平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

平面向量的运算法则平面向量是解决平面几何问题的重要工具，通过向量的运算可以简化平面几何问题的处理过程。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算法则，以及其在几何问题中的应用。

一、平面向量的表示平面向量用有序数对表示，常用形式为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其中A和B分别表示向量的起点和终点，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)表示向量的坐标。

二、平面向量的加法平面向量的加法指的是将两个向量按照特定的法则相加，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和C可以表示为C(x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

三、平面向量的减法平面向量的减法指的是计算出一个新的向量，使得用该向量加上被减向量等于另一个向量。

设有向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则向量A 与向量B的差D可以表示为D(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法指的是将一个向量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有向量A(x, y)和实数k，kA可以表示为kA(kx, ky)。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘指的是两个向量的对应坐标相乘后相加的运算。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的点乘可以表示为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。

六、平面向量的叉乘平面向量的叉乘指的是两个向量按照一定的法则相乘，得到一个新的向量。

设有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的叉乘可以表示为A×B = x₁y₂ - x₂y₁。

七、平面向量的模长平面向量的模长指的是一个向量的长度，可以通过勾股定理求得。

设有向量A(x, y)，则向量A的模长可以表示为|A| = √(x² + y²)。

八、平面向量的单位向量平面向量的单位向量指的是模长为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

设有向量A(x, y)，则向量A的单位向量可以表示为Â = (x/|A|, y/|A|)。

平面向量一.向量有关概念:1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量与数量的区别。

向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？(向量可以平移)。

如:2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:,注意零向量的方向就是任意的;3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量就是||AB AB ±u u u r u u u r);4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;5.平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量,记作:∥,规定零向量与任何向量平行。

提醒:①相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行就是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性！(因为有0r);④三点A B C 、、共线⇔ AB AC u u u r u u u r、共线; 6.相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量就是－。

如下列命题:(1)若a b =r r,则a b =r r 。

(2)两个向量相等的充要条件就是它们的起点相同,终点相同。

(3)若AB DC =u u u r u u u r ,则ABCD 就是平行四边形。

(4)若ABCD 就是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r 。

(5)若,a b b c ==r r r r ,则a c =r r。

(6)若//,//a b b c r r r r ,则//a c r r。

其中正确的就是_______(答:(4)(5))二.向量的表示方法:1.几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如,注意起点在前,终点在后;2.符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如,,等;3.坐标表示法:在平面内建立直角坐标系,以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,j 为基底,则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r,称(),x y 为向量的坐标,＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。

2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。

同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。

故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。

3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。

它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。

4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。

（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。

专题六 平面向量6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a =(2,1),b =(-2,4),则|a -b |= ( )A.2B.3C.4D.5答案D 由题意知a -b =(4,-3),所以|a -b |=√42+(−3)2=5,故选D .2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n答案B 由题意可知,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =m -n ,又BD =2DA ,所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(m -n ),所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n -2(m -n )=3n -2m ,故选B .3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗ C.AD⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗ 答案 A AD⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43BC ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +43(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-13AB ⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗ .故选A. 4.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗ B.12AD ⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗ D.12BC⃗⃗⃗⃗ 答案 A 设AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则EB ⃗⃗⃗⃗ =-12b+a,FC ⃗⃗⃗⃗ =-12a+b,从而EB ⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗ =(−12b +a )+(−12a +b )=12(a+b)=AD ⃗⃗⃗⃗ ,故选A.5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ= . 答案12解析 由于a ,b 不平行,所以可以以a ,b 作为一组基底,于是λa +b 与a +2b 平行等价于λ1=12,即λ=12.6.(2015北京理,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ .若MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗ ,则x = ,y = .答案12;-16解析 由AM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗ 知M 为AC 上靠近C 的三等分点,由BN ⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗ 知N 为BC 的中点,作出草图如下:则有AN⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),所以MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗ -AM ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )-23·AC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗ , 又因为MN ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗ ,所以x=12,y=-16. 7.(2013江苏,10,5分)设D,E 分别是△ABC 的边AB,BC 上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 . 答案12解析 DE ⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗ )=-16AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ , ∵DE⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗ ,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=12. 考点二 平面向量的基本定理及坐标运算1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3),则向量BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4)答案 A 根据题意得AB ⃗⃗⃗⃗ =(3,1),∴BC ⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗ -AB⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 2.(2014北京文,3,5分)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则2a -b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9)答案 A 由a =(2,4)知2a =(4,8),所以2a -b =(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 3.(2014广东文,3,5分)已知向量a =(1,2),b =(3,1),则b -a =( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 答案 B b -a =(3,1)-(1,2)=(2,-1).故答案为B.4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a =(3,2)表示出来的是( )A.e 1=(0,0),e 2=(1,2)B.e 1=(-1,2),e 2=(5,-2)C.e 1=(3,5),e 2=(6,10)D.e 1=(2,-3),e 2=(-2,3) 答案 B 设a=k 1e 1+k 2e 2,A 选项,∵(3,2)=(k 2,2k 2),∴{k 2=3,2k 2=2,无解.B 选项,∵(3,2)=(-k 1+5k 2,2k 1-2k 2), ∴{−k 1+5k 2=3,2k 1−2k 2=2,解之得{k 1=2,k 2=1. 故B 中的e 1,e 2可把a 表示出来. 同理,C 、D 选项同A 选项,无解.5.(2021全国乙文,13,5分)已知向量a =(2,5),b =(λ,4),若a ∥b ,则λ= .答案85解题指导:利用“若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2=x 2y 1”解题.解析由已知a ∥b 得2×4=5λ,∴λ=85.解题关键:记准两平面向量共线的充要条件是解这类问题的关键.6.(2017山东文,11,5分)已知向量a =(2,6),b =(-1,λ).若a ∥b ,则λ= . 答案 -3解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b =(-1,λ),a ∥b , ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3.7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m= . 答案 -6解析 因为a ∥b ,所以m 3=4−2,解得m=-6. 易错警示 容易把两个向量平行与垂直的条件混淆. 评析 本题考查了两个向量平行的充要条件.8.(2014陕西,13,5分)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ= . 答案12解析∵a∥b,∴sin 2θ×1-cos2θ=0,∴2sin θcos θ-cos2θ=0,∵0<θ<π2,∴cos θ>0,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=1 2 .。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。

