人教版高中数学选修2-2学案：2.1.1合情推理(二)

2.1.1合情推理教学建议1.教材分析本节主要内容是合情推理的两种常用思维方法:归纳推理和类比推理.前者是由部分到整体、由个别到一般的推理,后者是由特殊到特殊的推理.合情推理可以为发现、探索新的结论提供思路,但其结论未必正确.本节重点是了解合情推理的含义,能利用归纳和类比进行简单的推理,难点是用归纳和类比进行推理,作出猜想.2.主要问题及教学建议(1)关于合情推理的含义归纳推理和类比推理在学生以前的学习过程中已有渗透,对其含义的教学,建议教师多以学生熟悉的例子为载体,引导他们提炼、概括归纳和类比的含义及推理方法,培养他们应用这种思维方法的意识,不必在字面上深究.(2)关于合情推理的方法及结论教学中建议教师从具体的例子出发,多分析能够进行归纳的共性和进行类比的特性,指导学生如何进行归纳和类比,通过归纳和类比能够得出什么样的结论.至于结论的正确性,可以向学生说明,由合情推理的过程可以看出,合情推理的结论往往超过了前提所涵盖的范围,因此推理所得的结论未必正确.备选习题1.已知=2=3=4,…,若=6(a,b∈R),则a+b=.解析:根据题意,由于=2=3=4,…,那么可知=6,a=6,b=6×6-1=35,所以a+b=41.答案:412.根据所给数列前几项的值,…,猜想数列{a n}的通项公式.思路分析:根据数列中前几项的值给出数列的一个通项公式,主要是对数列各项的特征进行认真观察,结合常见数列的通项公式,对已知数列进行分解、组合,从而发现其中的规律,猜想出通项公式.解:;…;于是猜想数列{a n}的通项公式a n=.3.在平面上,设h a,h b,h c分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为p a,p b,p c,可以得到结论=1.证明此结论,并通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.思路分析:此题可用类比的方法,将四面体类比三角形,体积类比面积等.证明:如图所示,连接PA,PB,PC,则,同理,.∵S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC,∴=1.类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设h a,h b,h c,h d分别是四面体ABCD的四个顶点到对面的距离,P为四面体ABCD内任意一点,P到相应四个面的距离分别为p a,p b,p c,p d,可以得到结论=1.证明如下:,同理,,.∵V四面体PBCD+V四面体PACD+V四面体PABD+V四面体PABC=V四面体ABCD,∴==1.中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

