福建省宁德市2014-2015学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题 扫描版含答案

（4）为了测定在某种催化剂作用下的反应速率，某科学家在某温度下用气体传感器测时间(s) 0 1 2 3 4 5 c(NO)( mol•L－1) 1.00×10－3 4.50×10－4 2.50×10－4 1.50×10－4 1.00×10－4 1.00×10－4 c(CO)( mol•L－1) 3.60×10－3 3.05×10－3 2.85×10－3 2.75×10－3 C 2.70×10－3从表中数据分析可知：①c＝mol•L－1；②前2s内的平均反应速率v(N2)＝；③该温度下反应的平衡常数K＝。

19．（14分）I.肼（N2H4）又称联氨，常温时是一种可燃性的液体，可用作火箭燃料。

（1）已知在25℃101kPa时，16gN2H4在氧气中完全燃烧生成氮气，放出312kJ的热量，则N2H4完全燃烧的热化学方程式是。

II.如下图所示，某研究性学习小组利用上述燃烧原理设计一个肼(N2H4)−─空气燃料电池（如图甲）并探究氯碱工业原理和粗铜的精炼原理，其中乙装置中X为阳离子交换膜。

根据要求回答相关问题：（2）甲装置中正极的电极反应式为。

（3）检验乙装置中石墨电极反应产物的方法是。

（4）如果电解后丙装置精铜质量增加3.2g，则理论上甲装置中肼消耗质量为g。

III.对金属制品进行抗腐蚀处理，可延长其使用寿命。

该研究性学习小组又以肼(N2H4)－空气燃料电池为电源对铝材表面进行如下处理：（5）流程⑤中以铝材为阳极，在H2SO4溶液中电解，最终可在铝材表面形成氧化膜，该电解的阳极电极反应式为__________________________________。

（6）取少量废电解液，加入NaHCO3溶液后产生气泡和白色沉淀，其反应的离子方程式是__________________________________________________________。

福建省宁德市2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题理（扫描版）宁德市2015—2016学年度第一学期高二期末质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考。

如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则。

2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.解答题只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.D 2. C 3. B 4. B5.A6.A7.A8.C9.D 10.B 11.A 12.B 二、填空题 ：本题考查基础知识和基本运算。

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．1(,0)4F 14．21212n n a n n =⎧=⎨-≥⎩ 15．111442a b c +-r r r 16．103三、解答题：本大题 共6小题，共70分。

17. 本题主要以不等式恒成立为载体来考查简易逻辑等基本知识，考查运算求解能力和逻辑推理能力。

满分10分。

解：（Ⅰ）p ⌝：[1, 2]x ∃∈，2m x > ……………………….3分（II ）因为p q ∧为真命题，所以命题p 、q 都是真命题. ……………………….5分由p 是真命题，得2m x ≤恒成立.因为[1, 2]x ∀∈，所以1m ≤. ………………………………………………………7分由q 是真命题，得240m ∆=-<，即22m -<<. ………………………………9分 所以21m -<≤. 即所求m 的取值范围是(2, 1]-. ………………………………..10分18. 本题主要考查数列部分的基本知识，考查运算求解能力及化归思想转化。

宁德市2014届普通高中单科期末质量检查数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第□卷（非选择题）两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4 .保持答题卡卡面清楚，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：1锥体体积公式V -Sh 柱体体积公式V Sh3其中S为底面面积，h为高球的表面积公式S 4 R2体积公式V 4 R33其中R为球的半径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.2 A. x Z , x-1 •-2 •x Z , X 2 01 .集合 A 0,2, a 2{0,a },若 A B {0,a},则a 的值为A. 0B. 1C.D. 0 或 12.命题p : “ xx 2 0”，则C . X 0 Z , 2X g X 。

