ== C ．1,23πωϕ== D ．12,23πωϕ==- 13．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=14．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（ ）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π 15．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13717]已知O 为ABC ∆的外心，且6AB =，2AC =，则AO BC ⋅的值为______．17．(0分)[ID ：13716]如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+，2134AQ AB AC =+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为 ．18．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，则ω＝________.19．(0分)[ID ：13689]已知平面内两点P 、Q 的坐标分别为（-2，4）、（2，1），则PQ 的单位向量0a =_____20．(0分)[ID ：13684]设[),,0,2πa b R c ∈∈.若对任意实数都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组的组数为 .21．(0分)[ID ：13673]如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AD 上两个三等分点,155BA CA BE CE =⋅=⋅，，则BF CF =⋅___________.22．(0分)[ID ：13672]已知1,2a b ==，且()+a a b ⊥，则向量a 与向量b 的夹角为_________23．(0分)[ID ：13665]已知5cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=______. 24．(0分)[ID ：13653]已知3cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .25．(0分)[ID ：13651]已知G 是ABC ∆的重心，D 是AB 的中点 则GA GB GC +-=____________ 三、解答题26．(0分)[ID ：13821]已知函数2()cos (23sin cos )sin f x x x x x =+-． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m 有解，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：13763]已知4,8a b ==，a 与b 的夹角是120︒ （1）计算,42a b a b +-；（2）当2a b +与ka b -的夹角为钝角时，求k 的取值范围. 28．(0分)[ID ：13759]如图，扇形OAB 的圆心角为3π，半径为1，圆心为原点O ，点A 在x 轴正半轴上.（1）求点B 的坐标；（2）已知1(0,)3M -，直线:3kl y kx =+，点P 在直线l 上，点Q 在弧AB 上，且2+0MP MQ =，求k 的取值范围.29．(0分)[ID ：13825]已知函数()sin()(0,0,0)g x A x k A ωφωφπ=++>><<的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，得到函数()f x 的图象．（1）求函数()g x 的解析式； （2）求函数()f x 在[,]612ππ-上的值域； （3）求使()2f x ≥成立的x 取值的集合．30．(0分)[ID ：13824]在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小； (2)2cos A ＋cos C 的最大值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．B 7．D8．A9．C10．B11．B12．A13．D14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量17．【解析】【分析】根据条件确定PQ位置再分别确定△ABP的面积△ABQ的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB中点M则P点在线段CM上且CP=4PM因此;因为所以取点N满足中则Q点在线段18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D是BC的中点EF是AD上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题22．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题25．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题2．C解析：C 【解析】试题分析：函数sin 2y x =的最小正周期为π,所以命题p 为假命题，由余弦函数的性质可知命题q 为假命题，所以p q ∧为假命题，故选C. 考点：1.三角函数的图象与性质；2.逻辑联结词与命题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先根据题意求解析式，然后用整体代入的思想求出函数的所有对称轴、对称中心、单调递减区间及零点，逐一判断各选项，即可得出结论. 