2019版3年高考2年模拟专题攻略高考文科数学二轮复习课标版突破6类解答题

第四讲算法、推理与证明1.(2018辽宁沈阳质量监测)已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为()A.－3B.－3或9C.3或－9D.－9或－32.(2018河北石家庄质量检测)当n=4时,执行如图所示的程序框图,则输出的S的值为()A.9B.15C.31D.633.(1)已知a是三角形一边的长,h是该边上的高,则三角形的面积是1ah.如果把扇形的弧长l,2半径r分别看成三角形的底边长和高,可得到扇形的面积为1lr;2(2)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,可得到1+3+5+…+2n－1=n2.则(1)(2)两个推理过程分别属于()A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理4.(2018河北石家庄模拟)执行如图所示的程序框图,若输入的a的值为1,则输出的k的值为()A.1B.2C.3D.45.(2018江西南昌模拟)执行如图所示的程序框图,输出的n为()A.1B.2C.3D.46.平面内凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条对角线,依次类推,凸十三边形的对角线条数为()A.42B.65C.43D.1697.给出下面四个类比结论:①实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比复数z1,z2,若z1z2=0,则z1=0或z2=0.②实数a,b,若ab=0,则a=0或b=0;类比向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.③实数a,b,若a2+b2=0,则a=b=0;类比复数z1,z2,若z12+z22=0,则z1=z2=0.④实数a,b,若a2+b2=0,则a=b=0;类比向量a,b,若a2+b2=0,则a=b=0.其中类比结论正确的个数是()A.0B.1C.2D.38.(2018广西南宁模拟)甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是工人,乙是知识分子,丙是农民B.甲是知识分子,乙是农民,丙是工人C.甲是知识分子,乙是工人,丙是农民D.甲是农民,乙是知识分子,丙是工人9.(2018安徽合肥模拟)执行如图所示的程序框图,如果输出的n=2,那么输入的a的值可以为()A.4B.5C.6D.710.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)执行如图所示的程序框图,若输出的s=132,则判断框中可以填()A.i≥10?B.i≥11?C.i≤11?D.i≥12?11.(2018云南昆明适应性检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面面积,“势”是几何体的高.意思是:若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D(如图1所示),它是由抛物线y=x2(x≥0),直线y=4及y轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周形成的几何体.旋转体D的参照体的三视图如图2所示.利用祖暅原理,则旋转体D的体积是()B.6πC.8πD.16πA.16π312.(2018河北“五个一名校联盟”模拟)在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些数染成红色.先染1;再染两个偶数2,4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9;再染9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16;再染此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…,则在这个红色子数列中,由1开始的第2018个数是()A.3971B.3972C.3973D.397413.(2018重庆六校联考)执行如图所示的程序框图,若输入的t=0.01,则输出的n=.14.将1,2,3,4,…这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行自左向右第10个数为.15.在平面几何中:在△ABC中,∠ACB的角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC =AEBE.把这个结论类比到空间:在三棱锥A－BCD中(如图),平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB相交于点E,则类比的结论是.16.(2018吉林长春质量检测)甲、乙二人去看望高中数学老师张老师,期间他们做了一个游戏,张老师的生日是m月n号,张老师把m告诉了甲,把n告诉了乙,然后张老师列出如下10个日期供选择:2月5日,2月7日,2月9日,5月5日,5月8日,8月4日,8月7日,9月4日,9月6日,9月9日.看完日期后,甲说:“我不知道,但你一定也不知道.”乙听了甲的话后,说:“本来我不知道,但现在我知道了.”甲接着说:“哦,现在我也知道了.”请问,张老师的生日是.答案精解精析1.B 当输出的y=0时,若x ≤0,则y=(12)x－8=0,解得x=－3;若x>0,则y=2－log 3x=0,解得x=9,两个值都符合题意,故选B.2.C 执行程序框图,k=1,S=1;S=3,k=2;S=7,k=3;S=15,k=4;S=31,k=5>4,退出循环.故输出的S=31,故选C.3.A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处,此种推理为类比推理;(2)由特殊到一般,此种推理为归纳推理.4.D 开始,k=0,a=1,所以b=1;第一次循环,a=－11+1=－12,此时a ≠b;第二次循环,k=2,a=－11+(－12)=－2,此时a ≠b;第三次循环,k=4,a=－11+(－2)=1,此时a=b,结束循环,输出k 的值为4,故选D.5.C 当n=1时, f(x)=1,满足f(x)=f(－x),不满足f(x)=0有解,n=2; 当n=2时, f(x)=2x,不满足f(x)=f(－x),n=3;当n=3时, f(x)=3x 2,满足f(x)=f(－x),满足f(x)=0有解. 故输出的n 为3,故选C.6.B 根据题设条件可通过列表归纳分析得到: 凸多边形 四 五 六 七 八 对角线条数 22+32+3+42+3+4+52+3+4+5+6所以凸n 边形有2+3+4+…+(n －2)=n(n －3)2条对角线,所以凸十三边形的对角线条数为13×(13－3)2=65.7.C 对于①,显然是正确的;对于②,若向量a,b 互相垂直,则a ·b=0,所以②错误;对于③,取z 1=1,z 2=i,则z 12+z 22=0,所以③错误;对于④,若a 2+b 2=0,则|a|=|b|=0,所以a=b=0,故④是正确的.综上,类比结论正确的个数是2.8.C 由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民,所以丙的年龄比乙小;再由“丙的年龄比知识分子大”,可知甲是知识分子,故乙是工人,故选C. 9.D 执行程序框图,输入a,P=0,Q=1,n=0,此时P ≤Q 成立,P=1,Q=3,n=1,此时P ≤Q 成立,P=1+a,Q=7,n=2.因为输出的n 的值为2,所以应该退出循环,即P>Q,所以1+a>7,结合选项,可知a 的值可以为7,故选D.10.B 执行程序框图,可得s=1×12=12,i=12－1=11;s=12×11=132,i=11－1=10,又由输出的s=132可知判断框中可以填“i ≥11?”,故选B.11.C 由三视图知参照体是一个直三棱柱,其体积V=12×4×4×π=8π,故旋转体D 的体积为8π,故选C.12.B 由题意可设第一组的数为1, 第2组的数为2,4, 第3组的数为5,7,9, ……所以第1组有1个数,第2组有2个数,……,根据等差数列的前n 项和公式,可知前n 组共有n(n+1)2个数.由于2 016=63×(63+1)2<2 018<64×(64+1)2=2 080,因此,第2 018个数是第64组的第2个数.由于第1组最后一个数是1,第2组最后一个数是4,第3组最后一个数是9,……,第n 组最后一个数是n 2,因此,第63组最后一个数为632,632=3 969,第64组为偶数组,其第1个数为3 970,第2个数为3 972,故选B. 13.答案 7解析 执行程序框图:S=12,m=14,n=1;S=14,m=18,n=2;S=18,m=116,n=3;S=116,m=132,n=4;S=132,m=164,n=5;S=164,m=1128,n=6;S =1128,m=1256,n=7,退出循环.故输出的n=7. 14.答案 91解析 由三角形数组可推断出,第n 行共有(2n －1)个数,且最后一个数为n 2,所以第10行共19个数,最后一个数为100,自左向右第10个数是91. 15.答案AE EB =S △ACDS △BCD解析 由类比推理的概念可知,平面中线段的比可转化为空间中面积的比,由此可得:AE EB =S△ACD S △BCD.16.答案 8月4日解析 根据甲说的“我不知道,但你一定也不知道”,可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日;根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道,但现在我知道了”,可排除2月7日、8月7日;根据甲接着说的“哦,现在我也知道了”,可以得知张老师的生日为8月4日.。

学长文综高考高分经验浅谈又是一年高考时，回首自己高三那一年痛并快乐着的每一天，繁忙而充实的生活总是让今天的自己感到十分的怀念。

如果说高考是一场旷日持久的马拉松比赛的话，那么始终如同箭在弦上，精神高度紧张的状态是不可能也是不可取的，它会让我们的复习由于战线拉得过长而丧失后劲儿。

相反，任其发展，来日方长的过分乐观态度也会让你失去最佳的复习时机，最终感到后悔莫及。

因此，采用一定的战略、战术，让每一天都在自己的计划掌控之下，有条不紊地开展复习，是我高考成功的制胜法宝。

作为参加第一届文科综合高考的考生，我在高三一年的全面复习计划中所总结出的五个关键性步骤，对即将面临高考的你也许会有些许启发。

人们都说“好的开始是成功的一半”，在我看来，这种观点还是要辩证地看。

高二升高三的暑假是我们面对高考最雄心壮志的时候，每一个人身上似乎都有用不完的劲儿，再加上这句俗语的“蛊惑”，往往会让我们陷入妄图一蹴而就的误区。

从外界因素的角度看，一上高三，来自父母亲友的压力如同潮水一般从四面八方向你涌来。

在这个时候，真刀真枪的沙场比拼为时过早，我们所要做的是听来简单，实则关系全局的准备工作。

第一目标：强占战略要地。

可适时地去拜访上一级刚刚在高考中大获全胜的师哥师姐，一来可以得到第一手的复习资料，二来可以获得他们各科复习的独门招数，化为己用以备不时之需，更重要的是你可以得到完全原生态的高三生活小百科。

揭开了高三的神秘面纱，相信你的信心会得到前所未有的提升。

而且根据我的经验，刚刚经历完高考的人，往往有很强的倾诉欲，再加上精神爽极，你基本上不会有吃闭门羹的恐惧。

听也听了，看也看了，面对高考，你的心究竟能载得动几多愁呢？高考一战，实力固然重要，心理作用也不容小觑。

想向忧郁、恐惧、急躁say goodbye，心理准备还是先下手为强，我的强化训练经验可是相当有效的呢：不要刻意回避任何人，任何时间，任何地点，任何有关高考的言论，学会微笑着去面对压力，然后在周围人的喋喋不休中保持主见，耳朵磨出老茧后，你左耳进右耳出的平衡****就已日臻佳境了。

套用20个解题模板模板一 函数值的求解例1 已知函数f(x)为奇函数,且当x ≥0时, f(x)=13x +2+a,则f (log 312)= .答案112解析 因为函数f(x)为奇函数,所以f(0)=130+2+a=0, 解得a=－13,所以当x ≥0时, f(x)=13x +2－13, 因为log 312<0,所以－log 32<0,即log 32>0.(转化)所以f (log 312)=f(－log 32)=－f(log 32)=－(13log 32+2－13)=－(14－13)=112.(求值) 即f (log 312)=112.(得结论)▲模板构建 已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:▲技法点拨 解函数的求值问题的关键在于自变量取值范围的确定,如该题中log 312<0,而x ≥0时,函数解析式是确定的,所以可以根据奇函数的性质,将所求函数值转化为－log 32所对应的函数值,进而再根据f(－x)=－f(x)即得所求.此类问题考查的重点是自变量的转化,需要根据已知函数的性质(奇偶性、周期性等),灵活转化所求问题中的自变量,将其转化到已知区间内再代入求值. 跟踪训练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x+3)=－1f(x),当1≤x<2时, f(x)=cosπx 3,则f(2 018)= .模板二 利用函数的性质解不等式例2 已知函数f(x)=1－2x2x +1,若对任意t ∈R,不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－k)<0恒成立,则实数k 的取值范围为 .答案 (－∞,－13)解析 函数f(x)的定义域为R, f(x)=1－2x 2x +1=－1+22x +1,因为y=2x 在R 上单调递增,所以y=22x +1在R 上单调递减,故f(x)在R 上单调递减.(定性质) 又函数f(x)的定义域为R,且f(－x)=1－2－x2－x+1=2x －11+2x =－f(x),故函数f(x)为奇函数.(定性质)因为对任意t ∈R,不等式f(t 2－2t)+f(2t 2－k)<0恒成立, 即f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)恒成立,又f(x)为奇函数,所以f(t 2－2t)<f(k －2t 2)恒成立,又f(x)为R 上的减函数,所以t 2－2t>k －2t 2恒成立,即k<3t 2－2t 恒成立,(巧转化) 而3t 2－2t=3(t －13)2－13≥－13,所以k<－13. 故k 的取值范围为(－∞,－13).(求解集)▲模板构建 利用函数的奇偶性解不等式问题的实质就是利用函数图象的对称性将函数的自变量转化到同一单调区间内,从而构造不等式进行求解.此类方法适用于已知函数的奇偶性和单调性,求解相关不等式的问题,是转化与化归思想的具体体现.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 该题中若分别把f(t 2－2t), f(2t 2－k)表示出来,则不等式的形式会特别复杂.解题时应考虑利用函数的奇偶性和单调性将原不等式转化为两个函数自变量的大小关系.形如此类复杂的式子,一般都是采取利用函数的奇偶性和单调性去掉“f ”的思路来处理的. 跟踪训练2.已知奇函数f(x)在(－∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式(x －1)f(x －1)>0的解集为( ) A.(－3,－1) B.(－1,1)∪(1,3) C.(－3,0)∪(1,3) D.(－3,1)∪(2,+∞) 模板三 利用函数的性质判断大小关系 例3 设a=(32)0.1,b=ln sin2 018π3,c=lo g 1312,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a答案 B解析 因为函数y=(32)x为增函数,(研性质) 所以a=(32)0.1>(32)0=1.(定范围) 因为sin2 018π3=sin (672π+2π3)=sin2π3=√32<1, 又函数y=ln x 为(0,+∞)上的单调增函数,(研性质)所以b=ln sin2 018π3=ln√32<ln 1=0.(定范围) 因为1>12>13,且函数y=lo g 13x 为(0,+∞)上的单调减函数,(研性质)所以0=lo g 131<c=lo g 1312<lo g 1313=1.(定范围)所以b<0<c<1<a,故选B.(得结论)▲模板构建 利用函数的性质比较数式的大小,首先要提炼出数式所对应的函数,然后研究函数的性质(一般研究单调性),并以此为依据进行判断.对于底数相同、指数不同的判断大小关系的问题,利用指数函数的单调性比较大小即可;对于底数相同、真数不同的判断大小关系的问题,利用对数函数的单调性比较大小即可.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 求解此类问题时最容易出现的问题是不能灵活利用指数函数与对数函数的单调性确定函数值(数式)的范围,解题时可以利用一些特殊值,如－1,0,1等,比较取值相近的两个函数值(数式)的大小.在备考中应该注意对此类问题的训练. 跟踪训练3.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数x 1,x 2,都有x 2f(x 1)－x 1f(x 2)x 1－x 2<0,记a=f(4.10.2)4.10.2,b=f(0.42.1)0.42.1,c=f(log 0.24.1)log 0.24.1,则a,b,c 的大小关系是( )A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 模板四 函数图象辨析例4 函数f(x)=lo g 13sin (π2－x)(－π2<x <π2)的图象大致是( )答案C解析因为f(x)=lo g13sin(π2－x)=lo g13cos x(－π2<x<π2),所以f(－x)=lo g13cos(－x)=lo g13cos x=f(x),所以函数f(x)为偶函数,(定性)由图象的对称性可排除A、B.又f(π3)=lo g13cosπ3=lo g1312>0,故排除D.(判别)故选C.(结论)▲模板构建由函数解析式判断函数图象问题的关键:根据函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.其解题步骤为:▲技法点拨函数的性质包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等,在确定函数的图象时应先根据给出的图象的特征灵活选择有显著特点的某个方面进行研究.在利用函数图象时,应根据所要解决的问题确定研究函数图象的角度,有时也要借助导数等工具来描述函数图象的变化. 跟踪训练4.(2018山东济南模拟)函数y=x+1e x 的图象大致为( )模板五 利用图象判断函数零点的个数例5 已知0<a<1,则函数y=a |x|－|log a x|的零点个数为 .答案 2解析 由题意知,函数y=a |x|－|log a x|(0<a<1)的零点个数等于函数f(x)=a |x|(0<a<1)的图象与g(x)=|log a x|(0<a<1)的图象的交点个数.f(x)=a |x|={a x ,x ≥0,(1a )x,x <0,g(x)=|log a x|={log a x,0<x ≤1,－log a x,x >1,(研性质)作出f(x)和g(x)的图象,如图所示.(作图象)由图知函数f(x)=a |x|(0<a<1)的图象与g(x)=|log a x|(0<a<1)的图象的交点个数为2,即函数y=a |x|－|log a x|(0<a<1)的零点个数为2.(得结论)▲模板构建 若函数图象易画出,则可依据图象与x 轴的交点个数来判断函数的零点个数.特别地,对于形如y=h(x)－g(x)的函数,可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点个数来判断函数y=h(x)－g(x)的零点个数.求解此类题的步骤如下:▲技法点拨 求解利用函数的交点个数判断函数的零点个数问题的关键在于根据函数解析式或方程的结构特征灵活地将问题转化为对应的函数图象的交点个数的问题.解决此类问题要注意对函数相关性质的研究,尤其要注意函数的单调性与函数极值对函数图象的影响. 跟踪训练5.函数f(x)=2x +log 2|x|的零点个数为( ) A.0 B.1C.2D.3模板六 已知函数零点个数求参数例6 设f(x)是定义在R 上的偶函数,对任意x ∈R,都有f(x+2)=f(x －2),且当x ∈[－2,0]时, f(x)=(12)x－1,若在区间(－2,6]内关于x 的方程f(x)－log a (x+2)=0(a>1)有3个不同的实数根,则a 的取值范围是( )A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,√43) D.(√43,2)答案 D解析 依题意,知f(x+4)=f((x+2)+2)=f((x+2)－2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4. 再结合题意作出函数f(x)在区间(－2,6]上的图象,如图,作出函数y=log a (x+2)(a>1)的图象,由题意可知,其与函数f(x)在(－2,6]上的图象有三个交点.(转化)根据两个函数图象可知,必有{log a 4<3,log a 8>3,即{a 3>4,a 3<8,(列式)解得√43<a<2,故选D.(下结论)▲模板构建 已知函数零点求参数的步骤如下:▲技法点拨 对于已知函数零点的个数求参数的取值范围问题,通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决.对于此类问题的求解,一般是先分解为两个简单函数,在同一坐标系内作出这两个函数的图象,根据交点个数寻找关于参数的不等式,即可得结论. 跟踪训练6.已知周期函数f(x)的定义域为R,周期为2,且当－1<x ≤1时, f(x)=1－x 2.若直线y=－x+a 与曲线y=f(x)恰有2个交点,则实数a 的所有可能取值构成的集合为( ) A.{a |a =2k +34或2k +54,k ∈Z}B.{a|a=2k－14或2k+34,k∈Z}C.{a|a=2k+1或2k+54,k∈Z}D.{a|a=2k+1,k∈Z}模板七利用导数研究函数的单调性例7已知函数f(x)=ln x+ax+a－1x(a∈R).(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解析(1)当a=1时,f(x)=ln x+x,x∈(0,+∞),所以f'(x)=1x +1,f'(1)=11+1=2,f(1)=ln1+1=1,故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,切线方程为y－1=2(x－1),即y=2x－1.(2)易知f(x)=ln x+ax+a－1x的定义域为(0,+∞),(求定义域)f'(x)=1x +a－a－1x2=ax2+x－a+1x2(x∈(0,+∞)),(求导函数)令g(x)=ax2+x－a+1(x∈(0,+∞)),(i)当a=0时,g(x)=x+1,而x>0,所以g(x)>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(讨论符号)(ii)当a≠0时,g(x)=(ax+1－a)(x+1)=a(x－a－1a)(x+1).①当a<0时,a－1a>0,当x∈(0,a－1a)时,g(x)>0,f'(x)>0,故函数f(x)在(0,a－1a)上单调递增,当x ∈(a －1a,+∞)时,g(x)<0, f '(x)<0,故函数f(x)在(a －1a,+∞)上单调递减.②当0<a<1时,a －1a<0,当x ∈(0,+∞)时,g(x)>0,所以f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ③当a=1时,a －1a=0,故当x ∈(0,+∞)时,g(x)>0,所以f '(x)>0, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ④当a>1时,a －1a>0,当x ∈(0,a －1a)时,g(x)<0, f '(x)<0,故函数f(x)在(0,a －1a)上单调递减,当x ∈(a －1a,+∞)时,g(x)>0, f '(x)>0,故函数f(x)在(a －1a,+∞)上单调递增.(讨论符号)综上,当a<0时,函数f(x)在(0,a －1a)上单调递增,在(a －1a,+∞)上单调递减;当0≤a ≤1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>1时,函数f(x)在(0,a －1a)上单调递减,在(a －1a,+∞)上单调递增.(得出结论)▲模板构建 根据导数与函数单调性的关系,通过求导函数f '(x)的零点得到函数f(x)的单调区间,从而研究函数的单调性问题.该方法适用于所有的可导函数,破解此类题的步骤如下:▲技法点拨 利用导数求解函数的单调性或单调区间时需要注意:(1)要先求函数的定义域;(2)求可导函数f(x)的单调区间,可以转化为求f '(x)>0与f '(x)<0这两个不等式的解集(区间形式);(3)若可导函数f(x)在指定区间D 上单调递增(减),则将其转化为f '(x)≥0(f '(x)≤0)来处理;(4)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,可用“,”隔开或用“和”连接;(5)求解含参数的函数的单调性或单调区间的问题时,一定要弄清楚参数对导函数f '(x)在某一区间内的符号是否有影响,若有影响,则必须分类讨论. 跟踪训练7.设函数f(x)=ax 2+bx+k(k>0)在x=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线x+2y+1=0. (1)求a,b 的值;(2)若函数g(x)=e xf(x),讨论g(x)的单调性.模板八 利用导数研究函数的极值、最值例8 已知函数f(x)={－x 3+x 2,x <1,alnx,x ≥1.(1)求f(x)在区间(－∞,1)上的极小值和极大值点; (2)求f(x)在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值.解析 (1)当x<1时, f(x)=－x 3+x 2, f '(x)=－3x 2+2x=－x(3x －2),(求导) 令f '(x)=0,解得x=0或x=23.(解方程)当x 变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:x (－∞,0) 0(0,23) 23 (23,1) f '(x) －0 +－f(x)↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘(作判断)故当x=0时,函数f(x)取得极小值,为f(0)=0,函数f(x)的极大值点为x=23.(2)①当－1≤x<1时,由(1)知,函数f(x)在[－1,0]和[23,1)上单调递减,在[0,23]上单调递增.(作判断)因为f(－1)=2, f (23)=427, f(0)=0,所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.(得结论)②当1≤x ≤e 时, f(x)=aln x,当a ≤0时, f(x)≤0;当a>0时, f(x)在[1,e]上单调递增,则f(x)在[1,e]上的最大值为f(e)=a.(作判断)故当a ≥2时, f(x)在[－1,e]上的最大值为a;当a<2时, f(x)在[－1,e]上的最大值为2.(得结论)▲模板构建根据导数与函数单调性的关系,通过研究导函数在其零点左右两侧的函数值的符号求函数的极值.此方法适用于所有的可导函数求极值、最值问题.破解此类题的步骤如下:▲技法点拨对于利用导数求解函数的极值、最值的问题,需要注意,在闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值,但在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上是单调递增函数,则f(a)是最小值,f(b)是最大值;反之,则f(a)是最大值,f(b)是最小值.跟踪训练8.已知a∈R,函数f(x)=ax－ln x,x∈(0,e](e是自然对数的底数).(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间与极值;(2)求函数f(x)的最小值.模板九 三角函数求值例9 已知函数f(x)=√2sin x2cos x2－√2sin 2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[－π,0]上的最小值. 解析 (1)f(x)=√2sin x2cos x2－√2sin 2x2=√2×12sin x －√2×1－cosx 2=√22sin x+√22cos x －√22=sin (x +π4)－√22,(化简) 所以f(x)的最小正周期T=2π1=2π. (2)设t=x+π4,则t ∈[－3π4,π4],(换元)所以sin t ∈[－1,√22], 所以sin t －√22∈[－1－√22,0], 当x+π4=－π2,即x=－3π4时, f(x)取得最小值－1－√22.(求最值)▲模板构建 求三角函数最值问题,一般要先利用和(差)角公式及二倍角公式将三角函数的解析式化为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再利用y=sin x 的最值,求得函数y=Asin(ωx+φ)+k 在指定区间上的最值,其一般步骤如下:▲技法点拨 在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:(1)先确定函数的定义域;(2)将已知函数化简为y=Asin(ωx+φ)+k 的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;(3)将ωx+φ视为一个整体.跟踪训练9.已知函数f(x)=sin 2x －sin 2(x －π6),x ∈R. (1)求f (π6)的值;(2)求f(x)在区间[－π3,π4]上的最大值和最小值.模板十 边角互化解三角形例10 △ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=√63,B=A+π2.(1)求b 的值; (2)求△ABC 的面积.解析 (1)在△ABC 中,由题意知,sin A=√1－cos 2A =√33.因为B=A+π2,所以sin B=sin (A +π2)=cos A=√63.(找条件) 由正弦定理,得b=asinB sinA =3×√63√33=3√2.(用定理)(2)由余弦定理得cos A=b 2+c 2－a 22bc =√63(用定理)⇒c 2－4√3c+9=0 ⇒c 1=√3,c 2=3√3.又因为B=A+π2为钝角,所以b>c,则c=√3, 所以S △ABC =12acsin B=3√22.(得结果) ▲模板构建 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题,需注意灵活利用正弦定理或余弦定理,合理转化已知条件中的边角关系.此方法适用于已知条件是边的关系、角的三角函数关系或边角混合的关系的问题.解题步骤如下:▲技法点拨 解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,两个定理都有可能用到. 跟踪训练10.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且b －c a=sinA －sinC sinB+sinC .(1)求B;(2)若a+c=5,△ABC 的面积为3√32,求b.模板十一 利用基本不等式求最值 例11 函数f(x)=12x －1+4x (x >12)的最小值为 .答案 2+2√2解析 解法一(拼凑法):f(x)=12x －1+4x=24x －2+(4x －2)+2,(巧拼凑)因为x>12,所以4x －2>0,且24x －2×(4x －2)=2,(找定值)由基本不等式可得24x －2+(4x －2)+2≥2√24x －2×(4x －2)+2=2√2+2当且仅当24x －2=4x －2,即x=12+√24时,等号成立.故函数的最小值为2+2√2.(求最值) 解法二(换元法):设t=2x －1,则x=t+12.(换元)因为x>12,所以t>0.故y=1t +4×t+12=1t +2t+2,(巧拼凑)由基本不等式可得1t +2t ≥2√1t ×2t =2√2(当且仅当1t =2t,即t =√22时,等号成立). 所以y=1t +2t+2≥2√2+2,即f(x)的最小值为2+2√2.(求最值)▲模板构建 拼凑法的关键在于对函数解析式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解函数最值的步骤如下:▲技法点拨 利用拼凑法求解函数的最值应注意以下几个方面:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及解析式中常数的调整,进行等价变形,如本题解法一中根据解析式的特征把12x －1变为24x －2,才能得到两式的乘积为定值,此类变形很容易忽视常数的调节,从而导致求错最值;(2)解析式的变形以拼凑出和或积的定值为目标,明确拼凑的目的,也就找到了拼凑的方向;(3)拆项、添项应注意函数定义域的限制,注意检验利用基本不等式的前提. 跟踪训练11.若a>0,b>0,lg a+lg b=lg(a+b),则a+b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2模板十二 不等式恒成立问题例12 已知x>0,y>0,且2x +1y =1,若x+2y>m 2+2m 恒成立,则实数m 的取值范围为 .答案 (－4,2)解析 记t=x+2y,由不等式恒成立可得m 2+2m<t min .(分离参数) 因为2x +1y =1,所以t=x+2y=(x+2y)(2x +1y )=4+4y x +xy .而x>0,y>0,所以4y x +xy ≥2√4y x ·xy =4当且仅当4y x =xy ,即x=2y 时等号成立. 所以t=4+4y x +xy ≥4+4=8,即t min =8.(求最值) 故m 2+2m<8,即(m －2)(m+4)<0,(建关系) 解得－4<m<2.(求范围)所以实数m 的取值范围为(－4,2).▲模板构建 分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,解题步骤如下:▲技法点拨用分离参数法求解不等式恒成立问题的关键在于准确根据不等式的结构特征分离参数,其实质就是通过分离参数转化为代数式的最值问题.(1)分离参数时,要注意参数的系数的符号是否发生变化,当参数的系数为负时,不等号的方向要发生变化;遵循变号一般不分离的原则,避免过多地进行分类讨论.(2)准确利用不等式恒成立建立参数与代数式的最值之间的关系.如①f(x)>a恒成立,则a<f(x)min;②f(x)≥a恒成立,则a≤f(x)min;③f(x)<a恒成立,则a>f(x)max;④f(x)≤a恒成立,则a≥f(x)max.(3)不等式有解时求解参数取值范围的问题要注意以下几点:①f(x)>a能成立(有解),则a<f(x)max;②f(x)≥a能成立(有解),则a≤f(x)max;③f(x)<a能成立(有解),则a>f(x)min;④f(x)≤a能成立(有解),则a≥f(x)min.跟踪训练12.若两个正实数x,y满足1x +4y=1,且不等式x+y4<m2－3m有解,则实数m的取值范围是()A.(－1,4)B.(－∞,－1)∪(4,+∞)C.(－4,1)D.(－∞,0)∪(3,+∞)模板十三数列的通项公式、求和例13已知数列{1a n }是等差数列,且a3=18,a2=4a7.(1)求{a n}的通项公式;(2)若b n =a n a n+1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设等差数列{1a n}的公差为d,由题意知1a 3=8,1a 2=14a 7,(找关系)即1a 1+2d=8,1a 1+d=14(1a 1+6d),解得1a 1=2,d=3,于是1a n=2+3(n －1),整理得a n =13n －1.(求通项公式)(2)由(1)知a n =13n －1,故b n =a n a n+1 =1(3n －1)(3n+2)=13(13n －1－13n+2),(求通项公式,定方法)所以S n =13(12－15+15－18+…+13n －1－13n+2)=13(12－13n+2) =n 2(3n+2).(得结论)▲模板构建 数列的通项公式、求和问题的解题步骤:▲技法点拨(1)用错位相减法求和时,应注意:一要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形;二是在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式.(2)用裂项相消法求和时,要注意有哪些项被消去,哪些项被保留,且要掌握一些常见的裂项(如:1n(n+1)=1n－1n+1等).(3)用分组法求和时,要注意观察数列的特点和规律,在分析数列通项公式的基础上,或分解为基本数列求和,或转化为基本数列求和.还要注意在含有字母的数列中对字母的讨论.跟踪训练13.已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n,且对任意的n∈N*,都有2S n=a n2+a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)数列{b n}满足b1=1,2b n+1－b n=0(n∈N*).若c n=a n b n,求数列{c n}的前n项和T n.模板十四空间中的平行与垂直例14如图,平面ABB1A1为圆柱的轴截面,点C为底面圆周上异于A,B的任意一点,点O1,O分别为两底面圆的圆心.(1)求证:BC⊥平面A1AC;(2)若D为AC的中点,求证:A1D∥平面O1BC.证明(1)因为AB为☉O的直径,点C为☉O上异于A,B的任意一点,所以BC⊥AC.(巧转化)又在圆柱中,AA1⊥底面☉O,所以AA1⊥BC,而AA1∩AC=A,(用定理)所以BC⊥平面A1AC.(得结论)(2)如图,取BC的中点E,连接DE,O1E.因为D为AC的中点,AB.(巧转化)所以在△ABC中,DE∥AB,且DE=12AB,所以DE∥A1O1,且DE=A1O1,所以四边形A1DEO1为又在圆柱中,A1O1∥AB,且A1O1=12平行四边形,所以A1D∥O1E.又A1D⊄平面O1BC,EO1⊂平面O1BC,(用定理)所以A1D∥平面O1BC.(得结论)▲模板构建证明空间中的平行与垂直问题的步骤如下:▲技法点拨在利用定理时应注意条件的完整性与合理性,不能随意添加、删减相关条件,否则就会得到错误的结果.跟踪训练14.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.模板十五空间点面距离的求法例15如图,在四棱锥S－ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.(1)求证:直线SC⊥平面AMN;(2)求点N到平面ACM的距离.解析(1)证明:由条件易知DC⊥SA,DC⊥DA,又SA∩DA=A,所以DC⊥平面SAD,又AM⊂平面SAD,所以DC⊥AM.因为SA=AD,M是SD的中点,所以AM⊥SD.又DC∩SD=D,所以AM ⊥平面SDC, 又SC ⊂平面SDC, 所以AM ⊥SC.(找垂直)又SC ⊥AN,AN ∩AM=A,所以SC ⊥平面AMN.(用定理) (2)设点N 到平面ACM 的距离为h,连接DN. 由题意易知,在Rt △SAC 中,AC=2√2,SA=2,则SC=2√3, 由射影定理可知CN=AC 2SC =4√33,故CN=23SC.从而V 三棱锥N －ACM =V 三棱锥M －ANC =12V 三棱锥D －ANC =12V 三棱锥N －ACD =12×23V 三棱锥S －ACD =12×23×13×12×2×2×2=49.(列体积等式) 又由(1)得AM ⊥MC,且易知MA=√2,AC=2√2,则MC=√6, 故S △AMC =12MA ·MC=12×√2×√6=√3.(求底面积) 而V 三棱锥N －ACM =13S △AMC ·h=49,故h=4√39. 所以点N 到平面ACM 的距离为4√39.(得结论) ▲模板构建 利用等体积法求点面距离的解题步骤如下:▲技法点拨 利用等积变换法求解点到面的距离,其关键在于构造出四面体,构造的四面体必须具备两大条件:(1)所求距离中的点必须是四面体的一个顶点,四面体的其余三个顶点必须在所求距离中的对应平面内;(2)该四面体的体积求解方便. 跟踪训练15.如图1,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD ∥AB,AD=CD=12AB=2,点E 为AC 的中点,将△ADC 沿AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC,得到几何体D －ABC,如图2所示. (1)在CD 上找一点F,使AD ∥平面EFB; (2)求点C 到平面ABD 的距离.模板十六 概率的求法例16 如图,在矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,点F 为边AD 的中点,AE 和BF 相交于点O,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q,则点Q 取自△AOB 内部的概率等于( )A.110B.18C.14D.15答案 D解析 设AB=x,BC=y.易知所求事件的概率涉及相关图形的面积.(定性) 过点O 向AB 作垂线,垂足为G,过点E 向AB 作垂线,垂足为H,则AD ∥OG ∥EH. 则有OG EH =AGAH , ①OG AF =BG AB. ②又AF=12AD,EH=BC,AH=HB,结合①②解得OG=25y, 所以S △AOB =12AB ·OG=15xy.(定量)由几何概型的概率公式得所求的概率P=S△AOBS矩形ABCD =15xyxy=15.(定值)▲模板构建求解概率问题的一般步骤:▲技法点拨 1.求解古典概型概率的关键:(1)理解古典概型的两个特征:①试验的所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个基本事件出现的可能性相等.(2)掌握古典概型的概率计算公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.(3)常用列表法、画树状图法等方法求基本事件的个数.2.求解有关几何概型概率问题的关键在于弄清题中的考察对象及其活动范围.当考察对象为点且点在线段上(平面区域、空间区域内)活动时,用线段长度比(面积比、体积比)计算.跟踪训练16.甲在微信群中发一个6元“拼手气”红包,被乙、丙、丁三人抢完.若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“手气最佳”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.34B.13C.310D.25模板十七圆锥曲线的最值问题例17平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,且点(√3,12)在椭圆C上.(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆E:x 24a 2+y 24b 2=1,P 为椭圆C 上任意一点,过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A,B 两点,射线PO 交椭圆E 于点Q.(i)求|OQ||OP|的值;(ii)求△ABQ 面积的最大值.解析(1)由题意知3a 2+14b 2=1,又√a 2－b 2a =√32,解得a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆E 的方程为x 216+y 24=1. (i)设P(x 0,y 0),|OQ||OP|=λ(λ>0), 由题意知Q(－λx 0,－λy 0).因为x 024+y 02=1,又(－λx 0)216+(－λy 0)24=1,即λ24(x 024+y 02)=1,所以λ=2或λ=－2(舍去),所以|OQ||OP|=2. (ii)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),(设点的坐标) 将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－16=0,(联立方程转化) 则有x 1+x 2=－8km1+4k 2,x 1x 2=4m 2－161+4k 2,所以|x 1－x 2|=4√16k 2+4－m 21+4k 2.由Δ>0,可得m 2<4+16k 2. ①因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB 的面积S=12|m|·|x 1－x 2|=2|m|√16k 2+4－m 21+4k 2=2√(16k 2+4－m 2)m 21+4k 2=2√(4－m 21+4k 2)m 21+4k 2.设m 21+4k 2=t.(设出参数)将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2－4=0, 由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2. ②由①②可知0<t ≤1,S=2√(4－t)t =2√－t 2+4t ,(目标函数) 故S ≤2√3,当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时,S 取得最大值2√3.由(i)知△ABQ 的面积为3S,所以△ABQ 面积的最大值为6√3.(得出结论) ▲模板构建 与圆锥曲线有关的最值问题的解题步骤:▲技法点拨 有关圆锥曲线的最值问题类型多样且解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:代数法和几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立目标函数,再求这个函数的最值. 跟踪训练17.如图,已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且过点(2,√3),直线l 1:y=kx+m(m>0)与圆C 2:(x －1)2+y 2=1相切,且与椭圆C 1交于A,B 两点. (1)求椭圆C 1的方程;(2)过原点O 作l 1的平行线l 2交椭圆于C,D 两点,设|AB|=λ|CD|,求λ的最小值.模板十八 圆锥曲线中的定点问题例18 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点为F,且经过点A(0,1).过点F 所作直线AF 的垂线经过点B(－2,1),点O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程;(2)点M(x 1,y 1)(y 1≠0)是椭圆C 上的一点,直线MF 与椭圆C 的另一个交点为N(x 2,y 2),直线l:x 1x a 2+y 1yb 2=1与直线x=－2交于点D.求证:直线OD 恰好经过线段MN 的中点.解析 (1)依题意得b=1.设F(－c,0)(c>0),(设点的坐标) 则直线AF 的斜率k AF =1－00+c =1c .因为AF ⊥BF,所以直线BF 的方程为y=－c(x+c).(用垂直) 将(－2,1)代入y=－c(x+c)得1=－c(－2+c),解得c=1. 所以a 2=b 2+c 2=2,所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(得结果) (2)证明:由(1)知直线l 的方程为x 1x 2+y 1y=1,即x 1x+2y 1y=2,由{x 1x +2y 1y =2,x =－2,得{x =－2,y =x 1+1y 1,即D (－2,x 1+1y 1).①若直线MF ⊥x 轴,则x 1=－1,MN 的中点为F(－1,0). 由椭圆的对称性,不妨取y 1=－√22, 所以y D =x 1+1y 1=－1+1－√22=0.所以直线OD 即x 轴,恰好经过线段MN 的中点.②若直线MF 与x 轴不垂直,设其方程为y=k(x+1)(k ≠0).如图.(设出参数)则y D =x 1+1y 1=x 1+1k(x 1+1)=1k,即D (－2,1k ),所以直线OD 的方程为y=－12k x.(求直线系方程) 由{y =k(x +1),x 2+2y 2=2得(1+2k 2)x 2+4k 2x+2(k 2－1)=0, 所以x 1+x 2=－4k 21+2k 2.设线段MN 的中点为P(x P ,y P ), 则x P =12(x 1+x 2)=－2k 21+2k 2, y P =k(x P +1)=k1+2k 2,(求定点坐标) 所以y P =x P －2k,所以点P 在直线OD 上,即直线OD 恰好经过线段MN 的中点. 综上所述,直线OD 恰好经过线段MN 的中点.(得出结论)▲模板构建 求解以圆锥曲线为背景的直线过定点问题的解题步骤:▲反思提升 解决此类问题的关键在于利用坐标运算准确建立目标等式,根据目标等式恒成立的条件列出定点坐标所满足的方程或方程组.注意:设直线方程的依据是点的坐标之间的关系,若横坐标之间的关系比较明确,则应该消去y,设直线方程为y=kx+b 的形式,此时需要根据“直线的斜率是否存在”进行讨论或说明;若纵坐标之间的关系比较明确,则应该消去x,设直线方程为x=my+t 的形式,此时m 等于直线的斜率的倒数,需要根据“直线的斜率是不是零”进行讨论或说明. 跟踪训练18.已知椭圆Γ的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),离心率e=√33,点P (√62,1)在椭圆Γ上. (1)求椭圆Γ的方程;(2)过Γ的右焦点F 作两条弦AB,CD,满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明直线MN 必过定点,并求此定点.模板十九圆锥曲线中的定值问题例19已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)在C上.(1)求C的方程;(2)若直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析(1)依题意有{ca =√22,22 a2+(√2)2b2=1,c2=a2－b2,解得{a2=8,b2=4,所以椭圆C的方程为x 28+y24=1.(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0),(引进参数) A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M),由{y=kx+m,x28+y24=1得(2k2+1)x2+4kmx+2m2－8=0,(联立方程)所以x1+x2=－4km2k2+1.因为线段AB的中点为M,所以x M=x1+x22=－2km2k2+1,所以y M=kx M+m=m2k2+1,所以直线OM的斜率k OM=y Mx M =－12k,所以k OM·k=－12,即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值－12.(求出定值)▲模板构建圆锥曲线中的定值问题的解题步骤如下:▲反思提升 破解圆锥曲线中的定值问题的易错点是分类讨论缺失,此类题应该注意考虑问题的各种可能性,特别是在涉及直线的斜率时,要注意直线的斜率不存在的情况,同时要注意问题的转化及平面几何知识的运用. 跟踪训练19.设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b ≥1)的离心率e=√22,右焦点到直线2ax+by －√2=0的距离为√23. (1)求椭圆C 的方程;(2)过原点O 作两条互相垂直的射线,与椭圆C 分别交于A,B 两点,证明点O 到直线AB 的距离为定值,并求弦AB 长度的最小值. 模板二十 圆锥曲线中的探索性问题例20 已知定点C(－1,0)及椭圆x 2+3y 2=5,过点C 的动直线与椭圆相交于A,B 两点.(1)若线段AB 中点的横坐标是－12,求直线AB 的方程;(2)在x 轴上是否存在点M,使MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解析 (1)依题意知,直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=k(x+1), 将y=k(x+1)代入x 2+3y 2=5,消去y,整理得(3k 2+1)x 2+6k 2x+3k 2－5=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=－6k 23k 2+1. 由线段AB 中点的横坐标是－12,得x 1+x 22=－3k 23k 2+1=－12,解得k=±√33,经检验,符合题意.所以直线AB 的方程为x －√3y+1=0或x+√3y+1=0.。

