江苏省南京师范大学附属中学2020届高三第一次模拟考试数学试题含附加题(附答案解析)

2020年南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 若集合A ={4,5，6，8}，B ={3,5，7，8}，则A ∪B = ______ ．2. 已知i 为虚数单位，则1+3i 1−i =________．3. log 3√27+lg25+lg4−7log 72−(−9.8)0= ______ ．4. 执行如图的程序框图，若p =1516，则输出n 的值为______．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(b +c)sin A 2=8，(b −c)cos A 2=6，则a =________．6. 已知tan(x +π4)=2，则tanx =______．7. 函数f(x)=1x −9x+1(x >0)的最小值为______．8. 将黑、白两个小球随机放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为____________．9. 抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为________．10. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m//β，β⊥α，则m ⊥α；②若m ⊥α，n//α，那么m ⊥n ；③若α//β，m ⊂α，那么m//β；④若m//n ，α//β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．其中正确命题的序号是______．11. 已知向量则1m +8n 的最小值______12. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ______ ．13. 设a 、b 、c 是正实数满足a +b ≥c ，则b a +ab+c 的最小值为______．14. 当x ∈[0,3]时，不等式x −(12)x +m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是__________． 二、解答题（本大题共11小题，共142.0分） 15. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，PA =AC ，PB =PD =√2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB//平面ACE ；(2)平面PAC ⊥平面ABCD ．16. 在△ABC 中，已知tanA =12,tanB =13且最长边为1．(1)求角C ；(2)求△ABC 的面积S ．17.要建造一个容积为4800m3，深为3m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120，那么怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价为多少元？18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(a>b>0)的上顶点为，圆经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过点M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N，若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．19.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．20.已知数列{a n}满足a1=12，a n+1=a n2a n+1．(1)证明数列{1a n}是等差数列．(2)求{a n}的通项公式．21.已知矩阵M=[144x]的一个特征值为3，求其另一个特征值．22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴为正半轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=6cosθ，直线l 的参数方程为{x =3+12t y =−3+√32t(t 为参数)． (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)求直线l 分圆C 所得的两弧程度之比．23. 已知3x +2y =1，求x 2+y2的最小值．24. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，棱AB ，AD ，AP 两两垂直，且长度均为1，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ≤1).(1) 若λ=1，求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；(2) 若二面角B −PC −D 的大小为120°，求实数λ的值．25. 已知f(x)=(1+ax)n =a 0+a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n ，若对于任意n ∈N ∗，都有∑a i n i=0=(23)n ． (1)求实数a 的值；(2)若[f(x)]2=b 0+b 1x +b 2x 2+⋯+b 2n x 2n ，求13b 1+132b 2+133b 3+⋯+132n b 2n 的值．【答案与解析】1.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．2.答案：−1+2i解析：本题考查了复数的运算，属于基础题．直接利用复数的运算法则计算即可．解：1+3i1−i=(1+3i)(1+i) (1−i)(1+i) =−2+4i2=−1+2i．故答案为−1+2i．3.答案：12解析：本题考查了对数与对数运算，属于基础题.根据对数的运算性质计算即可．解：原式=32+lg100−2−1=32+2−2−1=12，故答案为12．4.答案：5解析：解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：S=0+12=12,n=2；S=12+122=34,n=3；S=34+18=78,n=4；S=78+116=1516,n=5；结束循环，输出n=5．故答案为：5．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的只并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：10解析：本题主要考查了三角函数的公式以及余弦定理，正确变形是关键．解：由，，两边平方并相加得：，即，由余弦定理可知a2=100，所以a=10．故答案为10．6.答案：13解析：解：∵已知tan(x+π4)=2，∴tanx+11−tanx=2，解得tanx=13，故答案为：13．根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得tanx+11−tanx=2，解方程求得tan x的值．本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．7.答案：−4解析：解：函数f(x)=1x −9x+1(x>0)的导数为f′(x)=−1x2+9(x+1)2=(2x−1)(4x+1)x2(x+1)2，当x>12时，f′(x)>0，f(x)递增；当0<x<12时，f′(x)<0，f(x)递减，可得x=12时，f(x)取得极小值，且为最小值，即有f(12)=2−6=−4，故答案为：−4．求得f(x)的导数，求出f(x)在x>0的单调性，可得极小值，且为最小值，计算可得所求值．本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出单调区间，考查运算能力，属于中档题．8.答案：13解析：本题主要考查的是古典概型的计算及应用的有关知识，先求出基本事件总数，然后求出黑、白两个小球在同一个盒子里的可能结果数量，再利用概率公式进行求解即可．解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，基本事件总数n=3×3=9，则黑、白两个小球在同一个盒子里有3种可能，则黑、白两个小球在同一个盒子里的概率为39=13．故答案为13．9.答案：2解析：本题主要考查了抛物线的几何性质，属于基础题．利用抛物线的性质求解．解：抛物线x2=4y中，焦点F(0,1)，准线方程为y=−1，所以焦点到准线的距离为1−(−1)=2．故答案为2．10.答案：②③④解析：本题考查了空间中直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系，根据题意逐一判定即可得出结论．解：对于①，若m//β，β⊥α，则m与α可能垂直，可能平行，可能斜交，故①错误；对于②，若m⊥α，n//α，那么m⊥n，故②正确；对于③，若α//β，α内任一条直线都与β平行，m⊂α，那么m//β，故③正确；对于④，若m//n，所以m，n与α所成的角相等，因为α//β，n与α、β所成的角相等，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，故④正确，所以，正确命题的序号是②③④，故答案为②③④．11.答案：92解析：本题考查了利用基本不等式求最值和平面向量共线的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用平面向量共线的充要条件得n+2m=4，再利用基本不等式求最值计算得结论，解：∵a⃗//b⃗ ，∴4−n−2m=0，即n+2m=4．∵m>0，n>0，∴1m+8n=14(n+2m)(1m+8n)=14(10+nm+16mn)≥14(10+2√n m×16m n )=92，当且仅当n =4m =83时取等号． ∴1m +8n 的最小值是92． 故答案为92．12.答案：4解析：由已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12=16，即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16.而AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入即可得出．熟练掌握向量的运算法则和数量积运算是解题的关键．解：由已知AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+12=16， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16． ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16． ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4． 故答案为4．13.答案：√2−12解析：解：∵a ，b ，c 是正实数，满足a +b ≥c ， ∴a +2b ≥b +c ，∴b a +a b +c ≥b a +a a +2b =b a +11+2b a =12(2b a +1)+11+2b a−12≥√2−12 (当且仅当a +b =c 时取等号) 故答案为：√2−12．利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．14.答案：解析： 【试题解析】本题考查不等式恒成立问题，属于基础题．利用分离参数法变形为m ≥(12)x−x ，要使得不等式恒成立转化为求m ≥[(12)x−x]max即可．解：由题意得m ≥(12)x−x 在x ∈[0,3]恒成立，即m ≥[(12)x−x]max，设g(x)=(12)x−x ，显然函数g(x)在x ∈[0,3]上单调递减，所以m ≥g(0)=1， 故答案为．15.