平面向量基本定理

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。

平面向量基本定理概念
平面向量基本定理也被称为平面向量基本等式，它是平面向量基本运算定律之一，描述了平面向量的加法和乘法运算的关系。

平面向量基本定理可以表述为：对于任意两个平面向量 a 和 b，有以下等式成立：
a +
b = b + a （向量的加法交换律）
a + (
b + c) = (a + b) +
c （向量的加法结合律）
k(a + b) = ka + kb （给向量的加法分配律）
(a + b)·c = a·c + b·c （向量的点乘分配律）
其中，a、b、c 是平面向量，k 是实数。

这些定理告诉我们，在平面向量的加法和乘法运算中，满足交换律、结合律和分配律，可以随意改变运算的顺序，但运算结果不会改变。

平面向量基本定理在平面向量的运算和推导中起到了重要的作用，使得我们可以简化计算，并且轻松地推导出一些重要的结论和性质。

平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。

平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。

一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。

2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。

设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。

二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。

设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。

在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。

根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。

对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。

设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。

平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。

第2节 平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.1.平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然.2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )(2)设a ，b 是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 解析 (1)共线向量不可以作为基底. (3)若b ＝(0，0)，则x 1x 2＝y 1y 2无意义.2.若P 1(1，3)，P 2(4，0)，且P 是线段P 1P 2的一个三等分点(靠近点P 1)，则点P 的坐标为( ) A.(2，2)B.(3，－1)C.(2，2)或(3，－1)D.(2，2)或(3，1)答案 A解析 由题意得P 1P →＝13P 1P 2→且P 1P 2→＝(3，－3)， 设P (x ，y )，则(x －1，y －3)＝(1，－1)， 所以x ＝2，y ＝2，则点P (2，2).3.已知向量a ＝(－1，3)，b ＝(2，1)，则3a －2b ＝( ) A.(－7，7) B.(－3，－2) C.(6，2)D.(4，－3)答案 A解析 3a －2b ＝(－3，9)－(4，2)＝(－7，7).4.(2020·长沙调研)已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a ∥b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案 A解析 ∵a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，若a ∥b ，则m (m －2)－3＝0， 得m ＝3或m ＝－1，所以“m ＝3”是“a ∥b ”的充分不必要条件.5.(2020·合肥质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85 B.(－6，8)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85 D.(6，－8)答案 D解析 因为向量b 与a 方向相反，则可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，∴λ＝－2，b ＝(6，－8).6.(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，F 是BC 的中点，CE →＝－2DE →，若EF→＝xAB →＋yAD →，则x ＋y ＝( )A.1B.6C.16D.13答案 C解析 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB→＝DC →，AD →＝BC →，因为CE→＝－2DE →，所以ED →＝－13DC →＝－13AB →， 连接AF ，在△AEF 中，所以EF→＝EA →＋AF →＝ED →－AD →＋AB →＋BF →＝－13AB →－AD →＋AB →＋12BC →＝23AB →－12AD →， 又因为EF→＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝－12，故x ＋y ＝16.考点一 平面向量的坐标运算1.已知四边形ABCD 的三个顶点A (0，2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C.(3，2)D.(1，3)答案 A解析 设D (x ，y )，AD →＝(x ，y －2)，BC →＝(4，3)，又BC →＝2AD →，所以⎩⎨⎧4＝2x ，3＝2（y －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，故选A.2.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 D解析 以向量a 和b 的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，∴a ＝AO→＝(－1，1)，b ＝OB →＝(6，2)，c ＝BC →＝(－1，－3)， ∵c ＝λa ＋μb ，∴(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)， 则⎩⎨⎧－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，∴λμ＝－2－12＝4.3.(2020·西安调研)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，若OA →绕点O 逆时针旋转60°得到向量OB →，则OB →＝( )A.(0，1)B.(1，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32答案 A解析 ∵OA→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，∴OA →与x 轴的夹角为30°， 依题意，向量OB →与x 轴的夹角为90°， 则点B 在y 轴正半轴上，且|OB →|＝|OA →|＝1，∴点B (0，1)，则OB→＝(0，1).4.