2020年3月 2020年高考理数 黄金模拟卷：黄金卷02(原卷版)

2020届高考模拟黄金卷（全国卷）（一）（理）1、已知集合{}{2*|40,21,A x x x B y y x x =-<==-∈N ，则如图所示的Venn 图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为（ ）A.1B.2C.3D.42、复数12i z =+，若复数12z ,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A ．5 B ．-5 C ．34i -+ D ．34i -3、已知函数()21,01log ,0x f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=( ) A. 2- B. 1- C. 12-D. 13-4、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍5、曲线22220x y x y +--=所围成的区域任掷一点,则该点恰好落在区域221x y +≤内大概率为()A.π2π+4B.ππ8+ C.π2π8+ D.π4π8+ 6、已知函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+><<的图像关于直线π6x =对称，若存在12,R x x ∈使12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,且12x x -最小值为π2,则ϕ=( ) A.π12B.π6C.π4D.π37、由0、1、2、3、4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有（ ）个. A ．14B ．16C ．18D ．208、如图是求2222222++++++的程序框图，则图中和中应分别填入( )A.6k T ≤=?;B.7k T ≤=?;C.6k T ≤=?;D.6k T ≥=?;9、在各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，已知M 棱1BB 的中点，N 棱AC 的中点，则异面直线1A M 与NB 成角的正切值为( )A B ．1C D10、已知函数()()xf x ax e a =-∈R 有两个零点，分别为12,x x ，且123x x <，则a 的取值范围为( )A.⎛-∞ ⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.⎫+∞⎪⎪⎝⎭11、若双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线经过点()1,2-，则该双曲线的离心率为( )A.B.C.D.212、在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若sin sin B C A =,ABC △的面积为,a b +=则c =( )313、已知单位向量12,e e 的夹角为60,向量1232a e e =-,向量12b e e λ=+,若a b ⊥,则实数λ=___________.14、若x y ,满足约束条件210501x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2244z x x y =-++的取值范围是 .15、已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,过点F 倾斜角为60︒的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点,则AF BF的值等于__________.16、函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的所有零点之和为_________. 17、在等差数列{}n a 中，36a =，且前7项和756T =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .18、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD Q ，为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD(1)求证:平面MQB ⊥平面PAD .(2)若BM PC ⊥，求直线AP 与BM 所成角的余弦值. (3)若二面角M BQ C --大小为60°，求QM 的长.19、如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的鞘园2222:1x a C y b +=经过点2c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，且28a =经过点()10T ,作斜率为()0k k >的直线l 交椭圆C 与A 、B 两点(A 在x 轴下方).（1）求椭圆C 的方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆于点M 、N ，求2AT BT MN⋅的值；（3）记直线l 与y 轴的交点为P ，若25AP TB =，求直线l 的斜率k 的值.20、已知函数()ln f x mx nx x =+的图象在点()()e,e f 处的切线方程为4e y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)设t 为正整数，若对任意的()1,x ∈+∞，不等式()()11f x t x >-+恒成立，求正整数t 的最大值.21、某单位准备购买三台设备，型号分别为,,A B C 已知这三台设备均使用同一种易耗品,提供设备的商家规定:可以在购买设备的同时购买该易耗品,每件易耗品的价格为100元,也可以在设备使用过程中，随时单独购买易耗品,每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应同时购买的易耗品的件数.该单仿调查了这三种型号的设备各60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立. (1)求该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是 21件易耗品？22、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩（为参数），在以o为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为cos 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 和2C 的直角坐标方程；（2）若点p 为1C 上任意一点，求点p 到2C 的距离的取值范围.23、已知函数()f x x =(1)若不等式()24f ax +≤的解集为31-［,］，求实数a 的值.(2)若02m ∈［,］，求证:((2f x f x -≤.参考答案1答案及解析： 答案：B解析：由240x x -<,得04x <<,所以{}04A x x =<<.由*21,y x x =-∈N ，得集合{}1,3,5,B =.根据题图可知阴影部分表示的集合为A B ,且{}1,3A B =，所以阴影部分表示的集合中共有2个元素，故选B.2答案及解析： 答案：B解析：由题意可知，22i z =-+，所以()()122+i -2+i 415z z ==--=-. 