高考数学 3年高考2年模拟 10.2二项式定课件 理 (安徽)

因为(x－2y)8 的展开式中含 x6y2 的项为 C28x6(－2y)2＝112x6y2， 所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.
(2)已知x－
a
5
x
的展开式中
x5
的系数为
A，x2
的系数为
B，若
A＋B＝11，
则 a＝__±_1___.
x－
a
5
x
的展开式的通项为
Tk＋1＝Ck5x5－k－
axk＝
(
a)k
C5k
5
x
3 2
k
.
由 5－32k＝5，得 k＝0， 由 5－32k＝2，得 k＝2， 所以 A＝C05×(－a)0＝1，B＝C25×(－a)2＝10a2，
则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式 例 2 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 __－__2_8__(用数字作答).
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
落实主干知识
知识梳理
1.二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
微拓展
③有 1 个因式出一个 2x，2 个因式各出一个－3x2，剩余 2 个因式各出 一个 1，这样的方式有 C15C24种，对应的项为 C15×2x×C24×(－3x2)2； 所以含 x5 的项的系数为 C55×25＋C35×23×C12×(－3)＋C15×2×C42× (－3)2＝92.

高中数学课件
[强化训练 4.1] (1)(2015 年高考·课标全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数
为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
(2)(2019 年内蒙古包头一模)(x2－x＋y)5 的展开式中，x4y3 的系数为( )
A．8
B．9
C．10
D．12
(3)(2019 年河南一模)(2x2＋x－1)5 的展开式中，x3 的系数为________．
【思路分析】
高中数学课件
【解析】 (1)二项展开式的通项是 Tr＋1＝C4r(x y)4－r·(－y x)r＝(－1)rC4rx4－2ry2＋2r，
令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C42＝6.
(2)a＝πsinxdx＝(－cosx)|0π＝2，所以二项展开式的通项是 Tr＋1＝C6r(2 0
答案：(1)B (2)16 4
高中数学课件
高频考点 3 系数最大项问题
【例 3.1】 已知(3 x＋x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x－1)n 的展开式的二项式 系数和大 992.
(1)求2x＋1x2n的二项式系数最大的项； (2)求2x＋1x2n的展开式系数最大的项．
高中数学课件
高频考点 4 特殊“三项式”(可化为二项式)的展开式
【例 4.1】
求2x＋1x＋
25(x>0)的展开式经整理后的常数项．

【解】
解法 1：2x＋1x＋
25在

x>0
时可化为
x＋ 2
1x10，因而
Tr＋1＝C10r
1 10－r 2

[解析] (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1. 令 x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大项为 T4＝C63x3＝20x3. (2)由题意知，Cn2＝Cn6，∴n＝8.
A
14
【变式训练 1】 (1)(2015·潍坊调研)设二项式 x－31x5的展开
式中常数项为 A，则 A＝________． (2)(1＋x)8(1＋y)4 的展开式中 x2y2 的系数是________．
[解析] (1)Tr＋1＝C5r( x)5－r－31xr
＝(－1)rC5rx25－56r.
令52－56r＝0，得 r＝3. ∴常数项 A＝(－1)3C53＝－10.
A
22
【典例 3】 (1)(2015·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式
中 x2 的系数为 5，则 a＝( )
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
(2)设 a∈Z，且 0≤a<13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a＝
________．
[思路点拨] (1)x2 的系数来源于(1＋x)5 展开式中 x2 的系数和
二项式
递增的.
系数 Cnk
当 k>n＋2 1(n∈N*)时，是
递减的．
n 当 n 为偶数时，中间的一项 C2n
取得最大值.
n－1 当 n 为奇数时，中间的两项 C 2
n＋1
A n 与 C 2 n 取最大值.
4
3.各二项式系数和 (1)(a＋b)n 展开式的各二项式系数和：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn ＝2n．

03
二项式定理的证明
数学归纳法的应用
数学归纳法是一种证明数学命题的重 要方法，尤其在证明二项式定理时， 它能够通过有限步骤来证明无限递推 关系。
然后，通过假设当$n=k$时二项式定 理成立，推导出当$n=k+1$时二项 式定理也成立。
在二项式定理的证明中，数学归纳法 首先证明基础步骤，即当$n=0$或 $n=1$时，二项式定理成立。
二项式定理的推导
二项式定理推导思路
通过组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为组合数的形式，从而推导出二项式定理的 展开式。
二项式定理的推导过程
根据组合数的性质，将二项式定理展开式中的每一项表示为C(n, k)的形式，其中k表示二项式中某一 项的次数。通过计算，可以得到二项式定理的展开式为C(n, 0) + C(n, 1)x + C(n, 2)x^2 + ... + C(n, n)x^n。
C(n, m) = C(n, n-m)，即从n个不同元素中取出m个元素和取出n-m个元素的 组合数相等。
组合数的性质2
C(n+1, m) = C(n, m-1) + C(n, m)，即从n+1个不同元素中取出m个元素的组 合数等于从n个不同元素中取出m-1个元素的组合数加上从n个不同元素中取出 m个元素的组合数。
详细描述
二项式定理的应用场景非常广泛。在多项式的展开中，二项式定理可以用来求解形如$(x+y)^n$的多项式的展开 结果。在组合数学中，二项式定理可以用来计算组合数和排列数等。在概率论中，二项式定理可以用来计算事件 的概率和期望值等。此外，二项式定理在统计学、物理、工程等领域也有广泛的应用。
02
二项式定理的推导过程