【详解】最小正周期是π，22Tπω∴== 它的图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数， ()sin[2()]3f x x πϕ∴=-+为奇函数，则2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3ϕπ∴=-，()sin(2)3f x x π∴=-， 由2,32x k k Z πππ-=+∈得5,122k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于2π3x =对称，故选项A 错误；由2,3x k k Z ππ-=∈得,62k x k Z ππ=+∈， 则()f x 的图象不关于11π(,0)12对称，故选项B 错误； 由3222232k x k πππππ+≤-≤+，得5111212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间为511[,],1212k k k Z ππππ++∈ 取1k =-，得区间7[,]1212ππ--， 由ππ7,[,]2121212ππ⎡⎤--⊂--⎢⎥⎣⎦，知选项C 正确；函数()f x 的零点为,62k x k Z ππ=+∈， 则函数()f x 在π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有23π和76π两个零点，故选项D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换，单调性、奇偶性、对称中心、对称轴等性质，属于中档题.4．D解析：D 【解析】∵3AC AB BC AB BD =+=+，∴(3)3AC AD AB BD AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅+⋅， 又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=， ∴33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==， 故选D ．5．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 422ππααα<<∴-=-，故选B.6．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅7．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合中点的性质和平面向量基本定理首先表示出向量BD ，BM ，然后结合平面向量的运算法则即可求得最终结果. 【详解】如图所示，因为点D 在线段BC 上，所以存在t R ∈，使得()BD tBC t AC AB ==-， 因为M 是线段AD 的中点，所以：()()()111112222BM BA BD AB t AC t AB t AB t AC =+=-+-=-++， 又BM AB AC λμ=+，所以()112t λ=-+，12t μ=， 所以12λμ+=-. 本题选择D 选项.【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8．A解析：A 【解析】 【分析】根据sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系求解可得答案． 【详解】 ∵12sin cos αα-=， ∴21(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=, ∴3sin cos 08αα=>， ∴02πα<<， ∴sin 0,cos 0αα>>， ∴sin cos 0αα+>，∴sin cos 2αα+====故选A ． 【点睛】解答本题时注意灵活运用sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-间的关系，即知道其中的一个可求另外的两个，解题中容易出现的错误是忽视所求值的符号．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果.【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.10．B解析：B 【解析】【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f （x ）在（18π，536π）上单调，可得ω的最大值． 【详解】 ∵x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，∴2142n T π+⋅=，即21242n ππω+⋅=，（n ∈N ） 即ω＝2n +1，（n ∈N ） 即ω为正奇数，∵f （x ）在（18π，536π）上单调，则53618122T πππ-=≤， 即T 26ππω=≥，解得：ω≤12， 当ω＝11时，114π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=-，此时f （x ）在（18π，536π）不单调，不满足题意；当ω＝9时，94π-+φ＝k π，k ∈Z ， ∵|φ|2π≤，∴φ4π=，此时f （x ）在（18π，536π）单调，满足题意；故ω的最大值为9， 故选B ． 【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A =或()0f x A =-.11．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π 12．A 解析：A 【解析】 【分析】根据周期求ω，根据最值点坐标求ϕ 【详解】因为2=(),2263T T T ππππω--∴===, 因为63212x πππ-==-时1y =-， 所以22()2()1223k k Z k k Z πππϕπϕπ-⨯-=-+∈∴=-∈因为||ϕπ<，所以3πϕ=，选A.【点睛】本题考查由图像求三角函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.13．D解析：D 【解析】 试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性14．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=， 即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.15．A解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】取中点中点连接根据题意可得由向量的减法运算可知代入数量积进行运算即可求解【详解】如图取中点中点连接如下图所示：因为为的外心所以由外心定义可知而∴即故答案为：【点睛】本题考查了平面向量解析：16-【解析】 【分析】取AB 中点D ,AC 中点E ,连接OD 、OE ，根据题意可得⊥OD AB ，OE AC ⊥.