合情推理与演绎推理1推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理•推理一般分为合情推理与演绎推理两类•2•合情推理3•演绎推理(1) 定义：从一般性的原理岀发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理:(2) 特点：演绎推理是由一般到特殊的推理:(3) 模式：三段论•“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：1例1设f(x)= 屛书，先分别求f(0) + f(1), f(—1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后归纳猜想一般性结论, 并给出证明•思维启迪解题的关键是由f(x)计算各式，利用归纳推理得出结论并证明•1 * 1 1+ .3 3+ ；3同理可得：f( — 1) + f(2)=f,f(— 2) + f(3) = £，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于 归纳猜想得：当X 1 + X 2= 1时，均为f(X 1)+ f(X 2) =3* 3 4.1.证明：设X 1+ X 2= 1 ,T f(X 1)+ f(X 2) = 1 1------------ + --------------- X 1. X23+ 3 3+ '3X 1X 23 + ,3 + 3+ 3X1X23+ 3 + 2 . 3X 1X 23+ ,'3 3+ '3X13X 2为 X 23 3 + 3 + 3X 1X 23+ 3 + 2 3X 1X 23+ 3 + 2 3；3 3X1 + 3X2f(0)+ f(1)=_1_ 31 + ■：..n n + 2*⑵f(2n )> 厂(n >2, n € N)解析 (1)由于 1 = 12,2+ 3 + 4= 9= 323+ 4 + 5 + 6+ 7 = 25= 524+ 5+ 6 + 7+ 8+ 9 + 10= 49= 72,所 以第五个等式为 5+ 6 + 7 + 8+ 9+ 10+ 11+ 12+ 13= 92= 81. ⑵由题意得 f(22)>|, f(23)>|, f(24)>|, f(25)>2, n + 2所以当n 》2时，有f(2n )> — n + 2故填 f(2n )> —(n >2, n € N *).题型二类比推理差数列{a n }的上述结论，对于等比数列 {b n }( b n >0, n € N *),若b m = c , b n = d(n — m 》2, m , n € N *), 则可以得到b m + n =.思维启迪 等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比， 等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运解析 设数列｛ a n ｝的公差为d ,数列｛b n ｝的公比为q.nb — ma因为 a n = a 1 + (n — 1)d , b n = b 1q n — 1, a m + n =n — mn —所以类比得b m + n =思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2) 类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数 的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等(3) 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找例2已知数列｛a n ｝为等差数列，若 a m = a , a n = b(n — m 》1, m ,* nb — ma _n * N)，则am + n=二—7 .类比等两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等跟氐训练2 (1)给出下列三个类比结论：①(ab)n= a n b n与(a+ b)n类比，则有(a+ b)n= a n+ b n；②log a(xy)= log a x+ log a y 与sin( a+ ® 类比，则有sin( a+ 3 = sin a sin 3；③(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2与(a+ b)2类比，则有(a + b)2= a2+ 2a b+ b2.其中结论正确的个数是()A. OB.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r = 叮"(其中a, b为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a, b, c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R= _________ .a2+ b2+ c2答案(1)B ⑵亠解析⑴①②错误，③正确•(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径题型三演绎推理例 3 已知函数f(x) = - aX^a a(a>0，且1).(1) 证明：函数y= f(x)的图象关于点g, - 1)对称；(2) 求f( —2)+ f( —1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.思维启迪证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y= f(x)的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上•小前提是f(x) = —^a(a>0且1)的图象关于点&, —2)对称.(1) 证明函数f(x)的定义域为全体实数，任取一点(x, y),1 1 它关于点(2，—刁对称的点的坐标为(1 —x,—1 —y).由已知得y=—-—，则一1 —y=— 1 + -4 = ——a x+诵a x W a a x+V af(1 —)__ v a =_ v a =_ v a a x=_ a xa1-x+诵-0- +百a+T^a X a x^/a，a v••• — 1 —y= f(1 —x),即函数y= f(x)的图象关于点(1，—》对称.(2) 解由(1)知一1 —f(x)= f(1 —x)，即f(x) + f(1 —x) = —1.••• f(—2)+ f(3) = - 1 , f( —1) + f(2) = - 1 , f(0) + f(1) = - 1.则f(- 2) + f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = - 3.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提•跟腺训练3已知函数y= f(x),满足：对任意a, b€ R, a工b，都有af(a) + bf(b)>af(b)+ bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数.证明设X1, X2€ R，取X1<X2,则由题意得X1f(X1)+ X2f(X2)>X1f(X2) + X2f(X1),•- X1[f(X1) - f(X2)] + X2[f(X2)- f(X1)]>0 ,[f(X2) —f(X1)](X2 —X1)>0 ,T X1<X2, •. f(X2) —f(X1)>0 , f(X2)>f(X1 ).所以y= f(x)为R上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10,…，第n个n n +1 1 1三角形数为一2 =尹2+ 2n，记第n个k边形数为N(n, k)(k> 3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：1 1三角形数N( n,3) = ?n2+尹,正方形数N( n,4) = n2,3 1五边形数N(n ,5) = ?n2-刃,六边形数N(n,6) = 2n2- n可以推测N(n, k)的表达式，由此计算N(10,24) = ____________ .思维启迪从已知的部分k边形数观察一般规律写出N(n, k)，然后求N(10,24).k—2 4—k 解析由N(n,4)= n2, N(n,6) = 2n2-n,可以推测：当k为偶数时，N(n, k)=一^n2+一^n,24 —2 4 —24• N(10,24) = X 100 + X 10=1 100- 100= 1 000.答案 1 0002 2(2)(5分)若P o(x o, y o)在椭圆拿+ b2= 1(a>b>0)外，过P o作椭圆的两条切线的切点为P i, P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是X0X+翠=1,那么对于双曲线则有如下命题：若P o(x o, y o)在双曲线£—b2= 1(a>0, b>0)外，过P o作双曲线的两条切线，切点为P i, P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是思维启迪直接类比可得• 解析设P1(x1, y1), P2(x2, y2),则P1 , P2的切线方程分别是X1X y1y X2X y2y尹—b2 = 1,歹—b2 = 1.因为P o(x o, y o)在这两条切线上,故有警-章=1,a bX2x o y2y o苜—b2 = 1, 这说明P1(X1, y1), P2(X2, y2)在直线X"2X—yoy= 1 上,a b故切点弦P1P2所在的直线方程是X^—yb y= 1.答案xo x—y°y= 1a b⑶(5分)在计算“ 1X 2+ 2X 3+-+ n(n+1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项:1k(k+ 1) = 3【k(k+ 1)(k+ 2)—(k —1)k(k+ 1)],由此得11 x 2= 3(1 x2 x 3—o x 1 x 2),12 x 3= 3(2 x3 x 4—1 x 2x 3),1n(n + 1)=破n(n + 1)(n + 2) —(n —1)n(n+ 1)].1相加，得 1 x 2+ 2x 3 + …+ n(n + 1) = §n(n+ 1) (n + 2).类比上述方法，请你计算“ 1 x 2x 3+ 2 x 3x 4+-+ n(n+ 1) (n + 2)”，其结果为_______________ .思维启迪根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证1解析类比已知条件得k(k+ 1)(k + 2) = yk(k+ 1)(k+ 2)(k+ 3) —(k—1)k(k+ 1)(k+ 2)],1 由此得1 x 2x 3= 4(1 x 2x 3x 4 —o x 1 x 2x 3),n(n + 1)(n + 2) = f[n(n + 1)(n + 2)(n + 3)- (n - 1)n(n + 1)(n + 2)]. 以上几个式子相加得： 1X 2X 3 + 2 X 3X 4+ - + n(n + 1)(n + 2)1=4"(n + 1)(n + 2)(n + 3). 答案 *n(n + 1)(n + 2)( n + 3)1•判断下面结论是否正确(请在括号中打“V”或“X”)(1) 归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确 ( X ) (2) 由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理 ( V ) (3) 在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.(X )(4) “所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理,但其结论是错误的• ( V )2. 数列2,5,11,20,x,47,…中的x 等于 ()A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5- 2= 3,11-5 = 6,20- 11 = 9, 推出 x - 20= 12,所以 x = 32. 3.观察下列各式：55=3 125,56= 15 625,57 = 78 125,…，则52 011的后四位数字为 ( )解析 55= 3 125,56= 15 625,57= 78 125,58= 390 625,59= 1 953 125，可得 59与 55 的后四位数字相同，…，由此可归纳出5叫4k 与5m (k € N *, m = 5,6,7,8)的后四位数字相同，又 2 011 = 4X 501 + 7,所以52 011与57后四位数字相同为 8125,故选D. 4.观察下列等式2 X 3X 4= 4(2X 3X 4X 5- 1 X 2X 3X 4), 3X 4X 5= X 4X 5X 6- 2X 3X 4X 5),A.3 125 答案 DB.5 625C.0 625D.8 1251 ⑸一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n = n(n € N +).( X ) 数)，则可以推测a = 35, b = 6. (V )12= 112-22=- 312— 22+ 32= 612— 22+ 32 — 42 = — 10照此规律，第n 个等式可为 _________ .答案 12— 22 + 32— 42+…+ (— 1)n +1n 2= (— 1)n +1 n n j 1解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第 n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(一1)n + 1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21,….设此数列为｛a n ｝，贝U a 2 — a 1= 2, a 3 — a 2= 3, a 4 — a 3= 4, a 5 — a 4= 5,…，a n — a nn n + 1—1= n ,各式相加得 a n — a 1 = 2+ 3 + 4 +…+ n ,即a n = 1 + 2 + 3+…+ n =2•所以第n 个等式5. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,贝yS 4, S 8 — S 4, S 12—S 8, S 16 — S 12成等差数列.