2019-2020学年 湖南省长沙市雅礼中学 高二下学期入学考试数学试题(解析版)

雅礼中学2020年高二上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分)1.已知复数421i z i+=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,,M I N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.1303.P22T3函数32y x ax a =-+在()01，内有极小值，则实数a 的取值范围为( )A.()03，B.()3-∞，C.()0+∞，D.302⎛⎫ ⎪⎝⎭，4.P4T3已知2:0P x x -<，那么P 的一个必要不充分条件是( )A.01x <<B.11x -<<C.1223x <<D.122x << 5.在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的有( )A.512个B.192个C.240个D.108个6.已知函数()22cos f x x x =＋，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )A. B. C. D.7.P9T8已知双曲线M 的焦点1F ，2F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=.如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12PF PF ⋅=( )A.21B.14C.7D.08.有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测. A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是( )号同学.A.1B.2C.3D.4，5，6号中的一个9.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =( )A.2π B.3π C.4π D.6π 10.P22T4设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()f x g x '-()()0f x g x '>，且()30g =，则不等式()()0f x g x <的解集是( )A.()()3,03,-⋃+∞B.()()3,00,3-⋃C.()(),33,-∞-⋃+∞D.()(),30,3-∞-⋃11.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x 的关系是()21400,0400,280000,400,x x x R R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩则总利润最大时，年产量是( ) A.100B.150C.200D.30012.P7T6.已知椭圆()2222:10x y T a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线与T相交于A ，B 两点，若3AF FB =，则k =( )A.1B.2C.3D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.双曲线221x y -=的离心率为___________.14.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为___________. 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有___________种不同的站法.16.已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17.(本题满分10分)已知在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足(*)21n n b n a n -+∈N =，求{}n b 的前n 项和n S .18.(本题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(Ⅰ)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (Ⅱ)求()f x 的单调递增区间.19.(本小题满分12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；(2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率.参考公式：()()()1122211n niii i i i n ni ii i x x y y x y nxy b x nxx x ====----==--∑∑∑∑，a y bx =-.参考数据：511415ii i x y ==∑20.(本小题满分12分)P15T10.如图(1)，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图(2)的五棱锥P ABFED -，且10PB =.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求二面角B AP O --的余弦值.21.(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭到抛物线()2:20C y px p >=的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上. (1)求曲线C 的方程及点M 的坐标； (2)记()214AB d m m=+，求弦长AB (用m 表示)；并求d 的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1xg x xe-=(a R ∈，e 为自然对数的底数).(Ⅰ)若不等式()0f x >对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求a 的最小值； (Ⅱ)若对任意的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使()()0i f x g x =成立，求a 的取值范围.。

2019-2020学年长沙市雅礼教育集团高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．42．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣23．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 3655．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．26．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为．14．设，为单位向量，且，则＝．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，由此解得d的值．解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，故选：B．2．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4＝0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1＝0互相垂直，则a的值为（）A．2B．﹣2C．2，﹣2D．2，0，﹣2【分析】根据两直线垂直的充要条件：A1A2+B1B2＝0解：因为两直线垂直，所以：（2a+5）（2﹣a）+（a﹣2）（a+3）＝0，化简得：a2﹣4＝0，解得：a＝2或a＝﹣2故选：C．3．在△ABC中，a＝1，c＝2，∠B＝120°，则b边长为（）A．3B．4C．5D．【分析】根据题意和余弦定理直接求出b即可．解：由题意得，a＝1，c＝2，B＝120°，在△ABC中，由余弦定理得：b2＝c2+a2﹣2ca cos B＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，可得：b＝，故选：D．4．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m 的值分别为（）A．20% 369B．80% 369C．40% 360D．60% 365【分析】设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b＝125，a＝20%，m＝369．故选：A．5．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【分析】由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，求出底面的面积，垂直于底面的侧棱长是2，做出体积．解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，右图为该三棱锥的直观图，三棱锥的底面是一个腰长是2的等腰直角三角形，∴底面的面积是＝2垂直于底面的侧棱长是2，即高为2，∴三棱锥的体积是故选：C．6．已知向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，则cos＜，+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】利用已知条件求出||，然后利用向量的数量积求解即可．解：向量，满足||＝5，||＝6，•＝﹣6，可得||＝＝＝7，cos＜，+＞＝＝＝＝．故选：D．7．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β＝l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB＝O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．8．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离为（）A．B．C．D．【分析】由已知设圆方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，（2，1）代入，能求出圆的方程，再代入点到直线的距离公式即可．解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为（a，a），则半径为a，a＞0．故圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2＝a2，再把点（2，1）代入，求得a＝5或1，故要求的圆的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25或（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．故所求圆的圆心为（5，5）或（1，1）；故圆心到直线2x﹣y﹣3＝0的距离d＝＝或d＝＝；故选：B．9．在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，则角A的值为（）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sin A＝，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值．解：∵在△ABC中，若a＝，b＝1，∠B＝30°，∴由正弦定理，得化简得sin A＝•sin30°＝∵a＝＞b＝1∴A＞B，可得A＝60°或120°故选：D．10．数列{a n}中，a1＝2，且a n+a n﹣1＝+2（n≥2），则数列{}前2019项和为（）A．B．C．D．【分析】由a n+a n﹣1＝+2（n≥2），可得﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，利用“累加求和”方法可得，利用裂项求和即可得出．解：∵a n+a n﹣1＝+2（n≥2），∴﹣﹣2（a n﹣a n﹣1）＝n，化为：﹣＝n，∴﹣＝n+（n﹣1）+ (2)∴＝，可得：＝＝2（）．则数列{}前2019项和＝2＝2＝．故选：B．11．如图，四面体A﹣BCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．πB．3πC．πD．2π【分析】由题意，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．解：由题意，四面体A﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△ABC都是直角三角形，所以BC的中点就是球心，所以BC＝，球的半径为：所以球的体积为：×＝π．故选：A．12．数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前100项和为（）A．3690B．5050C．1845D．1830【分析】n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，可得a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，利用分组求和即可得出．解：n＝2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k＝4k﹣1，n＝2k﹣1时，a2k﹣a2k﹣1＝4k﹣3，可得a2k+2﹣a2k+1＝4k+1，∴a2k+1+a2k﹣1＝2，a2k+2+a2k＝8k，∴{a n}的前100项和＝（a1+a3）+…+（a97+a99）+（a2+a4）+…+（a98+a100）＝2×25+8（1+3+ (49)＝50+＝5050．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在对应题号后的横线上. 13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AB1与A1D所成角的大小为60°．【分析】由直线AD1∥B1C，得∠ACB1是直线AB1与A1D，由AB1＝CB1＝AC，求出直线AB1与A1D所成角的大小．解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵直线AD1∥B1C，∴∠ACB1是直线AB1与A1D，∵AB1＝CB1＝AC，∴∠ACB1＝60°，∴直线AB1与A1D所成角的大小为60°．故答案为：60°．14．设，为单位向量，且，则＝．【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可求出，从而可求出的值．解：∵，∴＝，∴，∴．故答案为：．15．若数列{a n}的前n项和为S n＝a n+，则数列{a n}的通项公式是a n＝（﹣2）n﹣1．【分析】把n＝1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．解：当n＝1时，a1＝S1＝，解得a1＝1当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（）﹣（）＝，整理可得，即＝﹣2，故数列{a n}是以1为首项，﹣2为公比的等比数列，∴a n＝（﹣2）n﹣1．故答案为：（﹣2）n﹣1．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则下列命题：①直线BD1⊥平面A1C1D；②三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；③异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[45°，90°]；④直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．其中所有真命题的序号是①②④．【分析】在A中，推导出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，从而直线BD1⊥平面A1C1D；在B中，由B1C∥平面A1C1D，得到P到平面A1C1D的距离为定值，再由△A1C1D的面积是定值，从而三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值；在C中，异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]；在D中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为．解：在①中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，∵A1C1∩DC1＝C1，∴直线BD1⊥平面A1C1D，故①正确；在②中，∵A1D∥B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，又△A1C1D的面积是定值，∴三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故②正确；在③中，∵A1D∥B1C，∴异面直线AP与A1D所成的角为直线AP与B1C所成的角，当P运动到B1或C点时，直线AP与B1C所成的角最小为60°，当P在为B1C中点时，直线AP与B1C所成的角最大为90°，∴异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[60°，90°]，故③错误；在④中，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），＝（1，0，1）＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），则取x＝1，得＝（1，1，﹣1），∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为＝＝：，∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝BC，D为线段AC的中点，E 为线段PC上一点．[Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC．【分析】（Ⅰ）由PA⊥AB，PA⊥BC，推导出PA⊥平面ABC，由此能证明PA⊥BD．（Ⅱ）推导出BD⊥AC，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面BDE⊥平面PAC．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，∵D为线段AC的中点，∴BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD．（Ⅱ）∵AB＝BC，D为线段AC的中点，∴BD⊥AC，∵PA⊥BD，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC．18．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【分析】（1）利用数列递推关系即可得出．（2）＝＝﹣．利用裂项求和方法即可得出．解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n＝2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n＝2．∴a n＝．当n＝1时，a1＝2，上式也成立．∴a n＝．（2）＝＝﹣．∴数列{}的前n项和＝++…+＝1﹣＝．19．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出A的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出三角形的周长．解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．20．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD ＝2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点．（Ⅰ）求证：PA∥平面EFG；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EFG的体积．【分析】（I）取AD的中点H，连接GH，FH，说明PA不在平面EFG，FH在平面EFG，证明PA平行平面EFG内的直线FH即可证明PA∥平面EFG；（II）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥P﹣EFG 的体积．【解答】解（I）：如图，取AD的中点H，连接GH，FH，∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD．∵G，H分别为BC，AD的中点，∴GH∥CD．∴EF∥GH．∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴PA∥FH．∵PA不在平面EFG，FH⊂平面EFG，∴PA∥平面EFG．（II）解：∵PD⊥平面ABCD，GC⊂平面ABCD，∴GC⊥PD．∵ABCD为正方形，∴GC⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴GC⊥平面PCD．∵PF＝PD＝1，EF＝CD＝1，∴．∵GC＝＝1，∴21．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），点P在圆E：x2+y2＝4上运动．（1）求过点C且被圆E截得的弦长为的直线方程；（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．【分析】（1）设直线方程为y+2＝k（x﹣4），由题意可知圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式即可求出k的值，从而得出直线方程；（2）P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣4y又﹣2≤y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，设直线方程为y+2＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k﹣2＝0，所以，解得或k＝﹣1，所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y﹣2＝0；（2）设P点坐标为（x，y），则x2+y2＝4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝（x+2）2+（y+2）2+（x+2）2+（y﹣6）2+（x﹣4）2+（y+2）2＝3（x2+y2）﹣4y+68＝80﹣4y，因为﹣2≤y≤2，所以72≤80﹣4y≤88，即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．22．已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），n∈N*．（1）若b n＝3n+5，且a1＝1，求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项，即≥a n（n∈N*），求证：{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1＝3λ＜0，b n＝λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，a n≠0，且．【分析】（1）把b n＝3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n＝6，由此得到{a n}是等差数列，则a n可求；（2）由a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n ＝2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ＝﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），b n＝3n+5，∴a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝2（3n+8﹣3n﹣5）＝6，∴{a n}是等差数列，首项为a1＝1，公差为6，则a n＝1+（n﹣1）×6＝6n﹣5；（2）∵a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1＝2b n+a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m＝a1＝3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ＝﹣1时，a2n＝1，a2n﹣1＝﹣3，∴M＝3，m＝﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．。