答案：证明：(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，∵底面ABCD 为菱形，∴O 为BD 的中点，又E 是PD 的中点， ∴OE//PB ，∵OE ⊂平面ACE ，PB ⊄平面ACE ， ∴PB//平面ACE ；(2)∵底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°， ∴△ABC 为正三角形，从而AB =AC ， 又PB =√2AC ，PA =AC ， ∴PB =√2AB =√2PA ，可得PA ⊥AB ，同理可证PA ⊥AD ，又∵AB ∩AD =A ，且AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ，∵PA ⊂平面PAC ， ∴平面PAC ⊥平面ABCD ．解析：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接OE ，可得OE//PB ，从而得到PB//平面ACE ；(2)由底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，可得△ABC 为正三角形，从而AB =AC ，再由已知可知PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，由线面垂直的判定可得PA ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAC ⊥平面ABCD ．16.答案：解：(1)∵tanC =tan(π−A −B)=−tan(A +B)=−=−1，∴C =3π4；(2)∵tanA =12>13=tanB ，C =3π4，∴C 为最大角，B 为最小角． 又tanB =13，tanA =12，∴sinB =√1010，sinA =√55， 由正弦定理，得asinA =bsinB =csinC ， ∴b =√55，a =√105， ∴S =12absinC =12×√105×√55×√22=110．解析：(1)由三角形的内角和定理得到C =π−(A +B)，然后利用两角和与差的正切函数公式及诱导公式化简，将tan A 和tan B 的值代入即可求出tan C 的值，由C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的度数；(2)根据正切函数的单调性由tan B 小于tan A ，得到B 小于A ，即b 小于a ，由C 为钝角得到最长的边为c ，最短的变为b ，根据tan B 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin B ，sin A 的值， 由sin B ，sin C 和c 的值，利用正弦定理即可求出b ，a 的值，从而得到三角形的面积．17.答案：(8分)解：设水池底面长为x 米时，总造价为y 元．由题意知水池底面积为48003=1600m 2，水池底面宽为1600xm ．∴y =150×1600+120×3×(2x +2×1600x) =150×1600+720(x +1600x) ∵x +1600x≥2√x ×1600x=80，当且仅当“x =40”时取得“=”所以当x =40时，y min =297600．解析：设水池底面长为x 米时，总造价为y 元．列出函数关系式，利用基本不等式求解最值即可． 本题考查实际问题的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．18.答案：解：(1)因为椭圆C 的上顶点为，所以b =√3， 又圆经过点，所以a =2.所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)若l 1的斜率为0，则PQ =4√63，MN =2，所以△PQN 的面积为4√63，不合题意，所以直线l 1的斜率不为0.设直线l 1的方程为y =kx +1， 由消y ，得(3+4k 2)x 2+8kx −8=0，设，， 则x 1=−4k−2√6⋅√2k2+13+4k2，x 2=−4k+2√6⋅√2k2+13+4k2，所以PQ =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2 =√1+k 2|x 1−x 2|=4√6√1+k 2⋅√2k 2+13+4k 2.直线l 2的方程为y =−1k x +1，即x +ky −k =0， 所以MN =2√1−k 21+k2=√1+k 2.所以△PQN 的面积S =12PQ ⋅MN =12×4√6√1+k 2⋅√2k 2+13+4k 22=3，解得k =±12，即直线l 1的斜率为±12.解析：本题主要考查直线与椭圆相交的相关问题． (1)先求b ，a ，即可写出椭圆的方程；(2)把直线的方程与椭圆的方程联立，根据根与系数的关系解答．19.答案：解：(1)∵f(x)=xln x −ax +1，∴f′(x )=lnx +1−a ，∴函数f(x)=xln x −ax +1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k =f′(1)=1−a =−2， 解得a =3;(2)由(1)可得f (x )=xlnx −3x +1,x ∈(0,+∞)， 故f′(x )=lnx −2,x ∈(0,+∞)， 令f′(x )>0得x >e 2， 令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．20.答案：解：(1)∵a n+1=a n 2a n +1，∴1a n+1−1a n =2，∴{1a n}是首项为2，公差为2的等差数列；(2)由(1)可得1a n=1a 1+2(n −1)=2n ，所以a n =12n ．解析：本题考查等差数列的定义以及等差数列的通项公式，属于基础题． (1)由递推关系利用等差数列的定义1an+1−1a n=2(常数)便可得到结论；(2)由(1)可得等差数列{1a n}的通项公式，从而得到数列{a n}的通项公式．21.答案：解：矩阵M的特征多项式为f(λ)=∣∣∣λ−1−4−4λ−x∣∣∣=(λ−1)(λ−x)−16，因为λ1=3是方程f(λ)=0的一根，所以x=−5.由(λ−1)(λ+5)−16=0，得λ2=−7，所以矩阵M的另一个特征值为−7．解析：本题考查矩阵的特征向量和特征值的求法，属基础题，根据特征多项式的一个零点为3，可得x=−5，再回代到方程f(λ)=0即可解出另一个特征值．22.答案：解：(1)圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ2=6ρcosθ，利用极坐标公式，化为普通方程是x2+y2=6x，即(x−3)2+y2=9．(2)圆C的方程为(x−3)2+y=9，圆心C为(3,0)，半径r=3，直线l的方程为y+3=√3(x−3)，即√3x−y−3√3−3=0，圆心到直线的距离d=√3−3√3−3|√1+3=32，∴直线l圆截得的弦所对的圆心角为120°，直线l将圆C分成弧长之比为1：2的两段圆弧．解析：(1)圆的极坐标方程ρ=6cosθ可化为ρ2=6ρcosθ，利用极坐标公式，化为普通方程；(2)求出圆心到直线的距离，可得直线l圆截得的弦所对的圆心角，即可得出结论．本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．23.答案：113解析：根据柯西不等式得(9+4)(x2+y2)≥(3x+2y)2，∵3x+2y=1，∴x2+y2≥113，当且仅当x3=y2时取等号，∴x2+y2的最小值为113．24.答案：解：(1)以AB、AD、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ．因为λ=1，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 依题意，C(1,1，0)，P(0,0，1)，B(1,0，0)，D(0,1，0)， 所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)．设平面PBD 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅PB →=0n →⋅PD =0,所以{x −z =0y −z =0，取z =1得，n →=(1,1,1)为平面PBD 的一个法向量． 所以|cos <PC →,n →，> |=|PC →⋅n→|PC →|⋅|n →||=√3×√3=13．所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为13．(2)依题意，C(1,λ,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−1)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,λ,−1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，−1)． 设平面PBC 的法向量为n 1→=(x 1→,y 1→,z 1→), 则{n →1⋅PB →=0,n →1⋅PC →=0,即{x 1−z 1=0,x 1λy 1−z 1=0, 取z 1=1得，n 1→=(1,0,1)为平面PBC 的一个法向量．设平面PCD 的法向量为n 2→=(x 2,y 2,z 2),则{n 2→⋅PC →=0,n 2→⋅PD →=0,即{x 2λy 2−z 2=0,y 2−z 2=0,取z 2=1得，n 2→=(1−λ,1,1)为平面PCD 的一个法向量． 所以|cos <n 1→,n 2→>|=|n 1→⋅n 2→|n 1→|×|n 2→||=√2√2(1−λ)2=|cos 120°|=12，解得λ=1或λ=5， 因为0<λ≤1，所以λ=1．解析：本题考查空间角的求解，考查考生的空间想象能力和运算求解能力．(1)由条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，分别求出平面PBD 的法向量和直线PC 的方向向量，然后利用公式进行求值;(2)设点C 的坐标，分别计算平面PBC 和平面PCD 的法向量，由二面角为120°，根据公式可计算实数λ的值．25.答案：解：(1)由f(1)=(1+a)n =a 0+a 1+a 2+⋯+a n =∑a i n i=0=(23)n．得a =−13；(2)[f(x)]2=b 0+b 1x 2+b 2x +⋯+b 2n x 2n =[(1−13x)n ]2=(1−13x)2n ，∴b k =C 2n k(−13)k ，令b k 3k =C 2n k (−1)k ，k =1，2，3…，2n ，首先考虑1C 2n+1k+1C 2n+1k+1=k!(2n+1−k)!(2n+1)!+(k+1)!(2n−k)!(2n+1)!=k!(2n −k)!(2n +1−k +k +1)(2n +1)!=k!(2n−k)!(2n+2)(2n+1)!=2n+2(2n+1)C 2nk ，则1C 2nk =2n+12n+2(1C 2n+1k+1C 2n+1k+1)， 因此1C 2nk −1C 2nk+1=2n+12n+2(1C 2n+1k−1C 2n+1k+2).故13b 1+13b 2+13b 3+⋯+13b2n=−C 2n 1+C 2n 2−C 2n 3+⋯+(−1)k C 2n k +⋯+C 2n 2n=−2n +12n +2(1C 2n+11−1C 2n+13+1C 2n+13−1C 2n+15+⋯+1C 2n+12n−1−1C 2n+12n+1) =−2n +12n +2(1C 2n+11−1C 2n+12n+1)=2n +12n +2(12n +1−1) =nn+1．解析：(1)在已知等式中取x =1，结合∑a i n i=0=(23)n即可求得a 值；(2)由已知结合(1)可得b k =C 2n k (−13)k ，令b k 3k =C 2n k (−1)k ，k =1，2，3…，2n ，得到1C 2nk =2n+12n+2(1C 2n+1k +1C 2n+1k+1)，因此1C 2nk −1C 2nk+1=2n+12n+2(1C 2n+1k−1C 2n+1k+2)，代入得答案．本题考查二项式定理的应用，考查组合数公式的性质，考查计算能力，是中档题．。

