现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)

−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
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利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
( sI − ห้องสมุดไป่ตู้)
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对域Ω（域Ω包含状态空间的原点）上定 义的时变函数 V ( x, t ) ，如果 V ( x, t ) 有一个 定常的正定函数作为下限，即存在一个 正定函数 W (x) ，使得 V ( x, t ) > W ( x ) , 对所有 t ≥ t0 ， x ≠ 0 V (0, t ) = 0 , 对所有 t ≥ t0 则称时变函数 V ( x, t ) 是正定的。
12
Ψ
q
图4.2 例4.2.1状态方程相图
从原点很小的领域出发的轨迹能保持在原点 附近, 但也不能逐渐趋向于原点, 或者说是稳定 的.
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例4.2.2 图4.1所示的电路中, 设电感和电容都是线 性的, 并且 R>0 , 则状态方程是
dΨ R = −VC − VR = −Cq − Ψ . dt L
本课程仅讨论扰动方程关于原点这个平衡状态的稳定 性问题, 这种所谓原点稳定性问题.
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4.2.2 能量函数
稳定性—相关—广义系统能量，Why？ Lyapunov函数—广义的系统能量函数
图4.1 RLC串联电路
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例4.2.1 图4.1所示的电路中, 设电感和电容都是线 性的, 并且 R = 0 . 以电感磁通 Ψ 和电容电荷 q 为状 态变量, 可写出状态方程,
9
稳定性问题的一种简化:
任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡 状态）或给定运动都可通过适当的坐标变换, 转化 为另一个方程的坐标原点.
x = f ( x, t ) xR (t )
y = x(t ) − xR (t )
y = x(t ) − xR (t )
= f ( x, t ) − xR (t ) = f ( y + xR , t ) − xR (t )
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x2
S (δ )
S (ε )
( x0 , t0 )
x1
x(t )
图4.6 Lyapunov意义下的渐近稳定之一
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定义4.2.2 系统 x = f ( x, t ) 的平衡 状态 xe , 如果对应于每一个ε>0 , 存在一个 δ>0（与 ε 和t0 有关）, 使 得初始状态在S(δ)内的轨迹始 终在S(ε)内 ,并且当 t → ∞时x(t)→ xe, 此平衡状态称为在Lyapunov意 义下是渐近稳定的.
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从方程的解，可以得出系统能量的衰减
t →∞
lim W = lim WL + lim WC
t →∞ t →∞
= lim ∫ iL (τ1 )dτ1 + lim ∫ VC (τ 2 )dτ 2
t →∞ 0 t →∞ 0
Ψ
q
Cq 2 = lim + lim t →∞ 2 L t →∞ 2
2 1 −t −2t −t −2t lim ⎡(−2e + 2e )q0 + (−e + 2e )Ψ 0 ⎤ + = ⎦ 2 L t →∞ ⎣ 2 C −t −2t −t −2t lim ⎡(2e − e )q0 + (e − e )Ψ 0 ⎤ ⎦ 2 t →∞ ⎣
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• 稳定 • 渐近稳定 • 大范围渐近稳 定 • 一致稳定 • 一致渐近稳定 • 一致大范围渐 近稳定
δ 的选取与t0 无 关, 只与ε有关
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稳定性概念的几点说明:
• 稳定和渐近稳定的定义均是针对平衡点附 近的局部性质. • 对于线性系统, 渐近稳定等价于大范围渐近 稳定.
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4.3 Lyapunov第二方法
标量函数的不定性
如果在域Ω内，不论域Ω多么 小，既可为正值，也可为负值，则 标量函数称为不定的标量函数。
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例
V ( x) = x + 2 x
2 1 2 2
V ( x) = ( x1 + x 2 ) 2 V ( x) = − x12 − (3x1 + 2 x 2 ) 2
2 V（x) = x1 x 2 + x 2
6
4.2 Lyapunov意义下的稳定性
• • •
稳定到平衡状态—问题的简化 能量函数 Lyapunov意义下的稳定性定义
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4.2.1 平衡状态
非线性系统 (4.2.1) 式中x为n维状态向量, f (x,t) 是变量x1, x2,… xn和t 的n维向量函数. 如果在式(4.2.1)描述的系统中, 对所有时间t , 都有 f ( xe , t ) ≡ 0 (4.2.2) 则xe称为系统的平衡状态或平衡点.
现代控制理论
第4章 Lyapunov稳定性理论
浙江工业大学 信息与控制研究所
主要内容:
• • • • • • 概述 Lyapunov意义下的稳定性 Lyapunov第二方法 线性系统的稳定性分析 离散时间系统稳定性分析 Lyapunov稳定性方法在控制 系统分析中的应用
2
4.1 概 述
• 实际工程中的（闭环）系统必须平稳运行, 比如希望系统状态能保持在一个确定的工 作点附近 . • 用状态空间的说法是（闭环）系统运行渐 进到一个状态
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x = f ( x, t )
系统平衡状态的几点说明:
• 如果系统是线性定常的, 即 f (x, t)=Ax, 则当 A为非奇异矩阵时, 系统存在一个唯一的平 衡状态; 当A为奇异矩阵时, 系统将存在无穷 多个平衡状态. • 非线性系统则可以有一个或多个平衡状态 或者没有平衡状态, 这些状态对应于系统的 常值解.
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x2
S (ε )
S (δ )
x1
( x0 , t0 )
x(t )
x2
S (μ )
x1
T
t
图4.7 Lyapunov意义下的渐近稳定之二
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定义4.2.3 对系统的所有状态，如果由这些 状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡 状态xe=0称为大范围渐近稳定。 或者说，如果系统的平衡状态渐近稳定 的吸引域为整个状态空间，则称系统的平衡 状态为大范围渐近稳定的。 大范围渐近稳定的必要条件是在整个状 态空间中只有一个平衡状态。
–例
• 题外话，有些系统不能稳定
–例 – 控制作用体现
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状态量：P, h 造纸机—网前部—加压网前箱
4
• 1892年, 俄国数学家Lyapunov在其博士论文 《运动稳定性的一般问题》, 给出了
– 稳定性概念的严格数学定义 – 解决稳定性问题的一般方法 – 奠定了现代稳定性理论的基础.
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Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法, 即Lyapunov第一方法和Lyapunov第二方法.
−1
⎡s =⎢ ⎣2
s+3 ⎡ −1 ⎢ ( s + 1)( s + 2) −1 ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ −2 s + 3⎦ ⎢ ( s + 1)( s + 2) ⎣
1 ⎤ ( s + 1)( s + 2) ⎥ ⎥ s ⎥ ( s + 1)( s + 2) ⎥ ⎦
−1 ⎡ 2 ⎢ ( s + 1) + ( s + 2) =⎢ 2 ⎢ −2 ⎢ ( s + 1) + + ( s + 2) ⎣
2 2x2
正定的 正半定的 负定的 不定的 正定的
V ( x) = x +
2 1
1+ x
2 2
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Lyapunov第二方法
用 V ( x1 , x 2 , , x n , t ) 或者 V ( x, t ) 来表示 Lyapunov 函数， Lyapunov 函数关于时间的导数是
∂V ⎛ ∂V ⎞ + ∑⎜ dV ( x, t ) dt = ⎟ x ∂t i =1 ⎝ ∂x ⎠
• 正定和负定函数 • Lyapunov稳定性定理 • Lyapunov稳定性定理的应用
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标量函数的正定性