Tk＋1＝Ck4xk(k＝0，1，2，3，4)， 故(1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为 C34＋2C14＝12.故选 A．
(3)(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30.故选 C． 另解：由乘法法则知 5 个因式中两个选 y 项，两个选 x2 项，一个选 x 项乘即可，∴x5y2 的系数为 C25C13＝30.
1．二项式定理中，通项公式 Tk＋1＝Cknan－kbk 是展开式的第 k＋1 项， 不是第 k 项．
2．(1)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在 Tk＋1 ＝Cknan－kbk 中，Ckn是该项的二项式系数，该项的系数还与 a，b 有关．
(2)二项式系数的最值和增减性与指数 n 的奇偶性有关．当 n 为偶数 时，中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时，中间两项的二项式系 数相等，且同时取得最大值．
第十章
计数原理、概率、随机变量及其分布
第三讲 二项式定理
知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 名师讲坛·素养提升
知识梳理·双基自测
知识点一 二项式定理
(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N＋)．
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，
又(1－2x)5(1＋3x)4 的展开式中按 x 升幂排列的第 3 项即展开式中 x2 项，
C05(－2x)0·C24(3x)2＋C15(－2x)·C14(3x)＋C25(－2x)2·C04(3x)0＝－26x2.

பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1

$(a+b)^4$ 的中间项是 什么？
$(a-b)^5$ 的展开式中 ，$a^4$ 的系数是多少
？
深化习题
01
02
03
04
深化习题1
利用二项式定理展开 $(a+b)^5$，并找出所有项
的系数。
深化习题2
求 $(a+b+c)^3$ 的展开式中 $a^2b$ 的系数。
深化习题3
利用二项式定理证明 $(a+b)^n$ 的展开式中，中
组合数学是研究组合问题的一 门数学分支，与二项式定理密 切相关。
在二项式定理的推导过程中， 组合数学原理提供了组合数的 计算方法和组合公式的应用。
通过组合数的计算，我们可以 得到二项式展开的各项系数， 进一步验证二项式定理的正确 性。
幂级数的展开与收敛
幂级数是数学分析中的重要概念 ，与二项式定理的推导密切相关
微积分中的应用
二项式定理在微积分中有着广泛的应用，如在求极限、求导和积分等运算中。
概率论中的应用
在概率论中，二项式定理可以用于计算组合数学中的一些概率分布，如二项分 布和超几何分布等。
05
习题与思考题
基础习题
基础习题1
基础习题2
基础习题3
基础习题4
$(a+b)^2$ 的展开式是 什么？
$(a-b)^3$ 的展开式是 什么？
概率分布
利用二项式定理，可以推 导二项分布的概率分布函 数和概率密度函数。
概率推断
在贝叶斯推断中，二项式 定理可以用于计算后验概 率和预测概率。Leabharlann 二项式定理在组合数学中的应用
01
组合数的计算
利用二项式定理，可以计算组合数$C(n, k)$，即从n个不同元素中取出

1.已知

x
展1x 开7 式的第4项等于5,则x等于 (
)
A. 1 B.1- C.7 D.-7
7
7
答案 B 由T4= xC437 =51x得3x=- ,故17选B.
2.在 x的 二2x 项n 展开式中,若常数项为60,则n等于 (
)
A.3 B.6 C.9 D.12
r N.

令 10 =2kr(k∈Z),则10-2r=3k,
3
即r=5- 3 k.
2
∵r∈N,且0≤r≤10,
∴k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.
∴第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为
C120

x122, 2
C,15 0

1 2
5
x-2. C180
1-1 已知在 3 x的 展231开x 式n 中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解析 (1)通项公式为
nr
Tr+1= Crn x 3

12= r x

r 3
Crn,


1 2
r
n2r
大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m= (
)
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 解析
(1)C (2)B
a r
1
(1)Tr+1= C·7r(2x)7-r· x=27-r aCr·7r .x令2r27r-7=3,则r=5.由22· a5=C8457 得
答案
B
通项Tr+1= (C rn)n-r·x