2020年江苏省南京师大附中高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，若A∪B=B，则x=___________．【点睛】根据A∪B=B，得A⊆B，是解题的关键．【答案】0【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，由题意，集合A={0，e x}，B={﹣1，0，1}，所以e x=1，所以x=0．故答案为：0．【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，是基础题．2．已知复数z12ii+=（i是虚数单位），则z的虚部是___________．【点睛】先进行复数的乘除运算，化简后即可得到答案．【答案】﹣1【解析】由题意得z()212i i i22ii1+-===--，所以z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念与乘除运算，是基础题．3．log24+log42=___________．【点睛】熟记对数运算的性质．【答案】5 2【解析】原式=22242loglog+=21522+=．故答案为：52．【点评】本题考查对数运算的性质，考查计算能力，是基础题．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为___________．【点睛】该流程图的功能：利用循环结构来输出变量s 的值；看懂程序框图即可解决问题． 【答案】56【解析】由程序框图得：第一次运行：k =1时，()1111111122s =+-⨯=-=+； 第二次运行：k =2时，111151212236s =+⨯=+=+； 第三次运行：此时k =3满足条件k ≥3，结束循环，输出的s 值为56，故答案为：56． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5．在△ABC 中，a =4，b =5，c =6，则sin2sin AC=___________． 【点睛】利用正余弦定理、二倍角公式即可得出结论． 【答案】1【解析】△ABC 中，a =4，b =5，c =6，由余弦定理得cos A 25361632564+-==⨯⨯；由正弦定理、二倍角公式得sin2sin A C =2sin cos sin A A C =2cos ca A=32446⨯⨯=1．故答案为：1．【点评】本题考查二倍角公式、正余弦定理，考查学生的计算能力，基础题．6．已知函数()()()sin f x x x ϕϕ=++，0≤φ≤π．若f （x ）是奇函数，则π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【点睛】先利用辅助角公式化简，再由f （x ）的奇偶性求出φ，可得π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值． 【答案】﹣1【解析】由辅助角公式化简得()()()12sin 2f x x x ϕϕ⎡⎤=⨯++=⎢⎥⎣⎦2sin （x +φπ3+）；因为0≤φ≤π， f （x ）是奇函数，则φ2π3=；∴f （x ）=2sin （x +π）=﹣2sin x ；所以π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin π6=-1.故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，三角函数的奇偶性，属于基础题．7．已知f （x ）=|log 3x |，若a ，b 满足f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，则a +b 的最小值为___________．【点睛】先推出（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，整理得a +b 2222a aa -=-；再利用导数求函数的最值．【答案】32+【解析】由f （x ）=|log 3x |， f （a ﹣1）=f （2b ﹣1），且a ≠2b ，得（a ﹣1）（2b ﹣1）=1，则b 22a a =-且a ﹣1>0，即a >1；所以a +b =a 222222a a a a a -+=--；构造函数g （x ）2222x x x -=-，则g ′（x ）22482(22)x x x -+=-，令g ′（x ）=0，则x =1±2；当x ∈（1，12+）时，g ′（x ）<0，当x ∈（12+，+∞）时，g ′（x ）>0；故当x =12+g （x ）取最小值32+a +b 的最小值为32+故答案为：32+ 【点评】本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，导数法求函数的最值，难度中档．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___________． 【点睛】先算基本事件总数N =3×3=9，再算所求基本事件个数n =2×2=4，即可求得概率．【答案】49【解析】由题意得基本事件总数N =3×3=9；黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件个数n =2×2=4，所以黑白两球均不在1号盒子的概率为P 49n N ==．故答案为：49． 【点评】本题考查古典概型，考查学生的运算求解能力，是基础题．9．若抛物线x 2=4y 的焦点到双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为___________．【点睛】先求出抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点到线的距离公式即可求出双曲线的离心率． 【答案】3【解析】由题意得x 2=4y 的焦点为（0，1），双曲线C 的一条渐近线方程为y ba=x ，由点到线的距离公式得13a c==，所以e c a ==3.故答案为：3． 【点评】本题考查圆锥曲线的性质，考查学生的计算能力，是基础题．10．设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是___________．【点睛】①α与β平行或相交；②由面面垂直的判断定理得α⊥β；③n ⊂α或n ∥α；④由线面垂直的判定定理得m ⊥β． 【答案】②④ 【解析】由题意得①若m ∥α，m ∥β，则α与β平行或相交，所以①错误；②若m ⊥α，m ∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，所以②正确； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ⊂α或n ∥α，所以③错误；④若m ⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m ⊥β，所以④正确． 其中的正确命题序号是②④. 故答案为：②④．【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查空间想象能力，是中档题．11．设x >0，y >0，向量a =r （1﹣x ，4），b =r （x ，﹣y ），若a r ∥b r，则x +y 的最小值为___________．【点睛】由向量平行得14x y+=1，再由基本不等式即可求出最值． 【答案】9【解析】因为a r ∥b r，所以4x +（1﹣x ）y =0，整理得14x y+=1；又x >0，y >0，所以x +y =（14x y +）（x +y ）=54y xx y++≥9．当且仅当x =3，y =6时，等号成立，即x +y 的最小值为9．故答案为：9． 【点评】本题考查向量平行与基本不等式，属于基础题．12．在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知|CP u u u r |=|CA u u r |=4，∠ACB 2π3=，则CP u u u r •CA =u u r _____．【点睛】先用CACBu u r u u u r ，表示CP u u u r ，再计算CP u u u r •CA u u r的值． 【答案】6【解析】∵点P 是边AB 的中点，∴1122CP CA CB =+u u u r u u r u u u r，两边同时平方得222111424CP CA CA CB CB =+⋅+u u u r u u r u u r u u u r u u u r ，代入数据得3=412π14cos 234CB +⨯⨯⨯+⨯u u u r |CB u u u r |2，解得|CB u u u r |=2；∴CA CB ⋅=u u r u u u r 4×2×cos 2π3=-4，∴CP u u u r •CA =u u r （1122CA CB +u u r u u ur ）21122CA CA CB CA ⋅=+⋅=u u r u u r u u u r u u r 6．故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算，是中档题． 13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0，则ba c+的最大值为___________． 【点睛】由已知条件得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2是解决本题的关键．【答案】22【解析】由b 2+2（a +c ）b ﹣ac =0得（b +a +c ）2=ac +（a +c ）22()4a c +≤+（a +c ）254=（a +c ）2，两边同时开方得b +a +c ≤a +c ），所以b ≤a +c ），即b a c ≤+，当且仅当a =c 时取等号．所以ba c+.．【点评】本题考查基本不等式及其应用，属中档题．14．若2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【点睛】先将分式不等式转化为一元二次不等式，再对m 分﹣1<m <0，及m =﹣1两类讨论即可求解． 【答案】（﹣∞，12-） 【解析】2101m x mx -<+等价于（m 2x ﹣1）（mx +1）<0，因为m ≠0，所以x 121m =，x 21m=-；因为2101m x mx -<+（m ≠0）对一切x ≥4恒成立，所以m <0；当﹣1≤m <0时，211m m ≥-，则21m <4，解得﹣1≤m 12<-；当m <﹣1时，211m m <-，则1m-<4，解得m <﹣1；所以实数m 的取值范围是（﹣∞，12-）.故答案为：（﹣∞，12-）． 【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，较难．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为矩形，AB =BC =1，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，DE ⊥P A ．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：平面P AC ⊥平面PDE ．【点睛】（1）连EC ，并延长与DA 的延长线交于N ，则E 是AC 的中点，得EF ∥PA ，得EF ∥平面PAD ； （2）先证DE ⊥平面PAC ，即得平面PAC ⊥平面PDE ．【解析】（1）如图，连接EC 并延长，与DA 的延长线交于N ，则E 是AB 的中点． 又因为F 是PC 的中点，所以EF ∥PN ； 又EF ⊄平面PAD ，PN ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD ．（2）设AC ∩DE =G ，由△AEG ∽△CDG 及E 为AB 中点得12AG AE CG CD ==；又因为AB =BC =1，所以AC =AG 13=AC =．所以AG AB AE AC ==， 又∠BAC 为公共角，所以△GAE ∽△BAC ． 所以∠AGE =∠ABC =90°，即DE ⊥AC ． 又DE ⊥PA ，PA ∩AC =A ，所以DE ⊥平面PAC ． 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥面PDE ． 【点评】本题考查线面平行与垂直，属于中档题．