平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。

本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。

一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。

可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。

二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。

具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。

三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。

对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。

四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。

设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。

五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。

设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。

一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。

平面向量平面向量的相关概念B 向量加法与减法C 向量的数乘C 向量的线性运算两个向量共线B 平面向量的基本定理A 平面向量的正交分解及其坐标表示B 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算C 平面向量的基本定理及坐标表示用坐标表示的平面向量共线的条件C 数量积C 数量积的坐标表示C 用数量积表示两个向量的夹角B 平面向量的数量积用数量积判断两个平面向量的垂直关系C 平面向量向量的应用用向量方法解决简单的问题B1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的条件．3.了解向量的线形运算性质及其几何意义．4.了解平面向量的基本定理及其几何意义；掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算；会用坐标表示平面向量共线的条件．5.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；知道平面向量数量积与向量投影的关系；6.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系板块一：向量的线性运算（一）知识内容向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．1．向量的概念：⑴ 向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．⑵ 向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：，注意起点在前，AB u u u r终点在后．⑶ 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．⑷ 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线．如果向量的基线互相平行或AB u u u r AB u u u r重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作∥．a r b r a r b r说明：共线向量的方向相同或相反，　注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．　⑸ 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：．零向量的方向不确定，零向量与任意向0r量平行．⑹ 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位O a r O OA a =u u u r rA O 置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量．a r OA u u u rA O 2．向量的加法：⑴ 向量加法的三角形法则：已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和的,a b r r A AB a =u u u r r BC b =u u u r r AC u u u r AC u u u r a r b r和（或和向量），记作，即．a b +r r a b AB BC AC +=+=r r u u u r u u u r u u u r⑵ 向量求和的平行四边形法则：① 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以，为a rb r AB a =u u u r r AD b =u u u r r A B D AB u u u r AD u u u r邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边形法ABCD AC a b =+u u u r r r则．② 向量的运算性质：向量加法的交换律：a b b a+=+r r r r向量加法的结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r r r关于：0r 00a a a+=+=r r r r r ⑶ 向量求和的多边形法则：已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点n n n 的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．n 3.向量的减法：⑴ 相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作．a r a r a -r零向量的相反向量仍是零向量．⑵ 差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量BA u u u rO OA u u u r O ，或简记“终点向量减始点向量”．OB u u u r⑶ 一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量4.数乘向量：定义：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长λa r a λr a λr a a λλ=r r判断正误：已知．λμ∈R ，①；（√）②；（√）()a b a b λλλ+=+r r r r()a a a λμλμ+=+r r r③；（√） ④．（×）()()a a λμλμ=r r()()a b a b λμλμ+=++r r r r 5.向量共线的条件⑴ 平行向量基本定理：如果，则∥；反之，如果∥，且，则一定存在唯一的一a b λ=r r a r b r a r b r 0b ≠r r个实数，使．λa b λ=r r⑵ 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量．如a r a r 1a r果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或．a r 0a u u r 0a a a =r r u u r0a a a=ru u r r （二）典例分析【例1】⑴ 已知的两条对角线交于点，设，，用向量和表示向量，．ABCD □O AB a =u u u r r AD b =u u u r r a r b r BD u u u r AO u u ur ⑵ 已知的两条对角线交于点，设对角线=，=，用，表示，．ABCD □O AC u u u r a r BD u u u r b r a r b rBC u u u r AB u u u r 【例2】设是正六边形的中心，若，，试用向量，表示、、　．P OABCDE OA a =u u u r r OE b =u u u r r a r b r OB u u u r OC u u u r OD u u u r【例3】如图，、分别是的边、的靠近的三等分点．M N ABC ∆AB AC A 求证：，且∥．13MN BC =MN BC 【例4】⑴已知，则3()2(2)4()0m a m a m a b -++-+-=u r r u r r u r r r rm =u r ⑵已知，方向相同，且，，则a rb r 3a =r 7b =r 2a b -=r r【例5】已知矩形中，宽为，长为，，，，试作出向量，并求其ABCD 2AB u u u r a =rBC b =u u u r r AC c =u u u r r a b c ++r r r 长度．【例6】下列命题中正确的有：（）⑴四边形是平行四边形当且仅当；ABCD AB DC =u u u r u u u rCBNMA⑵向量与是两平行向量；AB u u u r BA u u u r⑶向量与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上；AB u u u rCD u u u r A B C D ⑷单位向量不一定都相等；⑸与共线，与共线，则与也共线；a r b r b r c r a r c r⑹平行向量的方向一定相同；【例7】如图所示，，，，…，是的个等分点，以，，…，及这个点中任意两1A 2A 3A 8A O e 81A 2A 8A O 9【例8】（第14届“希望杯”全国数学邀请赛）已知正六边形，在下列表达式：ABCDEF ①；②；③；④中，与等价的有（ ）BC CD EC ++u u u r u u u r u u u r 2BC DC +u u u r u u u r FE ED +u u u r u u u r 2ED FA -u u u r u u u rAC u u u r A ．个 B ．个 C ．个 D ．个1234【例9】设是不共线的向量，已知向量，若三点共线，12,e e u r u u r 1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u rA B D 、、求的值．kA 35A【例10】设，，为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知与共线，且与共线，则a rb rc r a b +r r c r b c +r r a r．