2019年高考文科数学（通用版）二轮复习解答题训练共八套PS ：答案及解析页码为：14～35页专题一：解三角形1.已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos A ，cos 2A )，n ＝(12，－5)，边长a ＝4，当m ·n 取最大值时，求b 的值.2.已知△ABC 中， AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.3.已知函数f (x )＝1＋23sin x 2cos x 2－2cos 2x2，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求f (A )的取值范围；(2)若A 为锐角且f (A )＝2，2sin A ＝sin B ＋2sin C ，△ABC 的面积为3＋34，求b 的值.4.(2018·北京11中模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且相邻两条对称轴的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式及其在[0，π]上的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12，求角A 的大小.专题二：数 列1.在等差数列{a n }中， a 1＝－2，a 12＝20. (1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，求数列{3b n }的前n 项和S n .2.(2018·巩义模拟)已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n ＋2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.3.(2018·衡水金卷模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋1a n ，且b 1＝a 6，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .4.(2018·大庆模拟)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 9＝81.记b n ＝[log 5a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[log 516]＝1. (1)求b 1，b 14，b 61； (2)求数列{b n }的前200项和.专题三：立体几何1.如图，在三棱柱ABF －DCE 中， ∠ABC ＝120°， BC ＝2CD, AD ＝AF , AF ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥EC ；(2)若AB ＝1，求四棱锥B －ADEF 的体积.2.如图，在△BCD 中，∠BCD ＝90°，BC ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB ＝60°，E ，F 分别是AC ，AD 上的动点，且AE AC ＝AFAD＝λ(0<λ<1).(1)求证：无论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； (2)是否存在实数λ，使得平面BEF ⊥平面ACD .3.如图，在四棱锥P —ABCD 中，PC ＝AD ＝CD ＝12AB ＝2，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，PC ⊥平面ABCD .(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)若M 为线段P A 的中点，且过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A —CMN 的高.4.(2018·乐山联考)如图， AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点， PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值.专题四：解析几何1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且C 过点⎝⎛⎭⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P ，Q 均在第一象限)，且直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，证明：直线l 的斜率为定值.2.已知抛物线Γ：x 2＝2py (p >0)，直线y ＝2与抛物线Γ交于A ，B (点B 在点A 的左侧)两点，且|AB |＝43.(1)求抛物线Γ在A ，B 两点处的切线方程；(2)若直线l 与抛物线Γ交于M ，N 两点，且MN 的中点在线段AB 上，MN 的垂直平分线交y 轴于点Q ，求△QMN 面积的最大值.3.已知A ，F 分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点、右焦点，点P 为椭圆C 上一动点，当PF ⊥x 轴时，|AF |＝2|PF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若椭圆C 上存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形(点P 在第一象限)，求直线AP 与OQ 的斜率之积； (3)记圆O ：x 2＋y 2＝aba 2＋b 2为椭圆C 的“关联圆”. 若b ＝3，过点P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M ，N ，直线MN 在x 轴和y 轴上的截距分别为m ，n ，求证：3m 2＋4n 2为定值.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过点A且斜率为12的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P 且斜率大于12的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |>|PN |)，若S △P AM ∶S △PBN ＝λ，求实数λ的取值范围.专题五：概率与统计1.(2018·安徽省六安一中适应性考试)全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2019年1月某日起连续n天监测空气质量指数(AQⅠ)，数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n，m的值，并完成频率分布直方图；(2)在空气质量指数分别属于[50,100)和[150,200)的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，再从中任意选取2天，求事件A“两天空气质量等级都为良”发生的概率.2.为了丰富退休生活，老王坚持每天健步走，并用计步器记录每天健步走的步数.他从某月中随机抽取20天的健步走步数(老王每天健步走的步数都在[6,14]之间，单位：千步)，绘制出频率分布直方图(不完整)如图所示.(1)完成频率分布直方图，并估计该月老王每天健步走的平均步数(每组数据可用区间中点值代替)；(2)某健康组织对健步走步数的评价标准如下表：现从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，求这2天的健步走结果属于同一评价级别的概率.3.为了解某地区某种农产品的年产量x (单位：吨)对价格y (单位：千元/吨)和利润Z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(1)求y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量约为多少时，年利润Z 取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .4.某校高二奥赛班N 名学生的物理测评成绩(满分120分)的频率分布直方图如下，已知分数在100～110的学生有21人.(1)求总人数N 和分数在110～115的人数n ；(2)现准备从分数在110～115的n 名学生⎝⎛⎭⎫女生占13中任选2人，求其中恰好有一名女生的概率；(3)为了分析某个学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议，对他前7次考试的数学成绩x (满分150分)，物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩.已知该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，若该生的数学成绩达到130分，请你估计他的物理成绩大约是多少？附：b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2，a ^＝y －b ^x .专题六：函数与导数1.已知函数f (x )＝2x 2＋x＋ln x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求证：f (x )>0.2.已知函数f (x )＝ln x, g (x )＝f (x )＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴.(1)确定a 与b 的关系；(2)若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性.3.已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝(－x 2＋ax －3)e x (a 为实数). (1)当a ＝5时，求函数g (x )的图象在x ＝1处的切线方程； (2)求f (x )在区间[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，使方程g (x )＝2e x f (x )成立，求实数a 的取值范围.4.(2018·安徽省六安一中模拟)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋a ln x (a 为实常数).(1)若a ＝－2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)若存在x ∈[1，e]，使得f (x )≤0成立，求实数a 的取值范围.专题七：坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)过点M (－1,0)且与直线l 平行的直线l 1交C 于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.2.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 2：ρ＝8sin θ.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)判断直线C 1与曲线C 2的位置关系，若相交，求出弦长.3.(2018·河北省武邑中学期中)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，曲线C 3的极坐标方程为θ＝π6(ρ>0). (1)求曲线C 1的极坐标方程和C 3的直角坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△C 1PQ 的面积.4.已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1与C 2交点的平面直角坐标；(2)A ，B 两点分别在曲线C 1与C 2上，当|AB |最大时，求△AOB 的面积(O 为坐标原点).专题八：不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.答案及解析专题一：解三角形1.解 (1)由题意得，a sin A ＋c sin C －b sin B ＝2a sin C ，∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22， ∵B ∈(0，π)， ∴B ＝π4. (2)∵m ·n ＝12cos A －5cos 2A ＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435， ∴当cos A ＝35时，m ·n 取最大值，此时sin A ＝45. 由正弦定理得，b ＝a sin B sin A ＝522. 2.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ， 由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π3－C ， 所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ， 所以12cos C ＝32sin C ， 即tan C ＝33. 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2. (2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332， 在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC， 故sin ∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.解 (1)f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，∴f (A )＝2sin ⎝⎛⎭⎫A －π6，由题意知，0<A <π，则A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，5π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫A －π6∈⎝⎛⎦⎤－12，1， 故f (A )的取值范围为(－1,2].(2)由题意知，sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝22，∵A 为锐角，即A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3， ∴A －π6＝π4，即A ＝5π12. 由正、余弦定理及三角形的面积公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝b ＋2c ，12bc ·sin 5π12＝3＋34，cos 5π12＝b 2＋c 2－a 22bc ，解得b ＝ 2.4.解 (1)由相邻两条对称轴的距离为π2，可得其周期为T ＝2π＝π，所以ω＝2，由图象过点⎝⎛⎭⎫π4，32，且ω>0,0<φ<π2，得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＋cos A ＝12， 可得sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＋cos A ＝12， 则32sin A ＋12cos A ＝12，得sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝12， 因为0<A <π，所以π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝5π6， 所以A ＝2π3. 专题二：数 列1.解 (1)因为a n ＝－2＋(n －1)d ，所以a 12＝－2＋11d ＝20，于是d ＝2，所以a n ＝2n －4(n ∈N *).(2)因为a n ＝2n －4，所以a 1＋a 2＋…＋a n ＝n (2n －6)2＝n (n －3)，于是 b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n＝n －3，令c n ＝3b n ，则c n ＝3n －3， 显然数列{c n }是等比数列，且c 1＝3－2，公比q ＝3，所以数列{3b n }的前n 项和S n ＝c 1()1－q n 1－q ＝3n －118(n ∈N *). 2.(1)解 由条件可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，且首项为2，公差为2，所以1a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故a n ＝12n(n ∈N *). (2)证明 依题意可知a 2n ＝⎝⎛⎭⎫12n 2＝14·1n 2<14·1n ·1n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ≥2，n ∈N *. 又因为a 21＝14， 所以a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n < 14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝14⎝⎛⎭⎫2－1n <14×2＝12. 故a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12. 3.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝5,3a 5＋a 9＝S 6，得3(5＋4d )＋(5＋8d )＝6×5＋6×52d ，解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)由(1)得，b 1＝a 6＝2×6＋3＝15.又因为b n ＋1＝a n ＋1a n ，所以当n ≥2时，b n ＝a n a n －1＝(2n ＋3)(2n ＋1)，当n ＝1时，b 1＝5×3＝15，符合上式，所以b n ＝(2n ＋3)(2n ＋1)(n ∈N *).所以1b n ＝1(2n ＋3)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝n 3(2n ＋3)(n ∈N *). 4.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知S 9＝81，根据等差数列的性质可知，S 9＝9a 5＝9(a 1＋4d )＝81，∴a 1＋4d ＝9.∵a 1＝1，∴d ＝2，∴a n ＝2n －1，∴b 1＝[log 51]＝0，b 14＝[log 527]＝2，b 61＝[log 5121]＝2.(2)当1≤n ≤2时，1≤a n ≤3(a n ∈N *)，b n ＝[log 5a n ]＝0，共2项；当3≤n ≤12时，5≤a n ≤23，b n ＝[log 5a n ]＝1，共10项；当13≤n ≤62时，25≤a n ≤123，b n ＝[log 5a n ]＝2，共50项；当63≤n ≤200时，125≤a n ≤399，b n ＝[log 5a n ]＝3，共138项.∴数列{b n }的前200项和为2×0＋10×1＋50×2＋138×3＝524.专题三：立体几何1.(1)证明 已知ABF －DCE 为三棱柱，且AF ⊥平面ABCD ，∴DE ∥AF ，ED ⊥平面ABCD .∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，又ABCD为平行四边形，∠ABC＝120°，故∠BCD＝60°，又BC＝2CD，故∠BDC＝90°，故BD⊥CD，∵ED∩CD＝D，ED，CD⊂平面ECD，∴BD⊥平面ECD，∵EC⊂平面ECD，故BD⊥EC.(2)解由BC＝2CD得AD＝2AB，∵AB＝1，故AD＝2，作BH⊥AD于点H，∵AF⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴AF⊥BH，又AD∩AF＝A，AD，AF⊂平面ADEF，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC＝120°，∴在△ABH中，∠BAH＝60°，又AB＝1，∴BH＝3 2，∴V B－ADEF＝13×(2×2)×32＝233.2.(1)证明∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，∴CD⊥平面ABC.又∵AEAC＝AFAD＝λ(0<λ<1)，∴无论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴无论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解假设存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD. 由(1)知BE⊥EF，∵平面BEF ⊥平面ACD ，平面BEF ∩平面ACD ＝EF ，BE ⊂平面BEF ，∴BE ⊥平面ACD .又∵AC ⊂平面ACD ，∴BE ⊥AC .∵BC ＝CD ＝1，∠BCD ＝∠ABD ＝90°，∠ADB ＝60°，∴BD ＝2，∴AB ＝2tan 60°＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝7.由Rt △AEB ∽Rt △ABC ，得AB 2＝AE ·AC ，∴AE ＝67， ∴λ＝AE AC ＝67. 故当λ＝67时，平面BEF ⊥平面ACD . 3.(1)证明 连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝22，BC ＝(AB －CD )2＋AD 2＝22，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC ⊥BC .又PC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PC ⊥BC ，又AC ∩PC ＝C ，AC ，PC ⊂平面P AC ，故BC ⊥平面P AC .(2)解 N 为PB 的中点，连接MN ，CN .因为M 为P A 的中点，N 为PB 的中点，所以MN ∥AB ，且MN ＝12AB ＝2. 又因为AB ∥CD ，所以MN ∥CD ，所以M ，N ，C ，D 四点共面，所以N 为过C ，D ，M 三点的平面与线段PB 的交点.因为BC ⊥平面P AC ，N 为PB 的中点，所以点N 到平面P AC 的距离d ＝12BC ＝ 2. 又S △ACM ＝12S △ACP ＝12×12×AC ×PC ＝2， 所以V 三棱锥N —ACM ＝13×2×2＝23. 由题意可知，在Rt △PCA 中，P A ＝AC 2＋PC 2＝23，CM ＝3，在Rt △PCB 中，PB ＝BC 2＋PC 2＝23， CN ＝3，所以S △CMN ＝12×2×2＝ 2. 设三棱锥A —CMN 的高为h ，V 三棱锥N —ACM ＝V 三棱锥A —CMN ＝13×2×h ＝23， 解得h ＝2，故三棱锥A —CMN 的高为 2.4.(1)证明 在△AOC 中，因为OA ＝OC, D 为AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以PO ⊥AC .因为DO ∩PO ＝O ，DO ，PO ⊂平面PDO ，所以AC ⊥平面PDO .(2)解 因为点C 在圆O 上，所以当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1.又AB ＝2，所以△ABC 面积的最大值为12×2×1＝1. 又因为三棱锥P －ABC 的高PO ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13. (3)解 在△POB 中，PO ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，所以PB ＝12＋12＝ 2.同理PC ＝2，所以PB ＝PC ＝BC .在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面C ′PB ，使之与平面ABP 共面，如图所示.当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值. 又因为OP ＝OB ，C ′P ＝C ′B ， 所以OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点. 从而OC ′＝OE ＋EC ′＝22＋62＝2＋62，即CE ＋OE 的最小值为2＋62.专题四：解析几何1.(1)解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，1a 2＋34b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0， ∵直线l 与椭圆交于两点，∴Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2. ∵直线OP ，l ，OQ 的斜率成等比数列，∴k 2＝y 2x 2·y 1x 1＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2，整理得km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0， 又m ≠0，∴k 2＝14，结合图象(图略)可知k ＝－12，故直线l 的斜率为定值.2.解 (1)由x 2＝2py ，令y ＝2，得x ＝±2p ，所以4p ＝43，解得p ＝3，所以x 2＝6y ，由y ＝x 26，得y ′＝x 3，故y ′|x ＝23＝233. 所以在A 点的切线方程为y －2＝233(x －23)，即2x －3y －23＝0，同理可得在B 点的切线方程为2x ＋3y ＋23＝0.(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0，故设l ：y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x 2＝6y 与y ＝kx ＋m 联立， 得x 2－6kx －6m ＝0，Δ＝36k 2＋24m >0， 所以x 1＋x 2＝6k ，x 1x 2＝－6m ， 故|MN |＝1＋k 2·36k 2＋24m ＝23·1＋k 2·3k 2＋2m .又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6k 2＋2m ＝4，所以m ＝2－3k 2，所以|MN |＝23·1＋k 2·4－3k 2， 由Δ＝36k 2＋24m >0，得－233<k <233且k ≠0.因为MN 的中点坐标为(3k,2)，所以MN 的垂直平分线方程为y －2＝－1k (x －3k )，令x ＝0，得y ＝5，即Q (0,5)，所以点Q 到直线kx －y ＋2－3k 2＝0的距离d ＝|－5＋2－3k 2|1＋k2＝31＋k 2，所以S △QMN ＝12·23·1＋k 2·4－3k 2·31＋k 2＝33·(1＋k 2)2(4－3k 2).令1＋k 2＝u ，则k 2＝u －1，则1<u <73，故S △QMN ＝33·u 2(7－3u ).设f (u )＝u 2(7－3u )，则f ′(u )＝14u －9u 2，结合1<u <73，令f ′(u )>0，得1<u <149；令f ′(u )<0，得149<u <73，所以当u ＝149，即k ＝±53时，(S △QMN )max ＝33×1497－3×149＝1473. 3.(1)解 由PF ⊥x 轴，知x P ＝c ，代入椭圆C 的方程， 得c 2a 2＋y 2Pb 2＝1，解得y P ＝±b 2a. 又|AF |＝2|PF |，所以a ＋c ＝2b 2a ，所以a 2＋ac ＝2b 2，即a 2－2c 2－ac ＝0，所以2e 2＋e －1＝0， 由0<e <1，解得e ＝12.(2)解 因为四边形AOPQ 是平行四边形， 所以PQ ＝a 且PQ ∥x 轴，所以x P ＝a 2，代入椭圆C 的方程，解得y P ＝±32b ，因为点P 在第一象限，所以y P ＝32b ， 同理可得x Q ＝－a 2，y Q ＝32b ，所以k AP k OQ ＝3b2a 2－(－a )·3b2－a 2＝－b 2a 2，由(1)知e ＝c a ＝12，得b 2a 2＝34，所以k AP k OQ ＝－34.(3)证明 由(1)知e ＝c a ＝12，又b ＝3，解得a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝237. ①连接OM ，ON (图略)，由题意可知，OM ⊥PM ，ON ⊥PN ， 所以四边形OMPN 的外接圆是以OP 为直径的圆，设P (x 0，y 0)，则四边形OMPN 的外接圆方程为⎝⎛⎭⎫x －x 022＋⎝⎛⎭⎫y －y 022＝14(x 20＋y 20)， 即x 2－xx 0＋y 2－yy 0＝0.②①－②，得直线MN 的方程为xx 0＋yy 0＝237，令y ＝0，则m ＝237x 0，令x ＝0，则n ＝237y 0.所以3m 2＋4n 2＝49⎝⎛⎭⎫x 204＋y 203， 因为点P 在椭圆C 上，所以x 204＋y 203＝1，所以3m 2＋4n 2＝49(为定值).4.解 (1)因为BF 1⊥x 轴，得到点B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b 2a ，所以⎩⎨⎧ a ＝2，b 2a (a ＋c )＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)因为S △P AM S △PBN ＝12|P A ||PM |·sin ∠APM12|PB ||PN |·sin ∠BPN ＝2·|PM |1·|PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ2(λ>2)，所以PM →＝－λ2PN →.由(1)可知P (0，－1)，设MN 方程为y ＝kx －1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y 23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0，Δ>0恒成立，即得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝8k4k 2＋3，x 1·x 2＝－84k 2＋3，(*)又PM →＝(x 1，y 1＋1)，PN →＝(x 2，y 2＋1)，有x 1＝－λ2x 2，将x 1＝－λ2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.因为k >12，所以16k 24k 2＋3＝163k 2＋4∈(1,4)，则1<(2－λ)λ2<4且λ>2，即得4<λ<4＋2 3.综上所述，实数λ的取值范围为(4,4＋23).专题五：概率与统计1.解 (1)∵0.004×50＝20n，∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25，40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.(2)在空气质量指数为[50,100)和[150,200)的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为[50,100)的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为[150,200)的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10种，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6种，所以事件A “两天空气质量等级都为良”发生的概率是P (A )＝610＝35.2.解 (1)设落在分组[10,12)中的频率为x ，则⎝⎛⎭⎫0.05＋0.075＋x2＋0.125×2＝1，得x ＝0.5， 所以各组中的频数分别为2,3,10,5. 完成的频率分布直方图如图所示：老王该月每天健步走的平均步数约为(7×0.05＋9×0.075＋11×0.25＋13×0.125)×2＝10.8(千步).(2)设评价级别是及格的2天分别为a ，b ，评价级别是良好的3天分别为x ，y ，z ， 则从这5天中任意抽取2天，共有10种不同的结果： ab ，ax ，ay ，az ，bx ，by ，bz ，xy ，xz ，yz ，所抽取的2天属于同一评价级别的结果共4种：ab ，xy ，xz ，yz .所以，从这20天中评价级别是“及格”和“良好”的天数里随机抽取2天，属于同一评价级别的概率P ＝410＝25.3.解 (1)x ＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15(7.0＋6.5＋5.5＋3.8＋2.2)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×7.0＋2×6.5＋3×5.5＋4×3.8＋5×2.2＝62.7，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝62.7－5×3×555－5×32＝－1.23，a ^＝y －b ^x ＝5－(－1.23)×3＝8.69，∴y 关于x 的线性回归方程是y ^＝8.69－1.23x . (2)年利润Z ＝x (8.69－1.23x )－2x ＝－1.23x 2＋6.69x ， ∴当年产量约为2.72吨时，年利润Z 最大.4.解 (1)分数在100～110内的学生的频率为P 1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35， 所以该班总人数N ＝210.35＝60，分数在110～115内的学生的频率为P 2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.1， 分数在110～115内的人数n ＝60×0.1＝6.(2)由(1)可知，分数在110～115内有6名学生，其中女生有2名，男生有4名， 设男生为A 1，A 2，A 3，A 4，女生为B 1，B 2，从6名学生中选出2人的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个.其中恰好有一名女生的基本事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个， 所以所求的概率为P ＝815.(3)x ＝100＋－12－17＋17－8＋8＋127＝100，y ＝100＋－6－9＋8－4＋4＋1＋67＝100.由于x 与y 之间具有线性相关关系，根据公式得到b ^＝497994＝0.5，a ^＝100－0.5×100＝50，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋50，所以当x ＝130时，y ^＝115.所以他的物理成绩的估计值是115分.专题六：函数与导数1.(1)解 f (x )＝2x 2＋x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝－2(2x ＋1)(x 2＋x )2＋1x ＝x 3＋2x 2－3x －2(x 2＋x )2， 所以f ′(1)＝－12，又f (1)＝1，则切线方程为x ＋2y －3＝0. (2)证明 令h (x )＝x 3＋2x 2－3x －2， 则h ′(x )＝3x 2＋4x －3， 设h ′(x )＝0的两根为x 1，x 2， 由于x 1x 2＝－1<0， 不妨设x 1<0，x 2>0，则h (x )在(0，x 2)上是单调递减的，在(x 2，＋∞)上是单调递增的. 而h (0)<0，h (1)<0，h (2)>0，所以h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈(1,2)， 所以f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增. 所以f (x )≥f (x 0)＝2x 20＋x 0＋ln x 0，因为x 0∈(1,2)，ln x 0>0，f (x )>2x 20＋x 0>0，所以f (x )>0.2.解 (1)依题意得g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，x >0，则g ′(x )＝1x＋2ax ＋b ，由函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切线平行于x 轴得， g ′(1)＝1＋2a ＋b ＝0， ∴b ＝－2a －1.(2)由(1)得g ′(x )＝2ax 2－()2a ＋1x ＋1x＝()2ax －1()x －1x.∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时， g ′(x )＝－x －1x ，由g ′()x >0得0<x <1， 由g ′()x <0得x >1； 若0<12a <1，即a >12时，由g ′()x >0得x >1或0<x <12a ，由g ′()x <0得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12时， 由g ′()x >0得x >12a 或0<x <1，由g ′()x <0得1<x <12a；若12a ＝1，即a ＝12时，在()0，＋∞上恒有g ′()x ≥0. 综上得，当a ＝0时，函数g ()x 在(0,1)上单调递增，在()1，＋∞上单调递减；当0<a <12时，函数g ()x 在()0，1上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g ()x 在()0，＋∞上单调递增；当a >12时，函数g ()x 在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减；在()1，＋∞上单调递增.3.解 (1)当a ＝5时，g (x )＝(－x 2＋5x －3)e x ，g (1)＝e ，g ′(x )＝(－x 2＋3x ＋2)e x ，故切线的斜率为g ′(1)＝4e ，所以切线方程为y －e ＝4e(x －1)，即4e x －y －3e ＝0.(2)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞).因为f ′(x )＝ln x ＋1， 所以在(0，＋∞)上，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当t ≥1e 时，在区间[t ，t ＋2]上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (t )＝t ln t ，当0<t <1e 时，在区间⎣⎡⎭⎫t ，1e 上，f (x )为减函数，在区间⎝⎛⎦⎤1e ，t ＋2上，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . (3)由g (x )＝2e xf (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3， 则a ＝x ＋2ln x ＋3x ，令h (x )＝x ＋2ln x ＋3x ，x >0，则h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：因为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (e)＝3e＋e ＋2，h (1)＝4，所以h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0， 所以h (e)<h ⎝⎛⎭⎫1e ，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，3e ＋e ＋2. 4.解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，则f ′(x )＝2x －2x，f ′(1)＝0，所求切线方程为y ＝1.(2)f ′(x )＝2x －(a ＋2)＋a x ＝2x 2－(a ＋2)x ＋a x ＝(2x －a )(x －1)x，x ∈[1，e]. 当a 2≤1，即a ≤2时，x ∈[1，e]，f ′(x )≥0，此时f (x )在[1，e]上单调递增. 所以f (x )的最小值为f (1)＝－a －1，所以－1≤a ≤2；当1<a 2<e ，即2<a <2e ，x ∈⎝⎛⎭⎫1，a 2时，f ′(x )<0，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，a 2上单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫a 2，e 时，f ′(x )>0，f (x )在⎝⎛⎭⎫a 2，e 上单调递增， 所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－a 24－a ＋a ln a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1. 因为2<a <2e ，所以0<ln a 2<1， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a ⎝⎛⎭⎫ln a 2－a 4－1<0恒成立，所以2<a <2e ；当a 2≥e ，即a ≥2e 时，x ∈[1，e]，f ′(x )≤0，此时f (x )在[1，e]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (e)＝e 2－(a ＋2)e ＋a ，因为a ≥2e>e 2－2e e －1，所以f (e)<0， 所以a ≥2e ，综上，a ≥－1.专题七：坐标系与参数方程1.解 (1)曲线C 化为普通方程为x 23＋y 2＝1， 由22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－1，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入x 23＋y 2＝1化简得，2t 2－2t －2＝0， 设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－1，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝1.2.解 (1)由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－t ，y ＝t －1(t 是参数)消去t 得x ＋y －3＝0， 所以直线C 1的普通方程为x ＋y －3＝0.把ρ＝8sin θ的两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以x 2＋y 2＝8y ，即x 2＋(y －4)2＝16，所以曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16.(2)由(1)知，曲线C 2：x 2＋(y －4)2＝16是圆心坐标为(0,4)，半径为4的圆，所以圆心(0,4)到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|0＋4－3|2＝22<4， 所以直线C 1与曲线C 2相交，其弦长为242－⎝⎛⎭⎫222＝62. 3.解 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ.曲线C 3的直角坐标方程为y ＝33x (x >0). (2)依题意，设点P ，Q 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫ρ1，π6， ⎝⎛⎭⎫ρ2，π6，将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23， 将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1， 所以||PQ ＝||ρ1－ρ2＝23－1，依题意得，点C 1到曲线θ＝π6的距离为d ＝||OC 1sin π6＝1， 所以S △C 1PQ ＝12||PQ ·d ＝12()23－1＝3－12. 4.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋2cos θ，y ＝2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝2cos θ，y ＝2sin θ， 所以(x ＋2)2＋y 2＝4，又由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，得x 2＋y 2＝4y ，把两式作差得，y ＝－x ，代入x 2＋y 2＝4y 得交点坐标为(0,0)，(－2,2).(2)如图，由平面几何知识可知，当A ，C 1，C 2，B 依次排列且共线时，|AB |最大，此时|AB |＝22＋4，O 到AB 的距离为2，∴△OAB 的面积为S ＝12(22＋4)·2＝2＋2 2. 专题八：不等式选讲1.解 (1)|x －2a |＋|x －3a |≥|(x －2a )－(x －3a )|＝|a |，当且仅当x 取介于2a 和3a 之间的数时，等号成立，故f (x )的最小值为|a |,∴a ＝±2.(2)由(1)知f (x )的最小值为|a |，故∃a ∈[－2,2]，使m 2－|m |<|a |成立，即 m 2－|m |<2，∴(|m |＋1)(|m |－2)<0，∴－2<m <2.2.解 (1)∵|f (x )|＝||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴－3≤f (x )≤3，∴f (x )min ＝－3，f (x )max ＝3.(2)∵|x －3|＋|x ＋1|≥|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴|x －3|＋|x ＋1|≥4.∴当a ＜4时，|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集为R .又∵|x －3|＋|x ＋1|＞a 的解集不是R ，∴a ≥4.∴a 的取值范围是[4，＋∞).3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎨⎧ －x －4，x <12，3x －6，x ≥12， 由f (x )≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <12，－x －4≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≤－4或x ≥2，故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－4或x ≥2}.(2)令f (x )＝0，得|2x －1|＝5－ax ，则函数f (x )恰有两个不同的零点转化为y ＝|2x －1|与y ＝－ax ＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a <2时，函数f (x )恰有两个不同的零点，故实数a 的取值范围为(－2,2).4.解 (1)f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3m ，x ≥2m ，－2x ＋m ，－m <x <2m ，3m ，x ≤－m ，当m ＝2时，由－2x ＋2≥1得－2<x ≤12， 又当x ≤－2时，f (x )≥1恒成立，所以不等式f (x )≥1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12. (2)不等式f (x )≤|t ＋3|＋|t －2|对任意的实数t ，x 恒成立，等价于对任意的实数x ，f (x )≤(|t ＋3|＋|t －2|)min 恒成立，即f (x )max ≤(|t ＋3|＋|t －2|)min ，∵f (x )＝|x －2m |－|x ＋m |≤|(x ＋m )－(x －2m )|＝3m ，|t ＋3|＋|t －2|≥|(t ＋3)－(t －2)|＝5， ∴3m ≤5，又m >0，∴0<m ≤53.。