类比以上结论有设解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,贝U T 4 = a 1a 2a 3a 4, T 8 = a£2…a 8, T 12= a 1a 2…a 12,T 16= a£2 …a 16,因此T 4, Ti T 2,筈成等比数列基础巩固A 组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题12 — 22 + 32 — 42+ …+ (— 1)n +1 n 2= (— 1)n +1n n + 12等比数列｛b n ｝的前n 项积为T n ,则T 4, ,芸成等比数列.答案 T 8 T 4 T 12 T? 因此 T 8T 4 =a 5a 6a 7a 8T 12 T 8 =a 9a 1o ana 12,T^兀=a 13a 14a 15a 16,而T 4 ,T 8 T 12 T 16T 4‘ T 8 , T 12的公比为q 16,1.观察下列各式：a+ b= 1, a2+ b2= 3, a3+ b3= 4, a4+ b4= 7, a5+ b5= 11,…，贝V a10+ b10等于解析观察规律，归纳推理•从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面 两个式子右端值的和，照此规律，则a 10+b 10= 123.2•定义一种运算“ * ” ：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，贝U n*1 等于 ( )A.nB.n +1C. n — 1D.n 2答案 A解析 由(n + 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n — 1)*1 + 1 = (n — 2)*1 + 2=…=1*1+ (n — 1). 又•/ 1*1=1 ,••• n*1 = n 3. 下列推理是归纳推理的是( )A. A , B 为定点，动点 P 满足|PA|+ |PB|= 2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B. 由a 1= 1, a n = 3n — 1，求出S, S 2, S 3,猜想出数列的前 n 项和S n 的表达式C. 由圆x 2 + y 2= r 2的面积n 2,猜想出椭圆 冬+占=1的面积S = jaba b D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1, S 2, S 3猜想出数列的前n 项和S n ,是从特殊到一般的推理，所以 B 是归纳推理，故 应选B.4. 已知△ ABC 中，/ A = 30° / B = 60° 求证：a<b. 证明：•••/ A = 30° / B = 60° , A< / B.• a<b ，其中，画线部分是演绎推理的 ( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提A.28B.76 答案 CC.123D.199数列｛C n ｝是等比数列，且｛d n ｝也是等比数列，则 d n 的表达式应为()5.若数列｛a n ｝是等差数列, 则数列{b n }( b n = a 1+ a 2+…+n也)也为等差数列.类比这一性质可知,若正项A.d n =C 1+ C 2+・・・+CB. d n =C 1 C 2 …C n二 f2(X )= f(x x + 2)=x + 2x + 2x 3x + 4n — 1 d d2 d = ^n + a 1 — 2，即｛b n ｝为等差数列;若｛C n ｝是等比数列，则C i C 2…C n = c i q 1 + 2+ + (n -°=岀二d n =守C 1 C 2…C n = C 1 q~^~，即｛d n ｝为等比数列，故选 D. 二、填空题6.仔细观察下面O 和•的排列规律：o• oo • ooo • oooo • OOOOO •OOOOOO •……若依此规律继续下去，得到一系列的o 和•，那么在前120个o 和•中，•的个数是 ________ . 答案 14解析 进行分组O ・|OO ・ |OOO ・ |OOOO ・ |OOOOO ・ |OOOOOO ・|……,n n + 3则前n 组两种圈的总数是 f(n)= 2 + 3+ 4+ •+ (n + 1) = 2—，易知 f(14) = 119, f(15) = 135,故 n = 14.7.若函数 f(x)= ------- (x>0)，且 f 1(x) = f(x)= ---- ，当 n € N *且 n > 2 时,f n (x)= f[f n - 1(x)]，则 f 3(x) = ____x ~H 2 x ~H 2 猜想f n (x)(n € N *)的表达式为 _________ . XX7x + 82n — 1 x + 2nxT f 1(x)=, f n (x)= f[f n — 1(x)]( n > 2),x + 2C.d n = n n nnc i + C 2 +…+ c nD.d n =址1 C 2 …C n答案解析 若｛a n ｝是等差数列，则a i + a 2+••• + a n = na i +n n — 1 2 d ,--b n = a i +答案解析在三棱锥A — BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A — CD — B 且与AB 相交于点E ,则类比 得到的结论是 _________解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等, 故 V E -BCD = BE = 0BCD 故 V E —ACD = EA = & ACD . 三、解答题9•已知等差数列｛a n ｝的公差d = 2，首项a i = 5. (1) 求数列｛a n ｝的前n 项和S n ；(2) 设 T n = n(2a n — 5)，求 S 1, S 2, S 3, S 4, S; T 1, T 2, T a , T 4, T 5，并归纳出 3 与 T n 的大小规律故 f n (x)=2n— 1 x + 28•在平面几何中，△ ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE ACEB = BC 把这个结论类比到空间:答案 BE = S ^ BCDEA S ^ ACD解(1)由于 a 1 = 5, d = 2,(2) T T n = n(2a n — 5) = n[2(2 n + 3) — 5] = 4n 2+ n. --T 1 = 5, T 2= 4 x 2?+ 2 = 18, T 3= 4x 32+ 3 = 39, T 4= 4X 42+ 4 = 68, T 5= 4X 52+ 5= 105. S 1= 5, S 2= 2 x (2 + 4) = 12, S 3= 3X (3 + 4)= 21, S 4= 4 x (4 + 4) = 32 , S 5= 5X (5 + 4) = 45. 由此可知S 1= T 1,当n > 2时，3<T n .归纳猜想：当n = 1时，S n = T n ；当n 》2, n € N 时，S n <T n .11110.在Rt △ ABC 中，AB 丄AC , AD 丄BC 于D ，求证：2= 2+ 2,那么在四面体 ABCD 中，类AD AB AC 比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由 解如图所示，由射影定理 AD 2= BD DC , AB 2= BD BC , AC 2= BC DC ,Si = 5n +n n — 12~x 2= n(n + 4).丄- 1AD 2=BD DCBC 2 _______ BC 2BD BC DC BC = AB 2 AC 2.B 组专项能力提升 （时间：30分钟）1•给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：① “若 a , b € R ，贝U a — b = 0? a = b ” 类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b = 0? a = b ”； ② “若 a , b , c , d € R ，则复数 a + bi = c + di? a = c , b = d ” 类比推出“若 a , b , c , d € Q ,贝U a + b 眨=c + d '2? a = c , b = d ”；③ 若“ a , b € R ，贝U a — b>0? a>b ”类比推出“若 a , b € C ,贝U a — b>0? a>b ” .其中类比结论正 确的个数是 （ ）A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误•因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小2•设 是R 的一个运算，A 是R 的非空子集 若对于任意a , b € A ,有a b € A ,则称A 对运算 封 闭下列数集对加法、减法、乘法和除法 （除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ）又 BC 2= AB 2 + AC 2,1AB 2 + AC 2A^= AB 2 AC 21 1 A^+A^.猜想，四面体 ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE 丄平面BCD ,1111则走=届+ A^+时证明：如图，连接 BE 并延长交CD 于F ，连接AF. •/ AB 丄 AC ，AB 丄 AD , ••• AB 丄平面ACD. ••• AB 丄 AF.在 Rt A ABF 中，AE 丄 BF , • 1 _ 1 丄 1 …AE 2= AB2+AF 2.1 1 1在Rt A ACD 中，AF 丄CD , •洁=応+荷, 1 _ 1 1A E 2= A?+ A?*1 A D ^-C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法 运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭 3•平面内有n 条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为答案n 2 + n + 22解析 1条直线将平面分成1 + 1个区域；2条直线最多可将平面分成 1 + (1 + 2) = 4个区域；3条直线最多可将平面分成1 + (1 + 2+ 3) = 7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1+ (1 + 2+ 3n n + 1 n 2+ n + 2+ …+ n) = 1 + 一2一 = 一2 ------ 个区域•n + 2 * 4•数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,已知a 1= 1, a n +1= J$(n € N ).证明： (1) 数列｛半｝是等比数列； (2) S n + 1 = 4a n .、n + 2证明 ⑴-a n + 1 = S n + 1 — S n , a n + 1 = ~n~S n , ••• (n + 2)S n = n(S n +1 — S n ), 即 nS n +1= 2(n + 1)S n .故 =2总，(小前提)n +1 n故為是以2为公比，1为首项的等比数列• (结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了 )S n + 1 S n — 1 ⑵由(1)可知 =4厂 (n > 2),n + 1 n — 1S n — 1 n — 1 + 2••• S n +1 = 4(n + 1) • = 4 - S n — 1 = 4a n (n 》2).(小前提)n — 1 n — 1 又■/a 2= 3S 1= 3, S 2= a 1 + a 2= 1 + 3 = 4= 4a 1, •••对于任意正整数n ,都有S n +1 = 4a n . (除数不等于零)四则(小前提) (结论)第13页第22页的导数，若方程f " (x)= 0有实数解x o ,则称点(x o , f(x o ))为函数y = f(x)的"拐点”.某同学经过探 究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对 称中心.若f(x) = 3y 3 4 — 2x 5 + 3x — 12，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)= 3x 3 — *x 2+ 3x —12的对称中心;1 2 3 4 2 012⑵计算 fq 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+^+ f(2 013).解 (1)f ' (x) = x 2 — x + 3, f " (x)= 2x — 1,1 由 f " (x) = 0,即 2x —1= 0,解得 x = ^.3 2 010 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,4 2 3 4 2 012所以 f(2 013) + f(2 2 0131111£)= 3 x (夕3 -孑 1 2(2)2+3第23页11 5 1 由题中给出的结论，可知函数 f(x) = §x 3 — qx 2+ 3x —12的对称中心为(㊁,1).11 51 ⑵由(1)，知函数f(x) = §x 3— ^x2 + 3x —12的对称中心为(-,1),1 1所以 f(，+ x) + f (2 — x) = 2, 即 f(x) + f(1 — x)= 2. ,,1 2 012故 f(2 013)+ f(2 013)= 2, 2 2 011 _f(2 013)+ f(2 013) = 2,为 X 2 + 2X 3 .'3 3 + 3 + 2 .'3思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围•(2) 归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3) 归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用跟麻训练(1)观察下列等式1= 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49.2 012上 f(2 013)+ f( 1 2 013) = 2.-X 2 X 2 012= 2 012.2照此规律，第五个等式应为___________________________ .11 1 5 7⑵已知f(n)= 1 + 2+ 3+…+N*)，经计算得f(4)>2 ,f(8)>2，f(16)>3 , f(32)>?,则有答案(1)5 + 6+ 7+ 8 + 9 + 10+ 11+ 12+ 13= 81第24页。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理【提出问题】在日常生活中，我们经常会自觉或不自觉的根据一个或几个已知事实或假设得出一个判断（为将来的行动作出预判）。