由向量的减法运算可知BC AC AB =-，代入数量积进行运算即可求解. 【详解】如图，取AB 中点D ，AC 中点E ，连接OD 、OE ，如下图所示：因为O 为ABC ∆的外心所以由外心定义可知⊥OD AB ，OE AC ⊥. 而6AB =，2AC =， ∴()AO BC AO AC AB ⋅=⋅-AO AC AO AB =⋅-⋅cos cos AO OAE AC AO OAD AB =∠⋅-∠⋅221122AC AB =- 218=-16=-，即16AO BC ⋅=-， 故答案为：16-. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及应用，向量的线性运算及三角形外心的定义，属于中档题.17．【解析】【分析】根据条件确定PQ 位置再分别确定△ABP 的面积△ABQ 的面积与△ABC 面积之比即得结果【详解】因为所以取AB 中点M 则P 点在线段CM 上且CP=4PM 因此;因为所以取点N 满足中则Q 点在线段 解析：45【解析】 【分析】根据条件确定P 、Q 位置，再分别确定△ABP 的面积、△ABQ 的面积与△ABC 面积之比，即得结果. 【详解】 因为2155AP AB AC =+，所以41525AB AP AC =+，取AB 中点M ，则P 点在线段CM 上，且CP=4PM ，因此11122215525ACM ABCABP APMABC ABCABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====;因为2134AQ AB AC =+，所以381494AQ AB AC =⋅+，取点N 满足89AN AB =中，则Q 点在线段CN 上，且CQ=3QN ，因此99191818848494AQN ACN ABCABQ ABCABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆⨯⨯⨯====; 因此△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为45【点睛】本题考查平面向量表示，考查综合分析求解能力，属中档题.18．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】 【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集，∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 19．【解析】【分析】利用向量的单位向量的计算公式即可求解【详解】由题意两点的坐标分别为可得向量所以向量的单位向量故答案为：【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式解析：43(,)55±-【解析】 【分析】利用向量PQ 的单位向量的计算公式0PQ a PQ=±，即可求解.【详解】由题意，两点,P Q 的坐标分别为(2,4),(2,1)-，可得向量(4,3)PQ =-， 所以向量PQ 的单位向量022(4,3)43(,)554(3)PQ a PQ-=±=±=±-+-.故答案为：43(,)55±-. 【点睛】本题主要考查了单位向量的计算与求解，其中解答中熟记向量的单位向量的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．4【解析】【分析】【详解】试题分析：当时又注意到所以只有2组：满足题意；当时同理可得出满足题意的也有2组：故共有4组【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式首先确解析：4 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： 当2a =时，5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，5(,)(3,)3b c π=，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3b c π=-，注意到[0,2)c π∈，所以只有2组：5(23,)3π，,4(23,)3π-，满足题意；当2a =-时，同理可得出满足题意的也有2组：(23,)3π--，,2(23,)3π-，，故共有4组. 【考点】 三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到a 的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到,b c 的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.21．-1【解析】【分析】把所用向量都用表示结合已知求出的值则的值可求【详解】解：∵D 是BC 的中点EF 是AD 上的两个三等分点又故答案为：-1【点睛】本题考查平面向量的数量积运算平面向量的线性运算是中档题解析：-1 【解析】 【分析】把所用向量都用,BD DF 表示，结合已知求出22,BD DF 的值，则BF CF ⋅的值可求． 【详解】解：∵D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，2,2BE BD DE BD DF CE BD DF ∴=+=+=-+， 3,3BA BD DF CA BD DF =+=-+，2245BE CE DF BD ∴⋅=-=，22915BA CA DF BD ⋅=-=，222,3DF BD ∴==，又,BF BD DF CF BD DF =+=-+，221BF CF DF BD ∴⋅=-=-， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，平面向量的线性运算，是中档题．22．【解析】【分析】由可求出再根据向量夹角公式即可求出向量与向量的夹角【详解】由得即解得设向量与向量的夹角为所以即故答案为：【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角解析：34π 【解析】 【分析】由()+a a b ⊥可求出a b ⋅，再根据向量夹角公式即可求出向量a 与向量b 的夹角． 