第二节中心极限定理(概率论与数理统计)
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中心极限定理
N −120 −120 N −120 ≈Φ −Φ ≈Φ 48 48 48
N −120 由 Φ : ≥ 0.999, 48
N−120 − 查正态分布函数表得: Φ 查正态分布函数表得 (3.1) = 0.999, 故 , ： ≥ 3.1
: ,由 而 X = ∑Xk ,由 理可 随 变 : 定 , 知 机 量
k=1 近 地 似
400
概率论
X
400
~ N(400×1.1,400×0.19)
k
∑X
有 即 :
k=1
−400×1.1
400 0.19
X −400×0.8近似地 01 ) = ~ N（ ， 400 0.19
X −400×0.8 450−400×0.8 是 于 :P{X > 450 = P } > 400 0.19 400 0.19 X −400×0.8 =1− P ≤1.147 400 0.19
一 学 无 长 1名 长 2名 长 参 会 的 率 别 : 设 个 生 家 、 家 、 家 来 加 议 概 分 为 0.05、 、 若 校 有 名 生 0.8 0.15. 学 共 400 学 , 各 生 加 议 家 数 互 立 服 同 分 . 设 学 参 会 的 长 相 独 ,且 从 一 布
1 ） 参 会 的 长 X 过 的 率 （ 求 加 议 家 数 超 450 概 ； （ 求 1 家 来 加 议 学 数 多 的 率 2 ） 有 名 长 参 会 的 生 不 340 概 .
2) 独 同 布 心 限 理 另 种 式 写 : 立 分 中 极 定 的 一 形 可 为
似 近 地 似 σ2 X −µ 近 地 1 n 中 ~ N(0,1); X ~ Nµ, n , 其 X = n∑Xk . σ n k=1
概率论与数理统计：中心极限定理
中心极限定理无论随机变量12,,,,n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。
定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1ni i X =∑的标准化变量nin Xn Y μ-=∑的分布函数()n F x 对于任意X 满足2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪=≤==⎬⎪⎪⎩⎭∑⎰定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为20σ>的独立同分布的随机变量的和1ni i X =∑的标准化随机变量,不论12,,,,n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有~(0,1)nin Xn Y N μ-=∑近似,从而,当n 充分大时21~(,)nii XN n n μσ=∑近似.定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,令11nn i i X X n ==∑,则当n 充分大时~(0,1)N 近似,即2~(,/)n X N n μσ近似.例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率.解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则1001,i i Y X ==∑12100,,,X X X 相互独立,由()100,i E X=10,σ= 100n =知()100()10 000,i E X E X =⨯=()100()10 000,i D X D X =⨯=由独立同分布中心极限定理,~(10000,10000)Y N 近似,{}{10 200}110 200P Y P Y >=-≤10 00010 20010 0001100100Y P --⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭1(2)10.977 20.022 8.