绝密★启用前2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高二下学期入学考试数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数421izi+=+（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.解：解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，位于第四象限.故选：D.点评：本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A．B．C．D．答案：C试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A 包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞D ．答案：D试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜． 【考点】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法． 4．已知2:0p x x -<，那么命题p 的一个必要不充分条件是（ ）A ．01x <<B ．11x -<<C ．1223x << D ．122x << 答案：B 解：解 : p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<1,则比该集合大的集合都是符合题意的，所以选择B5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个 B ．192个 C ．240个 D ．108个 答案：D试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．【考点】排列组合．6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择. 解：()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥Q因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A 点评：本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 730x y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，如果抛物线216y x =的准线经过双曲线M 的一个焦点，那么12||||PF PF ⋅=u u u r u u u u r（ ） A ．21 B ．14 C ．7 D ．0 答案：B试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，因为抛物线x y 162=的准线4-=x 过双曲线的焦点，且一730x y +=，所以⎪⎩⎪⎨⎧==374ab c ，解得4,7,3===c b a ；因为点P在双曲线M 上，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以⎩⎨⎧=+±=-64||||6||||222121PF PF PF PF ，解得14||||21=⋅PF PF ；故选B ．【考点】1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（ ）号同学. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4，5，6号中的一个 答案：C因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论. 解：解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学. 故选：C. 点评：本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题.9．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：C分析：利用面积公式12ABC S absinC =V 和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（文科）（六）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1．（5分）集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝x﹣2，x∈A}，则集合A∩B＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅2．（5分）复数z＝1﹣2i的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i3．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，设a＝f（0.32），b＝f（log25），c＝f（20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b4．（5分）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则•＝（）A．﹣1B．﹣C．﹣2D．﹣6．（5分）一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f （x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称8．（5分）已知实数x，y满足，若直线kx﹣y+1＝0经过该可行域，则实数k的最大值是（）A．1B．C．2D．39．（5分）两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．10．（5分）已知三个实数2，a，8成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．x±2y＝0D．9x±16y＝0 11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[﹣2，2]12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e，g（x）＝lnx+1，若对于∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最大值为（）A．e B．1﹣e C．1D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则＝．14．（5分）已知向量，的夹角为，＝（﹣3，4），＝﹣10，则的模长是．15．（5分）△ABC的三个顶点都在球O的球面上，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，若球O 的表面积为12π，则球心O到平面ABC的距离等于．16．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k 的取值范围是．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A ，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）＝，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝3，求a的最小值．18．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．（12分）如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AE＝BE＝CD＝2，BC＝ED＝4，O为BE中点，F为BC中点．将△ABE沿BE折起到△A'BE的位置，如图2．（1）证明：CD⊥平面A'OF；（2）若平面A'BE⊥平面BCDE，求点F到平面A'EC的距离．20．（12分）已知椭圆C：+＝l（a＞b＞0）过点（2，1），且离心率e＝．（l）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为（2，1），设直线P A与PB的倾斜角分别为α，β，证明：α+β＝π．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第--题记分.[选修4--4：坐标系与参数方程.]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝k|x|﹣|2x﹣1|．（1）当k＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）+b＞0恒成立，求k+b的最小值．2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（文科）（六）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题所给的四个选项中只有一个是正确的.1．（5分）集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝x﹣2，x∈A}，则集合A∩B＝（）A．{x|1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．∅【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝x﹣2，x∈A}＝{x|﹣1＜x＜1}，∴集合A∩B＝∅．故选：D．2．（5分）复数z＝1﹣2i的虚部是（）A．﹣2B．2C．﹣2i D．2i【解答】解：复数z＝1﹣2i的虚部是﹣2．故选：A．3．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，设a＝f（0.32），b＝f（log25），c＝f（20.3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b【解答】解：根据题意，f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，则f（x）在[0，+∞）上为增函数，又由0＜0.32＜1＜20.3＜2＜log25，则a＜c＜b；故选：D．4．（5分）若实数x，y满足x+y＞0，则“x＞0”是“x2＞y2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵实数x，y满足x+y＞0，若x＞0，则未必有x2＞y2；例如x＝1，y＝2时，有x2＜y2；反之，若x2＞y2，则x2﹣y2＞0，即（x+y）（x﹣y）＞0；由于x+y＞0，故x﹣y＞0，∴x＞y且x＞﹣y，∴x＞0；∴当x+y＞0时，“x＞0”推不出“x2＞y2”，“x2＞y2”⇒“x＞0”；∴“x＞0”是“x2＞y2”的必要不充分条件．故选：B．5．（5分）在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为BC的中点，点F为CD的中点，则•＝（）A．﹣1B．﹣C．﹣2D．﹣【解答】解：由条件得，||＝2，||＝1，•＝0；＝+＝+；＝+＝﹣；∴•＝（+）•（﹣）＝+＝．故选：B．6．（5分）一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：安全区域为图中阴影部分，其面积S＝2×2﹣π×12＝4﹣π，故小虫在安全区域内爬行的概率，故选：A．7．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，若将f （x）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称【解答】解：∵函数周期T＝π，即T＝＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+φ），若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，得f（x）＝2sin[2（x+）+φ）]＝2sin（2x++φ），若图象关于y轴对称．则+φ＝+kπ，即φ＝kπ﹣，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴当k＝1时，φ＝，即f（x）＝2sin（2x+），令2x+＝kπ+，k∈Z，可得：x＝﹣，k∈Z，可得：A错误；B正确．令2x+＝kπ，k∈Z，可得：x＝﹣，k∈Z，可得函数f（x）的图象的对称点为（﹣，0），k∈Z，可得：C，D均错误．故选：B．8．（5分）已知实数x，y满足，若直线kx﹣y+1＝0经过该可行域，则实数k的最大值是（）A．1B．C．2D．3【解答】解：直线kx﹣y+2＝0过定点（0，1），作可行域如图所示，，由，得B（2，4）．当定点（0，1）和B点连接时，斜率最大，此时k＝＝，则k的最大值为：故选：B．9．（5分）两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：因为：＝＝＝＝＝．故选：D．10．（5分）已知三个实数2，a，8成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y＝0B．4x±3y＝0C．x±2y＝0D．9x±16y＝0【解答】解：三个实数2，a，8成等比数列，可得a2＝16，双曲线的渐近线方程为：3x±4y＝0，故选：A．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（﹣2）＝1，则f（x﹣2）≤1的x取值范围是（）A．[0，4]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣∞，0]∪[4，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（﹣2）＝1，可得f（2）＝f（﹣2）＝1，f（x﹣2）≤1，即为f（|x﹣2|）≤f（2），可得|x﹣2|≤2，即﹣2≤x﹣2≤2，解得0≤x≤4，即x的取值范围是[0，4]．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣e，g（x）＝lnx+1，若对于∀x1∈R，∃x2∈（0，+∞），使得f（x1）＝g（x2），则x1﹣x2的最大值为（）A．e B．1﹣e C．1D．【解答】解：令f（x1）＝g（x2）＝t＞﹣e，则e﹣e＝t，lnx2+1＝t，x1＝ln（e+t），x2＝e t﹣1，令h（t）＝x1﹣x2＝ln（e+t）﹣e t﹣1，（t＞﹣e），∴h′（t）＝﹣e t﹣1，h″（t）＝﹣﹣e t﹣1＜0在（﹣e，+∞）上恒成立，∴h′（t）为（﹣e，+∞）上的减函数，又h′（0）＝﹣e﹣1＝0，∴﹣e＜t＜0时，h′（t）＞h′（0）＝0，x＞0时，h′（t）＞h′（0）＝0，∴h（t）在（﹣e，0）上递增，在（0，+∞）上递减，∴t＝0时，h（t）取得最大值h（0）＝ln（e+0）﹣e0﹣1＝1﹣．即x1﹣x2的最大值为1﹣．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若，则＝．【解答】解：∵，∴．故答案为：．14．（5分）已知向量，的夹角为，＝（﹣3，4），＝﹣10，则的模长是．【解答】解：由向量，的夹角为，＝（﹣3，4），＝﹣10，得＝||||cos＝﹣10，即||＝＝2，故答案为：2．15．（5分）△ABC的三个顶点都在球O的球面上，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，若球O 的表面积为12π，则球心O到平面ABC的距离等于1．【解答】解：△ABC的三个顶点都在球O的球面上，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，三角形的外心D在BC的中点，球O的表面积为12π，可得球的半径为：＝OB＝OA＝OC，BD＝OD＝＝1．故答案为：1．16．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos2﹣cos2（B+C）＝，（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c＝3，求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C＝π，即B+C＝π﹣A，∴4cos2﹣cos2（B+C）＝2（1+cos A）﹣cos2A＝﹣2cos2A+2cos A+3＝，∴2cos2A﹣2cos A+＝0，∴cos A＝，又0＜A＜π，∴A＝60°；（Ⅱ）由余弦定理cos A＝得：bc＝b2+c2﹣a2，∴a2＝（b+c）2﹣3bc＝9﹣3bc≥9﹣3（）2＝，∴a≥，则a的最小值为，当且仅当b＝c＝时取等号．18．（12分）2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5，7，5），[7.5，8.5）的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业附：．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（K2≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【解答】解：（1）该组数据的平均数……………………（2分）因为0.03+0.1+0.2+0.35＝0.68＞0.5，所以中位数a∈[8.5，9.5），由0.03+0.1+0.2+（a﹣8.5）×0.35＝0.5，解得；…（4分）（2）（i）每周阅读时间为[6，5，7.5）的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5，8.5）的学生中抽取6名．…………………………………（5分）理由：每周阅读时间为[6，5，7.5）与每周阅读时间为[7.5，8.5）是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1：2进行名额分配．………………………（7分）（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200×（0.03+0.1+0.2）＝66人，超过8.5小时的共有200﹣66＝134人．于是列联表为：阅读时间不足8.5小时阅读时间超过8.5小时理工类专业4060非理工类专业2674……………（9分）K2的观测值，………（11分）所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．……（12分）19．（12分）如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AE＝BE＝CD＝2，BC＝ED＝4，O为BE中点，F为BC中点．将△ABE沿BE折起到△A'BE的位置，如图2．（1）证明：CD⊥平面A'OF；（2）若平面A'BE⊥平面BCDE，求点F到平面A'EC的距离．【解答】（1）证明：图1中，可得△ABF为等边三角形，∴∠EBF＝∠AEB＝60°，∴BF＝BE＝EF＝2，∴四边形ABCE为菱形，∴AO⊥BE，FO⊥BE，∴在图2中，A′O⊥BE，FO⊥BE，又A′O∩FO＝O，∴BE⊥面A′OF．∵BC＝ED＝4，BC∥DE，∴四边形BCDE为平行四边形．∴BE∥CD，∴CD⊥A′OF；（2）解：由（1）可知A′O⊥BE，∵平面A'BE⊥平面BCDE，平面A'BE∩平面BCDE＝BE．A′O⊂面A'BE．A′O⊥面BCDE，由余弦定理可得EC＝．A＝＝4，∴A′C2＝EC2+A′E2，∴∠A′EC＝900．∴S△A′EC＝3，设B到面A′EC的距离为d，∵V B﹣A′EC＝V A′﹣BEC．∴，∴3d＝，∴d＝2，因此，F到平面A'EC的距离为．20．（12分）已知椭圆C：+＝l（a＞b＞0）过点（2，1），且离心率e＝．（l）求椭圆C的方程；（2）已知斜率为的直线l与椭圆C交于两个不同点A，B，点P的坐标为（2，1），设直线P A与PB的倾斜角分别为α，β，证明：α+β＝π．【解答】解：（1）因为椭圆C：+＝l（a＞b＞0）过点（2，1），且离心率e＝．所以，，a2＝b2+c2，解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y＝x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与椭圆的方程得2x2+4mx+4m2﹣8＝0，x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4，k P A+k PB＝＝，＝，＝，＝，所以k P A+k PB＝0，∴α+β＝π．21．（12分）已知f（x）＝e x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a＝﹣1时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝e x﹣alnx，则，切点为（1，e），所求切线方程为y﹣e＝（e﹣a）（x﹣1），即（e﹣a）x﹣y+a＝0．（2）由f（x）＝e x﹣alnx，原不等式即为e x+lnx﹣e﹣m（x﹣1）＞0，记F（x）＝e x+lnx﹣e﹣m（x﹣1），F（1）＝0，依题意有F（x）＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求导得，当x＞1时，F''（x）＞0，则F'（x）在（1，+∞）上单调递增，有F'（x）＞F'（1）＝e x+1﹣m，若m≤e+1，则F'（x）＞0，若F（x）在（1，+∞）上单调递增，且F（x）＞F（1）＝0，适合题意；若m＞e+1，则F'（1）＜0，又，故存在x1∈（1，lnm）使F'（x）＝0，当1＜x＜x1时，F'（x）＜0，得F（x）在（1，x1）上单调递减，在F（x）＜F（1）＝0，舍去，综上，实数m的取值范围是m≤e+1．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第--题记分.[选修4--4：坐标系与参数方程.]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，若直线l与曲线C相切；（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上取两点M，N与原点O构成△MON，且满足，求面积△MON的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为，∴由题意可知直线l的直角坐标方程为y＝+2，曲线C是圆心为（，1），半径为r的圆，直线l与曲线C相切，可得r＝＝2，∵曲线C的参数方程为（r＞0，φ为参数），∴曲线C的普通方程为（x﹣）2+（y﹣1）2＝4，所以曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ＝0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）不妨设M（ρ1，θ），N（ρ2，），（ρ1＞0，ρ2＞0），＝＝4sin（）sin（）＝2sinθcosθ+2＝sin2θ+＝2sin（2）+，当时，，所以△MON面积的最大值为2+．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝k|x|﹣|2x﹣1|．（1）当k＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）当x∈（0，+∞）时，f（x）+b＞0恒成立，求k+b的最小值．【解答】解（1）当k＝1时，不等式化为|x|﹣|2x﹣1|＞0，即，或，或；……………（3分）解得x∈∅，或＜x＜，或≤x＜1；综上，原不等式的解集为（，1）；……………（5分）（2）x∈（0，+∞）时，不等式f（x）+b＞0恒成立，可化为k|x|+b＞|2x﹣1恒成立；画出y＝|2x﹣1|与y＝k|x|+b的图象，如图所示；由图象知当k≥2，且b≥1时，y＝k|x|+b的图象始终在y＝|2x﹣1|的上方，……………（8分）∴k+b≥3，即k+b的最小值为3（这时k＝2，b＝1）．……………（10分）。