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos 10C =-．（1）求角A 的值； （2）若△ABC 的面积为310，求边BC 的长． 【点睛】（1）先求得tan C ，再由由诱导公式得tan A ，即可求出A ； （2）由正弦定理求出AB ，由三角形的面积公式求得a =1，即BC =1． 【解析】（1）在△ABC 中，tan B 12=，cosC 0=<，所以C ∈（π2，π）， 所以sinC =，故tan C =﹣3， 所以()()()()13tan tan 2tan tan 111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦，∵0<A <π，所以A π4=； （2）由（1）知A =45°，设BC =a ，因为sin sin AB BCC A= ，所以AB a ==，又sin 1tan cos 2B B B ==，联立22sin cos 1B B +=得sinB =，所以△ABC 的面积S 21133sin 221010AB BC B a a =⋅=⨯==，解得a =1； 所以BC =1．【点评】本题考查正弦定理、三角形的面积公式、同角三角函数间的基本关系等，是中档题． 17．建造一个容积为8m 3、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元/m 2和80元/m 2．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值． 【点睛】（1）先表示出另一边长为842x x =，由题意可知y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）令y ≤2080即可求出x 的取值范围；（3）利用基本不等式求y 的最小值，注意等号成立条件． 【解析】（1）由题意得另一边长为842x x=， ∴总造价y =2（x 4x +）82801202⨯⨯+⨯=320（x 4x+）+480，∴总造价y 关于底边一边长x 的函数解析式为：y =320（x 4x+）+480 （x >0）； （2）由（1）可知：y =320（x 4x+）+480， ∴令y ≤2080得，320（x 4x+）+480≤2080，解得：1≤x ≤4， ∴当x ∈[1，4]时，总造价不超过2080元；（3）∵x >0，∴x 44x +≥=，当且仅当x =2时，等号成立， ∴y =320（x 4x+）+480≥320×4+480=1760， ∴当x =2时，总造价y 取得最小值1760元． 【点评】本题考查函数模型及其应用，是中档题．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆2263x y +=1，若圆O ：x 2+y 2=R 2（R >O ）的一条切线与椭圆C 有两个交点A ，B ，且OA u u u r •OB =u u u r0．（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且MN =u u u u r2NQ uuu r ，求直线MN 的方程．【点睛】（1）设出圆的切线，与椭圆联立，由根与系数的关系及数量积为零得圆的半径，即求出圆的方程；（2）设Q ，N 的坐标，在曲线上，写出坐标之间的关系，写出向量的坐标，利用它们的关系求出坐标，进而求出直线方程．【解析】（1）①当圆的切线的斜率不存在时，不妨设切线方程为 x R =，与椭圆的方程联立，解得x R y =⎧⎪⎨=⎪⎩或x Ry =⎧⎪⎨=⎪⎩， 因为OA OB ⋅=u u u r u u u r 0，所以22602R R --=，解得22R =， 此时圆O 的方程为x 2+y 2=2；②当圆的切线的斜率存在时，设切线的方程y =kx +b ，与椭圆的方程联立，整理，得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6=0，设A （x ，y ），B （x '，y '）．x +x '2412kb k-=+，xx '222612b k -=+， ∴yy '=k 2xx '+kb （x +x '）+b 2222222222222222642612121212k b k k b b k b b k k k k k -+-=-+=++++，因为OA OB ⋅=u u u r u u u r0，所以xx '+yy '=0，可得2b 2﹣6+b 2﹣6k 2=0，∴b 2=2+2k 2；①=R ，∴b 2=R 2（1+k 2）②，由①②得，2+2k 2=2k 2R 2+R 2，∴R 2=2， 所以圆的方程x 2+y 2=2；（2）由题意得M （0），设Q （m ，n ），N （a ，b ），MN =u u u u r（a ，b ，NQ =u u u r （m ﹣a ，n ﹣b ），由题意得：()()22a m a b n b ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩，∴a 23m =，b =联立2222262m n a b ⎧+=⎨+=⎩，解得4n 2﹣-9=0，∴n 2=（舍），n 2=-，m =±2， ∴a =，b =0，即N，0）， 所以直线MN+=1， 即直线MN+-=0-=0．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，联立方程套用根与系数的关系，设而不求，属于中档题． 19．已知函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R ． （1）若曲线y =f （x ）在x =1处的切线的斜率为2，求函数f （x ）的单调区间； （2）若函数f （x ）在区间（1，e ）上有零点，求实数a 的取值范围． 【点睛】（1）由导数的几何意义求得a =0，再求导可得到单调区间； （2）对参数分类讨论，利用零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【解析】（1）由题意，易知函数f （x ）的定义域为（0，+∞）， 由()()222ln 12a f x ax x x x =+++， 得()()()()()21'22ln 221ln 1f x ax x ax x ax ax x x=+++⋅+=++， 则f ′（1）=2（a +1）=2，解得a =0，∴f （x ）=2x ln x +1（x >0），f ′（x ）=2（ln x +1）， 令f ′（x ）>0，解得1e x >；令f ′（x ）<0，解得10ex <<； ∴函数f （x ）的单调递减区间为10e ⎛⎫⎪⎝⎭，，单调递增区间为1e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，； （2）函数()()()222ln 12a f x ax x x x a =+++∈R 在区间（1，e ）上是一条不间断的曲线， 由（1）知，f ′（x ）=2（ax +1）（ln x +1），①当a ≥0时，对任意x ∈（1，e ），ax +1>0，ln x +1>0， 则f ′（x ）>0，故函数f （x ）在（1，e ）上单调递增， 此时对任意的x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ②当a <0时，令f ′（x ）=0，解得1e x =或1x a =-，其中11e<， （i ）若11a-≤，即a ≤﹣1，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）<0，故函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递减，由题意可得()()22110e e 2e e 1022a af f a =+>=+++<，， 解得()222e 123e a +-<<-，其中()()22222e 13e 4e 2103e 3e+-----=>， 即()222e 113e +->-，故a 的取值范围为﹣2<a ≤﹣1；②若1e a -≥，即10ea -≤<，则对任意x ∈（1，e ），f ′（x ）>0，所以函数f （x ）在区间（1，e ）上单调递增，此时对任意x ∈（1，e ），都有()()1102af x f >=+>成立， 从而函数f （x ）在区间（1，e ）上无零点； ③若11e a <-<，即11ea -<<-， 则对任意()11'0x f x a ⎛⎫∈-> ⎪⎝⎭，，，所以函数在区间11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增， 对任意()1e '0x f x a⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭，，，函数f （x ）在区间1e a⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，由题意可得()22e e 2e e 102a f a =+++<，解得()222e 13e a +<-，其中()22222e 113e 4e 2e 203e e 3e 3e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭， 即()222e 113e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以a 的取值范围为()222e 113e a +-<<-， 综上所述，实数a 的取值范围为()222e 123e +⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 【点评】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数中的应用，考查分类讨论思想、逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题目．20．已知数列{a n }、{b n }、{c n }，对于给定的正整数k ，记b n =a n ﹣a n +k ，c n =a n +a n +k （n ∈N *）．若对任意的正整数n 满足：b n ≤b n +1，且{c n }是等差数列，则称数列{a n }为“H （k ）”数列． （1）若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2，证明：{a n }为H （k ）数列；（2）若数列{a n }为H （1）数列，且a 1=1，b 1=﹣1，c 2=5，求数列{a n }的通项公式； （3）若数列{a n }为H （2）数列，证明：{a n }是等差数列． 【点睛】（1）用定义法证明数列为H （k ）数列．（2）用赋值法和定义法进行证明，求出数列的通项公式． （3）用代换法和定义法证明数列为等差数列．【解析】（1）因为S n =n 2，所以当n ≥2时，221(1)n n n a S S n n -=-=--=2n ﹣1． 当n =1时，a 1=S 1=1，也符合上式， 所以a n =2n ﹣1所以b n =a n ﹣a n +k =﹣2k ，c n =a n +a n +k =4n ﹣2k ﹣2． 所以b n ≤b n +1，c n +1﹣c n =4．对任意的正整数n 满足b n ≤b n +1，且数列{c n }，是公差为4的等差数列， 所以数列{a n }为H （k ）数列；（2）因为数列{a n }为H （1）数列，所以数列{c n }是等差数列， 因为a 1=1， b 1=a 1﹣a 2=﹣1，c 1= a 1+a 2，所以a 2=2，c 1=3，又c 2=5，所以c n =2n +1，即a n +a n +1=2n +1， 所以a n +1﹣（n +1）=a n ﹣n ，则{a n ﹣n }是常数列， 而a 1﹣1=0，所以a n ﹣n =0，则a n =n ． 验证，得b n =a n ﹣a n ﹣1=﹣1，所以b n ≤b n +1对任意正整数n 都成立， 所以a n =n ．（3）由数列{a n }为H （2）数列可知：{c n }是等差数列，记公差为dc n +2﹣c n =（a n +2+a n +4）﹣（a n +a n +2）=﹣b n ﹣b n +2=2d ，所以﹣b n +1﹣b n +3=2d ．