2019年高三文科数学高考仿真模拟卷文科数学（2）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2,1,0,1,2U =--，{}21,A x x x U >=∈，则UA =（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,1-C ．{}2,0,2-D ．{}1,0,1-2． i 为虚数单位，若复数()()1i 1i m ++是纯虚数，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．0或13．在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体的一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则左视图可能为（ ）A ．B ．C ．D ．4．若πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A B ． C D ． 5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．932B ．516 C ．38D ．7166．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，则ωϕ⋅=（ ）A ．π6B ．π4C ．π3 D ．2π37．已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（ ） A ．7-B ．9-C ．11-D ．13-8．函数()()2e e x x f x x -=-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．9．过圆2216x y +=上一点P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线，切点分别为A 、B ，若2π3AOB ∠=，则实数m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF △的面积为24a ，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D11．正三棱锥P ABC -中，已知点E 在PA 上，PA ，PB ，PC 两两垂直，4PA =，3PE EA =，正三棱锥P ABC -的外接球为球O ，过E 点作球O 的截面α，则α截球O 所得截面面积的最小值为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π12．已知锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =ABC △周长的最大值为（ ） A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为________．14．设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，则2z x y =-的最大值是________．15．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为____．16．丹麦数学家琴生（Jensen ）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数()f x 在(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(),a b 上的导函数为()''f x ，若在(),a b 上()''0f x <恒成立，则称函数()f x 在(),a b 上为“凸函数”，已知()4323432x t f x x x =-+在()1,4上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列(){}1nn a -⋅的前2n 项和2n T ．18．（12分）某中学为了丰富学生的课外文体活动，分别开设了阅读、书法、绘画等文化活动；跑步、游泳、健身操等体育活动．该中学共有高一学生300名，要求每位学生必须选择参加其中一项活动，现对高一学生的性别、学习积极性及选择参加的文体活动情况进行统计，得到数据如下：（1）在选择参加体育活动的学生中按性别分层抽取6名，再从这6名学生中抽取2人了解家庭情况，求2人中至少有1名女生的概率；（2）是否有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关?请说明你的理由． 附：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分如图，在四棱锥P ABCD -中，DC AB ∥，2DC AB =，平面PCD ⊥平面PAD ，PAD △是正三角形，E 是PD 的中点．（1）求证：AE PC ⊥； （2）求证：AE ∥平面PBC ．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长等于，右焦点F 距C 最远处的距离为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值．21．（12分）已知()()2ln ln a x xf x x+=．（1）求()f x 在()1,0处的切线方程； （2）求证：当1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C交于M ，N 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程（不要求具体过程）； （2）设()2,1P --，若PM ，MN ，PN 成等比数列，求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知0a >，0b >，0c >，设函数()f x x b x c a =-+++，x ∈R ． （1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：()14918a b c a b b c c a++≥+++++．文科数学答案（2）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】211x x >⇒<-或1x >，又x U ∈，则{}2,2A =-，∴{}1,0,1UA =-，故选D ．2．【答案】C【解析】∵()()()()1i 1i 11i m m m ++=-++是纯虚数，∴1010m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =，故选C ．3．【答案】A【解析】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图所示，故选A ．4．【答案】D【解析】由题意可得πππππcos sin sin sin 42444αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选D ． 5．【答案】C【解析】设小正方形的边长为1；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为∴12238P ⨯⨯==，故选C ． 6．【答案】C【解析】由函数图像可得2A =， ∵()01f =，∴1sin 2ϕ=，结合图像可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ， ∵π2ϕ<，∴π6ϕ=，∴()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又11π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴11ππ2sin 0126ω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即11ππ2π126k ω⨯+=，故2241111k ω=-+， ∴2ω=，∴π3ωϕ⋅=．故选C ． 7．【答案】C【解析】∵0x >时，()f x 的图象与函数2log y x =的图象关于y x =对称； ∴0x >时，()2x f x =；∴0x >时，()22x g x x =+，又()g x 是奇函数；∴()()()()()1212214411g g g g =-⎡⎤⎣-+-=-++++=-⎦．故选C ． 8．【答案】A【解析】∵()()2e e x x f x x -=-，∴()()()()()22e e e e x x x x f x x x f x ---=--=--=-， ∴()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D ，∵2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >，e e x x y -=-在()0,+∞上是增函数且0y >， ∴()()2e e x x f x x -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ． 9．【答案】A 【解析】如图所示，取圆2216x y +=上一点()4,0P ，过P 作圆()222:0O x y m m +=>的两条切线PA 、PB ， 当2π3AOB ∠=时，π3AOP ∠=，且OA AP ⊥，4OP =；122OA OP ==，则实数2m OA ==．故选A ． 10．【答案】D【解析】由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点， ∵AB 为圆的直径，∴90AFB ∠=︒，根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形，∴12ABF AFBF FBF S S S ''==△△，又2224tan45FBF b S b a '===︒△，可得225c a =，∴25e e =⇒=．故选D ． 11．【答案】C【解析】由PA ，PB ，PC 两两垂直，可知该三棱锥由棱长为4的正方体四个顶点组成，三棱锥外接球的直径为所在正方体的体对角线，∴R =过O 作OH PA ⊥，H 为垂足，OH =Rt OHE △中，OH =1HE =， ∴3OE =，当OE 垂直截面α时，截面圆半径最小． (2222233r R OE =-=-=，2π3πS r ==．故选C ．12．【答案】B【解析】∵锐角ABC △外接圆的半径为2，AB =∴2sin cR C=4=，∴sin C ， 又C 为锐角，∴π3C =，由正弦定理得4sin sin sin a b cA B C===，∴4sin a A =，4sin b B =，c =∴2ππ4sin 4sin 6sin 36a b c B B B B B ⎛⎫⎛⎫++=+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴当ππ62B +=，即π3B =时，a b c ++取得最大值=B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】6【解析】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号． 故答案为6． 14．【答案】1【解析】根据实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪++≤⎩，画出可行域，如图：11y y x =-⎧⎨=--⎩解得()0,1A -，可知当目标函数经过点A 取最大值， 即()2011z =⨯--=．故答案为1． 15．【答案】2【解析】以A 为原点，AB ，AD 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B ，()0,1D ，()1,1E ，设(),P x y ，01x ≤≤，∴()2,1DB =-，()0,1AD =，(),AP x y =， ∵AP DB AD λμ=+，∴()(),2,x y λμλ=-，∴2x x λμλ=⎧⎨=-⎩，∴232x x λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴22x λμ+=≤，故答案为2．16．【答案】51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】()323f x x tx x '=-+，()2''323f x x tx =-+， ∵函数()4323432x t f x x x =-+在()1,4上是“凸函数”，∴在(),a b 上，()0f x "<恒成立，∴23230x tx -+<，即312t x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，令()312g x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，显然()g x 在()1,4上单调递增，∴()()5148g x g <=，∴518t ≥．故答案为51,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）23n a n =-；（2）22n T n =．【解析】（1）由题意，可知数列{}n a 中，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列，则()22341a a S =⋅+，即()()()212136d d d -+=-+-+，解得2d =，∴数列的通项公式23n a n =-．（2）由（1），可知12n n a a --=，∴()()()212342122n n n T a a a a a a n -=-++-+++-+=．18．【答案】（1）35；（2）见解析．【解析】（1）由题意知参加体育活动的学生中，男生人数为60人，女生人数为30人， 按性别分层抽取6名，则男生被抽取的人数为60646030⨯=+，女生被抽取的人数为30626030⨯=+，记4名男生分别为a ，b ，c ，d ，2名女生为A ，B ，则从这6名学生中抽取2人的情况有(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，一共15种情况，2人中至少有1名女生共有9种情况，概率为93155=． （2）列联表为：()()()()()()22230018030603010014.28610.82824060210907n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.9％的把握认为学生的学习积极性与选择参加文化活动有关． 19．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）∵PAD △是正三角形，点E 是PD 的中点，∴AE PD ⊥．又平面PCD ⊥面PAD ，平面PCD 平面PAD PD =，AE ⊂平面PAD ．∴AE ⊥平面PCD ， 又PC ⊂平面PCD ，∴AE PC ⊥． （2）取PC 的中点F ，连结EF ，在PCD △中，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，∴EF CD ∥且2CD EF =． 又AB CD ∥，2CD AB =，∴EF AB ∥且EF AB =， ∴四边形AEFB 是平行四边形，∴AE BF ∥，又AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）3．【解析】（1）由已知得23b =，3a c +=，222a b c =+，∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）∵过()1,0F 的直线与C 交于A 、B 两点（A 、B 不在x 轴上）， ∴设:1l x ty =+，()2222134690143x ty t y ty x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵OE OA OB =+，∴AOBE为平行四边形，∴12234AOB S S y y t ==-=+△1m =≥，得21241313mS m m m==++，由对勾函数的单调性易得当1m =，即0t =时，max 3S =． 21．【答案】（1）10x y --=；（2）见解析． 【解析】（1）()()()222ln 1ln ln 'a x a x x f x x ⎡⎤+-+⎣⎦=，故()11f '=，故切线方程是10x y --=． （2）令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，故()g x 在()0,1递减，在()1,+∞，故()()min 10g x g ==，故ln 1x x ≥+， ∵1a ≥， ∴()()()()()2222ln ln ln ln ln ln ln 1ln 110a x x xx x x x x x x f x xxxx+++++++++=≥≥≥≥，故1a ≥时，()10f x +≥．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()240x ay a =>，10x y -+=；（2）14． 【解析】（1）曲线C ：()2cos 4sin 0a a ρθθ=>，两边同时乘以ρ 可得()22cos 4sin 0a a ρθρθ=>，化简得()240x ay a =>； 直线l的参数方程为21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），可得1x y -=-，得10x y -+=． （2）将21x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入()240x ay a =>并整理得)()21810t a t a -+++=，韦达定理：)121t t a +=+，()12810t t a ⋅=+>，由题意得2MN PM PN =，即21212t t t t -=⋅，可得()21212124t t t t t t +-⋅=⋅， 即()()2321401a a +=+，0a >，解得14a =． 23．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析．【解析】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即114x x -++<当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤-；当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<<； 当1x ≥时，11412x x x -++<⇒≤<， ∴解集为()2,2-．（2）()()()f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+--+=++， ∵0a >，0b >，0c >，∴()min 1f x a b c =++=， ∴()149149a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ ()11492a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭22222212⎡⎤⎡⎤=++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦()2118182a b c ≥==++．。

过关练(三)一、选择题1.设x ∈R,i 是虚数单位,则“x=2”是“复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件2.已知实数x,y 满足(12)x<(12)y,则下列关系式中恒成立的是( ) A.tan x>tan yB.ln(x 2+2)>ln(y 2+1)C.1x <1y D.x 3>y 33.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a>0,b>0),若过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[π4,π3],则双曲线的离心率e 的取值范围是( ) A.[√2,2]B.[2,4]C.(1,3]D.[2√33,√2] 4.“rand( )”是计算机软件产生随机数的函数,每调用一次rand( )函数,就产生一个在区间[0,1]内的随机数.我们产生n 个样本点P(a,b),其中a=2·rand( )－1,b=2·rand( )－1.在这n 个样本点中,满足a 2+b 2=rand( )的样本点的个数为m,当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为( ) A.4m nB.m4nC.4nmD.n4m5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.函数f(x)的周期为πB.函数y=f(x－π)为偶函数C.函数f(x)在[－π,－π2]上单调递增D.函数f(x)的图象关于点(3π4,0)对称6.王老师的班上有四个体育健将甲、乙、丙、丁,他们都特别擅长短跑,在某次运动会上,他们四人要组成一个4×100米接力队,王老师要安排他们四个人的出场顺序,以下是他们四人的对话:甲:我不跑第一棒和第二棒;乙:我不跑第一棒和第四棒;丙:我也不跑第一棒和第四棒;丁:如果乙不跑第二棒,我就不跑第一棒.王老师听了他们四人的对话,安排了一种合理的出场顺序,满足了他们的所有要求,据此我们可以断定,在王老师安排的出场顺序中,跑第三棒的人是()A.甲B.乙C.丙D.丁7.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,则B=()A.π6B.π3C.2π3D.5π68.条形码是将宽度不等的多个黑条和空白,按照一定的编码规则排列,用以表达一组信息的图形标识符.常见的条形码是“EAN－13”通用代码,它是由从左到右排列的13个数字(用a1,a2,…,a13表示)组成,其中a13是校验码,用来校验前12个数字代码的正确性.下面的框图是计算第13位校验码的程序框图,框图中符号[m]表示不超过m的最大整数(例如[2.12]=2).现有一条形码如图所示(69418a63400136),其中第6个数被污损,那么被污损数字a6是()A.6B.7C.8D.99.某几何体的三视图如图所示,坐标纸上的每个小方格的边长为1,则该几何体的外接球的表面积是()A.5√103B.112π C.1 0009π D.5 000√1081π10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为3的正方形,侧棱AA1=x,P为矩形CDD1C1内部(含边界)一点,M为BC的中点,∠APD=∠CPM,三棱锥A1－PCD的体积的最大值记为V(x),则关于函数V(x),下列结论确的是()A.V(x)为奇函数B.V(x)在(0,+∞)上单调递增C.V(2)=3D.V(3)=3√3211.已知函数f(x)=x+2cos x+λ,在区间[0,π2]上任取三个数x 1,x 2,x 3,均存在以f(x 1), f(x 2), f(x 3)为边长的三角形,则λ的取值范围是( ) A.(－π2,+∞) B.(－2,+∞) C.(－π2,√3－5π6) D.(√3－5π6,+∞)二、填空题12.设平面向量m 与向量n 互相垂直,且m －2n=(11,－2),若|m|=5,则|n|= .13.已知数列{a n }的各项均为整数,a 8=－2,a 13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a 15= . 14.下列说法:①线性回归方程y ^=b ^x+a ^必过(x ,y );②命题“∀x ≥1,x 2+3≥4”的否定是“∃x<1,x 2+3<4”; ③相关系数r 越小,表明两个变量相关性越弱;④在一个2×2列联表中,由计算得K 2=8.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系. 其中正确．．的说法是 .(把你认为正确的结论都写在横线上) 本题可参考独立性检验临界值表:P(K 2≥k ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k2.7063.841 5.024 6.63510.82815.已知x,y 满足约束条件{x －y －1≤0,2x －y －3≥0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值4,则1a +1b 的最小值为 .答案精解精析一、选择题1.B 由复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数,得{x 2－4=0,x +2≠0,解得x=2, 所以“x=2”是“复数z=(x 2－4)+(x+2)i 为纯虚数”的充要条件.故选B.2.D 由指数函数的单调性可得x>y.因为幂函数y=x 3在(－∞,+∞)上是单调递增的,所以当x>y 时,恒有x 3>y3.故选D.3.A 双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x,由一条渐近线的倾斜角θ∈[π4,π3],知tan π4≤ba ≤tan π3,即1≤ba ≤√3,则1≤b 2a 2≤3,即1≤c 2－a 2a 2≤3,则2≤c 2a 2≤4,即√2≤e ≤2.故选A.4.A x 2+y 2<1发生的概率为π·12·14=π4,在这n 个样本点中,满足a 2+b 2=rand( )的样本点的个数为m,当n 足够大时,可估算圆周率π的近似值为m n =π4,即π=4m n.故选A.5.C 观察图象可得函数的最小值为－2,所以A=2.又由图可知该函数图象过点(0,√3),(5π4,－2),即{√3=2sinφ,－2=2sin (ω×5π4+φ),结合ω>0,0<φ<π及图象可得ω=1415,φ=π3,则f(x)=2sin (1415x +π3),显然A 选项错误; 对于B, f(x －π)=2sin [1415(x －π)+π3]=2sin (1415x －9π15),不是偶函数; 对于D,当f (3π4)=2sin (1415×3π4+π3)=2sin (7π10+π3)≠0,故D 错误.由此可知选C.6.C 若乙、丙均不跑第一棒和第四棒,则跑第三棒的人只能是乙、丙中的一个,当丙跑第三棒时,乙只能跑第二棒,这时丁跑第一棒,甲跑第四棒,符合题意.故跑第三棒的人是丙.故选C.7.A ∵asin Bcos C+csin Bcos A=12b,∴根据正弦定理可得sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A=12sin B,即sin B(sin Acos C+sin Ccos A)=12sin B.∵sin B ≠0,∴sin(A+C)=12, 即sin B=12.∵a>b,∴A>B,∴B 为锐角,∴B=π6.故选A. 8.B 由已知程序框图可得:S 是条形码中前12偶数位数字的和,即S=17+a 6, T 是条形码中前12奇数位数字的和,即T=22, M=3S+T=73+3a 6,又N=M －[M10]×10表示M 的个位数字,a 13=10－N=6, 则N=4,故a 6=7.故选B.9.C 根据几何体的三视图,得该几何体是如图所示的三棱锥,三棱锥的高PD=6,且侧面PAC ⊥底面ABC,AC ⊥BC,PA=PC=√42+62=√52,AC=8,BC=6,AB=√82+62=10,∴PA 2+PB 2=AB 2,∴△ABC 的外接圆的圆心为斜边AB 的中点E.设该几何体的外接球的球心为O,连接OE,OE ⊥底面ABC, 设OE=x,外接球的半径为R, 则x 2+(102)2=32+(6－x)2,解得x=53. ∴R 2=(53)2+52=2509,∴外接球的表面积S=4π×R 2=1 000π9.故选C.10.D因为∠APD=∠CPM,所以tan∠APD=tan∠CPM,即3PD =32PC,∴PD=2PC.当P在CC1上时d P－CD 取最大值√3,因此V(x)=13×3×12×d P－CD×3=32d P－CD={32√3,x≥√3,32x,0<x<√3.因此V(3)=V(2)=3√32,V(x)不为奇函数,V(x)在(0,√3)上单调递增,所以选D.11.D∵函数f(x)=x+2cos x+λ,∴f'(x)=1－2sin x,又x∈[0,π2],由f'(x)=0,得x=π6.∵x∈[0,π2],∴x∈[0,π6)时,f'(x)>0,x∈[π6,π2]时,f'(x)<0,又f(0)=2+λ,f(π2)=π2+λ,∴f(x)max=f(π6)=π6+√3+λ,f(x)min=f(π2)=π2+λ.∵在区间[0,π2]上任取三个数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为边长的三角形,∴f(π2)=π2+λ>0,①f(π2)+f(π2)>f(π6).②联立①②,得λ>√3－5π6.故选D.二、填空题12.答案5解析由平面向量m与向量n互相垂直可得m·n=0,又m－2n=(11,－2),∴(m－2n)2=125,∴m2+4n2=125.又|m|=5,∴|n|=5.13.答案16解析设公差为d(d∈Z),则a11=a8+3d=－2+3d,a12=a8+4d=－2+4d.∵第11项,第12项,第13项成等比数列,∴a122=a11a13,∴(－2+4d)2=4(－2+3d),∴4d2－7d+3=0.∵d为整数,∴d=1,∴a12=－2+4=2,q=a13a=2,∴a15=a13q2=4×22=16.14.答案 ①④解析 线性回归方程y ^=b ^x+a ^必过样本点的中心(x ,y ),故①正确. 命题“∀x ≥1,x 2+3≥4”的否定是“∃x ≥1,x 2+3<4”,故②错误.③相关系数r 的绝对值越小,表明两个变量相关性越弱,故③不正确.④在一个2×2列联表中,由计算得K 2=8.079,则有99%的把握认为这两个变量间有关系,④正确.故答案为①④. 15.答案3+2√24解析 由约束条件{x －y －1≤0,2x －y －3≥0,作可行域如图,联立{x －y －1=0,2x －y －3=0,解得A(2,1).由图可知,当目标函数表示的直线过点A(2,1)时,z 最小,则2a+b=4,所以1a +1b =(1a +1b )×1=14(2a+b)(1a +1b )=142+2ab +1+ba ≥14(3+2√2a b ·ba )=14×(3+2√2),当且仅当2a=√2b=4×(2－√2)时取等号.。

