北京市师范大学附属中学2017_2018学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
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1 北京师大附中2017-2018学年上学期高一年级期中考试数学试卷
本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，，则集合
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据并集的运算性质计算即可.
【详解】集合，
所以集合，故选B.
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合
2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据单调性的定义对选项逐一判断即可.
【详解】对于在定义域内是增函数，不满足题意；
对于在递减，在递增，不满足题意；
对于定义域内是减函数，满足题意；
对于在和都单调递减，但在整个定义域没有单调性，不满足题意，故选C.
【点睛】本题最主要考查函数单调性的定义，意在考查对基本概念的掌握与应用，属于简单题.
3.若，，则有 2 A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
令，可排除选项，利用不等式的性质可证明.
【详解】令，可排除选项，
对，，
又，
，
，
，
同理，即，
，即，故选B.
【点睛】利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
4.“a=0”是“为奇函数”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据函数的奇偶性的定义与性质，结合充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】，的图象关于原点对称，所以是奇函数；
若为奇函数，则，即不能推出，
所以，是为奇函数充分非必要条件，故选A.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的定义与性质、充分条件与必要条件的定义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题. 3 5.下列不等式中，不正确的是
A. B.
C. D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】
利用特殊值判断；利用判别式判断；利用单调性判断；利用基本不等式判断D.
【详解】在中，若，则，故不成立；
在中， ，不等式的解集为，故成立；
在中，,设,在上递增，所以有最小值，故成立；
在中，，，当且仅当时取等号，的最小值为5，成立；
不正确的结论是，故选A.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）
6.函数满足对任意的x，均有，那么，，的大小关系是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 4 根据的图象开口朝上，由可得函数图象以为对称轴，由此可得函数在上为减函数，从而可得结果.
【详解】函数对任意的均有，
函数的图象开口朝上，且以为对称轴，
函数在上为减函数，，故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的对称性与二次函数的单调性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
7.若函数的一个正零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为
A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.5
【答案】C
【解析】
试题分析：因为，，所以选D．
考点：二分法求零点．
8.已知为定义在[-1，1]上的奇函数，且在[0，1]上单调递减，则使不等式成立的x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性与单调性将不等式再转化为,结合函数的定义域，列不等式组求解即可. 5 【详解】因为为奇函数，且在上单调递减，
所以在上单调递减
所以化为，
,又因为的定义域是，
所以，解得，
使不等式成立的x的取值范围是，故选B.
【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
9.已知集合，，且，则实数a=___________。
【答案】0或1
【解析】
【分析】
先求出集合中的元素，根据并集的运算，求出的值即可.
【详解】或，
因为集合，
由，得或，
当时，方程有两个相等实数根0，，
当时，方程有两个实数根0，1，，故答案为0或1.
【点睛】本题主要集合的表示方法以及集合的基本运算，属于简单题. 集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么．集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或图进行处理．
10.设，则________
【答案】-1
【解析】 6 【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.
【详解】，
，
所以 ，故答案为-1.
【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
11.已知命题，，则为_______；其中为真命题的是_________（填“p”或“”）
【答案】 (1). : (2). p
【解析】
【分析】
利用全称命题“”的否定为特称命题“”即可得，根据不等式的性质可判断真假.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，且需改写全称量词为存在量词，
所以全称命题命题，的否定是特称命题；
当时，,所以可判断真假，
故答案为: ， .
【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.
12.函数，则该函数的定义域为_________，值域为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】 7 由求得函数的定义域；设,可得,解不等式可得函数的值域.
【详解】要使函数有意义，则求得，即函数的定义域为；设,可得,解得或,即函数的值域为，
故答案为 ， .
【点睛】本题主要考查函数的定义域与函数的值域，属于中档题. 求函数值域的基本方法：①观察法；②利用常见函数的值域，一次函数的值域为，反比例函数的值域为，指数函数的值域为，对数函数的值域为，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为；③分离常数法；④换元法；⑤配方法；⑥数形结合法；⑦单调性法；⑧基本不等式法；⑨判别式法；⑩有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．
13.定义运算“”：（）.当时，的最小值是 .
【答案】
【解析】
由新定义运算知，，因为，，
所以，，当且仅当时，的最小值是.
考点：1.新定义运算；2.基本不等式.
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14.函数的定义域为D，若对于任意，，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③，则_________；___________.
【答案】 (1). (2).
【解析】 8 【分析】
由令可求得再令可得，由，令，求得，可得，利用非减函数的定义可得，，，故，从而可得结果.
【详解】依题意知，，，
由，令得；
因为，令 ，
，，令，
，
，
函数在上为非减函数，
，，故，
，故答案为.
【点睛】本题主要考查函数的解析式以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15.已知集合，.
（1）当m=8时，求；
（2）若，求实数m的值.
【答案】（1）；（2）实数m的值为15. 9 【解析】
【分析】
(1)运用分式不等式和一元二次不等式的解法，化简集合，再由补集和交集的定义，即可得到；(2)由并集的定义可得是的根，将，代入，计算即可得到的值.
【详解】（1）化简 或，
时，，
.
（2）若，
则是的根，
，
.
【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与并集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.
16.已知函数.
（1）函数是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；
（2）试用函数单调性的定义证明：在（1，+）上为增函数.
【答案】（1）函数不具有奇偶性，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由，利用奇偶性的定义可得即不是奇函数，又不是偶函数；（2）任取，则，，可得，从而可得结果.
【详解】（1），
，
即不是奇函数，又不是偶函数.
（2）任取，则，