【详解】由()+a a b ⊥得，()0a a b ⋅+=，即20a a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，设向量a 与向量b 的夹角为θ，所以1cos 22a b a bθ⋅-===-34πθ=．故答案为：34π． 【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量夹角．23．【解析】【分析】本题首先可根据计算出的值然后通过以及计算出的值最后通过两角差的正切公式即可得出结果【详解】因为所以所以【点睛】本题考查三角恒等变换主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式考查的公解析：13【解析】 【分析】本题首先可根据cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭计算出sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后通过cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭以及sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭计算出tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，最后通过两角差的正切公式即可得出结果．【详解】因为cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭()()44sin tan 24cos ππαπαα+⎛⎫+== ⎪+⎝⎭， 所以()()4444tan tan 1tan tan 441tan tan 3ππππαππααα+-⎛⎫=+-== ⎪++⎝⎭． 【点睛】本题考查三角恒等变换，主要考查同角三角函数关系以及两角差的正切公式，考查的公式有22sin cos 1αα+=、sin tan cos ααα=以及()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+，考查计算能力，是中档题．24．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题解析：23+ 【解析】分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解.详解：由cos 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以252sin cos 663παπα+⎛⎫⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.25．4【解析】【分析】由是的中点G 是的重心则再联立求解即可【详解】解：因为是的中点G 是的重心则即又所以所以故答案为：【点睛】本题考查了平面向量的线性运算重点考查了三角形的重心的性质属基础题解析：4GD 【解析】 【分析】由D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，1()2GD GA GB =+，再联立求解即可. 【详解】解：因为D 是AB 的中点，G 是ABC ∆的重心，则2CG GD =，即2GC GD =- 又1()2GD GA GB =+，所以2GA GB GD +=, 所以2(2)4GA GB GC GD GD GD +-=--=, 故答案为：4GD . 【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了三角形的重心的性质，属基础题.三、解答题 26．（1）π；（2）2m ≤. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()f x 进行化简，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出()f x 的最大值，即可知m 的取值范围. 【详解】（1）22()cos cos sin 2cos 2f x x x x x x x =+-=+122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭ 2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期T=π.（2）由题意可知，不等式()f x m 有解，即()max m f x ≤，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 故当262x ππ+=，即6x π=时()f x 取得最大值，且最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 从而可得2m ≤. 【点睛】对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.27．（1）2）7k >-且12k ≠- 【解析】 【分析】（1）把模转化为向量的平方；（2）两向量的数量积为负，但要去除两向量反向的情形。

考试时间：120分 总分：150分（请将选择题的选项填在机读卡．．．上，填空题及解答题的作答写在答题卷．．．上） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、现有以下两项调查：①某校高二年级共有15个班，现从中选择2个班，检查其清洁卫生状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1∶5∶9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ▲ ）A. 简单随机抽样法，分层抽样法B. 系统抽样法，简单随机抽样法C ．分层抽样法，系统抽样法D ．系统抽样法，分层抽样法2、不等式213x +>的解集为（ ▲ ）A. (1,2)-B. (,1)(2,)-∞-+∞C.(,2)(1,)-∞-+∞D. (2,1)-3、命题 “00,()0x R f x ∃∈<”的否定是（ ▲ ）A. 00,()0x R f x ∃∉≥B. ,()0x R f x ∀∉≥C ．,()0x R f x ∀∈≥D ．