(2021·重庆检测)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 轴上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝3，若OC→＝λOA →＋μOB →，则μλ＝( )A.－33B.33C.－3D.3答案 D解析 由三角函数定义，易知A (2，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C (3cos 240°，3sin 240°)，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332， 因为OC→＝λOA →＋μOB →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332＝λ(2，0)＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ－32μ＝－32，12μ＝－332，解得⎩⎨⎧λ＝－3，μ＝－3 3.所以μλ＝ 3.感悟升华 1.向量的坐标表示把点与数联系起来，实际上是向量的代数表示，即引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.2.向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用. 考点二 平面向量基本定理及其应用【例1】如图所示，已知在△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB→＝b . (1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE→＝λOA →，求实数λ的值. 解 (1)依题意，A 是BC 的中点，∴2OA→＝OB →＋OC →，即OC →＝2OA →－OB →＝2a －b . DC→＝OC →－OD →＝OC →－23OB → ＝2a －b －23b ＝2a －53b . (2)设OE→＝λOA →(0<λ<1)， 则CE→＝OE →－OC →＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE→与DC →共线， ∴存在实数k ，使CE→＝kDC →， (λ－2)a ＋b ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －53b ，解得λ＝45.感悟升华 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【训练1】 (1)在△ABC 中，M ，N 分别是边AB ，AC 的中点，点O 是线段MN 上异于端点的一点，且满足λOA →＋3OB →＋4OC →＝0(λ≠0)，则λ＝________.(2)(多选题)(2021·威海调研)设a 是已知的平面向量且a ≠0，关于向量a 的分解，有如下四个命题(向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线)，则真命题是( ) A.给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋cB.给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μcC.给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μcD.给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc 答案 (1)7 (2)AB解析 (1)法一 由已知得OA →＝－3λOB →－4λOC →，① 由M ，O ，N 三点共线，知∃t ∈R ，使OM →＝tON →，故2OM →＝2tON →，故OA →＋OB →＝t (OA →＋OC →)， 整理得OA→＝1t －1OB →＋t 1－tOC →，② 对比①②两式的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧－3λ＝1t －1，－4λ＝t 1－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－43，λ＝7. 法二 因为M 是AB 的中点，所以OM→＝12(OA →＋OB →)，于是OB→＝2OM →－OA →，同理OC →＝2ON →－OA →， 将两式代入λOA→＋3OB →＋4OC →＝0，整理得(λ－7)OA→＋6OM →＋8ON →＝0，因为M ，O ，N 三点共线，故∃p ∈R ，使得OM →＝pON →，于是(λ－7)OA→＋(6p ＋8)ON →＝0，显然OA→，ON →不共线，故λ－7＝6p ＋8＝0，故λ＝7. (2)∵向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，∴b ≠0，c ≠0， 给定向量a 和b ，只需求得其向量差a －b ，即为所求的向量c ，故总存在向量c ，使a ＝b ＋c ，故A 正确；当向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ，c 可作基底， 由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确； 取a ＝(4，4)，μ＝2，b ＝(1，0)，无论λ取何值，向量λb 都平行于x 轴，而向量μc 的模恒等于2， 要使a ＝λb ＋μc 成立，根据平行四边形法则，向量μc 的纵坐标一定为4， 故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；因为λ和μ为正数，所以λb 和μc 代表与原向量同向的且有固定长度的向量， 这就使得向量a 不一定能用两个单位向量的组合表示出来， 故不一定能使a ＝λb ＋μc 成立，故D 错误.故选AB. 考点三 平面向量共线的坐标表示角度1 利用向量共线求向量或点的坐标【例2】已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，O 为坐标原点，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________. 答案 (3，3)解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ).又AC→＝OC →－OA →＝(－2，6)， 由AP→与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)， 所以点P 的坐标为(3，3).法二 设点P (x ，y )，则OP→＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y4，即x ＝y .又AP→＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以点P 的坐标为(3，3).角度2 利用向量共线求参数【例3】 (1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ).若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)(2021·福州联考)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，且a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( ) A.8B.9C.6D.4答案 (1)12 (2)A解析 (1)由题意得2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以4λ－2＝0，即λ＝12.(2)由题意知AB→＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2).因为A ，B ，C 三点共线，设AB →＝λAC →，则(a －1，1)＝λ(－b －1，2).