跳出10个解题陷阱数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯性思维、思维的弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱. 陷阱一 混淆概念致误——使用概念要明辨例1 能够把椭圆C:x 29+y 24=1的周长和面积同时平分的函数f(x)称为椭圆C 的“伙伴函数”,下列函数是椭圆C 的“伙伴函数”的是 .(只填序号)①f(x)=x 3－4x;②g(x)=2x－(12)x;③h(x)={－x 2+6x,x ≥0,x 2+6x,x <0;④p(x)={－x 2+6x,x ≥0,－x 2－6x,x <0;⑤q(x)=lnx+3x －3;⑥r(x)=cos (x +π2).易错分析 该题易出现的错误是不能准确理解“伙伴函数”的概念,只注重函数奇偶性的分析.误以为奇函数都是椭圆的“伙伴函数”,忽视对函数图象与椭圆交点个数的分析导致错解.答案 ②③⑥正确解析 已知椭圆C 的“伙伴函数”将该椭圆的周长与面积平分,由椭圆的对称性可知,该函数图象与椭圆C 相交,且该函数为奇函数.①f(x)=x 3－4x 为奇函数,且图象过原点.由f(x)=0,即x 3－4x=0,解得x=0或x=±2,所以函数图象与x 轴的交点都在椭圆内. 而f(1)=13－4×1=－3,由{x 29+y 24=1,x =1,解得y=±4√23.显然|y|=4√23<|－3|,所以函数y=f(x)的图象与椭圆应有6个交点(如图所示),但这6个交点不能把椭圆的周长平分,也不能把椭圆的面积平分,所以该函数不是椭圆C 的“伙伴函数”.②因为g(x)=2x－(12)x=2x －2－x ,所以该函数为奇函数,且图象过原点;又该函数为R 上的递增函数,所以其图象与椭圆C 只能有两个交点,故g(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.③当x>0时,h(x)=－x 2+6x,此时－x<0,故h(－x)=(－x)2+6(－x)=x 2－6x, 所以－h(－x)=－(x 2－6x)=h(x); 同理可得,当x<0时,h(－x)=－h(x).又h(0)=0,所以函数h(x)为奇函数,其图象过原点.又椭圆C 的长轴端点为A 1(－3,0),A 2(3,0),且函数y=h(x)在(－3,3)上单调递增,所以函数y=h(x)的图象与椭圆C 只有2个交点(如图所示),故h(x)可将椭圆C 的周长和面积同时分为相等的两部分,所以h(x)是椭圆C 的“伙伴函数”.④当x>0时,p(x)=－x 2+6x,此时－x<0,故p(－x)=－(－x)2－6(－x)=－x 2+6x, 所以p(－x)=p(x);同理可得,当x<0时,p(－x)=p(x).所以函数y=p(x)为偶函数,显然不是椭圆C 的“伙伴函数”. ⑤由对数式有意义可得x+3x －3>0,即(x+3)(x －3)>0,解得x<－3或x>3. 故q(x)=lnx+3x －3的定义域为(－∞,－3)∪(3,+∞).显然该函数在[－3,3]内没有意义,所以不是椭圆C 的“伙伴函数”.⑥r(x)=cos (x +π2)=－sin x,显然该函数为奇函数,其图象过原点且r (π2)=－1.由{x 29+y 24=1,x =π2,解得y=±√36－π23,显然|±√36－π23|>|－1|,故函数y=r(x)的图象与椭圆C只有两个交点(如图所示),y=r(x)的图象可将椭圆C的周长与面积平分,所以r(x)是椭圆C的“伙伴函数”.▲跳出陷阱解决新定义的有关问题,需要正确理解新定义问题的实质,把新定义的“条件”转化为常见的问题,如该题新定义的“伙伴函数”的实质是研究椭圆的性质与函数图象的特征,“平分椭圆周长与面积”的要求不仅要考虑函数的奇偶性、定义域,如⑤中的函数q(x)=lnx+3x－3是奇函数,但其图象在[－3,3]内与椭圆C没有交点;还要考虑函数图象与椭圆的交点个数,如①中的函数f(x)=x3－4x的图象与椭圆有6个交点,但这6个交点分布不均匀.这些都会因为没有准确把握“新定义”的实质而导致解错.跟踪训练1.定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[－0.3]=－1,[－1.5)=－1.给出下列结论:①函数f(x)=[sin x]是奇函数;②2π是函数f(x)=[sin x]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)－x)[x)<x的解集为(43,2);④函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,－1}.其中正确的是.(填上所有正确结论的编号)陷阱二错求目标失分——解题目标要明确例2已知实数x,y满足{x+2y≥0,x－y≤0,0≤y≤k,且z=x+y的最大值为6,则(x+5)2+y2的最小值为()A.5B.3C.√5D.√3易错分析 该题中目标函数(x+5)2+y 2={√[x －(－5)]2+(y －0)2}2表示的是可行域内的点P(x,y)到点D(－5,0)的距离的平方|PD|2,而不是|PD|.该题易出现的错误就是把两者混淆.答案 A正确解析 作出不等式组{x +2y ≥0,x －y ≤0,0≤y ≤k,对应的平面区域,如图中阴影部分(包括边界)所示.由z=x+y,得y=－x+z.由图象可知当直线y=－x+z 经过点A 时,直线y=－x+z 在y 轴上的截距最大,此时z 取得最大值6,即x+y=6.由{x +y =6,x －y =0,得{x =3,y =3,即A(3,3), 由直线y=k 过点A,得k=3.(x+5)2+y 2的几何意义是可行域内的点P(x,y)与点D(－5,0)的距离的平方,由图可知,点D(－5,0)到直线x+2y=0的距离最小.因此(x+5)2+y 2的最小值为(|－5|√12+22)2=5.故选A.▲跳出陷阱 数形结合求解目标函数最值:(1)准确作出不等式组所表示的可行域是解决此类问题的关键,一般采用“线定界,点定域”的原则,应注意不等式组中是否含有等号与可行域边界的实虚之间的对应.(2)目标函数的几何意义主要分三类,①截距型,z=ax+by,利用直线l:ax+by －z=0在两坐标轴上的截距的最值求解目标函数的最值;②斜率型,z=y －b x －a,表示可行域内的点P(x,y)到点Q(a,b)连线的斜率;③距离型,z=√(x－a)2+(y－b)2,表示可行域内的点P(x,y)与点Q(a,b)的距离.跟踪训练2.若实数x,y满足{x－y+1≤0,x>0,y≤2,则2y2x+1的取值范围是()A.[43,4]B.[43,4)C.[2,4] D.(2,4]陷阱三错用结论失分——公式、定理要记准例3将函数y=sin(5x－π2)的图象向右平移π4个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为()A.y=sin(10x－3π4) B.y=sin(10x－7π2)C.y=sin(10x－3π2) D.y=sin(10x－7π4)易错分析解决该题易出现以下两个方面的错误:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化规律与函数解析式的变换之间的关系.答案D正确解析将原函数图象向右平移π4个单位长度,所得函数解析式为y=sin[5(x－π4)－π2]=sin(5x－7π4),再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12得y=sin(10x－7π4)的图象.故选D.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如将函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x－m)的图象.若函数y=f(x)的图象上各点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f(xω)的图象.跟踪训练3.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移π6个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到,则f(π4)=()A.√6+√23B.√6－√23C.√6－√22D.√6+√22陷阱四忽视特殊情况——特殊情况要谨记例4已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,当n≥2时,2S n=(n+1)a n－2.(1)求a2,a3和通项a n;(2)设数列{b n}满足b n=a n·2n－1,求{b n}的前n项和T n.易错分析解决本题易出现以下两个方面的错误:一是利用a n=S n－S n－1建立a n与a n－1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{b n}的前n项和T n 时,忽视该数列通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致错误.正确解析(1)当n=2时,2S2=2(1+a2)=3a2－2,则a2=4,当n=3时,2S3=2(1+4+a3)=4a3－2,则a3=6,当n≥2时,2S n=(n+1)a n－2,当n≥3时,2S n－1=na n－1－2,所以当n≥3时,2(S n－S n－1)=(n+1)a n－na n－1,即2a n=(n+1)a n－na n－1,整理可得(n－1)a n=na n－1,所以a nn =an－1 n－1,因为a33=a22=2,所以a nn=an－1n－1=…=a33=a22=2,因此,当n ≥2时,a n =2n,而a 1=1,故a n ={1(n =1),2n(n ≥2).(2)由(1)可知b n ={1(n =1),n ·2n (n ≥2),所以当n=1时,T 1=b 1=1, 当n ≥2时,T n =b 1+b 2+b 3+…+b n ,则 T n =1+2×22+3×23+…+(n －1)×2n －1+n×2n , 2T n =2+2×23+3×24+…+(n －1)×2n +n×2n+1,作差得T n =1－8－(23+24+…+2n )+n×2n+1=(n －1)×2n+1+1, 易知当n=1时,也满足上式, 故T n =(n －1)×2n+1+1(n ∈N *).▲跳出陷阱 解决数列问题一定要注意n 的取值范围,求通项公式问题,要注意对首项的验证,如该题中用到a n 与S n 的关系式a n =S n －S n －1,而该式成立的前提是n ≥3;再如已知数列{a n },当n ≥2时,若有a n+1a n=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含a2a 1=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证a2a 1=q.跟踪训练4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,满足2S n =3n 2－n. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }中,b n =a n ·x n ,求其前n 项和T n .陷阱五 分类讨论不全——问题分类要全面 例5 已知函数f(x)=12ax 2－(2a+1)x+2ln x(a ∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x 2－2x,若对任意x 1∈(0,2],均存在x 2∈(0,2],使得f(x 1)<g(x 2),求a 的取值范围. 易错分析 解决本题易出现以下两个方面的错误:一是讨论f(x)的单调性时,对a 分类讨论的标准不正确,造成分类重复或遗漏;二是讨论f(x)、g(x)的最值时,对a 分类标准不正确.正确解析 (1)f '(x)=ax －(2a+1)+2x =(ax －1)(x －2)x(x>0).①当a ≤0时,ax －1<0,在区间(0,2)上, f '(x)>0,在区间(2,+∞)上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0<a<12时,1a >2,在区间(0,2)和(1a ,+∞)上, f '(x)>0,在区间(2,1a )上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(1a ,+∞),单调递减区间是(2,1a ).③当a=12时, f '(x)=(x －2)22x ≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>12时,0<1a <2.在区间(0,1a )和(2,+∞)上, f '(x)>0,在区间(1a ,2)上f '(x)<0. 故f(x)的单调递增区间是(0,1a)和(2,+∞),单调递减区间是(1a,2).(2)由已知得,在(0,2]上有f(x)max <g(x)max . 由已知得,在(0,2]上,g(x)max =0,由(1)可知, ①当a ≤12时, f(x)在(0,2]上单调递增.故f(x)max =f(2)=2a －2(2a+1)+2ln 2=－2a －2+2ln 2,所以,－2a －2+2ln 2<0,解得a>ln 2－1.∴ln 2－1<a ≤12.②当a>12时, f(x)在(0,1a ]上单调递增,在(1a ,2]上单调递减,故f(x)max =f (1a )=12a －(2a+1)1a +2ln 1a =－12a －2－2ln a<0.当a>12时,12a +2ln a>12a +2ln e －1>－2, 故a>12时满足题意.综上,a 的取值范围为(ln 2－1,+∞).▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,合理分类是解决此类问题的关键,一般来说,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为:①最高次幂系数是不是0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系比较.分类之后确定导函数的符号,应画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象,根据函数图象与x 轴的相对位置变化确定导函数的符号,进而写出单调区间. 跟踪训练5.已知函数f(x)=ln x+2ax+1(a ∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a=1时,求证: f(x)≤x+12.陷阱六 遗漏条件增解——细心审题不遗漏例6 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a=15,b=10,A=60°,则cos B=( )A.√63B.±√63C.√33D.±√33易错分析 该题易出现的问题是忽视已知条件中三角形的边之间的大小关系.利用正弦定理求解导致增解.答案 A正确解析 由正弦定理可得asinA =bsinB , 所以sin B=bsinA a=10sin60°15=√33, 因为a>b,所以A>B,所以角B 为锐角, 所以cos B=√1－sin 2B =√1－(√33)2=√63,故选A.▲跳出陷阱 利用正弦定理求角时,一般得到两个互补的角,此时要注意边的大小关系,检验是否符合“大边对大角”,避免增解.如该题中,若忽视边之间的大小关系,就不会判断出角B 为锐角,导致求出该角的余弦值有两个而造成错解.跟踪训练6.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=2,sin A=35,cos B=cos C,则△ABC 的面积等于( )A.3B.23 C.3或13 D.6或23陷阱七 推理不当致误——归纳类比要对应例7 如图所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点:1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *)的前12项,如下表所示:a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4 x 5 y 5 x 6 y 6按此规律,则a 2 015+a 2 016+a 2 017= .易错分析 该题易出现的错误是不能根据已知的数据准确归纳数列的规律性. 答案 1 008正确解析 数列{a n }中,a 1=1,a 2=1,a 3=－1,a 4=2,a 5=2,a 6=3,a 7=－2,a 8=4,……,这个数列的规律是奇数项为1,－1,2,－2,3,－3,…,偶数项为1,2,3,4,…,故a 2 015+a 2 017=0,a 2 016=1 008,故a 2015+a 2 016+a 2 017=1 008.▲跳出陷阱 求解一些下标较大的数列问题,首先要注意归纳数列项的规律,如周期性、相邻两项、三项和的规律性等,如该题是奇数项和偶数项各自具有一个规律,奇数项出现两项和为0的特征,偶数项排成一个正整数数列,但要注意项数与项之间的对应,如该题奇数项中,a 4n －3=n,a 4n －1=－n.若n 为偶数,则对应的项a n =n2,而不是n. 跟踪训练7.对于大于1的自然数m,其三次幂可用奇数按以下方式进行“分裂”:23={3,5,33={7,9,11,43={13,15,17,19,…….对此,若m 3的“分裂数”中有一个是2 017,则m= .陷阱八 画图不准失分——“数”化“形”要准确例8定义域为R的偶函数f(x)满足对任意的x∈R,有f(x+2)=f(x)－f(1),且当x∈[0,1]时, f(x)=－2(x－1)2,若函数y=f(x)－log a(|x|+1)在R上恰好有六个零点,则实数a的取值范围是.易错分析该题易出现的错误是不能正确作出函数y=f(x)和y=log a(|x|+1)的图象,而导致解题错误.答案(√55,√3 3)正确解析令x=－1,得f(1)=f(－1)－f(1),因为f(x)为偶函数,所以f(－1)=f(1),所以f(1)=0,则f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为2的周期函数.令g(x)=log a(|x|+1),则g(x)在R上为偶函数,故只需分析f(x)与g(x)在[0,+∞)上的图象,根据题意作出函数y=f(x)和y=g(x)在[0,+∞)上的部分图象,如图所示,因为y=f(x)和y=g(x)均为偶函数,所以y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有三个交点.当函数g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(2,－2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上恰有两个交点,从而函数y=f(x)－log a(|x|+1)在(0,+∞)上恰有两个零点,由log a3=－2得a=√33;当g(x)=log a(|x|+1)的图象过点(4,－2)时,函数y=f(x)和y=g(x)的图象在(0,+∞)上有四个交点,从而函数y=f(x)－log a(|x|+1)在(0,+∞)上有四个零点,由log a5=－2得a=√55.综上可知,所求实数a的取值范围为(√55,√3 3).▲跳出陷阱本题将函数的零点个数问题转化为两函数图象的交点个数问题,运用数形结合的思想求解,此方法较为常规,本题的难点在于对函数f(x)的周期的推导.本题极易因作图不准确致误,为避免失误,作图时一定要明确函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性等,并找出关键点,注意“草图不草”.另外,需重点掌握周期函数与绝对值函数的图象的画法.跟踪训练8.函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时, f(x)={2|x －1|－1,0<x ≤2,12f(x －2),x >2,则函数g(x)=xf(x)－1在[－6,+∞)上的所有零点之和为 . 陷阱九 运算过程出错——步骤要合理例9 如图所示的四棱锥A －BCDE 中,四边形BCDE 是边长为3的正方形,AE ⊥平面BCDE,AE=3,点P 是边DE 上的一个动点,连接PA,PB,PC.(1)若点Q 为棱AC 的中点,是否存在点P,使得PQ ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=23ED 时,求三棱锥C －ABP 的高.易错分析 在用等体积法求三棱锥C －ABP 的高时,易因运算出错导致△ABP 的面积求错,从而所求的结果出错.正确解析 (1)当P 为DE 的中点时,PQ ∥平面AEB. 理由如下:取AB 的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q 为AC 的中点,得MQ ∥BC,且MQ=12BC,又PE ∥BC,且PE=12BC,所以PE ∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ 为平行四边形, 故ME ∥PQ.又PQ ⊄平面AEB,ME ⊂平面AEB, 所以PQ ∥平面AEB.(2)因为四边形BCDE 是边长为3的正方形,EP=23ED,所以△BCP 的面积S △BCP =12×3×3=92,且EP=23×3=2,因为AE ⊥平面BCDE,所以AE ⊥EP. 又AE=3,所以AP=√AE 2+EP 2=√32+22=√13, 因为BP=√BE 2+EP 2=√32+22=√13, AB=√AE 2+EB 2=√32+32=3√2, 所以△ABP 的面积S △ABP =12×3√2×√(√13)2－(3√22)2=3√172, 设三棱锥C －ABP 的高为h,因为V C －ABP =V A －BCP , 所以13S △ABP ×h=13S △BCP ·AE,所以h=S △BCP ·AE S △ABP=92×33√172=9√1717,所以三棱锥C －ABP 的高为9√1717. ▲跳出陷阱 利用等体积法求三棱锥(或四面体)的高时,一定要认真计算底面三角形的面积. 跟踪训练9.如图,在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是边长为√2的正方形,PA ⊥BD. (1)求证:PB=PD;(2)若E,F 分别为PC,AB 的中点,EF ⊥平面PCD,求三棱锥D －ACE 的体积.陷阱十 问题转化不等价——等价转化要正确 例10 函数f(x)=12x 2－2aln x+(a －2)x,a ∈R.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程; (2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,有f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a 恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.易错分析 该题易出现的错误是直接把题中f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a 转化为该函数的导数值的范围,即f '(x)>a.正确解析 f '(x)=x －2ax +a －2=(x －2)(x+a)x (x>0).(1)当a=1时, f(1)=－12, f '(x)=(x －2)(x+1)x, f '(1)=－2,所以所求的切线方程为y －(－12)=－2(x －1).即4x+2y －3=0.(2)①当－a=2,即a=－2时, f '(x)=(x －2)2x≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当－a<2,即－2<a<0时,因为0<x<－a 或x>2时, f '(x)>0,－a<x<2时, f '(x)<0, 所以f(x)在(0,－a),(2,+∞)上单调递增,在(－a,2)上单调递减.③当－a>2,即a<－2时,因为0<x<2或x>－a 时, f '(x)>0,2<x<－a 时, f '(x)<0, 所以f(x)在(0,2),(－a,+∞)上单调递增,在(2,－a)上单调递减. (3)假设存在这样的实数a 满足条件,不妨设x 1<x 2. 由f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a,知f(x 2)－ax 2>f(x 1)－ax 1成立.令g(x)=f(x)－ax=12x 2－2aln x －2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x －2a x－2≥0,即2a ≤x 2－2x=(x －1)2－1在(0,+∞)上恒成立,所以a ≤－12,故存在这样的实数a 满足题意,其取值范围为(－∞,－12].▲跳出陷阱 条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(3)问探究性问题中的“f(x 2)－f(x 1)x 2－x 1>a ”,其几何意义是曲线上两点(x 1, f(x 1))与(x 2, f(x 2))连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义转化为该直线的斜率与函数图象上某点处切线斜率之间的大小关系,则求解较复杂,应该通过代数式的等价变形,转化为函数y=f(x)－ax 的单调性问题求解. 跟踪训练10.已知p:关于x 的不等式x 2－mx+4<0有解,q:方程x 2m －3+y 27－m=1表示椭圆.若命题p ∧q 为真命题,则实数m 的取值范围为 .答案精解精析陷阱一混淆概念致误——使用概念要明辨跟踪训练1.答案②③④解析对于①,因为f(π6)=[sinπ6]=[0.5]=0,f(－π6)=[sin(－π6)]=[－0.5]=－1,所以f(－π6)≠－f(π6),所以函数f(x)=[sin x]不是奇函数,所以①错.对于②,因为f(x)=[sin x]= {0,2kπ≤x<2kπ+π且x≠2kπ+π2,1,x=2kπ+π2,－1,2kπ+π<x<2kπ+2π,k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sin x]的周期,所以②正确.对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)－x)[x)<x,得{1<x<2,(2－x)·2<x,解得43<x<2,故其解集为(43,2).所以③正确.对于④,因为g(x)=[sin x]+[cos x)={2,x =2kπ或x =2kπ+π2,1,2kπ<x <2kπ+π2,0,kπ+π2<x <kπ+π或x =2kπ+π或x =2kπ+3π2,－1,2kπ+π<x <2kπ+3π2,k ∈Z.所以函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,－1},所以④正确.陷阱二 错求目标失分——解题目标要明确跟踪训练2.B 作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(不包括边界OB)所示,其中A(1,2),B(0,2).2y2x+1=y x+12=y －0x －(－12),其几何意义是可行域内的点P(x,y)与点M (－12,0)的连线的斜率. 可知k MA =2－01－(－12)=43,k MB =2－00－(－12)=4,结合图形可得43≤2y2x+1<4.故2y2x+1的取值范围是[43,4).故选B.陷阱三 错用结论失分 ——公式、定理要记准跟踪训练3.D将函数g(x)=4sin xcos x=2sin2x的图象向左平移π6个单位得到函数y=2sin[2(x+π6)]=2sin(2x+π3)的图象,该函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为f(x)=2sin(12×2x+π3)=2sin(x+π3).所以f(π4)=2sin(π4+π3)=2sinπ4cosπ3+cosπ4sinπ3=2×(√22×12+√22×√32)=√6+√22.故选D.陷阱四忽视特殊情况——特殊情况要谨记跟踪训练4.解析(1)由于2S n=3n2－n,所以当n≥2时,2S n－1=3(n－1)2－(n－1),两式相减得2a n=6n－4,即a n=3n－2(n∈N*),当n=1时,a1=S1=1,适合上式,故a n=3n－2.(2)由(1)知a n=3n－2,则b n=(3n－2)·x n,当x=0时,b n=0,T n=0.当x≠0时,T n=x+4x2+7x3+10x4+…+(3n－2)·x n,xT n=x2+4x3+7x4+10x5+…+(3n－5)·x n+(3n－2)·x n+1,所以(1－x)T n=x+3(x2+x3+x4+…+x n)－(3n－2)·x n+1,①当x=1时,b n=3n－2,T n=n(3n－1)2.②当x≠1时,T n=(3n－2)x n+2－(3n+1)x n+1+2x2+x (1－x)2.故当x=0时,T n=0;当x=1时,T n=n(3n－1)2;当x≠1时,T n=(3n－2)x n+2－(3n+1)x n+1+2x2+x (1－x)2.陷阱五 分类讨论不全——问题分类要全面跟踪训练5.解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x 2+2(1－a)x+1x(x+1)2.令y=x 2+2(1－a)x+1,x>0.①当Δ≤0,即0≤a ≤2时, f '(x)≥0恒成立, f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当Δ>0,即a>2或a<0时,由x 2+2(1－a)x+1=0,得x=a －1±√a 2－2a . 若a<0,则f '(x)>0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若a>2,则a －1+√a 2－2a >a －1－√a 2－2a >0,由f '(x)>0,得0<x<a －1－√a 2－2a 或x>a －1+√a 2－2a ,则f(x)在(0,a －1－√a 2－2a )和(a －1+√a 2－2a ,+∞)上单调递增,由f '(x)<0,得a －1－√a 2－2a <x<a －1+√a 2－2a ,则f(x)在(a －1－√a 2－2a ,a －1+√a 2－2a )上单调递减.综上,当a ≤2时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当a>2时, f(x)的单调递增区间为(0,a －1－√a 2－2a ),(a －1+√a 2－2a ,+∞),单调递减区间为(a －1－√a 2－2a ,a －1+√a 2－2a ). (2)证明:当a=1时, f(x)=ln x+2x+1. 令g(x)=f(x)－x+12=ln x+2x+1－x+12(x>0),则g'(x)=1x －2(x+1)2－12=2－x －x 32x(x+1)2=－(x －1)(x 2+x+2)2x(x+1)2.当x>1时,g'(x)<0,当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即当x=1时,g(x)取得最大值,故g(x)≤g(1)=0,即f(x)≤x+12成立,得证.陷阱六 遗漏条件增解——细心审题不遗漏跟踪训练6.C 由cos B=cos C,可知△ABC 是等腰三角形. 因为sin A=35,所以需要对A 进行分类讨论.(1)当A 为锐角时,因为sin A=35,所以cos A=45,进而求得sin A 2=√1010. 由a=2,得b=c=√10,所以△ABC 中BC 边上的高等于3. 故△ABC 的面积为12×2×3=3.(2)当A 为钝角时,因为sin A=35,所以cos A=－45,进而求得sin A 2=3√1010. 由a=2,得b=c=√103,所以△ABC 中BC 边上的高等于13.故△ABC 的面积为12×2×13=13.综上,△ABC 的面积为3或13,故选C.陷阱七 推理不当致误——归纳类比要对应跟踪训练 7.答案 45解析 由题意知,从23到m 3,用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=(m+2)(m －1)2(个),2 017是从3开始的第1 008个奇数.当m=44时,从23到443,用去从3开始的连续奇数共46×432=989(个);当m=45时,从23到453,用去从3开始的连续奇数共47×442=1 034(个),故m=45.陷阱八 画图不准失分——“数”化“形”要准确跟踪训练8.答案8解析令g(x)=xf(x)－1=0(x≠0),则f(x)=1x,那么所求g(x)在[－6,+∞)上的零点之和即求函数y=f(x)和y=1x 的图象的交点的横坐标之和.分别作出函数y=f(x)和y=1x的部分图象,如图所示.由于函数y=f(x)和y=1x的图象都关于原点对称,因此g(x)在[－6,6]上的零点之和为0,当x=8时,两函数图象刚好有1个交点,当x∈(8,+∞)时,y=1x的图象都在y=f(x)图象的上方.综上,g(x)=xf(x)－1在[－6,+∞)上的所有零点之和为8.陷阱九运算过程出错——步骤要合理跟踪训练9.解析(1)证明:设AC交BD于点O,连接PO,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD且O为BD的中点,又∵PA⊥BD,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO,又∵BO=DO,故PB=PD.(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,则EQ=12CD,且EQ∥CD,∵AB ∥CD,AB=CD,F 为AB 的中点, ∴AF=12CD,且AF ∥CD, ∴EQ=AF,且EQ ∥AF,∴四边形AFEQ 为平行四边形,∴EF ∥AQ, ∵EF ⊥平面PCD,∴AQ ⊥平面PCD, ∵PD ⊂平面PCD,∴AQ ⊥PD,∵Q 为PD 的中点,∴AP=AD=√2,由AQ ⊥平面PCD,CD ⊂平面PCD,可得AQ ⊥CD, 又∵AD ⊥CD,AQ ∩AD=A,∴CD ⊥平面PAD,∵PA ⊂平面PAD,∴CD ⊥PA,又∵BD ⊥PA,BD ∩CD=D,∴PA ⊥平面ABCD.在△PAC 中,E,O 分别是PC,AC 的中点,∴EO ∥PA,且EO=12PA,∴EO ⊥平面ABCD,∴V D －ACE =V E －ACD =13×12PA ·S △ACD =13×12×√2×12×√2×√2=√26, 故三棱锥D －ACE 的体积为√26.陷阱十 问题转化不等价 ——等价转化要正确跟踪训练10.答案 (4,5)∪(5,7)解析 当p 为真命题时,Δ=(－m)2－4×1×4>0,解得m>4或m<－4; 当q 为真命题时,{m －3>0,7－m >0,m －3≠7－m,解得3<m<7且m ≠5.因为p ∧q 为真命题,所以p,q 皆为真命题,所以{m >4或m <－4,3<m <7且m ≠5,解得4<m<5或5<m<7.所以实数m的取值范围为(4,5)∪(5,7).。

中档解答题规范练(一)解答题1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(cos C+sin C).(1)求角B的大小;(2)若a=1,b=√2,求△ABC的面积.2.已知公差不为零的等差数列{a n}满足a1,a2,a4成等比数列,a3=3;数列{b n}满足b n－b n－1=a n－(n≥2),b4=a1.1(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=1,求数列{c n}的前n项和T n.b n+2n3.如图,三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2,AA 1⊥平面ABC,E,F 分别为棱A 1B 1,BC 的中点.(1)求证:直线BE ∥平面A 1FC 1;(2)平面A 1FC 1与直线AB 交于点M,指出点M 的位置,说明理由,并求三棱锥B －EFM 的体积.4.选考题(二选一)(Ⅰ)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =－√22t,y =－4+√22t(其中t 为参数),现以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'交曲线C 于A,B 两点,求|AB|.(Ⅱ)[选修4—5:不等式选讲]已知函数f(x)=－|x|－|x+2|.(1)解不等式f(x)<－4;(2)若正实数a,b满足a+b=√5,试比较a2+b 24与f(x)+3的大小,并说明理由.答案精解精析解答题1.解析 (1)在△ABC 中,a=b(cos C+sin C)⇒sin A=sin B(cos C+sin C),则sin(B+C)=sin B(cos C+sin C),所以cos Bsin C=sin Bsin C,又sin C>0,所以cos B=sin B,即tan B=1,又B ∈(0,π),所以B=π4.(2)在△ABC 中,a=1,b=√2,B=π4,由余弦定理,得2=1+c 2－2c ·√22,所以c 2－√2c －1=0,所以c=√2+√62, 所以△ABC 的面积S=12acsin B=1+√34.2.解析 (1)设数列{a n }的公差为d,则a 22=a 1a 4,即(a 1+d)2=a 1(a 1+3d),∴a 1=d,又a 3=3,∴a 1+2d=3d=3,∴d=1,a 1=1,∴a n =a 1+(n －1)·d=n.∵b 1=a 1,∴b 1=1.∵b n －b n －1=a n －1=n －1(n ≥2),∴当n ≥2时,b n =(b n －b n －1)+(b n －1－b n －2)+(b n －2－b n －3)+…+(b 3－b 2)+(b 2－b 1)+b 1=(n －1)+(n －2)+(n －3)+…+2+1+1=n 2－n+22,又b 1=1满足上式,∴b n =n 2－n+22(n ∈N *). (2)∵c n =1bn +2n =2n 2+3n+2=2(n+1)(n+2)=2(1n+1－1n+2),∴T n =2(12－13)+2(13－14)+…+2(1n －1n+1)+2(1n+1－1n+2)=1－2n+2=n n+2. 3.解析 (1)证明:取A 1C 1的中点G,连接EG,FG,于是EG ∥B 1C 1,且EG=12B 1C 1,又BF ∥B 1C 1且BF=12B 1C 1,所以BF EG,所以四边形BFGE 是平行四边形,所以BE ∥FG,而BE ⊄平面A 1FC 1,FG ⊂平面A 1FC 1,所以直线BE ∥平面A 1FC 1.(2)M 为棱AB 的中点.理由如下:因为AC ∥A 1C 1,AC ⊄平面A 1FC 1,A 1C 1⊂平面A 1FC 1,所以直线AC ∥平面A 1FC 1,又平面A 1FC 1∩平面ABC=FM,所以AC ∥FM,又F 为棱BC 的中点,所以M 为棱AB 的中点.S △BFM =14S △ABC =14×(12×2×2×sin60°)=√34,所以V 三棱锥B －EFM =V 三棱锥E －BFM =13×√34×2=√36.4.解析 (Ⅰ)(1)由{x =－√22t,y =－4+√22t 消去参数t,得直线l 的普通方程为x+y+4=0.又由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2－4x=0.(2)过点M(1,0)且与直线l 平行的直线l'的参数方程为{x =1－√22t,y =√22t.将其代入x 2+y 2－4x=0得t 2+√2t －3=0,则t 1+t 2=－√2,t 1t 2=－3,所以|AB|=|t1－t2|=√(t1+t2)2－4t1t2=√14.(Ⅱ)(1)f(x)<－4,即|x|+|x+2|>4.当x≤－2时,－2x－2>4,解得x<－3;当－2<x≤0时,2>4,矛盾,无解;当x>0时,2x+2>4,解得x>1;所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>1}.(2)因为|x|+|x+2|≥|x－x－2|=2,当且仅当－2≤x≤0时,取“=”,所以f(x)=－|x|－|x+2|≤－2,即f(x)+3≤1.又a2+b 24=5b24－2√5b+5=5 4(b2－85√5b)+5=54(b－45√5)2+1≥1,当且仅当a=√55,b=4√55时取等号,所以a2+b 24≥f(x)+3.。