3答案及解析： 答案：C解析：由题意可知()211111log 1,1222112f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-==- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 4答案及解析： 答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ， 对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．5答案及解析： 答案：D解析：曲线22220x y x y +--=可化为22(1)(1)2x y -+-=,作出如图所示,该图形可看成由一个边长为,其所围成的区域面积是214π84π2⨯⨯⨯=+,又221x y +≤所表示的平面区域的面积为π,所以该点恰好落在区域221x y +≤内的概率为π84π+,故选D 6答案及解析： 答案：B解析：由12()()()f x f x f x ≤≤恒成立,12min π2x x -=,可得函数()f x 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2,则()f x 的最小正周期2ππ,2T ωω===,又该函数关于直线π6x =对称,所以ππ()2sin()263f ϕ=+=±,则ππππ,,π+,326k k Z k k Z ϕϕ+=+∈=∈,又π(0,)2ϕ∈,所以π6ϕ= 7答案及解析： 答案：D解析：根据能被3整除的三位数的特征，可以进行分类，共分以下四类： ①.由0，1，2三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ②.由0，2，4三个数组成三位数，共有12224C A ⋅=个没有重复的三位数； ③.由1，2，3三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数；④.由2，3，4三个数组成三位数，共有336A =个没有重复的三位数，所以由0,1,2,3,4五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位数，共有4+4+6+6=20个数. 8答案及解析： 答案：C解析：根据题意，运行该程序，则T ，1k =；T =，2k =；T3k =；T =4k =；T =，5k =；T =，6k =；T =7k =，结束循环结合选项可知，C 选项满足题意.故选C. 9答案及解析： 答案：C解析：各棱长均相等的直三棱柱111ABC A B C -中，棱长为2， 以A 为原点，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()))()10,0,2,,,0,1,0A MBN ，()()13,1,1,3,0,0A M BN =-=-，设异面直线1A M 与BN 所成角为，则11cos 5A M BNA M BNθ⋅===⋅ ，∴tan θ．∴异面直线1A M 与BN C. 10答案及解析： 答案：D解析：令()0f x =，即0x ax e -=. 当0a =时，0x e =无解，所以0a ≠.所以有1xxa e =. 令()()x x x g x f x ax e e =⋅=-有两个零点，等价于1y a =的图像与()xx g x e =的图像有两个不同的交点. ()1x xg x e-'=，当)1(x ∈-∞,时，()0g x '>；当1()x ∈+∞,时，()0g x '<. 所以()g x 在()1-∞,上单调递增，在(1)+∞,上单调递减. 因此，如图，1201x x <<<.令213x x =，有111133x xx x e e =，得1ln32x =，则()ln 213ln32x g e ==. 所以10a <，即a a的取值范围为⎫+∞⎪⎪⎝⎭.故选D. θ11答案及解析： 答案：C解析：∵双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>∴该双曲线的渐近线方程为by x a=±，又∵一条渐近线经过点()1,2,∴21ba=⨯，得2b a =，由此可得c ==,双曲线的离心率e ca==12答案及解析： 答案：D解析：因为sin sin ,sin 0B C A B ≠,所以sin C ==又ABC △,所以21sin 2ab C ==得a又a b +=所以b C ==,所以1cos 2C =±,所以根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-得c =3c =,故选D13答案及解析： 答案：14解析：因为a b ⊥,所以a b ⋅,所以1212(32)()0e e e e λ-⋅+=,即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=,即13(32)202λλ+-⨯-=,即14λ=14答案及解析： 答案：[]1,9解析：画出不等式组 210501x y x y y --≥⎧⎪+-=⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域，如图中阴影部分.由21050x y x y --=⎧⎨+-≤⎩，得3(2)A ,.由2101x y y --=⎧⎨=⎩，得1(1)B ,.由501x y y +-=⎧⎨=⎩，得1(4)C ,. 将2244z x x y =-++化成()222z x y =-+.设点0(2)D ,，过点D 作DE BC ⊥于点E ，则当以点0(2)D ,为圆心的圆 经过点A 时，z 取得最大值，()22min 2239z =-+=，经过点1(2)E ,时，z 取得最小值，()22min 2211z =-+=.所以z 的取值范围为19［,］15答案及解析： 答案：3解析：设1122(,),(,)A x y B x y ,易知12x x > 由直线l 的倾斜角为60°,且过点,02P F ⎛⎫ ⎪⎝⎭得直线l的方程为02p y x ⎫-=-⎪⎭即y p -,联立22y p y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理,得22122030x px p -+= 则1231,26x p x p == 则31||22311||62p pAF BF p p+==+ 16答案及解析：答案：16解析：如图构造函数21(),()2cos22x x g x h x -π⎛⎫==- ⎪⎝⎭, ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象都关于直线2x =对称, ∴函数21()2cos(610)22x xf x x -π⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x =对称. ∵610x -≤≤时,函数(),()g x h x 的图象的交点共有8个, ∴函数()f x 的所有零点之和等于4416⨯=.17答案及解析：答案：(1)等差数列{}n a 的公差设为d ，36a =，且前7项和756T =. 可得1126,72156a d a d +=+=，解得12,2,a d ==则2n a n = (2) 323n n n n b a n =⋅=⋅前n 项和()3321323333nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅()341321323333n n n S n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅相减可得()()231131322333332313n n n n n S n n ++⎛⎫- ⎪-=+++⋅⋅⋅+-⋅=⋅-⋅ ⎪-⎝⎭化简可得1213322n n n S +-=⋅+ 解析：18答案及解析：答案：(1)因为//AD BC ，12BC AD Q =，为AD 中点，所以//QD BC ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//CD BQ . 