则（b n ﹣b n +1）+（b n +2﹣b n +3）=2d ﹣2d =0 又b n ≤b n +1，所以b n =b n +1， 所以数列{b n }为常数列， 则b n =a n ﹣a n +2=b 1 所以c n =a n +a n +2=2a n ﹣b 1． 由c n +1﹣c n =2（a n +1﹣a n ）=d ， 所以12n n d a a +-=． 所以{a n }是等差数列．【点评】本题考查数列定义的应用，赋值法的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4–2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵A 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且AB =BA ．（1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值．【点睛】（1）AB 202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，BA 2202a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，进而求解；（2）矩阵B 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣2）（λ﹣1），令f （λ）=0，进而求解． 【解析】（1）由题意，AB 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 220102a a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，BA 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 10220202a ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 因为AB =BA ，所以a =2a ，所以a =0． （2）因为B 201a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵B 的特征多项式为f （λ）2001λλ-==-（λ﹣2）（λ﹣1）， 令f （λ）=0，解得λ=2，λ=1．【点评】本题考查矩阵的性质，矩阵的特征值，属于基础题． [选修4–4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩：为参数）．现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．【点睛】将直线l 与圆C 化为直角坐标方程，求出圆C 的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB 的长． 【答案】65AB =【解析】消去参数t ，直线l 化为普通方程为4x ﹣3y =0， 圆C 的极坐标方程ρ=2cos θ，即ρ2=2ρcos θ， 化为直角坐标方程为222x y x +=，即（x ﹣1）2+y 2=1， 则圆C 的圆心到直线l 的距离为45d ==， 所以65AB ==． 【点评】本题考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程之间的转化，点到直线的距离公式，是基础题． [选修4–5：不等式选讲]23．已知x 1，x 2，x 3∈（0，+∞），且满足x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3，证明：x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3． 【点睛】先变形得2313121113x x x x x x ++=，再将x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1变形为()122331133x x x x x x ⨯⨯++，替换3，最后由柯西不等式即可证得． 【解析】∵x 1+x 2+x 3=3x 1x 2x 3， 两边同时除以x 1x 2x 3，得2313121113x x x x x x ++=， ∴()212233112233112233111111(111)333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫++=++++≥++= ⎪⎝⎭， 当且仅当“x 1=x 2=x 3=1”时取等号，故x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1≥3，即得证．【点评】本题考查柯西不等式的应用，属于基础题．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2．若DC =u u u rλAB uuu r ，且向量PC uuu r 与BD u u u r 夹角的余弦值为15．（1）求实数λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．【点睛】（1）建立恰当的空间直角坐标系，求出P ，A ，B ，C ，D 点的坐标，利用向量PC uuu r 与BD u u ur 夹角的余弦值为求出λ的值．（2）求出平面PCD 的法向量，利用向量夹角的余弦公式求解直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 【解析】（1）如图，以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．则A （0，0，0），B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），所以AB =u u u r （1，0，0），因为DC =u u u rλAB uuu r =（λ，0，0），所以得C （λ，2，0）．（1）PC =u u u r （λ，2，﹣2），BD =u u u r （﹣1，2，0），向量PC uuu r 与BD u u u r ．可得15=，解得λ=10（舍去）或λ=2． 实数λ的值为2．；（2）PC =u u u r （2，2，﹣2），PD =u u u r （0，2，﹣2），平面PCD 的法向量n =r（x ，y ，z ）．则0n PC ⋅=u u u r r 且0n PD ⋅=u u ur r ，即：x +y ﹣z =0，y ﹣z =0，∴x =0，不妨去y =z =1，平面PCD 的法向量n =r（0，1，1）．又PB =u u u r （1，0，2）．故cos n PB n PB n PB⋅==u u u r r u u u r r u u u r r ，直线PB 与平面PCD ． 【点评】本题考查空间向量向量、空间角，建立恰当的空间直角坐标系是关键，中等题 25．已知（1+x ）2n +1=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 2n +1x2n +1，n ∈N *．记T n 0ni ==∑（2k +1）a n ﹣k．（1）求T 2的值；（2）化简T n 的表达式，并证明：对任意的n ∈N *，T n 都能被4n +2整除． 【点睛】（1）由二项式定理得a i 21C in +=，利用公式计算T 2的值； （2）由组合数公式化简T n ，把T n 化为（4n +2）的整数倍即可． 【解析】（1）由二项式定理可得a i 21C i n +=（i =0，1，2，…，2n +1）； 所以T 2=a 2+3a 1+5a 025C =+315C +505C 10355=+⨯+=30； （2）因为（n +1+k ）121C n k n +++=（n +1+k ）•()()()()()()()21!212!1!!!!n n n n k n k n k n k ++⋅=++-+⋅- =（2n +1）2C n k n+， 所以T n 0nk ==∑（2k +1）a n ﹣k0 nk ==∑（2k +1）21C n kn -+0 nk ==∑（2k +1）121C n k n +++0 nk ==∑[2（n +1+k ）﹣（2n +1）]121C n k n +++=2nk =∑（n +1+k ）121C n kn +++-（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）20C nn knk +=-∑（2n +1）1210C nn kn k +++=∑=2（2n +1）•12•（22n 2C nn +）﹣（2n +1）•12•22n +1 =（2n +1）2C nn ；T n =（2n +1）2C n n =（2n +1）（12121C C n n n n ---+）=2（2n +1）21C nn -；因为21C nn -∈N *，所以T n 能被4n +2整除．【点评】本题考查二项式定理与组合数公式的应用问题，是难题．。

2020届江苏省南师附中高三年级第一次模拟考试数学II(附加题) 2020.03.1921．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1A⎡=⎢⎣2⎤⎥⎦，2B⎡=⎢⎣1a⎤⎥⎦，且AB BA=（1）求实数a；（2）求矩阵B的特征值.B．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.C .[选修4—5：不等式选讲]已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v夹角的余弦值为15. （1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.23.已知()2120121n x a a x a x ++=+++ (21)21n n a x+++， *n N ∈．记()021k n n k nT k a =-=∑+．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意的*n N ∈， n T 都能被42n +整除．。

2020届江苏省南京师大附中高三年级模拟数学试题一、填空题1．设集合{}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤，则A B =I __________.【答案】{5,7}【解析】根据交集的定义，即可求解.【详解】 {}{}1,3,5,7,47A B x x ==≤≤{5,7}A B =I .故答案为:{5,7}.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2．若复数()()12bi i +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数b 的值是_________.【答案】2-【解析】求出()()12bi i +-实部和虚部，由纯虚数的定义，即可求解.【详解】()()122(21)bi i b b i +-=++-，()()12bi i +-是纯虚数，20210b b +=⎧⎨-≠⎩解得2b =-.故答案为：-2【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的分类，属于基础题.3．在下图所示的算法中，若输出y 的值为6，则输入x 的值为_____________.【答案】1-【解析】算法表示分段函数，由6y =，对x 分类讨论，即可求解.【详解】当1x ≤时，56,1y x x =-==-；当1x >时，56,1y x x =+==（舍去），所以1x =-.故答案为:1-.【点睛】本题考查算法程序的应用问题，解题时应模拟程序运行过程，属于基础题.4．函数()21lg 2y x x x =++的定义域是_______________.【答案】(0,)+∞【解析】根据函数的限制条件，得出不等式组，即可求解.【详解】函数有意义，须21020x x x +≥⎧⎨+>⎩，解得0x >， 函数的定义域为(0,)+∞.故答案为:(0,)+∞.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.5．