西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理

n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
2° 由定理4.6及定理4.7可以看出, 正态随机 变量的普遍性及其在概率论中所占有的重要地位.
例1-3 某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额±760元 的概率. 解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U(20, 100). 所以 E(Xi ) =60, D(Xi) =1600/3.
2
因为X1, X2,…, Xn相互独立, 所以Y1, Y2,…,Yn 相互独立, 根据定理4.6
n ⋅ Zn = ∑
n i =1
2 Xi
= ∑ Yi
i =1
n
⎛ n 4n ⎞ 近似服从正态分布 N ⎜ , ⎟, ⎝ 3 45 ⎠ ⎛1 4 ⎞ 故Zn近似服从正态分布 N ⎜ , ⎟. ⎝ 3 45 n ⎠
i =1
Bn
2+ δ − E X µ →0 i i 2+ δ ∑ i =1
1
n
{
}
则随机变量
∗ Yn =
∑ X i − ∑ µi
i =1 i =1
n
n
Bn
的分布函数Fn(x) 对于任意 x 满足
n→ ∞
lim Fn ( x ) = lim P {
n→ ∞
∗≤ x Yn
} = ∫− ∞
x
1 2π
2 t − e 2 dt
此学生通过考试的可能性很小, 大约只有 千分之五可能性.
定理4.8 棣莫佛-拉普拉斯定理 设随机变量Yn服从二项分布B(n, p), 则其标准化 随机变量
∗ Yn
Yn − np = np(1 − p )
⎫ 1 x⎬ = ∫ −∞ 2 π ⎭
2 t x − e 2 dt
的分布函数的极限为
⎧ Yn − np lim P ⎨ ≤ n → ∞ ⎩ np(1 − p )
由定理4.6得
⎧ Yn − np lim P ⎨ ≤ n→ ∞ ⎩ np(1 − p ) ⎧ n ⎪ ∑ X i − np ⎪ i =1 = lim P ⎨ ≤ n→ ∞ ⎪ np(1 − p ) ⎪ ⎩ 1 = 2 π ∫− ∞
2 t x − e 2 dt
⎫ x⎬ ⎭ ⎫ ⎪ ⎪ x⎬ ⎪ ⎪ ⎭
证毕.
注 1° 定理4.8表明正态分布是二项分布的极限 分布也称为“二项分布的正态近似”.
2° 与“二项分布的泊松近似”相比较, 两种近似
都要求n很大.
3° 实际应用中当n很大时, (1) 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似; (2) 如果 np ≥ 5 和 n(1− p ) ≥ 5 同时成立时, 采用正态近似.
例2 一份考卷由99个题目组成, 并按由易到难顺序 排列. 某学生答对1题的概率是 0.99; 答对第2题的 i 概率是0.98; 一般地, 他答对第 i 题的概率是1 − 100 (i=1, 2,…, 99), 假如该学生回答各问题是相互独立 的, 并且要正确回答其中60个问题以上(包括60)才算 通过考试. 试计算该学生通过考试的概率是多少? 解 设
第二节 中心极限定理
一、问题的提出 二、中心极限定理
下 下 回 回
停 停
一、问题的提出
由上一节大数定律,我们得知满足一定条件 的随机变量序列的算数平均值依概率收敛, 但 我们无法得知其收敛的速度, 本节的中心极限 定理可以解决这个问题. 在实际中, 人们发现 n 个相互独立同分布 的随机变量之和的分布近似于正态分布, 并且 n 越大,近似程度越好.
n
n
(n → ∞ )
i =1
i =1
另一方面, 因为 3⎞ ⎛ 3 3 ( ) E ⎜ X i − pi ⎟ = pi 1 − pi + pi (1 − pi ) ⎝ ⎠ = pi (1 − pi ) pi2 + (1− pi )2 ≤ pi (1 − pi ) < ∞
[
]
于是 3⎞ 1 1 n ⎛ ≤ →0 − E X p ⎜ ⎟ i ∑ i 1 3 ⎠ ⎡n Bn i =1 ⎝ ⎤2 (n → ∞ ) ⎢ ∑ pi (1 − pi )⎥ ⎣ i =1 ⎦ 即独立随机变量序列满足李雅普诺夫定理的条件.