b ac ++=r r r【例11】证明：若向量的终点共线，当且仅当存在实数,,OA OB OC u u u r u u u r u u u rA B C 、、,λμ满足等式，使得．1λμ+=OC OB OA λμ=+u u u r u u u r u u u r【例12】（2007年江西）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，ABC △O BC O AB AC M N 、若，，则的值为 ．AB mAM =u u u r u u u u r AC nAN =u u u r u u u rm n +【例13】（2008年全国Ⅰ）在中，，．若点满足，则（）ABC △AB c =u u u r r AC b =u u u r r D 2BD DC =u u u r u u u r AD =u u u rONMCBAA ．B ．C ．D ．2133b c +r r 5233c b-r r 2133b c-r r 1233b c+r r⑵（2009安徽高考卷）在平行四边形中，和分别是边和的中点．若，其中，，ABCD E F CD BC AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R 则 ．λμ+=【例14】在平行四边形中，和分别是边和的点．且，，ABCD E F CD BC 1BF a FC a =-1DE bEC b=-若，其中，，则 ．AC AE AF λμ=+u u u r u u u r u u u rλμ∈R λμ+=【例15】（2008湖南）设，，，分别是的三边、、上的点，且D E F ABC ∆BC CA AB 2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r 则与（ ）AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r BC u u u rA ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直板块二：向量的分解与基本定理（一）知识内容1．平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，1e u r 2e u u ra r 存在唯一的一对实数，，使．1a 2a a =r 1122a e a e +u r u u r2．基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作1e u r 2e u u r．叫做向量关于基底的分解式．{}12,e e u r u u r 1122a e a e +u r u u r a r {}12,e e u r u u r说明：⑴ 定理中，是两个不共线向量；1e u r 2e u u r⑵ 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；a r1a 2a ⑶ 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．<教师备案>⑴ 平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点，作，，．O 11OE e =u u u u r u r22OE e =u u u u r u u r OA a =u u u r r 由于与不平行，可以进行如下作图：1e u r 2e u u r过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 2OE 1OE M 过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，A 1OE 2OE N 于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和1a 2a 分别有，，所以11OM a e =u u u u r u r 22ON a e =u u u r u u r 1122a OA OM ON a e a e ==+=+r u u u r u u u u r u u u r u r u u r证明表示的唯一性：如果存在另对实数，使，则，x y 12OA xe ye =+u u u r u r u u r 112212a e a e xe ye +=+u r u u r u r u u r即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，1122()()0x a e y a e -+-=u r u u r r 1e u r 2e u u r1x a -2y a -0不妨设，则，20y a -≠1212x a e e y a -=--u u r ur 由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛1e u r 2e u u r盾，因此，，即，．10x a -=20y a -=1x a =2y a =⑵ 证明，，三点共线或点在线上的方法：A B P 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，A B l O l l P t 使关于基底的分解式为 ……①，并且满足①式的点一OP u u u r {},OA OB u u u r u u u r (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rP 定在上．l 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数P l ，使，t AP t AB =u u u r u u u r ()t OB OA =-u u u r u u u r ∴(1)OP OA AP OA tOB tOA t OA tOB=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 设点满足等式，则，即在P (1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u rAP t AB =u u u r u u u r P 上．l 其中①式可称为直线的向量参数方程式，当时，l 12t =点是的中点，则，这是向量的中点的向量表达式．可推广到M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r AB u u u r中，若为边中点，则有存在．OAB ∆M AB 1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r（二）典例分析【例16】已知的两条对角线与交，是任意一点．ABCD □AC BD E O 求证：+++=OA u u u r OB u u u r OC u u u r OD u u u r 4OEu u u r【例17】如图，已知的面积为，、分别为边、上的点， 且ABC ∆214cm D E AB BC ，、交于点，求的面积．::2:1AD DB DE CE ==AE CD P APC ∆【例18】如图，平行四边形中，分别是的中点，为的交点，若=，ABCD E F 、BC DC 、G DE BF 、AB u u u r a r ADu u u r=，试以，为基底表示、、．b r a r b r DE u u u r BF u u u r CG u u u r 【例19】证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．PE CBA【例20】已知五边形，、、、分别是边、、、的中点，、分别是ABCDE M N P Q AB CD BC DE K H 和的中点，求证：平行且等于．MN PQ KH 14AE 【例21】四边形中，，，，分别为，，，的中点，为的中点，试用ABCD E F M N BC AD BD AC O MN 向量的方法证明：也是的中点．O EF 【例22】⑴（2008年广东高考）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点ABCD AC BD O E ，OD AE CD ．若，，则（ ）F AC a =u u u r r BD b =u u u r r AF =u u u rED CBA MNP Q K H60︒45︒EDCAA ．B ．1142a b +r r 2133a b+r r C ．D ．1124a b +r r 1233a b+r r ⑵（2009年湖南高考）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若， 则 ， = ．AD xAB y AC =+u u u r u u u r u u u rx =y 【例23】（2009年天津高考改编）若等边的边长为，平面内一点满足，则，ABC ∆M 1263CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r MA =u u u r．（用，向量表示）MB =u u u rCB u u u r CA u u u r 家庭作业习题1.根据图示填空：⑴ ；⑵．a b +=r r e b d ++=r r u r 习题2.化简下列各式：⑴ ；⑵ 7()8()a b a b +--r r r r 12(2)(432)6a b c a b c +---+r r r r r r习题3.⑴ 设向量，且点的坐标为，则点的坐标为．(2,3)AB =u u u rA (1,2)B ⑵ 已知，若，则 ，．(2,3),(1,2)a x b y =-=+r ra b =r r x =y =习题4.⑴ 已知，则与垂直的单位向量的坐标为 ；(4,2)a =ra r ⑵ 若，则的坐标为_________．(2,1)a =r (3,4)b =-r34a b +r r 月测备选习题1.⑴（2003年河南）已知四边形是菱形，点在对角线上（不包括端点，），则等于（ ）ABCD P AC A C AP u u u rA ．，()AB AD λ+u u u r u u u r(01)λ∈，B ．， ()AB BC λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝C ．， ()AB AD λ+u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝D ．，()AB BC λ-u u u r u u u r 0λ⎛∈ ⎝⑵已知向量，满足，，，则等于（ ）a rb r 1a =r 2b =r 2a b -=r r a b +r rA ．BCD 1习题2.已知：四点，，，．求证：四边形是梯形．(5,1)A (3,4)B (1,3)C (5,3)D -ABCD习题3.如图，、分别是平行四边形的边、的中点，、与对角线分别交于点E F ABCD AD CD BE BF AC 和点．求证．（向量法）R T AR RT TC ==TRF E D CB A。