某中学高一、高二、髙三年级的学生人数分别为620人、680人、700人，为了解不同年级学生的眼睛近视惰况，现用分层抽样的方法抽取了容量为100的样本，则高三年级应抽取的学生人数为____________.【答案】35【解析】根据分层抽样各层按比例分配，即可求解【详解】分层抽样的方法抽取了容量为100的样本， 则高三年级应抽取的学生人数为700100352000⨯=. 故答案为:35.【点睛】本题考查分层抽样样本抽取个数，属于基础题.6．已知集合{}0,1,2,3,4A =，若从集合A 中随机抽取2个数，其和是偶数的概率为______________. 【答案】25【解析】用组合数求出从集合A 中随机抽取2个数所有方法，再求出和是偶数的基本事件的个数，按求古典概型的概率，即可求解.【详解】从集合A 中随机抽取2个数有2554102C ⨯==， 其和是偶数则这两数同为奇数或同为偶数有22324C C +=， 和是偶数的概率为42105=. 故答案为:25. 【点睛】 本题考查古典概型的概率，属于基础题.，7．已知正四棱锥的底面边长为体积为8，则正四棱锥的侧面积为_____________.【答案】【解析】根据题意求出正四棱锥的高，再求出侧面的斜高，即可求解.【详解】设正四棱锥的高为h ，侧面的斜高为h '，218,3,3V h h h '=⨯⨯====正四棱锥的侧面积142S =⨯=故答案为:【点睛】本题考查椎体的体积和侧面积，注意应用其几何结构特征，属于基础题.8．设数列{}n a ()*n N ∈是等比数列，前n 项和为n S .已知324239,27a a a -==，则3S 的值为_____________.【答案】13【解析】设等比数列的公比为q ，将已知条件转化为关于q 的方程，求出n a ，即可得出结论.【详解】设等比数列的公比为q ，427a =,4432223239a a a a q q-=-=， 即2690,3q q q -+==，133,13913n n a S -==++=.故答案为:13.【点睛】本题考查等比数列通项基本量的运算，数基础题.9．已知12,F F 是椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F ∆为等腰三角形，012120F F P ∠=，则C 的离心率为______． 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，根据椭圆离心率的定义，即可求得椭圆的离心率．【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --，直线AP 的方程为：)y x a =+，由012120F F P ∠=，2122PF F F c ==，则()2,3P c c ， 代入直线()3:326AP c c a =+，整理得：4a c =， ∴所求的椭圆离心率为14c e a ==． 故答案为：14．【点睛】本题考查了椭圆标准方程离心率的求解，及直线方程的应用，其中解答中应用题设条件求得点P 的坐标，代入直线的方程，得出4a c =是解答的关键，同时注意数形结合思想的应用，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,2A ，点()4,2M ，点N 在线段OA 的延长线上.设直线MN 与直线OA 及x 轴围成的三角形面积为S ，则S 的最小值为____________.【答案】12【解析】求出直线OA 方程，设点N 坐标，求出直线MN 的方程，进而求出直线MN 与x 轴交点的坐标，将所求三角形的面积S 表示成N 点坐标的函数，根据函数特征，利用基本不等式求出最小值.【详解】点()1,2A ，直线OA 方程为2y x =，点N 在线段OA 的延长线上，设(,2),1N a a a >，当4a =时，(4,8),16N S =，当1a >，且4a ≠时，直线MN 方程为222(4)4a y x a --=--，令430,4311a y x a a -==-=+--， 1123(1)3()211a S a a a a =⨯⨯+=+-- 13(1)6121a a =-++≥-，当且仅当2a =时，等号成立. 所以S 的最小值为12.故答案为:12.【点睛】本题考查三角形面积的最小值，解题时认真审题，注意基本不等式的应用，属于中档题. 11．已知函数()2ln f x x x =+，若直线1:1l y kx =-与曲线()y f x =相切.则实数k 的值为 ____________.【答案】3【解析】设切点为00(,)M x y ，求出0(),()f x f x ''，求出切线方程，将(0,1)-代入，求出切点坐标，即可求解.【详解】设切点为()()000011(,),2,2M x y f x k f x x x ''=+==+， 切线1l 方程为000012ln (2)()y x x x x x --=+-， 令000,ln 11,1,3x y x x k ==-=-=∴=.故答案为:3.【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意切点坐标的应用，属于基础题.12．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,2AB DC ADC AB ∠==°，1AD =，E 为BC 的中点，若1AE BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ____________，【答案】2【解析】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，得出,B D 坐标，设C 点坐标，根据已知求出C 坐标，即可求解.【详解】以A 为坐标原点，,AB AD 所在的直线为,x y 轴建立坐标系，则(2,0),(0,1)B D ，设11(,1),0,(1,),(1,)2222x x C x x E AE >+=+u u u r ， 2113(2,1)(1,)12222x AE BC x x ⋅=-⋅+=-=-u u u r u u u r ， 解得1x =，舍去负值，(1,1),(2,0)(1,1)2C AB AC ∴⋅=⋅=u u u r u u u r .故答案为:2.【点睛】本题考查向量的坐标表示，以及向量数量积的运算，属于基础题.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边另别是,,a b c ，已知2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=，则sin C 的最大值为_____________. 34 【解析】由已知可得222223a b ab c ++=，结合余弦定理，求出cos C 用,a b 表示，用基本不等式求出cos C 的最小值，即可求解.【详解】2222sin sin 2sin 3sin A B A B C +=, 由正弦定理得222223a b ab c +=，由余弦定理得2223336cos c a b ab C =+-，226cos 22ab C a b ab =+-，226cos 22,cos 6a b C C b a =+≥≥， 当且仅当2a b =时，等号成立， 234sin 1cos 6C C ∴=-≤，所以sin C的最大值为6. 故答案为. 【点睛】 本题考查三角函数的最值，考查正、余弦定理解三角形，应用基本不等式求最值，属于中档题.14．已知函数()41,16,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围是______________. 【答案】3(,3)2【解析】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，求出()t f x =有5个交点时，t 值的个数以及范围，转化,()y a y f t ==交点的个数及交点横坐标范围，数形结合，求出a 的范围.【详解】令(),()t f x f t a ==，作出函数()f x 的图像，如下图所示：当0,3t t <>时，()t f x =没有实数解，当0t =或3,()t t f x ==，有1个实数解，当01t <<时，()t f x =有3个实数解，当13t ≤<时，()t f x =有2个实数解，要使()()f f x a =恰有5个不同的实数根，则()f t a =在(0,1),(1,3)各有一个解，即,()y a y f x ==在(0,1),(1,3)各有一个交点，3(0)0,(1)3,(3)2f f f ===所以实数a 的取值范围是3(,3)2. 故答案为:3(,3)2,【点睛】本题考查复合函数零点个数求参数，换元法是解题的关键，数形结合是解题的依赖，属于较难题.二、解答题15．已知函数2()3cos 3cos (0)f x x x x ωωωω=>的最小正周期为π. （1）当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （2）设ABC ∆的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c .已知32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，且3a =，4b c +=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3[3,3]2（2）312【解析】（1）由二倍角正弦、降幂公式、辅助角公式，化简()f x 为正弦型三角函数，由周期值，求出解析式，用整体代换结合正弦函数的图像，即可求解；（2）由（1）和32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭求出A ，再由余弦定理求出bc ，即可求解. 【详解】（1）333()(1cos 2)2322232f x x x x πωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭. 因为()f x 的周期为π，且0>ω， 所以22ππω=，解得，1ω=， 所以3()3232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 又2x ππ≤≤，得472333x πππ≤+≤，31sin 232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 3333sin 23232x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭， 即函数()y f x =在[,]2x ππ∈上的值域为3[3,3]2-. （2）因为()32A f =，所以3sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由(0,)A π∈，知4333A πππ<+<， 解得：233A ππ+=，所以3A π=. 由余弦定理知：2222cos a b c bc A =+-，即229b c bc =+-，所以29()3b c bc =+-，因为4b c +=，所以73bc =. 所以173sin 2ABC S bc A ∆==. 【点睛】 本题考查三角恒等变换化简，考查三角函数的性质，考查余弦定理解三角形以及求三角形的面积，属于中档题.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为菱形，且160A AB ∠=o，AC BC =，点D E 、分别为1AB AC 、的中点.（1）求证:平面1ACD ⊥平面ABC ； （2）求证：//DE 平面11BCC B .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）由已知可得1,CD AB A D AB ⊥⊥，可证AB ⊥平面1A CD ，即可证明结论； （2）连接1C A 、1C B ，可得E 为1AC 中点，结合已知可证1//DE BC ，即可证明结论. 【详解】（1）因为AC BC =，且点D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥. 