八年级平面向量

新人教版八年级下册平面向量知识点
本文档旨在介绍新人教版八年级下册平面向量的相关知识点。

以下是平面向量的主要内容：
1. 平面向量的定义
平面向量是指在平面内具有大小和方向的量。

平面向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 平面向量的表示方法
平面向量可以用坐标表示，也可以用向量的始点和终点表示。

用坐标表示时，通常将向量的始点放在坐标原点，向量的终点的坐标表示向量的坐标。

用始点和终点表示向量时，通常用大写字母表示向量，如AB表示由点A指向点B的向量。

3. 平面向量的运算
平面向量之间可以进行加法、减法和数量乘法运算。

加法运算的结果是两个向量的位移的和，减法运算的结果是两个向量的位移的差，数量乘法运算的结果是一个向量的大小乘以一个数的倍数。

4. 平面向量的性质
平面向量具有平行四边形法则、三角形法则和共线性等重要性质。

平行四边形法则说明两个向量和的向量等于它们的两个边所构
成的平行四边形的对角线向量，三角形法则说明两个向量和的向量
等于这两个向量所共同的起点与终点之间的向量，共线性则说明两
个向量如果有相同的或相反的方向，那么它们共线。

5. 平面向量的模
平面向量的模是指向量的长度。

通过利用勾股定理，可以计算
出一个平面向量的模。

向量的模也可以用距离的概念来理解，即向
量的模等于它的始点和终点之间的距离。

本文档简要介绍了新人教版八年级下册平面向量的主要知识点，希望能对学生掌握平面向量有所帮助。

初二教案平面向量的教学探索与实践初二教案：平面向量的教学探索与实践一、引言平面向量作为初中数学的重要内容之一，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力具有重要的影响。

本教案旨在探索一种有效的教学方法和实践，帮助初二学生更好地理解和运用平面向量的概念和性质。

二、教学目标1. 理解平面向量的概念和性质；2. 掌握平面向量的表示方法和运算法则；3. 能够运用平面向量解决几何问题；4. 培养学生的抽象思维和解决问题的能力。

三、教学内容与步骤1. 概念引入- 通过生活中的实际例子，引导学生了解平面向量的概念；- 列举与平面向量相关的实际问题，培养学生的兴趣。

2. 平面向量的表示方法- 使用坐标表示法和向量符号表示法介绍平面向量的表示方法；- 给出简单的例子，让学生通过观察和比较掌握不同表示方法。

3. 平面向量的加法与减法- 通过图示和具体计算展示平面向量的加法与减法的运算法则；- 引导学生通过实例进行练习，并培养他们独立运用的能力。

4. 平面向量的数量积与夹角- 讲解平面向量的数量积的定义和计算方法；- 引导学生通过实例理解平面向量间的夹角概念；- 鼓励学生自主思考与探索。

5. 平面向量的应用- 针对具体问题，引导学生将问题转化为向量的形式，并运用平面向量解决；- 创设情景，培养学生的实际应用能力；- 分组合作，让学生之间相互交流与协作。