平面向量知识点总结(精华)一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是既有大小又有方向的量。

例如，物理学中的力、位移等都是向量。

我们可以用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量的表示：几何表示：用有向线段AB表示，其中\(A为起点，\(B为终点。

字母表示：用小写字母a、b、c等表示。

2. 向量的模向量AB或a的大小称为向量的模，记作AB或a。

模是一个非负实数，例如，若a=(x,y)，则a=x^2+y^2。

3. 零向量长度为\(0的向量称为零向量，记作0。

零向量的方向是任意的。

4. 单位向量模等于\(1的向量称为单位向量。

对于非零向量a，与它同方向的单位向量记作e=aa。

例如，向量a=(3,4)，则a= 5，同方向的单位向量e=(35,45)。

5. 平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量称为平行向量。

规定：零向量与任意向量平行。

若向量a与b平行，记作a。

例如，a=(1,2)，b=(2,4)，因为b = 2a，所以a。

6. 相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

若AB=CD，则\(A与\(C重合，\(B与\(D重合，且AB=CD，方向相同。

二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则：已知向量a、b，在平面内任取一点\(A，作AB=a，BC=b，则AC=a+b。

平行四边形法则：已知向量a、b，以同一点\(O为起点作OA=a，OB=b，以\(OA、\(OB为邻边作平行四边形\(OACB，则OC=a+b。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a。

