中心极限定理

概率论与数理统计第四章正态分布§13 中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲第四章正态分布§13 中心极限定理主要内容一、林德伯格—莱维中心极限定理二、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理三、李雅普诺夫中心极限定理暨南大学电气信息学院苏保河主讲例1炮火轰击敌方防御工事100 次, 每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其数学期望为2, 均方差为1.5. 若各次轰击命中的炮弹数是相互独立的, 求100 次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.一、林德伯格—莱维中心极限定理解设X k 表示第k 次轰击命中的炮弹数,2()2,() 1.5,1,,100,k k E X D X k ==="相互独立,12100,,,X X X "苏保河主讲设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理, 例1 解(续1)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则2()200,()15,E X D X ==~(200,225).X N 近似地有{180}P X ≥1((180200)/15)Φ≈−−(1.33)Φ=(1)至少命中180发炮弹的概率;1( 1.33)Φ=−−0.9082.=1{180}P X =−<设X 表示100 次轰击命中的炮弹数, 由独立同分布的中心极限定理,例1 解(续2)2()2,() 1.5,k k E X D X ==苏保河主讲1001,k k X X ==∑则()200,()225,E X D X ==2~(200,15).X N 近似地有(2)命中的炮弹数不到200发的概率.{0200}P X ≤<((200200)/15)((0200)/15)ΦΦ≈−−−(0)(13.33)ΦΦ=−−0.5000.=例2检验员逐个检查某产品, 每查一个需用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次,再用去10 秒钟. 若产品需重复检查的概率为0.5, 求检验员在8 小时内检查的产品多于1900 个的概率.解在8 小时内检查的产品多于1900 个,即检查1900 个产品所用时间小于8 小时.设X为检查1900 个产品所用的时间(秒),设Xk 为检查第k个产品所用的时间(单位为秒), k= 1, 2, …, 1900.苏保河主讲例3某车间有200 台车床独立地工作,开工率为0.6, 开工时每台耗电为r 千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给该车间a千瓦的电力, X为开工的车床台数, 则X~ B(200, 0.6),由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理,X~ N(120, 48) (近似),欲求a, 使{0}99.9%.P rX a≤≤=苏保河主讲李雅普诺夫中心极限定理的意义如果随机变量X 可以看成许多相的总和,互独立的起微小作用的因素Xk则X 服从或近似服从正态分布.苏保河主讲苏保河主讲1. 离散型随机变量的数学期望第三章内容小结定义1设X 是离散型随机变量, 其分布律是P {X = x k } = p k (k = 1, 2, …),如果收敛, 定义X 的数学期望1||k k k x p ∞=∑1()k k k E X x p ∞==∑一、数学期望2. 连续型随机变量的数学期望定义2设X 是连续型随机变量,()()d E X x f x x∞−∞=∫收敛, 定义X 的数学期望||()d x f x x ∞−∞∫其密度函数为f (x ), 如果苏保河主讲4. 数学期望的性质1.设C 是常数, 则E (C ) = C .4.设X , Y 独立, 则E (XY ) = E (X )E (Y ).2.若k 是常数, 则E (kX ) = kE (X ).3.E (X 1 + X 2) =E (X 1) + E (X 2).条件: X 1,X 2, …, X n 相互独立.11()().n n i i i i i i E C X C E X ===∑∑推广:11()().n n i i i i E X E X ===∏∏推广:苏保河主讲3. 方差的性质1)设a 是常数, 则D (a ) = 0.2)若a 是常数, 则D (aX ) = a 2D (X ).4)若X 1 与X 2相互独立, 则D (X 1±X 2) = D (X 1) + D (X 2).推广：若X 1, X 2, …, X n 相互独立, 则11[](),n ni i i i D X D X ===∑∑211[]().n n i i i i i i D C X C D X ===∑∑3)若a , b 是常数, 则D (aX + b ) = a 2D (X ).苏保河主讲4. 协方差的定义定义对于二维随机变量(X, Y),称E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} 为X与Y 的协方差, 记为Cov(X, Y), 即Cov(X, Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.5. 协方差的计算公式Cov(X,Y)=E(XY)–E(X)E(Y)推论: 若X 与Y 独立, 则Cov(X,Y) = 0.苏保河主讲6. 协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(2)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y), a,b是常数(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)苏保河主讲若X 1, X 2, …, X n 两两独立, 则D (X +Y ) = D (X )+D (Y )+2Cov(X , Y )7. 随机变量和的方差与协方差的关系11()().n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2Cov(,)n ni i i j i i i j D X D X X X ==<=+∑∑∑苏保河主讲9. 相关系数的性质2)|| 1.XY ρ≤0,XY ρ=1) X 和Y 独立时但其逆不真.定义对于随机变量X , 如果E (X k )( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶原点矩或k 阶矩.10. 矩和中心矩如果E {[X -E (X )]k } ( k = 1, 2, …) 存在, 则称它为X 的k 阶中心矩.苏保河主讲三、切比雪夫不等式与大数定理1. 马尔科夫不等式2. 切比雪夫不等式3. 切比雪夫大数定理4. 独立同分布下的大数定理5. 伯努利大数定理苏保河主讲用X 表示n 重伯努利试验中事件A 出现(成功)的次数, 其分布律称r.v. X 服从参数为n 和p 的二项分布, 注当n = 1 时, 称X 服从参数为p 的伯努利分布，或0-1 分布.1. 二项分布{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,k n ="记作X ~ B (n , p ).苏保河主讲四、几个重要的随机变量苏保河主讲(),()(1).E X np D X np p ==−如果X ~ B (n , p ),结论：{}(1),k k n k n P X k C p p −==−0,1,,,k n ="2. 超几何分布定义将N个元素分为2 类, M个属于第一类, N－M个属于第二类, 从中按不放回抽样随机取n个元素. 令X表示这n 个元素中第一类元素的个数, 则称X服从超几何分布, 记为X h n N M~(,,)苏保河主讲。