活用16个二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x ∈D,都有f(x)+f(－x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0. 例1 设函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .答案 2 解析 f(x)=x 2+1+2x+sinxx +1=1+2x+sinx x +1,令g(x)=2x+sinx x +1,则g(x)为奇函数,有g(x)max +g(x)min =0,故M+m=2. 跟踪训练1.已知函数f(x)=ln(2－3x)+1,则f(lg 2)+f (lg 12)=( ) A.－1 B.0C.1D.2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x ∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=－f(x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=1f(x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x －a)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其一个周期T=6a.例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f (x +32)=－f(x),且f(－2)=f(－1)=－1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )A.－2B.－1C.0D.1答案A解析因为f(x+32)=－f(x),所以f(x+3)=－f(x+32)=f(x),则f(x)的周期T=3.则有f(1)=f(－2)=－1,f(2)=f(－1)=－1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)－f(2016)=672×[f(1)+f(2)+f(3)]－f(2016)=－f(0+3×672)=－f(0)=－2,故选A.跟踪训练2.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.－2B.－1C.0D.1结论三函数图象的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b－x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称,特别地,若f(a+x)=f(a－x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b－x)=c,则y=f(x)的图象关于点(a+b2,c2)中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a－x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1－x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x－1)对任意的x∈[12,1]恒成立,则实数a的取值范围是()A.[－3,－1]B.[－2,0]C.[－5,－1]D.[－2,1]答案B解析 当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x －1)化为f(2)≤f(x －1),由函数f(x)的图象特征可得|2－1|≤|x －1－1|,解得x ≥3或x ≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x －1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除A,C 两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x －1)化为f(x+2)≤f(x －1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2－1|≤|x －1－1|,解得x ≤12,不满足不等式f(ax+2)≤f(x －1)对任意x ∈[12,1]恒成立,由此排除D 选项.综上可知,选B. 跟踪训练3.若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(－1)= . 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f －1(x).特别地,y=a x 与y=log a x(a>0且a ≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f －1(x)的图象上.例4 设点P 在曲线y=12e x 上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( )A.1－ln 2B.√2(1－ln 2)C.1+ln 2D.√2(1+ln 2)答案 B解析 函数y=12e x 与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x 对称,如图所示,两曲线上的点之间的最小距离恰好是y=x 与y=12e x 图象上点的最小距离的2倍,设y=12e x 上点P 0(x 0,y 0)处的切线与y=x 平行,有12e x 0=1,解得x 0=ln 2,y 0=1,所以y=x 与y=12e x 图象上点的最小距离是√22(1－ln 2),故所求距离为√22(1－ln 2)×2=√2(1－ln 2),故选B.跟踪训练4.若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x －1)=5,则x 1+x 2=( ) A.52 B.3 C.72 D.4结论五 对数、指数形式的经典不等式1.对数形式:1－1x+1≤ln(x+1)≤x(x>－1),当且仅当x=0时,等号成立.2.指数形式:e x ≥x+1(x ∈R),当且仅当x=0时,等号成立. 例5 设函数f(x)=1－e －x .证明:当x>－1时, f(x)≥xx+1.证明 f(x)≥xx+1(x>－1)⇔1－e －x ≥xx+1(x>－1)⇔1－xx+1≥e －x (x>－1)⇔1x+1≥1e (x>－1)⇔x+1≤e x (x>－1).由经典不等式e x ≥x+1(x ∈R)恒成立可知x>－1时,e x ≥x+1.即x>－1时, f(x)≥xx+1. 跟踪训练5.已知函数f(x)=e x ,x ∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且λ+μ=1.特别地,当P 为线段AB 的中点时,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0成立的实数x 的取值集合为( ) A.{－1}B.⌀C.{0}D.{0,－1}答案 A解析 ∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ －OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ －OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =－x 2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1－x)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵A,B,C 三点共线, ∴－x 2+(1－x)=1,即x=0或x=－1(x=0舍去), ∴x=－1. 跟踪训练6.在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD,AB=2CD,M,N 分别为CD,BC 的中点.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= .结论七 三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边的长分别为a,b,c,则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a 2sinA . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ . (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13[(1－λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1－λ)OB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ],λ∈R,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心 D.AB 边的中点答案 C解析 取AB 的中点D,则2OD →=OA →+OB →, ∵OP →=13[(1－λ)OA →+(1－λ)OB →+(1+2λ)OC →],∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13[2(1－λ)OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1+2λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=2(1－λ)3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1+2λ3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,而2(1－λ)3+1+2λ3=1,∴P,C,D 三点共线,∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 跟踪训练7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗2+λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈R,则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心 结论八 等差数列1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶－S 奇=md,S奇S 偶=a mam+1.3.若等差数列{a n}的项数为2m－1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S2m－1=(2m－1)a m,S奇=ma m,S偶=(m－1)a m,S奇－S偶=a m,S奇S偶=mm－1.例8等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m－1+a m+1－a m2=0,S2m－1=38,则m等于.答案10解析因为数列{a n}是等差数列,所以a m－1+a m+1=2a m,由a m－1+a m+1－a m2=0,得2a m－a m2=0,又S2m－1=38,所以a m≠0,所以a m=2,由S2m－1=38,即(2m－1)(a1+a2m－1)2=38,∵a1+a2m－1=a m－1+a m+1=2a m=4,∴(2m－1)×2=38,解得m=10.跟踪训练8.(1)等差数列{a n}的前n项和为S n,若S10=20,S20=50,则S30=.(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d=.结论九等比数列已知等比数列{a n},其公比为q,前n项和为S n.(1)数列{1a n }也为等比数列,其公比为1q.(2)若q=1,则S n=na1,且{a n}同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n=a1(1－q n)1－q =a1－a n q1－q=a11－q－a11－q·q n=λ－λ·q n(λ=a11－q).(4)S n,S2n－S n,S3n－S2n,…仍为等比数列(q≠－1或q=－1且n为奇数),其公比为q n.(5)S n,S2nS n ,S3nS2n,…仍为等比数列,公比为q n2.例9已知{a n}是首项为1的等比数列,S n是{a n}的前n项和,且9S3=S6,则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5 B.3116或5 C.3116 D.158答案 C解析 设数列{a n }的公比为q,若q=1,则S 3=3,S 6=6,9S 3≠S 6,与已知矛盾,故q ≠1. 所以有9(1－q 3)1－q=1－q 61－q,即9=1+q 3.解得q=2.所以数列{1a n}是首项为1,公比为12的等比数列,其前5项和为1－(12)51－12=3116.故选C.跟踪训练9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3=14,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5= .结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点的三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=√612a,外接球半径R=√64a.例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A.7π6B.4π3C.2π3D.π2答案 C解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时,设水面上方的小三棱锥的棱长为x(各棱长都相等),依题意,(x 4)3=18,得x=2,易得小三棱锥的高为2√63,设小球半径为r,则13S 底面·2√63=4×13S 底面·r(S 底面为小三棱锥的底面积),得r=√66,故小球的表面积S=4πr 2=2π3.故选C.跟踪训练10.已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( ) A.√14 B.2√3 C.4√6 D.3 结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2=b 2tan θ2,其中θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线x 2a 2－y 2b 2=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2=b 2tanθ2,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.4√33B.2√33C.3D.2答案 A解析 设椭圆和双曲线的标准方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)和x 2a 12－y 2b 12=1(a 1>0,b 1>0,a>a 1),它们的半焦距为c(c>0).根据焦点三角形面积公式可得:b 2tan π6=b 12tanπ6,∴b 2=3b 12.又{a 2=b 2+c 2,a 12+b 12=c 2,消去b 2和b 12得a 2+3a 12=4c 2,∴a 24c +3a 124c =1,即(12e )2+(√32e 1)2=1.设1e =2cos θ,1e 1=√3sin θ,则1e +1e 1=2cos θ+√3sin θ=4√33sin (θ+π3)≤4√33,因此椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为4√33,故选A.跟踪训练11.如图,F1,F2是椭圆C1:x 24+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.√2B.√3C.32D.√62结论十二圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x－a)2+(y－b)2=R2上一点P(x0,y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b)=R2.2.过椭圆x 2a2+y2b2=1上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.3.已知点M(x0,y0),抛物线C:y2=2px(p≠0)和直线l:y0y=p(x+x0).(1)当点M在抛物线C上时,直线l与抛物线C相切,其中M为切点,l为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的两条切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12已知抛物线C:x2=4y,直线l:x－y－2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C 的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.解析联立得{x2=4y,x－y－2=0,消去y,整理得x2－4x+8=0,Δ=(－4)2－4×8×1=－16<0,故直线l与抛物线C相离.由结论知,P在抛物线外,故切点弦AB所在直线方程为x0x=2(y+y0),即y=12x0x－y0.跟踪训练12.(1)过点(3,1)作圆(x－1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为()A.2x+y－3=0B.2x－y－3=0C.4x－y－3=0D.4x+y－3=0(2)设椭圆C:x 24+y23=1,点P(1,32),则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=－b 2a2.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=－b 2a2.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=－b 2a .[提醒]该结论常变形为以椭圆x 2a +y2b=1内任意一点(x0,y0)为中点的弦AB的斜率k=－b2 a2·x0 y0 .2.在双曲线E:x 2a2－y2b2=1(a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k0·k=b 2a2 .(2)k1·k2=b 2a2 .(3)k0·k=b 2a .例13已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,－1),则椭圆E的方程为()A.x 2+y2=1 B.x2+y2=1C.x 227+y218=1 D.x218+y29=1答案D解析如图所示,设P(1,－1),则有k AB·k OP=－b 2a2 .即－b 2a2=k FP·k OP=0－(－1)3－1×－11=－12,即a2=2b2,故选D.跟踪训练13.如图,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆x 24+y22=1于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长AC交椭圆于点B,连接PB,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0直线AB的斜率k AB为定值b2x0a2y0已知双曲线x 2a－y2b2=1(a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0直线AB的斜率k AB为定值－b2x0a2y0已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是直线AB的斜率k AB为定值－py0抛物线上两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0例14 已知抛物线C:y 2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B 是抛物线上的两个动点,直线PA,PB 的斜率分别为k PA ,k PB ,且满足k PA +k PB =0.证明:直线AB 的斜率k AB 为定值,并求出该定值.解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),k PA =k(k ≠0),则k PB =－k,直线PA 的方程为y －4=k(x －8),得y=kx+4－8k,联立得{y =kx +4－8k,y 2=2x,消去y,得k 2x 2+(8k －16k 2－2)x+(4－8k)2=0,8x 1=(4－8k)2k 2,得x 1=(4－8k)28k 2,同理可得x 2=(4+8k)28k 2,则x 2－x 1=(4+8k)28k 2－(4－8k)28k =128k 8k =16k ,x 1+x 2=16+64k 28k ×2=4+16k 2k ,因为y 1=kx 1+4－8k,y 2=－kx 2+4+8k,故y 2－y 1=－k(x 1+x 2)+16k=－k ·4+16k 2k 2+16k=－4k,故k AB =y 2－y 1x 2－x 1=－4k16k=－14,所以直线AB 的斜率k AB 为定值,且为－14. 跟踪训练14.已知椭圆C:x 24+y 23=1,A 为椭圆上的定点且坐标为(1,32),E,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数.证明:直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五 圆锥曲线中的定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆x 2a +y 2b =1(a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定点(a 2－b 2a +b ·a,0).同理,当以AB 为直径的圆过左顶点(－a,0)时,直线l AB 过定点(－a 2－b 2a 2+b 2·a,0).(2)对于双曲线x 2a －y 2b =1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB 过定点(a 2+b 2a 2－b 2·a,0).同理,对于左顶点(－a,0),则定点为(－a 2+b 2a 2－b 2·a,0).(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 过定点(0,2p). 例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.解析 由题意知l AB 的斜率不为0(否则只有一个交点),故可设l AB :x=ty+m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立得{y 2=2px,x =ty +m,消去x,得y 2－2pty －2pm=0,从而Δ=(－2pt)2－4×(－2pm)×1=4p 2t 2+8pm>0,pt 2+2m>0,{y 1+y 2=2pt,y 1y 2=－2pm,①因为以AB 为直径的圆过顶点O(0,0),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0,也即(ty 1+m)(ty 2+m)+y 1y 2=0,把①代入化简得m(m －2p)=0,得m=0或m=2p.当m=0时,x=ty,l AB 过顶点O(0,0),与题意不符,故舍去;当m=2p 时,x=ty+2p,令y=0,得x=2p,所以l AB 过定点(2p,0),此时m=2p 满足pt 2+2m>0.综上,l AB过定点(2p,0).跟踪训练15.已知椭圆x 24+y23=1,直线l:y=kx+m与椭圆交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.结论十六抛物线中的直线与圆相切问题AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦(焦点弦),过A,B分别作准线l:x=－p2的垂线,垂足分别为A1,B1,E为A1B1的中点.(1)如图①所示,以AB为直径的圆与准线l相切于点E.(2)如图②所示,以A1B1为直径的圆与弦AB相切于点F,且|EF|2=|A1A|·|BB1|.(3)如图③所示,以AF为直径的圆与y轴相切.例16过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N两点,自M,N向直线l:x=－a作垂线,垂足分别为M1,N1.当a=p2时,求证:AM1⊥AN1.证明 证法一:如图所示,当a=p2时,点A (p2,0)为抛物线的焦点,l 为其准线x=－p2,由抛物线定义得|MA|=|MM 1|,|NA|=|NN 1|,所以∠MAM 1=∠MM 1A,∠NAN 1=∠NN 1A.因为MM 1∥NN 1,故∠M 1MA+∠N 1NA=180°,所以∠MM 1A+∠MAM 1+∠NN 1A+∠NAN 1=180°,所以∠MAM 1+∠NAN 1=90°,即∠M 1AN 1=90°,故AM 1⊥AN 1.证法二:依题意,可设直线MN 的方程为x=my+a,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则有M 1(－a,y 1),N 1(－a,y 2).由{x =my +a,y 2=2px消去x,可得y 2－2mpy －2ap=0,故{y 1+y 2=2mp,①y 1·y 2=－2ap,②于是x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2a=2m 2p+2a,③ x 1·x 2=y 122p ·y 222p =y 12·y 224p 2=a 2.④当a=p2时,点A (p2,0)为抛物线的焦点,l 为其准线x=－p2,此时M 1(－p2,y 1),N 1(－p2,y 2),由②可得y 1·y 2=－p 2.因为AM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(－p,y 1),AN 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(－p,y 2),故AM 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即AM 1⊥AN 1. 跟踪训练16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(－2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则k= .答案精解精析 活用16个二级结论结论一 奇函数的最值性质跟踪训练1.D 令g(x)=ln(2－3x),x ∈R,则g(－x)=ln(2因为g(x)+g(－x)=ln(23x)+ln(22－9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg 12=－lg 2,所以g(lg 2)+g (lg 12)=0,所以f(lg 2)+f (lg 12)=g(lg 2)+1+g (lg 12)+1=2.故选D.结论二 函数周期性问题跟踪训练2.D 由f(x+2)是偶函数可得f(－x+2)=f(x+2),又由f(x)是定义在R 上的奇函数得f(－x+2)=－f(x －2), f(0)=0,所以f(x+2)=－f(x －2), f(x+4)=－f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1, f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.结论三 函数图象的对称性跟踪训练 3.答案 3解析 因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4－x), f(－x)=f(4+x),易知f(－x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(－1)=f(4－1)=f(3)=3.结论四 反函数的图象与性质跟踪训练4.C 因为2x+2x =5,所以x+2x －1=52,同理x+log 2(x －1)=52,令t=x －1,则x=t+1,即t 1是t+2t =32的解,t 2是t+log 2t=32的解,且t 1=x 1－1,t 2=x 2－1.如图所示,t 1为函数y=2t 与y=32－t 的图象交点P 的横坐标,t 2为函数y=log 2t 与y=32－t 的图象交点Q 的横坐标,所以P(t 1,2t 1),Q(t 2,log 2t 2),且P,Q 关于直线y=x 对称,则t 1+t 2=t 1+2t 1=t 1+(32－t 1)=32.所以x 1+x 2=t 1+1+t 2+1=32+2=72.故选C.结论五 对数、指数形式的经典不等式跟踪训练5.证明 令g(x)=f(x)－(12x 2+x +1)=e x －12x 2－x －1,x ∈R.g'(x)=e x －x －1,由经典不等式e x ≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R 上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件跟踪训练 6.答案45解析 解法一:由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 及题意得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ·12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ·12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则(μ2－1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得(μ2－1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ2+μ2)(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,得14λ+34μ－1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ+μ2)AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,所以由平面向量基本定理得 {14λ+34μ－1=0,λ+μ2=0,解得{λ=－45,μ=85.所以λ+μ=45.解法二:如图,连接MN 并延长交AB 的延长线于T.由已知易得AB=45AT,∴45AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =54λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +54μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∵T,M,N 三点共线,∴54λ+54μ=1,则λ+μ=45.结论七 三角形“四心”的向量形式跟踪训练7.(1)D 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ －PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,即PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理可证PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴P 是△ABC 的垂心. (2)C 设BC 的中点为M,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴P 点的轨迹一定经过△ABC 的重心. (3)BAB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量,AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的单位向量,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向为∠BAC 的平分线AD⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |)的方向与AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的方向相同.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |),∴点P 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上移动.∴P 的轨迹一定经过△ABC 的内心.故选B. 结论八 等差数列跟踪训练 8.(1)答案 90解析 (S 20－S 10)－S 10=(S 30－S 20)－(S 20－S 10),S 30=3S 20－3S 10=3×50－3×20=90. (2)答案 5解析 设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇,偶数项的和为S 偶,由已知条件,得{S 奇+S 偶=354,S 偶∶S 奇=32∶27,解得{S 偶=192,S 奇=162.又S 偶－S 奇=6d,所以d=192－1626=5.结论九 等比数列跟踪训练 9.答案 31解析 由等比数列的性质知,a 1a 5=a 2a 4=a 32,则1a 1+1a 2+1a 3+1a 4+1a 5=a 1+a 5a1a 5+a 2+a 4a2a 4+a 3a 32=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5a 32=S 5a 32=3116116=31.结论十 多面体的外接球和内切球跟踪训练10.A 因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是√42－(12+12)=√14,故选A.结论十一 焦点三角形的面积公式跟踪训练11.D 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22=1,则有a 22+b 22=c 22=c 12=4－1=3.又四边形AF 1BF 2为矩形,所以焦点三角形AF 1F 2的面积为b 12tan 45°=b 22tan45°,即b 22=b 12=1.所以a 22=c 22－b 22=3－1=2.故双曲线的离心率e=c 2a 2=√c 22a 22=√32=√62.故选D.结论十二 圆锥曲线的切线问题跟踪训练12.(1)A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB ·k PC =－1,且k PC =1－03－1=12,∴k AB =－2.故直线AB 的方程为y －1=－2(x －1),即2x+y －3=0,故选A. (2)答案 x+2y －4=0解析 由于点P (1,32)在椭圆x 24+y 23=1上,故所求的切线方程为x 4+32y3=1,即x+2y －4=0.结论十三 圆锥曲线的中点弦问题跟踪训练13.证明 设P(x 0,y 0),则A(－x 0,－y 0),C(x 0,0),k AC =0+y 0x 0－(－x 0)=y 02x 0,又k PA =y 0x 0=k,所以k AC =k2,由k BA ·k BP =－b 2a 2知,k BP ·k BA =k BP ·k AC =k2·k PB =－24,所以k PB ·k=－1,即PA ⊥PB.结论十四 圆锥曲线中的定值问题跟踪训练14.解析 设直线AE 的方程为y=k(x －1)+32,联立得{y =k(x －1)+32,x 24+y 23=1,消去y,整理得(4k 2+3)x 2+(12k －8k 2)x+4(32－k)2－12=0,则x E=4(32－k)2－12(4k 2+3)x A=(3－2k)2－124k 2+3.①同理,可得x F =(3+2k)2－124k +3.②所以k EF =y F －y E x F －x E=－k(x F －1)+32－[k(x E －1)+32]x F －x E=－k(x F +x E )+2k x F －x E,将①②代入上式,化简得k EF =12.所以直线EF 的斜率为定值,这个定值为12.结论十五 圆锥曲线中的定点问题跟踪训练15.解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立得{x 24+y 23=1,y =kx +m,消去y,得(4k 2+3)x 2+8kmx+4m 2－12=0,则有Δ=(8km)2－4(4k 2+3)·(4m 2－12)>0,即m 2<4k 2+3, {x 1+x 2=－8km4k 2+3,x 1x 2=4m 2－124k 2+3.①因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x 1－2,y 1)·(x 2－2,y 2)=0,即x 1x 2－2(x 1+x 2)+4+y 1y 2=0,即x 1x 2－2(x 1+x 2)+4+(kx 1+m)(kx 2+m)=0. 把①代入化简得7m 2+16km+4k 2=0, 得m=－2k 或m=－2k7.当m=－2k 时,直线l:y=kx －2k 过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去; 当m=－2k7时,直线l:y=kx －2k7过定点(27,0),且满足m 2<4k 2+3,符合题意. 所以l:y=kx+m 过定点(27,0).结论十六 抛物线中的直线与圆相切问题跟踪训练 16.答案 2解析 如图所示,因为MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以MA ⊥MB,故点M 在以AB 为直径的圆上,又准线为x=－2,直线AB 经过焦点F(2,0),所以有MF ⊥AB,又k MF =2－2－2=－12,所以k=2.。