结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)。

2. 向量的减法相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a。

向量减法的定义：ab=a+(b)。

其几何意义是：已知向量a、b，在平面内任取一点\(O，作OA=a，OB=b，则BA=ab。

3. 向量的数乘定义：实数\(与向量a的乘积是一个向量，记作a。

【平面向量】（1）平面向量的基本概念和基本定理： 考点．．1．重要的概念．．．．．①基本概念向量、向量的模（长度），向量的表示，自由向量、相等向量，相反向量，位置向量，零向量、共线向量、单位向量、基线、数乘向量、基向量、坐标、正交基底、向量的数量积、夹角、正射影 考点．．2．重要的定理．．．．． ②基本定理：平行向量基本定理（掌握）、平面向量基本定理（了解）向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa ∥b (b≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e （2）平面向量的基本运算：（几何运算、代数运算、坐标运算） 考点３重要的运算 ① 向量的加法几何运算：如图，已知向量a 、在平面内任取一点A ，作a AB =，b BC =，则向量AC叫做a 与b 的和，记作b a +，即 AC BC AB b a =+=+特殊情况：(1)BBabba +ba +AABC C)2()3(对于零向量与任一向量a ，有 a a a =+=+00向量加法的运算律：a +b =b +a (a +b ) +c =a + (b +c )向量的加法的代数运算：AC BC AB b a =+=+向量的加法的坐标运算： 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， ② 向量的减法向量的减法的几何运算： 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA = a , OB = b , 则BA = a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量注意：1︒AB 表示a - b 强调：差向量“箭头”指向被减数 2︒用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b 向量减法的运算律：向量的减法的代数运算：AB =OB -OA向量的减法的坐标运算：若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a -),(2121y y x x --= 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)③ 向量的数乘 向量的数乘的几何计算示例：已知非零向量a ，作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a) OC =BC AB OA ++=a +a +a =3aPN =MN QM PQ ++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a向量的数乘的运算律： 结合律：λ(μa )=(λμ)a①第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa②第二分配律：λ(a +b )=λa+λb ③向量的数乘的代数运算：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a|（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0a -bA AB B B’ O a -ba a bb O A O Ba -ba -b B A O -b向量的数乘的坐标运算若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=④向量的数量积向量的数量积的几何计算：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0向量的数量积的几何意义： 数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b | 两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0︒≤θ≤180︒向量的数量积的运算律：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ 2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒cos θ =||||b a ba ⋅C5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |向量的数量积的代数运算： 交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb ) 分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２， （ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = b a⋅2121y y x x += 设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x 平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a +=或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式).两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=典型例题例1如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船的实际航行的速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示). 解：例2 已知a(1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：例3 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：例4已知a= (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：例5已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b的夹角是多少?例6 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b和向量AB 的坐标 解：例7 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值 解：例8若非零向量a 和b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜证明：a ⊥b证法一：证法二：例9 已知向量a 是以点A (3，－1)为起点，且与向量b ＝（－3，4）垂直的单位向量，求a 的终点坐标说明：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆本章知识网络结构运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则2三角形法则),(2121y y x x b a ++=+a b b a +=+)()(c b a c b a ++=++ AC BC AB =+向 量 的 减 法三角形法则),(2121y y x x b a --=-)(b a b a -+=-BA AB -= AB OA OB =-向 量 的 乘 法1a λ是一个向量,满足: 2λ>0时,a λ与a 同向;λ<0时,a λ与a 异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ=a a )()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(a ∥b a b λ=⇔向 量 的 数 量 积b a •是一个数 10=a 或0=b 时, b a •=020≠a 且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =•2121y y x x b a +=•a b b a •=•)()()(b a b a b a •=•=•λλλc b c a c b a •+•=•+)( 22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤•重要定理、公式：．．．．．．．．(1)平面向量基本定理21,e e是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数21,λλ，使2211e e aλλ+= (2)两个向量平行的充要条件MO N BAD Ca ∥b ⇔a＝λb ⇔01221=-y x y x(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b＝O ⇔02121=+y y x x平面向量习题1、已知,OAOB a b ，且||||2a b ，∠AOB=60°，则||a b =____；a b 与b 的夹角为_____.2.已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____； 若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-AG __________ .3.已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点△BC P 与△ABP 的面积分别为s 1,s 2,则s 1:s 2=_________4.如图，AB 是半圆O 的直径，C , D 是弧AB 三等分点，M , N 是线段AB 的三等分点，若OA = 6，则→MD ·→NC 的值是 ．5、在半径为1的圆周上按顺序均匀分布着A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6六个点．则122323343445455656616112A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅＝ ．6、已知||1,||2,0,OA OB OA OB ==⋅=点C 在AOB ∠内，且045AOC ∠=，设OC mOA nOB =+，其中,m n R ∈，则mn等于__________. 7、已知在同一平面上的三个单位向量,,a b c ，它们相互之间的夹角均为120o ，且|1ka b c ++>｜，则实数k 的取值范围是8.设向量),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 21(),1,sin 4(θθ==d c ，其中)4,0(πθ∈.（1）求d c b a ⋅-⋅的取值范围；（2）若函数)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较的大小9.已知m R ∈, 2 (1, )a x m =-+，1 (1, )b m x =+， (, )x c m x m=-+.（Ⅰ）当1m =-时，求使不等式 1a c ⋅<成立的x 的取值范围； （Ⅱ）求使不等式 0a b ⋅>成立的x 的取值范围.10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量(1,2)a =-，又点(8,0),(,),(sin ,)(0)2A B n t C k t πθθ≤≤(1)若,AB a ⊥且||5||AB OA =，求向量OB ；(2)若向量AC 与向量a 共线，当4>时，且sin t θ取最大值为4时，求OA OC • 解:一、考题选析：例1、已知向量(2,3),(3,)a b λ=-=，若//a b ，则λ等于( )A 、23 B 、2- C 、92- D 、23- 例2、设两个向量22(2cos )λλα=+-，a 和sin 2m m α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则mλ的取值范围是（ ） Ａ、[]16，-Ｂ、[48]，Ｃ、]1[，-∞ Ｄ、]61[，-例3、在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A 、23B 、13C 、13-D 、23-例4、设平面向量321,,a a a 的和0321=++a a a 。

平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。

一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。

一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。

例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。

那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。

2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。

（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。

二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。

即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。

2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。

即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。

3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。

设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。

三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。

如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。

2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。

第一节平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理一、向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量。

有二个要素：大小、方向.二、向量的表示方法：1. 几何表示法：用有向线段表示---(有向线段：具有方向和长度的线段)；2. 字母表示法：用字母、等表示；3. 坐标表示法:分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。

任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作(其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标)特别地，，，。

；若，，则，三、向量的有关概念1.零向量：长度为0的向量叫零向量，记为；2.单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）3.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.4.相反向量：长度相等且方向相反的向量叫相等向量.5.平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定与任一向量平行.性质：是唯一）（其中）6.垂直向量：两向量的夹角为性质：（其中）向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量。

四、向量的加法、减法：1. 向量的加法（1）平行四边形法则：（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）（2）三角形法则（3）多边形法则（三角形法则的推广）两个以上的非零向量相加：……即个向量……首尾相连成一个封闭图形，则有……2.向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。

即：-= + (-)；差向量的意义：= , =, 则=3.平面向量的坐标运算：若，，则，，。

4.向量加法的运算律：交换律：+=+；结合律：(+) +=+ (+)5.常用结论：（1）若，则D是AB的中点（2）||²+||²=2（||²+||²）（3）或G是△ABC的重心，则点G其中A（x1,y1），B（x2,y2），C（x3,y3）五、向量的模：1、定义：向量的大小，记为 || 或 ||2、模的求法：若，则 ||若，则 ||3、性质：（1）；（实数与向量的转化关系）（2），反之不然（3）三角不等式：（4）（当且仅当共线时取“=”）即当同向时，；当反向时，（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即六、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ（1）|λ|=|λ|||；（注意：实数与向量不能求和求差）（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ七、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。