又因为CD AD ⊥，所以BQ AD ⊥.又因为PQ AD ⊥且平面PAD ⊥底面ABCD ，所以PQ ⊥底面ABCD ，所以PQ BQ ⊥，所以BQ ⊥平面ADP . 又因为BQ ⊂平面MQB ，所以平面MQB ⊥平面PAD .(2)以Q 为原点，QAQB QP ，，方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立坐标系设(PM PC λλ=⋅=-，01λ≤≤，所以()M λ-.因为BM PC ⊥，所以760BM PC λ⋅=-=，所以67λ=，所以6,7BM ⎛- =⎝⎭. 设AP 与BM 所成角为θ，所以cos 84AP BM AP BMθ⋅==⋅. (3)平面BQC 的法向量01(0)=,,n . 设()1QM QP QC λλ=+-，且01λ≤≤， 则平面MBQ 的法向量为10λλ-⎫=⎪⎭,m 因为二面角M BQ C --为60°，所以12⋅=⋅nm n m ，解得12λ=，所以QM . 解析： 19答案及解析： 答案：（1）因为椭圆222:18x y C b +=经过点2,c b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以222182b c b +=． 又∵222a b c =+，2228182b b b -+=，解得24b ＝或28b ＝（舍去）．所以椭圆C 的方程为22184x y +=． （2）设()()1122A x yB x y ,,,．因为()1,0T ，则直线l 的方程为1y k x ＝（﹣）． 联立直线l 与椭圆方程()221184y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2222214280k x k x k ++（）﹣﹣＝，所以21221222428,2121x x x k k k x k -==+++．因为//MN l ，所以直线MN 方程为y kx ＝， 联立直线MN 与椭圆方程22184y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得22218k x +（）＝， 解得22821x k =+因为//MN l ，所以()()()122211M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅=-因为12122127[111]21x x x x x k x +=+⋅+（﹣）（﹣）=--（）．22232421M N x x x k =+（﹣）＝． 所以()()()122211732M N x x AT BT MN x x -⋅-⋅==-．（3）在1y k x ＝（﹣）中，令0x ＝，则y k ＝﹣，所以0P k （,-）， 从而 ()()1122,,1,AP x k y TB x y =---=-，∵()1222,155AP TB x x =-=-，即122255x x +=① 由（2）知212221224212821k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩②由①②得()()22122242162,321321k k x x k k -+-==++代入421222282183340x x k k k k -=⇒+﹣﹣＝，解得22k ＝或21750k =-（舍）．又因为0k ＞，所以k = 20答案及解析：答案：(1) ()f x 的定义域为()0,+∞，'()ln f x n x m n =++， ∴'(e)24(e)e e 4e e f m n f m n =+=⎧⎨=+=-⎩，解得21m n =⎧⎨=⎩，∴函数()f x 的解析式为()2ln f x x x x =+. (2)()()11f x t x >-+可化为()2ln 11x x x t x +>-+ ∵()1,x ∈+∞，∴2ln 11x x x t x +-<-令()2ln 11x x x g x x +-=-()1x >，则由题意知对任意的()1,x ∈+∞，()min t g x <，而()()()22ln ',1,1x xg x x x --=∈+∞-，令()()2ln 1h x x x x =-->，则()1'10x h x x-=->，∴()h x 在()1,+∞上为增函数. 又()31ln 30h =-<，()42ln 40h =->∴存在唯一的()03,4x ∈使得()00h x =，即002ln x x -=当()01,x x ∈时，()0h x <，()'0g x <，∴()g x 在()01,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，()'0g x >，∴()g x 在 ()0,x +∞上单调递增. ∴()()()00000000min 002212ln 1111x x x x x x g x g x x x x +--+-====+--,∴01t x <+,又()03,4x ∈，∴()014,5x +∈， ∵t 为正整数，∴t 的最大值为4. 21答案及解析：答案：(1)由题中的表格可知A 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为301602= B 型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率均为301301101,,602602606=== C 型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率均为453151,604604==设该单位一个月中,,A B C 三台设备使用易耗品的件数分别为,,x y z ,则 1(6)(7)2P x P x ====,11(6),(7)32P x P x ====,131(8),(7),(8)644P y P z P z ====== 设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X 则(21)(22)(23)P X P X P X >==+=而(22)(6,8,8)(7,7,8)(7,8,7)P X P x y z P x y z P x y z =====+===+=== 111111113726422426448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1111(23)(7,8,8)26448P X P x y z ======⨯⨯=故711(21)48486P X >=+= 即该单位一个月中,,A B C 三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为16(2)以题意知,X 所有可能的取值为19,20,21,22,23 1131(19)(6,6,7)2348P X P x y z ======⨯⨯=(20)(6,6,8)(6,7,7)(7,6,7)P X P x y z x y z P x y z =====+===+===1111131131723422423448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (21)(6,7,8)(6,8,7)(7,6,8)(7,7,7)P X P x y z x y z P x y z P x y z =====+===+===+===1111131111131722426423422448=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=由1知,71(22),(23)4848P