例如，当我们看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，会得出即将下雨的判断（出门带雨伞），这种思维方式就是推理。

从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知事实(或假设)叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．例如：推理前提a>b,b>c_________________结论a>c中的“a>b,b>c”是前提，“a>c”是结论。

推理也可以看作是用连接词将前提和结论逻辑的连接，常用的连接词有：“因为……所以……”；“根据……可知……”；“如果……那么……”等．问题1：你能举出一个推理的例子吗？提示：气温从00以下逐渐升高，春天要来了。

推理一般分为合情推理与演绎推理。

【获得新知】考查以下事例中的推理：1856年，法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因，接着通过对蚕病的研究，他发现细菌是引起蚕病的原因，据此，巴斯德推断：人身上的一些传染病也是由细菌引起的。

我国地质学家李四光发现，中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油。

从上述事例可以发现，其中的推理所得结论都是可能为真的判断，像这种前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理。

归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

1.归纳推理在学习等比数列时，我们是这样推导首项为a1公比为q的等比数列{a n}的通项公式的：a1=a1q0a2=a1q1a3=a1q2……___________等比数列通项公式是a n=a1q n-1这种根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。

合情推理与演绎推理2．1.1合情推理预习课本P70～ 77，思虑并达成以下问题(1)概括推理的含义是什么？有如何的特色？(2)类比推理的含义是什么？有如何的特色？(3)合情推理的含义是什么？[新知初探 ]1．概括推理和类比推理[点睛 ](1) 概括推理与类比推理的共同点：都是从详细事实出发，推测猜想新的结论．(2)概括推理的前提和结论之间的联系不是必定的，结论不必定正确；而类比推理的结果拥有猜想性，不必定靠谱，所以不必定正确．2．合情推理[小试身手 ]1．判断 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)统计学中，从整体中抽取样本，而后用样本预计整体，这类预计属于概括推理． ()(2)类比推理获得的结论能够作为定理应用．()(3) 由个到一般的推理推理．()答案： (1) √ (2) × (3) √2．由“若 a＞ b， a＋ c＞ b＋ c”获得“若 a＞ b， ac＞ bc”采纳的是 ()A．推理B．演推理C．比推理D．数学明答案：C3．数列 5,9,17,33， x，⋯中的 x 等于 ________．答案： 65推理在数、式中的用[典例 ] (1) 察以下各式：a＋ b＝ 1， a2＋ b2＝ 3， a3＋ b3＝ 4， a4＋ b4＝ 7， a5＋ b5＝ 11，⋯， a10＋ b10＝ () A． 28B． 76C． 123D． 199(2)已知 f(x)＝x， f1(x)＝ f( x)， f n(x)＝ f n－1 (f n－1(x))(n＞ 1，且 n∈ N* )， f 3(x)的表1－x达式 ________，猜想 f n(x)(n∈ N* )的表达式 ________．[分析 ] (1) 利用法： a＋ b＝ 1，a2＋ b2＝ 3，a3＋ b3＝ 3＋ 1＝ 4，a4＋ b4＝ 4＋ 3＝ 7，a5＋b5＝ 7＋ 4＝ 11， a6＋ b6＝ 11＋ 7＝ 18， a7＋ b7＝ 18＋ 11＝ 29， a8＋ b8＝ 29＋ 18＝ 47， a9＋ b9＝ 47＋ 29＝ 76， a10＋ b10＝76＋ 47＝ 123，律从第三开始，其果前两果的和．(2) ∵ f(x)＝x，∴ f1( x)＝x.1－ x1－ x又∵ f n(x)＝ f n－1(f n－1(x))，x∴ f2 (x)＝ f1(f1(x)) ＝1－ x＝x，x1－ 2x1－1－ xxf3(x)＝ f2(f2(x)) ＝1－ 2x＝x，x－1－2×14x1－ 2xxf4(x)＝ f3(f3(x)) ＝1－ 4x＝x，x－1－4×18x1－ 4xxf 5(x)＝ f 4(f 4(x)) ＝1－ 8x＝ x，x1－ 16x1－8×1－ 8xx∴ 依据前几 能够猜想f n ( x)＝n － 1 .1－2x[答案 ] (1)C(2)f 3(x)＝x f n (x)＝x1－ 4x n －1x1－ 21．已知等式或不等式 行 推理的方法(1) 要特 注意所 几个等式 (或不等式 )中 数和次数等方面的 化 律； (2) 要特 注意所 几个等式 (或不等式 )中 构形式的特色； (3) 提 出等式 (或不等式 )的 合特色；(4) 运用 推理得出一般 ．2． 数列中的 推理在数列 中，经常用到 推理猜 数列的通 公式或前n 和．(1) 通 已知条件求出数列的前几 或前n 和；(2) 依据数列中的前几 或前 n 和与 序号之 的关系求解；(3) 运用 推理写出数列的通 公式或前n 和公式．[活学活用 ]1． 察以下等式：sinπ － 2 2π －2 43＋ sin3 ＝ ××；31 2sinπ － 2＋ sin2π－2＋ sin3π－2＋ sin4π－2＝4×2×3；5 55 53sinπ － 2 2π －2＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 6π－ 2 47 ＋ sin7 7 7 ＝ ×3×4；3 sinπ － 2 2π －2 ＋ sin 3π－ 2＋ ⋯＋ sin 8π－ 2 49＋ sin9 9 9＝ ××；3 4 5⋯⋯照此 律，sinπ－2＋ sin2π － 2＋ sin 3π －2＋ ⋯ ＋ sin 2n π－2＝ ________.2n ＋ 12n ＋ 12n ＋ 1 2n ＋ 1分析： 通 察已 出等式的特色，可知等式右 的4是个固定数， 4后边第一个数是33等式左 最后一个数括号内角度 分子中π的系数的一半，4后边第二个数是第一个数的下3一个自然数，所以，所求 果443×n ×(n ＋1)，即 3n(n ＋ 1)．4答案： 3n( n ＋ 1)2．已知数列 {a n }的前 n 和 S n ，a 1＝ 3， 足 S n ＝ 6－ 2a n ＋ 1(n ∈ N * )．(1) 求 a 2，a 3， a 4 的 ．(2) 猜想 a n 的表达式．解： (1)因 a 1＝ 3，且 S n ＝ 6－2a n ＋1 (n ∈ N * )，3所以 S 1＝ 6－ 2a 2＝ a 1＝ 3，解得 a 2＝ 2，又 S 2＝ 6－ 2a 3 ＝a 1＋ a 2＝ 3＋ 3，解得 a 3＝ 3，2 43 3又 S 3＝ 6－ 2a 4 ＝a 1＋ a 2＋ a 3＝ 3＋ 2＋ 4，3解得 a 4＝ 8.(2) 由 (1)知 a 133 33 3， ＝ 3＝ 0， a 2＝ ＝ 1， a 3＝ ＝ 22 2 2 4 23 33 *a 4＝ ＝3＝ n － 1(n ∈ N ).82 ， ⋯ ，猜想 a n2推理在几何中的 用[典例 ] 有两栽花色的正六 形地面 ，按下 的 律拼成若干个 案， 第六个 案中有菱形 的正六 形的个数是( )A ． 26B ．31C ． 32D ． 36[分析 ] 有菱形 的正六 形个数以下表：案1 2 3 ⋯个数61116⋯由表能够看出有菱形 的正六 形的个数挨次 成一个以差数列，所以第六个 案中有菱形 的正六 形的个数是[] B6 首 ，以 5 公差的等6＋ 5×(6－ 1)＝ 31.故 B.利用 推理解决几何 的两个策略(1) 通 公式法：数清所 形中研究 象的个数，列成数列， 察所得数列的前几 ，商讨其变化规律，概括猜想通项公式．(2)递推公式法：研究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数当作数列，列出递推公式，再求通项公式．[活学活用 ]1．用火柴棒摆“金鱼”，以下图：依据上边的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()A． 6n－ 2B． 8n－2C． 6n＋ 2D． 8n＋ 2分析：选 C概括“金鱼”图形的构成规律知，后边“金鱼”都比它前方的“金鱼”多了去掉尾巴后 6 根火柴构成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是 6 的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝ 6n＋ 2.2． (陕西高考)察看剖析下表中的数据：多面体面数 (F)三棱柱5极点数6(V )棱数9(E )五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中 F ， V， E 所知足的等式是________．分析：三棱柱中 5＋ 6－ 9＝ 2；五棱锥中 6＋ 6－ 10＝ 2；立方体中 6＋ 8－ 12＝ 2，由此概括可得 F＋V－E＝2.答案： F＋V－E＝2类比推理的应用[典例 ] 以下图，在△ ABC 中，射影定理可表示为 a=b·cos C+c·cos B，此中 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四周体性质的猜想．[解 ] 以下图，在四周体 P- ABC 中， S1，S2， S3， S 分别表示△ PAB，△ PBC，△ PCA ，△ ABC 的面积，α，β ，γ 挨次表示平面 PAB，平面PBC ，平面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小．我猜想射影定理比推理到三空，其表形式S=S1· cos α +S2· cos β+S3· cos γ .1．比推理的步(1)找出两象之能够切实表述的相像性(或一致性 )．(2)用一象的性去推另一象的性，进而得出一个猜想．(3)个猜想．2．平面形与空形比方下平面形空形点面球三角形四周体角二面角面周表面面体⋯⋯[活学活用 ]11．在△ ABC 中， D BC 的中点，AD ＝2( AB +AC)，将命比到四周体中去，获得一个命：______________________________________.分析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．答案：在四周体 A-BCD 中， G 是△ BCD 的重心，AG―→＝13( AB + AC + AD )2．在 Rt △ ABC 中，若∠ C＝ 90°， cos2A＋ cos2B＝ 1，在空中，出四周体性的猜想．解：如，在Rt △ABC 中，22b 2 a 2＝a2＋ b2＋c2＝ 1.cosA＋ cos B＝c c于是把结论类比到四周体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥 P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，222PB′C′， PC′A′两两相互垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cosα＋ cos β＋ cos γ＝1.层级一学业水平达标1．察看图形规律，在其右下角的空格内画上适合的图形为()A. C.B．△D．○分析：选A察看可发现规律：① 每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，② 每行、每列有两暗影一空白，即得结果．2．下边几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°，概括出全部三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的全部椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是 540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n－ 2) ·180°(n∈N *，且n≥3)．