Z , X 02 03.直线m 在平面 内, 直线n 在平面 内，下列命题正确 m 〃 n // 的是//m//4.下列函数中定义域为［1,）的是16.A . y i x 1 ... x 1B . y , x 2 1D . y ln(x 1)C . 3D . 6y 1 b.函数f (x) si n( x )(c n0,- 2n)的部分图象 2/ \覧-\ O -坟 如图所示， 则 的值是3 J -1 〈6 …-nB . 1 3365.—个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为2A. 3开始C . y7.如图是用二分法求方程 其中 f(a)f(b) 0 下四个选择： ① f(a)f (m) f(x) 0近似解的程序框图, .判断框内可以填写的内容有如 2f (x) x 229.③ f (b)f (m) 其中正确的是A .①③ C .①④若平面区域 实数k 的值为A. 1 3与直线x y ④ f (b)f (m) 0.2xy 2 0, 1)B .②③ D .②④ 0,2 k(x的面积为D . 4 0相切，与曲线 -(x x 0)b| d 或 f(m) 0有公共点且面积最小的圆的方程为2 2A . xy 8 B . (x C . x 2 y 2 4D . (x10.给定有限单调递增数列｛x n ｝A ｛(^,X j ) 1 i, j n,且i, j1)2(y 1)2 (y(至少有两项)，1)21)218 结束其中 X iN ｝.若对任意的点A 10(1 i n)，定义集合A ，存在点A A 使得Of OA 2 (O输入精确度 d 和初始值a,ba m— 2为坐标原点)，则称数列｛X n｝具有性质P .例如数列｛x n｝: 的判断：2,2具有性质P.以下对于数列｛xj16.13 .锐角三角a,b,c 分别为角A, B,C 所对的边•若 2a sin B . 3b , b cbc 6，贝H a= ______ . _____X1ax 014.若函数f(x)2,,(a 0且a 2 , b 0且b 1)的图象关于y 轴对称，则1 b x , x 0a 8b 的最小值为 ____________ ,2 2 2 馅.已知x3 y 91，过点P(x0,y0)作一直线与双曲线;1相交且仅有一个公共点,线的倾斜角恰好等于此双曲线渐近线的倾斜角兀或2 n;类比此思想，已知X 0y 0 X 02 133x 21P(x °,y °)作一直线与函数y —— 的图象相交且仅有一个公共点，则该直线的倾斜角X则该直，过点解答题：本大题共 6小题，满分(本小题满分13分)80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.(背面还有试题)已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且满足S n 2a n 1(nN *).(I)求数列｛a n ｝的通项公式;(n)记b n a n n (n N *)，求数列的前n 项和人.① 数列｛X n ｝ :2 , 1 , 1, 3具有性质P ；1,n 1,② 若数列｛X n ｝满足X nn ,则该数列具有性质 P ；2n ',2 n 2014,③ 若数列｛X n ｝具有性质P ,则数列｛X n ｝中一定存在两项X i ,X j ，使得X j 0 ; 其中正确的是 A.①②③B.②③C.①②D.③第II 卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分•把答案填在答题卡相应位置. 11•已知向量a (2m, 3) , b (m 1,1)，若a , b 共线，则实数 m 的值为 ___________________a12.已知复数z a (a 1)i (a R , i 为虚数单位)为实数，则 xdx ________________________17. (本小题满分13分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时,f (x) x2 4x .(I )求当x 0时，f (x)的表达式；(n )求满足不等式f(x2 2) f (x)的x的取值范围•18. (本小题满分13分)已知函数f(x) sin2x 2 3sinxcosx 3cos2x m (m R).(I)求函数f (x)的单调递增区间及对称轴方程；(n)当x [0,n时，f(x)的最大值为9,求实数m的值.319. (本小题满分13分)16.20. (参考数据:2 1.4, .31.7)14分)(本小题满分 如图已知圆锥SO 的底面半径为是SA 上的一点，且 SD 8\33 路程最短时在侧面留下的曲线 4,母线长为8，三角形SAB 是圆锥的一个轴截面， 动点M 从点B 出发沿着圆锥的侧面运动到达点 D ，当其运动后，母线 SB 1与曲线 相交于点如图所示.将轴截面SAB 绕着轴SO 逆时针旋转(0(I)若 (n)若2，证明：平面ABP 2 n—，求二面角B 1 AB 3平面ABP ;P 的余弦值.为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在 t 北 该海域设 立了如图所示东西走向， 相距20海里的A , B两个观测站，观测范围是到 A , B 两观测站距离之和不 -------------- A ------------------- B ---------- 超过40 海里的区域.(I)建立适当的平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；(n)某日上午7时，观测站B 发现在其正东10海里的C 处，有一艘轮船正以每小时 8海里的45 °方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域? 速度向北偏西21 .(本小题满分14分)已知函数f(x) ax lnx 1，若曲线y f (x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.(I )求实数a的值；(H)函数g(x) f(x) m(x 1)(m R)恰有两个零点x1,x2(x1 x2).(i)求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围；(ii)求证：g (仝x2) 0 .22014年宁德市普通高中毕业班单科质量检查数学(理科)试题参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题: 本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.1. B2. D3. D4. A 5 . C 6. A 7 . C 8 . B9 . A10 . D二、填空题: 本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.11. 312. 113.、7 14 . 8 15 .卫或卫24(附题10解答：对于①，取A( 2,3)时，若存在A(x,y)满足OA OA2 ,得2x 3y 0 ,即1x 数列｛x n｝中不存在这样的项x,y，因此不具有性质P .对于②，取A ( 1, 1)时，不存在A(x,y)，使得OA OA2，故②不具有性质P . 2 3，• 8 •对于③，取A(X k ，X k )，若数列｛X n ｝具有性质P ,则存在点A (N ，X j )使得OA OA 2 , 即x k x x k x j 0，又x k 0 ,所以N X j 0，故③正确)三、解答题：本大题共 6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16 •本题考查数列等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归 与转化的思想，满分 13分.解：(I)因为S n 2a n 1,令n 1，解得a i 1 . (2)分因为 S n 2a n 1,所以 S n 1 2am 1,(n 2,n N *)［来 .............................................................................................................................................................................................3 分两式相减得 a n 2a n 1 , ................................................................... 5 分 所以｛a n ｝是首项为1,公比为2的等比数列， ....................... 6 分所以 a n2n 1. (7)(n)解：b na n n ,b n 2n ［来科，网旳 ............................................................................8T n bi b 2 Lb n(2° 1) (21 2) L (2n 1 n)1n 1(22 L 2) (1 2 L n)2n 1 .3 ................................................................................. 分32(说明：等比求和正确得 2分，等差求和正确得 1分)17 •本小题主要考查函数、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方 程的思想、化归与转化的思想，满分 13分. 解：(I )当 x 0 时，x 0, f( x) x 3 4x, ..................................................................... 2 分又f (x)为奇函数， f(x) f( X) , •…......................... 4 ..................... 分 即 f(x) x 2 4x .…............ 5 分又 f( 0)f (0)，即f(0) 0, ••… ................ 6分故当X 0 时，f(x) x 2 4x. ••…................. 7 分(n )由(I )知，f(x)在R 上是增函数， (9)分2 2f (x 2) f (x) x 2 x, .............................................. 10分3即 x x 2 0 .............................. 11分分 分10(n)T 当x [0,3]时，- 2xsin(2x ^)1 ,2sin(2 x —) m 2 4 m ，•实数m 的值为5. 13分(由 2x 得出sin(2x -)的最大值为1,得2分；正确推出f(x)的最大值为4 m ,6 6 6 6再得1分；正确求出 m 的值得1分)19•本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、 推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查应用意识，满分 13分. 解：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系. ........... 1分 (I)依题意可知：考察区域边界曲线是以 A,B 为焦点的椭圆， ........ 2分2 设椭圆方程为：冷a 2 詁 1(ab 0),解得 1x2. .......................................... 13分18•本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算 求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想和数形结合的思想，满分13分.(I) f(x)sin 2 x 2 ./3sinxcosx3cos 2 x m1 cos2x 3si n1 cos2x 2x 322.3sin 2x cos2x m 22sin(2 x )m 62.八由一 2k2x --2k ,k ZZ ,26 2得一 kx — k,k Z .36•函数 f(x)的单调增区间为［k ，一 k ]3 6 由2xk ,kZ 得xL,k Z ,m62•••函数f (x)的对称轴方程是解 (k Z). 6 26 宁,k Z.2a 40则c 10解得 a 20,b 10. 3 , (6)分•考察区域边界曲线的方程为：2 2X y1. ........................................ 7 分400 300（不同的建系方式，对照上面的给分点相应评分）（n ）设轮船在观测区域内航行的时间为t 小时，航线与区域边界的交点为 C 、D ,20.本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理 论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，满分 14分.解法一：（I ）证明：T -2• AB A B"i . (1)分••• SO 平面 B 1AB,.・. SO AB ........................... 2 分1 .20 120血 24 ................................ . (1)4 Zk20 -----............................................................... 1 分17724 3 （小时）....... 分28t13分• CD ••• C(20,0) , k cD tan135•••直线CD 方程:20.联立方程 y2X400 :202y300整理得：7X 2 160x 400 0,解得X i 20, X 220~7~•轮船大约在当日上午 10时离开观测区域• （其他解法相应给分）又••• SOI O ,• AB 平面SAB ,…4 分又••• AB 平面PAB ,•平面PAB 平面SAB i , ............................................................... 6 分又••• P 平面SA1B1,•平面PAB 平面PAB’ .DO(n)以o 为原点，AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，OS 所在直线为z 轴建立如图(1)所示的空间直角坐标系， .............. 8分 则 A( 4,0,0) , B(4,0,0),将圆锥半侧面图展开，如图(2)所示， 由已知可求 ASB ............................ 9 分22又 Q, ASB36QSD 1,SB 8, SDP -.33SSPD -, 在 Rt SPD 中，SP SDsin —4 .2 3 •••点 P 为 SB的中点.............................B T ---------PQ//SO PQ -SO—O B 2 2「322OQ 1-OB 1 22P(1 - 32 i 3) .......1分1, .：3,2 3).uin AP (3, 3,2 3),nun AB(8,0,0).设平面ABP 的法向量为 n 1(x, y,z), 则3x8x.3y 0,2 3z 0解得：1分n 1(0, 2,1丿取平面 B 1AB 的法向量为n2(0,0,1)-•- 13分5 cos(n i , n 2)5所求的二面角B - AB P 的余弦值为 一5. ....................................... 1分5如图(1) Q SO 面 AB^ , 面 SAB i 面 ABB 图(2) 过P 作PQ OB i 交OB i 于Q ，贝U PQ 面ABB ,解法二：(I)同解法一；(n)与解法一同，得：PQ 2 3 , OQ 2 . ................................... 11分过Q 作QC AB 交AB 于C ，连结CP ,；PQ 平面 B !AB, PQ AB ,又 T PQ I QC AB 平面PQC ， PC AB .则 PCQ 为二面角B !ABP 的平面角• ......13分Rt PQC 中，cosPCQ CQ 3 5 PC 155 ，所求的二面角B i AB P的余弦值为¥14分(其它解法相应给分)21.本小题主要考查函数、函数与导数等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方 程的思想，数形结合的思想，化归与转化思想，满分14分.1f (x) a —，且 f (1) 0，x解法一：(I)由 解得a 1 . (n) (i ) g(x)..........................................................................................3 分(1 m)(x 1) ln x ， x (0,). 令 g(x ) 1 1 (1 m)x 1 mxx1 时，g (x) 0，)上单调递减， 当1 m 0即m所以g(x)在(0, 此时只存在一个零点，不合题意; m 1时，令g (x)0 ,解得由题意可设 h(m) m 1g(x)极小=g() m1 mln(1 m)，ln(1 m).当m 0时,h(0) 0 即 g(x)极小=0 , 此时 g(x)恰有一个零点，不合题意;QX X 2 X 2当 m 0 时，h'(x) 0,当 0 m 1 时，h'(x) 0所以h(m)在(，0)上单调递增，在(0,1)上单调递减， 所以h(m) h(0)0,此时g(x)恰有两个零点.综上，m 的取值范围是(，0)U(0,1). (9)分(ii )证明：函数g(x)有两个零点x ,x 2(x ! X 2)，两式相减得(1 m)(X 2 xj In-20，xInX 2 10分要证g(X1 X 2 )0, 2只要证1 m 2 0，只要证1In X 2 20 In 0 ? X 1 X 2 X 2 X 1 X 1 X 1 X 2 只要证In X 2 2(X 2 为).................................. 44 .................................... z y — 0 , .................................... I IX 1 X 1 X 2X 2 %X1只要2 In -1 —— 0 . ••… (12)X 1 X 2 1X设(t) Int 2(t 卫(t 1)，则 (t)― 工0,t 1t(t 1)(t)在(1, + m) 上单调递增，• 1分X 2 2(— 1)(t) (1) 0， 分X 1 分产)解法二：(I ), (II ) (i )同解法 (ii )显然g(1) 0 ,故x 1是函数g(x)的一个零点，不妨设 人1 . 1(分所以 g(x 2)(1 m)(x 2 1) In x 2 0，即卩1m In X 2 •… 1分X 2 1 . 又g 1 x 2(2) 1 m 2 In x 2 2 (1 x 2)In x 2 2(X 2 1)............ 12分2 1 X X 2 1 1 X 2(X 2X 2)由X 2是函数g(x)的另一个零点, 设 p(x) (1 x)ln x 2(x 1) , x 0 且 x 1 , 1 p (x) In x — 1 , p (x)X11x1所以p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增,g(x i )(1 m)(x igX) (1 m)(X 21) In 为 0,1) In x 2 0.13分0，即g （生产）所以 2（x ） （1 x ）ln x 2（x 1） x 1 x 1 （其它解法相应给分）g (10.14分。

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A ．1 B ．1- C ．32 D ．32-2．在△ABC 中，::1:2:3A B C =， 则::a b c 等于（ ）A ．1:2:3B ．3:2:1C ．:2D ．23．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（ ） A ．090 B ．0120 C ．0135 D ．01504．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-5．在等差数列{}n a 中，2700...,200...10052515021=+++=+++a a a a a a ， 则1a 为（ ） A ．22.5-B ．21.5-C ．20.5-D ．20-6．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72<x 与 x x x +<+72 B ．0)1(2>+x 与 01≠+xC ．13>-x 与13>-xD ．33)1(x x >+与xx 111<+ 7．设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ．ba 11> C ．2a b > D ．22a b > 8．如果实数,x y 满足221x y +=,则(1)(1)xy xy +-有 ( )A ．最小值21和最大值1B ．最大值1和最小值43C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值9．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，213110．一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值是（ ）。