,()0x R f x ∀∈<4、已知,,a b c R ∈，且0c ≠，则下列命题正确的是（ ▲ ）A. 如果a b >，那么a b c c> B. 如果ac bc <，那么a b < C ．如果a b >，那么11a b > D ．如果22ac bc <，那么a b < 5、在投掷两枚硬币的随机试验中， 记“一枚正面朝上，一枚反面朝上” 为事件A ，“两枚正面朝上” 为事件B ，则事件A ，B （ ▲ ）A. 既是互斥事件又是对立事件B. 是对立事件而非互斥事件C ．既非互斥事件也非对立事件D ．是互斥事件而非对立事件6、若函数3()3f x x ax =+在R 上单增，则a 的取值范围为（ ▲ ）A.[0,)+∞B. (0,)+∞C.(,0]-∞D. (,0)-∞7、根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()1i i 4i z -+=，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．22．已知点(6,9)P -在抛物线22(0)x py p =≠上，则点P 到其焦点F 的距离PF =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．103．函数()2sin ππy x x x =--≤≤的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在等比数列{}n a 中，2874a a a ⋅=，则212325log log log a a a ++=（ ） A ．6B ．8C ．10D ．125．从一个三棱台的9条棱中任取2条，它们所在直线互为异面直线的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．166．已知函数()(0xf x a ax a =->且1)a ≠在区间(),1-∞上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．2e -B ．1e -C ．eD ．2e7．已知圆柱内接于表面积为36π的球（圆柱的上､下底面圆周都在球面上），当圆柱的体积最大时，其高等于（ ）A B ．C ．3D ．8．“肝胆两相照，然诺安能忘.”（《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明•朱察卿）若,A B 两点关于点()1,1P 成中心对称，则称(),A B 为一对“然诺点”，同时把(),A B 和(),B A 视为同一对“然诺点”.已知a ∈Z ，函数(2)e ,1()2,1x x x f x ax x -⎧-<=⎨->⎩的图象上有两对“然诺点”，则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、多选题9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知10a >，58S S >，则下列结论一定成立的有（ ） A ．120S > B ．130S < C ．68S S >D ．75S S <10．在二项式622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，下列说法正确的有（ ）A ．常数项等于240B ．3x 项的系数等于160C ．偶次项系数之和等于365D ．系数绝对值最大的是第5项11．已知0ab ≠，函数()()2(1)f x ax b x =--在1x =处取得极大值，则下列不等式可以成立的有（ ）A ．22a ab b <<B ．22b ab a <<C ．22b a ab <<D ．22a b ab <<三、填空题12．某同学决定用圆周率π的不足近似值3.14159中出现的这六个数字编成一组六位数的开锁密码（每个数字用一次），则两个数字“1”不相邻的不同密码共有组. 13．已知,A B 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右顶点，直角ACD V 的顶点C 在y 轴上，顶点D 在双曲线的一条渐近线上，且斜边CD 的中点为B ，则双曲线的离心率为. 14．牛顿数列是牛顿利用曲线的切线和数列的极限探求函数()y f x =的零点时提出的，在航空航天领域中应用广泛.已知牛顿数列{}n x 的递推关系为：1n x +是曲线()y f x =在点()(),nnx f x 处的切线在x 轴上的截距，其中*n ∈N.（1）若()21e xf x -=，并取11x =，则{}n x 的通项公式为；（2）若取11x >，且{}1-n x 为单调递减的等比数列，则()f x 可能为.四、解答题15．如图，在四棱锥E ABCD -中，面ABCD 为正方形，面ABE 为等边三角形，,M N 分别是AB 和DE 的中点.(1)求证：直线//MN 平面BCE ；(2)若BC AE ⊥，求二面角A CE D --的余弦值.16．“一花一世界，一叶一追寻.”为庆祝建校120周年，激发同学们对校园的热爱､对艺术的追求，学校某学生社团举办了“校园一隅”自然景观摄影比赛.经过初赛的激烈角逐，有3名女生和2名男生的摄影作品（每人一件）闯入决赛.决赛采用抽签的方式决定顺序，由5名选手依次对自己的摄影作品进行创作陈述，最终评出特等奖2件（事先假定每件作品获奖的可能性相同）.(1)求至少有1名男生的摄影作品最终获得特等奖的概率； (2)求决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作陈述的概率；(3)若当2名男生都陈述结束时，还有k 名女生没有陈述的概率为0.2，求k . 17．已知,1,2,3,,n k n ∈=N L å，并补充规定00C 1=.(1)化简：11C C k n k n k --.(2)在数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足()21n n S n a =+. ①求{}n a 的通项公式；②设1212C C C C k nn n n n k n n b a a a a =+++++L L ，求数列{}n b 的前n 项和n T.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()0,1P -，直线3y kx =+与C 交于,A B 两点，连结,PA PB . (1)求PAB V 面积的最大值；(2)设直线,PA PB 分别与x 轴交于点,M N ，线段MN 的中点为Q ，求直线PQ 与直线AB 的交点H 的轨迹方程.19．已知函数()()()2ln 1,e 2.71828f x ax x =++≈为自然对数的底数. (1)设0a =，求()tan =f x x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内的实根个数；(2)若对任意()0,2x f x x >>都成立，求a 的取值范围； (3)设()202440492024!e ,45m n =⋅=，比较m 与n 的大小.。