2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高三（下）月考数学试卷（理科）（五）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.设复数z满足z(1+i)2=4i，则复数z的共轭复数z−=()A. 2B. −2C. −2iD. 2i2.已知命题p：∀x∈R，x2−2x+3≥0；命题q：若a2<b2，则a<b，下列命题为假命题的是()A. p∨qB. p∨(￢q)C. ￢p∨qD. ￢p∨(￢q)3.已知(x3+ax)n的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中x7的系数为()A. 20B. 30C. 40D. 504.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地.”请问第三天走了()A. 60里B. 48里C. 36里D. 24里5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA，sinB，sinC成等比数列，且c=2a，则sinB的值为()A. 34B. √74C. 1D. √336.执行如图所示的程序框图，若输出的k=6，则输入整数p的最大值是()A. 32B. 31C. 15D. 167.已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如下表所示，若y关于x的线性回归方程为y∧=1.3x−1，则m的值为()x 1 2 3 4 y0.11.8m4A. 2.9B. 3.1C. 3.5D. 3.88. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ，直线y =√3x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为( ) A. √2−12B. √2−1C. √3−12D. √3−19. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 3 B. 8 C. 12 D. 1610. 通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且X ～N(3000,502).则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为( )(参考数据：若X ～N(μ,σ2)，有P(μ−σ<X ≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X ≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.0456B. 0.6826C. 0.9987D. 0.977211. 在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是( ) ①直线②圆③椭圆④抛物线A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②④12. 已知P ={α|f(α)=0}，Q ={β|g(β)=0}，若存在α∈P ，β∈Q ，使得|α−β|<n ，则称函数f(x)与g(x)互为“n 距零点函数”若f(x)=log 2020(x −1)与g(x)=x 2−ae x (e 为自然对数的底数)互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为( )A. (1e 2,4e ]B. (1e ,4e 2]C. [4e 2,2e )D. [4e 3,2e 2)二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. ∫|30x −1|dx =______．14. 已知函数y =cosx 与y =sin(2x +φ)(0<φ<π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，则φ的值是______．15.一个圆上有8个点，每两点连一条线段．若其中任意三条线段在圆内不共点，则所有线段在圆内的交点个数为______(用数字回答)．16.已知α,β,γ∈(0,π2)，且cos2α+cos2β+cos2γ=2，则cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知圆柱OO1底面半径为1，高为π，ABCD是圆柱的一个轴截面．动点M从点B出发沿着圆柱的侧面到达点D，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD绕着轴OO1逆时针旋转θ(0<θ<π)后，边B1C1与曲线Γ相交于点P．(1)求曲线Γ长度；(2)当θ=π2时，求点C1到平面APB的距离；(3)是否存在θ，使得二面角D−AB−P的大小为π4？若存在，求出线段BP的长度；若不存在，请说明理由．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n>0，S n2=a n+12−λS n+1，其中λ为常数．(1)证明：S n+1=2S n+λ；(2)是否存在实数λ，使得数列{a n}为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由．19.如图，过抛物线y2=2px(p>0)上一点P(1,2)，作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时：(1)求y1+y2的值；(2)若直线AB在y轴上的截距b∈[−1,3]时，求△ABP面积S△ABP的最大值．20.响应“文化强国建设”号召，某市把社区图书阅览室建设增列为重要的民生工程．为了解市民阅读需求，随机抽取市民200人做调查，统计显示，男士喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女士喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人．(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？(2)为引导市民积极参与阅读，有关部门牵头举办市读书交流会，从这200人中筛选出5名男代表和4名代表，其中有3名男代表和2名女代表喜欢古典文学．现从这9名代表中任选3名男代表和2名女代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.05k00.4550.7081.3232.0722.7063.84121. 已知函数f(x)=xlnx +ax +1，a ∈R ．(1)当时x >0，若关于x 的不等式f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围； (2)当n ∈N ∗时，证明：n2n+4<ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n<nn+1．22. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+t y =3−t 曲线C 的参数方程为{x =1cosϕy =2tanϕ．(1)求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；(2)若点P 的坐标为(1,1)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|⋅|PB|的值．23. (1)已知a ，b ，c 都是正实数，证明：b a +a b+c +cb ≥2；(2)已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，求a+b+c x+y+z的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由z(1+i)2=4i，得z=4i(1+i)2=4i2i=2，∴z−=2．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵x2−2x+3=(x−1)2+2>0，∴命题p：∀x∈R，x2−2x+3≥0为真命题；由a2<b2，不一定有a<b，如a=1，b=−2，则命题q：若a2<b2，则a<b为假命题．∴p∨q为真命题；p∨(￢q)为真命题；￢p∨q为假命题；￢p∨(￢q)为真命题．故选：C．利用配方法判断命题p为真，举例说明命题q为假，再由复合命题的真假判断得答案．本题考查复合命题的真假判断，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得：2n=32，(1+a)n=243，解得n=5，a=2．∴展开式中通项公式T k+1=∁5k(x3)5−k(2x)k=2k∁5k x15−4k，令15−4k=7，解得k=2．∴x7的系数=22∁52=40．故选：C．由题意可得：2n=32，(1+a)n=243，解得n，a.再利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】 【分析】本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．由题意得：每天行走的路程成等比数列{a n }、且公比为12.由条件和等比数列的前项和公式求出a 1，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【解答】解：由题意得，每天行走的路程成等比数列{a n }，且公比为12， ∵6天后共走了378里，∴S 6=a 1(1−126)1−12=378，解得a 1=192，∴第三天走了a 3=a 1×(12)2=192×14=48． 故选B ．5.【答案】B【解析】解：由题意可得，sin 2B =sinAsinC ， 由正弦定理可得，b 2=ac ， 又c =2a ，则可得b =√2a ， 由余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac =a 2+4a 2−2a 24a 2=34，所以sinB =√1−916=√74．故选：B ．由已知结合正弦定理可得a ，b ，c 的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题．6.【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 S k 循环前/1 1第二圈 是 4 3 第三圈 是 8 4 第四圈 是 16 5 第五圈 是 32 6 第六圈 否可得：范围16<p ≤32，即输入整数p 的最大值是32． 故选：A ．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环计算变量k 的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图(或伪代码)，从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.【答案】B【解析】解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y ∧=1.3x −1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4=4×2.25， ∴m =3.1． 故选B ．利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解．本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 可解得点A 、B 坐标，由AF ⊥BF ，得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，把b 2=a 2−c 2代入该式整理后两边同除以a 4，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围．解：由{x 2a 2+y 2b 2=1y =√3x，消y 可得(3a 2+b 2)x 2=a 2b 2， 解得x =√3a 2+b 2，分别代入y =√3ab√3a 2+b 2，∴A(√3a 2+b 2√3ab √3a 2+b 2)，√3a 2+b 2√3ab√3a 2+b 2)， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c √3a 2+b2√3ab√3a 2+b 2)，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c +√3a 2+b2√3ab√3a 2+b 2)，∴AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =c 2−a 2b 23a 2+b2−3a 2b 23a 2+b 2=0，∴c 2=4a 2b 23a 2+b 2，(1)把b 2=a 2−c 2代入(1)式并整理得4a 2c 2−c 4=4a 2(a 2−c 2)， 两边同除以a 4并整理得e 4−8e 2+4=0，解得e 2=4−2√3， ∴e =√3−1， 故选：D ．9.【答案】D【解析】解：∵在△ABC 中，AD ⊥AB,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =[AB⃗⃗⃗⃗⃗ +4(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )]⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0+4×22=16； 故选：D ．结合已知得到AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 代入数量积的计算即可 本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．10.【答案】D【解析】解：P(X ≤3100)=P(X ≤3000+2×50)=1−12[1−P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)]=0.9772，利用正态分布的对称性来求解．本题考查正态分布的应用，属于基础题目．11.【答案】A【解析】解：设电线杆的下端分别为B，D且高度分别为a，b以B为原点，BD所在直线为y轴建系，由仰角的正切相等知a|PD|=b|PB|，设D(0,t)P(x,y)⇒a√x2+(y−t)2)=b√x2+y2则当a=b时，点P的轨迹为BD的垂直平分线，当a≠b时，点P的轨迹为圆，故选：A．先根据题意画出示意图，将题中仰角相等转化成比例式，从而得到线段相等，进而建立空间直角坐标系，化简即可得到点的轨迹本题的考点是圆锥曲线的轨迹问题，主要考查曲线方程的建立，考查方程与曲线的关系，解题的关键是“仰角相等”转化成比例式12.【答案】B【解析】解：易知函数f(x)只有一个零点2，故P={2}，由题意知|2−β|<1，即1<β<3.由题意知，函数g(x)在(1,3)内存在零点，由g(x)=x2−ae x=0，得x2=ae x，所以a=x2e x .记ℎ(x)=x2e x(x∈(1,3))，则ℎ′(x)=2xe x−e x x2(e x)2=x(2−x)e x,x∈(1,3)．所以当x∈(1,2)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增；当x∈(2,3)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减；所以ℎ(x)≤ℎ(2)=4e2，而ℎ(1)=1e,ℎ(3)=9e3>1e,1e<ℎ(x)≤ℎ(2)=4e2，所以实数a的值范围为(1e ,4e2]．故选：B．由g(x)=x2−ae x=0，得x2=ae x，即a=x2e x .构造函数ℎ(x)=x2e x(x∈(1,3))，结合导数可判断单调性，进而可求．本题主要考查了利用但是研究函数的单调性求解函数的最值，属于中档试题13.【答案】52【解析】解：∫|30x−1|dx=∫(11−x)dx+∫(31x−1)dx=(x−12x2)|01+(12x2−x)|13=52．故答案为：52将：∫|30x−1|dx转化成∫(11−x)dx+∫(31x−1)dx，然后根据定积分的定义先求出被积函数的原函数，然后求解即可．本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．14.【答案】π3【解析】解：函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)，它们的图象有一个横坐标为π6的交点，所以cosπ6=√32=sin(2×π6+φ)，所以：φ=π3(0<ϕ<π2)．故答案为：π3．直接利用函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】70【解析】解：在圆上任取4个点，组成一个凸四边形，该四边形的两条对角线在圆内恰有一个交点，故交点个数为C84=70．故答案为：70要求交点个数，等价转化为将8个点任意取4个分为一组，总共有多少组．由此结合排列组合公式加以计算，可得本题答案本题给出圆上的8个同的点，求经过其中任意两点作弦在圆内所得交点个数．着重考查了圆的性质和排列组合公式等知识，属于基础题16.【答案】√2【解析】解：由题意，知sin2α+sin2β+sin2γ=1，由基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin2α+sin2β)=√2cosγ，同理sinβ+sinγ≤√2(sin2β+sin2γ)=√2cosα，sinγ+sinα≤√2(sin2γ+sin2α)=√2cosβ，≥√2．上述式子相加可得cosα+cosβ+cosγsinα+sinβ+sinγ所以cosα+cosβ+cosγ的最小值为√2．sinα+sinβ+sinγ故答案为：√2．根据基本不等式可知sinα+sinβ≤√2(sin2α+sin2β)=√2cosγ，同理可得sinβ+ sinγ≤√2cosα，sinγ+sinα≤√2cosβ，进一步求出cosα+cosβ+cosγ的最小值．sinα+sinβ+sinγ本题考查了基本不等式和同角三角函数的基本关系，考查了转化思想，属基础题．17.【答案】解：(1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD．由于AB=πr=π，AD=π，所以这实际上是一个正方形．所以曲线Γ的长度为BD=√2π.(2)当θ=π时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，2故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．连接AP、BP，OP．由AB⊥B1P且AB⊥A1B1知：AB⊥平面APB，从而平面A1B1P⊥平面APB．作B1H⊥OP于H，则B1H⊥平面APB，所以B1H即为点B1到平面APB的距离．在Rt△OB1P中，OB1=1,B1P=B̂B1=π2，所以OP=√12+(π2)2=√π2+42．于是：B1H=OB1×B1POP=1×π2√π2+42=π√π2+4．所以，点C1到平面APB的距离为π√π2+4．(3)由于二面角D−AB−B1为直二面角，故只要考查二面角P−AB−B1是否为π4即可．过B1作B1Q⊥AB于Q，连接PQ．由于B1Q⊥AB，B1P⊥AB，所以AB⊥平面B1PQ，所以AB⊥PQ．于是∠PQB1即为二面角P−AB−B1的平面角．在Rt△PB1Q中，B1Q=sinθ,B1P=B̂B1=θ．若∠PQB1=π4，则需B1P=B1Q，即sinθ=θ．令f(x)=sinx−x(0<x<π)，则f′(x)=cosx−1<0，故f(x)在(0,π)单调递减．所以f(x)<f(0)=0，即sinx<x在(0,π)上恒成立．故不存在θ∈(0,π)，使sinθ=θ．也就是说，不存在θ∈(0,π)，使二面角D−AB−B1为π4．【解析】(1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线Γ就是对角线BD，从而可求曲线Γ长度；(2)当θ=π2时，点B1恰好为AB的中点，所以P为B1C1中点，故点C1到平面APB的距离与点B1到平面APB的距离相等．(3)由于二面角D−AB−B1为直二面角，故只要考查二面角P−AB−B1是否为π4即可．本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：∵a n+1=S n+1−S n，S n2=a n+12−λS n+1，∴S n2=(S n+1−S n)2−λS n+1，∴S n+1(S n+1−2S n−λ)=0，∴a n>0，∴S n+1>0，∴S n+1−2S n −λ=0；∴S n+1−2S n +λ(2)解：∵S n+1=2S n +λ，S n =2S n+1+λ(n ≥2)，相减得：a n+1=2a n (n ≥2)，∴{a n }从第二项起成等比数列， ∵S 2=2S 1+λ即a 2+a 1=2a 1+λ， ∴a 2=1+λ>0得λ>−1， ∴a n ={1,n =1(λ+1)2n−2,n ≥2，若使{a n }是等比数列则a 1a 3=a 22，∴2(λ+1)=(λ+1)2，∴λ=1经检验得符合题意．【解析】(1)利用已知条件通过a n+1=S n+1−S n ，推出S n+1(S n+1−2S n −λ)=0，然后证明：S n+1=2S n +λ；(2)求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可．本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力．19.【答案】解：(1)点P(1,2)为抛物线y 2=2px(p >0)上一点，可得2p =4，即p =2，可得抛物线的方程为y 2=4x ，由题意可得y 12=4x 1，y 22=4x 2，k PA +k PB =y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=y 1−2y 124−1+y 2−2y 224−1=4y1+2+4y 2+2=0，则y 1+y 2=−4；(2)由题意可得y 12=4x 1，y 22=4x 2，相减可得(y 1−y 2)(y 1+y 2)=4(x 1−x 2)，则k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1，可设直线AB 的方程为y =−x +b(b ∈[−1,3])，联立抛物线方程y 2=4x ，可得x 2−(2b +4)x +b 2=0，△=(2b +4)2−4b 2=16(1+b)>0，且x 1+x 2=2b +4，x 1x 2=b 2， 则|AB|=√1+1⋅|x 1−x 2|=√2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(2b +4)2−4b 2=4√2√1+b ，P(1,2)到直线AB 的距离为d =√2=√2，可得S △ABP =12|AB|⋅d =2(3−b)√1+b =√2⋅√(2+2b)(3−b)2≤√2⋅√(2+2b+3−b+3−b 3)3=32√39，当且仅当2+2b =3−b ，即b =13时，上式取得等号， 则S △ABP 的最大值为32√39．【解析】(1)由P 在抛物线上，将P 的坐标代入抛物线方程可得p ，进而点到抛物线方程，再由A ，B 的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；(2)由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB 的斜率，设直线AB 的方程为y =−x +b(b ∈[−1,3])，联立抛物线方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值．