Φ≈-=-=定理5.6（李雅普诺夫定理）设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立,它们具有数学期望和方差2(),()0,1,2,k k k kE X D X k μσ==>=，记.122∑==nk k nB σ若存在正数δ,使得当∞→n 时,,0}|{|1122→-∑=++nk k knXE B δδμ则随机变量之和∑=n k k X 1的标准化变量nnk kn k kn k k n k k nk k n B X X D X E X Z ∑∑∑∑∑=====-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11111μ的分布函数)(x F n 对于任意x ,满足2/211lim ()lim d ().n nk k x t k k n n n n X F x P x t x B μΦ-==→∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪⎪=≤==⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑⎰ 定理5.7（棣莫佛—拉普拉斯定理）设随机变量(1,2,)~(,)(01),n n b n p p η=<<则对任意x ,有22lim d ().t x n P x t x Φ--∞→∞⎧⎫⎪≤==⎬⎪⎭⎰证明 由于n η可视为n 个相互独立、服从同一参数p 的(01)-分布的随机变量12,,,n X X X 的和,即有1nn i i X η==∑,其中(),()(1),i i E X p D X p p ==-1,2,i =,故由独立同分布中心极限定理可得22lim lim d ().n i n n t xX np P x P x t x Φ→∞→∞-⎧⎫-⎪⎪⎧⎫⎪⎪≤=≤⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎭==∑⎰, 定理5.7表明:若随机变量n η服从二项分布，即~(,)n b n p η，则当n 充分大时,有~(0,1)npN η-近似,从而,当n 充分大时~(,(1))n N np np p η-近似例5.4 假如某保险公司开设人寿保险业务，该保险有1万人购买（每人一份），每人每年付100元保险费,若被保险人在年度内死亡, 保险公司赔付其家属1万元.设一年内一个人死亡的概率为0.005试问:在此项业务中保险公司亏本的概率有多大？保险公司每年利润不少于10万的概率是多少？解 设X 表示一年内被保险人的死亡人数，则,~(10000,0.005)X b ,于是()100000.00550,()100000.0050.99549.75E X D X =⨯==⨯⨯=由棣莫佛—拉普拉斯定理,~(50,49.75)X N 近似.保险公司亏本,也就是赔偿金额大于10 000100100⨯=万元,即死亡人数大于100人的概率所以保险公司亏本的概率为(){100}1{100}117.050P X P X P Φ>=-≤=-≈-= 这说明,保险公司亏本的概率几乎是零.如果保险公司每年的利润不少于10万元,即赔偿人数不超过90人，则保险公司每年利润不少于10万的概率为(){90} 5.671P X ≤≈Φ≈Φ=.可见,保险公司每年利润不少于10万元的概率几乎是100%.。
概率与数理统计 第五章-2-中心极限定理
14 14
2
/ 10
1
P
X
n 14 0.2
0
1 (0) 0.5.
例2 计算机在进行数字计算时，遵从四 舍五入原则。为简单计，现在对小数点后面
第一位进行舍入运算，则舍入误差X可以认 为服从[－0.5 , 0.5]上的均匀分布。若独立进 行了100次数字计算，求平均误差落在区间
3 20
在这里，我们只介绍其中两个最基本 的结论。
1. 当n无限增大时，独立同分布随机变量“之 和”的极限分布是正态分布；
2. 当n 很大时，二项分布可用正态分布近似。
为方便，我们研究 n 个随机变量之和标 准化的随机变量
n
n
Xk E( Xk )
Yn k 1
k 1 n
D( Xk )
k 1
的极限分布。
(3) (3) 0.9973
2. 二项分布的极限分布
定理2.2 (棣莫佛——拉普拉斯定理):
设随机变量X1, X2, …, Xn, … 相互独立，
并且都 服从参数为 p 的两点分布(0<p<1) ，则
对任意 x∈(-∞,+∞)，有 E(Xi ) p.
n
lim
P
i 1
Xi
np
x
n
i1
i1
lim
P
i
1
Xi
n
x
x
1
-t2
e 2 dt
(x) ，
n n
- 2
其中Φ(x)是标准正态分布N(0, 1)的分布函数。
n
lim
P
i 1
Xi
n
x
x
n n-1Fra bibliotek- t2
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
中心极限定理
EX np DX np(1 p ) npq
当n =1时，即为0－1分布的期望和方差。
实验背景：n重伯努利试验
独立重复试验的特征： 1、每次试验都在相同条件下进行； 2、每次试验的结果是相互独立的； 3、每次试验有有限个确定的结果； 4、每次试验的结果发生的概率相同； 如果试验共进行n次，称为n重独立重复试验.
一次试验中事件A出现的次数。
在n重贝努利试验中， 若令Xi表示第i次试验中事件A发生的次数， 则 X i 服从0-1分布.