四、教学方法与手段1. 自主探究法- 鼓励学生通过观察、实验、总结等方式主动地参与教学过程；- 提供适当的问题和素材，引导学生自主探索。

2. 合作学习- 将学生分组，让他们在小组内相互合作、观察、讨论和思考；- 提供合作学习的有效指导，确保学生合理分工、相互配合。

3. 案例分析- 给学生提供一些实际问题和案例，引导他们进行分析和解决；- 复杂问题的案例分析有助于培养学生的综合运用能力。

四、教学评价1. 学生自评与互评- 在课程结束时，要求学生对自己的学习情况进行评价；- 学生之间进行互评，提供建设性的反馈。

八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8
讲)
第一讲：向量的概念
- 向量的定义
- 向量的表示方法
- 向量的性质
第二讲：向量的运算
- 向量的加法
- 向量的减法
- 向量的数乘
第三讲：向量的模与方向角
- 向量的模的概念
- 向量的方向角的概念
- 向量的模与方向角的计算
第四讲：向量坐标表示与平行四边形法则
- 向量的坐标表示方法
- 矢量和坐标的关系
- 平行四边形法则的应用
第五讲：向量共线与定比分点
- 向量共线的概念
- 共线向量的判定方法
- 向量的定比分点
第六讲：向量的数量积
- 数量积的定义
- 数量积的性质
- 数量积的计算方法
第七讲：向量的坐标表示与夹角公式- 向量的坐标表示与数量积
- 夹角的概念与计算方法
- 向量间的夹角公式
第八讲：平面向量的应用
- 向量的投影
- 向量的位移
- 向量的垂直与平行
以上是八年级数学平面向量的新课讲义完整版，共8讲，内容
包括向量的概念、运算、模与方向角、坐标表示与平行四边形法则、共线与定比分点、数量积、坐标表示与夹角公式以及向量的应用。

通过学习这些内容，学生将能够掌握平面向量的基本概念和运算方法，并能够应用于实际问题的解决中。

初二数学复习教案平面向量的加法和减法初二数学复习教案平面向量的加法和减法一、引言平面向量是数学中的重要概念，它在解决平面几何问题以及其他数学领域中发挥着重要的作用。

本文将对初二数学中的平面向量的加法和减法进行复习，并提供相应的教案。

二、平面向量的定义在平面上，向量可以用有序数对表示。

设有点A（x1，y1）和点B （x2，y2），则表示向量AB的有序数对就是（x2-x1，y2-y1），记作向量AB=（x2-x1，y2-y1）。

三、平面向量的加法1. 向量共线情况下的加法如果两个向量共线，它们的和向量方向和模长都可以直接求出。

假设有向量A=（x1，y1）和向量B=（x2，y2），则它们的和向量C可以表示为：C=A+B=（x1+x2，y1+y2）。

2. 向量不共线情况下的加法如果两个向量不共线，无法通过直接相加来求出它们的和向量。

此时，我们可以使用平行四边形法则来求解。

具体步骤如下：（1）将两个向量的起点放在一起；（2）从第一向量的终点引出一条与第二向量起点相连的向量；（3）以这条向量为对角线构建一个平行四边形；（4）将第二个向量的终点连接至平行四边形的对角线另一端；（5）两个向量的和向量即为平行四边形的对角线向量。

四、平面向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法。

设有向量A和向量B，它们的差向量C可以表示为：C=A-B= A+(-B)，其中-B表示向量B的逆向量。

五、教案设计1. 教学目标通过本节课的学习，学生应能够：（1）了解平面向量的概念及表示方法；（2）掌握向量共线情况下的加法方法；（3）掌握向量不共线情况下的加法方法；（4）掌握向量的减法方法。

2. 教学步骤（1）引导学生回顾平面向量的定义和表示方法；（2）讲解向量共线情况下的加法，并通过例题进行示范和讲解；（3）讲解向量不共线情况下的加法，引导学生理解平行四边形法则，并通过例题进行练习；（4）讲解向量的减法，强调向量减法的转化规则，并通过例题进行巩固；（5）布置练习作业，检验学生的掌握情况。

学生编号 学生姓名 授课教师 辅导学科 八年级数学 教材版本上教课题名称平面向量课时进度 总第（ ）课时 授课时间 5月26日教学目标 1、掌握有向线段的相关概念并知道如何画有向线段2、掌握向量和模的概念3、掌握向量的表示方法4、掌握向量的加法法则 重点难点掌握向量的加法法则同步教学内容及授课步骤一、 知识梳理：知识点1、向量的概念1） 向量定义：既有大小又有方向的量. 2） 向量表示：有向线段或字母表示：字母表示：AB 或a .3） 向量的模：向量的大小叫做向量的模（向量的长度）记做：||||AB a ，例题P 、Q 为已知两点 （1）P 、Q 两点间的距离为100米（2）小明从点P 出发沿直线PQ ，向Q 行进100米（3）小明从点P 出发，以每分钟100米的速度沿直线PQ ，向Q 前进 在上述三个量中，向量的个数为（ C ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3限时训练1、若图所示，在圆Ｏ中，向量OB ，OC ，AO 是（ ） （Ａ）有相同方向的向量（Ｂ）单位向量（Ｃ）相等的向量（）模相等的向量2、向量的两个要素是：大小和 ．3、向量的方向是指由有向线段的_________到_________的指向。