2015-2016学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．ac＞bc C．ac2＞bc2D．a﹣c＞b﹣c2．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．等比数列{a n}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．C．±D．±24．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（）A．a海里B． a海里C． a海里D．2a海里6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．277．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣D．a≥﹣48．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定9．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．3110．如图，A，B，C，O1，O2∈平面α，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（）A．一直变小 B．一直变大C．先变小，后变大D．先变小，再变大，后变小11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．12．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0②S4029＞0③S4030＜0④数列{S n}中的最大项为S4029⑤|a2015|＜|a2016|其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．抛物线y2=x的焦点F坐标为．14．已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n= ．15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= （，，用表示）16．如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：∀x∈，m≤x2，命题q：∀x∈R，x2+mx+l＞0（Ⅰ）写出“￢p命题；（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．18．己知等差数列{a n}中，a2=2，a5=5．（Ⅰ）若b n=2，求数列{b n}的前n项的和S n（Ⅱ）若c1=a1，c n﹣c n﹣1=a n，求数列{c n}的通项公式．19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．21．今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）（Ⅰ）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l 相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．2015-2016学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大題共12小题，每小题分，共60分•在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合題目要求的）1．若a＞b且c∈R，则下列不等式中一定成立的是（）A．a2＞b2B．ac＞bc C．ac2＞bc2D．a﹣c＞b﹣c【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题．【分析】把不等式两边同时加上同一个实数﹣c，不等号不变．【解答】解：∵a＞b且c∈R，不等式两边同时加上﹣c 可得，a﹣c＞b﹣c．故选D．【点评】本题主要考查不等式的性质的应用，利用了不等式两边同时加上同一个实数，不等号不变．2．双曲线=1的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为=0，整理，得y=±x．故选：C．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．3．等比数列{a n}中各项均为正数a1a5=4，a4=1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．C．±D．±2【考点】等比数列的通项公式．【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a3，再由等比数列的通项公式可得q．【解答】解：∵等比数列{a n}中各项均为正数，且a1a5=4，a4=1，∴a32=a1a5=4，解得a3=2，∴公比q==，故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．在空间直角坐标系中，点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（﹣2，1，﹣4）B．（﹣2，﹣1，﹣4） C．（2，1，﹣4） D．（2，﹣1，4）【考点】空间直角坐标系．【专题】阅读型．【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y， z）关于x轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标．【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），∴点（﹣2，1，4）关于x轴的对称点的坐标为：（﹣2，﹣1，﹣4）．故选B．【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离都等于a海里，灯塔A在观测站C北偏东75°的方向上，灯塔B在观测站C的东南方向，则灯搭A和B之间的距离为（）A．a海里B． a海里C． a海里D．2a海里【考点】解三角形的实际应用．【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】由方位角可得∠BCA=60°，判断出△ABC是等边三角形．【解答】解：∵∠NCA=75°，∠BCE=45°，∴∠BCA=60°，∵AC=BC=a，∴△ABC是等边三角形，∴AB=a．故选：A．【点评】本题考查了解三角形的应用，属于基础题．6．设实数x，y满足，则z=x+3y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣3 C．5 D．27【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；综合法；不等式．【分析】画出满足约束条件表示的平可行域，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入z=x+3y中，求出最小值即可．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图示：z=x+3y的最小值就是直线在y轴上的截距的倍，由，解得A（3，﹣3），由图可知，z=x+3y经过的交点A（3，﹣3）时，Z=x+3y有最小值﹣6，故选：A．【点评】在解决线性规划的小题时，常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．7．关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是（）A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a≥﹣D．a≥﹣4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】方程思想；转化思想；简易逻辑．【分析】关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根⇔△≥0，解得a即可判断出．【解答】解：关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根⇔△=（2a+1）2﹣4a2≥0，解得a．∴关于x的方程x2﹣（2a+l）x+a2=0有实数根的一个充分不必要条件是a＞1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．不能确定【考点】正弦定理．【专题】数形结合；综合法；解三角形．【分析】计算bsinA的值，比较其和a、b的大小关系可得．【解答】解：∵在△ABC中A=30°，a=2，b=2，∴bsinA=2×=，而＜a=2＜b=2，∴三角形解的个数为2，故选：C．【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．9．已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】（法一）利用已递推关系把n=1，n=2，n=3，n=4，n=5分别代入进行求解即可求解（法二）利用迭代可得a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解（法三）构造可得a n+1=2（a n﹣1+1），从而可得数列{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列，可先求a n+1，进而可求a n，把n=5代入可求【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31（法三）∴a n+1=2（a n﹣1+1）∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D【点评】本题主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项，注意本题解法中的一些常见的数列的通项的求解：迭代的方法即构造等比（等差）数列的方法求解，尤其注意解法三中的构造等比数列的方法的应用10．如图，A，B，C，O1，O2∈平面α，AB=BC=，∠ABC=90°，D为动点，DC=2，且DC丄BC，当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），异面直线AD与BC所成角（）A．一直变小 B．一直变大C．先变小，后变大D．先变小，再变大，后变小【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；立体几何．【分析】以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【解答】解：以C为原点，CB为x轴，CO2为y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（，0，0），C（0，0，0），A（，﹣，0），设O1O2=2t，∠O2CD=θ，0°≤θ≤180°，则CD=t，D（0，tcosθ，tsinθ），=（，0，0），=（﹣，tcosθ+，tsinθ），设异面直线AD与BC所成角为α，则cosα===，∵当点D从O1，顺时针转动到O2的过程中（D与O1、O2不重合），cosθ从﹣1增加到1，cosα在（0，1）内递减，∴异面直线AD与BC所成角一直变小．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的变化范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．11．己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=﹣1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，∴最小值==2．故选：A．【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．12．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d＞0②S4029＞0③S4030＜0④数列{S n}中的最大项为S4029⑤|a2015|＜|a2016|其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意易得等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①④错误；再由S2016＞S2014，可得S2016﹣S2014=a2015+a2016＞0，∴a2015＞﹣a2016，即⑤|a2015|＞|a2016|，⑤错误；S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030=（a1+a4030）=2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故选：A【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．抛物线y2=x的焦点F坐标为（，0）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】焦点在x轴的正半轴上，且p=，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴的正半轴上，且p=，∴=，故焦点坐标为（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求的值是解题的关键．14．已知S n是数列{a n}的前n项和，且有S n=n2+1，则数列{a n}的通项a n= ．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】利用公式可求出数列{a n}的通项a n．【解答】解：a1=S1=1+1=2，a n=S n﹣S n﹣1=（n2+1）﹣=2n﹣1，当n=1时，2n﹣1=1≠a1，∴．答案：．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．15．如图四面体O﹣ABC中， ==， =，D为AB的中点，M为CD的中点，则= +﹣（，，用表示）【考点】空间向量的数乘运算．【专题】数形结合；转化思想；空间向量及应用．【分析】由于=， =，，代入化简即可得出．【解答】解： =， =，，∴=﹣=﹣=+﹣．故答案为： +﹣．【点评】本题考查了向量的三角形法则与平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．如图，设椭圆+=1的左右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于A、B两点，若以△ABF2的内切圆的面积为π，设A（x1，y1）、B（（x2，y2），则|y1﹣y2|值为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知△ABF2内切圆半径r=1．，从而求出△ABF2，再由ABF2面积=|y1﹣y2|×2c，能求出|y1﹣y2|．【解答】解：∵椭圆+=1的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，△ABF2的内切圆的面积为π，∴△ABF2内切圆半径r=1．△ABF2面积S=×1×（AB+AF2+BF2）=2a=10，∴ABF2面积=|y1﹣y2|×2c=.|y1﹣y2|×2×3=10，∴|y1﹣y2|=．故答案为：．【点评】本题考查两点纵坐标之差的绝对值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．三、解答题（共6小题，满分70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：∀x∈，m≤x2，命题q：∀x∈R，x2+mx+l＞0（Ⅰ）写出“￢p命题；（Ⅱ）若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；函数思想；定义法；简易逻辑．【分析】（Ⅰ）根据含有量词的命题的否定进行求解．（Ⅱ）根据复合命题真假关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）￢p：∃x∈，m＞x2…．（3分）（II）因为p∧q为真命题，所以命题p、q都是真命题．…．（5分）由p是真命题，得m≤x2恒成立．因为∀x∈，所以m≤1．…（7分）由q是真命题，得判别式△=m2﹣4＜0，即﹣2＜m＜2．…（9分）所以﹣2＜m≤1．即所求m的取值范围是（﹣2，1]．…..（10分）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．18．己知等差数列{a n}中，a2=2，a5=5．（Ⅰ）若b n=2，求数列{b n}的前n项的和S n（Ⅱ）若c1=a1，c n﹣c n﹣1=a n，求数列{c n}的通项公式．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过a2=2、a5=5可知等差数列{a n}的公差d=1，进而可得其通项公式，计算即得结论；（II）通过（I）可知，当n≥2时c n=，进而验证当n=1时成立即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a2=2，a5=5，∴d==1，所以a n=2+（n﹣2）=n，b n==2n，于是S n=21+22+ (2)==2n+1﹣2；（II）由（I）可知，当n≥2时c n=（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）+c1=a n+a n﹣1+…+a2+a1=，又∵c1=1满足上式，∴c n=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．19．如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ADEF是矩形，且平面ABCD丄平面ADEF，AB=AD=1，DE=CD=2，M是线段CE的中点．（Ⅰ）求证：AC∥平面DMF；（Ⅱ）求平面DMF与平面ABCD所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接AE与DF交于点N．则点N是AE的中点，连结MN，利用三角形中位线定理能够证明AC∥平面DMF．（Ⅱ）分别以D点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MDF与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AE与DF交于点N，连结MN，则点N是AE的中点又M是线段CE的中点∴MN∥AC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又AC⊄平面DMF，MN⊂平面DMF，∴AC∥平面DMF﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）解：四边形ADEF是矩形，∴DE⊥AD又平面ABCD丄平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥CD，∵∠ADC=90°，∴DE，DC，DA两两垂直以D点为坐标原点建立空间直角坐标系﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则D（0，0，0），F（1，0，2），M（0，1，1）﹣﹣﹣﹣（7分）则=（1，0，2），=（0，1，1）设平面DMF的一个法向量为=（x，y，z）∴取=（2，1，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）取平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设平面DNF与平面ABCD所成角为θ∴cosθ=||=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的确定及证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图所示，在四边形ABCD中，AD=2，CD=3，∠D=2∠B且cosB=（Ⅰ）求△ACD的面积；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求AB的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】方程思想；数形结合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意和二倍角公式可得cosD，进而可得sinD，代入面积公式S=•AD•CD•sinD，计算可得；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC，进而在△ABC中由正弦定理可得AB．【解答】解：（Ⅰ）∵∠D=2∠B，∴cosD=2cos2B﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∵∠D∈（0，π），∴sinD==，∵AD=2，CD=3，∴△ACD的面积S=•AD•CD•sinD=；（II）在△ACD中，由余弦定理可得AC===4在△ABC中，由正弦定理可得=，∴AB==．【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．21．今年宁徳市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销，据测量月销售量T（万台）与月广告费x（万元）之间的函数关系是T=5﹣（1≤x≤5）．己知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元．（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）（Ⅰ）将该电机的月利润S（万元）表示为月广告费又（万元）的函数；（Ⅱ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入﹣月生产成本﹣月广告费）．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）该电机的月生产成本（25T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x•50%，月利润为S=（25T+5）×120%+x•50%﹣（25T+5）﹣x，整理即得；（II）由利润函数S的解析式，利用基本不等式可得L的最大值．【解答】解：（I）由题意知，该电机的月生产成本为（25T+5）万元，月销售收入为（25T+5）×120%+x•50%，…（2分）月利润为S=（25T+5）×120%+x•50%﹣（25T+5）﹣x，即S=5T+1﹣x．又T=5﹣（1≤x≤5），…（4分）所以S=5T+1﹣x=26﹣﹣x（1≤x≤5）．．…（7分）（II）由S=26﹣﹣x=26﹣（+x）≤26﹣2=24 …．（10分）当且仅当=x，即x=2时，S有最大值24．…（11分）因此，当月广告费投入约为2万元时，此厂的月利润最大，最大月利润约为24万元．…..（12分）【点评】本题考查了利润函数模型的应用，在建立函数解析式的基础上，利用基本不等式，求得函数的最值．22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆C交于A，B两点且OA⊥OB，是否存在以原点O为圆心的定圆与直线l 相切？若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）由题意，且a=2，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AB：y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式，能求出定圆方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，∵椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦点到短轴断电的距离为2，离心率为，∴由题意，且a=2，解得c=，b=1．∴所求椭圆方程为=1．…（4分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，则设直线AB：y=kx+m，由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，…（6分）∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，且，…（7分）由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）==0，代入得5m2=4k2+4，…（9分）原点到直线AB的距离d==，…（10分）当AB的斜率不存在时，|x1|=|y1|，得=1，|x1|=，依然成立∴点O到直线AB的距离为定值．…（11分）∴定圆方程为x2+y2=．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查定圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量垂直、点到直线的距离公式的合理运用．。