若令X表示n次试验中事件A发生的总次数， n 则X服从二项分布，即 X ~ B(n, p). 且 X X i .
i 1
另一方面，由于 X1 , X 2 , X n 独立同分布， 由独立同分布中心极限定理知，当n充分大时， 近似地有 X ~ N (np, np(1 p))
Sn np k np l np k Sn l np(1 p) np(1 p) np(1 p)
利用中心极限定理可知，当n比较大时，近 似的有 Sn np
np(1 p) ~ N (0,1)
所以
k np P (k Sn l ) P np(1 p) S n np np(1 p) l np np(1 p)
自从高斯指出测量误差服从正态分布 之后，人们发现，正态分布在自然界中 极为常见.
观察表明，如果一个量是由大量相 互独立的随机因素的影响所造成，而每 一个别因素在总影响中所起的作用不大 . 则这种量一般都服从或近似服从正态 分布.
高斯
(1777—1855) 德国
随机向量
6
这仅仅是经验之谈呢，还是确有理论依据呢？ 对于这样一个重要问题，在长达两个世纪内一直成 为概率论研究的中心问题。数学家们经过卓越的工 作建立了一系列定理，解决了这一问题. 这一类定理都叫做中心极限定理。
第五章 中心极限及大数定理《概率论与数理统计》西南交大峨眉校区剖析
定理 2（伯努利大数定理）：设进行了 n 次伯努利试验，事件 A 的频率为 fn ( A) ，
A 在每次试验中发生的概率为 p ，则对任意正数 ，有
lim
n
P(
fn (A)
p
)
1，
即 fn ( A) P p P(A) （ n ）。
（5.3）
伯努利大数定理说明，在 n 时，随机事件 A 发 生 的 频 率 fn ( A) 依 概 率 收 敛 于 事 件 A 发 生 的 概 率
P(8 Y
2) P( Y EY
5) P( Y EY
5)
1
DY 52
1 8 17 25 25
例 3：进行 100 次重复独立试验，事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.5 ，试利用切比雪夫 不等式估计 100 次试验中事件 A 发生的次数在 40 至 60 次之间的概率。
解：设随机变量 X 表示 100 次重复独立试验中事件 A 发生的次数，则 X ～ B(100, 0.5) ，
2．依概率收敛
定义 1：设 X1, , Xn, 是一个随机变量序列，如果对于任意的正数 ，
事件 Xn a 的概率当 n 时趋于 1，即
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列Xn 当 n 时依概率收敛于数 a ，
记为 X n P a （ n ）。
二、大数定理
大数定理是由“频率稳定于概率”这个概率的统计定义引申而来， 它叙述在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的 算术平均值。 所谓“大数”，就是指涉及大量数目的观测，它表明定理中所指 的现象，只有在大量次数的试验和观测之下才能成立
，试验证随机变量序列 X1,
, Xn,
满足
A 在每次试验中发生的概率为 p ，则对任意正数 ，有
lim
n
P(
fn (A)
p
)
1，
即 fn ( A) P p P(A) （ n ）。
（5.3）
伯努利大数定理说明，在 n 时，随机事件 A 发 生 的 频 率 fn ( A) 依 概 率 收 敛 于 事 件 A 发 生 的 概 率
P(8 Y
2) P( Y EY
5) P( Y EY
5)
1
DY 52
1 8 17 25 25
例 3：进行 100 次重复独立试验，事件 A 在每次试验中发生的概率为 0.5 ，试利用切比雪夫 不等式估计 100 次试验中事件 A 发生的次数在 40 至 60 次之间的概率。
解：设随机变量 X 表示 100 次重复独立试验中事件 A 发生的次数，则 X ～ B(100, 0.5) ，
2．依概率收敛
定义 1：设 X1, , Xn, 是一个随机变量序列，如果对于任意的正数 ，
事件 Xn a 的概率当 n 时趋于 1，即
lim P
n
Xn a
1
则称随机变量序列Xn 当 n 时依概率收敛于数 a ，
记为 X n P a （ n ）。
二、大数定理
大数定理是由“频率稳定于概率”这个概率的统计定义引申而来， 它叙述在什么条件下随机变量序列的算术平均值收敛于其均值的 算术平均值。 所谓“大数”，就是指涉及大量数目的观测，它表明定理中所指 的现象，只有在大量次数的试验和观测之下才能成立
，试验证随机变量序列 X1,
, Xn,
满足
概率论与数理统计§中心极限定理
概率论与数理统计之中心 极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
中心极限定理【概率论与数理统计+浙江大学】
k 1
k 1
近似地
Zn ~ N (0,1)
2、随机变量X k 无论服从什么分布，只要满足
定理条件，随即变量之和
n
X
k，当n很大时，就近
k 1
似服从正态分布，这就是为什么正态分布在概率论
中所占的重要地位的一个基本原因.