X P X ====若该单位在肋买设备的同时购买了20件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为1Y 元,则1Y 的所有可能取值为2000,2200,2400,2600 111723(2000)(19)(20)84848P Y P X P X ===+==+=117(2200)(21)48P Y P X ==== 17(2400)(22)48P Y P X ==== 11(2600)(23)48P Y P X ==== 12317712000220024002600214248484848EY =⨯+⨯+⨯+⨯≈若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品,设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为2Y 元,则2Y 的所有可能取值为2100,2300,25002117175(2100)(19)(20)(21)848486P Y P X P X P X ===+=+==++=27(2300)(22)48P Y P X ==== 21(2500)(23)48P Y P X ====2571210023002500213864848EY =⨯+⨯+⨯≈21EY EY <,所以该单位在购买设备时应该购买21件易耗品.22答案及解析：答案：（1）由2cos 2sin 2x y ϕϕ=⎧⎨=-⎩消去参数，得()2224x y ++=则曲线1C 的普通方程为()2224x y ++=.由cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos sin θθ=，即2x y -=则曲线2C 的直角坐标方程为20x y --=；（2）曲线1C 上的任意一点()2cos ,2sin 2ρϕϕ-到曲线2C 的距离为2cos 4d πϕ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ 故点p 到曲线2C 的距离的取值范围为[]0,2. 23答案及解析：答案：(1)()24f ax +≤即24ax +≤，所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62x a a -≤≤，则6321a a⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得2a =；当0a <时，26x a a ≤≤-，则2361a a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.综上可知，2a =.(2)((f x f x -x x =((x x ≤-=[]02m ∈,，()2m m ∴+-≥()222m m ∴+-≥⎡⎤⎣⎦，当且仅当2m m =-时等号成立，24∴≤，2≤，((2f x f x ∴-≤.。

黄金卷02 备战2020高考全真模拟卷数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0x >,若()2x i +是纯虚数（其中i 为虚数单位）,则x =（ ） A ．±1B ．2C ．-1D ．12．已知R 为实数集，集合{|lg(3)}A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R C A B ⋃=（ ） A ．{|3}x x >-B ．{|3}x x <-C ．{|3}x x ≤-D ．{|23}x x ≤<3．函数f(x)={2x −2,x ≤12sin(π12x)−1,x >1，则f[f(2)]=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．2√3−1−2 D ．04．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,5，解关于x 的不等式20cx bx a ++>”，给出如下一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,5，得2110a b c x x ⎛⎫⎛⎫++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭，即关于x 的不等式20cx bx a ++>的解集为11,52⎛⎫ ⎪⎝⎭.类比上述解法，若关于x 的不等式0x a x b +<+的解集为()1,3，则关于x 的不等式1log 301log 3x xa b +<+的解集为（ ）A ．()3,27B ．()3,9C ．()1,27D ．()1,95．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e 3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 6．函数()()2244log xxf x x-=-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知向量()1,1a =r ， ()24,2a b +=r r ，则向量,a b rr 的夹角的余弦值为（ ）3.1010A 3.1010B - 2.2C 2.2D - 8．执行如图所示的程序框图，则可以输出函数的为（ ）A ．()sin f x x =B ．()x f x e =C ．()ln 2f x x x =++D ．2()f x x =9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个“九儿问甲歌”问题：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3456719a a a a a a a ++++--=（ ） A ．46B ．69C ．92D ．13810．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c =，ABC ∆的面积为2244a b +-，则ABC ∆面积的最大值为（ ） A ．23B ．31+C ．22D ．21+11．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则椭圆22221x y m n+=的离心率为（ ）A ．223B ．779C ．223或779D ．2912．已知正六棱锥 P ABCDEF -的所有顶点都在一个半径为1的球面上，则该正六棱锥体积的最大值为（ ）A ．8327 B ．16327 C ．839D ．32327第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

