2016-2017学年上海师大附中高三(上)期中数学试卷
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2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷
一、填空题
1．（3分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩∁UB=
．
2．（3分）函数f（x）=的反函数f﹣1（x）= ．
3．（3分）= ．
4．（3分）已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．
5．（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为 ．
6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A= ．
7．（3分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为 ．
8．（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么实数a= ．
9．（3分）若数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为 ．
10．（3分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为 ．
11．（3分）函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为 ．
12．（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2x是“似周期函数”；
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④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是
．（写出所有满足条件的命题序号）
13．（3分）已知数列{an}满足a1=81，an=（k∈N*），则数列{an}的前n项和Sn的最大值为 ．
14．（3分）已知函数f（x）是定义在[1，+∞）上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2016）上的零点个数为 ．
二、选择题
15．（3分）“|x﹣1|＜2成立”是“x（x﹣3）＜0成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（3分）函数y=2cos2（x﹣）﹣1是（
）
A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数
17．（3分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（ ）
A．﹣4 B．6 C．10 D．17
18．（3分）已知点列An（an，bn）（n∈N*）均为函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象上，点列Bn（n，0）满足|AnBn|=|AnBn+1|，若数列{bn}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（ ）
A．（0，）∪（，+∞） B．（，1）∪（1，）
C．（0，）∪（，+∞） D．（，1）∪（1，）
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三、解答题
19．已知函数f（x）=2sin（x+）•cosx．
（1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）=，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．
20．某公司生产的某批产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本6（P+）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为（4+）元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？
21．已知函数，其中a∈R．
（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．
22．设数列{an}的前n项和为Sn，且（Sn﹣1）2=anSn（n∈N*）．
（1）求S1，S2，S3的值；
（2）求出Sn及数列{an}的通项公式；
（3）设bn=（﹣1）n﹣1（n+1）2anan+1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和为Tn．
23．已知集合M是满足下列性制的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”．
（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，f（x）=cos（x）；当x=2时，f（x）=0，求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的解析式和零点．
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2016-2017学年上海师大附中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（3分）已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩∁UB=
（0，1）
．
【解答】解：全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}=（0，2），
B={x|x≥1}=[1，+∞），
∴∁UB=（﹣∞，1），
∴A∩∁UB=（0，1）．
故答案为：（0，1）．
2．（3分）函数f（x）=的反函数f﹣1（x）= x3+1 ．
【解答】解：∵y=，
∴x=y3+1，
函数f（x）=的反函数为f﹣1（x）=x3+1．
故答案为：x3+1．
3．（3分）= ﹣ ．
【解答】解：原式===﹣，
故答案为：﹣．
4．（3分）已知sin2θ+sinθ=0，θ∈（，π），则tan2θ= ．
【解答】解：∵sin2θ+sinθ=0，
⇒2sinθcosθ+sinθ=0，
⇒sinθ（2cosθ+1）=0，
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∵θ∈（，π），sinθ≠0，
∴2cosθ+1=0，解得：cosθ=﹣，
∴tanθ=﹣=﹣，
∴tan2θ==．
故答案为：．
5．（3分）方程log2（9x+7）=2+log2（3x+1）的解为
x=0和x=1
．
【解答】解：由log2（9x+7）=2+log2（3x+1），得
log2（9x+7）=log24（3x+1），
即9x+7=4（3x+1），
化为（3x）2﹣4•3x+3=0，
解得：3x=1和3x=3，
∴x=0和x=1．
故答案为：x=0和x=1．
6．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A= ．
【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）
变形为：=sinA，
由余弦定理可得：cosA=，
所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），
则A=．
故答案为：
7．（3分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}
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的前7项之和为
7
．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，
∴数列{log2an}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，
故答案为：7．
8．（3分）如果函数f（x）=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么实数a= 1 ．
【解答】解：f（x）=sin2x+acos2x=
由正弦函数的对称轴方程，
图象关于直线x=对称，即可得：，
当k=0时，
∵tanθ=a
∴a=1
故答案为1．
9．（3分）若数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，则Sn的值为 12 ．
【解答】解：∵数列{an}的通项公式是an=，前n项和为Sn，
∴Sn=4+8+=12．
故答案为：12．
10．（3分）已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大
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值为
．
【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω•≤，
求得ω≤，则实数ω的最大值为，
故答案为：．
11．（3分）函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为 [﹣arcsin，] ．
【解答】解：∵x2﹣x=（x﹣）2﹣≥﹣，
∴函数y=arcsin（x2﹣x）的值域为[﹣arcsin，]．
故答案为：[﹣arcsin，]．
12．（3分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意 x∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（ x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数f（x）=x是“似周期函数”；
③函数f（x）=2x是“似周期函数”；
④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．
其中是真命题的序号是 ①④ ．（写出所有满足条件的命题序号）
【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，
∴f（x﹣1）=﹣f（x），
∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），
故它是周期为2的周期函数，
故正确；
②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），
即x+T=Tx恒成立；
故（T﹣1）x=T恒成立，
上式不可能恒成立；
