师大附中2017届高三上学期期中考试数学理试卷 含解析
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2016—2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分）
1．若集合M={x|﹣2＜x＜3｝，N=｛y｜y=x2+1，x∈R},则集合M∩N=( )
A．（﹣2，+∞） B．(﹣2，3） C．[1,3) D．R
2．若复数（α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在( ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量=（2，1），=10,｜+｜=，则｜｜=（ ）
A． B． C．5 D．25
4．已知cos()=,则sin（2）的值为（ )
A． B． C．﹣ D．﹣
5．《莱因德纸草书》(Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列{na}中，1a＞0,则“1a＜3a”是“3a＜6a”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a,b∈R）的图象如图所示,它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分)的面积为,则a的值为（ )
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．已知函数f(x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x)在[﹣1，0］上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24)，c=f（20.5），则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 9．将函数f(x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间［0,]和[2a，]上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．［，］ B．［,] C．［，］ D．［,］
10．已知数列｛an｝满足：2an=an﹣1+an+1(n≥2），a1=1,且a2+a4=10，若Sn为数列｛an｝的前n项和，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
11．已知函数f(x)=(其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为( ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f(x）满足：f’（x)＞1﹣f(x），f（0)=6，f′（x)是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为( ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞) C．（﹣∞，0)∪(1,+∞） D．（3，+∞)
二、填空题（共4小题,每小题5分,满分20分）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b，c，，则tanB=
．
14．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2,则a的值是 ．
15．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°,那么B、C两点间的距离是 海里．
16．｛an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*,n≥2），Sn是｛an｝前n项和，a5=1，则S6= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．(12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上,∠CAD=，AC=，cos∠ADB=﹣
（1)求sin∠C的值；
（2)若△ABD的面积为7，求AB的长．
18．（12分）已知数列{an｝的前n项和为Sn，a1=+1(n≥2)．
（Ⅰ）求数列｛an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn=,数列｛bn｝的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
19．（12分）在△ABC中，内角A,B，C所对边长分别为a，b，c,,∠BAC=θ，a=4．
（1)求bc的最大值；
（2）求函数的值域．
20．（12分)已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2•a3=15，S4=16．
（Ⅰ）求数列｛an}的通项公式;
（Ⅱ）数列{bn}满足b1=a1，．
①求数列{bn｝的通项公式；
②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值;若不存在，请说明理由．
21．(12分）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g(x）=ex．（其中e是自然对数的底数)
(Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；
（Ⅱ）令,若函数F（x)在区间（0，1］上是单调函数，求a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在极坐标系中,圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(Ⅰ）求圆C的参数方程；
(Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
选修4-5:不等式选讲
23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|x﹣1｜+｜x﹣2|．
(Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥｜m|f（x)对满足条件的所有m，n都成立,求实数x的取值范围．
2016—2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分）
1．若集合M=｛x｜﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R｝，则集合M∩N=（ )
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，3） C．[1，3） D．R
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】先将N化简,再求出M∩N．
【解答】解：N=｛y|y=x2+1，x∈R}=｛y|y≥1}=［1，+∞）,
∵M={x｜﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），
∴M∩N=[1，3)
故选C．
【点评】本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简单运算，属于基础题．本题中N表示的是函数的值域．
2．若复数(α∈R)是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在( ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】化简复数，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：复数==（a+1）+(﹣a+1)i，
该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；
所以复数2a+2i=﹣2+2i，
它在复平面内对应的点是（﹣2,2)，
它在第二象限．
故选:B．
【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题,也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．
3．已知向量=（2,1），=10，｜+｜=，则｜｜=（ ）
A． B． C．5 D．25
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【专题】平面向量及应用． 【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对｜a+b｜=两边平方,变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件,等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
【解答】解：∵｜+｜=，｜|= ∴（+)2=2+2+2=50,
得||=5
故选C．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量,用求模长的公式写出关于变量的方程,解方程即可,解题过程中注意对于变量的应用．
4．已知cos（）=,则sin（2）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin（2）的值．
【解答】解：∵cos（）=，
则sin(2）=﹣sin（2α+）=﹣sin[2（α+）+]=﹣cos2（α+）
=﹣［2cos2（α+）﹣1］=﹣[﹣1]=，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（ )
A． B． C． D．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d,a+2d(d＞0)，根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．
【解答】解:设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）;
∵把100个面包分给5个人，
∴（a﹣2d)+（a﹣d）+a+（a+d)+（a+2d）=5a=100,得a=20， ∵使较大的三份之和的是较小的两份之和， ∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），
化简得24d=11a，∴d==，
所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2×=,
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果,属于基础题．
6．等比数列｛na｝中，1a＞0，则“1a＜3a"是“3a＜6a”的（ )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先用等比数列的通项公式，表示出3a＜6a，进而可判断1a＜3a不一定成立；同时根据1a＜a3成立可知1aq2＜1aq5，进而推断出1a＜3a，判断出必要条件．最后综合可得答案．
【解答】解：如果1a＜3a，∴1a＜1aq2∴q2＞ 1，
若q＜﹣1，则3a=1aq2＞0,6a=1aq5＜0 ∴3a＞6a，
∴“1a＜3a”不是“3a＜a6”的充分条件；
如果3a＜a6成立，则1aq2＜1aq5，又a1＞0，
∴1＜q3 ∴q＞1，
∴1a＜a2＜3a，
故可判断,“1a＜3a”是“3a＜6a"的必要条件．
综合可知，“1a＜3a”是“3a＜6a”必要而不充分条件．
故选B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．
7．已知函数f（x)=﹣x3+ax2+bx（a,b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分)的面积为,则a的值为( ）