定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace定理）
设随机变量n(n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0<p<1)
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
高斯
如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因 素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合 影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服 从或近似服从正态分布.
现在我们就来研究独立随机变量之和所特有 的规律性问题. 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
P(Y>1920)=1-P(Y1920) 1- (1920 1600) 400
=1-(0.8) =1-0.7881=0.2119
例2解答：
（1)解：设应取球n次，0出现频率为
1 n
n k 1
Xk
E(
1 n
n k 1
Xk
)
0.1,
D(
1 n
n k 1
Xk
)
0.09 n
n
Xk
近似地
~
N
(n , n
2
)
;
k 1
n
X k n 近似地
k 1
n
~ N (0,1).
2、独立同分布中心极限定理的另一种形式可写为
近似地
西北工业大学《概率论与数理统计》4-2 中心极限定理
n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
(
)
2⎞ ⎛ 1 σ ⎟ ⎜ X = ∑ X i ~ AN ⎜ µ , ⎟ n i =1 n ⎠ ⎝ 3° 定理4.6表明n个相互独立同分布的随机变量
的和近似服从正态分布.
例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vk (k=1, 2,…, 20). 设它们是相互独立的随机变量,
且都在区间 (0， 10 )上服从均匀分布 , 记V =
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例3 某车间有200台机床,它们独立地工作着, 开工 开工率均为0.6, 开工时耗电均为1000W, 问供电所 至少要供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率 保证这个车间不会因供电不足而影响生产. 解 设
⎧1, 第i台机床工作 Xi = ⎨ ⎩0, 第i台机床不工作
内容小结
独立同分布情形 独立同分布情形
⎧林德贝格 − 列维中心极限定理 ⎪ 独立不同分布情形 独立不同分布情形 ⎪ ⎪ ⎨李雅普诺夫定理 ⎪ 二项分布的正态近似 二项分布的正态近似 ⎪ ⎪ ⎩棣莫佛 − 拉普拉斯定理
中心极限定理
备用题
例1-1 设随机变量X1, X2,…, Xn相互独立, 且 Xi 在区间(−1, 1) 上服从均匀分布(i=1, 2,…, n), 试证 n 1 当 n充分大时, 随机变量 Z n = ∑ X 2 近似服从 i n i =1 正态分布并指出其分布参数. 证 记 Yi = X i2 , ( i = 1,2, , n) E ( Yi ) = E ( X i2 ) = D( X i )
注 1° 定理4.7是独立不同分布情形的中心极限 定理, 该定理表明: 当n充分大时, 有
∗ Yn ~ AN (0, 1)
而
n ⎛ n ⎞ 2 ⎟ µ , σ ∑ X i ~ AN ⎜ ∑ ∑ i i ⎟ ⎜ ⎝ i =1 i =1 ⎠ i =1 n
概率论与数理统计第5章第2节
P(940 X 1060 )
用正态分布近似计算
由中心极限定理,
1000, 5000 X ~ N 6
近似
1000, 5000 X ~ N 6 1 X P(940 X 1060 ) P 0.01 6000 6 1060 1000 940 1000 5000 6 5000 6
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 i 1,2 2000 否则
1 令 Xi 0
第i位顾客选择了甲 否则
1 X i ~ (0 1)分布 P( X i 1) P ( X i 0) 2 1 即 X i ~ B (1, ) 诸Xi独立同分布,
2
设 Y Xi
由题给条件知，诸Xi独立同分布，
E(Xi)=100,
D(Xi)=10000
16 k 1
16只元件的寿命的总和为 Y X k
解: 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 诸Xi独立同分布, E(Xi)=100,D(Xi)=10000 16 16只元件的寿命的总和为 Y X
分析： 求的是100个独立且均服从均匀分布的 随机变量和的概率分布问题 解： 设 X i 为第i段的误差 i=1,2,…100 由题给条件知,诸Xi独立同分布, 1 X i ~ U (1,1) 则 EXi 0, DX i
总误差Y X i
i 1 100
100 则 EY 0, DY 3
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正 态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 我们只讨论几种简单情形. 下面给出的独立同分布随机变量序列 的中心极限定理, 也称列维一林德伯格 （Levy－Lindberg）定理.