本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据所给条件，制作列联表如下：所以K 2的观测值k =n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(64×44−56×36)2120×80×100×100=43，因为K 2的观测值k =43>1.323，由所给临界值表可知，在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；(2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ=m +n ， 根据已知条件可得ξ=1，2，3，4，5， P(ξ=1)=P(m =1,n =0)=C 31C 22C 53⋅C 22C 42=120，P(ξ=2)=P(m =1,n =1)+P(m =2,n =0)=C 31C 22C 53⋅C 21C 21C 42+C 21C 32C 53⋅C 22C 42=310，P(ξ=3)=P(m =1,n =1)+P(m =2,n =1)+P(m =3,n =0)=C 31C 22C 53+C 32C 21C 53+C 20C 32C 53⋅C 22C 42=715，P =(ξ=4)=P(m =2,n =2)+P(m =3,n =1)=C 32C 21C 53⋅C 22C 42+C 20C 33C 53⋅C 21C 21C 42=16；P(ξ=5)=P(m =3,n =2)=C 20C 33C 53⋅C 22C 42=160，所以ξ的分布列是：所以Eξ=1×120+2×310+3×715+4×16+5×160=145．【解析】(1)根据所给条件，制作列联表，求出K 2的观测值k =43>1.323，由所给临界值表得在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关． (2)设参加的交流会的5人中喜欢古典文学的男代表m 人，女代表n 人，则ξ=m +n ，根据已知条件可得ξ=1，2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)≥0，得xlnx +ax +1≥0(x >0)．整理，得−a ≤lnx +1x 恒成立，即−a ≤(lnx +1x )min ． 令F(x)=lnx +1x .则F′(x)=1x −1x 2=x−1x 2．∴函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增． ∴函数F(x)=lnx +1x 的最小值为F(1)=1． ∴−a ≤1，即a ≥−1． ∴a 的取值范围是[−1,+∞)．(2)∵n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n 项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n 项和． ∴只需证明1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n<1n(n+1)即可．由(1)，当a =−1时，有xlnx −x +1≥0，即lnx ≥x −1x ． 令x =n+1n>1，即得lnn+1n>1−n n+1=1n+1．∴ln 2n+1n>(1n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2．现证明ln 2n+1n<1n(n+1)，即2ln√n+1n<√n √n+1=√n √n+1=√n+1n−√n n+1.(∗)现证明2lnx <x −1x (x >1)．构造函数G(x)=x −1x −2lnx(x ≥1)， 则G′(x)=1+1x 2−2x=x 2−2x+1x 2≥0．∴函数G(x)在[1,+∞)上是增函数，即G(x)≥G(1)=0． ∴当x >1时，有G(x)>0，即2lnx <x −1x 成立． 令x =√n+1n，则(∗)式成立．综上，得1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n <1n(n+1)．对数列{1(n+1)(n+2)}，{ln 2n+1n}，{1n(n+1)}分别求前n 项和，得n2n+4<ln 22+ln 232+⋯+ln 2n+1n<nn+1．【解析】(1)由f(x)≥0，得xlnx +ax +1≥0(x >0).整理，得−a ≤lnx +1x 恒成立，即−a ≤(lnx +1x )min .令F(x)=lnx +1x .利用导数研究其单调性极值与最值即可得出． (2)由n2n+4为数列{1(n+1)(n+2)}的前n 项和，nn+1为数列{1n(n+1)}的前n 项和．因此只需证明1(n+1)(n+2)<ln 2n+1n<1n(n+1)即可．由(1)，当a =−1时，有xlnx −x +1≥0，即lnx ≥x −1x .令x =n+1n>1，即得lnn+1n>1−n n+1=1n+1.可得ln 2n+1n>(1n+1)2>1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2． 现证明ln 2n+1n<1n(n+1)，即2ln√n+1n<√n √n+1=√n √n+1=√n+1n−√nn+1.通过构造函数利用导数研究函数的单调性极值即可证明2lnx <x −1x (x >1)．本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、方程与不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)直线l 的普通方程为x +y −2=0，曲线C 的普通方程为x 2−y 24=1，故曲线C 的右顶点(0,1)到直线l 的距离d =√22．(2)将直线l 的参数方程改为{x =1−√2t2y =1+√2t2，并代入x 2−y 24=1，得3t 2−10√2t −2=0，设其两根为t 1，t 2，则t 1+t 2=10√23，t 1t 2=−23，∴|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|=23．【解析】(1)先求出直线l 和曲线C 的普通方法，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；(2)将直线l 的方程改写为{x =1−√2t2y =1+√2t2，然后代入曲线C 中，再根据|PA|⋅|PB|=|t 1t 2|求出|PA|⋅|PB|的值．本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题．23.【答案】解：(1)由三元基本不等式知，b a +a b+c +c b =b a +a b+c +b+c b−1≥3√ba ⋅a b+c⋅b+c b−1=2，当且仅当b a =a b+c =b+c b时取等号，∴b a +a b +c +c b≥2.. (2)由柯西不等式可得(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz)2， ∵{a 2+b 2+c 2=4x 2+y 2+z 2=9ax +by +cz =6，结合上述不等式取等号， 可设ax =by =cz =k(k >0)，即a =kx ，b =ky ，c =kz ， ∴a 2+b 2+c 2=k 2(x 2+y 2+z 2)，∴4=9k 2，∴k =23， ∴a+b+cx+y+z =k =23．【解析】(1)直接利用三元基本不等式求出b a +a b+c +c b 的最小值，即可证明b a +a b+c +cb ≥2； (2)柯西不等式可得(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)≥(ax +by +cz)2，再结合方程组即可得到a ，b ，c 之间的关系，进一步求出a+b+cx+y+z 的值．本题考查了利用基本不等求最值和柯西不等式的应用，考查了转化思想，属中档题．。

雅礼中学2025届高三上学期入学考试试卷数 学时量：120分钟 分值：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 已知集合{}240A x x =-≤，则A =N （ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22、 ）A B C D3、 （暑假作业原题）若正数x ，y 满足 ²20x xy -+=，则x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．4D ．6【答案】C【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解.4、过椭圆22:1169x yC+=的中心作直线l交椭圆于,P Q两点，F是C的一个焦点，则PFQ△周长的最小值为（）A．16 B．14 C．12 D．10所以PFQ△的周长为PF当线段PQ为椭圆短轴时，故选：B5、已知圆C的方程为22(2)x y a+-=，则“2a>”是“函数y x=的图象与圆C有四个公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B6、 （暑假作业原题）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，若0()()P X k P X k == ，则0(k = )A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下，则小球落入格子的号码X 服从二项分布，且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,)2X B ，则10101()()(02kP X k C k ===，1，2...，10)，然后由二项式系数对称性即可得解．【解答】解：小球在下落过程中，共10次等可能向左或向右落下， 则小球落入格子的号码X 服从二项分布， 且落入格子的号码即向右次数，即1~(10,2X B ，所以10101010111()()(1()(0222k k k kP X k C C k -==-==，1，2...，10)，由二项式系数对称性知，当5k =时，10kC 最大，故05k =． 故选：B ．【点评】本题考查了二项分布及二项式系数的性质的应用，属于中档题．7、 （教材原题）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( ) A ．70B ．64C ．60D ．58【分析】从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面，用所有的结果减去不合题意的结果，得到结论．【解答】解：首先从8个顶点中选4个，共有48C 种结果，在这些结果中，有四点共面的情况，6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， ∴满足条件的结果有4488661258C C --=-=．故选：D ．【点评】本题是一个排列问题同立体几何问题结合的题目，是一个综合题，这种问题实际上是以排列为载体考查正方体的结构特征．8、 （暑假作业原题）已知定义域为R 的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()2()0f x f x '-<，(0)1f =，则( )A ．2(1)1e f -<B ．()21f e >C ．1(2f e >D ．1(1)(2f ef <【分析】构造函数2()()xf xg x e =，由()2()0f x f x '-<得()0g x '<，进而判断函数()g x 的单调性，判断各选项不等式．【解答】解：2()()x f x g x e=，则22222()2()()2()()()x x x x f x e f x e f x f x g x e e '⋅-'-'==， 因为()2()0f x f x '-<在R 上恒成立，所以()0g x '<在R 上恒成立，故()g x 在R 上单调递减， 所以220(1)(0)(1)(0),(1)1f f g g e f e e --->=->=，故A 不正确； 所以g （1）(0)g <，即20(1)(0)f f e e<，即f （1）22(0)e f e <=，故B 不正确；1()(0)2g g <，即101()(0)21f f e e<=，即1(2f e <，故C 不正确；1()(1)2g g >，即121()(1)2f f e e >，即1(1)()2f ef <，故D 正确．故选：D ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数思想，属中档题．二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9、 已知复数12,z z ，下列说法正确的是（ ）A ．若12=z z ，则2212z z =B ．1212z z z z =C ．1212z z z z -≤+D ．1212z z z z +≤+10、 已知函数()ππ)02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭，函数()()12g x f x =+的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的表达式可以写成()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数 C ．()()1h x f x =+的对称中心ππ,182k ⎛⎫-+⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11、 如图，过点(C a ，0)(0)a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有( )A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MON S S ∆∆=D ．24MCN ANC BCM S S S ∆∆∆=⋅【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解．【解答】解：对于A ，令直线:AB x my a =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则△2(2)80pm pa =+>，122y y pa =-，122y y pm +=， 则21212()222x x m y y a pm a +=++=+， 则1111,:OA y y k OA y x x x ==则直线，∴11(,)ayM a x --，故12211122212220()BMay pay y x y y y pak x a x a y x a +++====+++， 同理0AN k =，//BM AN ∴，故A 正确； 对于B ，如图，设AB 中点1212(,22x x y y Q ++，即2(Q pm a +，)pa -，则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+， 以AB为直径的圆的半径12||||2AB y y =-=，所以222||(2)(2)4AB d p a a p m -=+-， 当2pa =时相切，当2p a ≠时不相切，故B 错误；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，PON AOC S S ∆∆=，MOP BOC S S ∆∆=， 则PON MOP AOC BOC S S S S ∆∆∆∆+=+，则AOB MON S S ∆∆=，故C 正确； 对于D ，112211(),()22ANC BCM S x a y S x a y ∆∆=+=-+，则1212121211()()(2)(2)44ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ∆∆⋅=-++=-++221212121[2()4]4m y y am y y a y y =-+++22221[(2)2(2)4](2)(2)4m pa am pm a pa pa pm a =--++-=+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y ∆∆∆=+=⋅-=-， 所以2222222121212()[()4]4(2)4MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ∆∆∆=-=+-=+=⋅，故D 正确．故选：ACD ．【点评】本题考查了已知两点求斜率，由斜率判断两条直线平行，判断直线与圆的位置关系，根据韦达定理求参数，属于中档题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12、 已知随机变量X 服从正态分布()25,N σ，若(56)0.27P X <≤=，则(4)P X <= .13、 已知向量()sin ,cos a θθ=，()3,1b =，若a b ∥，则2sin sin 2θθ+的值为 .14、 设0k ＞，若存在正实数x ，使得不等式14log 20kx x k --⋅≥成立，则k 的最大值为 .四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15、 （13分）平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形ABCD 的顶点在同一平面上，已知2,AB BC CD AD ====(1)当BD cos A C -是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．(2)记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，请求出2212S S +的最大值．【答案】cos A C -为定值，定值为1 (2)14【详解】（1）法一：在ABD △中，由余弦定理222cos 2+-=⋅AD AB BD A AD AB，得cos A =2168BD A -=①， 同理，在BCD △中，22222cos 222BD C +-=⨯⨯，即28cos 8BD C -=②，①-②cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；法二：在ABD △中，由余弦定理2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅得222222cos BD A =+-⨯⨯，即216BD A =-，同理，在BCD △中，2222cos 88cos BD CD CB CD CB C C =+-⋅=-，所以1688cos A C -=-1cos A C -=cos 1A C -=，所以当BD cos A C -为定值，定值为1；（2）222222221211sin sin 44S S AB AD A BC CD C +=⋅⋅+⋅⋅ 222212sin 4sin 12sin 44cos A C A C =+=+-2212sin 41)A A =+--224cos 12A A =-++，令()cos ,1,1A t t =∈-，所以2224122414y t t ⎛=-++=-+ ⎝⎭，所以t =cos A = 2212S S +有最大值为14．16、 （15分）（暑假作业原题）函数()e 4sin 2xf x x λλ=-+-的图象在0x =处的切线为3,y ax a a =--∈R .（1）求λ的值；（2）求()f x 在(0,)+∞上零点的个数. 解析【小问1详解】因为()e 4sin 2,()e 4cos x x f x x f x x λλλλ'=-+-=-， 所以(0)4f λ'=-，所以切线斜率为4λ-，即4a λ=-， 所切线方程为()41y x λλ=--+又(0)1f λ=-，所以切点坐标为(0,1)λ-，代入得 则11λλ-=-+，解得1λ=.【小问2详解】由（1）得()e 4sin 1,()e 4cos x x f x x f x x '=--=-， 令()()e 4cos xg x f x x ==-'，则()e 4sin xg x x =+'，当πx ≥时，()e 4cos 0x f x x '=->恒成立，所以()f x 在[)π,+∞上递增， 所以ππ()(π)e 4sin 1e 50f x f x ≥=--≥->， 因此()f x 在[π,)+∞无零点；当0πx <<时，()e 4sin 0xg x x '=+>恒成立，所以()f x '单调递增，又π(0)30,(π)e 40f f ''=-<=+>， 所以()f x '在(0,π)上存在唯一的零点0x ， 当()00,,()0,()∈<'x x f x f x 单调递减；当()0,π,()0,()x x f x f x '∈>单调递增；又()0(0)0,(0)0f f x f =<=，π(π)e 10f =->， 因此()f x 在(0,π)上仅有1个零点； 综上，()f x 在(0,)+∞上仅有1个零点.17、 （15分）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【详解】（1）因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ⊥； 在ABD △和CBD △中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D ∠=∠==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥； 又因为,DE BE ⊂平面BED ，DE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面BED ， 因为AC 平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD .（2）连接EF ，由（1）知，AC ⊥平面BED ，因为EF ⊂平面BED ， 所以AC EF ⊥，所以1=2AFC S AC EF ⋅△，当EF BD ⊥时，EF 最小，即AFC △的面积最小. 因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB ∠=︒，所以ABC 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =AD CD ⊥，所以112DE AC ==, 在DEB 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ⊥.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -， 则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z = ，则0n AD x z n AB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y =()n =，又因为()31,0,0,4C F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34CF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以cos ,n CF n CF n CF⋅===， 设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02πθθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以sin cos ,n CF θ==CF 与平面ABD(1)求C 的方程；(2)记双曲线C 的左右顶点分别为1A ，2A ，直线1A M ，2A N 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值. (3)探究圆E ：224410x y x y +---=上是否存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线1l ，2l 互相垂直.【答案】(1)22143x y -=； (2)13-； (3)存在.【详解】（1）由对称性知，双曲线C 过点(4,3)，则221691b a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以双曲线C 的方程为22143x y -=. （2）由（1）得12(2,0),(2,0)A A -，设()()1122,,,M x y N x y ， 显然直线MN 不垂直于y 轴，设直线MN 的方程为4x my =+， 由2243412x my x y =+⎧⎨-=⎩消去x 得220(34)2436m y my -++=， 显然22340,144(4)0m m -≠∆=+>，1212222436,3434m y y y y m m -+==--， 则121223my y y y +=-，即()121232my y y y =-+，所以()()()()11212112212222222262y y x y my k x y k x y y my x -++===++-()()1211211221223221236362y y y my y y my y y y y y -+++===-+-++.（3）圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直. 