黄金卷02 备战2020年新高考全真模拟卷 数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}|1A x x =<，(){}|30B x x x =-<，则A B =U （ ） A. ()1,0- B. ()0,1C. ()1,3-D. ()1,3【答案】C【解析】由题意得：()1,1A =-，()0,3B =， ∴()1,3A B ⋃=-故选：C 2.若复数11iz ai+=+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 1B. 0C. 12-D. -1【答案】D 【解析】设bi b R b 0z =∈≠，且1bi 1iai+=+，得到：1ab i +=-+ bi ，∴1ab =-，且1b =，解得：a 1=- 故选：D3.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A. 24B. 36C. 48D. 60【答案】A 【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有22A 种排法；第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有2323A A 种排法；∴23223224A A A =故选：A.4.已知数列{}n a 中，12a=，111n n a a -=-（2n ≥），则2018a 等于 A.12 B.12- C.1- D.2 【答案】A5.已知∴ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则∴ABC 面积的最大值是A. 1B.3C.2 D.4【答案】B 【解析】由题意知60B =︒，由余弦定理，262x ππ-=，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 32ABC S ac B ∆=≤.故选：B 6.已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC 的中点，以AD 为折痕进行翻折，使BDC ∠为直角，则过A B C D ，，，四点的球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】C 【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为1+1+3=5， 故其外接球的半径为52，其表面积为5π.故选：D. 7.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0a a >个单位得到函数()cos 24g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，则a 的值可以为（ ） A.512π B.712π C.1924πD.4124π【答案】C 【解析】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位得到函数 ()()()sin 2a sin 22a cos 2334g x x x g x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-==+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭∴cos 22a cos 264x x ππ⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2a 2k πk Z 46ππ=--+∈， 得到：5,24a k k Z ππ=-+∈.当k=1时，a = 1924π故选：C. 8.当直线10()kx y k k --+=∈R 和曲线E ：325(0)3y ax bx ab =++≠交于112233()()()A x y B x y C x y ，，，，，123()x x x <<三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点()b a ，可作曲线E 的切线的条数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】直线()10kx y k k R --+=∈过定点()1,1 由题意可知：定点()1,1是曲线()325:03E y ax bx b =++≠的对称中心， 51313a b b a ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，所以曲线3215:33E y x x =-+，()1,13b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，f′（x ）=22x x - ，设切点M （x 0，y 0），则M 纵坐标y 0=32001533x x -+，又f′（x 0）=2002x x -， ∴切线的方程为：()()322000015y 233x x x x x x ⎛⎫--+=--⎪⎝⎭又直线过定点113⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()322000011521333x x x x x ⎛⎫∴--+=--- ⎪⎝⎭，得3x﹣03x -2=0，()()3000210x x x --+=，即()()2000120x x x +--=解得：021x =-或，故可做两条切线，故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

2020届高考理科数学模拟黄金卷（全国卷）（五）1、设全集为R ，集合2{20}A x x x =-<，{10}B x x =-≥，则()R A C B =I （ ） A ．{01}x x <≤ B ．{01}x x << C ．{12}x x <≤ D ．{02}x x <<2、i 是虚数单位，复数z ，则（ ）A ．12z -=B ．z =C ． 32z = D ．34z = 3、设随机变量,X Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ～，若()519P X ≥=，则()D Y =( ) A ．4 B ．5C ．6D ．74、已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数a 满足()(12a f f ->，则a 的取值范围是( )A. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B. 13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UC. 13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5、若,,a b c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-≤⋅-a c b c ，则+-a b c 的最大值为( )1B.1D.26、已知正项数列{}n a ，其任意连续三项12n n n a a a ++,,满足:若n 为奇数，则这三个数为等差数列；若n 为偶数，则这三个数为等比数列.若151,6a a ==，则10a =( ) A.15B.18C.21D.4927、61()(1)x x x +-的二项展开式中2x 的系数为( )A.14B.-14C.26D.-268、我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”其意思为:一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远都截不完现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图就是根据该规律设计的，其中S 为每天截取后剩余木棍的长度(单位:尺)，则①处应填入的结果及执行程序框图后输出的结果分别为( )A.1232S S =；B.1264S S =；C.1132S S i =-；D.1164S S i =-；9、设函数()2sin(),R f x x x ωϕ=+∈,其中0,πωϕ><.若5π11π()2,()088f f ==且()f x 的最小正周期大于2π,则( ) A.2π,312ωϕ==B.211π,312ωϕ==-C.111π,324ωϕ==-D.17π,324ωϕ==10、如图所示,在三棱柱111ABC A B C -中, 1AA ⊥底面1,,90ABC AB BC AA ABC ==∠=o ,点,E F 分别是棱1,AB BB 的中点,则直线EF 和1BC 的夹角是( )A. 45oB. 60oC. 90oD. 120o11、已知定义在(0)+∞,上的函数()f x 满足()()xf x f x '>恒成立(其中()f x '为函数()f x 的导函数)，对于任意实数10x >，20x >，下列不等式一定正确的是( ) A.