A．①②B．①③④C．①②④D．②④分析：选 C① 是类比推理；②④ 是概括推理，∴①②④ 都是合情推理．3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶ 2，则它们的面积比为1∶ 4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积比为() A． 1∶2B．1∶ 4C． 1∶8D． 1∶ 16分析：选 C由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比建立方关系，故若两个正四周体的棱长的比为1∶ 2，则它们的体积之比为 1∶ 8.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可推出以下空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④垂直于同一平面的两个平面相互平行，则其中正确的结论是()A．①②B．②③C．③④D．①④分析：选B依据立体几何中线面之间的地点关系及有关定理知，②③ 是正确的结论．5．察看以下各等式：2 ＋ 6＝2，5＋3＝2，7＋1＝2，10＋－ 2－2－4 2－4 6－ 45－4 3－ 47－ 4 1－410－ 4＝ 2，依据以上各式建立的律，获得一般性的等式()A.n＋8－n＝ 2 n－4 (8－ n)－ 4B.n＋1＋(n＋1)＋5＝2 (n＋1)－ 4(n＋ 1)－ 4C.n＋n＋4＝ 2 n－4 (n＋ 4)－ 4n＋ 1n＋ 5＋＝ 2D.(n＋1)－ 4(n＋ 5)－ 4分析： A察：每个等式的右均2，左是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子同样，减数都是4，所以只有 A 正确．6．察以下等式1＝ 12＋3＋4＝93＋4＋ 5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋ 7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49照此律，第n 个等式 ________．分析：察所等式，等式左第一个加数与行数同样，加数的个数2n－ 1，故第 n 行等式左的数挨次是n， n＋ 1， n＋ 2，⋯， (3n－2) ；每一个等式右的数等式左加数个数的平方，进而第n 个等式 n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)2.答案： n＋ (n＋ 1)＋ (n＋ 2)＋⋯＋ (3n－ 2)＝ (2n－ 1)27．我知道：周必定的全部矩形中，正方形的面最大；周必定的全部矩形与中，的面最大，将些比到空，能够获得的是 _______________________ ．分析：平面形与立体形的比：周→ 表面，正方形→ 正方体，面→ 体，矩形→ 方体，→ 球．答案：表面必定的全部方体中，正方体的体最大；表面必定的全部方体和球中，球的体最大8．如 (甲 )是第七届国数学教育大会(称 ICME － 7)的会徽案，会徽的主体案是由如 (乙 )的一串直角三角形演化而成的，此中OA1＝A1A2＝ A2 A3＝⋯＝ A7 A8＝ 1，如果把 (乙 )中的直角三角形依此律作下去，OA1，OA2，⋯， OA n，⋯的度构成数列 {a n}，此数列 {a n}的通公式a n＝ __________.分析：依据 OA 1＝ A 1A 2＝ A 2A 3＝ ⋯ ＝ A 7 A 8＝ 1 和 (乙 )中的各直角三角形，由勾股定理，可得 a 1＝ OA 1 ＝ 1 ， a 2 ＝ OA 2 ＝ OA 21＋ A 1A 22 ＝12＋ 12 ＝2 ， a 3＝ OA3 ＝ OA 22＋A 2A 23 ＝22a n ＝ n.( 2)＋ 1 ＝ 3， ⋯ ，故可 推 出 答案：n9．在平面内 察：凸四 形有2 条 角 ，凸五 形有5 条 角 ，凸六 形有9 条角 ， ⋯ ，由此猜想凸n 形有几条 角 ？解： 因 凸四 形有2 条 角 ，凸五 形有 5条 角 ，比凸四 形多3 条；凸六形有9 条 角 ，比凸五 形多4 条， ⋯ ，于是猜想凸 n 形的 角 条数比凸(n － 1)形多 (n － 2)条 角 ， 由此凸 n 形的 角 条数2＋ 3＋ 4＋ 5＋ ⋯＋ (n － 2)，由等差数1*列乞降公式可得 2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )． 所以凸 n 形的 角 条数 1 *2n(n － 3)(n ≥4， n ∈ N )．10．已知 f(x)＝1，分 求f(0)＋ f(1) ，f( － 1)＋ f(2) ， f(－ 2)＋ f(3) ，而后 猜想3x＋ 3一般性 ，并 明你的 ．1解： f( x)＝ x，3 ＋ 3所以 f(0)＋ f(1) ＝ 01＋ 1 1 ＝ 3，3 ＋33＋3 3 f(－ 1)＋ f(2)＝ － 11＋ 2 1 ＝ 3 ，3 ＋3 3 ＋ 3 3 f(－ 2)＋ f(3)＝ － 21＋ 3 1 ＝ 3 . 3 ＋3 3 ＋ 3 33猜想一般性 ；f(－ x)＋ f(x ＋ 1)＝ 3 .明以下： f (－ x)＋ f(x ＋ 1)＝113－x＋3＋3x ＋1＋ 3x1x 133·3＝1＋ 3·3x ＋ 3x ＋ 1＋ 3＝3＋ 3x ＋1＋3x ＋1＋ 3x＋ 1x＋ 1＝3. ＝ 3·3x ＋ 1＝3·3 x3＋ 33(1＋ 3·3 )3二能力达1．由代数式的乘法法 比获得向量的数目 的运算法 ：① “mn ＝ nm ” 比获得 “a ·b ＝ b ·a ”；② “(m ＋ n)t ＝ mt ＋ nt ” 比获得 “(a ＋ b) ·c ＝ a ·c ＋ b ·c ”；③ “(m ·n)t ＝ m(n ·t) ” 比获得 “(a ·b) ·c ＝ a ·(b ·c) ”；④ “t ≠0， mt ＝ xt ? m ＝ x ” 比获得 “p ≠0，a ·p ＝ x ·p ? a ＝ x ”；⑤ “|m ·n|＝ |m| ·|n| ” 比获得 “|a ·b|＝ |a| ·|b| ”；ac aa ·c a⑥“ ＝ ” 比获得 “ ＝ ”．bc b b ·c b此中 比 正确的个数是 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：B由向量的有关运算法 知①② 正确， ③④⑤⑥ 都不正确，故 B.2． 比三角形中的性 ：(1) 两 之和大于第三 ； (2) 中位 等于底 的一半；(3) 三内角均分 交于一点．可得四周体的 性 ：(1) 随意三个面的面 之和大于第四个面的面 ；(2) 四周体的交于同一 点的三条棱的中点的平面面 等于 点所 的面面 的(3) 四周体的六个二面角的均分面交于一点．此中 比推理方法正确的有()A ． (1)B ． (1)(2)C ． (1)(2)(3)D ．都不分析：C以上 比推理方法都正确，需注意的是 比推理获得的 能否正确与1； 4比推理方法能否正确其实不等价，方法正确 也不必定正确．1 31 15 1 1 173． 察以下式子：22，1＋ 2 2 ， 1＋ 2 22， ⋯，依据以上式子可1＋2 ＜2 ＋3 ＜ 32 ＋3 ＋4 ＜ 4以猜想：1＋ 1 1122＋32＋⋯ ＋ 2 0172＜ ()4 0314 032A. 2 017B.2 0174 0334 034 C. 2 017D.2 017分析：C察能够 ，第 n(n ≥2)个不等式左端有n ＋ 1 ，分子 1，分母挨次2, 2,22n ＋ 1，分子成等差数列，首 3，公差2，所以1 23 ， ⋯， (n ＋ 1)；右端分母1112n ＋ 11 1第 n 个不等式1＋ 22＋ 32＋ ⋯＋ (n ＋ 1)2＜ n ＋ 1 ，所以当 n ＝ 2 016 不等式 ： 1＋ 22＋ 32＋⋯ ＋14 0332 0172＜2 017.2Sa ，b ，c ，△ ABC 的面 S ，内切 半径 r ， r ＝ ；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体P-ABC 的四个面的面积分别为S1， S2， S3， S4，内切球的半径为 r，四周体 P-ABC 的体积为 V，则 r＝ ()A.VB.2VS1＋S ＋S ＋S＋S ＋S ＋S234S12343V4VC.S1＋S2＋ S3＋ S4D.S1＋ S2＋ S3＋ S4分析：选 C将△ ABC 的三条边长 a，b，c 类比到四周体 P-ABC 的四个面面积S1，S2，S3， S4，将三角形面积公式中系数1，类比到三棱锥体积公式中系数1，进而可知选 C.证明23以下：以四周体各面为底，内切球心O 为极点的各三棱锥体积的和为11 V，∴ V＝S1r＋ S2r33113V＋3S3r＋3S4r，∴ r＝S1＋S2＋S3＋S4.5．察看以下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥ 2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．分析：每条边上有 2 个圆圈时共有 S＝ 4 个；每条边上有 3 个圆圈时，共有S＝8 个；每条边上有 4 个圆圈时，共有 S＝ 12 个．可见每条边上增添一个点，则S 增添 4，∴ S 与 n 的关系为 S＝ 4(n－ 1)(n≥2)．答案： S＝ 4(n－ 1)(n≥2)6．能够运用下边的原理解决一些有关图形的面积问题：假如与一固定直线平行的直线被甲、乙两个关闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中领会这个原理．此刻图③中的两个曲线的方程分别是x2y2a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)与 x2＋ y2＝ a2，运用上边的原理，图③中椭圆的面积为______________．y 轴所得线段之比为b分析：因为椭圆与圆截a，b2b即 k＝，∴ 椭圆面积S＝πa·＝πab.a a答案：πab7．察看以下两个等式：223① sin10°＋ cos 40°＋ sin 10 cos ° 40 ＝° ①；4223② sin 6°＋ cos 36°＋ sin 6 cos ° 36 ＝° ② .4由上边两个等式的构造特色，你可否提出一个猜想？并证明你的猜想．解： 由 ①② 知若两角差为 30°，则它们的有关形式的函数运算式的值均为3 4.猜想：若 β－ α＝30°，则 β＝ 30°＋ α， sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝34.下边进行证明：左侧＝ sin 2α＋ cos(α＋ 30°)[cos(α＋ 30°)＋ sin α]23 1 3 1＝ sin α＋2 cos α－2sin α 2 cos α＋ 2sin α ＝ sin 2 α＋ 34cos 2α－ 14sin 2α＝ 34＝右侧．所以，猜想是正确的．故 sin 2α＋ cos 2(α＋ 30°)＋ sin αcos(α＋ 30°)＝ 3. 41118．已知在Rt △ ABC中， AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC于点 D ，有 AD 2＝AB 2＋ AC 2建立．那么在四周体 A-BCD 中，类比上述结论，你能获得如何的猜想，并说明猜想能否正确及原因．解： 猜想：类比 AB ⊥ AC ，AD ⊥ BC ，能够猜想四周体 A-BCD 中， AB ，AC ，AD两两垂直，AE ⊥ 平面BCD .则1AE1 2＝ AB1 2＋ AC1 2＋ AD2.下边证明上述猜想建立以下图，连结BE ，并延伸交 CD 于点 F ，连结 AF .∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ，AC ∩ AD =A ，∴ AB ⊥平面 ACD.而 AF ? 平面 ACD ，∴ AB ⊥ AF.在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ，11∴ AE 2＝ AB 2＋ AD 2.1在 Rt△ ACD 中， AF ⊥ CD，111∴AF2＝AC2＋AD2.∴12121212AE ＝AB＋AC＋AD，故猜想正确．。