专题七平面向量【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、平面向量的概念、线性运算及根本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及几何表示,理解向量的加、减法,数乘向量的运算及其几何意义,理解两向量共线的意义及表示.2.熟练掌握向量的线性运算,能进行准确、快捷的向量计算.1.从近几年高考命题来看,对本章的考查以根底题为主,主要考三局部内容:平面向量的线性运算及几何意义;平面向量的数量积的定义及运用数量积求长度、角度问题;平面向量的数量积的坐标表示.2.一般以选择题、填空题的形式直接进行考查,难度不大.解答题中有时与三角函数、解析几何等内容综合考查,以一个条件的形式出现.1.注意根底知识的识记,理解高考在这一章仍以求模、求夹角、应用平行或垂直关系解题为主,根底与能力并重,求解析几何与平面向量交汇问题的关键在于选择适宜的基底或坐标系,把未知向量用向量表示.2.向量主要考查数形结合思想与转化与化归思想的应用.平面向量的线性运算与数量积相结合的题目仍是考查的重点,对数量积的几何意义的理解不可无视.二、平面向量的数量积及向量的综合应用1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义;了解平面向量的数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.2.掌握求向量长度的方法;能运用数量积表示两个向量的夹角;会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.3.了解平面向量根本定理及其意义.【真题探秘】§7.1 平面向量的概念、线性运算及根本定理根底篇固本夯基【根底集训】考点一 平面向量的概念及线性运算1.设D 为△ABC 中BC 边上的中点,且O 为AD 边上靠近点A 的三等分点,那么( )A.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -12AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =-56AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 D2.设D,E,F 分别为△ABC 的三边BC,CA,AB 的中点,那么EB⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 A3.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,那么OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.4OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 D考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k+1,k-3),假设A,B,C 三点不能构成三角形,那么实数k 满足的条件是( ) A.k=-16 B.k=16 C.k=-11 D.k=1 答案 D5.点A(1,3),B(4,-1),那么与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.(35,-45) B.(45,-35)C.(-35,45)D.(-45,35) 答案 A6.向量a=(13,tanα),b=(cos α,1),且a ∥b,那么cos 2α=( )A.13B.-13C.79D.-79答案 C7.向量a=(1,1),点A(3,0),点B 在直线y=2x 上,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥a,那么点B 的坐标为 . 答案 (-3,-6)8.向量a,b,c 在正方形网格中的位置如下列图.假设c =λa +μb (λ,μ∈R),那么λμ= .答案 4综合篇知能转换【综合集训】考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略1.(2021辽宁葫芦岛期中,3)在△ABC 中,G 为重心,记AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么CG⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13a-23b B.13a+23bC.23a-13bD.23a+13b答案 A2.(2021安徽安庆调研,6)如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E 、F 两点,且交其对角线AC 于K,其中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ的值为( )A.29B.27C.25D.23答案 A3.(2021福建泉州四校第二次联考,11)如图,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设m=38,那么n=( )A.34 B.23 C.45 D.58答案 A考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略4.(2021东北三省三校二模,3)平面向量a=(1,1),b=(1,-1),那么向量12a-32b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2) 答案 D5.(2021甘肃、青海、宁夏联考,3)在平行四边形ABCD 中,A(1,2),B(-2,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3),那么点D 的坐标为( ) A.(6,1) B.(-6,-1) C.(0,-3) D.(0,3) 答案 A6.(2021北京西城月考,5)向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2m,m+1),假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数m 的值为( ) A.-17B.-3C.-35D.35答案 B【五年高考】考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2021课标Ⅰ,7,5分)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么( ) A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC ⃗⃗⃗⃗⃗C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 A2.(2021陕西,7,5分)对任意向量a,b,以下关系式中不恒成立····的是( )A.|a ·b|≤|a||b|B.|a-b|≤||a|-|b||C.(a+b)2=|a+b|2D.(a+b)·(a-b)=a 2-b 2答案 B3.(2021北京,13,5分)在△ABC 中,点M,N 满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NC ⃗⃗⃗⃗⃗ .假设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么x= ,y= . 答案12;-16考点二 平面向量根本定理及坐标运算4.(2021课标Ⅲ,12,5分)在矩形ABCD 中,AB=1,AD=2,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ+μ的最大值为( )A.3B.2√2C.√5D.2 答案 A5.(2021课标Ⅲ,13,5分)向量a=(1,2),b=(2,-2),c =(1,λ).假设c ∥(2a+b),那么λ= . 答案126.(2021课标Ⅱ,13,5分)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,那么实数λ= . 答案127.(2021江苏,6,5分)向量a=(2,1),b=(1,-2),假设ma+nb=(9,-8)(m,n ∈R),那么m-n 的值为 . 答案 -38.(2021上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 3教师专用题组1.(2021四川,7)设a,b 都是非零向量,以下四个条件中,使a |a|=b|b|成立的充分条件是( )A.a=-bB.a ∥bC.a=2bD.a ∥b 且|a|=|b| 答案 C2.(2021湖南,8,5分)点A,B,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC.假设点P 的坐标为(2,0),那么|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B3.(2021安徽,8)在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点Q 的坐标是( )A.(-7√2,-√2)B.(-7√2,√2)C.(-4√6,-2)D.(-4√6,2)答案 A4.(2021浙江,7)设a,b 是两个非零向量,以下说法正确的选项是( ) A.假设|a+b|=|a|-|b|,那么a ⊥b B.假设a ⊥b,那么|a+b|=|a|-|b|C.假设|a+b|=|a|-|b|,那么存在实数λ,使得b =λaD.假设存在实数λ,使得b =λa,那么|a+b|=|a|-|b| 答案 C5.(2021四川理,12,5分)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么λ= . 答案 26.(2021浙江,17,6分)正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是 ,最大值是 . 答案 0;2√57.(2021江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.假设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈R),那么m+n= .答案 3【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共45分)1.(2021辽宁东北育才学校三模)在△ABC 中,假设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么CP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.-34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.-14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C2.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,6)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,那么EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D.14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗答案 B3.(2021届九师联盟9月质量检测,5)向量a=(1,3),b=(2,-12),假设c ∥(a-2b),那么单位向量c=( )A.(-35,-45)或(35,45)B.(-35,45)或(35,-45)C.(-√22,-√22)或(√22,√22) D.(-√22,√22)或(√22,-√22)答案 B4.(2021河南平顶山一模,5)在平行四边形ABCD 中,E 是对角线AC 上一点,且AE=4EC,那么DE⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.45AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2021河北衡水金卷(六),10)点P 为四边形ABCD 所在平面内一点,且满足AB⃗⃗⃗⃗⃗ +2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +4DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R),那么λμ=( ) A.76B.-76C.-13D.13答案 D6.(2021届湖南衡阳八中模拟检测,6)在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD,BC 的交点为M,过M 作动直线l 分别交线段AC,BD 于E,F 两点,假设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),那么λ+μ的最小值为( )A.2+√37 B.3+√37C.3+2√37D.4+2√37答案 D7.(2021河南郑州一模,9)如图,在△ABC 中,N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点,点P 在线段BN 上且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211BC ⃗⃗⃗⃗⃗,那么实数m 的值为( )A.1B.13C.911D.511答案 D8.(2021安徽黄山一模,12)如图,在△ABC 中,∠BAC=π3,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 为CD 上一点,且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,假设△ABC 的面积为2√3,那么|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( )A.√2B.√3C.3D.43答案 B9.(2021宁夏银川一中一模,5)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是BN 上一点,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么实数t 的值为( )A.23 B.25 C.16 D.34答案 C二、多项选择题(每题5分,共10分)10.(改编题)以下说法中正确的选项是( ) A.假设a ∥b,b ∥c,那么a ∥cB.假设2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,S △AOC ,S △ABC 分别表示△AOC,△ABC 的面积,那么S △AOC ∶S △ABC =1∶6C.两个非零向量a,b,假设|a-b|=|a|+|b|,那么a 与b 共线且反向D.假设a ∥b,那么存在唯一实数λ使得a =λb 答案 BC11.(2021山东济南高一下学期期末学习质量评估)设点M 是△ABC 所在平面内一点,那么以下说法正确的选项是( ) A.假设AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是边BC 的中点 B.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 在边BC 的延长线上 C.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么点M 是△ABC 的重心D.假设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,且x+y=12,那么△MBC 的面积是△ABC 面积的12答案 ACD三、填空题(每题5分,共20分)12.(2021辽宁辽阳一模)设向量a=(-2,3),b=(3,1),c=(-7,m),假设(a+3b)∥c,那么实数m= . 答案 -613.(2021广东七校第二次联考,16)G 为△ABC 的重心,过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q,假设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么△ABC 与△APQ 面积的比值为 . 答案20914.(2021黑龙江大庆二模,16)W 为△ABC 的外心,AB=4,AC=2,∠BAC=120°,设AW ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么2λ1+λ2= . 答案 315.(2021届福建泉州实验中学第一次月考,15)设O 为△ABC 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么S △AOB ∶S △BOC ∶S △COA = . 答案 2∶3∶1。