统计力学
在统计力学中，二项式定理用于计算 分子在特定条件下可能处于的微观状 态数。
二项式定理在计算机科学中的应用
数据压缩
二项式定理用于计算数据压缩的比特率，以确定压缩后数据的存储空间。
加密算法
二项式定理用于实现某些加密算法，如RSA公钥加密算法。
二项式定理在其他工程领域的应用
控制系统
在控制系统的分析和设计中，二项式定理用于计算系统的传递函数。
04
二项式定理在数学中的应用
二项式定理在组合数学中的应用
组合数学是研究组合问题的数学分支，二项式定理在组合数学中有着广泛的应用。
利用二项式定理可以推导出组合数的性质和公式，例如C(n,k)的计算。
二项式定理还可以用于解决一些组合数学问题，例如排列、组合、概率等问题的求 解。
二项式定理在概率论中的应用
信号处理
在信号处理中，二项式定理用于计算信号的频谱和滤波器的设计。
06
总结与展望
二项式定理的重要性和应用价值
数学基础
二项式定理是数学中的基础定理 之一，它为组合数学、概率论和 统计学等领域提供了重要的理论
基础。
应用广泛
二项式定理的应用范围非常广泛 ，包括计算机科学、统计学、物 理学、工程学等领域，它为解决 实际问题提供了重要的方法和工
二项式定理ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-22
• 引言 • 二项式定理的公式与性质 • 二项式定理的展开与化简 • 二项式定理在数学中的应用 • 二项式定理在其他领域的应用 • 总结与展望
01
引言
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，用于解决二项式展开的问题。
详细描述

二项式定理的应用举例
04
求解某些特定形式的幂级数展开式
01
幂级数展开式的求解
二项式定理可以用于求解某些特定形式的幂级数展开式 ，例如$(a+b)^n$的展开式。
02
泰勒级数展开
利用二项式定理，我们可以求解一些函数的泰勒级数展 开，从而得到函数在某个点的近似值。
03
幂级数的求和
对于一些特定的幂级数，我们可以利用二项式定理找到 其求和的方法。
其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
二项式系数的性质
二项式系数是组合数的推广 ，它具有与组合数相同的性 质，例如
1. 对称性：对于任何自然数n ，C(n,k) = C(n,n-k)。
2. 递推性：C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)。
3. 组合恒等式：C(n,k) + C(n,k-1) = C(n+1,k)。
二项式定理的历史背景
二项式定理最初由牛顿在17世纪发 现，用于解决一些特殊的数学问题。
之后，许多数学家都对二项式定理进 行了研究和推广，使其成为现代数学 中的基本工具之一。
二项式定理的意义与应用
01
二项式定理是组合数学的基础，可以帮助我们理解和分 析一些组合问题的内在规律。
02
在统计学中，二项式定理可以用于计算样本数量较少时 的置信区间和置信度。
深化理解的进阶题目
总结词
深入理解概念
详细描述
在基本掌握二项式定理的基础上，通过解决 一些相对复杂的进阶题目，帮助学生深入理 解二项式定理的概念和变形方式，进一步提 高解题能力。
有趣的开放性问题
总结词
激发学习兴趣

3．(教材改编)若(x－1)4 ＝a0 ＋a1x＋a2x2 ＋a3x3 ＋a4x4 ，则a0 ＋a2 ＋a4
的值为(
)
A．9
B．8
C．7
D．6
答案：B
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝
16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.故选B.
1 n
题型二 二项式系数的和与各项系数的和
例 4(1)若(3x＋ x)n的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比
15
值是32，则展开式中x3项的系数是________．
n
4
解析：令x＝1，得所有项的系数和为4n，二项式系数和为2n，所以 n ＝2n＝32，
2
1

k
即n＝5，(3x＋ x)5的第k＋1项为5 ·(3x)5－k·( 2 )k＝5 ·35－k· 5−2 ，令5－ ＝3，得
角度一 二项展开式的特定项
1 8
例 1(1)[2023·黑龙江哈尔滨模拟]在( x + x) 的展开式中x5的系数为
2
(
)
45
45
A．
B．－
4
35
C．
8
8
D．7
答案：D
1
解析：二项式( x + x)8 展开式的通项为Tk＋1 ＝C8k (
2
1
1
令4＋ k＝5，解得k＝2，所以T3＝C82 x5·( )2＝7x5，
x
(2)(
2
1
x
+ +
63 2
2)5的展开式中的常数项为______．
2
x2 +2 2x+2 5

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二、易错易混 3．在x2－2xn 的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式 中各项系数的和为________．
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅲ卷](1＋2x2)(1＋x)4 的展开式中 x3 的系数为( ) A．12 B．16 C．20 D．24
答案：A 解析： 解法一 1×C43＋2C14＝12. 解法二 ∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)·(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3 的系数为 1×4＋2×4＝12.
性质
性质描述
对称性 增减性 最大值
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，
即 Cnm＝ Cnn－m
n＋1
二项式
当 k< 2
(n∈N*)时，是递增的
系数 Ckn
n＋1
当 k> 2
(n∈N*)时，是递减的
当
n
为偶数时，中间的一项
n C2n
取得最大值
当 n 为奇数时，中间的两项
C 和 n1 2 n
C
n1
第3节 二项式定理
【教材回扣】
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝ Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)
二项展开式 的通项公式
Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第 k＋1 项
二项式系数
二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，…，Cnn
2.二项式系数的性质
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