2.1.1合情推理(二)【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 【新知自学】知识回顾：1.归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.2.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题1：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由 到的推理.3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 对点练习：1.下列说法中正确的是（ ）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c ≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ） 3.类比等差数列的性质，写出等比数列的类似性质:22n a +++也是等差数列4．三角形的面积为()2Sa b c r =++⋅，,,a b c 为 三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类 比推理，得到四面体的体积为_____ _________.【合作探究】典例精析：例1. 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 变式练习：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.。

第二章推理与证明合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

•教学重点：归纳推理及方法的总结。

•教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

•教具准备：与教材内容相关的资料。

•课时安排：1课时•教学过程：一•问题情境（1）原理初探①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：（图片展示-阿基米德的灵感）A: —个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B:修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发？⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

归纳推理的发展过程⑵皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠链接：—“歌德巴赫猜想”5 + 13,....等等。

有人对33X 108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想（a）都成立。

但验格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的明珠”到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了—哥德巴赫”思考：其他偶数是否也有类似的规律？③讨论：组织学生进行交流、探讨。

④检验：2和4可以吗？为什么不行？⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。

2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理一、教学目标 1．核心素养通过学习归纳推理与类比推理，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力． 2．学习目标（1）结合已学过的数学实例和生活实例，了解归纳推理的含义及逻辑特点，体会归纳推理的作用，掌握归纳推理的一般步骤，能够利用归纳进行一些简单的推理.（2）结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解类比推理的含义及逻辑特点，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 3．学习重点了解合情推理的含义，能利用归纳推理与类比推理进行一些简单的推理. 4．学习难点运用所学知识对具体问题进行归纳和类比的推理，做出合理的猜想. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P 70－P 77，思考：什么是归纳推理？什么是类比推理？2．预习自测1．下列表述正确的是（ ）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A ．①②③；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．① ③ ⑤. 解：D2．已知数列}{n a 的前n 项和)2(2≥⋅=n a n S n n ，且，通过计算猜 想（ ）A ．B ．C ．D ．解：A3．下面使用类比推理正确的是（ ）（二）课堂设计1．知识回顾（1）由等差数列的定义推导其通项公式是怎么实现的．（2）平面向量的运算与空间向量的运算有什么共性．（3）椭圆和圆的哪些几何性质是相似的．2．问题探究问题探究一归纳推理的含义●活动一结合实例，体会归纳推理1.由铜，铁，金等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电.2.由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为（n-2）180°这些思维过程就是归纳推理，那么你认为什么是归纳推理呢？●活动二梳理小结，掌握归纳推理的逻辑含义下面两个推理：1.金受热后体积膨胀；银受热后体积膨胀；铜受热后体积膨胀；铁受热后体积膨胀.由此猜想：金属受热后体积膨胀.2.1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=161+3+5+7+9=25......由此猜想：1+3+5+7+...+（2n-1）= n2提出问题：这两个推理在思维方式上有什么共同特点？学生先独立思考，然后可小组交流归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理，简称归纳.归纳推理的特点：1.归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.2.人们在进行归纳推理的时候，总是先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行.3.归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段.归纳推理的一般步骤：①对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；②在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；③检验猜想.说明：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，（如：费马猜想）但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识性能，对于提供科学的发现方法，确实是非常有用的.问题探究二类比推理的含义．●活动一结合实例，体会类比推理问题1：为什么人们会猜测火星上有生命呢？问题2：用以上方法，类比圆的特征，填写下表球的特征，说说推理的过程.并回答下面两个问题：1. 为什么圆可以和球类比？2. 圆和球类比的规律是什么？规律总结：圆←→球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积●活动二梳理小结，掌握类比推理的逻辑含义类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简称类比.类比推理的特点1. 类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征.3. 类比推理是以旧的知识做基础，推测新的结果，具有发现的功能.类比推理的一般步骤：①找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；③检验这个猜想.S的归纳过程.例1：用推理的形式表示等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前n项和n 【知识点：归纳推理】详解：对等差数列1,3,5，…，（2n-1）,…的前1,2,3,4,5,6 项和分别进行计算：21222324252611;1342;13593;1357164;13579255;1357911366.___________________________S S S S S S ===+===++===+++===++++===+++++==故，等差数列1,3,5，…，（2n -1）,…的前n 项和2.n S n =点拨：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，需要对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想．例2：设2()41, f n n n n N +=++∈,计算f (1)，f (2)，f (3)，f (4)，…，f (10)的值，同时做出归纳推理，并用n =40验证猜想是否正确. 【知识点：归纳推理】 详解：2222222222(1)114143;(2)224147;(3)334153;(4)444161;(5)554171;(6)664183;(7)774197;(8)8841113;(9)9941131;(10)101041151,f f f f f f f f f f =++==++==++==++==++==++==++==++==++==++=43，47，53，61，71，83，97，113，131，151都是质数.结论：当n 取任何正整数时，2()41f n n n =++的值都是质数.因为当n =40时，2(40)4040414141,f =++=⨯所以(40)f 是合数.因此，上面的归纳推理得到的猜想不正确.点拨：由归纳推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，需要进行严格的证明或通过举反例推翻其一般性.例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【知识点：类比推理】 详解：列表如下结论：2222123S S S S =++．点拨：类比推理是由特殊到特殊的推理，由于类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征． 3．课堂总结【知识梳理】(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概栝出一般结论的推理．归纳推理是由特殊到一般的推理.(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)归纳与类比都是合情推理，但是它们的结论都未必正确，需要进行证明结论是真或通过举反例说明结论是假．【重难点突破】(1)进行归纳推理的时候，要先搜集一定的事实材料，有了个别性、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行．(2)类比的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确的指出两类对象在某些方面的类似特征． 4．随堂检测1．下列说法正确的是（ ）A ．由合情推理得出的结论一定是正确的B ．合情推理必须有前提有结论C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误 【知识点：合情推理的含义与作用】解：B. 根据合情推理可知，合情推理必须有前提有结论．2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是（）A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【知识点：类比推理的含义】解：C3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③【知识点：类比推理的含义】解：C正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．4．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 015的末两位数字为() A．01 B．43C．07 D．49【知识点：简单的合情推理】解：B因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807,76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T＝4.又2 015＝4×503＋3，所以72 015的末两位数字与73的末两位数字相同，为43.5．设f(x)＝2xx＋2，x1＝1，x n＝f(x n－1)(n≥2)，则x2，x3，x4分别为________．猜想x n＝________.【知识点：简单的合情推理】解：23，24，25…2n＋1x2＝f(x1)＝21＋2＝23，x3＝f(x2)＝2×2323＋2＝12＝24，x4＝f(x3)＝2×1212＋2＝25，∴x n ＝2n ＋1. （三）课后作业基础型 自主突破1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 【知识点：归纳推理】解：B 观察发现从第二项开始，每一项与前一项的差构成公差为3的等差数列，所以x=32. 2．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于（ ）A.r 22B.22lC.2lrD ．不可类比 【知识点：类比推理】 解：C3．观察：112156<+，1125.155.5<+，11221724<++-，...，对于任意的正实数b a ,，使112<+b a 成立的一个条件可以是（ ） A ．22=+b a B ．21=+b a C ．20=ab D ．21=ab 【知识点：归纳推理】 解：B4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ） A.12+n n B. 112+-n n C. 112++n n D. 22+n n【知识点：归纳推理】 解：A 依次求得11=S ，342=S ，46233==S ，猜想n S 12+=n n.5. 下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.【知识点：简单的合情推理】解：①②④6．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a，b∈R)，则a＋b＝________. 【知识点：归纳推理】解：41 根据题意，由于2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，那么可知6＋ab＝6ab，a＝6，b＝6×6－1＝35，所以a＋b＝41.能力型师生共研7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n【知识点：归纳推理】解：n2＋n由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，…，组成一等差数列，所以第n 行第n＋1列的数是n2＋n.8．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【知识点：类比推理】解：a2＋b2＋c22通过类比可得R＝a2＋b2＋c22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a2＋b2＋c2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．9．在平面内有n (n ∈N *，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是______，f (n )的表达式是________． 【知识点：归纳推理】解：16；f (n )＝n 2＋n ＋22 由题意得，n 条直线将平面分成nn ＋12＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.10．仔细观察下面○和●的排列规律： ○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________． 【知识点：归纳推理】解：14 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝2)3(+n n ，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14. 探究型 多维突破11．如图(1)若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点M 1、M 2与点N 1、N 2，则三角形面积之比1122OM N OM N S S ∆∆＝OM 1OM 2·ON 1ON 2.如图(2)，若从点O 所作的不在同一平面内的三条射线OP 、OQ和OR 上分别有点P 1、P 2，点Q 1、Q 2和点R 1、R 2，则类似的结论为______________________．【知识点：类比推理】解：111222O PQ R O P Q R V V --＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2 由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1及三棱锥P 2－OR 2Q 2的底面面积之比为OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，又过顶点分别向底面作垂线，得到高的比为OP 1OP 2，故体积之比为111222O PQ R O P Q R V V--＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2.12. 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．【知识点：简单的合情推理】解：f(0)＋f(1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f(－1)＋f(2)＝33，f (－2)＋f(3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，均有f(x1)＋f(x2)＝3 3.证明：设x1＋x2＝1，∵f(x1)＋f(x2)=====自助餐1．下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【知识点：归纳推理】解：B从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和S n，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.2．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③【知识点：类比推理】解：C ．正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对． 3．给出下列三个类比结论：①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β； ③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【知识点：类比推理】解：B (a ＋b )n ≠a n ＋b n (n ≠1，a ·b ≠0)，故①错误．sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝34，故②错误．由向量的运算公式知③正确． 4．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为（ ） A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB ．d n ＝c 1·c 2·…·c nnC ．d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c nn n D ．d n ＝nc 1·c 2·…·c n 【知识点：类比推理】解：D 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，∴b n ＝a 1＋n －12d ＝d 2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n1·q (1)2n n -，∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q12n -，即{d n }为等比数列，故选D.5.数列{}n a 中，a 1=1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n +1，2S 1成等差数列，通过计算S 1，S 2，S 3，猜想当n ≥1时，S n =（ ）A ．1212-+n nB ．1212--n nC ．nn n 2)1(+ D ．1－121-n【知识点：归纳推理】 解：B6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：图(1)图(2)他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ） A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378【知识点：简单的合情推理】解：C ．记三角形数构成的数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.同理可得正方形数构成的数列的通项公式为b n ＝n 2.将四个选项的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有1 225.7．在平面几何中，有“正三角形内切圆半径等于这个正三角形高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述正确结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________． 【知识点：类比推理】解：14 设正三角形的边长为a ，高为h ，内切圆半径为r ，由等面积法知3ar ＝ah ，所以r ＝13h ；同理，由等体积法知4SR ＝HS ，所以R ＝14H . 8．观察下列等式： (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为____________________________． 【知识点：归纳推理】解：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1) 由已知的三个等式左边的变化规律，得第n 个等式左边为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n 个等式右边为2n 与n 个奇数之积，即2n ×1×3×…×(2n －1)．9. 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________. 【知识点：类比推理】解：n －m d ncm 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，b n ＝b 1q n －1，a m ＋n ＝nb －ma n －m，所以类比得b m ＋n ＝n －m d n c m . 10. 在平面上，设h a ，h b ，h c 是三角形ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：P a h a＋P b h b＋P ch c＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________． 【知识点：类比推理】解：P a h a ＋P b h b ＋P c h c ＋P dh d ＝1 设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：P aha＋P b h b＋P c h c＋P dh d＝1.11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17° ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15° ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【知识点：简单的合情推理】 解：(1)选择②式计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝34. (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 12. 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1)．(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称； (2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值． 【知识点：简单的合情推理】解：(1)证明：函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )，它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称．(2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.。