成都七中高 2025届高二下期6月阶段性检测数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写（涂）在答题卡的指定位置上．2．回答选择题时，选出每个小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上 4. 所有题目必须在答题卡上作答, 在试题卷上答题无效.3．考试结束后，只需将答题卡交回，试卷由考生自行保管．4．试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟.一、选择题：本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.若R 上的可导函数y =f (x )在x =x 0处满足limΔx →0f x 0+Δx -f x 0 2Δx =3，则f x 0 =()A.6B.32C.3D.232.已知向量a =(-1，2，3)，b =(1，0，2)，则向量a 在向量b 上的投影向量c 的坐标为()A.(-1，2，3) B.(1，0，2) C.(5，0，25) D.(1，2，0)3.已知等比数列a n 的前n 项和为S n ,a 1+a 3+a 5=1,a 2+a 4+a 6=2，则S 12-S 6=()A.18 B.54 C.128 D.1924.直线l ：2m +1 x +m +1 y -8m -5=0，被圆C ：(x -2)2+(y -1)2=25截得最短弦的长为()A.46B.26C.223D.235.三个数a =2ln e e2，b =ln 2，c =ln33的大小顺序为( )A.b <c <aB.a <c <bC.c <a <bD.a <b <c 6.给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有()种不同的染色方案.A.48B.60C.72D.84第6题图四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知数列a n 的前n 项和为S n ,S n =52n 2-12n n ∈N * .(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .16.(本小题满分15分)某企业研发一种新产品，要用A 与B 两套设备同时生产，已知设备A 的生产效率是设备B的2倍，设备A 生产的新产品合格率为0.9，设备B 生产新产品合格率为0.6，且设备A 与B 生产的新产品是否合格相互独立.(1)从该公司生产的新产品随机抽取一件，求所抽产品为合格品的概率；(2)从某批新产品中随机抽取4件，设X 表示合格品的件数，求X 的分布列和方差．17.(本小题满分15分)如图，已知在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，所有的棱长均为2，侧面DCC 1D 1⊥底面ABCD ，∠D 1DC =∠DAB =π3，E 为C 1D 1的中点，C 1F =13C 1C .(1)证明：平面A 1CE ⊥底面ABCD ；(2)求平面A 1EF 与平面ABCD 所成角的余弦值.18.(本小题满分17分)已知函数f x =x -a ln x ，g x =x +1x.(1)讨论函数f x 的单调性；(2)设函数ℎx =f g (x ) -f x ，证明：当a >e 2-12时，函数ℎx 在12a ，+∞ 上只有1个零点.19.(本小题满分17分)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为33.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)若直线l 与E 的右支及渐近线的交点自上而下依次为C 、A 、B 、D ，证明：AC =|BD |；(3)求二元二次方程x 2-3y 2=1的正整数解Q n x n ，y n x n ，y n ，n ∈N ∗ ，可先找到初始解x 1，y 1 ，其中x 1为所有解x n 中的最小值，因为1=2+3 2-3 =22-3×12，所以Q 12，1 ；因为1=2+3 22-3 2=7+43 7-43 =72-3×42，所以Q 27，4 ；重复上述过程，因为2+3 n 与2-3 n 的展开式中，不含3的部分相等，含3的部分互为相反数，故可设1=2+3 n 2-3 n =x n +3y n x n -3y n =x 2n -3×y 2n ，所以Q n x n ，y n .若方程E 的正整数解为Q n x n ，y n ，则△OQ n Q n +1的面积是否为定值？若是，请求出该定值，并说明理由.成都七中高 2025届高二下期 6 月阶段性检测数学参考答案一、单选题ABDC DCBC8题解析:由题意知,a >0,y =1a ln x 与y =e ax 互为反函数,作出图象,设两条公切线的夹角为2θ,tan2θ=2tan θ1-tan 2θ=43,tan θ=12或tan θ=-2,又θ为锐角,所以tan θ=12,设直线AB 的倾斜角为α,则α=θ+π4tan α=tan θ+π4=3,设A x 1,e ax 1 ,k AB =ae ax 1=3,l AB :y -e ax 1=3x -x 1 ,即y =3x +e ax 1-3x 1,设B x 2,1a ln x 2 ,k AB =1ax 2=3,l AB :y -1a ln x 2=3x -x 2 ,即y =3x +1aln x 2-3x 2,所以:e ax 1-3x 1=1aln x 2-3x 2,即ae ax 1-3ax 1=ln x 2-3ax 2即3-3ax 1=ln x 2-1,所以3ax 1+ln x 2=4e 3ax 1+ln x 2=x 2e ax 13=13a ×3a 3=e 4,所以a 2=3e 2二、多选题:9.BD .10.BCD .11.ACD 三、填空题:12．