2015年宁德市初中毕业班质量检测数学试题参考答案及评分标准⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分． ⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分．⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数． ⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：（本大题有10小题，每小题4分，满分40分）1．B 2．D 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，满分24分）11．(2)(2)a a +- 12．132 13．1 14．105 15．1916．2-三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡．．．的相应位置作答） 17．（本题满分7分）解：原式=212+-， ························································································· 6分=1. ······································································································· 7分18．（本题满分7分）解：去分母，得 321x --=， ········································································ 3分解这个方程，得 6x =. ········································································· 5分检验：当6x =时，左边=13=右边，∴6x =是原方程的解. ∴原方程的解是6x =. ········································································ 7分19．（本题满分8分）（1）100； ············································································································· 2分 （2）图略（图上数据为30）； ··············································································· 4分 （3）800； ············································································································· 6分 （4）30%. ············································································································· 8分 20．（本题满分8分）解：（1）作图如下：所以，图中∠F AB 就是所求作的角.（或者在DC 上截取DF =BE ，连接AF ，亦可）····················································· 3分A BE D C F（2）证法一：由（1）得∠F AB=∠CEB，∴AF∥CE.········································································································· 4分∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.∴四边形AECF是平行四边形． ······································································ 6分∴AF=CE．········································································································· 8分证法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠D=∠B，AB∥CD.······································································ 5分∴∠DF A=∠F AB.由（1）得∠F AB=∠CEB，∴∠DF A=∠CEB. ······························································································ 6分∴ΔADF≌ΔCBE.······························································································· 7分∴AF=CE．········································································································· 8分（第一小题作答正确与否，不影响第二小题得分）21．（本题满分10分）解：（1）105(20)15100y x x x=--=-； ···························································· 4分（2）依题意得15x–100>90.···················································································· 6分x>383. ·················································································· 8分∵x取最小整数，∴x=13.答：他至少要答对13道题． ·········································································· 10分22．（本题满分10分）解：∵360°÷24=15°15×5°=75°，∴小明绕点O旋转了75度. ·····························2分过点C作CE⊥OA于点E，则四边形BDCE是矩形，∴CD=BE．由题意可知∠AOC=75°，OC=40m，OB=45m. ··················4分在Rt△OEC中，∵cos∠COE=OE OC，∴OE=OC·cos∠COE=40cos75°.·····················8分∴CD=OB–OE=45–40cos75°≈34.6(m)． ········ 10分答：他离地面的高度CD是34.6m．23．（本题满分10分）解：(1) ∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径∴∠ABC=90°，∠ADB=90°.································2分DBACOEBAE C OD∵∠ACB =60°，∴∠A =90°–∠ACB =30°. ······································· 3分 ∴BD =21AB =21×10=5. ·········································· 5分(2)连接OD ．由（1）得 ∠BDC =90° ∵点E 是BC 的中点， ∴DE=21BC=BE . ·················································· 6分∴∠DBE=∠BDE . ················································· 7分 ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB . ················································ 8分 ∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD . 即∠ODE=∠OBE =90°.又∵DE 过半径OD 的外端， ································ 9分 ∴DE 是⊙O 的切线． ······································ 10分 24．（本题满分13分）解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD ，AB ∥CD .∴∠ABP =∠CDQ . ············································· 2分 ∵AP ∥CQ ， ∴∠APD =∠CQB .∴∠APB =∠CQD . ················································· 3分 ∴ΔABP ≌ΔCDQ . ·················································· 4分 (2)∵∠ABC =90°， ∴菱形ABCD 是正方形.∴∠ABD =45°，∠BAD =90° .………………………5分 ∴在Rt △ABD 中，BA BABD 245cos =︒=. ………………………………………6分由(1)得ΔABP ≌ΔCDQ . ∴BP =DQ ，∴BP+BQ=DQ+BQ=BD . ……………………………………………………………7分 ∴2BP BQ BA +=. ……………………………………………………………8分 (3)BP 、BQ 、BA 之间的数量关系是3BQ BP BA -=. …………………………10分C APBQD图1理由如下：连接AC 交BD 于点H ． ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60°， ∴∠ABH =30°，∠AHB =90°，BD =2BH . ∴3cos 2BH AB ABH BA =⋅∠=.························ 12分 由（1）得 BP =DQ ，∴3BQ BP BQ DQ BD BA -=-==. ················ 13分 25．（本题满分13分）解：（1）将A （–1，0）、C （0，2）代入c bx x y ++-=221，得 1022.b c c ⎧--+=⎪⎨⎪=⎩，···························································································· 2分 解得 3,22.b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的表达式为223212++-=x x y . ················································ 4分 （2）①由题意可知，点A 不可能是直角顶点．∴∠P AN =45°，如图，作∠BAP =45°，AP 交抛物线于点P . 1）当点N 是直角顶点时，过点P 作PN 1⊥x 轴于点N 1，则PN 1=AN 1， 设点P 坐标是（t ，223212++-t t ）， ∴223212++-t t =t+1． ………………6分 解得 t 1=2，t 2=–1（不合题意，舍去）． ∴N 1的坐标是（2，0）． ………………7分 2）当点P 是直角顶点时，过点P作PN 2⊥AP ，PN 2交x 轴于点N 2，则AP =PN 2， ∴N 1N 2=AN 1=2-(-1)=3． ∴ON 2=2+3=5． ∴N 2的坐标是（5，0）．综上所述，点N 坐标是（2，0）或（5，0）． …………………………………9分 ②点N 坐标是（5，0）或（6.5，0）或（8，0）或（44，0）． ……………13分yCBxAOPN 1N 2ABCDQ图2PH。