2.1.1合情推理（归纳推理）【教学目标】理解合情推理的概念，掌握归纳推理与类比推理的方法；通过本节的学习，掌握归纳法和类比法的步骤，体会逻辑推理的严谨性；体会数学在现实生活中的应用.【教学重点】归纳推理的概念 【教学难点】利用归纳推理进行简单的推理一、课前预习：（阅读教材53—54页，完成知识点填空）1.根据______或______已知事实（ ）得出_____________，这种思维方式称为 。

推理都是由________和________两部分组成，推理可分为_________与______________2.__________________________________的推理叫做合情推理。

3.______________和____________是数学中常见的合情推理.4.根据一类事物的 具有某种性质，推出这类事物的____________都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称_______）.5.归纳推理的一般步骤：1. ； 2. .二、课上学习：例1.蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，结论______________.例2.参照教材54—55页两个例题，完成下列问题（1）=+321 ；=++33321 ；=+++3334321 ；=++++333354321猜想：=++++333...321n（2）=+==+n n n n n a a a a a a 猜测它的通项公式：并且中，数列,1111 （3）已知：2223sin 30sin 90sin 1502++=o o o ，2223sin 5sin 65sin 1252++=o o o 。

观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题 .三、课后练习：教材55页探索与研究：归纳凸多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系.。

2.1.1 合情推理 (二)【学习目标】1.联合已学过的数学实例，认识类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，领会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回首：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的的推理，或许由的推理 .简言之，归纳推理是由的推理 .2.归纳推理的思想过程大概是：实验、察看归纳、推行猜想一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①经过察看个别状况发现某些同样的性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.新知梳理：问题 1：鲁班由带齿的草发明锯；人类模仿鱼类外形及沉浮原剪发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有很多相像点，如都是绕太阳运转、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节更改，温度也合适生物生计，科学家猜想：火星上有生命存在.以上都是类比思想，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象拥有和其中简言之，类比推理是由，推出另一类对象也拥有这些特点的推理到.行3.和，而后提出的推理 .都是依据已有的事实，经过察看、剖析、比较、联想，再进的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获取的结论，只是是一种猜想，未必靠谱.对点练习：1.以下说法中正确的选项是（）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理D.类比推理是从特别到特别的推理2. 下边使用类比推理正确的选项是（）.A. “若 a 3b3,则a b ”类推出“若 a 0b0,则 a b ”B. “若(a b)c ac bc ”类推出“(a b)c ac bc ”C. “若 (a b)c aca b a b（ c≠0）”bc ”类推出“c ccna n n”类推出（“ ananbnD.（“ab）b b）3.类比等差数列的性质，写出等比数列的近似性质:等差数列a n等比数列bna1 a n n 1 dd a m a nm n若 m n p q ，m, n, p, q N *，则a m a n a p a q，S1a1 a2a n ,S2a n 1a n 2a2n , S3a2 n 1a2 n 2a3 n ,则 S1, S2 , S3也是等差数列4．三角形的面积为S 1(a b c) r ，a, b, c为2三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，获取四周体的体积为______________.【合作研究】典例精析：例 1. 类比实数的加法和乘法，列出它们相像的运算性质.类比实数的加法实数的乘法角度运算结果运算律逆运算单位元变式练习：找出圆与球的相像之处，并用圆的性质类比球的相关性质圆的观点和性质球的近似观点和性质.圆的周长圆的面积圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长以点 ( x0 , y0 ) 为圆心， r为半径的圆的方程为( x x0 )222 ( y y0 )r例 2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四周体性质的猜想.变式练习：用三角形的以下性质类比出四周体的相关性质.三角形四周体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1S(a b c) r（ r 为三2角形内切圆的半径）规律总结：1．类比推理是由特别到特别的推理.2.类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推断另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3.合情推理仅是“符合情理”的推理，它获取的结论不必定真，但合情推理经常帮我们猜测和发现新的规律，为我们供给证明的思路和方法.【讲堂小结】【当堂达标】1.若数列 {a n} 是等差数列，关于1a n ) ，则数列b n也是等差数列 . 类比上b n(a1 a2n述性质，若数列 c n是各项都为正数的等比数列，关于 d n 0 ，则 d n=时，数列 d n也是等比数列.2.在ABC中，不等式1119建立；在四边形 ABCD中，不等式A B C111116建立；在五边形 ABCDE 中，不等式1 1 1 1125建立 .猜想，A B C D2ABCD E3在 n 边形 A1 A2A n中，有如何的不等式建立？3.如图，若射线 OM，ON上分别存在点M1,M2与点N1,N2，则三角形面积之比S OM1N1OM 1ON1.若不在同一平面内的射线，，点Q,Q和点OP OQ 上分别存在点 P , PSOM2N2OM 2ON21212R1, R2，则近似的结论是什么？【课时作业】1.线段 AB两端点的坐标为 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，则线段AB的中点坐标为G (x1x2 ,y1y2),类比得：三角形ABC 三极点坐标为A(x1, y1),B(x2, y2),C(x3, y3 ) ，则三角22形 ABC的重心 G 的坐标为.2.在等差数列{ a n}中，若a100，则有a1a2a n a1a2a19 n (n 19,且n N * ) 建立。