中心极限定理的定义
中心极限定理（CLT）是一种令人印象深刻的数学理论，它允许研究者把一大堆随机数据统一归纳为一个统一的理论。

首先，要解释中心极限定理我们必须了解随机过程，它是一种特殊的计算方法，根据给定的概率分布及其参数，它可以确定一组具有一定概率的多元随机变量。

当我们对这些多元随机变量采样并计算它们的总和时，它会服从某种正态分布。

这就是中心极限定理（CLT）。

换句话说，中心极限定理（CLT）指出，即使参数中存在典型的极值，当大量样本被抽样时，变量的总和服从正态分布。

在概率论和统计学中，这是一个特别重要的定理。

它提供了一种计算变量之和概率的有效方法，使我们能够通过与正态分布相关的统计相关性来分析一些随机变量的总和。

此外，中心极限定理的概念也被用于提升统计领域的机器学习性能，例如在深度学习方面。

拿样本数据来说，假设我们有一组从服从均匀分布的均匀分布中抽样的样本数据。

如果我们知道均匀分布的参数并计算出每个样本的总和，样本总体的和将呈现出正态分布，用中心极限定理理解，就可以将样本总体和推广到总体上，求出总体服从正态分布的期望值和方差。

通过以上对中心极限定理的讲解，我们可以得知，这是一种十分具有普遍性的数学模型，它有助于研究者有效地去构建和推广某个样本的随机变量的总和，从而分析总体的分布情况。

中心极限定理及其应用中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是统计学中的一个重要定理，它描述了当随机变量具有一定的条件下，独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布的现象。

具体来说，中心极限定理包括以下两个主要形式：1.林德伯格-列维中心极限定理（Lindeberg–Lévy CLT）：对于从任意分布中独立同分布抽取的n个随机变量的和，当n趋于无穷大时，这个和的标准化形式近似服从标准正态分布。

即使原始随机变量不是正态分布，这一定理仍然成立。

2.德梅勒-拉普拉斯中心极限定理（De Moivre–Laplace CLT）：对于二项分布或渐进服从二项分布的离散随机变量，经过适当的标准化处理，当抽样量n趋于无穷大时，其近似服从标准正态分布。

中心极限定理的应用广泛，以下是一些常见的应用场景：1.抽样分布的近似：当抽样量较大时，根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来近似描述抽样分布，从而简化计算和推断统计。