宁德市2015-2016学年度第一学期高二期末质量检测数学（理科）试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。

考试时间120分钟，满分150分。

注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有 且只有一个项是符合题目要求的．1．若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc > D ．a c b c ->-2．双曲线22133x y -=的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y =C ．y x =±D ．y x = 3．等比数列{}n a 中各项均为正数，154a a =，41a =，则{}n a 的公比q 为（ ）A ．2B ．12 C ．12± D ．2± 4．在空间直角坐标系中，点()2,1,4P -关于x 轴的对称点的坐标为( )A ．()2,1,4--B ．()2,1,4---C ．()2,1,4-D ．()2,1,4-5．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离都等于a 海里，灯塔A 在观察站C 北偏东 75°的方向上，灯塔B 在观察站C 的东南方向，则灯塔A 和B 之间的距离为（ ）A ．a 海里B ．海里 C 海里 D ．2a 海里6．设实数x , y 满足5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3z x y =+的最小值为（ ）A ． 6-B ．3-C ． 5D ．277．关于x 的方程22(21)0x a x a -++=有实数根的一个充分不必要条件是（ ） A ． 1a > B ．2a >- C ．14a ≥-D ．4a ≥- 8．在ABC ∆中，若30,2,A a b ===( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．不能确定 9．已知数列{}n a 的首项11a =，且121(2)n n a a n -=+≥，则5a 值为（ ）A ．7B ．15C ．30D ．3110．如图，12A B C O O ∈，，，，平面α，3==BC AB ，90ABC ∠=，D 为动点，2=DC ，且DC BC ⊥．当点D 从1O 顺时针转动到2O 的过程中（D 与1O 、2O 不重合）， 异面直线AD 与BC 所成角( ) A ．一直变小 B ．一直变大C ．先变小，后变大D ．先变小，再变大，后变小11．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A ． 2 B ． 3 C ．115 D ．371612．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差为d ，且201520162014S S S >>，下列五个命题：①d 0<；②40290S >；③40300S <；④数列{}n S 中的最大项为4029S ；⑤20152016a a <其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ． 3D ．4第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.抛物线2y x =的焦点F 坐标为 .14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且21n S n =+，则数列{}n a 的通项n a = . 15. 如图四面体O ABC -中，a OA =,b OB =,c OC =,D 为ABM 为CD 的中点，则CM = （用,,表示）．16.如图，设椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为21F F 、，过焦点1F 的直线交椭圆于B A 、两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设),(),(2211y x B y x A 、，则||21y y -值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)已知命题p ：[1, 2]x ∀∈，2m x ≤；命题q ：2,10x x mx ∀∈++>R .（Ⅰ）写出p ⌝命题；（II ）若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围.18．(本题满分12分)已知等差数列{}n a 中， 22a =，55a =.（Ⅰ）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ； （II ）若111, n n n c a c c a -=-=求数列{}n C 的通项公式.19．(本题满分12分)如图，四边形ABCD 是梯形，,90AB CD ADC ∠=,四边形ADEF 是矩形，且平面ABCD 平面ADEF ，1,2AB AD DE CD ====，M 是线段CE 的中点.(Ⅰ)求证：AC 平面DMF ；(Ⅱ)求平面DMF 与平面ABCD 所成角的余弦值.20．(本题满分12分)如图所示，在四边形ABCD 中，2,3AD CD ==，2D B ∠=∠且cosB =. （Ⅰ）求ACD ∆的面积;（II ）若60ACB ∠=，求AB 的长.21．(本题满分12分)今年宁德市工业转型升级持续推进，某企业为推介新型电机，计划投入适当的广告费，对生产的新型电机进行促销.据测算月销售量T （万台）与月广告费x （万元）之间的函数关系是25(15)5T x x=-≤≤. 已知该电机的月固定投入为5万元，每生产1万台仍需再投入25万元.（月销售收入=月生产成本的120%+月广告费的50%）. （I ）将该电机的月利润S （万元）表示为月广告费x (万元)的函数；（II ）当月广告费投入为多少万元时，此厂的月利润最大，最大利润为多少？（月利润=月销售收入-月生产成本-月广告费）.22．(本题满分12分)椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，焦点到短轴端点的距离为2，离心率为2（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点且OA OB ⊥，是否存在以原点O 为圆心的定圆与直线l 相切?若存在求出定圆方程；若不存在，请说明理由.ADC BABCD EFM宁德市2015—2016学年度第一学期高二期末质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考。

福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣22．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值9．（5分）设集合（）A．B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=．12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为．15．（4分）当x=时，函数y=x2（2﹣x2）有最值，且最值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1B．﹣1 C．2D．﹣2考点：正弦定理．专题：计算题．分析：利用c=，b=atan30°分别求得c和b，则答案可得．解答：解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选C点评：本题主要考查了解三角的实际应用．属基础题．2．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果．解答：解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．点评：本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°考点：余弦定理．专题：计算题．分析：设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180°﹣θ，即可得答案．解答：解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选B．点评：本题考查余弦定理的运用，解本题时注意与三角形内角和定理结合分析题意．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10考点：等差数列；等比数列．专题：等差数列与等比数列．分析：利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．解答：解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．点评：本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的定义，比较简单．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据条件所给的两个等式相减，得到数列的公差，再根据前50项的和是200，代入求和公式做出首项，题目给出的这样的条件，可以解决等差数列的一系列问题．解答：解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选C．点评：等差数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等差数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力，这是一种化归能力的体现．6．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：A、后式x大于等于0，与前式不是同解不等式，本选项错误；B、两不等式是同解不等式，本选项正确；C、前不等式x﹣3大于1或x﹣3小于﹣1，与后不等式不是同解不等式，本选项错误；D、后不等式中x与x+1不为0，故两不等式不是同解不等式，本选项错误．解答：解：A、2x＜7，解得x＜，2x+＜7+，解得：0≤x＜，不是同解不等式本选项错误；B、（x+1）2＞0与x+1≠0为同解不等式，本选项正确；C、|x﹣3|＞1化为x﹣3＜﹣1或x﹣3＞1，与x﹣3＞1不是同解不等式，本选项错误；D、（x+1）3＞x3变形得：x+1＞x，即1＞0恒成立，而＜，x+1≠0且x≠0，不是同解不等式，本选项错误，故选B点评：此题考查了其他不等式的解法，熟练掌握同解不等式的意义是解本题的关键．7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：通过举反例说明选项A，B，D错误，通过不等式的性质判断出C正确．解答：解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选C点评：想说明一个命题是假命题，常用举反例的方法加以论证．8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值D．最大值1而无最小值考点：二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：观察到sin2θ+cos2θ=1，则可做三角代换令x=sinθ，y=cosθ，利用二倍角的正弦与降幂公式即可求得答案．解答：解：∵x2+y2=1，∴x=sinθ，y=cosθ，∴（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2=1﹣（sinθcosθ）2=1﹣解答：证明：∵在△ABC中，A+B=120°，∴C=60°，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴c2+ab=a2+b2，∴c2+ab+ac+bc=a2+b2+ac+bc，∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），∴1=+，则+=1．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及等式的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2化为等价的不等式组，求出解集即可．解答：解：不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2可化为8＞x2+2x+3＞4，它等价于；解①得，x2+2x﹣5＜0，∴﹣1﹣＜x＜﹣1+；解②得，x2+2x﹣1＞0，∴x＜﹣1﹣，或x＞﹣1+；综上，﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+；∴不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+}．点评：本题考查了一元二次不等式组的解法与应用问题，也考查了集合的运算问题，是基础题目．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．考点：简单线性规划．专题：作图题．分析：作出可行域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入计算可得．解答：解：作出约束条件所对应的区域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入可得z=2×2﹣1=3故z=2x+y的最大值为：3点评：本题考查简单的线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：证明题．分析：（法一）利用作差法：只要证明=＞0即可（法二）作商法：只要证明＞1即可解答：证明（法一）：∵=．因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，log a（a﹣1）•log a（a+1）=所以，log（a﹣1）a﹣log a（a+1）＞0，命题得证．证明2：因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，由法1可知：log a（a﹣1）•log a（a+1）=∴＞1．故命题得证点评：本题主要考查了不等式的证明方法的常用方法：作差证明差大于0，作商证明商大于1．21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：设3x﹣4y=b，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．解答：解：设3x﹣4y=b，即3x﹣4y﹣b=0，则圆心到直线的距离d=，即|b|≤5，解得﹣5≤b≤5，故3x﹣4y的最大值5．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，比较基础．。