妙用20招备考秘籍第一招活用性质妙解函数典例1已知f(x)是定义在R上的偶函数,定义在R上的奇函数g(x)的图象过点(－1,1),且g(x)=f(x－1),则f(2013)+f(2014)=.答案1解析解法一:因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,因为f(x－1)为奇函数,所以f(x)的图象同时关于点(－1,0)对称,所以f(x)是以4为周期的函数,所以f(2013)=f(1)=g(0)=0,f(2014)=f(2)=g(－1)=1,所以f(2013)+f(2014)=1.解法二:因为f(x)=f(－x)=g(1－x)=－g(x－1)=－f(x－2)=f(x－4),所以f(2013)=f(1)=g(0)=0,f(2014)=f(2)=g(－1)=1.所以f(2013)+f(2014)=1.学一招 1.若函数f(x)满足f(a+x)=f(b－x),则函数图象关于直线x=a+b2对称;若函数f(x)满足f(a+x)+f(b－x)=c,则函数图象关于点(a+b2,c2)对称.2.设a为非零实数,(1)若f(x+a)=f(x－a),则函数f(x)的周期为2|a|;(2)若f(x+a)=－f(x),则函数f(x)的周期为2|a|;(3)若f(x+a)=1f(x),则函数f(x)的周期为2|a|;(4)若f(x+a)=－1f(x),则函数f(x)的周期为2|a|.练一手1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)=－f(x),且在[0,1]上是增函数,则有()A. f (14)<f (－14)<f (32) B . f (－14)<f (14)<f (32) C. f (14)<f (32)<f (－14) D . f (－14)<f (32)<f (14) 第二招 最值函数 大显身手典例2 设a,b 为平面向量,则( )A.min{|a+b|,|a －b|}≤min{|a|,|b|}B.min{|a+b|,|a －b|}≥min{|a|,|b|}C.max{|a+b|2,|a －b|2}≤|a|2+|b|2D.max{|a+b|2,|a －b|2}≥|a|2+|b|2 答案 D解析 max{|a+b|2,|a －b|2}≥|a+b|2+|a －b|22=|a|2+|b|2,故选D.学一招 最值函数的定义:设a,b 为实数,则min{a,b}={a,a ≤b,b,b <a;max{a,b}={a,a ≥b,b,b >a.解有些求最值问题时,巧妙借助以下性质,可如虎添翼.(1)min{a,b}≤a+b 2≤max{a,b};(2)min{a,b}≤√ab ≤max{a,b}. 练一手 2.记max{a,b}={a,a ≥b,b,a <b,已知向量a,b,c 满足|a|=1,|b|=2,a ·b=0,c =λa +μb (λ≥0,μ≥0,且λ+μ=1),则当max{c ·a,c ·b}取最小值时,|c|=( ) A.2√55B.2√23C.1D.√52第三招 由果导源 巧构函数典例3 设函数f '(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数, f(－1)=0,当x>0时,xf '(x)－f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞,－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1,+∞)C.(－∞,－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 A解析 解法一:构造抽象函数求解. 设F(x)=f(x)x.因为f(x)是奇函数,故F(x)是偶函数,F'(x)=xf '(x)－f(x)x 2,易知当x>0时,F'(x)<0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递减.又f(－1)=0,则f(1)=0,于是F(－1)=F(1)=0, f(x)=xF(x),解不等式f(x)>0,即找到x 与F(x)的符号相同的区间,易知当x ∈(－∞,－1)∪(0,1)时, f(x)>0,故选A.解法二:构造具体函数求解.设f(x)是多项式函数,因为f(x)是奇函数,所以它只含x 的奇次项.又f(1)=－f(－1)=0,所以f(x)能被x 2－1整除.因此可取f(x)=x －x 3,检验知f(x)满足题设条件.解不等式f(x)>0,得x ∈(－∞,－1)∪(0,1),故选A.学一招 抽象函数的导数问题在高考中常考常新,可谓变化多端,解决此类问题的关键是构造函数,常见的构造函数方法有如下几种:(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f '(x)+g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)+g(x); ②对于不等式f '(x)－g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)－g(x); 特别地,对于不等式f '(x)>k(或<k)(k ≠0),构造函数F(x)=f(x)－kx(k ≠0). (2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f '(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x); ②对于不等式f '(x)g(x)－f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x)(g(x)≠0). (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数 ①对于不等式xf '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x); ②对于不等式xf '(x)－f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)x(x ≠0);③对于不等式xf '(x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=x n f(x); ④对于不等式xf '(x)－nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)x n (x ≠0); ⑤对于不等式f '(x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e x f(x); ⑥对于不等式f '(x)－f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)e x ;⑦对于不等式f(x)+f '(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=sin xf(x); ⑧对于不等式f(x)－f '(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)sinx (sin x ≠0); ⑨对于不等式f '(x)－f(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=cos xf(x); ⑩对于不等式f '(x)+f(x)tan x>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)cosx (cos x ≠0); 对于不等式f '(x)+kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=e kx f(x); 对于不等式f '(x)－kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)e kx .练一手3.已知函数f(x)(x ∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导数f '(x)<12,则不等式f(x 2)<x 22+12的解集为 .4.设f(x)是定义在R 上的可导函数,且满足f(x)+xf '(x)>0,则不等式f(√x +1)>√x －1f(√x 2－1)的解集为 .第四招 三角问题 重在三变典例4 (1)对于锐角α,若sin (α－π12)=35,则cos (2α+π3)=( )A.2425B.38C.√28D.－2425(2)若sin 2α=√55,sin(β－α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是( )A.7π4B.9π4C.5π4或7π4 D.5π4或9π4答案 (1)D (2)A解析 (1)由α为锐角,且sin (α－π12)=35,可得cos (α－π12)=45,所以cos (2α+π3)=sin [π2－(2α+π3)]=sin (π6－2α)=－2sin (α－π12)cos (α－π12) =－2×35×45=－2425.(2)因为α∈[π4,π],所以2α∈[π2,2π]. 又sin 2α=√55,故2α∈[π2,π],则α∈[π4,π2], 所以cos 2α=－2√55. 又β∈[π,3π2],故β－α∈[π2,5π4],α+β∈[5π4,2π], 又sin(β－α)=√1010,故cos(β－α)=－3√1010, 所以cos(α+β)=cos[2α+(β－α)]=cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) =－2√55×(－3√1010)－√55×√1010=√22, 又α+β∈[5π4,2π], 故α+β=7π4.学一招 1.“三变”是指变角、变数与变式. (1)变角如2α=(α+β)+(α－β),α=(α+β)－β等. (2)变数特别是“1”的代换,1=sin 2θ+cos 2θ=tan 45°等. (3)变式 cos 2α=1+cos2α2,sin 2α=1－cos2α2,tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),sin 2α=2sin αcos α=2sinαcosαsin 2α+cos 2α=2tanαtan 2α+1, cos 2α=cos 2α－sin 2α=cos 2α－sin 2αsin 2α+cos 2α=1－tan 2αtan 2α+1等. 2.三角公式中常用的变形(1)对于含有sin α±cos α,sin αcos α的问题,常利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,建立sin α±cos α与sin αcos α的关系.(2)对于含有sin α,cos α的齐次式(如sinα+cosαsinα－cosα,sinαcosα),利用tan α=sinαcosα转化为含tan α的式子.(3)对于形如cos 2α+sin α与cos 2α+sin αcos α的变形,前者用平方关系sin 2α+cos 2α=1化为二次函数型,而后者用降幂公式化为一个角的三角函数.(4)含tan α+tan β与tan αtan β时,考虑tan(α+β)=tanα+tanβ1－tanαtanβ.练一手5.已知f(x)=2sin 2x+2sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( ) A.2π,[3π8,7π8]B.π,[3π8,7π8]C.2π,[－π8,3π8] D.π,[－π8,3π8]6.已知α为锐角,若sin (α+π6)=35,则cos (2α－π6)= . 第五招 射影定理 出奇制胜典例5 △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .答案π3解析 解法一:因为2bcos B=acos C+ccos A,所以由正弦定理得2sin B ·cos B=sin Acos C+sin Ccos A =sin(A+C)=sin(π－B)=sin B.又因为0<B<π,所以sin B ≠0, ∴2cos B=1,即cos B=12,∴B=π3.解法二:由射影定理acos C+ccos A=b,可得2bcos B=b,解得cos B=12. 因为0<B<π,所以B=π3.学一招 射影定理:在△ABC 中,a=bcos C+ccos B,b=acos C+ccos A,c=acos B+bcos A. 证明:已知余弦定理 a 2=b 2+c 2－2bccos A,① b 2=c 2+a 2－2cacos B,② c 2=a 2+b 2－2abcos C.③ ①、②相加,得2c 2－2bccos A －2cacos B=0, 即c=acos B+bcos A. 同理可证 a=bcos C+ccos B, b=acos C+ccos A. 练一手7.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2aC.A=2BD.B=2A9.在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则ab = . 第六招 正弦余弦 相得益彰典例6 (2018广州综合测试(一))△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=√21,c －b=1,△ABC 的外接圆半径为√7.(1)求角A 的值; (2)求△ABC 的面积.解析 (1)因为a=√21,△ABC 外接圆的半径R=√7, 所以根据asinA =2R,得√21sinA =2√7,所以sin A=√32. 因为0<A<π,所以A=π3或A=2π3. (2)当A=π3时,由a=√21,c －b=1, 根据余弦定理a 2=b 2+c 2－2bccos A, 得(√21)2=b 2+(b+1)2－2b(b+1)cos π3, 解得b=4,则c=5.所以S △ABC =12bcsin A=5√3. 当A=2π3时,由a=√21,c －b=1, 根据余弦定理a 2=b 2+c 2－2bccos A, 得21=b 2+(b+1)2－2b(b+1)cos 2π3,解得b=√249－36,则c=√249+36. 所以S △ABC =12bcsin A=5√33. 综上可知,△ABC 的面积为5√3或5√33.学一招 1.解三角形中常用结论:(1)三角形中的正弦、余弦、正切满足的关系式有:asinA =bsinB =csinC =2R(R 为△ABC 外接圆半径),c 2=a 2+b 2－2abcos C,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,a>b ⇔A>B ⇔sin A>sin B ⇔cos A<cos B.(2)三角形形状判断(一般用余弦定理): 直角三角形⇔a 2+b 2=c 2;锐角三角形⇔a 2+b 2>c 2(c 为最大边); 钝角三角形⇔a 2+b 2<c 2(c 为最大边). (3)在锐角三角形ABC 中: ①A+B>π2,C+B>π2,A+C>π2;②任意角的正弦值都大于其他角的余弦值.(4)在△ABC 中,A,B,C 成等差数列⇔B=60°;在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,且a,b,c 成等比数列⇔三角形为等边三角形.2.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,其面积为S. (1)S=12ah a =12bh b =12ch c (h a ,h b ,h c 分别表示a,b,c 边上的高). (2)S=12absin C=12bcsin A=12casin B.(3)S=12r(a+b+c)(r 为三角形ABC 内切圆的半径). 练一手10.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S,已知2acos 2C2+2ccos 2A 2=52b. (1)求证:2(a+c)=3b; (2)若cos B=14,S=√15,求b.第七招 向量小题 三招搞定典例7 (1)如图,在四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥DC.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.b 2－a 2B.a 2－b 2C.a 2+b 2D.ab(2)在Rt △ABC 中,D 是斜边AB 的中点,AC=4,BC=3,点E,F 分别是边BC,AC 上的动点,且EF=1,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .答案 (1)A (2)154 解析 (1)解法一:分解法.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2－AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ －DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2－AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2－(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b 2－a 2. 解法二:分解法.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ －AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠DAC －|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos ∠BAC=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |－|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |－|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=b 2－a 2.解法三:建系法.设∠DAC=α,∠BAC=β,AC=2R,建立如图所示的直角坐标系, 则D(Rcos 2α,Rsin 2α),B(Rcos 2β,－Rsin 2β),a=2Rcos β,b=2Rcos α,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2R,0)·R(cos 2α－cos 2β,sin 2α+sin 2β)=2R 2·(cos 2α－cos 2β)=2R 2·(2cos 2α－2cos 2β)=(2Rcos α)2－(2Rcos β)2=b 2－a 2.(2)解法一:建系法.建立如图所示的直角坐标系,则C(0,0),A(0,4),B(3,0),D (32,2),设E(x,0),F(0,y),则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x －32,－2)·(－32,y －2)=254－(32x +2y). 又EF=1,所以x 2+y 2=1, 令x=cos θ,y=sin θ,则32x+2y=32cos θ+2sin θ≤√94+4=52,从而得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为154.解法二:构图法.记EF 的中点为M,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =|DM|2－|MF|2=|DM|2－14.又点M 在以C 为圆心,以12为半径的圆上,故当D,M,C 三点共线时,|DM|min =52－12=2,故DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为154.学一招 解决与向量有关的小题,一般用三招,即“构图、分解、建系”,就能突破难点,顺利解决问题. 练一手11.已知向量a,b 满足a ·(a+2b)=0,|a|=|b|=1,且|c －a －2b|=1,则|c|的最大值为( ) A.2 B.4 C.√5+1 D.√3+112.在Rt △ABC 中,D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2= .第八招 玩转通项 搞定数列典例8 (1)已知数列{a n }满足a 1=2,a n －a n －1=n(n ≥2,n ∈N *),则a n = .(2)已知在数列{a n }中,a n+1=nn+2a n (n ∈N *),且a 1=4,则数列{a n }的通项a n = . (3)已知数列{a n }满足a 1=1,a n =12a n －1+1(n ≥2,n ∈N *),则数列{a n }的通项a n = . 答案 (1)n 2+n+22(2)8n(n+1) (3)2－(12)n －1解析 (1)由题意可知,a 2－a 1=2,a 3－a 2=3,…,a n －a n －1=n(n ≥2), 以上式子累加得,a n －a 1=2+3+…+n. 因为a 1=2,所以a n =2+(2+3+…+n)=2+(n －1)(2+n)2=n 2+n+22(n ≥2).因为a 1=2满足上式,所以a n =n 2+n+22(n ∈N *).(2)由a n+1=nn+2a n ,得a n+1a n=nn+2,故a 2a 1=13,a 3a 2=24,…,a nan －1=n －1n+1(n ≥2),以上式子累乘得,an a 1=13·24·…·n －3n －1·n －2n·n －1n+1=2n(n+1).因为a 1=4,所以a n =8n(n+1)(n ≥2).因为a 1=4满足上式,所以a n =8n(n+1)(n ∈N *).(3)由a n =12a n －1+1(n ≥2),得a n －2=12(a n －1－2),而a 1－2=1－2=－1,∴数列{a n －2}是首项为－1,公比为12的等比数列. ∴a n －2=－(12)n －1,∴a n =2－(12)n －1(n ≥2).∵a 1=1满足上式,∴a n =2－(12)n －1(n ∈N *).学一招 几种常见的数列类型及通项公式的求法(1)递推公式为a n+1=a n+f(n)解法:把原递推公式转化为a n+1－a n=f(n),利用累加法(逐差相加法)求解.(2)递推公式为a n+1=f(n)a n=f(n),利用累乘法(逐商相乘法)求解.解法:把原递推公式转化为a n+1a n(3)递推公式为a n+1=pa n+q解法:通过待定系数法,将原问题转化为特殊数列{a n+k}的形式求解.(4)递推公式为a n+1=pa n+f(n)解法:利用待定系数法,构造数列{b n},消去f(n)带来的差异.练一手,n∈N*.13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足a1=1,nS n+1－(n+1)S n=n(n+1)2(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式.第九招把握规律快速求和典例9已知等差数列{a n}中,2a2+a3+a5=20,且前10项和S10=100.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n·2a n}的前n项和.解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,由已知得{2a2+a3+a5=4a1+8d=20,10a1+10×92d=10a1+45d=100,解得{a1=1,d=2,所以{a n}的通项公式为a n=1+2(n－1)=2n－1(n∈N*).(2)令b n=2a n,由(1)可知a n·b n=(2n－1)×22n－1,设T n为数列{a n·b n}的前n项和,所以T n=1×21+3×23+5×25+…+(2n－3)×22n－3+(2n－1)×22n－1,①4T n=1×23+3×25+5×27+…+(2n－3)×22n－1+(2n－1)×22n+1,②①－②得:－3T n=2+2×(23+25+…+22n－1)－(2n－1)×22n+1,所以T n=2+2×(23+25+…+22n－1)－(2n－1)×22n+1－3=2+2×8(1－4n－1)1－4－(2n－1)×22n+1－3=－6+2×8(1－4n－1)+(6n－3)×22n+19=10+(6n－5)×22n+19(n∈N*).学一招 1.求数列的前n项和的主要方法(1)公式法:对于等差数列或等比数列可用公式法.(2)裂项相消法:将数列的每一项分解为两项的差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而累加相消.(3)错位相减法:若{a n}为等差数列,{b n}为等比数列,则对于数列{a n b n}的前n项和可用错位相减法.(4)倒序相加法:如果一个数列{a n}中与首末两端等“距离”的两项的和等于同一个常数,那么求这个数列前n项和即可用倒序相加法.(5)分组求和法:将原数列分解成可用公式法求和的若干个数列. 2.常用裂项公式 (1)1n(n+1)=1n －1n+1; (2)√n+1+√n =√n +1－√n ;(3)a n =(a n －a n －1)+(a n －1－a n －2)+…+(a 2－a 1)+a 1=a na n －1·an －1an －2·…·a2a 1·a 1;(4)n(n+1)=13[n(n+1)(n+2)－(n －1)n(n+1)];(5)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)－1(n+1)(n+2)]; (6)(2n)2(2n －1)(2n+1)=1+12(12n －1－12n+1).练一手14.在等差数列{a n }中,a 2+a 7=－23,a 3+a 8=－29. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{a n +b n }是首项为1,公比为q 的等比数列,求{b n }的前n 项和S n .第十招 求得通项 精准放缩典例10 已知数列{a n }满足a 1=8,(n+1)a n+1=(n+3)a n +8n+8.(1)求a n ; (2)求证:1a 1－1+1a 2－1+…+1a n －1<27.解析 (1)(n+1)a n+1=(n+3)a n +8n+8两边同除以(n+1)(n+2)(n+3),得a n+1(n+3)(n+2)=a n(n+2)(n+1)+8(n+3)(n+2), 即a n+1(n+3)(n+2)－a n (n+2)(n+1)=8(1n+2－1n+3). 利用累加法,可得a n+1(n+3)(n+2)－a 13×2=8(13－1n+3),化简求得a n+1=4(n+1)(n+2),所以a n =4n(n+1)(n ∈N *). (2)证法一:14n 2+4n －1<14n 2－1=12(12n －1－12n+1),通过计算,当n ≥4时,17+123+147+…+14n 2+4n －1<17+123+147+12[(17－19)+(19－111)+…+(12n －1－12n+1)]<17+123+147+114<27.证法二:14n 2+4n －1<14n 2+4n －3=1(2n －1)(2n+3)=14(12n －1－12n+3).当n ≥3时,17+123+…+14n 2+4n －1<17+123+14(15－19)+(17－111)+…+(12n －1－12n+3)<17+123+14(15+17)<17+121+221=27.学一招 常见的几种放缩形式.(1)1n 2<1n 2－n =1n －1－1n ;(2)1n 2<1n 2－1=12(1n －1－1n+1); (3)1n 2<44n 2－1=2(12n －1－12n+1);(4)12n(2n+1)<1(2n －12)(2n+32)=14n －1－14n+3;(5)12n 2+n －1=12(n 2+n 2－12)<12(n －34)(n+54)=14n －3－14n+5.练一手15.已知数列{a n }满足:a 1=2且a n+1=2(n+1)a n a n +n(n ∈N *).(1)求证:数列{na n－1}为等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)求证:a 11+a 22+a 33+…+ann <n+2(n ∈N *).第十一招 绕过通项 也可放缩典例11 已知数列{a n }的首项为a 1=1,且a n+1=a n +4a n+1(n ∈N *).(1)求a 2,a 3的值,并证明:a 2n －1<a 2n+1<2;(2)令b n =|a 2n －1－2|,S n =b 1+b 2+…+b n .求证:98[1－(19)n]<S n <76. 解析 (1)由a 1=1且a n+1=a n +4a n+1,得a 2=52,a 3=137.证明如下:一方面,a n+1－2=a n +4a n +1－2=－a n －2an +1,所以a n+1－2a n －2=－1an +1.由题可知a n >0,所以a n+1－2a n －2<0,即a n+1－2与a n －2异号, 故a n+2－2与a n －2同号, 于是a 2n+1－2与a 2n －1－2同号.又a 1－2=－1<0,所以a 2n+1－2<0,所以a 2n+1<2. 另一方面,a 2n+1－a 2n －1=a 2n +4a 2n+1－a2n －1=a 2n －1+4a 2n －1+1+4a 2n －1+4a 2n －1+1+1－a 2n －1=5a2n －1+82a2n －1+5－a 2n －1=－2(a 2n －12－4)2a2n －1+5.由0<a 2n －1<2知a 2n+1－a 2n －1>0,即a 2n+1>a 2n －1. 综上所述,a 2n －1<a 2n+1<2.(2)证明:因为a 2n+1－2=－a 2n －2a2n +1=－a 2n －1+4a 2n －1+1－2a 2n －1+4a 2n －1+1+1=a2n －1－22a2n －1+5,所以a 2n+1－2a 2n －1－2=12a2n －1+5.由b n =|a 2n －1－2|知b n+1b n=12a2n －1+5.又1≤a 2n －1<a 2n+1<2,所以19<b n+1b n≤17.而b 1=1,所以当n ≥2时,b n =b 1·b 2b 1·…·b nbn －1≤(17)n －1,同理,b n >(19)n －1.故S n =b 1+b 2+…+b n ≤1+17+(17)2+…+(17)n －1=1－(17)n1－17<76,S n =b 1+b 2+…+b n >1－(19)n 1－19=98[1－(19)n].综上所述,98[1－(19)n]<S n <76.学一招 有一类数列不等式问题,数列的通项公式虽然很难求得,但可借助递推关系变形后达到放缩的目的.常用的放缩变形如下:(1)1(n+2)3<1(n+1)(n+2)(n+3) =12[1(n+1)(n+2)－1(n+2)(n+3)]; (2)n √n －1=√n ·√n ·√n －1=√n(√n －1√n)·√n －√n －1=√n+√n －1√n(√n －1√n)<2(√n －1√n).练一手16.设数列{a n }满足a 1=1,a n+1a n =n+1(n ∈N *).(1)如果a 1a 2,a k+1a k+2,a 6k+1a 6k+2成等比数列,求正整数k 的值;(2)求证:∑k=1n1a k≥2(√n +1－1).第十二招 动态几何 以静得动典例12 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 是CC 1的中点,若点P 在平面ABB 1A 1内,且满足∠PDB 1=∠MDB 1,则点P 的轨迹是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 答案 C解析 因为∠PDB 1=∠MDB 1,所以点P 在以DB 1为轴线,D 为顶点的圆锥侧面上,因为点P 又在平面AA 1B 1B 内,所以点P 的轨迹为平面AA 1B 1B 与圆锥侧面的交线.设直线DB 1与平面ABB 1A 1所成的角为α,则有tan α=√22,因为tan ∠B 1DM=√63,所以α<∠B 1DM,所以点P 的轨迹是双曲线.学一招 1.立体几何中的动态问题,主要有五种类型:动点问题、翻折问题、旋转问题、投影与截面问题以及轨迹问题,解题时要回归到最本质的定义、定理、性质或现有结论中,若能再配以沉着冷静的心态去计算,那么相信绝大多数问题可以迎刃而解.2.平面图形折叠成空间图形问题的解题关键.平面图形折叠成空间图形的问题,关键是抓住折叠过程中哪些变,哪些不变,将平面图形与空间图形对照解决.核心知识与研究方法如下:练一手17.如图,在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=√2,AA 1=√3,上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1,当点E 在线段CC 1上从点C 上移到点C 1时,点O 1在平面BDE 上的投影G 的轨迹长度为 .18.如图,在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,底面为直角三角形,∠ACB=90°,AC=6,BC=CC 1=√2,P 是BC 1上一动点,则CP+PA 1的最小值是 .第十三招 巧算方程 避免讨论典例13 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),过右焦点F(c,0)的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点,过点F 作l 的垂线,交直线x=a 2c 于P 点,若|PF||AB|的最小值为ba ,试求椭圆C 的离心率e 的取值范围.解析 设直线l:{x =c +tcosα,y =tsinα(其中t 为参数). 联立直线与椭圆方程可得 (cos 2αa 2+sin 2αb 2)t 2+2c ·cosαa 2t+c 2a 2－1=0,于是|AB|=|t 1－t 2|=2a ·1cos 2αa 2+sin 2αb 2.易知直线PF:{x =c +tcos (α+π2),y =tsin (α+π2)(t 为参数), 又x=a 2c =c+t 3cos (α+π2), 所以|PF|=|t 3|=b 2csinα,|PF||AB|=ab 22c (1a 2sinα+c 2a 2b 2sinα)≥ba , 当且仅当sin α=bc 时取等号,所以0<bc =sin α≤1,则cb ≥1,得c 2a 2≥12,即e ≥√22. 故椭圆的离心率e 的取值范围为[√22,1).学一招 直线与圆锥曲线的问题是解析几何的一个基本问题,运算量大是它的一个特点,根据题设条件,灵活选用恰当的直线方程,与圆锥曲线方程联立,会大大简化求解过程.遇到的点为(m,0),考虑常规的设法为y=k(x －m)时,往往不如把直线方程设为x=ty+m 更加简便,其中的t=1k ,该设法包括了直线经过该点而斜率不存在的情况,避免讨论,可以减少一些计算量.经过点(x 0,y 0)的直线方程的设法主要有: (1)x=t(y －y 0)+x 0当经过点(x 0,y 0)的直线有斜率不存在的情况时,此类设法占有一定的优势. (2)直线的参数方程为{x =x 0+tcosθ,y =y 0+tsinθ(其中t 为参数,θ为直线的倾斜角).练一手19.已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点(0,√2),且离心率e 为√22. (1)求椭圆E 的方程;(2)设直线x=my －1(m ∈R)交椭圆E 于A,B 两点,判断点G (－94,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.第十四招 巧用定值 曲径通幽典例14 椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为√32,过点F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 为椭圆C 上除长轴端点外的任意一点,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点,设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值.解析 (1)由已知得{2b 2a =1,ca =√32,b 2+c 2=a 2,解得{a =2,b =1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P(x 0,y 0),易知直线l 的方程为y －y 0=k(x －x 0).根据题意得1k 1+1k 2=x 0+√3y 0+x 0－√3y 0=2x 0y 0, 所以1kk 1+1kk 2=2k ·y0x 0,下面证明k ·y0x 0为定值.联立方程{y －y 0=k(x －x 0),x 2a 2+y 2b 2=1,消去y 得,(1a 2+k 2b 2)x 2+2k(y 0－kx 0)x b 2+(y 0－kx 0)2b 2－1=0,由Δ=0,得 [2k(y 0－kx 0)b 2]2－4(1a 2+k 2b 2)[(y 0－kx 0)2b 2－1]=0,整理得(a 2－x 02)k 2+2x 0y 0k+(b 2－y 02)=0.又点P(x 0,y 0)在椭圆上,则x 02a 2+y 02b 2=1,所以a 2y 02b 2k 2+2x 0y 0k+b 2x 02a 2=0,所以(ay 0bk +bx 0a)2=0,即k ·y 0x 0=－b 2a 2.又a=2,b=1,所以k·y0x0=－b2a2=－14.从而有1kk1+1kk2=2k·y0x0=2－14=－8.学一招 1.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),下列三个斜率的乘积是定值－b2a2:(1)直线l交椭圆于A,B两点,M为AB的中点,若l与OM的斜率存在,则k l·k OM=－b 2a2; (2)点P为椭圆上除顶点外任意一点,过点P的直线l与椭圆相切,若直线l的斜率为k且不为零,则k·k OP=－b 2a2;(3)直线AB过椭圆的中心O,交椭圆于A,B两点,P为椭圆上异于A,B,且使得k PA·k PB都存在且不为零的点,则k PA·k PB=－b 2a2 .2.对于双曲线C:x 2a2－y2b2=1(a>0,b>0),下列三个斜率的乘积是定值b2a2:(1)双曲线C上任意两点A,B,P为AB的中点,若AB,OP的斜率存在且不为零,则k AB·k OP=b 2a2;(2)点P为C上除顶点外任意一点,过点P的直线l与双曲线相切,若直线l的斜率为k且不为零,则k·k OP=b 2a2;(3)过原点的直线l与双曲线C交于A,B两点,P为C上任意一点,若直线PA,PB的斜率存在且不为零,则k PA·k PB=b 2a2.练一手20.已知直线l:y=x+√6,圆O:x2+y2=5,椭圆E:y 2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率e=√33,直线l被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证:切线斜率之积为定值.第十五招 构造函数 突破压轴典例15 已知函数f(x)=ln x －a(x －1),a ∈R,x ∈[1,+∞),且f(x)≤lnxx+1恒成立,求a 的取值范围.解析 解法一:(含参直接构造) f(x)－lnx x+1=xlnx －a(x 2－1)x+1,构造函数g(x)=xln x －a(x 2－1)(x ≥1), 则g'(x)=ln x+1－2ax,令F(x)=g'(x)=ln x+1－2ax,F'(x)=1－2ax x.令1－2ax=0,得x=12a .①若a ≤0,则F'(x)>0,g'(x)在[1,+∞)上单调递增,g'(x)≥g'(1)=1－2a>0, ∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,g(x)≥g(1)=0,从而f(x)－lnxx+1≥0,不符合题意. ②若0<a<12,当x ∈[1,12a )时,F'(x)>0, ∴g'(x)在[1,12a )上单调递增, 从而g'(x)>g'(1)=1－2a>0, ∴g(x)在[1,12a )上单调递增,g(x)≥g(1)=0,从而f(x)－lnxx+1≥0,不符合题意.③若a ≥12,则F'(x)≤0在[1,+∞)上恒成立, ∴g'(x)在[1,+∞)上单调递减, g'(x)≤g'(1)=1－2a ≤0. ∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,从而g(x)≤g(1)=0, f(x)－lnxx+1≤0, 综上所述,a 的取值范围是[12,+∞). 解法二:(巧妙两边构造)当x ≥1时, f(x)≤lnxx+1恒成立等价于ln x －lnxx+1≤a(x －1), 不等式两边分别构造函数:令h(x)=ln x －lnx x+1=xlnx x+1,g(x)=a(x －1). 则h'(x)=x+1+lnx (x+1)2,∵x ≥1,∴h'(x)>0,∴h(x)在[1,+∞)上是增函数. g'(x)=a,∵当a>0时,g(x)在[1,+∞)上是增函数, 又∵h(1)=g(1)=0,∴要使h(x)≤g(x)(x ≥1)恒成立,只需h'(1)≤g'(1),即a ≥12, 故a 的取值范围为[12,+∞).学一招 1.构造函数解决导数问题常用模型 (1)条件: f '(x)>a(a ≠0);构造函数:h(x)=f(x)－ax. (2)条件: f '(x)±g'(x)>0;构造函数:h(x)=f(x)±g(x). (3)条件: f '(x)+f(x)>0;构造函数:h(x)=e x f(x). (4)条件: f '(x)－f(x)>0;构造函数:h(x)=f(x)e x.(5)条件:xf '(x)+f(x)>0;构造函数:h(x)=xf(x). (6)条件:xf '(x)－f(x)>0;构造函数:h(x)=f(x)x.(7)条件:f '(x)f(x)>0;构造函数:h(x)=ln|f(x)|. 2.构造函数证明数列不等式常用模型(1)求证:12+13+14+…+1n+1<ln(1+n); 构造函数: f(x)=ln(1+x)－x1+x . (2)求证:ln(1+n)<1+12+13+14+…+1n ; 构造函数: f(x)=ln(1+x)－x. (3)求证:2n(n+1)<ln 2·ln 3·ln 4·…·ln n; 构造函数: f(x)=ln x －x －1x+1. (4)求证:ln 2<1n+1+1n+2+…+13n <ln 3; 构造函数: f(x)=ln x －x －1x .(5)求证:ln224+ln334+…+lnnn 4<12e ; 构造函数: f(x)=lnxx 2. (6)求证:ln23+ln34+ln45+…+lnn n+1<n(n －1)4;构造函数: f(x)=ln x －(x －1).(7)求证:(1+124)(1+134)…(1+1n 4)<e; 构造函数: f(x)=ln(1+x 2)－x. 练一手21.已知数列{a n }中,a 2=p(p 是不等于0的常数),S n 为数列{a n }的前n 项和,若对任意的正整数n 都有S n =n(a n －a 1)2.(1)证明:数列{a n }为等差数列;(2)记b n =S n+2S n+1+Sn+1S n+2,求数列{b n }的前n 项和T n ;(3)记c n =T n －2n,是否存在正整数N,使得当n>N 时,恒有c n ∈(52,3)?若存在,证明你的结论,并给出一个具体的N 值;若不存在,请说明理由.第十六招 抓号分类 速解单调 典例16 已知函数f(x)=ax 2－1e x(a ∈R),求函数f(x)的单调区间.解析 因为函数f(x)的定义域为R, f '(x)=2axe x －e x (ax 2－1)(e x )2=－ax 2+2ax+1e x.(1)当a=0时, f '(x)=1e x >0,函数f(x)在R 上单调递增; (2)当a>0时,－a<0,Δ=4a 2+4a>0, 令f '(x)=0,解得x=－2a±√4a 2+4a －2a=a±√a 2+aa=1±√1+1a. 显然1－√1+1a <1+√1+1a ,所以当x<1－√1+1a 或x>1+√1+1a 时, f '(x)<0,函数f(x)单调递减; 当1－√1+1a <x<1+√1+1a 时, f '(x)>0,函数f(x)单调递增; (3)当a<0时,－a>0,Δ=4a 2+4a.①当Δ≤0,即－1≤a<0时,－ax 2+2ax+1≥0恒成立, 所以f '(x)≥0,函数f(x)单调递增; ②当Δ>0,即a<－1时, 令f '(x)=0,解得x=－2a±√4a 2+4a －2a=a±√a 2+aa=1±√1+1a.显然1－√1+1a <1+√1+1a,所以当x<1－√1+1a 或x>1+√1+1a时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当1－√1+1a <x<1+√1+1a时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.综上所述,当a>0时,函数f(x)的单调递减区间为(－∞,1－√1+1a )和(1+√1+1a,+∞),单调递增区间为(1－√1+1a ,1+√1+1a);当－1≤a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(－∞,+∞),无单调递减区间;当a<－1时,函数f(x)的单调递增区间为(－∞,1－√1+1a )和(1+√1+1a,+∞),单调递减区间为(1－√1+1a ,1+√1+1a).学一招利用导数研究函数单调性的核心是讨论导函数的符号变化情况,所以讨论含参函数单调性的分类标准就是导函数符号的变化,这就需要根据导函数解析式的结构特征分离出不变号的部分,抓住其中变号的部分.分类时需要注意参数的所在位置及参数取值对导函数符号的影响,还要遵循不重不漏的基本原则.“不漏”即若把每一类中参数的取值范围用集合表示出来,则所有类对应集合的并集就是题中给出参数的取值范围;“不重”即任意两类对应的集合的交集都是空集.为避免重复与遗漏,最后作答时应按照参数的取值从小到大或从大到小的顺序依次写出.找出分类的依据及类的划分标准后,只需逐类进行讨论.练一手22.已知函数f(x)=ln x+a(1－x),讨论f(x)的单调性.第十七招 离参转化 速求范围典例17 已知函数f(x)=xe x +ax+b(a,b ∈R).(1)若函数f(x)在R 上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若函数f(x)在(－1,3)上单调,求实数a 的取值范围. 解析 (1)f '(x)=1×e x －(e x )'x(e x )2+a=1－x+ae xe x,设g(x)=1－x+ae x ,由题意知g(x)≥0在R 上恒成立,即1－x+ae x ≥0在R 上恒成立. 解法一(直接法):g'(x)=－1+ae x ,显然e x >0.①当a ≤0时,g'(x)<0恒成立,所以函数g(x)在R 上单调递减, 又x →+∞时,g(x)→－∞,所以函数g(x)没有最小值,不符合题意. ②当a>0时,令g'(x)=－1+ae x =0,解得x=ln 1a . 所以当x ∈(－∞,ln 1a )时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减; 当x ∈(ln 1a ,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增. 所以函数g(x)的最小值为g (ln 1a )=1－ln 1a +a e ln1a=2－ln 1a .由题意得g (ln 1a )≥0,即2－ln 1a ≥0,解得a ≥1e 2. 所以a 的取值范围为[1e 2,+∞).解法二(分离参数法):由e x >0,分离参数可得a ≥x －1e x在R 上恒成立.设h(x)=x －1e x,则h'(x)=2－x e x,由h'(x)>0得x<2,由h'(x)<0得x>0,则h(x)在(－∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以h(x)max =h(2)=1e 2,故a ≥1e 2.所以a 的取值范围为[1e 2,+∞).(2)函数f(x)在(－1,3)上单调,则函数f(x)在(－1,3)上单调递增或单调递减. ①若函数f(x)在(－1,3)上单调递增,则f '(x)=1－x+ae xe x≥0在(－1,3)上恒成立,即1－x+ae x ≥0在(－1,3)上恒成立,所以a ≥x －1e x在(－1,3)上恒成立.由(1)中的解法二知,h(x)在(－1,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减, 所以h(x)max =h(2)=1e 2(x ∈(－1,3)),故a ≥1e 2. 所以a 的取值范围为[1e 2,+∞).②若函数f(x)在(－1,3)上单调递减,则f '(x)=1－x+ae xe x≤0在(－1,3)上恒成立,即1－x+ae x ≤0在(－1,3)上恒成立,所以a ≤x －1e x在(－1,3)上恒成立.由(1)中的解法二知,h(x)在(－1,2)上单调递增,在(2,3)上单调递减. 又h(－1)=－1－1e －1=－2e,h(3)=3－1e 3=2e 3,显然－2e<2e 3,所以h(x)>h(－1)=－2e(x ∈(－1,3)), 所以a 的取值范围为(－∞,－2e].综上,a 的取值范围为(－∞,－2e]∪[1e 2,+∞).学一招 已知含参函数的单调性求解参数取值范围的问题,其实质就是利用可导函数在指定区间内的保号性构造参数所满足的不等关系.由于导函数解析式中含有参数,如果通过分类讨论来求函数的单调性,过程就会比较复杂,所以最简单直接的方法就是把导函数中的参数分离出来,再讨论参数与对应函数的最值之间的关系.分离参数时应注意两个方面:一是参数的系数是不是0;二是参数的系数符号. 练一手23.已知函数f(x)=xln x,若对于所有x ≥1,都有f(x)≥ax －1,求实数a 的取值范围.第十八招巧拆函数有效分离典例18已知函数f(x)=ln x+ax(a>0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a≥2e时,f(x)>e－x.解析(1)解法一:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x －ax2=x－ax2.因为a>0,所以x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=ln a+1.又f(1)=ln1+a=a>0,所以当ln a+1≤0,即0<a≤1e时,函数f(x)有零点.所以实数a的取值范围为(0,1e].解法二:由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=ln x+ax=0有解,得a=－xln x有解.令g(x)=－xln x,x>0,则g'(x)=－(ln x+1).当x ∈(0,1e )时,g'(x)>0; 当x ∈(1e ,+∞)时,g'(x)<0.所以函数g(x)在(0,1e )上单调递增,在(1e ,+∞)上单调递减.故x=1e 时,函数g(x)取得最大值g (1e )=－1e ln 1e =1e .又a>0,则0<a ≤1e .所以实数a 的取值范围为(0,1e ]. (2)证明:要证明当a ≥2e 时, f(x)>e －x ,即证明当x>0,a ≥2e 时,ln x+ax >e －x ,即证xln x+a>xe －x . 令h(x)=xln x+a,x>0,则h'(x)=ln x+1. 当0<x<1e 时,f '(x)<0;当x>1e 时,f '(x)>0,所以函数h(x)在(0,1e )上单调递减,在(1e ,+∞)上单调递增. 所以h(x)min =h (1e )=－1e +a. 故当a ≥2e 时,h(x)≥－1e +a ≥1e .①令φ(x)=xe －x ,则φ'(x)=e －x －xe －x =e －x (1－x). 当0<x<1时,φ'(x)>0;当x>1时,φ'(x)<0.所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以φ(x)max =φ(1)=1e . 故当x>0时,φ(x)≤1e .②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当a ≥2e 时, f(x)>e －x .学一招 1.若一个方程或不等式由几个基本初等函数组成,当整体处理有困难或难度较大时,可以尝试用拆分函数的方法去解决,实际上参变分离即为拆分函数的一种特殊情况,参变分离较多运用在带参数的二次方程或不等式中,而拆分函数则有更大的运用范围.2.参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设x为自变量,其范围设为D,f(x)为函数,a为参数,g(a)为其表达式).若f(x)的值域为[m,M],(1)∀x∈D,g(a)≤f(x),则只需要g(a)≤f(x)min=m,∀x∈D,g(a)<f(x),则只需要g(a)<f(x)min=m;(2)∀x∈D,g(a)≥f(x),则只需要g(a)≥f(x)max=M,∀x∈D,g(a)>f(x),则只需要g(a)>f(x)max=M;(3)∃x0∈D,g(a)≤f(x0),则只需要g(a)≤f(x)max=M,∃x0∈D,g(a)<f(x0),则只需要g(a)<f(x)max=M;(4)∃x0∈D,g(a)≥f(x0),则只需要g(a)≥f(x)min=m,∃x0∈D,g(a)>f(x0),则只需要g(a)>f(x)min=m.练一手,且函数f(x)的图象在点(1,e)处的切线与直线x－(2e+1)y－24.已知函数f(x)=(a－bx3)e x－lnxx3=0垂直.(1)求a,b;(2)求证:当x∈(0,1)时,f(x)>2.第十九招 绝对值题 四法破题典例19 方程|ax －1|=x 的解集为A,若A ⊆[0,2],则实数a 的取值范围是 .答案 (－∞,－1]∪[－12,1]∪[32,+∞)解析 解法一:|ax －1|=x ⇔(a 2－1)x 2－2ax+1=0(x ≥0). 当a=1时,A={12}⊆[0,2]; 当a=－1时,A=⌀⊆[0,2];当a ≠±1时,(a 2－1)x 2－2ax+1=0的解为x 1=1a+1,x 2=1a －1,要使A ⊆[0,2],则需{1a+1<0,1a －1<0或{1a －1<0,0<1a+1≤2或{0<1a+1≤2,0<1a －1≤2, 解得a<－1或－12≤a<1或a ≥32,。