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k 1 p 1 / 3
,k P ( X k ) p 1 p 1 , 2 , i
(几何分布)
1 1 p E ( X ) 3 ,D ( X ) 2 6 i i p pp p 1 / 3 1 / 3
X , X , , X 相互独立, X X k 1 2 100
由此解得
n5 1 0 5
定理7: (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相
互独立,它们具有数学期望和方差:
E (X k) k D (X 0 ( k 1 ,2 ,...) k)
2 k
设 B , 若存 在 , 使 正 得 n 数 时 当 ,
的分布函数 F (x ) 对于任意 x ,满足 n
n
2 t x 2
1 1 lim F ( x ) lim P { ( X ) x } edt n k k n n B 2 k 1 n
例6 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿 保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每 个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时 家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： (1) 保险公司亏本的概率是多少？
dt
例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) ,
k
或近似服从正态分布.
对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
N(0, n )
n—
钉子层数
3
0
3
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
k 1
100
E ( X ) 300 ,D ( X ) 600
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~ N ( 300 , 600 )( 近似 )
320 300 280 30 P ( 280 X 320 ) 600 60
Xk
P
10 0.5
20 0.5
E ( X ) 15 ,D ( X ) 25 k k
X , X , , X 相互独立同分布, X X k 1 2 1900
k 1 1900
E (X ) 1900 15 28500 D (X ) 1900 25 47500
近似
X~N ( 28500 , 47500 )
5.2 中心极限定理
定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学 期望和方差，E(Xk)=, D(Xk)= 20( k=1,2,…).则随 机变量
k 1 Y n
X E(X ) X n
k k 1 k
n
n
n
D ( X k)
{X120 } P{X>120}=1- P
X 60 120 60 1 P { } 59 . 64 59 . 64
1 ( 7 . 7693 ) 0
X 60 80 60 P { X 80 } P { } ( 2 . 5898 ) 0 . 995 59 . 64 59 . 64
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使 P ( 0 rX a ) 99 . 9 %
a / r 120 0 120 P ( 0 rX a ) 48 48
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 中心极限定理估计, n 多大
时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出
现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A
发生的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)
E ( X ) 0 . 75 n , D ( X ) 0 . 1875 n
200 200 0 20 (2) P ( 0 X 200 ) 15 15
( 0 ) ( 13 . 33 ) 0 . 5
例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
20 2 0 . 8165 1 0 . 587 2 1 600
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间 (单位：秒), k = 1,2,…,1900
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B( 6000 , 1/6 )
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 近似 5000 有 X~N 1000 , 6