∴⎩⎨⎧a －1＝λ（－b －1），1＝2λ，得2a ＋b ＝1. 又a >0，b >0，则1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝2＋2＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝14，b ＝12时，等号成立. ∴1a ＋2b 的最小值为8.感悟升华 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【训练2】 (1)(2020·太原联考)已知向量e 1＝(1，1)，e 2＝(0，1)，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ＝________.(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝310，则向量OC →的坐标为________.答案 (1)－32 (2)(－3，9)解析 (1)由题意知a ＝e 1＋λe 2＝(1，1＋λ)， b ＝－(2e 1－3e 2)＝(－2，1).由于a ∥b ，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－32. (2)因为点C 在∠AOB 的平分线上，所以存在λ∈(0，＋∞)，使得OC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫OA →|OA →|＋OB →|OB →|. ∴OC→＝λ(0，1)＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35λ，95λ， 又|OC→|＝310，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－35λ2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫95λ2＝(310)2，解得λ＝5.故向量OC→＝(－3，9).A 级 基础巩固一、选择题1.设A (0，1)，B (1，3)，C (－1，5)，D (0，－1)，则AB →＋AC →等于( )A.－2AD →B.2AD→ C.－3AD →D.3AD→ 答案 C解析 由题意得AB →＝(1，2)，AC →＝(－1，4)，AD →＝(0，－2)，所以AB →＋AC →＝(0，6)＝－3(0，－2)＝－3AD→.2.已知向量a ＝(2，1)，b ＝(3，4)，c ＝(1，m )，若实数λ满足a ＋b ＝λc ，则λ＋m 等于( ) A.5 B.6C.7D.8答案 B解析 由平面向量的坐标运算法则可得a ＋b ＝(5，5)， λc ＝(λ，λm )，据此有⎩⎨⎧λ＝5，λm ＝5，解得λ＝5，m ＝1，∴λ＋m ＝6.3.(2020·郑州质检)已知向量AB →＝(1，4)，BC →＝(m ，－1)，若AB →∥AC →，则实数m的值为( ) A.14 B.－4C.4D.－14答案 D解析 ∵向量AB →＝(1，4)，BC →＝(m ，－1)， ∴AC→＝AB →＋BC →＝(1＋m ，3)， 又AB →∥AC →，所以1×3－4(1＋m )＝0，解得m ＝－14. 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为第一象限内一点，且∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( ) A.22 B.2C.2D.42答案 A解析 因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.5.(2021·济南调研)在△ABC 中，AN→＝14NC →，若P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB→＋25AC →，则实数m 的值为( ) A.－4 B.－1C.1D.4答案 B解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN →＝AB →＋n (AN →－AB →)＝AB→＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫15AC →－AB →＝(1－n )AB →＋n 5AC →.又AP →＝mAB →＋25AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－n ＝m ，n 5＝25，解得⎩⎨⎧n ＝2，m ＝－1.6.(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且a ∥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝( )A.－13B.13C.223D.－223答案 C解析 向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则13＝tan α·cos α＝sin α， 又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，知cos α＝－223，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos α＝223.7.(2020·西安质检)已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB ＝60°，设AD→＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λμ＝( )A.233B.33C.3D.23答案 A解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)，因为∠DAB ＝60°，所以设D 点的坐标为(m ，3m )(m >0).AD→＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝32m ， 所以λμ＝233.8.△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝(a ，b )，n ＝(cos B ，cos A )，则“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 由m ∥n 得b cos B －a cos A ＝0，即sin B cos B ＝sin A cos A ，可得sin 2B ＝sin 2A ，因为角A ，B ，C 分别是△ABC 的内角，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，可得△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 因此，由“m ∥n ”不能推出“△ABC 是等腰三角形”.因为由“△ABC 是等腰三角形”不能推出“A ＝B ”，所以由“△ABC 是等腰三角形”也不能推出“m ∥n ”.故“m ∥n ”是“△ABC 是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. 二、填空题9.已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________. 答案 (8，－15)解析 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP→＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15).10.(2021·武汉联考)已知非零向量a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，则x y ＝________. 