专题15 平面向量的概念、线性运算、平面向量基本定理考点47平面向量的概念与线性运算1．（2014新课标I ，文6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. BC B ．12AD C ． D ． 12BC 【答案】C 【解析】=+11()()22CB AB BC AC +++=1()2AB AC +=AD ，故选C ． 2．（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e e B ．12(1,2),(5,2)=-=-e e C ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，所以只有B 成立． 考点48平面向量基本定理及其应用1．（2020江苏13）在ABC ∆中，4AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得9AP =，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是 ． 【答案】185【解析】由向量系数33()22m m +-=为常数，结合等和线性质可知321PA PD =， 故263PD PA ==，3AD PA PD AC =-==，故C CDA ∠=∠，故2CAD C π∠=-． 在ABC ∆中，3cos 5AC C BC ==；在ADC ∆中，由正弦定理得sin sin CD AD CAD C=∠， 即sin(2)sin 23182cos 23sin sin 55C C CD AD AD C AD C C π-=⋅=⋅=⋅=⨯⨯=． 2．（2018•新课标Ⅰ，理6文7）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，则(EB = )A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC + 【答案】A【解析】在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，∴12EB AB AE AB AD =-=- 11()22AB AB AC =-⨯+3144AB AC =-，故选A ． 3．（2015新课标Ⅰ，理7）设D 为?ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（ ）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 4．（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数和，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c 和实数，使λμ=+a b c ；④给定正数和，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ；上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】利用向量加法的三角形法则，易的①是对的；利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须，所以④是假命题．综上，本题选B ．5．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan 7α=，OB 与OC 的夹角为45．若OC =m OA +n OB （m ，n ∈R ），则m n += ．λμμλλμa μλb =+λμλμ+≥b c a【答案】3【解析】由可得72sin α=，，由OC =m OA +n OB 得22OC OA mOA nOB OA OC OB mOB OA nOB⎧⋅=+⋅⎪⎨⎪⋅=⋅+⎩，即2cos cos(45)2cos 45cos(45)m n m n ααα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩，两式相加得，2(cos cos 45)()(1cos(45))m n αα+=+++，所以22222cos 2cos 4510231cos(45)227221m n αα⨯+⨯++===+++⨯-⨯，所以． 6．（2013北京）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (λ，μ∈R )，则= ．【答案】4【解析】 如图建立坐标系，则()1,1a =-，()6,2b =，()1,3c =-．由c a b λμ=+，可得12,2λμ=-=-，∴4λμ=7．(2015北京)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x = tan 7α=2cos 10α=3m n +=λμ；y = ． 【答案】12 16【解析】由1111()3232MN MC CN AC CB AC AB AC =+=+=+-1126AB AC =- =x AB y AC +．所以12x ，16y ． 考点49平面向量的坐标运算及平面向量共线的充要条件1．（2019•新课标Ⅱ，文3）已知向量(2,3)a =，(3,2)b =，则||(a b -= )AB ．2 C．D ．50 【答案】A【解析】(2,3)a =，(3,2)b =，∴(2a b -=，3)(3-，2)(1=-，1)，2||(1)a b ∴-=-故选A ．2．（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】，所以，这样同方向的单位向量是． 3．（2011广东）已知向量a =（1，2），b =（1，0），c =（3，4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ． 14B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（2018•新课标Ⅲ，理13）已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(1,)c λ=．若//(2)c a b +，则λ= ．【答案】12【解析】向量(1,2)a =，(2,2)b =-，∴2(4,2)a b +=，(1,)c λ=，//(2)c a b +， ∴142λ=，解得12λ=．【答案】6-3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，(3,4)AB =-||5AB =134(,)555AB =-【解析】因为a ∥b ，所以2430m --⨯=，解得6m =-．6．（2015•新课标Ⅱ，理13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ． 【答案】12【解析】向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，(2)2a b t a b ta tb λ∴+=+=+， ∴12t t λ=⎧⎨=⎩，解得实数12λ=． 7．(2015江苏)已知向量(2,1)=a ，(1,2)=-b ，若(9,8)m n +=-a b （,m n ∈R ），则m n - 的值为___．【答案】－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-8．(2014北京)已知向量a 、b 满足1=a ，(2,1)=b ，且0λ+=a b (R λ∈)，则λ=__．【解析】∵||1=a ，∴可令(cos ,sin )θθ=a ，∵0λ+=a b ，∴cos 20sin 10λθλθ+=⎧⎨+=⎩，即2cos 1sin θλθλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得25λ=得||λ=9．（2014陕西）设20πθ<<，向量()sin 2cos θθ=，a ，()cos 1θ，b ，若∥a b ，则=θtan _______．【答案】12【解析】∵∥a b ，∴2sin 2cos θθ=，∴22sin cos cos θθθ=，∵(0,)2πθ∈，∴1tan 2θ=．。