X 1 X 100 60 P 0 .01 P 6 6000
1060 1000 940 1000 6 5000 6 5000
0 . 9162
(n1 ,2 ,...) 定理6: (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量 n
服从参数为 n , p(0<p<1) 的二项分布，则对于任意 x,有
np 1 n lim P { x } e n np ( 1 p ) 2
2 t x 2
P ( 10 1900 X 3600 8 ) p ( 19000 X 28800 )
28800 28500 19000 2850 47500 47500
1 . 376 43 . 589
中心极限定理
X 1 P 0 . 01 0 . 962 6 6000
Poisson 分布
X 1 P 0 . 01 0 . 937 6 6000
X 1 0 . 01 0 . 768 Chebyshev 不等式 P 6 6000
100 k 1
X X ,E ( X ) 200 ,D ( X ) 225 , k
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~N ( 200 , 225 )
近似
180 200 (1) P ( X 180 ) 1 15
1 ( 1 . 3 ) ( 1 . 3 ) 0 . 91
60 60 6 6 5000 5000
60 2 1 0 . 9624 6 5000
比较几个近似计算的结果
X 1 0 . 01 0 . 959 二项分布(精确结果) P 6 6000
k 1
n
k1
k
n
的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有
n X n x t2 k 1 2 k 1 lim F ( x ) lim P x e dt n n n n 2
中心极限定理的意义
2 n k 1 2 n
n
1 n 2 lim E { X } 0 k k 2 n B 1 n k
k 1 则随机变量 Z n
X E ( X) X
k k 1 k
n
n
n
n
D ( X k)
k 1
n
1 k
k
k 1
k
B n
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
X , X , , X 相互独立， 1 2 100
2 E ( X ) 2 , D ( X ) 1 . 5 , k 1 , 2 , , 10 k k
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
X 0 . 7 5 n 0 . 0 1 P n . 1 8 7 5 n 0 . 1 8 7 5 0
. 0 1 0 2 n 1 0 . 9 0 . 1 8 7 5 0
0 .0 1 由此可得 n0 .9 5 .1 8 7 5 0 0.01 查表可得 n 1.65 0.1875
a/ r 120 48
(17.32) 0
反查标准正态函数分布表，得
3 . 09 99 . 9 %
令
a 120 r 3.09 48
解得
a ( 3 . 09 48 120 ) r 141 r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.
,k P ( X k ) p 1 p 1 , 2 , i
(几何分布)
1 1 p E ( X ) 3 ,D ( X ) 2 6 i i p pp p 1 / 3 1 / 3
X , X , , X 相互独立, X X k 1 2 100
由此解得
n5 1 0 5
定理7: (李雅普诺夫定理)设随机变量X1 ,X2 ,…,Xn ,…相
互独立,它们具有数学期望和方差:
E (X k) k D (X 0 ( k 1 ,2 ,...) k)
2 k
设 B , 若存 在 , 使 正 得 n 数 时 当 ,
的分布函数 F (x ) 对于任意 x ,满足 n
n
2 t x 2
1 1 lim F ( x ) lim P { ( X ) x } edt n k k n n B 2 k 1 n
例6 某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿 保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每 个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡时 家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中： (1) 保险公司亏本的概率是多少？
dt
例4 某车间有200台车床，每台独立工作， 开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因 供电不足而影响生产？
解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 , 则 X ~ B(200,0.6) ,
k
或近似服从正态分布.
对此现象还 可举个有趣 的例子—— 高尔顿钉板 试验—— 加 以说明.