1513.414.5455四、解答题15.(1)当n =1时，a 1=52-12=2，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=52n 2-12n -52n -1 2+12n -1 =5n -3当n =1时，满足综上：a n =5n -3.......6分(2)由(1)知b n =1(5n -3)(5n +2)=1515n -3-15n +2 .........8分所以T n =b 1+b 2+⋯+b n =1512-17+17-112+⋯+15n -3-15n +2..........10分=1512-15n +2 =n 10n +4..............13分16.(1)设C =“随机抽取一件新产品,是设备A 生产的”,则C =“随机抽取一件产品,是设备B 生产的”,D =“随机抽取一件新产品为合格品”P C =23,P C =13,P D ∣C =0.9,P D ∣C =0.6,所以P D =P C P D ∣C +P C P D ∣C =23×0.9+13×0.6=0.8；...........6分(2)X 表示抽取的产品合格品中的件数,则X ∼B 4,45,............7分第1页C 1F =23,∠FC 1M =π3，所以C 1M =13，FM =33，在△A 1D 1E 中，cos ∠A 1ED 1=1+7-427=277，所以sin ∠A 1ED 1=217在R t △MEN 中，sin ∠MEN =sin ∠A 1ED 1=|MN ||ME |=|MN |23=217，所以MN =22121，在R t △FMN 中，FN =|FM |2+|MN |2=1121,cos ∠MNF =|MN ||FN |=221211121=21111因为平面A 1B 1C 1D 1⎳平面ABCD ，所以平面A 1EF 与平面ABCD 所成夹角的余弦值为21111.18.(1)定义域x ∈0,+∞ ⋅f x =x -a x 若a ≤0,f x ≥0,f x 单调递增;若a >0,令x -a =0,x =a .当x ∈0,a 时,f x <0,f x 单调递减;当x ∈a ,+∞ 时,f x >0,f x 单调递增.............7分(2)当a >e 2-12时,h x =f g x -f x =1x -a ln x 2+1x2,令1x =t ∈0,2a ,设k t =t -a ln t 2+1 ,k t =t 2-2at +1t 2+1..............9分因为a 2>e 2-14⇒4a 2>e 2-1>4,t 2-2at +1=0有两个不同的根x 1=a -a 2-1,x 2=a +a 2-1，2a >a +a 2-1，即0<x 1<x 2<2a ..........11分①当t ∈0,x 1 时,k t >0,k x 1 >k t >k 0 =0,所以t ∈0,x 1 时，y =k t 无零点............13分②当t ∈x 2,2a ;k t >0时,k t 单调递增.k 2a =2a -a ln 4a 2+1 <2a -a ln (e 2)=0,k x 2 <k 2a <0,所以t ∈x 2,2a 时，y =k t 无零点..15分③当t ∈x 1,x 2 时,k t <0时,k t 单调递减,k x 1 k x 2 <0,所以t ∈x 1,x 2 时y =k t 只有1个零点综上函数y =k t 在t ∈0,2a 只有1个零点即h x 在区间12a ,+∞ 只有1个零点......17分19(1)由ab a 2+b 2=1c a =33c 2=a 2+b 2,解得a 2=1，b 2=12所以双曲线E 的标准方程为：x 2-2y 2=1...........4分(2)易知l 的斜率为0时不成立，............5分设l ：x =my +t ，(t >0)x =my +t ⇒m 2-2 y 2+2mty +t 2-1=0x 2-2y 2=1 第3页∆1=4(m 2+2t 2-2)，y A +y B =-2mt m 2-2,y A y B =t 2-1m 2-2..........7分x =my +t ⇒m 2-2 y 2+2mty +t 2=0x 2-2y 2=0∆2=8t 2>0，y C +y D =-2mt m 2-2,y A y B =t 2m 2-2..........8分因为y A +y B 2=y C +y D 2,所以线段AB 、CD 的中点重合所以 AC = |BD |...........10分(3)因为方程x 2-2y 2=1的初始解为3，22 ，根据循环构造原理，x n +2y n =3+22 n ,x n -2y n =3-22 n ,...........11分从而x n =123+22 n +3-22 n ,y n =243+22 n -3-22 n ...........13分OQ n =x n ,y n ，OQ n +1 =x n +1,y n +1 ,设OQ n ，OQ n +1 的夹角为α,则△OQ n Q n +1的面积S △OQ n Q n +1=12OQ n ⋅OQ n +1 sin α=12OQ n2OQ n +1 2sin 2α=12OQ n2⋅OQ n +1 2-OQ n 2⋅OQ n +1 2cos 2α=12OQ n 2⋅OQ n +1 2-OQ n ⋅OQ n +1 2=12x 2n +y 2n x 2n +1+y 2n +1 -x n x n +1+y n y n +1 2=12x n y n +1-x n +1y n ...........15分令a =3+22 n ，b =3-22 n ,ab =1S △OQ n Q n +1=216a +b 3+22 a -3-22 b -3+22 a +3-22 b a -b =216×82ab =1............17分法二：x n +2y n =3+22 n ,x n -2y n =3-22 n ,于是x n +1+2y n +1=3+22 n 3+22 =x n +2y n 3+22 ,=3x n +4y n +22x n +3y n ,即x n +1=3x n +4y n ,y n +1=2x n +3y n .得y n =14x n +1-34x n ,y n +1=14x n +2-34x n +1,以下同法一.第4页。