2014-2015学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“若p，则q”的否命题为（）A．若￢p，则q B．若p，则￢q C．若￢p，则￢q D．若q，则p 2．（5分）在等比数列{a n}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（）A．8B．10C．12D．183．（5分）已知向量={1，﹣1，2}，={﹣2，2，m}，且，则m的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣24．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+45．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．236．（5分）在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．348．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则点C到平面BC1D的距离等于（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．10．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（1，0），则m的值为．12．（4分）在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，则AC=．13．（4分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（4分）如图，正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为．15．（4分）定义：数列{a n}对一切正整数n均满足，称数列{a n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{a n}一定是凸数列（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}一定是凸数列（3）若数列{a n}为凸数列，则数列{a n﹣a n}是单调递增数列+1（4）凸数列{a n}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得其中正确说法的个数是．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；（2）若曲线C与直线m：y=x﹣1相交于A、B两点，求△OAB的面积．18．（13分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），命题q：方程表示双曲线（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（13分）某中学高二研究性学校小组按以下方案测算一种烟花的垂直发射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该烟花的垂直发射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到地面C处发射声音的时间比B地晚秒，在A地测得这种烟花至高点H时的仰角为30°，求这种烟花的垂直发射高度（声音的传播速度为340米/秒）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C=2．（1）求证：平面A1BD⊥平面BCD；（2）求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；（3）E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为？21．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同两点A、B．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省宁德市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）命题“若p，则q”的否命题为（）A．若￢p，则q B．若p，则￢q C．若￢p，则￢q D．若q，则p【解答】解：根据原命题与它的否命题之间的关系，得；命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”．故选：C．2．（5分）在等比数列{a n}中，如果a3=2，a6=6，那么a9为（）A．8B．10C．12D．18【解答】解：因为在等比数列{a n}中，a3、a6、a9为成等比数列，所以，则36=2×a9，解得a9=18，故选：D．3．（5分）已知向量={1，﹣1，2}，={﹣2，2，m}，且，则m的值为（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2【解答】解：∵，∴存在实数λ使得，∴（1，﹣1，2）=λ（﹣2，2，m），∴，解得m=﹣4．故选：B．4．（5分）已知x＞0，y＞0，且2x+y=1，则的最小值是（）A．6B．4C．3+2D．3+4【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=1，∴=（）（2x+y）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即x=且y=1+时取等号，故选：C．5．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6B．7C．8D．23【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选：B．6．（5分）在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．钝角三角形【解答】解：由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，把sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB代入得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，即A﹣B=0，∴A=B，即a=b，则△ABC为等腰三角形，故选：A．7．（5分）设数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6=2，S5=30，则S8=（）A．31B．32C．33D．34【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a6=2，S5=30，得，解得：．∴S8==．故选：B．8．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则点C到平面BC1D的距离等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连结BD，AC 交点为O，连结OC1，作CE⊥OC1于E，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，∴△BDC1是等腰三角形，DC1=C1B=，BD=2，OC1=，OC=，长方体的底面是正方形，AC⊥BD，易知BD⊥平面OC1C，则CE⊥C1O，点C到平面BC1D的距离等于CE，CE===，故选：C．9．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A、B、C的对边，已知sinA，sinB，sinC 成等比数列，且a2=c（a+c﹣b），则角A为（）A．B．C．D．【解答】解：根据正弦定理以及sinA，sinB，sinC成等比数列可知b2=ac ①由余弦定理可知cosA=②又∵a2=c（a+c﹣b）∴a2=ac+c2﹣bc ③联立①②③解得cosA=A∈（0，180°）∴∠A=故选：D．10．（5分）从双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为（）A．|MO|﹣|MT|＞b﹣a B．|MO|﹣|MT|=b﹣a C．|MP|﹣|MT|＜b﹣a D．不确定【解答】解：将点P置于第一象限．设F1是双曲线的右焦点，连接PF1∵M、O分别为FP、FF1的中点，∴|MO|=|PF1|．又由双曲线定义得，|PF|﹣|PF1|=2a，|FT|==b．故|MO|﹣|MT|=|PF1|﹣|MF|+|FT|=（|PF1|﹣|PF|）+|FT|=b﹣a．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）椭圆+=1的一个焦点为（1，0），则m的值为5．【解答】解：椭圆+=1的一个焦点为（1，0），可得m﹣4=1，解得m=5．故答案为：5．12．（4分）在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，则AC=．【解答】解：在△ABC中，BC=2，B=，若△ABC的面积为，可得=，可得AB=1．显然三角形是直角三角形，可得AC=．故答案为：．13．（4分）若命题“∃x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为[﹣1，3] ．【解答】解：∵命题“∃x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，∴命题“∀x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，即（a﹣1）2≤4，∴﹣2≤a﹣1≤2，即﹣1≤a≤3，故答案为：[﹣1，3]．14．（4分）如图，正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为45°．【解答】解：∵正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，∴建立以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴的空间坐标系如图：设AB=PA=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），则=（1，1，﹣1），=（1，0，0），则=（0，1，0）是平面PAB的法向量，平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，则z=1，x=0，即=（0，1，1），则•=1，则cos＜，＞==，则＜，＞=45°，故平面PAB与平面PCD所成的角为45°，故答案为：45°15．（4分）定义：数列{a n}对一切正整数n均满足，称数列{a n}为“凸数列”，一下关于“凸数列”的说法：（1）等差数列{a n}一定是凸数列（2）首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}一定是凸数列（3）若数列{a n}为凸数列，则数列{a n+1﹣a n}是单调递增数列（4）凸数列{a n}为单调递增数列的充要条件是存在n0∈N*，使得其中正确说法的个数是2．【解答】解：（1）由等差数列{a n}的性质可得：，不满足，因此不是“凸数列”．（2）∵首项a1＞0，公比q＞0且q≠1的等比数列{a n}，∴．∴==＞a n q=a n+1．因此是“凸数列”．故正确．（3）∵数列{a n}为凸数列，∴数列{a n}对一切正整数n均满足，∴a n+2﹣a n+1＞a n+1﹣a n，∴数列{a n+1﹣a n}是单调递增数列．因此正确．（4）①凸数列{a n}为单调递增数列可得对于任意的n0∈N*，都有；②对于凸数列{a n}存在n0∈N*，使得．则﹣=＞0．如果n0＞1，则此数列不一定是递增数列．因此（4）不正确．综上可知：只有（2）（3）正确．故答案为：2．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（13分）已知等差数列{a n}的前n项和记为S n，公差为2，且a1，a2，a4依次构成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式与S n（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差为2，∴a2=2+a1，a4=2×3+a1，又∵a1，a2，a4依次构成等比数列，∴（2+a1）2=a1（2×3+a1），解得a1=2，∴a n=2n，S n=2×=n（n+1）；（2）∵S n=n（n+1），∴b n===﹣，∴T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．17．（13分）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；（2）若曲线C与直线m：y=x﹣1相交于A、B两点，求△OAB的面积．【解答】解：（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=﹣1为准线的抛物线，所以方程为y2=4x．（2）y=x﹣1代入抛物线方程可得y2﹣4y﹣4=0，所以y=2±2，所以△OAB的面积为=2．18．（13分）已知命题p：实数t满足t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），命题q：方程表示双曲线（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=1，则不等式为t2﹣5t+4＜0，即1＜t＜4，p：t∈（1，4），若方程=1表示双曲线，则（t﹣2）（t﹣6）＜0，即2＜t＜6．q：t∈（2，6），若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，即，解得2＜t＜4，则实数t的取值范围{t|2＜t＜4}．（2）若t2﹣5at+4a2＜0（其中a≠0），则（t﹣a）（t﹣4a）＜0，若a＞0，则得a＜t＜4a，若a＜0，则4a＜t＜a，∵q：t∈（2，6），∴若p是q的必要不充分条件，则当a＞0时，，即，解得≤a≤2，若a＜0，则不满足条件．即实数a的取值范围是[，2]．19．（13分）某中学高二研究性学校小组按以下方案测算一种烟花的垂直发射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该烟花的垂直发射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC=60°，在A地听到地面C处发射声音的时间比B地晚秒，在A地测得这种烟花至高点H时的仰角为30°，求这种烟花的垂直发射高度（声音的传播速度为340米/秒）【解答】解：由题意，设|AC|=x，则|BC|=x﹣=x﹣40，在△ABC内，由余弦定理：|BC|2=|BA|2+|CA|2﹣2|BA|•|CA|•cos∠BAC，（3分）即（x﹣40）2=x2+10000﹣100x，解之得x=420．…（5分）在△ACH中，|AC|=420，∠CAH=30°，∠CHA=90°﹣30°=60°，由正弦定理：．…（8分）所以|CH|=140．…（11分）答：该仪器的垂直弹射高度140米．…（12分）20．（14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，BD=，∠ABD=90°，将△ABD沿对角线BD折起，折后的点A变为A1，且A1C=2．（1）求证：平面A1BD⊥平面BCD；（2）求异面直线BC与A1D所成角的余弦值；（3）E为线段A1C上的一个动点，当线段EC的长为多少时，DE与平面BCD所成的角正弦值为？【解答】解：（1）根据已知条件，在△A1BC中，BC=，A1B=1，A1C=2；∴；∴A1B⊥BC；又A1B⊥BD，BD∩BC=B；∴A1B⊥平面BCD，A1B⊂平面A1BD；∴平面A1BD⊥平面BCD；（2）以BD的垂线，BD，BA1三直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（1，，0），D（0，，0），A1（0，0，1）；∴，；∴；∴异面直线BC与A1D所成角的余弦值为；（3）为平面BCD的一条法向量，E在线段A1C上；∴设E（x，x，1﹣x），x∈[0，1]；∴；∵DE与平面BCD所成的角正弦值为；∴=；解得x=，或2（舍去）；∴；即当线段EC=时，DE与平面BCD所成的角正弦值为．21．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点（2，），直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同两点A、B．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意椭圆的离心率e==，∴a=c∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，又点（2，）在椭圆上∴+=1，∴c2=4，∴椭圆的方程为+=1；（2）假设存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y并整理得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，∵直线y=kx+m与椭圆有两个交点△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，即m2＜8k2+4，又x1+x2=﹣，∴AB中点P的坐标为（﹣，），设AB的垂直平分线l'方程：y=﹣x+3，∵P在l'上，∴=﹣•（﹣）+3，即m=﹣3﹣6k2，代入m2＜8k2+4，得9（1+2k2）2＜4（1+2k2），即为1+2k2＜，解得k∈∅．故不存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）．。