4、规定了_______的线段叫做有向线段，向量的几何表示可用来表示。

知识点2、相等向量、相反向量，平行向量1）相等向量：方向相同且长度相等的两个向量.（说明：既要考虑方向，又要考虑长度；同向且等长的有向线段表示同一个向量，即向量和起点无关）. 2）相反向量：方向相反且长度相等的两个向量.（既要考虑方向，又要考虑长度） 3）平行向量：方向相同或相反的两个向量.（只要方向相同或相反，与长度无关） 相等向量、相反向量、平行向量的比较见下图相等向量 相反向量 平行向量 方向 相同 相反 相同或相反 大小相等相等无关例题如图，已知点O 是线段ABCDEF 的中点BA OCBA（1）写出与OA、DF相等的向量（2）写出与CO、BD互为相反的向量（3）写出与CO、BD的平行向量知识点3、平面向量的加法1）向量的加法：求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法．2）向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么，以第一个向量的起点为起点，第二个向量的终点为终点，所得的向量即是这两个向量的和向量．3)4）加法满足交换律和结合律例题如图是四个全等且相邻的正方形请用“三角形法则”说明ME+DA=+MA DE知识点4、平面向量的多边形法则一般的，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量．这样的规定叫做几个向量的多边形法则．例题如图：梯形ABCD中，AB∥DC，点E在AB上，EC∥AD，则AE EC CD BE+++＝。

初二数学平面向量的表示方法数学中，平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

平面向量可以通过多种方式进行表示和描述。

本文将介绍初中数学中常用的平面向量表示方法。

1. 位置向量表示法位置向量也称为坐标向量，是用来表示平面上的点的向量。

假设平面上有一点P，其坐标为(x, y)，那么以原点O为起点，P为终点的向量记作OP。

根据向量的性质，我们可以得到OP的坐标向量表示为OP = (x, y)。

2. 等大同向向量表示法等大同向向量是指模大小相等且方向相同的向量。

我们可以使用一个向量的倍数来表示等大同向向量。

例如，向量a = (x, y)，则其倍数2a = (2x, 2y) 也是等大同向量。

3. 相等向量表示法相等向量是指模大小相等且方向相同的向量。

两个向量相等的条件是它们的坐标分量相等。

例如，向量a = (x1, y1) 和向量b = (x2, y2) 如果满足x1 = x2 且y1 = y2，那么向量a等于向量b，记作a = b。

4. 零向量表示法零向量是指模大小为0的向量，方向可以是任意的。

通常用0来表示零向量。

零向量的所有坐标分量均为0，即(0, 0)。

5. 自由向量表示法自由向量是指既不是位置向量也不是位移向量的向量。

自由向量的起点可以是平面上的任意点，终点可以在平面上的任意位置。

自由向量的表示通常用字母表示，例如向量a、向量b等。

6. 共线向量表示法共线向量是指方向相同或相反的向量。

共线向量可以相互表示为倍数关系。

例如，向量a和向量b共线且同向，那么存在一个数k，使得a = kb。

同理，如果a和b共线但方向相反，那么存在一个数k，使得a = -kb。

7. 区位向量表示法区位向量是指以平面上的一个点为起点，另一点为终点的有向线段的向量。

区位向量表示了两点之间的位移，它与起点的选择无关。

例如，向量AB表示了从点A到点B的位移。

总结：初中数学中，平面向量的表示方法有位置向量表示法、等大同向向量表示法、相等向量表示法、零向量表示法、自由向量表示法、共线向量表示法和区位向量表示法。

1、三角形法则向量加法的定义：如图1，已知非零向量a.b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即a+b =AB +BC =AC 。