2.参数估计与假设检验：中心极限定理可用于估计未知总体分布的参数，并进行统计推断。

例如，使用样本均值的抽样分布的近似可以进行置信区间估计和假设检验。

3.统计模型的诊断与推断：利用中心极限定理，我们可以对统计模型的残差进行正态性检验，以验证模型的合理性，并进行参数估计、模型比较和推断分析。

4.投资与金融分析：中心极限定理可以用于模拟股票价格、利率等金融变量的分布，从而帮助分析风险、定价衍生品等。

总之，中心极限定理是统计学中非常重要和有用的一个定理，它为我们提供了一种近似描述随机变量和抽样分布的方法，广泛应用于统计推断、参数估计、模型诊断和金融分析等领域。

高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。

而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。

一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。

简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。

二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。

三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。

以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。

根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。

这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。

当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。

四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。

中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。

总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。

了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。

中心极限定律公式是什么？公式如下图：
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。

扩展资料
中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，它支撑着和置信区间相关的T检验和假设检验的计算公式和相关理论。

如果没有这个定理，之后的推导公式都是不成立的。

事实上，以上对于中心极限定理的两种解读，在不同的场景下都可以对A/B测试的指标置信区间判定起到一定作用。

对于属于正态分布的指标数据，我们可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。

中心极限定理定义
中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，大量独立随机变量的和近似服从正态分布的现象。

这个定理在统计学、金融学、物理学等领域都有广泛的应用。

中心极限定理的核心思想是，当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。

具体来说，如果有n个独立随机变量X1、X2、...、Xn，它们的期望值和方差分别为μ和σ^2，那么它们的和S的分布近似于一个均值为nμ、方差为nσ^2的正态分布。

这个近似程度随着n的增大而增加，当n趋近于无穷大时，S的分布就完全符合正态分布的特征。

中心极限定理的应用非常广泛。

例如，在统计学中，我们经常需要对样本的均值或总和进行估计。

如果样本数量足够大，那么根据中心极限定理，这些估计值的分布就可以近似为正态分布，从而可以使用正态分布的性质进行推断和计算。

在金融学中，中心极限定理也被广泛应用于风险管理和投资组合优化等领域。

在物理学中，中心极限定理可以用于描述大量微观粒子的运动状态，从而推导出宏观物理规律。

需要注意的是，中心极限定理只适用于独立随机变量的和，而不适用于其他形式的组合。

此外，中心极限定理的适用条件也比较苛刻，需要满足一定的正态性和独立性假设。

因此，在实际应用中，我们需要仔细考虑这些条件是否成立，以确保中心极限定理的有效性。

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了大量独立随机变量的和近似服从正态分布的现象。

这个定理在统计学、金融学、物理学等领域都有广泛的应用，但需要注意其适用条件和限制。

中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。

中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。

二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。

令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。

三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。

1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。

令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。

2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。

中心极限定理 30个样本
中心极限定理（central limit theorem, CLT）是概率论中的一个重要定理，指的是当样本容量足够大时，一组独立同分布的随机变量的和的分布近似地服从正态分布。

具体来说，中心极限定理表明，对于一个独立同分布的随机变量序列X1, X2,..., Xn，其均值的分布（即样本均值）服从正态分布，即
lim(n->∞) P((X1+X2+...+Xn - nμ)/√(nσ^2)) ≤ x) =
Φ(x)
其中，μ是随机变量的期望，σ是随机变量的标准差，Φ(x)是标准正态分布的累积分布函数。

根据中心极限定理，当样本容量n足够大时，其样本均值的分布近似于正态分布。

这意味着，对于较大的样本量，即使原始数据并不服从正态分布，其样本均值的分布也会趋近于正态分布。

在中心极限定理中，并没有明确给出样本量需要达到多少才能满足近似正态分布的条件，一般认为当样本容量n大于30时，中心极限定理适用性较好。

因此，当我们有30个独立同分布的样本时，可以认为样本均值的分布近似服从正态分布。

中心极限定理两个公式
公式：
在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布
以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。

对于随机变量X，你只需算一下它的期望和方差，记住一条，［X-E （X）］/√D（X）（也就是：随机变量减去期望再除以均方差，结果就是
标准正态分布），就行了。

比如遇到：X服从二项分布B（n，p），先算二项分布的期望和方差，期望是np，方差是npq，则随机变量（X-np）/√（npq），就是标准正态
分布。

应用
对于属于正态分布的指标数据，我们可以很快捷地对它进行下一步假
设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，
根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正
态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。