宁德市2014-2015学年第一学期期末高二质量检测物 理 试 题（A 卷）(考试时间90分钟，满分100分)第Ⅰ卷 选择题本卷共10小题，每小题4分，共40分。

每小题只有一个选项符合题目要求。

1．真空中两个相同的金属小球A 和B ，电荷量分别为3q 和5q ，已知两小球的电荷分布均匀，小球间的距离为r ，相互作用力为F 。

若将两球接触后仍放回原处，则它们之间的作用力变为A ．1615FB ．FC ．115FD ．215F 2．如图所示为通电螺线管的纵剖面图，“○×”和“○·”分别表示导线中的电流垂直纸面流进和流出，图中四个小磁针（涂黑的一端为N 极）静止时指向错误的是A ．aB ．bC ．cD ．d3．如图甲所示，由两根横截面积和长度均相同、材料不同的导线Ⅰ和Ⅱ，串联后接入电路。

将电源负极端接地，导线上任意一点的电势φ随该点与a 点距离x 的变化关系如图乙所示。

导线Ⅰ和Ⅱ的电阻率分别为ρ1、ρ2，电阻分别为R 1、R 2，则它们的关系正确的是A ．ρ1<ρ2，R 1< R 2B ．ρ1>ρ2，R 1< R 2C ．ρ1<ρ2，R 1> R 2D ．ρ1>ρ2，R 1> R 24．如图所示为某款手机电池充电器充电过程的原理图，其输出电压为5.0 V ，输出电流为 600 mA 。

现对内阻为2 Ω的锂电池进行充电，下列说法错误的是A ．充电器输出的电功率为3.0 WB ．充电时电池消耗的热功率为0.72 WC ．电能转化为化学能的功率为2.28 WD ．锂电池每秒钟储存的化学能为3.0 J5．示波管原理如图所示，当两偏转电极XX′、YY′电压为零时，电子枪发射的电子经加速电场加速后会打在荧光屏正中间的O点，其中x轴与XX′电场的场强方向平行，y轴与YY′电场的场强方向平行。

若要使电子打在图示坐标系的第Ⅱ象限内，则下列操作可行的是A．X、Y接电源的正极，X′、Y′接电源的负极B．X、Y′接电源的正极，X′、Y接电源的负极C．X′、Y接电源的正极，X、Y′接电源的负极D．X′、Y′接电源的正极，X、Y接电源的负极6．如图所示，两块较大的金属板A、B平行放置并与一电源相连，开关S闭合后，两板间有一质量为m、电荷量为q的油滴恰好处于静止状态。