N(0, n )
n—
钉子层数
3
0
3
例1 炮火轰击敌方防御工事 100 次, 每次 轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学 期望为 2 , 均方差为1.5. 若各次轰击命中 的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击
k 1
100
E ( X ) 300 ,D ( X ) 600
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~ N ( 300 , 600 )( 近似 )
320 300 280 30 P ( 280 X 320 ) 600 60
Xk
P
10 0.5
20 0.5
E ( X ) 15 ,D ( X ) 25 k k
X , X , , X 相互独立同分布, X X k 1 2 1900
k 1 1900
E (X ) 1900 15 28500 D (X ) 1900 25 47500
近似
X~N ( 28500 , 47500 )
5.2 中心极限定理
定理5: (独立同分布的中心极限定理)设随机变量 X1 ,X2 ,…,Xn ,…相互独立,服从同一分布,且具有数学 期望和方差，E(Xk)=, D(Xk)= 20( k=1,2,…).则随 机变量
k 1 Y n
X E(X ) X n
k k 1 k
n
n
n
D ( X k)
{X120 } P{X>120}=1- P
X 60 120 60 1 P { } 59 . 64 59 . 64
1 ( 7 . 7693 ) 0
X 60 80 60 P { X 80 } P { } ( 2 . 5898 ) 0 . 995 59 . 64 59 . 64
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使 P ( 0 rX a ) 99 . 9 %
a / r 120 0 120 P ( 0 rX a ) 48 48
例2 设每次试验中，事件 A 发生的概率为 0.75, 试用 中心极限定理估计, n 多大
时, 才能在 n 次独立重复试验中, 事件 A 出
现的频率在0.74 ~ 0.76 之间的概率大于 0.90? 解 设 X 表示 n 次独立重复试验中事件 A
发生的次数 , 则
X ~ B(n,0.75)
E ( X ) 0 . 75 n , D ( X ) 0 . 1875 n
200 200 0 20 (2) P ( 0 X 200 ) 15 15
( 0 ) ( 13 . 33 ) 0 . 5
例2 售报员在报摊上卖报, 已知每个过路 人在报摊上买报的概率为1/3. 令X 是出售 了100份报时过路人的数目，求 P (280 X 320). 解 令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出 第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
20 2 0 . 8165 1 0 . 587 2 1 600
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率. 解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间 (单位：秒), k = 1,2,…,1900
解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B( 6000 , 1/6 )
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 近似 5000 有 X~N 1000 , 6
X 1 X 100 60 P 0 .01 P 6 6000
1060 1000 940 1000 6 5000 6 5000
0 . 9162
(n1 ,2 ,...) 定理6: (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量 n
服从参数为 n , p(0<p<1) 的二项分布，则对于任意 x,有
np 1 n lim P { x } e n np ( 1 p ) 2
2 t x 2
P ( 10 1900 X 3600 8 ) p ( 19000 X 28800 )
28800 28500 19000 2850 47500 47500
1 . 376 43 . 589
中心极限定理
X 1 P 0 . 01 0 . 962 6 6000
Poisson 分布
X 1 P 0 . 01 0 . 937 6 6000
X 1 0 . 01 0 . 768 Chebyshev 不等式 P 6 6000
100 k 1
X X ,E ( X ) 200 ,D ( X ) 225 , k
由独立同分布中心极限定理, 有
X ~N ( 200 , 225 )
近似
180 200 (1) P ( X 180 ) 1 15
1 ( 1 . 3 ) ( 1 . 3 ) 0 . 91
60 60 6 6 5000 5000
60 2 1 0 . 9624 6 5000
比较几个近似计算的结果
X 1 0 . 01 0 . 959 二项分布(精确结果) P 6 6000
k 1
n
k1
k
n
的分布函数Fn(x) , 对于任意x ,有
n X n x t2 k 1 2 k 1 lim F ( x ) lim P x e dt n n n n 2
中心极限定理的意义
2 n k 1 2 n
n
1 n 2 lim E { X } 0 k k 2 n B 1 n k
k 1 则随机变量 Z n
X E ( X) X
k k 1 k
n
n
n
n
D ( X k)
k 1
n
1 k
k
k 1
k
B n
(1) 至少命中180发炮弹的概率; (2) 命中的炮弹数不到200发的概率.
解 设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数
X , X , , X 相互独立， 1 2 100
2 E ( X ) 2 , D ( X ) 1 . 5 , k 1 , 2 , , 10 k k
设 X 表示100次轰击命中的炮弹数, 则
X 0 . 7 5 n 0 . 0 1 P n . 1 8 7 5 n 0 . 1 8 7 5 0
. 0 1 0 2 n 1 0 . 9 0 . 1 8 7 5 0
0 .0 1 由此可得 n0 .9 5 .1 8 7 5 0 0.01 查表可得 n 1.65 0.1875
a/ r 120 48
(17.32) 0
反查标准正态函数分布表，得
3 . 09 99 . 9 %
令
a 120 r 3.09 48
解得
a ( 3 . 09 48 120 ) r 141 r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种 比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.