图1运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。

2、平行四边形法则如图2，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线OC 就是a 与b 的和。

我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

图23、多边形法则特点、首尾顺次连接，以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点。

注：向量减法的法则1、三角形法则如图3，已知a 、b ，在平面内任取一点O ，作a OA ，=b ，则=a-b ，即a-b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量，这是向量减法的几何意义。

图3 图42、平行四边形法则如图4，设向量=b ，=a ，则=-b ，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b 。

又b +=a ，所以=a-b 。

二、经典例题例1、判断下列说法是否正确；不正确的请改正。

（1）既有大小又有方向的量叫做向量。

（2）起点位置不同但同向又等长的有向线段表示同一个向量。

OB BA AB AC AD AE BC BC）两个相等向量的模相等。

|||a b =，则a b =。

）若m n =，n k =，则m k =）向量的长度与向量的长度相等。

）模相等的两个平行向量是相等向量。

）向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反）平行四边形ABCD 中，一定有AB DC =AB DC =，那么连接A 、B 、C 、D 四个点，一定能组成平行四边形。

是正方形ABCD 的中心，则向量,,,AO BO OC OD 是（ 、相等的向量 B 、平行的向量 C 、有相同起点的向量、如图，按1:100的比例尺用有向线段表示两个点相对位置、在点O 的东南方向 O FE 平行的有DF 的模相等的有ED 相等的有是平行四边形AB CB AC += B. AB AD AC += C. AD CD BD += D.AO CO OB OD +++≠0（数字）、在四边形ABCD 中，=+BA BA ；AB BC CD ++=_____；AB BC CD DA +++=______1）已知向量a 、b ，求作、a +b .AB BA a b（2）如图，已知向量ａ，ｂ，用两种方法求作向量ａ＋ｂ.例8、一艘船从A 点出发以２3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h ，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).例9、（1）下列各式结果是AB 的是( )A.AM MN MB -+B.AC BF CF -+C.AB DC CB -+D.AB FC BC -+ （2）在正六边形ABCDEF 中,不与向量相等的是 （ ）A ． +B ．－C ．+D ．+例10、（1）化简、()()AB CD BE BC BD EF AF +-+-+-=________ （2）化简、（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）＝（3）、已知正方形ABCD 边长为1，AB BC AC ++模等于_______例11、已知、如图ab 、是两个非零向量，求作向量b -ac =.a b例12、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，指出图中向量、AD AB AD AB -+, 。

初二数学平面向量的基本性质平面向量是初中数学中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。

掌握平面向量的基本性质对于深入理解和应用数学知识至关重要。

本文将讨论平面向量的基本性质，包括向量的定义、零向量、相等向量、数量乘法、加法和减法等。

1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示。

在二维平面上，向量通常由两个有序实数表示，分别为横坐标和纵坐标。

例如，向量AB可以表示为向量→AB=(x, y)。

向量的长度用绝对值表示，即|→AB|=√(x^2+y^2)。

2. 零向量零向量是指所有分量都为零的向量，用→0表示。

它的长度为0，方向是任意的。

对于任意向量→AB=(x, y)，与之相加的零向量满足→AB+→0=→AB。

3. 相等向量两个向量→AB=(x1, y1)和→CD=(x2, y2)相等，当且仅当它们的分量对应相等，即x1=x2，y1=y2。

相等向量具有相等的长度和方向。

4. 数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数。

例如，对于向量→AB=(x, y)和实数k，其数量乘法为k→AB=(kx, ky)。

数量乘法满足结合律和分配律，即k(→AB+→CD)=k→AB+k→CD。

5. 加法和减法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

例如，向量→AB=(x1, y1)和向量→CD=(x2, y2)的加法为→AB+→CD=(x1+x2,y1+y2)。

类似地，向量的减法是指将减数的负向量与被减数相加，即→AB-→CD=→AB+(-→CD)。

6. 向量的模向量的模是指向量的长度，用数值表示。

在二维平面上，向量→AB=(x, y)的模为|→AB|=√(x^2+y^2)。

向量的模具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。

7. 向量的方向角向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。

在二维平面上，向量→AB=(x, y)的方向角为θ=arctan(y/x)。

方向角的范围为-π到π。

8. 平面向量的基本性质根据向量的定义和运算规则，平面向量具有以下基本性质：（1）零向量的加法：→AB+→0=→AB。

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 数学八下22.7~22.9平面向量及其加减运算-知识点1、有向线段：规定了 方向 的线段，两个端点有 顺序 ，前一点叫做 起点 ，另一点叫做 终点 ，终点处画上 箭头 表示方向。