平面向量及运算法则1、向量：（1）概念：既有 又有 的量叫做向量（2）表示：可以用有向线段来表示，包含三个要素： 、 和 ；记为AB 或 a （3）模：AB 的长度叫向量的模，记为||AB 或 ||a（4）零向量：零向量的方向是任意的单位向量是____________的向量.（5）相等向量： 的向量叫相等向量；（6）共线向量： 的向量叫平行向量，也叫共线向量 2、向量运算的两个法则： 加法法则：（1）平行四边形法则，要点是：统一起点； （2）三角形法则，要点是：首尾相接；减法法则：向量减法运算满足三角形法则，要点是统一起点，从 指向 。

3、实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘,记作a λ ，其长度与方向规定如下：（1）||a λ = ||||a λ；（2）λ> 0 时，a λ与a 同向；λ< 0 时，a λ与a 反向；（3）λ= 0 时，a λ=04、向量的线性运算满足： （1）()a λμ=（2）(λμ+)a = （3）()a b λ+=5、//a b (0)b a a λ⇔=≠其中R λ∈且唯一随堂练习1.给出下列命题：①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②两个单位向量是相等向量； ③若a =b, b=c,则a=c ；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； ⑤若|a |=|b |,则a =b 。

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若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线 其中正确命题的个数是（ ）DBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、如图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点,则DB AF -＝( )A. B.C.FED.BE3、在平行四边形ABCD 中，下列各式中成立的是（ ） A ．+=AB BC CA B ．+=AB AC BC C ．+=AC BA AD D ．+=AC AD DC4．下面给出的四个式子中，其中值不一定为0的是（ ） A.AB BC CA ++ B.OA OC BO CO +++ C.AB AC BD CD -+- D.NQ QP MN MP ++-5．在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形6、如图所示，OADB 是以向量=，=为边的平行四边形，又BM=31BC ，CN=31CD ．试用，表示OM ，ON ，．7、设两个非零向量1e 、2e 不是平行向量（1）如果AB =1e +2e ，BC =21e +82e ，CD =3(21e e -)，求证A 、B 、D 三点共线； （2）试确定实数k 的值，使k 1e +2e 和1e +k 2e 是两个平行向量．OADBCMN变式: 已知OA 、OB 不共线，OP =a OA +b OB ． 求证：A 、P 、B 三点共线的充要条件是a +b =1．1．平面向量的基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a = （2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。