()()()1212f x x x f x f ≥⋅ B.()()()1212f x x x f x f ≤⋅ C.()()()1212f x x x f f x +>+D.()()()1212f x x x f f x +<+12、已知椭圆()2212:139x y C a a +=>，双曲线2222:19x y C a -=，分别以椭圆的左、右焦点为圆心，以椭圆左焦点与双曲线左焦点间的距离为半径作圆，两圆恰好过原点，且两圆与双曲线的渐近线分别交于点A BC D ,,,，如图，则四边形ABCD 的面积为( )A.95B.95C.1515D.151513、叶子标本模型是一类常见的图形绘制叶子标本模型的过程一般分为两步:首先取正方形ABCD 的两个顶点A C ,，分别以A C ,为圆心，线段AB 的长度为半径作圆，得到图(1)所示图形，再将正方形外部的圆弧隐藏就可以得到图(2)所示的叶子标本模型.若往正方形ABCD 中任意投掷一点，则该点落在叶子上(图(2)中阴影区域)的概率为 .14、已知直线2:l y ,圆22:()1(0)C x a y a -+=>,若直线l 与圆C 相切于点A,则a =__________,点A 的坐标为________.15、已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2的正三角形，E ，F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为_______. 16、已知数列{}n a 的前n 项和n S *1(12)n n S S n n -≥∈N ,，11a =，若不等式11223127111log n n n a a a a a a λ+++⋯+≤对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的最大值为 .17、已知ABC △中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,cos cos sin a C c A b B +=,2b c =. (1)求C ;(2)若点D 与点B 在AC 两侧,且满足2,3AD CD ==,求四边形ABCD 面积的最大值.18、如图,四棱锥P ABCD -中, PA ⊥底面ABCD ,//AD BC ,3AB AD AC ===,4,PA BC M ==为线段AD 上一点, 2,AM MD N =为PC 的中点.(1)证明//MN 平面PAB ;(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.19、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点,斜率为22的直线交抛物线于112212(,),(,)()A x y B x y x x <两点,且9AB =.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r,求λ的值.20、某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n 名，获得了他们一周参与主题教育活动时间(单位:h)的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在(1216,］内的人数为92.(1)求n 的值.(2)以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数精确到0.01).(3)如果计划对参与主题教育活动时间在(1624,］内的党员干部给予奖励，且在16,20,20((,24］］内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取5人参加社区义务宣讲活动，再从这5人中随机抽取2人作为主宣讲人，求这2人均是二等奖的概率.21、已知函数2()ln ()2a f x x bx R x ab =-+∈，． （1）若1a b ==，求()f x 点()1(1)f ，处的切线方程； （2） 设0a ≤，求()f x 的单调区间；（3） 设0a <，且对任意的0x >， ()(2)f x f ≤，试比较ln()a -与2b -的大小．22、在极坐标系中，曲线1C 的方程为22123sin ρθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，曲线2C的参数方程为142x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (1)求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程. (2)求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的取值范围.23、已知函数()1(1)f x x m x m m=-++>． （1）当2m =时，求不等式()3f x >的解集；； （2）证明：1()3(1)f x m m +≥-．答案以及解析1答案及解析：答案：B 解析：{02}A x x =<<，{1}B x x =≥，{}{}{}()02101R A C B x x x x x x =<<<=<<I I ，答案为B2答案及解析：答案：D解析：34z =.3答案及解析： 答案：A解析：由题意可得： ()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=， 解得： 13p =，则： ()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===.本题选择A 选项.4答案及解析： 答案：C解析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间(),0-∞上单调递增， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减。

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2020届高考理科数学模拟（全国卷）黄金卷（二）1、已知集合2{|40},{|326}A x x B x x =-<=-<<，则A B ⋂=( )A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2、已知复数2i1ia z +=-是纯虚数,则实数a =( ) A.5B.2C.3D.23、正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2375150a a a +-+=则9S =（ ）A.35B.36C.45D.544、72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A.168B.84C.42D.215、函数1()ln f x xx=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6、国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960B.35C.12D.1607、已知两个非零向量,m n r r 满足143,cos ,,3m n m n =〈〉=r r r r若()n tm n ⊥+r r r ,则实数t 的值为( ) A.4B.4-C.94 D.94-8、某程序框图如图所示，若输出51T =-，则图中执行框中应填入( )A.