2、向量：既有 大小，又有 方向的量，比如 重力， 速度等。

向量用 有向线段 表示，比如AB ，a 。

向量的大小叫做向量的 长度 或向量的 模 ，是一个 数量 。

只有 大小，没有 方向的量叫做标量，比如 路程， 年龄等。

3、相等的向量：方向 相同 且长度 相等 ；相反向量：方向 相反 且长度 相等 ；平行向量：方向 相同或相反 。

向量 不能比大小。

4、向量加法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，将b 与a 首尾相接 ，那么以 a 的起点 为起点，b 的终点 为终点的向量，就是和向量a +b 。

5、零向量：长度为 0的向量，记作 0 。

零向量的方向可以是任意 的。

a 的相反向量记作 -a 。

a +（-a ）=0 ；a +0=a 。

6、向量的加法满足①交换律：a +b =b +a ；②结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ）。

7、向量加法的多边形法则，就是连续多次 使用三角形 法则。

比如：21A A +32A A +43A A +54A A +...+n 1-n A A =n 1A A 。

8、向量加法的平行四边形法则：已知a 与b 不平行 ，让a 与b 共起点 ，以这两个向量的邻边 作平行四边 形，则对角线向量 就是和向量a +b 。

9、向量减法的三角形法则：已知a 与b 不平行 ，让b 与a共起点 ，那么以 减向量b 的终点 为起点， 被减向量a 的终点 为终点的向量，就是差向量a -b 。

10、减去一个向量，等于加上 这个向量的相反向量 。

初二数学平面向量的夹角计算平面向量是数学中的一种重要概念，它不仅有大小，还有方向。

在平面向量中，夹角的概念起着至关重要的作用。

本文将介绍如何计算初二数学中的平面向量夹角，并提供一些实际问题的例题。

1. 平面向量的模和方向在开始计算夹角之前，我们先来回顾一下平面向量的模和方向的概念。

对于平面上的一个向量，我们可以通过两个坐标点来确定它，比如向量AB可以表示为→AB。

在这个向量中，A点叫做起点，B点叫做终点。

向量的模表示从起点到终点的距离，一般用|→AB|表示。

向量的方向表示起点指向终点的方向，可以用角度的方式表示，一般用α表示。

2. 平面向量的夹角夹角是指两个向量之间的夹角，它是由两个向量的方向确定的。

对于平面上的两个向量→AB和→CD，它们之间的夹角可以用α表示。

夹角的计算有两种方法：数量积和坐标法。

2.1 数量积计算夹角数量积是一个向量运算，它可以用于计算两个向量之间的夹角。

对于两个向量→AB和→CD，它们的数量积可以表示为→AB·→CD。

两向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

具体计算公式如下：→AB·→CD = |→AB| · |→CD| · cos(α)2.2 坐标法计算夹角在平面直角坐标系中，我们可以通过向量的坐标来计算夹角。

对于向量→AB（x1，y1）和→CD（x2，y2），它们之间的夹角可以通过以下公式计算：cos(α) = (x1·x2 + y1·y2) / (|→AB|· |→CD|)3. 实例演练现在，我们通过一些实际问题的例题来加深对夹角计算的理解。

例题1：计算向量→AB(3，4)和→CD(−2，6)之间的夹角。

解：首先，我们可以通过坐标法计算夹角。

根据公式，我们有：cos(α) = [(3·(-2)) + (4·6)] / (√(3²+4²) · √((-2)²+6²))= (-6 + 24) / (5·√5·√40)= 18 / (5·√200)= 18 / (5·10√2)= 18 / (50√2)= 9√2 / 25因此，夹角α的余弦值为9√2 / 25。