若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为0， 设双曲线的两条切线分别为1122,y k x n y k x n =+=+，将y kx n =+代入22143x y -=消去y 得：22(3484120)k knx n ----=，由0'∆=得()()2222644344120k n k n +-+=，解得2243n k =-，因此2222112243,43n k n k =-=-，设两条切线的交点坐标为()00,x y ，则01010202y k x n y k x n -=⎧⎨-=⎩，即有()22010143y k x k -=-，且()22020243y k x k-=-，即()()2222220100100200204230,4230x k x y k y x k x y k y --++=--++=， 于是12,k k 是方程()22200004230x k x y k y --++=的两根，而121k k =-，则2020314y x +=--，即22001x y +=，从而两条切线们交点的轨迹为圆221x y +=， 而221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径为1，圆222:(2)(2)3E x y -+-=的圆心(2,2)E ，半径为3，显然||OE ==，满足31||31OE -<<+，即圆O 与圆E 相交，所以圆22:4410E x y x y +---=上存在点S ，使得过S 作双曲线的两条切线互相垂直.19、 （17分）对于数列{}n a ，如果存在等差数列{}n b 和等比数列{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N ，则称数列{}n a 是“优分解”的．(1)证明：如果{}n a 是等差数列，则{}n a 是“优分解”的．(2)记()2*11ΔΔΔΔn n n n n n a a a a a a n ++=-=-∈N ，，证明：如果数列{}n a 是“优分解”的，则()2*Δ0n a n =∈N 或数列{}2Δn a 是等比数列．(3)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，如果{}n a 和{}n S 都是“优分解”的，并且123346a a a ===，，，求{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)122n n a -=+【详解】（1）{}n a 是等差数列，∴设()()111111n a a n d a n d ⎡⎤=+-=-+-+⎣⎦， 令()111,1n n b a n d c =-+-=，则{}n b 是等差数列，{}n c 是等比数列，所以数列{}n a 是“优分解”的．（2）因为数列{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，则()12121111Δ1,ΔΔΔ(1)n n n n n n n n a a a d c q q a a a c q q --++=-=+-=-=-． 当1q =时，()2*Δ0n a n =∈N ；当1q ≠时，{}2Δn a 是首项为21(1)c q -，公比为q 的等比数列． （3）一方面， 数列{}n S 是“优分解”的，设()*n n n S B C n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n B B n D C C Q C Q -=+-=≠≠，由（2）知2121Δ(1)n n S C Q Q -=-因为12122323Δ4,Δ6S S S a S S S a =-===-==，所以2121ΔΔΔ2S S S =-=．{}221(1)2,1,Δn C Q Q S ∴-=∴≠∴是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列．另一方面，因为{}n a 是“优分解”的，设()*n n n a b c n =+∈N ，其中()()11111,0,0n n n b b n d c c q c q -=+-=≠≠，()2111211Δ,ΔΔΔ1n n n n n n n n n n S S S a S S S a a d c q q +++++=-==-=-=+- {}2Δn S 是首项为2，公比为()1Q Q ≠的等比数列， 0,1q q ∴≠≠，且()()()2222213ΔΔΔS S S =⋅，()()()223111111d c q q d c q q d c q q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+-=+-⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦化简得()311111(1)0,0,0,1,0,Δ1n n n n c dq q c q q d a a a c q q -+-=≠≠≠∴=∴=-=- ，即数列{}Δn a 是首项121Δ1a a a =-=，公比为q 的等比数列． 又232Δ2,2a a a q =-=∴= ，又()211Δ2,12,0,2,S d c q q d q =∴+-===∴ 解得11111,312c b a c =∴=-=-=，综上所述，()1111122n n n a b n d c q --=+-+=+．。

湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高二下学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数421i z i+=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815 B ．18 C ．115 D ．1303．函数3()2f x x ax a =-+在(0,1)内有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．(0,3) B ．(,3)-∞ C ．(0,)+∞ D ． 4．已知2:0- <<="" a="" b="" bdsfid="103" c="" d="" p="" x="" 的一个必要不充分条件是（="" ）="" ，那么命题p="" ．01x="" ．11x="" ．1223x="" ．122<="">x << 5．在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有( ) A ．512个B ．192个C ．240个D ．108个 6．已知函数()22cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线M 的焦点12,F F 在x 30y +=是双曲线M 的一条渐近线，点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，如果抛物线2 16y x =的准线经过双曲线M的一个焦点，那么12||||PF PF ?=（） A ．21 B ．14 C ．7 D ．08．有六名同学参加演讲比赛，编号分别为1，2，3，4，5，6，比赛结果设特等奖一名，A ，B ，C ，D 四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A 说：不是1号就是2号获得特等奖；B 说：3号不可能获得特等奖；C 说：4，5，6号不可能获得特等奖；D 说：能获得特等奖的是4，5，6号中的一个.公布的比赛结果表明，A ，B ，C ，D 中只有一个判断正确.根据以上信息，获得特等奖的是（）号同学.A ．1B ．2C ．3D ．4，5，6号中的一个 9．ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，且()03g =，则不等式()()0f x g x <的解集是（） A ．()()3,03,-?+∞ B ．()()3,00,3- C ．()(),33,-∞-+∞ D ．()(),30,3-∞- 11．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式为R(x)= 21400x ,0400,{?280000,400,x x x -≤≤>则总利润最大时，每年生产的产品是 ( )A ．100单位B ．150单位C ．200单位D ．300单位12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．2二、填空题13．双曲线221x y -=的离心率为14．如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，90PAD ∠=?，且2PA AD ==，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为______.15．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有______种不同的站法.16．已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =________三、解答题17．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N =-+∈,求{}n b 的前n 项和n S .18．已知函数()()22sin cos cos x x f x x x R x --∈=.（1）求23f π?? ???的值. （2）求()f x 的单调递增区间.19．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：（1）请利用所给数据求不“礼让斑马线”驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ybx a =+，并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”驾驶员人数；（2）若从表中1月份和4月份的不“礼让斑马线”驾驶员中，采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本，再从这7人中任选2人进行交规调查，求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式：()()()1 122211?n n i i i ii i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑，??a y bx =-. 参考数据：511415ii i x y ==∑.20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中,60DAB ∠=，点,E F 分别是,CD CB 的中点，AC EF O ?=，沿EF 将CEF ?翻折到PEF ?，连接,,PA PB PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA （2）求二面角--B AP O 的余弦值.21．如图所示，在直角坐标系xOy 中，点11,2P ?? ???到抛物线C ：()220y px p =>的准线的距离为54.点(),1M t 是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点(),Q m n 在直线OM 上.（1）求曲线C 的方程及点M 的坐标；（2）记()d m =，求弦长AB （用m 表示）；并求d 的最大值.22．已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---，1()x g x xe -=，（,a R e ∈为自然对数的底数）.（1）若不等式()0f x >对于一切1(0,)2x ∈恒成立，求a 的最小值；（2）若对任意的0(0,]x e ∈，在(0,]e 上总存在两个不同的i x (1,2)i =，使0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围.参考答案1．D【分析】利用复数的除法运算化简出3322z i=-，即可得出对应点，便可得所在象限.【详解】解：∵41i=，∴复数()()()31213311122iz ii i i-+===-++-，即3322z i=-，则对应点坐标为33,22-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2．C【解析】试题分析：开机密码的可能有(,1),(,2),(,3),(,4),(,5),(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)M M M M M I I I I I，(,1),(,2),(,3),(,4),(,5)N N N N N，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是115，故选C．【考点】古典概型【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式()mP An=（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的．3．D【解析】试题分析：对于函数，求导可得，∵函数在（0，1）内有极小值，∴，则其有一根在（0，1）内，a ＞0时，3x 2-2a=0两根为±，若有一根在（0，1）内，则0＜＜1，即0＜a ＜．a=0时，3x 2-3a=0两根相等，均为0，f （x ）在（0，1）内无极小值．a ＜0时，3x 2-3a=0无根，f （x ）在（0，1）内无极小值，综合可得，0＜a ＜．考点：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法．4．B【详解】解: p ：x 2－x <0的充要条件为0<x<="" bdsfid="270" p=""></x【解析】试题分析：由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有个；第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有个，第2小类：含0的，有个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数有60+48=108个，故选D ．考点：排列组合．6．A【分析】先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.【详解】()()()22cos 22sin 22cos 0f x x x f x x x f x x '''=+∴=-∴=-≥因此当0x =时，()0f x '=；当0x >时，()()00f x f ''>=；当0x <时，()()00f x f ''<=；故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题. 7．B【解析】试题分析：因为双曲线M 的焦点12,F F 在x 轴上，所以设双曲线方程为，因为抛物线的准线过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为730x y +=，所以，解得；因为点P 在双曲线M 上，且120PF PF ?=，所以，解得；故选B ．考点：1.双曲线的定义和几何性质；2.抛物线的几何性质．8．C【分析】因为只有一人猜对，而C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，再分类讨论，综合分析即可得出结论.【详解】解：因为C ，D 互相否定，故C ，D 中一人猜对，假设D 对，则B 也对与题干矛盾，故D 错，猜对者一定是C ，于是B 一定猜错，A 也错，则获得特等奖的是：3号同学.故选：C.【点睛】本题考查合情推理的应用，同时考查推理能力、分析和解决问题的能力，属于基础题. 9．C【解析】分析：利用面积公式12ABC S absinC =和余弦定理2222a b c abcosC +-=进行计算可得．详解：由题可知222124ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=所以sinC cosC =()C 0,π∈C 4π∴=故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．10．A【分析】构造函数()()()g x F x f x =，根据已知条件，可判断出()F x 的奇偶性和单调性，且()()330F F =-=，将求不等式()()0f x g x <的解集，转化成求()0F x <的解集，即可得出答案.【详解】解：根据题意，设函数()()()g x F x f x =，由于当0x <时，()()()()''0f x g x f x g x ->，即：()()()()''0g x f x g x f x -<所以()()()()()()2'0'g x f x g x f F x f x x '=则()F x 在(),0-∞上为减函数，因为()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，则()()()()()()g x g x F x F x f x f x -===---，所以()F x 在R 上为奇函数，则()F x 在()0,+∞上也为减函数，由于()03g =，所以()()()3303g F f ==，即()30F =，()30F -=，因为()()()()()()()22g x f x g x f x f x F x f x =?=?，要求不等式()()0f x g x <，即求()0F x <，解得：30x -<<或3x >，则不等式()()0f x g x <的解集为：()()3,03,-?+∞.故选：A.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，结合运用函数的奇偶性解不等式，还考查构造函数的思想及等价转化思想，属于中档题.11．D【分析】利用总收益与成本的差可得总利润关于x 的解析式，利用分段函数的性质，分别求出两段函数的最值，从而可得结果.【详解】设总成本为C 元，总利润为P 元，则C=20000+100x ，P=R-C=2x 30020000,0400,{260000100,400,x x x x --≤≤->所以P′=300,0400,{100,400,x x x -≤≤-> 令P′=0，得x=300．当0<x0；当x>300时，P′<0．所以当x=300时，P 取得最大值，故选D ．</x【点睛】本题考查的是函数模型的应用．解决函数模型应用的解答题，要注意以下几点：①读懂实际背景，将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆要准确．③在求解的过程中计算要正确．另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解． 12．B【解析】因为2c e a ==，所以2c a =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()y k x =-，联立2222(){41y k x x y a a =+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k a x x x x k-+==+ 因为3AF FB =，所以1122(,)3(,)22a x y x a y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12()3()2323a x a x -=?-，即2133x x a -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -?==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k =B 13【解析】思路分析：由题可得，故离心率考点：此题考查双曲线离心率的计算.点评：简单题，知道离心率的计算公式即可解答.14【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，求出()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，再利用向量法求异面直线的夹角公式求出结果.【详解】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则()0,0,1E ，()1,2,0F ，()2,0,0B ，()0,2,0D . ()1,2,1EF =-，()2,2,0BD =-，故cos ,66EF BDEF BD EF BD ?-====?..【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角，属于基础题.15．24【分析】利用捆绑法，将甲和乙捆绑排列，再把甲乙当成一个整体与戊排列，再利用插空法将丙丁插入3个空位中，便可算出结果.【详解】解：由题知，5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有22222324A A A =（种）不同的方法.故答案为：24.【点睛】本题考查排列的应用，利用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题，属于中档题. 16．12【分析】令1t x =-，得到()f t 的解析式，判断出()f t 是偶函数，从而得到()f x 的图像关于1x =成轴对称，根据函数()f x 有唯一零点，得到()10f =，从而得到a 的方程，解出a 的值.【详解】()()()()221111211x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=--++ 设1t x =-，则()()21t t f t t a e e -=-++定义域为R ，()()()()21t t f t t a e e f t --=--++= 所以()f t 为偶函数，所以()f x 的图像关于1x =成轴对称要使()f x 有唯一零点，则只能()10f =，即()2001210a e e -?++= 解得12a =，故答案为：12. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性，根据函数的零点求参数的值，属于中档题.17．(1) 12n n a (2) n S 221n n =+-【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =, ∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -??=+++-++++?? ()12112212nn n ??+--??=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18．（1）223f π??=（2）2,63k k k Z ππππ??++∈ 【分析】（1）已知()f x 的解析式，代入23x π=，直接算出23f π?? ???的值；（2）利用二倍角公式和辅助角公式化简得()2sin 26f x x π??=-+ ，结合正弦函数的单调性，即可求出()f x 的单调递增区间.【详解】解：（1）由2sin 3π=21cos 32π=-， 22211232222f π=----= ? ? ? ????，即：223f π=. （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 222sin 26x x f x x π??=-=-+ ??，由正弦函数的性质得3222262k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得263k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k Z ππππ??++∈. 【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，还运用二倍角正弦和余弦公式、辅助角公式、特殊角的三角函数值化简求值，属于基础题.19．（1）8.5125.5y x =-+，49人；（2）37. 【分析】(1)先求得3x =,100y =,再代入公式计算即可.(2)利用枚举法将基本事件全部列出再求概率即可.【详解】（1）由表中数据知,3x =,100y =, 122114151500?8.55545n i ii n i i x y nx y b xnx ==--===---∑∑,??125.5a y bx =-=, ∴所求回归直线方程为8.5125.5y x =-+.令9x =,则8.591?25.549y=-?