2019年高三二模数学（文科）（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知i为虚数单位，复数的共扼复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.若集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}，则A∩B中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6=a3+6，则S7=（）A. 49B. 42C. 35D. 284.函数y=的部分图象大致是（）A. B.C. D.5.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 1B.C.D.6.已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是( )A.B.C.D.7.已知F是抛物线C：y2＝4x（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线Γ：（a＞0，b＞0）的两条渐近线交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则Γ的离心率e＝A. B. C. D.8.定义在R上的函数满足：且，若，则的值是A. B. 0 C. 1 D. 无法确定9.已知f（x）=sin x cosx+cos2x-，将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则=（）A. B. 1 C. D. 010.直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A. B. C. D.11.函数f（x）=的零点个数为（）A. 3B. 2C. 1D. 012.设x，y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7，则a=（）A. B. 3 C. 或3 D. 5或二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），则cos（2θ+）=______．15.设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=-1，a n+1=S n•S n+1，则数列{a n}的通项公式a n=______．16.已知曲线x2-4y2=4，过点A（3，-1）且被点A平分的弦MN所在的直线方程为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C（a cos B+b cos A）=c．（1）求C；（2）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18.国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地，目前德国汉堡，美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出，某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：支持不支持合计年龄不大于50岁______ ______ 80年龄大于50岁10______ ______合计______ 70100（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关？（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．附：，n=a+b+c+d，P（K2＞k）0.1000.0500.0250.010k 2.706 3.841 5.024 6.63519.在平面xOy中，已知椭圆过点P（2，1），且离心率．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l方程为，直线l与椭圆C交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．20.已知函数f(x)=x2+a ln x．（1）当a=-2时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若g(x)=f(x)+在上是单调增函数，求实数a的取值范围．21.已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3）．（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求其共轭复数得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础的计算题．【解答】解：∵=，∴复数的共扼复数为，在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选B．2.【答案】A【解析】解：集合A={x|x＜2}，B={x|x2-5x+6＜0，x∈Z}={x|2＜x＜3，x∈Z}=∅，则A∩B=∅，其中元素的个数为0．故选：A．化简集合B，根据交集的定义写出A∩B，再判断其中元素个数．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，2a6=a3+6，∴2（a1+5d）=a1+7d+6，∴a1+3d=6，∴a4=6，∴=42．故选：B．由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S7．本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的合理运用．4.【答案】A【解析】解：当x=2时，f（2）==ln3＞0，故排除C，当x=时，f（）==4ln＞0，故排除D，当x→+∞时，f（x）→0，故排除B，故选：A．根据函数值的变化趋势，取特殊值即可判断．本题考查了函数图象的识别，考查了函数值的特点，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由于=-，则n=1，S=-1；n=2，S=-+-1=-1；n=3，S=2-+-+-1=2-1；…n=2016，S=-1；n=2017，S=-1.2017＞2016，此时不再循环，则输出S=-1．故选：D．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，结合图中数据计算它的表面积即可．本题考查了根据几何体三视图求表面积的应用问题，是基础题目．解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，高为2的直三棱柱，画出几何体的直观图，如图所示，结合图中数据，计算它的表面积是S三棱柱=2××2×1+2×2+2×2+2×2=6+8．故选：C．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了抛物线的性质，双曲线的渐近线方程及其性质，属于中档题. 【解答】解：已知抛物线方程为，则2p=4，解得p=2，则F(1,0)，抛物线准线方程为x=-1，设AB与x轴交点为M，则|MF|=2，双曲线：的渐近线方程为：，将x=-1代入到，解得，则，又△ABF为等边三角形，则，则，则，则，解得.故选D.8.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）满足f（2-x）+f（x-2）=0，∴f（2-x）=-f（x-2），∴f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），∴函数f（x）为奇函数，又f（x）满足f（x）=f（4-x），∴f（x）=f（x-4），∴f（x+8）=f（x+8-4）=f（x+4）=f（x+4-4）=f （x），∴函数为周期函数，周期T=8，∴f（2014）=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6-8）=f（-2）=-f（2）=-1，故选：A．先由条件f（2-x）+f（x-2）=0推出f（-x）=-f[2-（x+2）]=-f[（x+2）-2]=-f（x），故函数f（x）为奇函数，再由条件f（x）=f（4-x）推出函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，将条件进行转化即可得到结论．本题主要考查了抽象函数及其应用，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，求得的值，属于中档题．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x-=sin2x+•-=sin（2x+），将f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到y=g（x）=sin（2x-+）+1=sin2x+1的图象．若对任意实数x，都有g（a-x）=g（a+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=a对称，再根据g（x）的周期为=π，可得=1，故选B．10.【答案】C【解析】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．本小题主要考查直三棱柱ABC-A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数f（x）=，可得：-1+lnx=0，可得：x=e；3x+4=0可得x=-．函数的零点为：2个．故选：B．利用分段函数，分别为0，然后求解函数的零点即可．本题考查函数的零点的求法，考查计算能力．12.【答案】B【解析】解：如图所示，当a≥1时，由，解得，y=．∴．当直线z=x+ay经过A点时取得最小值为7，∴，化为a2+2a-15=0，解得a=3，a=-5舍去．当a＜1时，不符合条件．故选：B．如图所示，当a≥1时，由，解得．当直线z=x+ay经过A 点时取得最小值为7，同理对a＜1得出．本题考查了线性规划的有关知识、直线的斜率与交点，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．13.【答案】-4【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由，得A（-2，-1）此时z=-2+2×（-1）=-4．故答案为：-4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14.【答案】-1【解析】解：角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（），∴cosθ=，sinθ=，∴sin2θ=2sinθcosθ=，cos2θ=2cos2θ-1=-，则cos（2θ+）=cos2θ-sin2θ=--=-1，故答案为：-1．利用任意角的三角函数的定义求得cosθ 和sinθ的值，再利用二倍角公式求得sin2θ和cos2θ的值，再利用两角和的余弦公式求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．由已知数列递推式可得数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，求其通项公式后，利用a n=S n-S n-1求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由a n+1=S n•S n+1，得：S n+1-S n=S n•S n+1，即，∴数列{}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，则，∴．∴当n≥2时，．n=1时上式不成立，∴．故答案为：．16.【答案】3x+4y-5=0【解析】【分析】设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），利用点差法求得直线的斜率，进一步求出直线方程，然后验证直线与曲线方程由两个交点即可．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．【解答】解：设两个交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）所以x12-4y12=4，，两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=4(y1+y2)(y1-y2)，又=3，=-1，∴=-，所以直线的方程为y+1=-（x-3），即3x+4y-5=0．由点A（3，-1）在双曲线内部，直线方程满足题意．∴MN所在直线的方程是3x+4y-5=0．故答案为：3x+4y-5=0．17.【答案】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sin C≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C（sin A cos B+sin B cos A）=sin C，整理得：2cos C sin（A+B）=sin C，即2cos C sin（π-（A+B））=sin C2cos C sinC=sin C∴cos C=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2-2ab•，∴（a+b）2-3ab=7，∵S=ab sin C=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18.【答案】解：（1）20；60；10；20；30.（2），所以能在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关；（3）记5人为abcde，其中ab表示教师，从5人任意抽3人的所有等可能事件是：abc，abd，abe，acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde共10个，其中至多1位教师有7个基本事件：acd，ace，ade，bcd，bce，bde，cde，所以所求概率是．【解析】本题考查独立性检验的应用，考查概率的计算，本题解题的关键是根据所给的数据填在列联表中，注意数据的位置不要出错．（1）根据条件中所给的数据，列出列联表，填上对应的数据，得到列联表．支持不支持合计年龄不大于50岁20 60 80年龄大于50岁10 10 20合计30 70 100（2）假设聋哑没有关系，根据上一问做出的列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．（3）列举法确定基本事件，即可求出概率．19.【答案】解：（1）椭圆C：过点P（2，1），且离心率．可得：，解得a=2，c=，则b=，椭圆方程为：；（2）设直线方程为，A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组整理得：x2+2mx+2m2-4=0，x1+x2=-2m，-4，直线与椭圆要有两个交点，所以,即：，利用弦长公式得：，由点线距离公式得到P到l的距离．S=|AB|•d=•=≤=2．当且仅当m2=2，即时取到最大值，最大值为：2．【解析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．（1）利用已知条件列出方程组，然后求解a，b即可得到椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过基本不等式求解最值即可．20.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+a ln x，∴函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=．当x变化时，f′（x）和f（x）的值的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）-0+f（x）递减极小值递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是f（1）=1．（Ⅱ）由g（x）=x2+a ln x+，得．若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则g′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即不等式2x-+≥0在[1，+∞）上恒成立．也即a≥在[1，+∞）上恒成立．令φ（x）=，则φ′（x）=-．当x∈[1，+∞）时，φ′（x）=--4x＜0，∴φ（x）=在[1，+∞）上为减函数，∴φ（x）max=φ（1）=0．∴a≥0．∴a的取值范围为[0，+∞）．【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和导数性质的合理运用．（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．当a=-2时，=，由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和极值．（Ⅱ）由g（x）=x2+alnx+，得，令φ（x）=，则φ′（x）=-．由此利用导数性质能求出a的取值范围．21.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y=2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-16cosθ=0，即ρ2sin2θ=16ρcosθ，得y2=16x即直线l的普通方程为y=2x+1，曲线C的直角坐标方程为y2=16x；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，得，，，．即的值为.【解析】本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线的参数方程改写为（t为参数），代入y2=16x，利用参数的几何意义求的值．。

压轴解答题突破练(三)解答题1.已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,∠MFx=60°,|FM|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)D(－1,0),过F的直线l交抛物线C于A、B两点,以F为圆心的圆F与直线AD相切,试判断并证明圆F与直线BD的位置关系.2.已知函数f(x)=(2－m)ln x+1+2mx.x(1)当f'(1)=0时,求实数的m值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.3.已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率e=√22,点G(√2,1)在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点P是椭圆C上一点,左顶点为A,上顶点为B,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x 轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.4.函数f(x)=ln x+k,k∈R.x(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x－2=0垂直,求f(x)的单调递减区间和极值(其中e为自然对数的底数);(2)若对任意x1>x2>0,f(x1)－f(x2)<x1－x2恒成立,求k的取值范围.答案精解精析解答题1.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的准线方程为l':x=－p2,过M 作MN ⊥l'于点N,连接NF,则|MN|=|FM|.∵∠NMF=∠MFx=60°,∴△MNF 为等边三角形, ∴|NF|=4,∴p=2,∴抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)直线l 的斜率不存在时,△ABD 为等腰三角形,且|AD|=|BD|,∴圆F 与直线BD 相切; 直线l 的斜率存在时,设其方程为y=k(x －1),代入抛物线方程,得k 2x 2－(2k 2+4)x+k 2=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1x 2=1, ∴x 1=1x 2.直线AD 的方程为y=y 1x 1+1(x+1),即y 1x －(x 1+1)y+y 1=0,∴R 2=4k 2k 2+(1+x 21－x 2)2.直线BD 的方程为y 2x －(x 2+1)y+y 2=0, 设点F 到直线BD 的距离d,则d 2=4y 22y 22+(x2+1)2=4k 2k 2+(1+x 21－x 2)2,∴R 2=d 2, ∴R=d,∴圆F 与直线BD 相切. 综上所述,圆F 与直线BD 相切.2.解析 (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2mx 2+(2－m)x －1x 2=(mx+1)(2x －1)x 2.由f '(1)=0,得m=－1.从而f(1)=－1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=－1. (2)f '(x)=(mx+1)(2x －1)x 2(x>0),①当m ≥0时,函数f(x)的减区间为(0,12),增区间为(12,+∞); ②当m<0时,由f '(x)=(mx+1)(2x －1)x 2=0,得x=－1m 或x=12.当m<－2时,函数f(x)的减区间为(0,－1m )和(12,+∞),增区间为(－1m ,12); 当m=－2时,函数f(x)的减区间为(0,+∞),没有增区间;当－2<m<0时,函数f(x)的减区间为(0,12)和(－1m ,+∞),增区间为(12,－1m ). 3.解析 (1)依题意得c a =√22,设c=√2(h>0),则a=2h,b=√2h. 由点G(√2,1)在椭圆上,得2a 2+1b 2=1,即2(2ℎ)2+(√2h)2=1,解得h=1或－1(舍去),则a=2,b=√2,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1.(2)证明:A(－2,0),B(0,√2),设P(x 0,y 0),M(0,m),N(n,0),由A 、P 、M 三点共线,得k PA =k MA ,即y 0x 0+2=m2,解得m=2y 0x+2,则M (0,2y 0x 0+2).由B 、P 、N 三点共线,得k PB =k NB ,即y 0－√2x 0=－√2n,解得n=－√2x 0y 0－√2,则N (－√2x 0y 0－√2,0).所以|AN|·|BM|=|－√2x 0y 0－√2+2|·|2y 0x+2－√2|=|－√2x 0+2y 0－2√2y 0－√2|·|2y 0－√2x 0－2√2x 0+2|=4y 02+2x 02－4√2x 0y 0－4√2(2y 0－√2x 0)+8x 0y 0－√2x 0+2y 0－2√2.又点P 在椭圆上,所以x 024+y 022=1,即2x 02+4y 02=8,代入上式得|AN|·|BM|=|－4√2x 0y 0－4√2(2y 0－√2x 0)+16x 0y 0－√2x 0+2y 0－2√2|=|4√2x 0y 0+4√2(2y 0－√2x 0)－16x 0y 0+(2y 0－√2x 0)－2√2|=4√2,可知|AN|·|BM|为定值4√2.4.解析 (1)由f(x)=ln x+kx ,知x>0, f '(x)=1x －kx 2(x>0). 因为曲线y=f(x)在点(e, f(e))处的切线与直线x=2垂直,所以f '(e)=0,即1e －ke 2=0,解得k=e. 所以f '(x)=1x －ex 2=x －e x 2(x>0).当0<x<e 时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减; 当x>e 时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增.所以当x=e 时, f(x)取极小值,且极小值为f(e)=ln e+1=2. 综上, f(x)的单调递减区间为(0,e),极小值为2,无极大值. (2)因为对任意x 1>x 2>0, f(x 1)－f(x 2)<x 1－x 2恒成立, 所以f(x 1)－x 1<f(x 2)－x 2对任意x 1>x 2>0恒成立. 令g(x)=f(x)－x=ln x+kx －x(x>0), 则g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g'(x)=1x －kx 2－1≤0在(0,+∞)上恒成立, 所以k ≥－x 2+x=－(x －12)2+14(x>0)恒成立. 令h(x)=－(x －12)2+14,则k ≥h(x)max =14. 所以k 的取值范围是[14,+∞).。

过关练(二)一、选择题1.已知集合A={x∈N|y=√4－x},B={x|x=2n+1,n∈Z},则A∩B=()A.(－∞,4]B.{1,3}C.{1,3,5}D.[1,3]2.欧拉公式e ix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e πi3表示的复数位于复平面中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式,如图,当表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位数用横式表示,以此类推.例如3266用算筹表示就是,则8771用算筹可表示为()4.如图所示的程序框图是为了求出满足2n－n2>28的最小正偶数n,出的n的值分别是()A.n=n+1和6B.n=n+2和6C.n=n+1和8D.n=n+2和8的部分图象大致为()5.函数f(x)=1+x2+tanxx6.等差数列{a n}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{a n}的前9项和是()A.9B.81C.10D.907.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),其俯视图为等边三角形,则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.4√3B.103√3C.2√3 D.83√38.已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,满足a m a n2=a42(m,n∈N*),则2m +1n的最小值为()A.1B.32C.2D.929.过曲线y=e x上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.(1e,+∞) C.(1,+∞) D.(2,+∞)10.已知边长为2的等边三角形ABC,D为BC的中点,以AD为折痕进行翻折,使∠BDC为直角,则过A,B,C,D四点的球的表面积为()A.3πB.4πC.5πD.6π11.将函数f(x)=sin(2x+π3)的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)=cos(2x+π4)的图象,则a的值可以为()A.5π12B.7π12C.19π24D.41π2412.已知双曲线C:x 2m2－y2m2－1=1的左、右焦点分别为F1、F2,若C上存在一点P满足PF1⊥PF2,且△PF1F2的面积为3,则该双曲线的离心率为()A.√52B.√72C.2D.3二、填空题13.设实数x,y 满足约束条件{y ≥0,4x －y ≥0,x +y ≤5,则z=x+2y+5的最大值为 .14.半径为R 的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任意取一点与点A 连接,则所得弦长小于√3R 的概率为 .15.已知抛物线C:y 2=2x,过点(1,0)任作一条直线和抛物线C 交于A 、B 两点,设点G(2,0),连接AG,BG 并延长,分别和抛物线C 交于点A'和B',则直线A'B'过定点 .16.已知菱形ABCD 的一条对角线BD 长为2,点E 为AD 上一点且满足AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点F 为CD的中点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =－2,则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = .答案精解精析一、选择题1.B 由题意可得A={x|x ≤4,x ∈N}={0,1,2,3,4},B={…,－5,－3,－1,1,3,5,…},则A ∩B={1,3}.2.A 由题意可得e πi3=cos π3+isinπ3=12+√32i,故e πi3表示的复数位于复平面中的第一象限. 3.A 由题意知8 771用算筹可表示为.故选A.4.D 空白框中n 依次加2可保证其为偶数,排除A,C. n=6时,26－62=64－36=28≤28,n=8时,28－82=256－64=192>28, 所以D 选项满足要求.故选D.5.D 易知函数是偶函数,排除A,C. 又易知当x ∈(0,π2)时,f(x)>0,排除B.故选D.6.B 设等差数列{a n }的公差d ≠0,∵a 2是a 1和a 5的等比中项,∴a 22=a 1a 5,即(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2,则数列{a n }的前9项和是9×1+9×82×2=81.故选B.7.B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥,V=4√3－13×2×√3=103 √3.故选B.8.A 设{a n }的公比为q,由题意可得a 1=q,a m a n 2=a 42即a 1·q m －1·(a 1·q n －1)2=(a 1·q 3)2,即q m ·q 2n =q 8,即m+2n=8,则2m +1n =(m+2n)(2m +1n )×18=(2+m n+4n m+2)×18≥(4+2√4)×18=1.故选A.9.C 由y=e x ,得y'=e x , 则切线斜率为e x 0,∴切线方程为y －y 0=e x 0(x －x 0).当x=0时,y=－x 0e x 0+y 0=－x 0e x 0+e x 0=e x 0(1－x 0)<0,∴x 0>1, 则x 0的取值范围是(1,+∞). 故选C.10.C 折后的图形可放到一个长方体中,其体对角线长为√1+1+3=√5,故其外接球的半径为√52,其表面积为5π.故选C.11.C 将函数f(x)=sin (2x +π3)的图象向右平移a(a>0)个单位得到函数g(x)=sin [2(x －a)+π3]=sin (2x +π3－2a)=cos (2x －2a －π6)的图象.又g(x)=cos 2x+π4,∴cos (2x －2a －π6)=cos (2x +π4),∴π4=－2a －π6+2kπ,k ∈Z,∴a=－5π24+kπ,k ∈Z.当k=1时,a=19π24.故选C. 12.B 由双曲线可知S △PF 1F 2=b 2tanθ2=m 2－1tanπ4=m 2－1=3,则m 2=4,从而e=√72.故选B.二、填空题 13.答案 14解析 作出可行域,如图.令t=x+2y,由可行域可确定t=x+2y 在(1,4)处取最大值9, 故z=x+2y+5的最大值为14. 14.答案23解析 当弦长为√3R 时,如图.∠OBA=30°,∠BOA=120°,120°360°=13,故所取点在AB ⏜(不包括A,B 两点)上时,满足题意,在半径OA 的另一边也存在相等的弧,∴所求概率为23. 15.答案 (4,0)解析 设直线AG 的方程为x=my+2,代入y 2=2x 得y 2－2my －4=0. 设A(x 1,y 1),A'(x 2,y 2),B(x 3,y 3),B'(x 4,y 4),则y 1y 2=－4, y 3y 4=－4.又直线AB 过定点M(1,0), ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴(x 1－1)y 3－(x 3－1)y 1=0, ∴(y 122－1)y 3－(y 322－1)y 1=0, 即(y 1－y 3)·(y 1y 32+1)=0,∴y 1y 3=－2.又y 1y 2=－4,y 3y 4=－4, ∴y 2y 4=－8.直线A'B'的方程为y －y 2=y 4－y 2x 4－x 2(x －x 2),利用点A'和B'在抛物线上化简得y=1y 2+y 4(2x+y 2y 4),∴y=1y2+y 4(2x －8),∴直线A'B'过定点(4,0). 16.答案 －7解析 如图,建立平面直角坐标系,设C(t,0),则A(－t,0),B(0,－1),D(0,1),E (－23t,13),F (t 2,12),则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(－23t,43),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(－t,1),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(3t 2,12). ∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =－2,∴－23t 2+43=－2,解得t 2=5.∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ =－32t 2+12=－7.。

跨栏练(二)一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若S5=7,S10=21,则S15=()A.35B.42C.49D.632.为了得到函数y=cos2x－sin2x+1的图象,只需将函数y=(sin x+cos x)2的图象()A.向右平移π2个单位长度 B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度 D.向左平移π4个单位长度3.甲、乙、丙三人中,一人是教师、一人是记者、一人是医生.已知:丙的年龄比医生大;甲的年龄和记者不同;记者的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是()A.甲是教师,乙是医生,丙是记者B.甲是医生,乙是记者,丙是教师C.甲是医生,乙是教师,丙是记者D.甲是记者,乙是医生,丙是教师4.如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧,则这个几何体的体积是()A.2π3+83B.2π+83C.2π+8D.8π+85.设函数f(x)=xe x+1,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=－1为f(x)的极大值点D.x=－1为f(x)的极小值点6.函数f(x)=ln 1－x 1+x+sin x 的图象大致为( )7.设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12,圆(x －6)2+y 2=20与该双曲线的渐近线相切,点P 在双曲线上,若点P 到焦点F 1的距离是9,则点P 到焦点F 2的距离是( ) A.17或1 B.13或5C.13D.178.在平面直角坐标系xOy 中,设D={(x,y)||x|≤2,|y|≤2},E={(x,y)|x 2+y 2≤1},向D 中随机投一点,则所投点在E 中的概率是( ) A.π4 B.π16 C.π8 D.π216 9.方程4sin πx=21－x在[－2,4]内根的个数为( )A.6B.7C.5D.810.一个含有5项的等比数列,其中每一项都是小于100的正整数,这5项的和为121,如果S 是数列中奇数项之和,则S=( ) A.90B.91C.118D.12111.在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中,A 1B 1=3,B 1C 1=4,A 1C 1=5,AA 1=2,则其外接球与内切球的表面积之比为( ) A.294B.192C.292 D.2912.已知直线l:kx －y －2k+1=0与椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)交于A 、B 两点,与圆C 2:(x －2)2+(y －1)2=1交于C 、D 两点.若存在k ∈[－2,－1],使得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆C 1的离心率的取值范围是( )A.(0,12] B.[12,1)C.(0,√22] D.[√22,1)二、填空题13.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(－∞,－12)时, f(x)=x 3－2x 2,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为 .14.在矩形ABCD 中,AB=4,BC=2,PA ⊥平面ABCD,PA=2,E,F 分别是AB,DC 的中点,则四棱锥P －EBCF 的外接球表面积为 .15.在Rt △ABC 中,P 是斜边BC 上一点,且满足:BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点M,N 在过点P 的直线上,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0),则λ+2μ的最小值为 . 16.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段AB 的长度为a,在线段AB 上取两个点C,D,使得AC=DB=14AB,以CD 为一边在线段AB 的上方作一个正六边形,然后去掉线段CD,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段EF 作相同的操作,得到图3中的图形;……,依此类推,我们就得到了以下一系列图形:…记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ,现给出有关数列{S n }的四个命题:①数列{S n}是等比数列;②数列{S n}是递增数列;③存在最小的正数a,使得对任意的正整数n,都有S n>2018;④存在最大的正数a,使得对任意的正整数n,都有S n<2018.其中真命题的序号是(请写出所有真命题的序号).答案精解精析一、选择题1.B 在等差数列{a n }中,S 5,S 10－S 5,S 15－S 10也成等差数列,即7,14,S 15－21成等差数列,所以7+(S 15－21)=2×14,解得S 15=42.2.D 因为y=cos 2x －sin 2x+1=cos 2x+1=sin (2x +π2)+1=sin [2(x +π4)]+1,且y=(sin x+cos x)2=sin 2x+1,所以为了得到函数y=cos 2x －sin 2x+1的图象,只需将函数y=(sin x+cos x)2的图象向左平移π4个单位长度.3.C 由甲的年龄和记者不同与记者的年龄比乙小可以推得丙是记者,再由丙的年龄比医生大,可知甲是医生,故乙是教师.故选C.4.B 由三视图可知该组合体是由一个圆柱的14和一个四棱锥组合而成的,其中圆柱的底面半径为2,母线长为2,四棱锥的底面是边长为2的正方形,高为2,所以该组合体的体积V=14×(4π×2)+13×(2×2)×2=2π+83. 5.D ∵函数f(x)=xe x +1, ∴f '(x)=e x +xe x =(x+1)e x .令f '(x)<0,得x<－1,即函数f(x)在(－∞,－1)上为减函数; 令f '(x)>0,得x>－1,即函数f(x)在(－1,+∞)上为增函数. ∴x=－1为f(x)的极小值点,无极大值点.故选D. 6.A 易知f(x)的定义域为(－1,1),且f(－x)=ln1+x 1－x+sin(－x)=－ln1－x 1+x －sin x=－f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除选项C 、D;又f (12)=ln 13+sin 12=sin 12－ln 3<0,故排除选项B.故选A.7.D 由题意知圆(x －6)2+y 2=20的圆心恰为双曲线的右焦点.∵双曲线的右焦点到渐近线的距离为b,∴b=r=2√5,因此a=√62－20=4.又|PF 1|=9,|PF 2|－|PF 1|=±2a,∴|PF 2|=17或1.又|PF2|≥c－a=2,∴|PF2|=17.故选D.8.B如图,区域D为正方形ABCD及其内部,S正方形=4×4=16,区域E为圆及其内部,S圆=π×12=π,则向D中随机投一点,所投点在E中的概率P=π16.故选B.9.D由原方程得2sinπx=11－x ,在同一直角坐标系中作出函数y=2sinπx与y=11－x的图象,如图.由图可知,在区间[－2,4]内,两函数图象共有8个交点.故选D.10.B易得1,3,9,27,81满足题意,所以S=1+9+81=91.故选B.11.A如图①,分别取AC,A1C1的中点G,H,连接GH,取GH的中点O,连接OA.由题意,得A1B12+B1C12=A1C12,即△A1B1C1为直角三角形,则点O为外接球的球心,OA为半径,则R=OA=√1+254=√292;如图②,作三棱柱的中截面,则中截面三角形的内心是该三棱柱的内切球的球心,中截面三角形的内切圆的半径是内切球的半径,即r=3+4－52=1.故其外接球与内切球的表面积之比为4πR 24πr2=29 4.图① 图②12.C 将kx －y －2k+1=0化为y －1=k(x －2),即直线l 恒过定点(2,1),且该点为圆C 2的圆心.由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得C 2(2,1)是AB 的中点,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 12a2+y 12b2=1,且x 22a2+y 22b2=1,作差,得(x 1－x 2)(x 1+x 2)a 2=－(y 1－y 2)(y 1+y 2)b 2,即k=y 1－y 2x 1－x 2=－2b 2a 2∈[－2,－1].又a>b>0,∴12≤b 2a2<1,∴c a=√1－b 2a2∈(0,√22]. 二、填空题13.答案 7x －y －4=0解析 设x>12,则－x<－12,所以f(－x)=(－x)3－2(－x)2=－x 3－2x 2.因为函数f(x)为奇函数,所以f(x)=－f(－x)=x 3+2x 2,则f '(x)=3x 2+4x,又f(1)=3, f '(1)=7,则所求切线方程为y －3=7(x －1),即7x －y －4=0. 14.答案 44π解析 设四棱锥P －EBCF 的外接球半径为R,则√R 2－(√2)2=√R 2－(32+12)+2,∴R 2=11. 因此外接球表面积为4πR 2=44π. 15.答案83解析 ∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵M,P,N 三点共线,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且m+n=1. ∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nμAC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴mλ=23,nμ=13,∴m=23λ,n=13μ,∴23λ+13μ=1,∴λ+2μ=(λ+2μ)(23λ+13μ)=1 3(λμ+2+2+4μλ)≥13(4+2√λμ·4μλ)=83,当且仅当λμ=4μλ,即λ=43,μ=23时等号成立.综上所述,λ+2μ的最小值为83.16.答案②④解析由题意,得图1中的线段长为a,S1=a,图2中的正六边形的边长为a2,S2=S1+a2×4=S1+2a,图3中的最小正六边形的边长为a4,S3=S2+a4×4=S2+a,图4中的最小正六边形的边长为a8,S4=S3+a8×4=S3+a2,依此类推,S n－S n－1=a2n－3(n≥2),即{S n}为递增数列,但不是等比数列,故①错误,②正确;因为S n=S1+(S2－S1)+(S3－S2)+(S4－S3)+…+(S n－S n－1)=a+2a+a+a2+…+a2n－3=a+2a(1－12n－1)1－12=a+4a(1－12n－1)<5a,即存在最大的正数a=2 0185,使得对任意的正整数n,都有S n<2018,故④正确,③错误.故填②④.。

过关练(五)一、选择题1.设集合S={x|x(3－x)≤0},T={x|(12)x －1<1},则S ∪T=( )A.[0,+∞)B.(1,3]C.[3,+∞)D.(－∞,0]∪(1,+∞)2.已知复数z 为纯虚数,且|z1－i|=1,则z=( )A.±2iB.±√2iC.√2iD.－√2i3.若双曲线x 23－y 2=1与椭圆x 28+y 2p =1有公共焦点,则p 的值为( ) A.2B.3C.4D.4√24.将函数y=sin (2x －π6)的图象向左平移π4个单位,所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A.x=π3 B.x=π6C.x=π12D.x=－π125.已知向量a=(2,－1),b=(1,3),且a ⊥(a+mb),则m=( ) A.1 B.5 C.－1 D.－56.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)、侧视图、俯视图.则该几何体的体积为( )A.53B.103C.83D.37.已知实数x,y满足条件{x≥0,y≤1,2x－2y+1≤0,若目标函数z=mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,则实数m的值为()A.1B.12C.－12D.－18.偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(－2)=1,则f(x－2)≤1的x的取值范围是()A.[0,2]B.[－2,2]C.[0,4]D.[－4,4]9.执行如图所示的程序框图,如果输入p=8,则输出的S=()A.6364B.12764C.127128D.25512810.若曲线y=12ex2与曲线y=aln x在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=()A.1B.12C.－1 D.211.设F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0(其中O 为坐标原点),且|PF 1|=√3|PF 2|,则椭圆的离心率为( ) A.√3－1 B.√2－1 C.√3－12D.√2－1212.∀t ∈R,[t]表示不大于t 的最大整数,如[0.99]=0,[－0.1]=－1,且∀x ∈R, f(x)=f(x+2),∀x ∈[－1,1], f(x)=12|x|,定义:D=(x,y)(x －[t])2+y 2≤1t ,t ∈[－1,3].若(a,b)∈D,则f(a)≤b 的概率为( ) A.12 B.12+13π C.12－15π D.12+15π 二、填空题13.函数f(x)=3sin x+√3cos x 的最小值是 .14.观察下列式子:1+122<32,1+122+132<53,1+122+132+142<74,……,根据以上式子可以猜想:1+122+132+…+12 0182< .15.若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,则圆锥侧面积与球面面积之比为 .16.在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且满足(a －b)(sin A+sin B)=(c －b)sin C.若a=√3,则b 2+c 2的取值范围是 .答案精解精析一、选择题1.D ∵S={x|x(3－x)≤0}={x|x ≥3或x ≤0},T={x|(12)x －1<1}={x|x>1},∴S ∪T={x|x ≤0或x>1}=(－∞,0]∪(1,+∞).故选D.2.B ∵z 是纯虚数,∴可设z=ai(a ∈R 且a ≠0),则|ai 1－i|=|ai(1+i)(1－i)(1+i)|=|－a+ai 2|=1,可得√a 2+a 2=2,则a=±√2,∴z=±√2i.故选B.3.C 由题意得双曲线的焦点为(2,0)和(－2,0),椭圆的焦点为(√8－p ,0)和(－√8－p ,0).由于双曲线和椭圆的焦点相同,所以√8－p =2,所以p=4.故选C.4.C 将函数y=sin (2x －π6)的图象向左平移π4个单位得到函数y=sin [2(x +π4)－π6]=sin (2x +π3)的图象.令2x+π3=π2+kπ,k ∈Z,得x=π12+kπ2,k ∈Z,当k=0时,x=π12.5.B a+mb=(2,－1)+m(1,3)=(2,－1)+(m,3m)=(m+2,3m －1).因为a ⊥(a+mb),所以a ·(a+mb)=2(m+2)+(－1)×(3m －1)=2m+4－3m+1=5－m=0,所以m=5.故选B.6.C 由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥P －ABCD.所以该几何体的体积为13×(2×2)×2=83.故选C. 7.A 由约束条件{x ≥0,y ≤1,2x －2y +1≤0作出可行域,如图.将目标函数z=mx －y(m ≠0)化为y=mx －z(m ≠0),则z 表示纵截距的相反数. ∵目标函数z=mx －y(m ≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个,∴m=k AB =1.故选A. 8.C 因为函数f(x)是偶函数, f(－2)=1,所以f(2)=1.因为f(x －2)≤1,所以－2≤x －2≤2,解之得0≤x ≤4.故选C.9.C 输入p=8,给循环变量n 赋值1,累加变量S 赋值0. 判断1<8成立,执行S=0+12,n=1+1=2; 判断2<8成立,执行S=12+122,n=2+1=3; 判断3<8成立,执行S=12+122+123,n=3+1=4; 判断4<8成立,执行S=12+122+123+124,n=4+1=5; 判断5<8成立,执行S=12+122+123+124+125,n=5+1=6; 判断6<8成立,执行S=12+122+123+124+125+126,n=6+1=7; 判断7<8成立,执行S=12+122+123+124+125+126+127=12(1－127)1－12=127128,n=7+1=8;判断8<8不成立,输出S=127128.故选C.10.A y=12e x 2的导数为y'=xe ,在P(s,t)处的斜率为k=se . y=aln x 的导数为y'=ax ,在P(s,t)处的斜率为k=as .由曲线y=12e x 2与曲线y=aln x 在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线, 可得s e =as ,且t=12e s 2,t=aln s, 即{se=a s ,12es 2=alns,∴ln s=12,∴s 2=e. ∴a=s 2e =ee =1. 故选A.11.A 如图所示,设点M 为PF 2的中点,∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OM ⊥PF 2. 由O,M 分别是F 1F 2,PF 2的中点可得OM ∥PF 1,∴PF 1⊥PF 2. 设|PF 2|=m(m>0),则|PF 1|=√3m,由勾股定理得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2,即4c 2=3m 2+m 2,∴c=m.由椭圆的定义得2a=|PF 1|+|PF 2|=(√3+1)m,则椭圆的离心率e=c a =√3+12m=√3－1.12.D 由∀x ∈R, f(x)=f(x+2)得函数f(x)的周期T=2.函数f(x)的图象为如图所示的折线部分,集合D=(x,y)(x －[t])2+y 2≤14,t ∈[－1,3]对应的区域是如图所示的五个圆,半径都是12.由题得S 全=5×[π×(12)2]=54π.事件f(a)≤b 对应的区域为图中的阴影部分,S 阴影=3×(π×14)－[14×(π×14)－12×12×12]×2=58π+14.所以由几何概型的概率公式得P=58π+1454π=12+15π.故选D.二、填空题 13.答案 －2√3解析 因为f(x)=3sin x+√3cos x,所以f(x)=2√3sin (x +π6).由于x ∈R,所以函数f(x)的最小值为－2√3.故填－2√3. 14.答案4 0352 018解析 由题意得不等式右边分数的分母是左边最后一个分数算术平方根的分母,所以猜想的分母是2 018,分子组成了一个以3为首项,2为公差的等差数列{a n },所以a 2 017=3+(2 017－1)×2=4 035.故填4 0352 018. 15.答案 √5∶2解析 设球的半径为r,则球的体积为43πr 3. 设圆锥的高为h,∵圆锥与球的体积相等, ∴43πr 3=13π×(2r)2h,∴h=r.又圆锥的母线长为√r 2+(2r)2=√5r, ∴圆锥的侧面积为2πr×√5r=2√5πr 2. 又球的表面积为4πr 2,∴圆锥侧面积与球面面积之比为√5∶2. 16.答案 (5,6]解析 由(a －b)(sin A+sin B)=(c －b)sin C 及正弦定理可得(a －b)·(a+b)=(c －b)·c,即b 2+c 2－a 2=bc,∴cos A=b 2+c 2－a 22bc=12.又A ∈(0,π2),∴A=π3.∵b sinB =csinC =√3sinπ3=2,∴b 2+c 2=4(sin 2B+sin 2C)=4[sin 2B+sin 2(A+B)]=4{1－cos2B2+1－cos[2(A+B)]2}=√3sin 2B －cos 2B+4=2sin (2B －π6)+4. ∵△ABC 是锐角三角形,∴B ∈(π6,π2),∴2B －π6∈(π6,5π6),∴12<sin (2B －π6)≤1,∴5<b 2+c 2≤6.。