99
而该学生通过考试的概率应为
⎛ 99 ⎞ ⎟ ≥ P⎜ X 60 i ∑ ⎜ ⎟ ⎝ i =1 ⎠
⎧ 99 ⎫ ⎪ ∑ X i − 49.5 ⎪ 60 − 49.5 ⎪ ⎪ i =1 = P⎨ ≥ ⎬ 16.665 16.665 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ = 1 − Φ(2.5735 ) = 0.0050
n→ ∞
lim Fn ( x ) = lim P {
n→ ∞
∗≤ x Yn
} = ∫− ∞
x
1 2π
2 t − e 2 dt
∗ 正态分布 N (0, 1), 记为Yn ~ AN (0, 1) . n越大,
∗ 注 1° 当 n → ∞ 时 ,随机变量 Yn 渐近服从标准
近似程度越好.
n i =1
2° Yn = ∑ X i ~ AN nµ, nσ 2
200
i=1, 2,…, 200,
则 X = ∑ X i 表示工作的机床台数 , 且
X ~ B (200,0.6 ).
i =1
问题是求r, 使
P {X ≤ r } =
k =0
200− k k k ( ) ( ) C 0 . 6 0 . 4 ≥ 0.999 ∑ 200
r
由棣莫佛−拉普拉斯中心极限定理, 有
∗ = 因此随机变量 Yn
∑ Xi − ∑ E(Xi )
i =1 i =1 n
n
n
⎛ ⎞ ⎟ D⎜ X ∑ i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 ⎠ 近似服从标准正× 100 i ⎞ ⎛ ( ) E X × = 49.5 1− ∑ i = ∑⎜ ⎟ = 99 − 100 2 100 ⎠ i =1 i =1 ⎝
求P {V > 105}的近似值 .
k =1
∑Vk ,
20
解 由于Vk∼U (0, 10 ), 易知 100 (k = 1, 2, E (Vk ) = 5, D(Vk ) = 12 由林德贝格-列维中心极限定理知
, 20 )
∗ Yn
V − 100 = = 近似服从标准正态 20 × 100 5 × 10 分布N(0, 1), 于是 12 3 ⎧ ⎫ ⎪V − 100 105 − 100 ⎪ P (V > 105 ) = P ⎨ > ⎬ 5 ⎪ 5 × 10 × 10 ⎪ 3 ⎩ 3 ⎭ ⎫ ⎧ ⎪V − 100 15 ⎪ = 1 − P⎨ ≤ ⎬ ≈ 1 − Φ (0.387 ) = 0.348 10 ⎪ ⎪ 5 × 10 ⎭ ⎩ 3
D( Yi ) = E (Yi 2 ) − [ E ( Yi )]2 = E ( X i4 ) − [ E ( Yi )]2 1 4 1 1 4 因为 E ( X i ) = ∫ xi ⋅ dxi = , −1 2 5
1 ⎛ 1⎞ 4 所以 D( Yi ) = − ⎜ ⎟ = , 5 ⎝ 3 ⎠ 45
2 B99 99 99
i ⎞⎛ i ⎞ ⎛ = ∑ D( X i ) = ∑ ⎜ 1 − ⎟⎜ ⎟ 100 ⎠⎝ 100 ⎠ i =1 i =1 ⎝ 1 99 2 = 49.5 − i 2∑ 100 i =1 1 99 × 100 × 199 = 49.5 − × = 16.665 2 6 100
99
⎧1, 学生答对第 i 题 Xi = ⎨ ⎩0, 学生答错第 i 题
(i = 1, 2, , 99)
于是 Xi 是两点分布: P {X i = 1} = pi ,
P {X i = 0} = 1 − pi
为了使其成为随机变量序列, 我们规定从 X1开始 都与X99同分布, 且相互独立, 于是
2 Bn = ∑ D( X i ) = ∑ Pi (1 − pi ) → ∞