+=人. （2）由已知可得：1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为1a ,2a ,3a ,4a ,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为1b ,2b ,3b ,从这7人中任选2人包含以下基本事件,()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()11,a b ,()12,a b ,()13,a b ,()23,a a ,()24,a a ,()21,a b ,()22,a b ,()23,a b ,()34,aa ,()31,ab ,()32,a b ,()33,a b ,()41,a b ,()42,a b ,()43,a b ,()12,bb ,()13,b b ,()23,b b 共21个基本事件；设“抽到的两人恰好来自同一月份”为事件A ,则事件A 包含的基本事件是()12,a a ,()13,a a ,()14,a a ,()23,a a ,()24,a a ,()34,a a ,()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,共有9个基本事件,()93217P A ==. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程的求解与古典概型求解概率的方法.属于基础题.20．（1）见解析（2 【解析】试题分析：（1）先证明//,,BD EF BD AC EF AC ⊥⊥，从而,EF AO EF PO ⊥⊥，根据线面垂直的判定定理可证明BD ⊥平面POA ；（2）设AO BD H ?=，连接BO ，由（1）可得EF PO ⊥，根据勾股定理可得BO PO ⊥,根据线面垂直的判定定理可得PO ⊥平面BFED ，以O 为原点，OF 在直线为x 轴，AO 所在直线y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，分别求出平面BAP 与平面APO 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）点分别是的中点菱形的对角线互相垂直（2）设，连接ABD ∴?为等边三角形，，在中，在中，，BO ? 平面BFED 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则设平面PAB 的法向量为，由,n AP n AB ⊥⊥得令得3,z x =-=∴平面PAB 的一个法向量为()3,1,3n =--，由（1）知平面PAO 的一个法向量为，设求二面角B AP O --的平面角为θ，则2cos cos ,13||n BHn BH n BH θ?====? ∴二面角B AP O --的余弦值为3913，【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．（1）2y x =.()1,1M .（2）A B =d 的最大值为1. 【分析】（1）根据抛物线的定义，求出12p =，即可得出抛物线的方程，便得出点M 的坐标；（2）由点()1,1M ，得出(),Q m m ，利用点差法求出直线AB 的斜率，得出直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出弦长AB ，通过基本不等式求得d 的最大值.【详解】解：（1）()220y px p =>的准线为2p x =-，∴5124p ?--= ，∴12p =，∴抛物线C 的方程为2y x =.又点(),1M t 在曲线C 上，∴1t =.故()1,1M .（2）由（1）知，点()1,1M ，从而n m =，即点(),Q m m ，依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为()0k k ≠，且()11,A x y ，()22,B x y ，由211222y x y x ?=?=?，得()()121212y y y y x x -+=-，故21k m ?=，所以直线AB 的方程为()12y m x m m-=-，即2220x my m m -+-=. 由22220x my m m y x-+-=?=?，消去x ，整理得22220y my m m -+-=，所以2440m m ?=->，122y y m +=，2122y y m m =-.。

绝密★启用前湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三下学期第八次月考数学（理）试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．复数z 满足()214z i i +=，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．2B ．-2C ．2i -D ．2i2．已知命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥；命题q ：若22a b <，则a b <，下列命题为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∨⌝ C ．p q ⌝∨D ．()p q ⌝∨⌝3．已知3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32，且各项系数和为243，则展开式中7x 的系数为（ ） A ．20B ．30C ．40D ．504．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，○…………外…………○…………线……答※※题※※○…………内…………○…………线……且c ＝2a ，则sin B 的值为（ ） A ．34B C ．1 D 6．执行如图所示的程序框图，若输出的ｋ＝6，则输入整数p 的最大值是（ ）A ．32B ．31C ．15D ．167．已知变量x ，y 具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y 关于x 的线性回归方程为y =1.3x ﹣1，则m 的值为（ ） A ．2.9B ．3.1C ．3.5D ．3.88．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，直线y =与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为（ ）A B 1C D 19．如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3DC BD =，2AD =，则AC AD ⋅的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．1610．通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ，且()23000,50XN .则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若()2,XN μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=，()330.9974P X μσμσ-<≤+=）A ．0.0456B ．0.6826C ．0.9987D ．0.977211．在水平地面上的不同两点处栽有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P 的轨迹可能是（ ） ①直线 ②圆 ③椭圆 ④抛物线 A ．①②B ．①③C ．①②③D ．②④12．已知(){}0P f αα==，(){}0Q g ββ==，若存在P α∈，Q β∈，使得n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 距零点函数”.若()()2020log 1f x x =-与()2x g x x ae =-（e 为自然对数的底数）互为“1距零点函数”，则实数a 的取值范围为（ ） A ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦B ．214,e e ⎛⎤⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．31x dx -⎰的值为______.14．已知函数cos y x =与()sin 202y x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，它们的图象有一个横坐标为6π的交点，则ϕ的值是______.15．一个圆上有8个点，每两点连一条线段.若其中任意三条线段在圆内不共点，则所…………外……………订…………○订※※线※※内※※答※※题※※…………内……………订…………○16．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222cos cos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______. 三、解答题17．已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面.动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示.将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P .（1）求曲线Γ长度； （2）当2πθ=时，求点C 1到平面APB 的距离；（3）是否存在θ，使得二面角D ﹣AB ﹣P 的大小为4π？若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由.18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＞0，S n 2＝a n +12﹣λS n +1，其中λ为常数. （1）证明：S n +1＝2S n +λ；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n }为等比数列，若存在，求出λ；若不存在，说明理由.19．如图，过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点P （1，2），作两条直线分别交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（1）求y 1+y 2的值；20．为响应“文化强国建设”号召，并增加学生们对古典文学的学习兴趣，雅礼中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生阅读需求，随机抽取200名学生做统计调查.统计显示，男生喜欢阅读古典文学的有64人，不喜欢的有56人；女生喜欢阅读古典文学的有36人，不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关系？ (2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍，语文教研组计划牵头举办雅礼教育集团古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比，语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表，其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会，记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数，求ξ的分布列及数学期望E ξ.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：21．已知函数()1,f x xlnx ax a R =++∈（1）当0x >时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围； （2）当*n N ∈时，证明：2223122421n n nln ln ln n n n +<+++<++． 22．已知直线l 的参数方程为13x t y t =-+⎧⎨=-⎩曲线C 的参数方程为1cos 2tan x y ϕϕ⎧=⎪⎨⎪=⎩. （1）求曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）若点P 的坐标为（1，1），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|P A |•|PB |的值. 23．（1）已知a ，b ，c 都是非负实数，证明：2b a ca b c b++≥+； （2）已知a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正实数，且满足不等式组：222222496a b c x y z ax by cz ⎧++=⎪++=⎨⎪++=，求a b cx y z++++的值.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法运算,化简即可求得复数z .结合共轭复数的定义即可得z . 【详解】将式子()214z i i +=化简可得()244221ii z ii ===+ 根据共轭复数定义可知2z = 故选:A 【点睛】本题考查了复数乘法与除法的运算,共轭复数的概念,属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】解不等式可判断命题p 的真假，根据不等式性质可判断q 的真假，即可由复合命题的性质判断命题真假． 【详解】命题p ：x R ∀∈，2230x x -+≥， 因为2(1)20x -+≥，所以命题p 为真命题命题q ：若22a b <，则a b <，当1,4a b ==-时不等式不成立，所以命题q 为假命题 由复合命题真假判断可知A ：p q ∨为真命题;B ：()p q ∨⌝为真命题; C ：p q ⌝∨为假命题;D ：()p q ⌝∨⌝为真命题. 故选：C 【点睛】本题考查了命题真假的判断，复合命题真假的判断，属于基础题．3．C 【解析】 【分析】根据二项式系数和可求得n 的值,由各项系数和可求得a 的值,进而由二项定理展开式的通项求得7x 的系数即可. 【详解】因为3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为32 则232n =,解得5n =所以二项式为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭因为53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式各项系数和为243令1x =,代入可得()5512433a ==+ 解得2a =所以二项式为532x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则该二项式展开式的通项为()5315415522rrr r r r r T C x C xx --+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以当展开式为7x 时,即1547r x x -=解得2r则展开式的系数为225241040C ⋅=⨯=故选：C 【点睛】本题考查了二项定理的综合应用,二项式系数与项的系数概念,二项展开式的通项及应用,属于基础题. 4．B 【解析】【分析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前n项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得3a的值.【详解】依题意步行路程是等比数列，且12q=，6n=，6378S=，故16112378112a⎛⎫-⎪⎝⎭=-，解得1192a=，故2311 192484a a q==⨯=里.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前n项和的基本量计算，属于基础题. 5．B【解析】【分析】由已知结合正弦定理可得a，b，c的关系，然后结合余弦定理及同角平方关系即可求解. 【详解】解：由题意可得，sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得，b2＝ac，又c＝2a，则可得b=，由余弦定理可得cos B2222222423 244a cb a a aac a+-+-===，所以sinB==.故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角平方关系的应用，属于基础试题. 6．A【解析】．．．．．．否输出n ＝6，的否定，得整数p 的最大值是32.7．B 【解析】 【分析】利用线性回归方程经过样本中心点，即可求解. 【详解】解：由题意，x =2.5，代入线性回归方程为y =1.3x ﹣1，可得y =2.25， ∴0.1+1.8+m +4＝4×2.25， ∴m ＝3.1. 故选：B . 【点睛】本题考查线性回归方程经过样本中心点，考查学生的计算能力，比较基础. 8．D 【解析】 【分析】可解得点A 、B 坐标，由AF BF ⊥，得0AF BF =，把222b a c =-代入该式整理后两边同除以4a ，得e 的方程，解出即可，注意e 的取值范围 【详解】解：由22221x y a b y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消y 可得得22222(3)a b x a b +=，解得x =y =，A ∴，(B，，∴AF c =+，(BF c =-，AF BF ⊥∴2222222223033a b a b AF BF c a b a b=--=++，2222243a b c a b∴=+，(*) 把222b a c =-代入(*)式并整理得22422244()a c c a a c -=-，两边同除以4a 并整理得42840e e -+=，解得24e =-1e ∴=，故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题． 9．D 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.表示出各个点的坐标,利用向量数量积的坐标运算即可求得AC AD ⋅.【详解】根据题意,由AD AB ⊥可建立如下图所示的平面直角坐标系:过C 作CE AD ⊥交x 轴于E .设AB a 因为3DC BD =,2AD = 则由BADCED ∆∆,所以3,6CE a DE ==所以()8,3C a -所以()()8,3,2,0AC a AD =-= 则()()8,32,016AC AD a ⋅=-⋅=故选:D 【点睛】本题考查建立平面直角坐标系,利用坐标法求向量的数量积,属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】根据正态分布符合()23000,50XN ,可求得旅客人数在22X μσμσ-<≤+内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率. 【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量X ,且()23000,50X N根据3σ原则可知30001003000100X -<≤+则()0.9544P X =由正态分布的对称性可知()0.9544300031000.47722P X <≤== 则()31000.47720.50.9772P X ≤=+= 故选:D 【点睛】本题考查了正态分布的应用,3σ原则求概率问题,属于基础题. 11．A 【解析】 【分析】讨论两根电线杆是否相等.当两个电线杆的高度相等时,到上端仰角相等的点在地面上为两根电线底部连线的垂直平分线.当两个电线杆的高度不同时,在底面建立平面直角坐标系,可根据轨迹方程的求法求解. 【详解】当两根电线杆的高度相等时,因为在水平地面上视它们上端仰角相等所以由垂直平分线的定义可知,点P 的轨迹为两根电线底部连线的垂直平分线,即轨迹为一条直线当两根电线的高度不同时,如下图所示:在地面上以B 为原点,以BD 所在直线为y 轴 设(),,AB n CD m n m ==>,()(),0,,,BD a D a P x y ==,由题意可知,APB CPD ∠=∠,即tan tan APB CPD ∠=∠ 所以满足n m PB PD=,即n PD m PB ⨯=⨯ 由两点间距离公式,代入可得n m =化简可得()()22222222220n mx n m y an y n a -+--+=,()n m >即22222222220an n a x y y n mn m+-+=-- 二次项的系数相同,且满足()222222222222222224440an n a a n m D E F n m n m n m ⎛⎫+-=--⨯=> ⎪ ⎪--⎝⎭- 所以此时动点P 的轨迹为圆综上可知,点P 的轨迹可能是直线,也可能是圆 故选:A 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,圆方程的判别方法,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 12．B 【解析】 【分析】先求得函数()f x 的零点,表示出()g x 的零点,根据“n 距零点函数”的定义,求得()g x 的零点取值范围.通过分离参数,用()gx 的零点表示出a .构造函数,利用导函数研究函数的单调性和最值,即可求得a 的取值范围. 【详解】因为()f x 与()g x 互为“1距零点函数”. 且当()()2020log 10f x x =-=时,2x =设()20xg x x ae =-=的解为0x 由定义n αβ-<可知, 021x -<解得013x <<而当()20xg x x ae =-=时, 020x x a e =令()()020001,3,x x h x x e =∈则()()020000,2'1,3x x x h x x e-=∈ 令()0'0h x =,解得02x =或00x =（舍）所以当012x <<时,()0'0h x >, ()0200x xh x e =单调递增且()11h e = 当023x <<时, ()0'0h x <,()020x x h x e =单调递减,且()393h e =所以()()02max 42hx h e==即()0214,h x e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则214,a e e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选:B 【点睛】本题考查了函数新定义的应用,利用导数分析函数的单调性与最值,利用分离参数和构造函数法求参数的取值范围,属于难题.13．52【解析】 【分析】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式,结合微积分基本定理即可求解. 【详解】将定积分根据积分区间及绝对值函数,写成分段函数形式为()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰根据微积分基本定理可得()()3131111x dx x dx x dx -=-+-⎰⎰⎰2123011122x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2211113311222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52= 故答案为:52【点睛】本题考查了利用微积分基本定理求定积分值,属于基础题. 14．3π 【解析】 【分析】将交点的横坐标分别代入两个函数解析式,根据正弦函数的图像与性质及结合02πϕ<<即可求得ϕ的值. 【详解】因为函数cos y x =与()sin 2y x ϕ=+有一个交点的横坐标为6π 则cossin 266ππϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭即sin 32πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭ 由正弦函数的图像与性质可知233k ππϕπ+=+或22,33k k Z ππϕπ+=+∈因为02πϕ<<所以当0k =时,代入可求得2333πππϕ=-= 故答案为:3π 【点睛】本题考查了正弦函数与余弦函数值的求法,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题. 15．70 【解析】 【分析】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点,进而可求得圆内交点个数. 