()12T T k k =++B.()12T T k k =++C.2T T k k =++D.1T T k k=++9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()268log b b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．110、已知函数()log (21)(0,1)a f x x a a =->≠的图象恒过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F ,斜率为k 的直线l 过点F ,与抛物线T 交于,A B 两点,AB 的中点为M ,若||6MF =,则2k =( ) 371371- 371+ 371+11、关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减； ③()f x 在[]-π,π有2个零点；④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①④C ．①③D ．②④12、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3,4AB AC == 1,12AB AC AA ⊥=,则球O 的半径为( )A ．317B ．210C ．132 D. 31013、小波一星期的总开支分布图如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为__________.14、已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为 __________.15、在直角坐标系xOy 中，过双曲线22221()00x y a b a b-=>>,的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )，交双曲线右支于点P .若M 为FP 中点，且OM MT a -<，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .16、设2222ln 0R 44b b a b a b a a b ϕ=-+-∈（，）（）（）（＞，），当a ，b 变化时，a b ϕ（，）的最小值为___。

2020届高考理科数学模拟黄金卷（全国卷）（二）1、已知集合2{|40},{|326}A x x B x x =-<=-<<，则A B ⋂=( )A ．3(,2)2-B ．(2,2)-C ．3(,3)2-D ．(2,3)-2、已知复数2i1ia z +=-是纯虚数,则实数a =( ) A.5B.2C.3D.23、正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2375150a a a +-+=则9S =（ ）A.35B.36C.45D.544、72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为( )A.168B.84C.42D.215、函数1()ln f x xx=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6、国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( ) A.5960B.35C.12D.1607、已知两个非零向量,m n 满足143,cos ,,3m n m n =〈〉=若()n tm n ⊥+,则实数t 的值为( ) A.4B.4-C.94D.94-8、某程序框图如图所示，若输出51T =-，则图中执行框中应填入( )A.()12T T k k =++B.()12T T k k =++C.2T T k k =++D.1T T k k=++9、在公差不为零的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则()268log b b 的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．110、已知函数()log (21)(0,1)a f x x a a =->≠的图象恒过抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点F ,斜率为k 的直线l 过点F ,与抛物线T 交于,A B 两点,AB 的中点为M ,若||6MF =,则2k =( ) 371371- 371+ 371+11、关于函数()cos cos f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 在区间()0,1单调递减； ③()f x 在[]-π,π有2个零点； ④()f x 的最大值为2.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②④B ．①④C ．①③D ．②④12、已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若3,4AB AC == 1,12AB AC AA ⊥=,则球O 的半径为( )A ．3172B ．210C ．132 D. 31013、小波一星期的总开支分布图如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为__________.14、已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45︒，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为 __________.15、在直角坐标系xOy 中，过双曲线22221()00x y a b a b -=>>,的左焦点F 作圆222x y a +=的一条切线(切点为T )，交双曲线右支于点P .若M 为FP 中点，且OM MT a -<，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .16、设2222ln 0R 44b b a b a b a a b ϕ=-+-+∈（，）（）（）（＞，），当a ，b 变化时，a b ϕ（，）的最小值为___。

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 ．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为 万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（ ） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（ ） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ， 即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件． 故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ， 则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β． 故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（ ） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值． 故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（ ）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ， 连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ． 由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ， 又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）． 所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33， 即|MN||AB|的最大值为√33． 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}， 当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（ ）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（ ）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°， 由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95． 故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（ ） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值． 故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0， 可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ， 由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ， 即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16． 故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9． 故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘， 几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条． 设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400． 故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ， 把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8， 当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元． 故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径 为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5， 设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165． 即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1． （1）求{a n }的通项公式； （2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)． 若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2． 又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？ （Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75． （Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8， 所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600； 当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660； 当n ≥18时，Y ＝18×40＝720． 所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712． 所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ． （1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点， 所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2）， 于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2， 所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π， 所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ． 故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0； （Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立， 设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）． 则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增， 则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ， 令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1， 故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意， 综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0； （Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|． （1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解， 综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2， 当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2， 当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4， 故函数f （x ）的最小值是2， 故m ＝2，即a 2+b 2＝4， 则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95， 当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4， 即a 2=103，b 2=23取“＝”， 故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。