实变函数作业
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浅谈学习实变函数的感受从黎曼积分到勒贝格积分(第二师范学院，数信系，潘璋，1210503166)摘要：通过对Riemann 积分的缺陷的认识，我们对更广意义上的Lebesgue 积分进行与前者比较，得到其与Riemann 积分的联系与区别。
关键词：Riemann 积分 Lebesgue 积分 缺陷 联系 区别我们通过对数学分析的学习，接触到黎曼积分，作为数学分析的重要组成部分，我们在运用黎曼积分的同时意思到，黎曼积分有一定的缺陷，无论是在进行积分时的条件还是在其进行相关运算或变形时的条件都相当苛刻，这就造成了我们会存在很多死角，无法计算，得不到最后的结果。
在这种前提之下，我们得到了勒贝格积分，在下文中，我们讲仔细叙述黎曼积分的缺陷，以及用勒贝格积分弥补的各种情况，以及这两种积分在某种程度上的联系与区别。
一、 对于Riemann 积分的相关回顾以及Lebesgue 积分相关定义(一) Riemann 积分定义：设)(x f 在[]b a,上有定义1） 分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i ix f t s x x ∆∀-ξξ..,,13）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()01lim niiT i f x ξ→=∆∑存在()()01lim nbiiaT i x dx f xξ→==∆∑⎰(二) Riemann 积分的可积充要条件：11[,]()lim lim ()n ni i i i n T i i f R a b f x dx M X m X f x dx-→∞→==-∈⇔=∆=∆=∑∑⎰⎰其中M i =sup{f(x):1i i X x X -≤≤};m i =sup{f(x):1i i X x X -≤≤}.ni=10,0,0,,i i i i nT X T X ωεωεεηε≥⇔∀>∃∆<⇔∀>>∃∆<∑∑分划，分划例：Dirichlet 函数不是Riemann 可积。
证明：()0[0,1]1[0,1]\X Q D x X Q∈⋂⎧⎨∈⎩11()lim 1()lim 0iemann niii niii D x dx M XD x dx M XR -==-=∆==∆=∴∑⎰∑⎰不是积分(三) Riemann 积分的缺陷：1) 我们所知的牛顿莱布尼茨公式：b()()()'()()()baaf x dx F b F a F x dx F b F a =-⇔=-⎰⎰在运用公式的时候，Riemann 积分要求函数必须要连续。
相对应的解决方式，在勒贝格积分上要求被降低，即：[,]([,]),'([,])()'()()()a b f D a b f L a b L f x dx f b f a ∈∈⇔=-⎰2) 在Riemann 积分相关运算时，如：积分与极限交换次序时，对函数的要求大多数是一致收敛，这样的要求太过强烈，一致大部分函数无法运算。
例：设n ⊂⋂｛r ｝[0,1]Q 作函数列 121,0,1,[0,1]0,[0,1]\n (),1,2,3...f ()([0,1])lim iemann {{n r r n n X Q n X Qf x n x R f R ∈⋂∈→∞==∈，x=r 其他则，但（x ）=D(x)=不可积。
上述即表示：110lim()lim ()n n n n f x dx f x dx →∞→∞≠⎰⎰(四) lebesgue 积分定义：设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''E D ∀∈存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称()ini imE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==ni iim E B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和二、Riemann 积分与Lebesgue 积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。
对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f KE k ⎰∞→l i m存在，则f 在E 上勒贝格可积，且有()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim 。
当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足()dx x f KE k ⎰∞→lim <∞时，可以通过计算黎曼积分()dx x f E⎰而得到勒贝格积分()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim ，而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。
例如：设f 是区间[]b a ,上的有界单调函数，f 的不连续点至多是可列集，因此f 在[]b a ,上是几乎处处连续的，又因为f 在[]b a ,上是有界的，f 在[]b a ,上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积。
但是，必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。
又或者，例如：设()x f =x xsin ，在数分中，f 在[]∞,0上的广义黎曼积分收敛的，但不是绝对收敛的而f 在[]∞,0上不是勒贝格可积的平时我们在解勒贝格积分时，有很多可以先化为求黎曼积分。
勒贝格积分是黎曼积分的推广与发展,是一种新型积分理论。
相对于黎曼积分而言,勒贝格积分处理一些问题是相当灵活与自然的。
三、 Riemann 积分与Lebesgue 积分的联系黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性。
勒贝格积分比黎曼积分有明显的优势，它将可积函数类拓广为有界可测函数。
勒贝格积分的可积范围比黎曼积分广泛，比如：[]b a ,上的连续函数黎曼可积，也勒贝格可积，此外，还有非黎曼可积，但勒贝格可积的例子有很多，如[]10，上的Dirichlet 函数，就是黎曼不可积，但是勒贝格可积。
勒贝格积分包含了黎曼积分，故有这样的结论：()x f 在[]b a ,上黎曼可积，则有勒贝格可积，且积分值相同。
在数分中,经常遇到的一个重要问题是两种极限过程的交换次序问题,尤其是积分与函数列的极限的交换问题在那里，一般都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换但是，“一致收敛”这个条件是过于苛刻了,这也暴露出黎曼积分定义的缺陷。
其实黎曼积分与勒贝格积分大体上是相似的，仅从分割函数的定义域的角度来说，其区别在于黎曼积分所考虑的分划（如定义），只是把原来的区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的分划则是把[]b a ,分成有限多个互不相交的可测子集，由定义对比可知，前者的分划必是后者的分划，所以黎曼意义下的大、小和必是勒贝格意义下的大、小和，故得到相同的积分值。
因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性，所以平时我们运用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题。
例：已知()[][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈有理点小于无理点无理点大于1,001,0311,032x x x x x x f求()[]dx x f ⎰10，解：令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,01,3132x x x x x g ()()x g x f = a.e.于[]1,0()[]dx x f ⎰1,0=()[]dx x g⎰1,0=()dx x g ⎰1=dx xdx x ⎰⎰+13123103=3113031434x x +=324103 总结：1、勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。
断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。
2、勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
由勒贝格控制收敛定理可知,只要所给函数列可测、有界、收敛,积分与极限就可换序,这一点在三角级数、热学研究中非常重要。
4、勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分,它把黎曼积分作为一种特例加以概括,并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分。
由此可见,勒贝格积分和黎曼积分各有自己的优势和价值。
在计算连续函数的积分时, 黎曼积分要比勒贝格积分简便、优越。
但勒贝格积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面。
概率论,泛函分析等学科也受到勒贝格积分的积极影响。
此外, 勒贝格积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用。
参考文献：[1]、孙清华，孙昊实变函数内容、方法与技巧[M] 华中科技大学出版社，2004[2]、程其襄，张奠宙，魏国强等实变函数与泛函分析基础[M] 高等教育出版社第三版[3]、沈凤英浅谈勒贝格积分与黎曼积分[J] 苏州教育学院学刊 1987第一期[4]、侯有良实变函数论[M] 武汉大学出版社 2008。