【详解】由题意可知,平面内任意两点连线可形成直线,而两条直线有一个交点,即平面内4个点的连线有1个交点所以交点个数为4870C =故答案为:70 【点睛】本题考查了平面几何中的组合问题,关键在于分析出交点个数与所给点个数的关系,属于基础题.16 【解析】【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解. 【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=, 则2222sinsin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-= 2222sin sin 1sin cos βγαα+=-=因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+可得()()222sin sin 2sin sin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.17．（1；（2（3）不存在，理由见解析【解析】 【分析】（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD ，从而可求曲线Γ长度； （2）当θ2π=时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等.（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为4π即可. 【详解】解：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD . 由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，所以这实际上是一个正方形. 所以曲线Γ的长度为BD =.（2）当θ2π=时，点B 1恰好为AB 的中点，所以P 为B 1C 1中点，故点C 1到平面APB 的距离与点B 1到平面APB 的距离相等. 连接AP 、BP ，OP .由AB ⊥B 1P 且AB ⊥A 1B 1知：AB ⊥平面A 1B 1P ，从而平面A 1B 1P ⊥平面APB . 作B 1H ⊥OP 于H ，则B 1H ⊥平面APB ，所以B 1H 即为点B 1到平面APB 的距离. 在Rt △OB 1P 中，11，OB =由（1）可知，圆柱的一半展开后得到一个正方形，所以112B P BB π==所以2OP ==.于是：1111OB B P B H OPπ⨯⨯===.所以，点C 1到平面APB（3）由于二面角D ﹣AB ﹣B 1为直二面角，故只要考查二面角P ﹣AB ﹣B 1是否为4π即可. 过B 1作B 1Q ⊥AB 于Q ，连接PQ .由于B 1Q ⊥AB ，B 1P ⊥AB ，所以AB ⊥平面B 1PQ ，所以AB ⊥PQ . 于是∠PQB 1即为二面角P ﹣AB ﹣B 1的平面角.在Rt △PB 1Q 中，1，B Q sin θ=. 由（2）有11B P BB θ== 若14PQB π∠=，则需B 1P ＝B 1Q ，即sin θ＝θ.令f （x ）＝sin x ﹣x （0＜x ＜π），则f ′（x ）＝cos x ﹣1＜0， 故f （x ）在（0，π）单调递减.所以f （x ）＜f （0）＝0，即sin x ＜x 在（0，π）上恒成立. 故不存在θ∈（0，π），使sin θ＝θ.也就是说，不存在θ∈（0，π），使二面角D ﹣AB ﹣P 为4π.【点睛】本题考查点到平面距离的计算，考查面面角，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.18．（1）证明见解析；（2）存在，λ＝1 【解析】 【分析】（1）利用已知条件通过a n +1＝S n +1﹣S n ，推出S n +1（S n +1﹣2S n ﹣λ）＝0，然后证明：S n +1＝2S n +λ；. （2）求出数列的通项公式，利用数列是等比数列，求解即可. 【详解】（1）证明：∵a n +1＝S n +1﹣S n ，2211n n n S a S λ++=-，∴2211()n n n n S S S S λ++=--，∴S n +1（S n +1﹣2S n ﹣λ）＝0， ∴a n ＞0，∴S n +1＞0， ∴S n +1﹣2S n ﹣λ＝0； ∴S n +1 ＝ 2S n +λ（2）解：∵S n +1＝2S n +λ，S n ＝2S n ﹣1+λ（n ≥2），相减得：a n +1＝2a n （n ≥2），∴{a n }从第二项起成等比数列， ∵S 2＝2S 1+λ即a 2+a 1＝2a 1+λ， ∴a 2＝1+λ＞0得λ＞﹣1，∴a n ()211122n n n λ-=⎧=⎨+≥⎩，，， 若使{a n }是等比数列则2132a a a =，∴2（λ+1）＝（λ+1）2，∴λ＝1经检验得符合题意. 【点睛】本题考查数列的应用，通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.. 19．（1）4-；（2）9【解析】 【分析】（1）由P 在抛物线上，将P 的坐标代入抛物线方程可得p ，进而点到抛物线方程，再由A ，B 的坐标满足抛物线方程，结合两直线的倾斜角互补，可得它们的斜率之和为0，化简计算可得所求值；（2）由点差法结合直线的斜率公式可得直线AB 的斜率，设直线AB 的方程为y ＝﹣x +b （b ∈[﹣1，3]），联立抛物线方程，消去y ，可得x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，以及三角形的面积公式，结合三元均值不等式，计算可得所求最大值. 【详解】解：（1）点P （1，2）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，可得2p ＝4，即p ＝2，可得抛物线的方程为y 2＝4x ，由题意可得y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，k P A +k PB12122212121222224411221144y y y y y y x x y y ----=+=+=+=--++--0， 则y 1+y 2＝﹣4；（2）由题意可得y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，相减可得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝4（x 1﹣x 2）， 则k AB 1212124y y x x y y -===--+1，可设直线AB 的方程为y ＝﹣x +b （b ∈[﹣1，3]），联立抛物线方程y 2＝4x ，可得x 2﹣（2b +4）x +b 2＝0，△＝（2b +4）2﹣4b 2＝16（1+b ）＞0，且x 1+x 2＝2b +4，x 1x 2＝b 2， 则|AB|=x 1﹣x 2|===P （1，2）到直线AB 的距离为d ==可得S △ABP 12=|AB |•d ＝2（3﹣b=，设()()222(3)x f x x +-=，则()()()()()222+(3)2323132x x f x x x x '=-=----当113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，函数单调递增，当133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时()0f x '<，函数的单调递减. 即13x =时，()f x 有最大值22121882+3=33327f ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭9所以S△ABP ≤，则S△ABP . 【点睛】本题考查抛物线的方程和运用，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查直线的斜率公式的运用，以及方程思想和运算能力，属于中档题. 20．(1)能；(2)分布列见解析，145. 【解析】 【分析】（1）根据题意,可得列联表.并由公式求得2K 的观测值.结合所给的参考数据即可判断. （2）设5人中男生有表m 人,女生n 人,则m n ξ=+.根据题意可知1,2,3,4,5,ξ=分别求得各概率值即可得分布列.由期望公式即可求得数学期望值. 【详解】（1）根据所给条件,制作列联表如下：所以2K的观测值22()200(64445636)4()()()()120801001003n ad bc ka b c d a c b d -⨯⨯-⨯===++++⨯⨯⨯, 因为2K 的观测值41.3233k =>, 由所给临界值表可知,能够在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为喜欢阅读古典文学与性别有关；（2）设参加交流会的5人中喜欢古典文学的男生代表m 人,女生代表n 人,则m n ξ=+,根据已知条件可得1,2,3,4,5,ξ=12232232541(1)(1,0)20C C C P P m n C C ξ=====⋅=12112232222323232455413(2)(1,1)(2,0)10C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=； (3)(1,2)(2,1)(3,0)P P m n P m n P m n ξ====+==+==12221110323223222323232323442545715C C C C C C C C C C C C C C C C =⋅+⋅+⋅=；21203113222322323245451(4)(2,2)(3,1)6C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===⋅+⋅=； 03223232451(5)(3,2)60C C C P P m n C C ξ=====⋅=, 所以ξ的分布列是：所以1371114123452010156605E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验方法的应用,离散型随机变量及其分布列的求法,古典概型概率的应用,数学期望的求法,属于中档题. 21．（1）[1,)-+∞.（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）由()0f x ≥，得1ln a x x -≤+恒成立，令()1ln F x x x=+.求出()F x 的最小值，即可得到a 的取值范围；∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 试题解析：（1）由()0f x ≥，得ln 10x x ax ++≥ (0)x >. 整理，得1ln a x x -≤+恒成立，即min 1ln a x x ⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭.令()1ln F x x x =+.则()22111'x F x x x x-=-=.∴函数()F x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. ∴函数()1ln F x x x=+的最小值为()11F =. ∴1a -≤，即1a ≥-. ∴a 的取值范围是[)1,-+∞.（2）∵24n n +为数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和，1n n +为数列()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和.∴只需证明()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+即可. 由（1），当1a =-时，有ln 10x x x -+≥，即1ln x x x≥-. 令11n x n +=>，即得1ln 11n n n n +>-+ 11n =+.∴2211ln 1n n n +⎛⎫> ⎪+⎝⎭()()112n n >++ 1112n n =-++. 现证明()211ln1n n n n +<+，即< ==()* 现证明12ln (1)x x x x <->. 构造函数()12ln G x x x x=-- ()1x ≥，则()212'1G x x x =+- 22210x x x-+=≥. ∴函数()G x 在[)1,-+∞上是增函数，即()()10G x G ≥=. ∴当1x >时，有()0G x >，即12ln x x x<-成立.令x =()*式成立. 综上，得()()211ln 12n n n n +<++ ()11n n <+.对数列()()112n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭，21ln n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭，()11n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭分别求前n 项和，得223ln 2ln 242n n <++ 21ln 1n nn n ++⋅⋅⋅+<+.22．（1；（2）23【解析】 【分析】（1）先求出直线l 和曲线C 的普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出，曲线C 的右顶点到直线l 的距离；（2）将直线l的方程改写为1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，然后代入曲线C 中，再根据|P A |•|PB |＝|t 1t 2|求出|P A |•|PB |的值. 【详解】解：（1）直线l 的普通方程为x +y ﹣2＝0，曲线C 的普通方程为2214y x -=，故曲线C 的右顶点（1，0）到直线l的距离d =. （2）将直线l的参数方程改为11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并代入2214y x -=，得2320t --=，设其两根为t 1，t 2，则123t t +=，1223t t =-，∴|P A |•|PB |＝|t 1t 2|23=. 【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，点到直线的距离公式和直线参数方程的几何意义，考查了转化思想，属中档题. 23．（1）证明见解析；（2）23【解析】 【分析】（1）构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.（2）根据三元柯西不等式,可得使等号成立的条件.利用等式成立,结合方程思想,即可求得a b cx y z++++的值.【详解】（1）由三元基本不等式知1b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-++12≥=, 当且仅当b a b ca b c b+==+，即a b =且0c 时取等号； （2）由三元柯西不等式知()()()2222222a b cxy z ax by cz ++++≥++,结合方程组可知不等式当a b cx y z==时取等号, 所以设(0)a b ck k x y z===>,即a kx =,b ky =,c kz =, 所以()2222222a b c k xy z ++=++,即249k =,解得23k =, 从而23a b c k x y z ++==++【点睛】本题考查了利用三元基本不等式证明不等式成立,三元柯西不等式的综合应用,属于中档题.。

2019-2020年高二下学期入学考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题p ：“2-=a ”是命题q ：“：1l 01=-+3y ax 与：2l 0346=-+y x 垂直”成立的（ ） A ．充要条件 B ．充分非必要条件 C ．必要非充分条件 D ．既非充分也非必要条件2.射洪中学为了全面落实素质教育，切实有效减轻学生课业负担，拟从高中、初中两个校区的初高中学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到初中三个年级、高中三个年级学生的课业负担情况有较大差异，而男女生课业负担差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ． 按年级分层抽样D ．系统抽样3.圆4)2(22=++y x 与圆91)2(22=+）（-y -x 的位置关系为（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ． 相离4.设射洪中学的学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（ ）A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该中学某学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该中学某学生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg5.已知函数]5,5[,2)(2-∈--=x x x x f ，在定义域内任取一点0x ，使0)0≤f(x 的概率是（ ）A ．101B ．32 C.103 D ．54 6.已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-0205202y y x y -x ，则x y z =的取值范围为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2131， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,31 7.已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；②若α⊂m ，α⊂n ，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③如果α⊂m ，α⊄n ，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且α⊄n ，β⊄n ，则n ∥α且n ∥β.其中为真命题的是 ( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④8.柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只，下列叙述错误的是（ ）A ．取出的鞋不成对的概率是54 B ．取出的鞋都是左脚的概率是51 C. 取出的鞋都是同一只脚的概率是52 D ．取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率是2512 9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为43，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．?42≤zB ．?20≤z C. ?50≤z D ．?52≤z10.射洪中学随机抽查了本校20个同学，调查它们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是]40,35[,),10,5[),5,0[⋅⋅⋅，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ）A ．B ． C. D ．11.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A.110B.25C.3010D.2212.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ）A ．43B ．1 C. 32 D ．31第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.命题0,:<∈∀x R x p 的否定是 ．14. 已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．15.在平面直角坐标系xOy 中，曲线y x y x 2222+=+围成的图形的面积为 ．16.已知圆)0()1(:222>=+-r r y x C 与直线3:+=x y l ，且直线l 上有唯一的一个点P ，使得过点P 作圆C 的两条切线互相垂直.设EF 是直线l 上的一条线段，若对于圆C 上的任意一点Q ，0≤⋅的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[.（1）求居民收入在)3500,3000[的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500[的人中抽取多少人？18.（本小题满分12分）设命题p ：点（1，1）在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部；命题q ：直线mx －y ＋1＋2m ＝0(k ∈R )不经过第四象限，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19. （本小题满分12分）口袋中装有4个形状大小完全相同的小球，小球的编号分别为4,3,2,1，甲、乙、丙依次有放回地随机抽取1个小球，取到小球的编号分别为c b a ,,.（1）在一次抽取中，若有两人抽取的编号相同，则称这两人为“好朋友”，求甲、乙两人成为“好朋友”的概率；（2）求抽取的编号能使方程62=++c b a 成立的概率.20. （本小题满分12分）已知⊙0204222=---+y x y x C ：，直线0471)12(:=--+++m y m x m l ）（.（1）求证：直线l 与⊙C 恒有两个焦点；（2）若直线l 与⊙C 的两个不同交点分别为B A ，.求线段AB 中点P 的轨迹方程，并求弦AB 的最小值.21. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P - ABCD 中，P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．(1)证明：BE ⊥DC ；(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F - AB - P 的余弦值．22. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：9)5(22=-+y x 外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线2-=y 的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值.（1）求曲线C 1的方程；（2）设P(x 0,y 0)（x 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线y=-4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的横坐标之积为定值.射洪中学高2015级高二下期入学考试数学试题（理）答案一、选择题1-5:ACBDC 6-10:DDDAB 11、12：CA二、填空题 13.0,00≥∈∃x R x 14.3315.84+π 16.244+ 16.【解析】根据圆的对称性知直线l 上的唯一点P 与圆心C 所在直线必与直线l 垂直，则PC 所在直线的方程为1=+y x ，与直线3+=x y 联立求得)2,1(-P ，再根据对称性知过点)2,1(-P 的两条切线必与坐标轴垂直，2=r ；由题意，知EF 取得最小值时，一定关于直线1+=x -y 对称，如图所示，因此可设以点)2,1(-P 为圆心，以R 为半径的圆，即222)2()1(R -y x =++与圆C R 2，由相切条件易知222(2R 44)22+=+=.三、解答题17.【解析】（1）居民收入在)3500,3000[的频率为%155000003.0=⨯. （2）中位数为2400545002000=⨯+， 平均数为2400%53750%153250%252750%252250%201750%101250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，其众数2750,2250.（3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取25人.18.【解析】命题p 11m ⇔-<<，…………3分命题q 0m ⇔≥……………6分① p 真q 假时，10m -<<；②p 假q 真时，1m ≥.故m 的取值范围为10m -<<或1m ≥………12分19.