答案 －14解析 因为a ＝(2x ，y )，b ＝(1，－2)，且a ∥b ，所以2x ·(－2)－y ·1＝0，所以xy ＝－14.11.已知矩形ABCD 的两条对角线交于点O ，点E 为线段AO 的中点，若DE →＝mAB →＋nAD→，则m ＋n 的值为________.答案 －12解析 如图所示，因为点E 为线段AO 的中点， 所以DE→＝12(DA →＋DO →)＝12DA →＋14DB → ＝－12AD →＋14AB →－14AD →＝14AB →－34AD →. 又DE→＝mAB →＋nAD →， 所以m ＝14，n ＝－34，故m ＋n ＝－12.12.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________. 答案 k ≠1解析 若点A ，B ，C 能构成三角形， 则向量AB→，AC →不共线.∵AB→＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·济南调研)已知向量e 1，e 2是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当OP →＝x e 1＋y e 2时，则称有序实数对(x ，y )为点P 的广义坐标.若平面α内的点A ，B 的广义坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则下列命题正确的是( )A.线段AB 的中点的广义坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22B.A ，B 两点间的距离为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2C.向量OA →平行于向量OB →的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1D.向量OA →垂直于向量OB →的充要条件是x 1y 2＋x 2y 1＝0 答案 AC解析 设线段AB 的中点为M ，则OM →＝12(OA →＋OB →)＝12(x 1＋x 2)e 1＋12(y 1＋y 2)e 2，所以点M 的广义坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，知A 正确；由于该坐标系不一定是平面直角坐标系，因此B 错误；由向量平行得OA →＝λOB →，即(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，所以x 1y 2＝x 2y 1，得C 正确；OA →与OB →垂直，则OA →·OB →＝0，所以x 1x 2e 21＋(x 1y 2＋x 2y 1)e 1·e 2＋y 1y 2e 22＝0，即x 1y 2＋x 2y 1＝0不是OA→与OB →垂直的充要条件，因此D 不正确.故选AC. 14.(多选题)(2021·日照调研)如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O 且三组对边分别平行，点A ，B 是“六芒星”(如图2)的两个顶点，动点P 在“六芒星”上(包含内部以及边界)，若OP →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y 的取值可能是( )A.－6B.1C.5D.9答案 BC解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，求x ＋y 的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下：(1)若P 在A 点，∵OA→＝a ，∴(x ，y )＝(1，0)；(2)若P 在B 点，∵OB→＝b ，∴(x ，y )＝(0，1)； (3)若P 在C 点，∵OC→＝OA →＋AC →＝2b ＋a ，∴(x ，y )＝(1，2)；(4)若P 在D 点，∵OD →＝OA →＋AE →＋ED →＝a ＋b ＋(2b ＋a )＝2a ＋3b ，∴(x ，y )＝(2，3)；(5)若P 在E 点，∵OE→＝OA →＋AE →＝a ＋b ，∴(x ，y )＝(1，1)；(6)若P 在F 点，∵OF →＝OA →＋AF →＝a ＋3b ，∴(x ，y )＝(1，3).∴x ＋y 的最大值为2＋3＝5.根据对称性，可知x ＋y 的最小值为－5. 故选BC.15.已知点P 为四边形ABCD 所在平面内一点，且满足AB →＋2CD →＝0，AP →＋BP →＋4DP →＝0，AP →＝λAB →＋μBC →(λ，μ∈R )，则λμ＝________. 答案 13解析 如图，取AB 的中点O ，连接DO . 由AB→＋2CD →＝0，知AB ∥CD ，AB ＝2CD ， 所以CD 綉OB ，所以四边形OBCD 为平行四边形. 又由AP→＋BP →＋4DP →＝0，得－2PO →＋4DP →＝0， 即PO →＝2DP →，所以D ，P ，O 三点共线，且P 为OD 上靠近D 的三等分点， 所以AP→＝AO →＋OP →＝12AB →＋23OD →＝12AB →＋23BC →， 所以λ＝12，μ＝23，所以λμ＝13.16.在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上的两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，则xy 的最大值为________. 答案 1解析 设DE 的中点为M ，连接AM (如图). 则AD→＋AE →＝2AM →＝xAB →＋yAC →， 所以AM→＝x 2AB →＋y 2AC →， 又B ，C ，M 三点共线， 所以x ＋y ＝2，且x >0，y >0，又x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1时，取等号，∴xy≤1，即xy的最大值为1.。

平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。

2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x AB --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。

(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。

(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。

(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。

3.向量平行的坐标表示: 结论：a //b (b ≠0)的充要条件是01221=-y x y x .二．练习1.在梯形ABCD 中，AB //CD ,CD AB 2=,F E ,是BA DC ,的中点，b AB a AD ==,,是以b a ,为基底表示EF BC DC ,,。

2.已知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e EF e EA 以==为基底，表示向量BD AD AB AF ,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－28.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________. 9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标． 18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -=a （2）()5lg ,2lg =b （3）()22,x xc -=（4）()x x d ,1-=A.1个B.2个C.3个D.4个。

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。