福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°=1C．x2+2x﹣1＞0 D．梯形是不是平面图形呢2．（5分）在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合{x|ax2+bx+c＜0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．77．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对8．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线9．（5分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．1010．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是．12．（4分）用“充分、必要、充要”填空：（1）p∨q为真命题是p∧q为真命题的条件；（2）￢p为假命题是p∨q为真命题的条件．13．（4分）若椭圆x2+my2=1的离心率为，则它的长半轴长为．14．（4分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是．15．（4分）抛物线y2=6x的准线方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．对于下述命题p，写出“￢p”形式的命题，并判断“p”与“￢p”的真假：（1）p：91∈（A∩B）（其中全集U=N*，A=x|x是质数，B=x|x是正奇数）．（2）p：有一个素数是偶数；．（3）p：任意正整数都是质数或合数；（4）p：三角形有且仅有一个外接圆．17．若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．18．k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？19．在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．20．双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程．21．k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．福建省宁德二中2014-2015学年高二上学期第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）下列语句中是命题的是（）A．周期函数的和是周期函数吗B．sin45°=1C．x2+2x﹣1＞0 D．梯形是不是平面图形呢考点：四种命题．专题：阅读型．分析：分析是否是命题，需要分别分析各选项事是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．解答：解：A，不是，因为它是一个疑问句，不能判断其真假，故不构成命题；B，是，因为能够判断真假，故是命题；C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题；D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题；故选B．点评：本题考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．（5分）在命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则集合{x|ax2+bx+c＜0}≠∅”的逆命题，否命题，逆否命题的真假结论是（）A．都真B．都假C．否命题真D．逆否命题真考点：四种命题的真假关系．专题：计算题．分析：题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在解答时，首先要判断准原命题和逆命题的真假，然后由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同，从而可得解答．解答：解：对于原命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，则{x|ax2+bx+c＜0}≠φ．”可知a＜0，∴{x|ax2+bx+c＜0}≠φ”一定成立，故原命题是真命题；又因为逆命题为“{x|ax2+bx+c＜0}≠φ，则抛物线y=ax2+bx+c的开口向下”当a=1，b=﹣2，c=﹣3时，显然{x|ax2+bx+c＜0}={x|﹣1＜x＜3}≠φ，但是抛物线y=ax2+bx+c 的开口向上，所以逆命题不成立是假命题．又由原命题与逆否命题和逆命题跟与否命题都互为逆否命题，且互为逆否命题的命题真假性相同．所以原命题与逆否命题都是真命题，逆命题与否命题都是假命题．故选D．点评：此题考查的是原命题、逆命题、否命题、逆否命题四种命题的真假问题．在考查的过程当中与解方程相联系，深入考查了条件与结论之间的互推关系．此题值得同学们体会和反思．属基础题．3．（5分）有下述说法：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件．②a＞b＞0是的充要条件．③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．则其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：依次分析命题，a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故①错误；a＞b＞0⇒，反之则不成立，故②错误；a＞b＞0⇒a3＞b3，反之由不成立，故③错误；综合可得答案．解答：解：a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，故①错误；a＞b＞0⇒，反之则不成立，故②错误；a＞b＞0⇒a3＞b3，反之由不成立，故③错误．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意避免不必要错误的发生．4．（5分）下列说法中正确的是（）A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C．“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真考点：命题的真假判断与应用．专题：推理和证明．分析：由四种命题的等价关系可判断A，D；利用等价命题的定义，可判断B；写出原命题的逆否命题，可判断C；解答：解：一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真，一个命题为真，则它的逆否命题一定为真，但一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，故A错误，D正确；“a＞b”⇔“a+c＞b+c”，故B错误；“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，故C错误；故选：D点评：本题考查的知识点是四种命题，等价命题，熟练掌握四种命题的等价关系和定义是解答的关键．5．（5分）若A：a∈R，|a|＜1，B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，则A是B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求得命题A，B为真时，参数的范围，再利用四种条件的定义，即可得结论．解答：解：A：a∈R，|a|＜1，可得﹣1＜a＜1；B：x的二次方程x2+（a+1）x+a﹣2=0的一个根大于零，另一根小于零，所以f（0）=a﹣2＜0，所以a＜2；当﹣1＜a＜1时，a﹣2＜0，∴A是B的充分条件，当a＜2时，不能得出﹣1＜a＜1，比如a=1.5，∴A不是B的必要条件；所以A是B的充分不必要条件故选：A．点评：本题以命题为载体，考查四种条件，考查方程根的研究，利用四种条件的定义进行判断是关键．6．（5分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．7．（5分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A．B．C．或D．以上都不对考点：椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：设出椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，根据长轴与短轴的和为18列出关于a 与b的方程记作①，由焦距等于6求出c的值，根据椭圆的基本性质a2﹣b2=c2，把c的值代入即可得到关于a与b的另一关系式记作②，将①②联立即可求出a和b的值，然后利用a 与b的值写出椭圆的方程即可．解答：解：设椭圆的长半轴与短半轴分别为a和b，则2（a+b）=18，即a+b=9①，由焦距为6，得到c=3，则a2﹣b2=c2=9②，由①得到a=9﹣b③，把③代入②得：（9﹣b）2﹣b2=9，化简得：81﹣18b=9，解得b=4，把b=4代入①，解得a=5，所以椭圆的方程为：+=1或+=1．故选C．点评：此题考查学生掌握椭圆的基本性质，会根据椭圆的长半轴与短半轴写出椭圆的标准方程，是一道综合题．学生做题时应注意焦点在x轴和y轴上两种情况．8．（5分）动点P到点M（1，0）及点N（3，0）的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线考点：轨迹方程．专题：常规题型．分析：根据双曲线的定义：动点到两定点的距离的差的绝对值为小于两定点距离的常数时为双曲线；距离当等于两定点距离时为两条射线；距离当大于两定点的距离时无轨迹．解答：解：|PM|﹣|PN|=2=|MN|，点P的轨迹为一条射线故选D．点评：本题考查双曲线的定义中的条件：小于两定点间的距离时为双曲线．9．（5分）抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是（）A．B．5 C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的标准方程，可求得p，再根据抛物线焦点到准线的距离是p，进而得到答案．解答：解：2p=10，p=5，而焦点到准线的距离是p．故抛物线y2=10x的焦点到准线的距离是5故选B点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．10．（5分）若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（7，2）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：根据抛物线y2=8x可知p=4，准线方程为x=﹣2，进而根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P到其准线x=﹣2的距离，求得P点的横坐标，代入抛物线方程即可求得纵坐标．解答：解：根据抛物线y2=8x，知p=4根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=﹣2的距离，得x p=7，把x代入抛物线方程解得y=±2故选C．点评：本题主要考查了抛物线的性质．属基础题．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是若a，b至少有一个为零，则a•b为零．考点：四种命题间的逆否关系．专题：计算题．分析：根据逆否命题的定义，命题若p则q的逆否命题为：若¬q，则¬p，根据命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”，写出¬q与¬p，进而可以得到原命题的逆否命题．解答：解：命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”中，p：a•b不为零，q：a，b都不为零则¬p：a•b为零，¬q：a，b至少有一个为零则命题：“若a•b不为零，则a，b都不为零”的逆否命题是：若a，b至少有一个为零，则a•b为零故答案：若a，b至少有一个为零，则a•b为零点评：本题考查的知识点是逆否命题的定义，已知原命题，写出它的其他三种命题，首先把原命题改写成“若p，则q”的形式，然后找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其他命题．逆命题：“若q，则p”；否命题：“若¬p，则¬q”；逆否命题：“若¬q，则¬p”12．（4分）用“充分、必要、充要”填空：（1）p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；（2）￢p为假命题是p∨q为真命题的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：（1）根据p∨q，p∧q的真假情况与p，q真假的关系及充分条件，必要条件的概念即可完成该问；（2）根据￢p，p∨q的真假情况与p，q真假的关系及充分条件，必要条件的概念即可完成该问．解答：解：（1）由p∨q为真命题，则：p，q中至少有一个为真命题；而p∧q为真命题，则：p，q都为真命题；∴由p∨q为真命题不一定得到p∧q为真命题，∴p∨q为真命题不是p∧q为真命题的充分条件；而由p∧q为真命题，能得到p∨q为真命题，∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要条件；∴p∨q为真命题是p∧q为真命题的必要不充分条件；（2）￢p为假命题时，p为真命题，所以p∨q为真命题，∴￢p为假命题是p∨q为真命题的充分条件；由p∨q为真命题，得到p，q中至少有一个为真命题，所以p可能是假命题，所以￢p是真命题，即得不到￢p是假命题，∴￢p为假命题不是p∨q为真命题的必要条件；∴￢p为假命题是p∨q为真命题的充分不必要条件．故答案为：必要不充分，充分不必要．点评：考查p∨q，p∧q，￢p的真假情况与p，q真假的关系以及充分条件，必要条件，必要不充分条件，充分不必要条件的概念．13．（4分）若椭圆x2+my2=1的离心率为，则它的长半轴长为1或2．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先将方程转化成标准方程，进而能够得出a2、b2，然后求出m，从而得出长半轴长．解答：解：椭圆x2+my2=1即，当椭圆焦点在y轴上时，∴a2= b2=1由c2=a2﹣b2得，c2=∵=1﹣m=得m=∴a=2即长半轴长为2当椭圆焦点在x轴上时，b2= a2=1∴a=1即长半轴长为1故答案为1或2．点评：本题考查了椭圆的标准方程和简单性质，此题要注意椭圆在x轴和y轴两种情况，属于基础题．14．（4分）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）．考点：双曲线的定义．专题：计算题．分析：根据双曲线的性质知，（4+k）（1﹣k）＜0，进而求得k的范围．解答：解：要使方程为双曲线方程需（4+k）（1﹣k）＜0，即（k﹣1）（k+4）＞0，解得k＞1或k＜﹣4故答案为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）点评：本题主要考查了双曲线的定义和标准方程．属基础题．15．（4分）抛物线y2=6x的准线方程为x=﹣．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接利用抛物线的性质，写出准线方程即可．解答：解：抛物线y2=6x的准线方程为：x=﹣．故答案为：x=﹣．点评：本题考查抛物线的基本性质，直线方程的求法，是基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．对于下述命题p，写出“￢p”形式的命题，并判断“p”与“￢p”的真假：（1）p：91∈（A∩B）（其中全集U=N*，A=x|x是质数，B=x|x是正奇数）．（2）p：有一个素数是偶数；．（3）p：任意正整数都是质数或合数；（4）p：三角形有且仅有一个外接圆．考点：素数及其判别；命题的否定．专题：阅读型．分析：首先要分清楚否命题与命题的否定形式的区别，否命题是一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，而命题的否定形式只是对结论否定即可．一个命题与它的否定形式是完全对立的．两者之间有且只有一个成立．而否命题和原命题的真假没有关系．解答：解：（1）¬p：91∉A，或91∉B；p真，¬p假；（2）¬p：每一个素数都不是偶数；p真，¬p假；（3）¬p：存在一个正整数不是质数且不是合数；p假，¬p真；（4）¬p：存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆，p真，¬p假．点评：此题主要考查命题的否定形式与否命题的区别，要把两者之间的概念弄清楚，以免混淆，在判断真假的时候要弄清楚它与原命题的关系．以便更好的解题．17．若a2+b2=c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．考点：反证法的应用．专题：计算题．分析：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2 相矛盾．解答：证明：假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数，得a2+b2为偶数，而c2为奇数，即a2+b2≠c2，这与a2+b2=c2 相矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．18．k为何值时，直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线y=kx+2代入椭圆2x2+3y2=6，消去y，可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，利用△＞0、△=0、△＜0，可得结论．解答：解：直线y=kx+2代入椭圆2x2+3y2=6，消去y，可得（2+3k2）x2+12kx+6=0，∴△=144k2﹣24（2+3k2）=72k2﹣48，①直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有两个交点，∴72k2﹣48＞0，∴k＞或k＜﹣；②②直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6有一个交点，∴72k2﹣48=0，∴k=±；③直线y=kx+2和椭圆2x2+3y2=6没有公共点，∴72k2﹣48＜0，∴﹣＜k＜．点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，直线和椭圆的交点个数的判断方法，求出△=72k2﹣48，是解题的关键．19．在抛物线y=4x2上求一点，使这点到直线y=4x﹣5的距离最短．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：根据抛物线的方程设出点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式表示出点P到直线y=4x﹣5的距离d，利用二次函数求最值的方法得到所求点P的坐标即可．解答：解：设点P（t，4t2），点P到直线y=4x﹣5的距离为d，则，当时，d取得最小值，此时为所求的点．点评：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握二次函数求最值的方法，是一道中档题．20．双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），点P（3，4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程．考点：双曲线的简单性质；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先利用双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），设出对应的双曲线和椭圆方程，再利用点P（3，4）适合双曲线的渐近线和椭圆方程，就可求出椭圆的方程．解答：解：由共同的焦点F1（0，﹣5），F2（0，5），双曲线的过点P（3，4）的渐近线为y=x．可设椭圆方程为，点P（3，4）在椭圆上，，∴a2=40，∴椭圆方程为．点评：本题考查双曲线与椭圆的标准方程的求法．在求双曲线与椭圆的标准方程时，一定要先分析焦点所在位置，再设方程，避免出错．21．k代表实数，讨论方程kx2+2y2﹣8=0所表示的曲线．考点：曲线与方程．专题：分类讨论．分析：本题要确定曲线的类型，关键是讨论k的取值范围，解答：解：当k＜0时，曲线为焦点在y轴的双曲线；当k=0时，曲线为两条平行于轴的直线y=2或y=﹣2；当0＜k＜2时，曲线为焦点在x轴的椭圆；当k=2时，曲线为一个圆；当k＞2时，曲线为焦点在y轴的椭圆．点评：本题考查了几种基本的曲线方程与曲线的对应关系，从方程区分曲线也是必需的要掌握的．。