【解析】（1）将甲、乙依次取到小球的编号记为),(b a ，则基本事件有)4,4(),3,4(),2,4(),1,4(),4,3(),3,3(),2,3(),1,3(),4,2(),3,2(),2,2(),1,2(),4,1(),3,1(),2,1(),1,1(，共16个.记“甲、乙两人成为好朋友”为事件M ，则M 包含的情况有)4,4(),3,3(),2,2(),1,1(，共4个人，故甲、乙两人成为“好朋友”的概率41164)(==M P . （2）将甲、乙、丙依次取到小球的编号记为),,(c b a ，则基本事件有64个.记“丙抽取的编号能使方程62=++c b a 成立”为事件N ，当丙抽取的编号1=c 时，4=+b a ，∴),(b a 分别为)1,3(),2,2(),3,1(，当丙抽取的编号2=c 时，2=+b a ，∴),(b a 为)1,1(，当丙抽取的编号3=c 或4=c 时，方程62=++c b a 不成立.综上，事件N 包含的基本事件有4个，∴161644)(==N P .（2）由题意知，设点),(y x P 为弦AB 的中点，由（1）可知0=⋅，点P 的轨迹方程是以CQ 为直径的圆为45)23()2(22=-+-y x ，由圆的几何性质可知，当）（1,3Q 是弦AB 的中点时，AB 最小. 弦心距5==CQ d ，⊙C 的半径为5，∴5455222min =-=AB .21.【解析】(1)证明：向量BE ＝(0，1，1)，DC ＝(2，0，0)，故BE ·DC ＝0，所以BE ⊥DC .(2) 向量BC ＝(1，2，0)，CP ＝(－2，－2，2)，AC ＝(2，2，0)，AB ＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF ＝λCP →，0≤λ≤1.故BF ＝BC ＋CF ＝BC ＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF ·AC ＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34，即BF ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BF ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈，〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010. 易知二面角F - AB - P 是锐角，所以其余弦值为31010. 22.【解析】（1）设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2y =-的上侧.于是20x +>5x =+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. （2）当点P 在直线4-=y 上运动时，P 的坐标为)4,0-x （，又30±≠x ，则过P 且与圆 2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为)(40x x k y -=+，即040=---kx y kx .于是31920=+-k kx 整理得07218)9(0220=++-k x k x ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故 972-,918202120021-=-=+x k k x x k k ②，联立直线与抛物线消去y 得： 0)4(202002=++-kx kx x ③设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为,,,,4321x x x x ，则是方程③的两个实根，所以)4(200121+=x k x x ④；同理可得)4(200243+=x k x x ⑤于是由②，④，⑤三式得)16)(4(40002120214321+++=x k k x k k x x x x 6400)16972972(40020202020=+---=x x x x . 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的横坐标之积为定值6400.。

一、单项选择雅礼中学2023年下学期入学检测试题高二数学 参考答案题7.【答案】A【解析】因为++-=f x y f x y f x f y )()()()(，令=x 1，=y 0， 可得，=f f f 2110)()()(， 所以=f 02)(，令=x 0，可得，+-=f y f y f y 2)()()(， 即=-f y f y )()(， 所以函数f x )(为偶函数，令=y 1得，++-==f x f x f x f f x 111)()()()()(， 即有++=+f x f x f x 21)()()(，从而可知+=--f x f x 21)()(，-=--f x f x 14)()(， 故+=-f x f x 24)()(， 即=+f x f x 6)()(，所以函数f x )(的一个周期为6.因为=-=-=-f f f 210121)()()(，=-=--=-f f f 321112)()()(，=-==-f f f 4221)()()(，=-==f f f 5111)()()(，==f f 602)()(，所以一个周期内的+++=f f f 1260)()()(.由于22除以6余4， 所以∑=+++=---=-=f k f f f f k 123411213122)()()()()(.故选：A.8.【答案】C【解析】作直线EF ，分别交DA ，DC 于M ，N 两点，连接1D M ，1D N 分别交1A A ，1C C 于H ，G 两点，如图所示，过点1D ，E ，F 的截面即为五边形1D HEFG ，设正方体的棱长为2a ，因为点E ，F ，分别是AB ，BC 的中点. 所以1AE AM BE BF ==，1CN CFBE BF==， 即AM CN a ==，因为113AM AH MD DD ==，113CN CG DN DD ==， 所以23a AH CG ==. 则过点1D ，E ，F 的截面下方体积为：3111112253322323239a V a a a a a a =⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅=， ∴另一部分体积为33322547899V a a a =-=， ∴1225:47V V =. 故选：C.二、多项选择题12.【答案】BC【解析】对于选项A ，以D 点为坐标原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,0,0A ，10,1,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，()10,0,1D . 从而()10,0,1DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以直线1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误； 对于选项B ，取11B C 的中点为M ，连接1A M ，GM ，则易知1//A M AE ， 又1A M ⊂/平面AEF ，AE ⊂平面AEF ， 故1//A M 平面AEF ，又//GM EF ，GM ⊂/平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以//GM 平面AEF ， 又1A MGM M =，1A M ，GM ⊂平面1A GM ，故平面1//A MG 平面AEF ，又1A G ⊂平面1A MG ，从而1//A G 平面AEF ， 选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，如图所示， ∵正方体中11////AD BC EF ， ∴A ，E ，F ，1D 四点共面，∴四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形，且截面四边形1AEFD 为梯形，又由勾股定理可得12D F AE ==，1AD =2EF =，∴梯形1AEFD=，∴11928AEFD S =⨯=⎭梯形， 选项C 正确；对于选项D ，由于1111224GEF S =⨯⨯=△，11112228ECF S =⨯⨯=△， 而13A GEFEFG V S AB -=⋅△，13A ECF BCF V S AB -=⋅△， ∴2A GEF A BCF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的2倍，选项D 错误. 故选：BC.三、填空题13.1015.()(),01,-∞+∞16.8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱SA ，SB ，SC 上取点1A ，1B ，1C ，则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角为θ，则11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC SB ASC V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC SB ASC θθ----⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠⋅⋅===⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠；现业解答本题：设PE x PB =，PF y PD =，184233P ABCD V -=⨯⨯=， 则43P AEF P ABD V x y V xy --=⋅⋅=，1223P MEF P BCD V x y V xy --=⋅⋅⋅=，223P AFM P ACD y V V y --=⋅=，223P AEM P ABC x V V x --=⋅=，∴()223P AEMF P AEF P MEF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+，则3x y xy +=， ∴31yx y =-， ∴010131x y y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨⎪=⎪-⎩， 则112y ≤≤， ∴()222233331331P AEMFy y V x y y y y -⎛⎫=+=+=⋅⎪--⎝⎭，令31t y =-，则()2211123199t yt y t t +⎛⎫==++ ⎪-⎝⎭， ∵1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当112t ≤<时，函数1y t t =+单调递减，当12t <≤时，函数1y t t=+单调递增， 故1y t t =+最小值为2，当12t =，2时，1y t t =+都取到最大值52，则()22111412,319992t y t y tt +⎛⎫⎡⎤==++∈ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦(当且仅当1t =时，取最小值)， ∴282,1319P AEMFy V y -⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故答案为：8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦.四、解答题17.【解析】(1)根据函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图像，可得2A =，3254123πππω⋅=+， ∴2ω=.再根据五点法作图，52122ππϕ⨯+=， ∴3πϕ=-，故有()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 根据图像可得，,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的图像的一个对称中心， 故函数的对称中心为,03k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈. (2)先将()f x 的图像纵坐标缩短到原来的12，可得sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移12π个单位，得到sin 2sin 2cos 21232y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，即()cos 2g x x =-，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 解得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可得()g x 的减区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 结合3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()g x 在3,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 又32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 故当2,2x x ππ==时，()g x 取得最大值，即()max 1g x =； 当26x π=，12x π=时，()g x 取得最小值，即()min2g x =-.18.(1)【证明】如图，连接1A B ，1CD ，∵正方体1111ABCD A B C D - ∴四边形11ABB A 为正方形， ∴11AB B A ⊥，又∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥， 又11B CA B B =，∴1AB ⊥平面11A D CB ，又∵1D E ⊂平面11A D CB ， ∴11AB D E ⊥.(2)【证明】如图，连接DE ，1CD ，AD DC =，DF EC =，ADF DCE ∠=∠，∴ADF DCE ≌△△， ∴DAF CDE ∠=∠. ∵90CDE ADE ∠+∠=︒， ∴90DAF ADE ∠+∠=︒， 即DE AF ⊥.又∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ， ∴1AF DD ⊥， ∵1DD DE D =，1,D D DE ⊂平面1D DE ，∴AF ⊥平面1D DE . 又∵1D E ⊂平面1D DE ， ∴1AF D E ⊥. 由(1)可知11AB D E ⊥ 又∵1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F ，∴1D E ⊥平面1AB F .又∵1MN C D ⊥，11//AB C D ， ∴1MN AB ⊥，， 又∵MN AF ⊥，1AB AF A =，1AB ，AF ⊂平面1AB F所以MN ⊥平面1B AF 所以1//MN D E .(3)【解析】存在.如图，当点P 为棱1CC 的中点时，平面1CD E ⊥平面AFP . 连接FP ，AP ，∵点P ，F 分别为棱1CC ，CD 的中点， ∴1//FP C D ，∵正方体1111ABCD A B C D -， ∴11//AD B C ， ∴11AB C D∴11//C D AB ， ∴1//FP AB ，∴FP 与1AB 共面于平面1AB PF .由(2)知1D E ⊥平面1B AF ，即1D E ⊥平面AFP . 又因为1D E ⊂平面1CD E ， ∴平面1CD E ⊥平面AFP .19.【解析】(1)设每一轮罚球中，甲队球员罚进点球的事件为A ，未罚进点球的事件为A ；乙队球员罚进点球的事件为B ，未罚进点球的事件为B .设每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的事件为C ，由题意，得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种：甲、乙均未罚进点球，或甲、乙均罚进点球，则()()()()()1212111112323632P C P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-⨯-+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率为12. (2)因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分， 即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2. ①比分为2:1的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121212121111111112323232318189⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-+-⨯-⨯-⨯=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ②比分为2:2的概率为()()()()121211123239P A P B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.③比分为3:2的概率为()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅121221223239⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭. 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为11249999++=. 20.(1)【证明】以点C 为坐标原点，向量CD 、CB 、DP 方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立坐标系，则()2,0,0D ，()2,0,2P ，()0,0,0C，()B，()A ，()1,0,1E ，所以()2PB =--， 因为13PF PB =，设(),,F a b c ，则()2,,2PF a b c =--， 所以()()12,,223a b c --=--，解得4343a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，同理可得8233G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2233DG ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭， 令DF xDE yDG =+，则()2422221,0,1333333x y x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴2233334233x y y x y ⎧-=-+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩， ∴112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12DF DE DG =+，∴D 、E 、F 、G 四点共面.(2)【解析】由(1)可知()2,0,0D ，()1,0,1E，4433F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ∴()1,0,1DE =-，2433DF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0240333x z x y z -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，则x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 令2y =，则(3,2,n =-取平面PDE 的一个法向量为()CB =，则2cos ,510n CB n CB n CB⋅===，所以215sin ,1cos ,5n CB nCB =-=，∴二面角F DE P --. 21.【解析】(1)如图，在AEM △中，由余弦定理得，2222cos93AE MA ME MA ME π=+-⋅=，所以()2293932MA ME MA ME MA ME +⎛⎫+=+⋅≤+⨯ ⎪⎝⎭，所以6MA ME +≤，(当且仅当3MA ME ==时等号成立)， 故两机器人运动路程和的最大值为6.(2)(i)在AEM △中，由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍， 故2AM EM =，由正弦定理可得()sin sin AM EM πθα=-， 所以()sin 11sin sin sin 223EM AM πθπαθ-====， (ii)设EM x =，则22AM EM x ==，()1,3x ∈，由余弦定理可得()()222323cos 2322x x x x x πθ+--==-⨯⨯， 所以3cos 22x xθ=-， 所以sin x θ=== 由题意得sin AD x θ≥对任意()1,3x ∈恒成立，故()max sin 2AD x θ≥=，当且仅当x =.答：矩形区域ABCD 的宽AD 至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD 内成功拦截机器人甲.22.【解析】(1)因为13πθ=，223πθ=，3θπ=， 所以()22200012sin sin sin 333ππμθθπθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()2222200000131131cos sin sin sin cos 322322θθθθθ⎛⎫=++=⨯+= ⎪⎝⎭， 所以“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值12. (2)因为14πθ=，2θα=，3θβ=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()()2220001sin sin sin 34πμθαθβθ⎡⎤⎛⎫=-+-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()()0001cos 21cos 221cos 22123222πθαθβθ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥----⎝⎭⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()()00000sin 2cos2cos2sin 2sin 2cos2cos2sin 2sin 2126θαθαθβθβθ++++=-()()00sin 2sin 21sin 2cos 2cos 2cos 2126αβθαβθ++++=-， 因为实数1θ，2θ，3θ对0θ的“正弦方差”μ的值是与0θ无关的定值， 所以cos 2cos 20sin 2sin 21αβαβ+=⎧⎨+=-⎩， 因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，(),2βππ∈， 所以()2,2αππ∈，()22,4βππ∈，由cos 2cos 20αβ+=，得225αβπ+=或22βαπ-=， 即52παβ+=或2πβα-=， 由()()22cos 2cos 2sin 2sin 21αβαβ+++=，得()1cos 222βα-=-， 又因为()220,3βαπ-∈， 所以2223πβα-=或4223πβα-=或8223πβα-=， 即3πβα-=或23πβα-=或43πβα-=， 当523παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得13121712παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验不符合题意； 当5223παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意； 当5243παβπβα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，解得7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，经检验符合题意. 综上可知：11121912παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7122312παπβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。