突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式1.(1)(2)(3)(4)角和定理的变换运用如β+α)2.主要从函数名、次数、系数方面入手有(1)一次的单角的三角函数来讨论(2)做换元处理将原问题转化为关于(3)定理化边为角或化角为边等例1 已知函数f(x)=4tan xsin- ·cos -- .(1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间 -上的单调性. 思路分析 第(1)问第(2)问解析 (1)f(x)的定义域为∈ . f(x)=4tan xcos xcos --=4sin xcos --=4sin x-=2sin xcos x+2sin2x-=sin2x+(2sin2x-1)=sin2x-cos2x=2sin-所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,则函数y=2sin z的单调递增区间是-,k∈Z.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=-,B=-,k∈Z,易知A∩B=-.所以当x∈-时,f(x)在区间-上单调递增,在区间--上单调递减.▲题后悟通解答此类问题的关键在于“变”,其思路为“一角二名三结构”:升幂(降幂)公式口诀:“幂降一次,角翻倍,幂升一次,角减半”.跟踪训练1.(2018辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)=cos2x+sin(π-x)cos(π+x)-.(1)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间;(2)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求△ABC 的面积.数列问题重在“归”——化归利用化归思想可探索一些一般数列的简单性质中的两个特殊的基本数列考查的是非等差、非等比数列问题对的策略就是通过化归思想为等差、等比数列例2 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1.(1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =.求数列{c n }的前n 项和T n .思路分析 第(1)问第(2)问解析(1)由题意知当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,符合上式,所以a n=6n+5(n∈N*).设数列{b n}的公差为d.由即可解得b1=4,d=3.所以b n=3n+1.(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1.由T n=c1+c2+…+c n,得T n=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2T n=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-=-3n·2n+2,所以-T n=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×--T n=3n·2n+2.▲题后悟通求解数列问题的关键步骤跟踪训练2.(2018武汉调研)已知正项等比数列{a n}的前n项和S n满足S n+2=S n+.(1)求数列{a n}的首项a1和公比q;(2)若b n=na n,求数列{b n}的前n项和T n.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合分步设问则是建模、转换建模——问题转化为平行模型、型等转换——对几何体的体积、积考查顶点转换割转换为几个规则几何体的体积和或体积差求解之间的转换系与空间图形数量关系的转换例3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=,N为AB上一点,且BN=.(1)证明:MN∥平面PAC;(2)证明:BC⊥平面POM;(3)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.思路分析第(1)问第(2)问第(3)问解析(1)证明:因为BM=BN=,BC=BA,所以=,所以MN∥AC.所以MN∥平面PAC.(2)证明:连接OB,因为四边形ABCD为菱形,O为菱形中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,AB=2,故OB=AB·sin=1,在△OBM中,因为BM=,且∠OBM=,所以OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,所以OM⊥BM,即OM⊥BC.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(3)由(2)得,OA=AB·cos∠OAB=2×cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由△POM也是直角三角形,得PM2=PO2+OM2=a2+.连接AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.因为MP⊥AP,所以△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,解得a=-舍去,即PO=.又因为=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=,所以四棱锥P-ABMO的体积V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.▲题后悟通有关立体几何综合问题的解题步骤跟踪训练3.(2018山东济南模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PB的中点.(1)证明:PD∥平面CEF;(2)若PE⊥平面ABCD,PE=AB=2,求三棱锥P-DEF的体积.概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图概率与统计问题辨析、(1)特点立等(2)生、至少有几个发生等(3)抽取有无顺序等(4)求概率(5)一步求值与分析(6)所要数据例4微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全球,甚至涌现出一批在微信朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查微信用户每天使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户称为“微信控”,否则称为“非微信控”,调查结果如下:(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“微信控”与“性别”有关?(2)现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份,求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数;(3)从(2)中抽取的5人中再随机抽取2人赠送200元的护肤品套装,求这2人中至少有1人为“非微信控”的概率.参考公式:K2=-,其中n=a+b+c+d.:参考数据思路分析第(1)问第(2)问第(3)问解析 k=-≈0.649<0.708,所以不能在犯错误的概率不超过0.4的前提下认为“微信控”与“性别”有关. (2)依题意可知,所抽取的5位女性中,“微信控”有5×=3(人),“非微信控”有5×=2(人). 则所有可能的基本事件为(a,b),(a,c),(a,D),(a,E),(b,c),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共10种,其中至少有1人为“非微信控”的基本事件有(a,D),(a,E),(b,D),(b,E),(c,D),(c,E),(D,E),共7种,所以这2人中至少有1人为“非微信控”的概率为.▲题后悟通(1)独立性检验用来考察两个分类变量是否有关系,计算随机变量K2的观测值k,k越大,说明两个分类变量有关系的可能性越大.(2)古典概型的概率问题,关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式计算;当基本事件总数较少时,用列举法把所有的基本事件一一列举出来,要做到不重不漏,有时可借助表格或树状图列举;同时注意判断该问题是古典概型还是几何概型,对于基本事件个数,前者是有限的,后者是无限的.跟踪训练4.(2018益阳、湘潭调研)某中学为了了解全校学生的上网情况,在全校范围内采取随机抽样的方法抽取了80名学生(其中男女生人数恰好各占一半)进行问卷调查,并进行了统计,按男女分为两组,再将每组学生的月上网次数分为5组:[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25],得到如图所示的频率分布直方图.(1)写出a的值;(2)求80名学生中月上网次数不少于15次的学生人数;(3)在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,求至少抽取到1名男生的概率.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线根据已知条件第问题、中点弦问题、动点轨迹问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题小题综合性较强具体求解时第一步与根与系数的关系正确写出第二步题目中涉及的位置关系和数量关系第三步原几何问题中在求解时化运算例5已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围;=1上异于其顶点的任意一点P,作圆O:x2+y2=的两条切线,切点分别(3)过椭圆C1:+-为M,N(M,N不在坐标轴上),若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:+为定值.思路分析第(1)问第(2)问第(3)问解析(1)由题意,得c=1,所以a2=b2+1.因为点在椭圆C上,所以+=1,可解得a2=4,b2=3.则椭圆C的标准方程为+=1.(2)易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为y=kx+2,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+3)x2+16kx+4=0.因为Δ=48(4k2-1)>0,所以k2>,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=.因为∠AOB为锐角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0.所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,(1+k2)·+2k·-+4>0,->0,所以k2<.综上,<k2<,解得-<k<-或<k<.所以,所求直线的斜率k的取值范围为-<k<-或<k<.(3)证明:由(1)知椭圆C1的方程为+=1,因为M,N不在坐标轴上,所以k PM=-=-,直线PM的方程为y-y3=-(x-x3),化简得x3x+y3y=,③同理可得直线PN的方程为x4x+y4y=.④把P点的坐标代入③④得所以直线MN的方程为x0x+y0y=.令y=0,得m=,令x=0,得n=,所以x0=,y0=,又点P在椭圆C1上,所以+3=4,即+=,为定值.▲题后悟通解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤:(1)设方程及点的坐标;(2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次项系数是不是零);(3)得根与系数的关系及判别式;(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.跟踪训练5.(2018湖南长沙模拟)如图,已知抛物线y2=4x,过x轴上的点P作斜率分别为k1,k2的直线l1,l2,已知直线l1与抛物线在第一象限切于点A(x0,y0),直线l2与抛物线在第四象限分别交于B,C 两点,记△PAB,△PAC的面积分别为S1,S2,且S1∶S2=1∶3.(1)求点P的横坐标关于x0的表达式;(2)求的值.高考大题通法点拨——函数与导数问题重在“分”——分离、分解函数与导数问题一般以函数为载体导数为工具如含参函数的单调性、求与讨论等式中参数范围的讨论立问题的讨论等命题热点求导再根据题意处理例6 (2018合肥第二次质量检测)已知函数f(x)=(x-1)e x -ax 2(e 是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的极值点的个数,并说明理由; (2)若对任意的x>0, f(x)+e x ≥x 3+x,求实数a 的取值范围. 思路分析 第(1)问第(2)问解析 (1)f '(x)=xe x -2ax=x(e x -2a).当a ≤0时,由f '(x)<0得x<0,由f '(x)>0得x>0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)有1个极值点;当0<a< 时,由f '(x)>0得x<ln 2a 或x>0,由f '(x)<0得ln 2a<x<0,∴f(x)在(-∞,ln 2a)上单调递增,在(ln 2a,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴f(x)有2个极值点;当a= 时, f '(x)≥0,∴f(x)在R 上单调递增,∴f(x)没有极值点;当a> 时,由f '(x)>0得x<0或x>ln 2a,由f '(x)<0得0<x<ln 2a,∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减,在(ln 2a,+∞)上单调递增,∴f(x)有2个极值点.综上,当a ≤0时, f(x)有1个极值点;当a>0且a ≠ 时, f(x)有2个极值点;当a= 时, f(x)没有极值点.(2)由f(x)+e x ≥x 3+x 得xe x -x 3-ax 2-x ≥0.当x>0时,e x -x 2-ax-1≥0,即a≤ - - 对任意的x>0恒成立则g'(x)= - - -. 设h(x)=e x -x-1,则h'(x)=e x -1.∵x>0,∴h'(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,∴h(x)>h(0)=0,即e x>x+1,∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴g(x)≥g(1)=e-2,∴a≤e-2,∴实数a的取值范围是(-∞,e-2].▲题后悟通函数与导数综合问题的解题关键:(1)求函数的极值点,先求方程f'(x)=0的根,将函数的定义域分成若干个开区间,再列成表格,最后根据表格内容即可写出函数的极值;(2)证明不等式,常构造函数,并利用导数法判断新构造函数的单调性,从而可证明原不等式成立;(3)不等式恒成立问题除了用分离参数法外,还可以从分类讨论和判断函数的单调性入手,求参数的取值范围.跟踪训练6.(2018山西太原模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x,g(x)=-2.(1)求函数f(x)的极值;(2)若对任意给定的x0∈(0,e],方程f(x)=g(x0)在(0,e]上总有两个不相等的实数根,求实数a的取值范围.答案精解精析三角函数问题重在“变”——变角、变式跟踪训练1.解析(1)f(x)=cos2x-xcos x-=-sin2x-=-sin-,由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,又x∈[0,π],∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为和. (2)由(1)知f(x)=-sin-,∴f(A)=-sin-=-1.∵△ABC为锐角三角形,∴0<A<,∴-<2A-<,∴2A-=,即A=.又bsin C=asin A,∴bc=a2=4,∴S△ABC=bcsin A=.数列问题重在“归”——化归跟踪训练2.解析(1)由S n+2=S n+,可知S3=S1+,S4=S2+,两式相减得a4=a2,∴q2=,由题意知q>0,∴q=.由S3=S1+,可知a1+a2+a3=a1+,即a1=a1+,∴a1=1.(2)由(1)知a n=-.∴b n=-,∴T n=1+++…+-,T n=++…+--+,两式相减得T n=1++…+--=2---,∴T n=4--.立体几何问题重在“建”“转”——建模、转换跟踪训练3.解析(1)证明:连接BE,BD,设BD交CE于点O,连接OF.∵E为线段AD的中点,AD∥BC,BC=AD=ED,∴BC ED,∴四边形BCDE为平行四边形,∴O为BD的中点,又F是BP的中点,∴OF∥PD.又OF⊂平面CEF,PD⊄平面CEF,∴PD∥平面CEF.(2)解法一:由(1)知,BE=CD.∵四边形ABCD为等腰梯形,AB=BC=AD,∴AB=AE=BE,∴三角形ABE是等边三角形,∴∠DAB=.过B作BH⊥AD于点H,则BH=.∵PE⊥平面ABCD,PE⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD,又平面PAD∩平面ABCD=AD,BH⊥AD,BH⊂平面ABCD,∴BH⊥平面PAD,∴点B到平面PAD的距离为BH=.又F为线段PB的中点,∴点F到平面PAD的距离h等于点B到平面PAD的距离的一半,即h=,又S△PDE=PE·DE=2,∴V P-DEF=V F-PDE=S△PDE·h=×2×=.解法二:由(1)知CD∥BE,CD⊄平面BEP,BE⊂平面BEP,∴CD∥平面BEP,∴点D到平面BEP的距离等于点C到平面BEP的距离.过C作CT⊥BE于点T,易知BC=BE=EC=2,三角形BCE是等边三角形,∴CT=.∵PE⊥平面ABCD,PE⊂平面BEP,∴平面BEP⊥平面ABCD,又平面BEP∩平面ABCD=BE,CT⊥BE,CT⊂平面ABCD,∴CT⊥平面BEP,∴点C到平面BEP的距离为CT=.又F为线段PB的中点,∴S△PEF=S△PBE=PE·BE=1,∴V P-DEF=V D-PEF=S△PEF·CT=×1×=.概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型、辨图跟踪训练4.解析(1)a=-=0.05.(2)在所抽取的女生中,月上网次数不少于15次的学生人数的频率为(0.05+0.02)×5=0.35,所以,月上网次数不少于15次的女生有0.35×40=14(人).在所抽取的男生中,月上网次数不少于15次的学生人数的频率为(0.04+0.03)×5=0.35,所以,月上网次数不少于15次的男生有0.35×40=14(人).故所抽取的80名学生中月上网次数不少于15次的学生有28人.(3)记“在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,至少抽到1名男生”为事件A,在抽取的女生中,月上网次数少于5次的学生人数的频率为0.02×5=0.1,人数为0.1×40=4,在抽取的男生中,月上网次数少于5次的学生人数的频率为0.01×5=0.05,人数为0.05×40=2,则在80名学生中,从月上网次数少于5次的学生中随机抽取2人,所有可能的结果有15种,而事件A包含的结果有9种,所以P(A)==.圆锥曲线问题重在“设”——设点、设线跟踪训练5.解析(1)当y>0时,y=2,∴A(x0,2).∵直线l1与抛物线切于点A,y'=,∴k1=,∴直线l1的方程为y-2=(x-x0),令y=0,得点P的横坐标x p=-x0.(2)由(1)知P(-x0,0),易得k2<0,∴直线l2的方程为x=y-x0.设B(x1,y1),C(x2,y2),联立直线l2与抛物线的方程,消去x得y2-y+4x0=0,∴y1+y2=,y1y2=4x0.①∵S1∶S2=1∶3,∴|PB|∶|PC|=1∶3,∴y2=3y1,代入①式得=,∴k2=-,又k1=,∴=-.高考大题通法点拨——函数与导数问题重在“分”——分离、分解跟踪训练6.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-2ax+(2-a)=-,①当a≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)无极值;②当a>0时,令f'(x)>0,得0<x<,故f(x)在上单调递增,在上单调递减,∴f(x)存在极大值,极大值为f=ln+-1,无极小值.综上所述,当a≤0时,f(x)无极值;当a>0时,f(x)存在极大值,极大值为f=ln+-1,无极小值.(2)g(x)=-2,g'(x)=-,令g'(x)>0,得x<1,令g'(x)<0,得x>1,则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.又g(0)=-2,g(1)=-2,g(e)=-2>g(0),∴当x∈(0,e]时,g(x)∈--.由(1)得,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时在(0,e]上f(x)=g(x0)总有两个不相等的实数根不成立,因此a>0.当a>0时,依题意,得-由f(e)=1-ae2+2e-ea≤-2,得a≥,-由f=ln+-1>-2,得ln a-+<1,令h(x)=ln x-+,x∈(0,+∞),易知h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(e)=1,∴由ln a-+<1,得a∈(0,e).综上所述,≤a<e,故实数a的取值范围是.。

2019高三二轮备考抓分点透析数学（文）专项12：高考中的解答题的解题策略（升级版）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

专题十二高考中的解答题的解题策略【重点知识回顾】解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力、解答题的解题步骤1.分析条件，弄清问题2.规范表达，实施计划3.演算结果，回顾反思解答题的解题策略1.从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘；2.从结论入手——执果索因，搭好联系条件的桥梁；、3.回到定义和图形中来；4.换一个角度去思考；5优先作图观察分析，注意挖掘隐含条件；6.注重通性通法，强化得分点。

【典型例题】1.从定义信息入手给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，求解此类问题通常分三个步骤：〔1〕对新知识进行信息提取，确定化归方向；〔2〕对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；〔3〕对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解、例1、根据定义在集合A 上的函数)(x f y =，构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据A x ∈0，计算出)(01x f x =；②假设A x ∉1，那么数列发生器结束工作，假设A x ∈1，那么输出x 1,并将x 1反馈回输入端，再计算出)(12x f x =，并依此规律继续下去，现在有}10|{<<=x x A ，)(1)(*N m xm mx x f ∈-+=， 〔Ⅰ〕求证：对任意A x ∈0，此数列发生器都可以产生一个无穷数列}{n x ； 〔Ⅱ〕假设210=x ，记)(1*N n x a n n ∈=，求数列}{n x 的通项公式、 【解析】〔Ⅰ〕证明：当A x ∈，即0<x<1时，由*N m ∈可知m+1>x>0， ∴01>-+x m mx ，又01)1)(1(11<-+-+=--+x m x m x m mx ，∴11<-+xm mx ，∴1)(0<<x f ，即A x f ∈)(、故对任意A x ∈0有A x f x ∈=)(01；由A x ∈1有A x f x ∈=)(12，由A x ∈2有A x f x ∈=)(23；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列}{n x 、 〔Ⅱ〕由n n n n x m mx x f x -+==+1)(1，可得m x m m x n n 11111-⋅+=+， ∴m a m m a n n 111-⋅+=+，即)1(111-+=-+n n a mm a ， 令1-=n n a b ，那么n n b mm b ⋅+=+11，又011)1(11100111≠+=-+=-=-=mm mx x m x a b ， ∴数列}{n b 是以m m 1+为首项，以mm 1+为公比的等差数列， ∴n n n m m m m m m b )1()1(11+=+⋅+=-，于是1)1(-+=n n mm a 、 【题后反思】此题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列}{n x ，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第〔Ⅱ〕问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底、2.由巧法向通法转换巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法那么表达了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点、例2、21cos sin =βα，求βαsin cos 的取值范围、 【解析】由21cos sin =βα，得αβ22sin 41cos =， ∴αααββ22222sin 41sin 4sin 411cos 1sin -=-=-=， ∴)sin 1(sin 41sin 4)sin 1(sin cos sin 2222222ααααβαβ-⋅-=-= 41145)sin 41(sin 45sin 41sin 5sin 422224=-≤+-=-+-=ααααα， 从而得]2121[sin cos ，-∈βα、 【题后反思】此题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一——消元法上来，那么解法通俗、思路清晰、3.常量转化为变量转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策、有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易、例3、设0tan cos 4sin 0tan sin 3cos 92=⋅-=++C A B C B A ，，求证：61|cos |≤A 、【解析】令3=x ，那么有0tan sin cos 2=++C B x A x ，假设0cos =A ，那么610|c os |≤=A 成立； 假设0cos ≠A ，那么0tan cos 4sin 2=⋅-=∆C A B ，∴方程有两个相等的实数根，即321==x x ， 由韦达定理，AC x x cos tan 921==，即A C cos 9tan =，又0tan cos 4sin 2=-C A B ， ∴0cos 9cos 4sin 2=-A A B ，∴1sin cos 3622≤=B A ，∴61|cos |≤A 、 【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而此题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决、4.主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解、 例4、对于满足2||≤p 的所有实数p ，求使不等式p x px x +>++212恒成立的x 的取值范围、【解析】把p x px x +>++212转化为012)1(22>+-+-x x p x ，那么成为关于p 的一次不等式，那么2||≤p ，得22≤≤-p ，由一次不等式的性质有：0)1)(1()1()1(2>+--=-+-p x x x p x ，当2-=p 时，0)3)(1(>--x x ，∴31>-<x x 或；当2=p 时，0)1)(1(>+-x x ，∴11>-<x x 或，综上可得：31>-<x x 或、【题后反思】视x 为主元，不等式是关于x 的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将p 转化为主元，不等式是关于p 的一次的不等式，那么问题不难解决、5.正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正难那么反”例5、假设椭圆)0(2222>=+a a y x 与连接A 〔1，2〕、B 〔3，4〕两点的线段没有公共点，求实数a 的取值范围、【解析】设线段AB 和椭圆有公共点，由A 、B 两点的坐标可得线段AB 的方程为1+=x y ，]3,1[∈x ，那么方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+12222x y a y x ，消去y 得：222)1(2a x x =++，即31)32(231223222++=++=x x x a ， ∵]3,1[∈x ，∴]241,29[2∈a ，∵0>a ，∴282223≤≤a ， ∴当椭圆与线段AB 无公共点时，实数a 的取值范围为),282()223,0(+∞ 、 【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，那么应从反面的方向去探索、6.数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的、例6、)(x f 是定义在}0|{≠x x 上的奇函数，且在区间),0(+∞上是增函数，假设1,0)1(>=a f ，解不等式0)(log <x f a 、【解析】由)(x f 在),0(+∞上为增函数，且)(x f 是定义域上的奇函数，∴)(x f 在)0,(-∞上也是增函数、∵0)1(=f ，∴0)1(=-f ，∴)1(0)(l o g f x f a =<或)1(0)(log -=<f x f a ，由函数的单调性知：⎩⎨⎧<<>1log 00x x a 或⎩⎨⎧-<<1log 0x x a， ∴原不等式的解集为：}101|{ax a x x <<<<或 【题后反思】由，)(x f 是定义在}0|{≠x x 上的奇函数，且在区间),0(+∞上是增函数，由1,0)1(>=a f ，那么可得)(x f 的大致图像如下图，可知0)1(=-f7、自变量与函数值的转化函数单调性的定义明确表达了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题、例7、设)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，且对于定义域内任意x 、y ，都有)()()(y f x f xy f +=1)2(=f ，求使不等式2)3()(≤-+x f x f 成立的x 的取值范围、【解析】∵)(x f 的定义域是),0(+∞，∴⎩⎨⎧>->030x x ，即3>x ，由于)()()(y f x f xy f +=，得])3[()3()(x x f x f x f ⋅-=-+，由1)2(=f ，得)4()2()2(112f f f =+=+=，∴由题设条件得：)4()]3([f x x f ≤-，∵)(x f 是定义在),0(+∞上的增函数，∴4)3(≤-x x ，解之得：41≤≤-x ，又3>x ，∴适合题意的x 的取值范围为[3，4]、【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，解题的关键需实现三种转化：①将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；②根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将)3()(-+x f x f ，根据等价转化为)]3([-x x f ；③需将②转化为某自变量的函数值，从而建立关于x 的不等关系，求出x 的取值范围、8.类比归纳类比是将式子结构、运算法那么、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，假设干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力、因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点、例8、如下图所示，定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常数A ，都有A x f ≥)(成立，那么称函数)(x f 在D 上有下界，其中A 称为函数的下界〔提示：下图①②中的常数A 、B 可以是正数，也可以是负数或零、〕 〔Ⅰ〕试判断函数xx x f 48)(3+=在),0(+∞上是否有下界？并说明理由；〔Ⅱ〕具有图②所示特征的函数称为在D 上有上界，请你类比函数有下界①②的定义，给出函数)(x f 在D 上有上界的定义，并判断〔Ⅰ〕中的函数在)0,(-∞上是否有上界，并说明理由、【解析】 ∵22/483)(xx x f -=，由0)(/=x f ，得164=x ，∵),0(+∞∈x ，∴x=2, ∵当0<x<2时，0)(/<x f ，∴函数)(x f 在〔0，2〕上是减函数；当x>2时，0)(/>x f ，∴函数)(x f 在〔2，∞+〕上是增函数；∴x=2是函数)(x f 在区间〔0，∞+〕上的最小值点，32)2()(min ==f x f ， 于是，对任意),0(+∞∈x ，都有32)(≥x f ，即在区间〔0，∞+〕是存在常数A=32，使得对任意),0(+∞∈x ，都有A x f ≥)(成立，所以，函数xx x f 48)(3+=在),0(+∞上有下界、 〔Ⅱ〕类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，存在常B ，都有B x f ≤)(成立，那么称函数)(x f 在D 上有上界，其中B 称为函数的上界、设x<0，那么-x>0，那么〔Ⅰ〕知，对任意),0(+∞∈x ，都有32)(≥x f ，∴32)(≥-x f ，∵函数xx x f 48)(3+=为奇函数，∴)()(x f x f -=-，∴32)(≥-x f ，即32)(-≤x f ， 即存在常数B=-32，对任意)0,(-∞∈x ，都有B x f ≤)(，所以，函数xx x f 48)(3+=在)0,(-∞上有上界、 【题后反思】此题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题、数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力、【模拟演练】〔1〕函数||212)(x x x f -= 〔Ⅰ〕假设2)(≥x f ，求x 的值；〔Ⅱ〕假设0)()2(2≥+t mf t f t 对于)2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围、 〔2〕设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，曲线)(x f y =通过点〔0，2a+3〕且在点〔-1，)1(-f 〕处的切线垂直于x 轴、用a 分别表示b 和c ；〔Ⅱ〕当bc 取得最小值时，求函数x e x f x g --=)()(的单调区间、〔3〕在直角坐标系xOy 中，点P 到两点〔3,0-〕，〔3,0〕的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1+=kx y 与C 交于A 、B 两点，〔Ⅰ〕写出C 的方程； 〔Ⅱ〕假设⊥，求k 的值；〔Ⅲ〕假设点A 在第一象限，证明：当k>0时，恒有||||OB OA >、〔4〕函数t t t f +-=11)(，)(cos sin )(sin cos )(x xf x xf x g +=，]1217,(ππ∈x ， 〔Ⅰ〕将函数)(x g 化简成))2,0[,0,0()sin(πϕωϕω∈>>++A B x A 的形式； 〔Ⅱ〕求函数)(x g 的值域、〔5〕曲线C 1：)0(1||||>>=+b a by a x 所围成的封闭图形的面积为54，曲线C 1的内切圆半径为352，记C 2为以曲线C 1与坐标轴的交点为顶点的椭圆， 〔Ⅰ〕求椭圆C 2的标准方程；〔Ⅱ〕设AB 是过椭圆C 2中心的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上异于椭圆中心的点，①假设||||OA MO λ=〔O 为坐标原点〕，当点A 在椭圆C 2上运动时，求点M 的轨迹方程；②假设M 是l 与椭圆C 2的交点，求AMB ∆面积的最小值、〔6〕元素为实数的集合S 满足以下条件：①S ∉0,1；②假设S a ∈，那么S a∈-11、假设非空集合S 为有限集，那么你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测、〔7〕椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右准线2:1=x l 与x 轴相交于点P ，右焦点F 到上顶点的距离为2，点C(m,0)是线段OF 上的一个动点，〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l ，其与椭圆交于A 、B 两点，且使得⊥+)(？亲说明理由、〔8〕设函数1)(+=x x g ，函数31)(+=x x h ，],3(a x -∈，其中a 为常数且0>a ，令函数)(x f 为函数)(x g 和)(x h 的积函数、〔Ⅰ〕求函数)(x f 的表达式，并求其定义域； 〔Ⅱ〕当41=a 时，求函数)(x f 的值域； 〔Ⅲ〕是否存在自然数a ，使得函数)(x f 的值域恰为]21,31[？假设存在，试写出所有满足条件的自然数a 所构成的集合，假设不存在，试说明理由、 〔9〕函数)1(log )(21+=x x f ，当点),(00y x P 在)(x f y =的图像上移动时，点),21(00y t x Q +-)(R t ∈在孙函数)(x g y =的图像上移动、 〔Ⅰ〕假设点P 坐标为〔1，-1〕，点Q 也在)(x g y =的图像上，求t 的值； 〔Ⅱ〕求函数)(x g y =的解析式；〔Ⅲ〕当0>t 时，试探索一个函数)(x h ，使得)()()(x h x g x f ++在限定域内为)1,0[时有最小值而没有最大值、〔10〕矩形钢板的边长分别为)109(,a b a b a >>，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使其底面边长为矩形边长的一半，表面积为ab ，试比较得到所制作的正四棱柱与正四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论、答案：1、〔1〕)21(log 2+=x ；〔2〕),5[+∞-∈m2、〔1〕c=2a+3，b=2a ； 〔2〕)(x g y =的单调减区间为),2()2,(+∞--∞和，单调增区间为〔-2，2〕；3、〔1〕1422=+y x ， 〔2〕21±=k ， 〔3〕略；4、〔1〕2)4sin(2)(-+=πx x g ，〔2〕)(x g 的值域为)3,22[--；5、〔1〕14522=+y x ， 〔2〕①)0(54222≠=+λλy x ，②940、 6.S 的元素的个数为3的倍数；7.〔Ⅰ〕1222=+y x ； 〔Ⅱ〕当210<≤m 时，m m k 21-±=，即存在这样的直线l ； 当121≤≤m 时，k 不存在，即不存在这样的直线l 、 8，〔Ⅰ〕)0](,0[,31)(>∈++=a a x x x x f ； 〔Ⅱ〕]136,31[； 〔Ⅲ〕91≤≤a ，且N a ∈、9.〔Ⅰ〕0=t ； 〔Ⅱ〕)2(log )(21t x x g y +==； 〔Ⅲ〕当)1(log )(221x x h -=时，)()()(x h x g x f ++有最小值0，但没有最大值、102a b - 2a 2 16)2(21ab a V -= 图1易证：42314321V V V V V V V V <<>>，，，，即最大3V ，最小2V 、。