合情推理与演绎推理____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.推理根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理.推理一般分为合情推理与演绎推理两类.2.合情推理3.(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；(3)模式：三段论.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：题型一例1 设f (x )＝13x ＋3，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明.思维启迪 解题的关键是由f (x )计算各式，利用归纳推理得出结论并证明. 解 f (0)＋f (1)＝130＋3＋131＋3＝11＋3＋13＋3＝3－12＋3－36＝33，同理可得：f (－1)＋f (2)＝33， f (－2)＋f (3)＝33，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1. 归纳猜想得：当x 1＋x 2＝1时，均为f (x 1)＋f (x 2)＝33. 证明：设x 1＋x 2＝1， ∵f (x 1)＋f (x 2)＝131x ＋3＋132x ＋3＝(31x ＋3)＋(32x ＋3)(31x ＋3)(32x ＋3)＝31x ＋32x ＋23321x x +＋3(31x ＋32x )＋3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x )＋2×3＝31x ＋32x ＋233(31x ＋32x ＋23)＝33. 思维升华 (1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围.(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的. (3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.(1)观察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________________________.(2)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则有______.答案 (1)5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81 (2)f (2n)>n ＋22(n ≥2，n ∈N *)解析 (1)由于1＝12，2＋3＋4＝9＝32，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五个等式为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. (2)由题意得f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，f (25)>72，所以当n ≥2时，有f (2n)>n ＋22.故填f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N *).题型二 类比推理例2 已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m.类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.思维启迪 等差数列{a n }和等比数列{b n }类比时，等差数列的公差对应等比数列的公比，等差数列的加减法运算对应等比数列的乘除法运算，等差数列的乘除法运算对应等比数列中的乘方开方运算.答案n－m d nc m解析设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q.因为a n＝a1＋(n－1)d，b n＝b1q n－1，a m＋n ＝nb－man－m，所以类比得b m＋n ＝n－m d nc m思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想.其中找到合适的类比对象是解题的关键.(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等.(3)在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.(1)给出下列三个类比结论：①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.3(2)把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r ＝a 2＋b 22(其中a ，b 为直角三角形两直角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a ，b ，c 且两两垂直的三棱锥的外接球半径R ＝________. 答案 (1)B (2)a 2＋b 2＋c 22解析 (1)①②错误，③正确.(2)由平面类比到空间，把矩形类比为长方体，从而得出外接球半径. 题型三 演绎推理例3 已知函数f (x )＝－aa x ＋a (a >0，且a ≠1).(1)证明：函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值.思维启迪 证明本题依据的大前提是中心对称的定义，函数y ＝f (x )的图象上的任一点关于对称中心的对称点仍在图象上.小前提是f (x )＝－a a x ＋a (a >0且a ≠1)的图象关于点(12，－12)对称.(1)证明 函数f (x )的定义域为全体实数，任取一点(x ，y )， 它关于点(12，－12)对称的点的坐标为(1－x ，－1－y ).由已知得y ＝－a a x ＋a ，则－1－y ＝－1＋a a x ＋a ＝－a xa x ＋a ，f (1－x )＝－a a 1－x ＋a ＝－a a a x ＋a ＝－a ·a x a ＋a ·a x ＝－a xa x ＋a ，∴－1－y ＝f (1－x )，即函数y ＝f (x )的图象关于点(12，－12)对称.(2)解 由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )，即f (x )＋f (1－x )＝－1. ∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1. 则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.思维升华 演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.已知函数y ＝f (x )，满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数. 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1). 所以y ＝f (x )为R 上的单调增函数.高考中的合情推理问题典例：(1) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n ，4)＝n 2， 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n ，6)＝2n 2－n可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝____________.思维启迪 从已知的部分k 边形数观察一般规律写出N (n ，k )，然后求N (10，24).解析 由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k2n ，∴N (10，24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000. 答案 1 000(2)(5分)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外，过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2＋y 0y b 2＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)外，过P 0作双曲线的两条切线，切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________.思维启迪 直接类比可得. 解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 则P 1，P 2的切线方程分别是 x 1x a 2－y 1y b 2＝1，x 2x a 2－y 2y b 2＝1. 因为P 0(x 0，y 0)在这两条切线上， 故有x 1x 0a 2－y 1y 0b 2＝1，x 2x 0a 2－y 2y 0b2＝1， 这说明P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线x 0x a 2－y 0yb 2＝1上，故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2－y 0yb 2＝1.答案x 0x a 2－y 0yb 2＝1 (3)(5分)在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k ＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)].相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)·(n ＋2).类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)·(n ＋2)”，其结果为________. 思维启迪 根据两个数积的和规律猜想，可以利用前几个式子验证.解析 类比已知条件得k (k ＋1)(k ＋2)＝14[k (k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)－(k －1)k (k ＋1)(k ＋2)]，由此得1×2×3＝14(1×2×3×4－0×1×2×3)，2×3×4＝14(2×3×4×5－1×2×3×4)，3×4×5＝14(3×4×5×6－2×3×4×5)，n (n ＋1)(n ＋2)＝14[n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)－(n －1)n (n ＋1)(n ＋2)].以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2) ＝14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3). 答案14n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确. ( × ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.( √ ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.( × )(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m 是3的倍数，则m 一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.( √ )(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是a n ＝n (n ∈N ＋).( × ) (6)2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋b a ＝6ba(a ，b 均为实数)，则可以推测a ＝35，b ＝6.( √ ) 2.数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 等于( )A.28B.32C.33D.27答案 B解析 5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 推出x －20＝12，所以x ＝32.3.观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的后四位数字为 ( )A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125答案 D解析 55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，可得59与55的后四位数字相同，…，由此可归纳出5m ＋4k 与5m (k ∈N *，m ＝5，6，7，8)的后四位数字相同，又2 011＝4×501＋7，所以52 011与57后四位数字相同为8125，故选D. 4. 观察下列等式 12＝112－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10照此规律，第n 个等式可为________. 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·n (n ＋1)2解析 观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n 个等式左边有n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(－1)n ＋1n 2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1，3，6，10，15，21，….设此数列为{a n }，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以第n 个等式为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2. 5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列.类比以上结论有设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列.答案T 8T 4 T 12T 8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{b n }的前n 项积为T n ， 则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12， T 16＝a 1a 2…a 16，因此T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，而T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1. 观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A.28B.76C.123D.199答案 C解析 观察规律，归纳推理.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a 10＋b 10＝123. 2.定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (1)1*1=1，（2）（n +1）*1=n *1+1，则n *1等于( )A.nB.n ＋1C.n －1D.n 2答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n －1). 又∵1*1=1，∴n *1＝n 3.下列推理是归纳推理的是( )A.A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C.由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B.4.已知△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，求证：a <b . 证明：∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b ，其中，画线部分是演绎推理的( )A.大前提B.小前提C.结论D.三段论答案 B解析 由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提.5.若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }(b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n )也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列{c n }是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A.d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nnB.d n ＝c 1·c 2·…·c nnC.d n ＝ n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD.d n ＝n c 1·c 2·…·c n答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ， ∴b n ＝a 1＋(n －1)2d ＝d 2n ＋a 1－d2，即{b n }为等差数列；若{c n }是等比数列，则c 1·c 2·…·c n ＝c n 1·q 1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·q n (n －1)2， ∴d n ＝nc 1·c 2·…·c n ＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列，故选D.二、填空题6.仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ● ○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________. 答案 14解析 进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……， 则前n 组两种圈的总数是f (n )＝2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2，易知f (14)＝119，f (15)＝135，故n ＝14.7.若函数f (x )＝x x ＋2(x >0)，且f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f [f n －1(x )]，则f 3(x )＝________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________. 答案x 7x ＋8 x (2n－1)x ＋2n解析 ∵f 1(x )＝xx ＋2，f n (x )＝f [f n －1(x )](n ≥2)， ∴f 2(x )＝f (x x ＋2)＝x x ＋2(x x ＋2＋2)＝x3x ＋4.f 3(x )＝f [f 2(x )]＝f (x 3x ＋4)＝x 3x ＋4(x 3x ＋4＋2)＝x7x ＋8.由所求等式知，分子都是x ，分母中常数项为2n ，x 的系数比常数项少1，为2n －1， 故f n (x )＝x(2n －1)x ＋2n.8.在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝ACBC ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则类比得到的结论是________. 答案BE EA ＝S △BCDS △ACD解析 易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等， 故V E －BCD V E －ACD ＝BE EA ＝S △BCD S △ACD . 三、解答题9.已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律. 解 (1)由于a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4).(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39， T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45. 由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .10.在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由. 解 如图所示，由射影定理 AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ， AC 2＝BC ·DC ， ∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.猜想，四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ， 则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∴AB ⊥平面ACD . ∴AB ⊥AF .在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF 2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2，∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1.给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)： ①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“若a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③若“a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a －b >0⇒a >b ”.其中类比结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小. 2.设是R 的一个运算，A 是R 的非空子集.若对于任意a ，b ∈A ，有a b ∈A ，则称A 对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集D.无理数集答案 C解析 A 错：因为自然数集对减法、除法不封闭；B 错：因为整数集对除法不封闭；C 对：因为任意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D 错：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭.3.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为________.答案 n 2＋n ＋22解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……，n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域.4.数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n(n ∈N *).证明：(1)数列{S nn }是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ，∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )， 即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S n n ，(小前提) 故{S nn }是以2为公比，1为首项的等比数列.(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2).(小前提) 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1， (小前提) ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)5.对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，请你根据这一发现， (1)求函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心；(2)计算f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013).解 (1)f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0，解得x ＝12.f (12)＝13×(12)3－12×(12)2＋3×12－512＝1. 由题中给出的结论，可知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1).(2)由(1)，知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)，所以f (12＋x )＋f (12－x )＝2，即f (x )＋f (1－x )＝2.故f (12 013)＋f (2 0122 013)＝2，f (22 013)＋f (2 0112 013)＝2， f (32 013)＋f (2 0102 013)＝2， f (2 0122 013)＋f (12 013)＝2. 所以f (12 013)＋f (22 013)＋f (32 013)＋f (42 013)＋…＋f (2 0122 013)＝12×2×2 012＝2 012.。