因为侧面11AA B B 为菱形，所以1AA AB =，又160A AB ∠=︒， 所以1A AB ∆为等边三角形，点D 为AB 的中点，所以1A D AB ⊥，且1A D CD D =I ，1A D 、CD ⊂平面1A CD 所以AB ⊥平面1A CD ，又AB Ì平面ABC所以平面1ACD ⊥平面ABC . （2）连接1C A 、1C B ，因为111ABC A B C -是三棱柱 所以11//AA CC ，11AA CC =， 所以四边形11AAC C 是平行四边形 点E 为1A C 的中点，故11A C AC E =I ， 所以点E 为1AC 的中点，又点D 为AB 的中点， 所以在1ABC ∆中，有1//DE BC因为DE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ， 所以//DE 平面11BCC B .【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，注意空间垂直之间的转换，属于基础题.17．在平面直角坐拯系xOy 中，()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且点⎛ ⎝⎭在此椭圆上. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设宜线l 与圆22:1O x y +=相切于第一象限内的点P ，且l 与椭圆C 交于,A B .两点.若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）y x =-+.【解析】（1）将离心率中的,a c 关系，转化为,a b 关系，点1,2⎛ ⎝⎭代入方程，即可求解；（2）根据已知可得4||3AB =，设直线方程:0,0l y kx m k m =+<>，由直线l 与圆相切，可得出,m k 关系，将直线方程与椭圆方程联立，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，进而求出,A B 两点坐标关系，求出||AB 且等于43，即可求解. 【详解】（1）e a b c =∴=∴=Q ， 可得椭圆方程为222212x y c c+=，将点代入，解得方程为2212x y +=（2）2124,||||,||3233AOB S AB OP AB ∆=∴⋅=∴=Q 因为直线l 与单位圆O 相切于第一象限内的点， 可设:0,0l y kx mk m =+<>l Q 与O e 相切，圆心O 到直线l 距离为1d ∴==，221m k ∴=+ ①设()()1122,,,A x y B x y ，由2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得()222124220kxkmx m +++-=2222222168(1)(21)8(21)80k m m k k m k ∆=--+=-+=>，12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩AB ∴= ②将①代入②，得4||3AB ==解之可得：4220k k +-=， 21k =∴或2-（舍），1k ∴=± 代入①式可得m =， 因为k 0<，0m >，1,k m =-=所以直线l的方程为y x =-+. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，熟练掌握根与系数关系设而不求的方法求相交弦长，考查计算求解能力和推理能力，属于中档题.18．某人利用一根原木制作一件手工作品，该作品由一个球体和一个正四棱柱组成，假定原 木为圆柱体（如图1），底面半径为r ，高为h ，制作要求如下：首先需将原木切割为两部分（分别称为第I 圆柱和第II 圆柱），要求切面与原木的上下底面平行（不考虑损耗） 然后将第I 圆柱切割为一个球体，要求体积最大，将第II 圆柱切割为一个正四棱柱，要求正四棱柱的上下底面分别为第II 圆柱上下底面圆的内接正方形.（1）当2,8r h ==时，若第I 圆柱和第II 圆柱的体积相等，求该手王作品的体积； （2）对于给定的r 和()2h h r >，求手工作品体积的最大值. 【答案】（1）32323π+（2）3242(2)3r r h r π+- 【解析】（1）由已知可得第I 圆柱和第II 圆柱高相等为4，等于圆柱底面直径，第I 圆柱的球体最大直径为4，再由条件可求出正四棱柱的底面边长，从而求出体积，即可求解；（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -，求出正四棱柱体积为222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=-，而球半径为x 与2r 较小值，对,2x r 分类讨论，当2r x h ≤<是，球的半径为r ，体积定值，只需求2V 最大值即可；当02x r <<，球最大半径为2x，求出球的体积与正四棱柱体积和，通过求导，求出最大值，对比x 两个范围的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为第I 圆柱和第II 圆柱的体积一样大， 所以它们的高一样，可设为42h r '== 第I 圆柱的球体直径不超过h '和2r因此第I 圆柱内的最大球体半径即为2R r == 球体体积3143233V R ππ== 因为正四棱柱的底面正方形内接于半径为2r =的圆 所以正方形的对角线长为24r =，边长为2正四棱柱体积22(22)8432V h =⋅'=⨯=， 手工作业的体积为1232323V V V π=+=+.（2）设第I 圆柱的高为x ，则第II 圆柱的高为h x -， ①当2r x h ≤<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大半径应为r由（1）可知，此时第II 圆柱内的正四棱柱底面积为222)2r r =， 故当2x r =时，h x -最大为2h r -， 手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+-. ②当02x r <<时，第I 圆柱内的球体直径应不超过x 和2r ， 故球体的最大直径应为x ，球体体积33314413326x V R x πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，正四棱柱体积222(2)()2()V r h x r h x =⋅-=- 所以手工作品的体积为32121()2()(02)6V x V V x r h x x r π=+=+-<<. 22221141()2222V x x r x r x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-=-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()02V x x r r π'=⇒=<x 20,r π⎛⎫⎪⎝⎭ 2r π2,2r r π⎛⎫⎪⎝⎭()V x ' 0<0=0>(x)V递减 极小 递增23232044(0)2,(2)2(2)4233V r h V r r r h r r r h V ππ⎛⎫==+-=-+= ⎪⎝⎭，因为3404π->， 所以0(2)(0)V r V V => 所以当2x r =时，手工作品的体积最大值为32042(2)3V r r h r π=+- 【点睛】本题考查球的体积和正四棱柱的体积，解题的关键确定球的半径，考查导数求最值的应用，属于中档题.19．设m 为实数，已知函数()xx mf x e+=的导函数为()f x '，且(0)0f '=. （1）求m 的值；（2）设a 为实数，若对于任意x ∈R ，不等式2()x a f x +≥恒成立，且存在唯一的实数0x 使得200()x a f x +=成立，求a 的值；（3）是否存在负数k ，使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线.若存在，求出k 的所有值：若不存在，请说明理由.【答案】（1）1m =（2）1a =（3）1e-【解析】（1）求出()f x '，再由(0)0f '=，即可求出m 值； （2）由（1）的结论将问题转化为210x x x a e ++-≥恒成立，设21()xx x x a e ϕ+=+-，即为min ()0x ϕ≥，通过导数法求出min ()x ϕ，求出a 的取值范围，再由200()x a f x +=唯一解，求出a 的值；（3）设切点的横坐标为t ，求出切线斜率，结合已知得ttk e =-，将切点坐标代入3y kx e =+，整理得到关于t 的方程231tt t e e++=，转化为关于t 的方程正数解的情况，即为21t t t y e ++=与直线3y e =在第一象限交点情况，通过求导，求出21tt t y e++=单调区间，以及最值，即可求解. 【详解】（1）因为1()()xx m f x e -+'=，所以01(0)(0)10m f m e-+'==-=， 故1m =.（2）因为2,()x R x a f x ∀∈+≥，所以210x x x a e++-≥恒成立. 记21()x x x x a eϕ+=+-，则1()22x x x x x x e e ϕ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 因为x ∈R ，且0x e >， 所以120x e+>， 因此为0x <时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 当0x >时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增， 所以()(0)10min x a ϕϕ==-≥，即1a ≥， 当1a >时，2()()10x x a f x a ϕ=+-≥->， 故方程2()x a f x +=无解，当1a =时，当0x ≠时，由单调性知2()()0x x a f x ϕ=+->所以存在唯一的00x =使得200()x a f x +=，即1a =.（3）设切点的横坐标为t ，则()31tk f t t kt e e ='⎧⎪+⎨+=⎪⎩，即31tt t k e t kt e e ⎧=-⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩， 231t t t t e e e +=+，即231(*)tt t e e ++= 原命题等价于存在正数t 使得方程(*)成立.记21()tt t g t e++=，则()2(21)1(1)()ttt t t t t g t e e +-++--'==，令()0g t '=，则1t =，因此当01t <<时，()0g t '>，()g t 单调递增，3()(1)g t g e<=； 当1t >时，()0g t '<，()g t 单调递减，3()(1)g t g e<=， 则3()(1)max g t g e==. 故存在唯一的正数1t =使得方程(*)成立， 即存在唯一的负数1e et t k -==-， 使得3y kx e=+是曲线()y f x =的切线. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立、方程的解等知识，考查运算求解能力、推理论证能力与问题转化能力，综合性较强，属于难题.20．设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等差数列，（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭（2）13144323n n n n T -=--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3).【解析】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，将已知条件用1,a d 表示，解方程组，即可求出n a ；令1111,,2,n n n n b S n b S S -==≥=-，得出{}n b 为等比数列，即可求出通项； （2）（i ）由题意121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，求出nk x 的通项公式，进而求出1,3nnk n n k n x T ==∑就为数列{}3n n的前n 项和，利用错位相减法即可求解； （ii ）根据已知得出,m n 的函数关系，利用**,m N n N ∈∈，结合函数值的变化，即可求解. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 则由条件369a a a +=，可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，又由25796a a a +=，可得()()()21114668a d a d a d +++=+， 将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=01n d d a n ≠∴=∴=Q由423n n S b += ①当2n ≥时，11423n n S b --+= ② ①-②得：14220n n n b b b -+-=11(2)3n n b b n -∴=≥又111142302b b b +=∴=≠ {}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1*1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭()1*11,23n n n a n b n N -⎛⎫∴==∈ ⎪⎝⎭（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ，因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d则11111112323(2)113(1)n n n n n nb b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭===-+-++， 则111233(1)n nk n n nkx b kd n -⎛⎫=+=-⎪+⎝⎭， 11111(1)233(1)23n nnk nn k n n nx n n -=+⎛⎫∴=⋅-⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333n n n nn n nT x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①则231111133333n n n n nT +-=++⋯++ ② ①-②得：2111111332111111133333323313nnn n n nn n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--⎪⎝⎭-L ， 13144323n n nnT -∴=--⋅⋅ ②若12m n ma T a +=，因为n a n =，所以m a m =， 则13111144323222n n n m m m -+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m---=⋅⋅， 从而3321432n nn m--=⋅， 故()23234623462323323323n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+------， 当1n =时，*10232m N =+=-∉-， 当2n =时，*14292m N =+=∈， 当3n =时，*213m N =+=∈，下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+， 即证3690n n -->， 设()369(4)xf x x x =--≥，则4()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>即4601323n n n +<<--，从而4n ≥时，m 不是整数故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3). 【点睛】本题考查等差数列的通项基本运算和前n 项和，考查由前n 项求等比数列的通项，考查错位相减法求前n 项和，以及不定方程的求解，考查计算、推理能力，属于较难题. 21．.选修4-2:矩阵与变换已知,a b R ∈，矩阵1?3a A b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换A T 将直线10x y --=变换为自身,求a,b的值． 【答案】【解析】试题分析：利用相关点法列等量关系：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+，与重合，解得试题解析：设直线上任意一点(?)P x y ，在变换A T 的作用下变成点(?)P x y '''，，由13a x x b y y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'，得,{3.x x ay y bx y ''=-+=+， 4分 因为(?)P x y '''，在直线上，所以10x y '-'-=，即， 6分又因为(?)P x y ，在直线上，所以． 8分因此11,{3 1.b a --=-=-解得. 10分【考点】矩阵变换22．在极坐标系中，己知直线l 的极坐标方程是sin 224πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，求直线l 被圆C 截得的弦长. 【答案】22【解析】直线、圆方程化简整理，222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+ 代入，将直线方程、圆方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，即可求出相交弦长. 【详解】 解：22sin()22,cos sin 22422πρθρθρθ-=-=， 直线l 的直角坐标系方程40x y --=，24cos ρρθ=，圆C 的直角坐标方程是22224(2)4x y x x y +=⇒-+=， 圆心为(2,0)，半径为2， 所以圆心到直线l 的距离为211d ==+，所以弦长为22224222l r d =-=-=. 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化，考查圆的相交弦长，注意应用几何法求弦长，属于中档题.23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为3的疋方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，过点P 作AD 的垂线，垂足为O ，且满足1AO =，点E 在棱PB 上，2PE EB =（1）当2PO =时，求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值； （2）当PO 取何值时，二面角B PC D --. 【答案】（1.（2）1PO = 【解析】在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥，OF 交BC 与F ，由已知可证PO ⊥底面ABCD ，建立空间直角坐标系，求出,,,A B C D 坐标.（1）由条件得出,,P E AE u u u r坐标，求出平面PCD 法向量，根据向量的线面角公式，即可求解；（2）设(0,0,)P t ，分别求出平面PCD 、平面PCB 的法向量，根据向量的面面角公式，结合已知，得到关于t 的方程，求解即可得出结论 【详解】解：因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，PO AD ⊥，PO ⊂平面PAD ， AD =平面PAD I 平面ABCD ，所以PO ⊥底面ABCD ，在底面ABCD 内过点O 作OF AD ⊥， OF 交BC 与F ，则2CF BF =，又PO ⊥底面ABCD ， 所以PO OF ⊥，PO AD ⊥，以OF ，AD ，PO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,1,0),(3,1,0),(3,2,0),(0,2,0)A B C D --，（1）点(0,0,2)P ，因为2PE EB =， 所以点22(2,,)33E -， 22122,,(0,1,0)2,,3333AE ⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，(3,0,0)DC =u u u r ，(0,2,2)DP =-u u u r，设平面PCD 的一个法向量为(,,)m x y z =u r，满足30002200x x m DC y z y z m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取1y z ==，法向量为(0,1,1)m =u r，22212201133cos ,821221133AE m ⨯+⨯+⨯<>==⎛⎫⎛⎫++⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r r ，所以直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值为38282. （2）设,(0,0,),(3,0,0),(0,2,)PO t P t DC DP t ===-u u u r u u u r， 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =r，满足30002020x x m DC y tz y tz m DP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ， 取2z =，法向量为(0,,2)n t =r， (0,3,0),(3,1,)BC BP t ==-u u u r u u u r设平面PCB 的一个法向量为(,,)s x y z =r，满足30003030y y s BC x y tz x tz s BP ⎧⎧==⎧⋅=⎪⇒⇒⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎪⎩⎩u u u v r u u u v r ，取3z =，法向量(,0,3)s t =r，由题意22227cos ,12523n s t t <>==-+⋅+r r整理得4213140t t +-=，()()221410t t +-=，21,1t t ==±，即1PO =.【点睛】本题考查空间向量法求直线与平面所成的角、二面角，考查计算求解能力，属于中档题. 24．考虑集合{}1,2,3,...,n 的所有()1,*r r n n N ≤≤∈元子集及每一个这样的子集中的最小数，用(),F n r 表示这些最小的数的算术平均数 （1）求()6,3F ； （2）求(),F n r . 【答案】（1）74（2）1(,)1n F n r r +=+ 【解析】（1）从1，2，3，4，5，6取出3个数，分别求出最小值为1,2,3,4子集个数，进而求出子集中所有最小数的和，即可求解；（2）{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集中，求出最小数为k 的子集有1r n k C --个，(1,2,,1)k n r =-+K ，结合111121r r r rn n r n C C C C ------+++=L ，求出这些子集最小值的和，即可求解. 【详解】解：（1）1，2，3，4，5，6，中每次取3个数，则 最小数为1的有25C 个 最小数为2的有24C 个 最小数为3的有23C 个 最小数为4的有22C 个222254323612347(6,3)4C C C C F C ⋅+⋅+⋅+⋅∴== （2）集合{1,2,3,,}n K 的所有r 元子集有rn C 个时， 其中最小数为k 的子集有1r n k C --个(1,2,,1)k n r =-+K ，所以有111121r r r rn n r n C C C C ------+++=⊗L ，这些子集中最小的之和为1111212(1)r r r n n r S C C n r C ------=+++-+L ， 利用⊗式可得111r r r r n n r n S C C C C +-+=+++=L于是111(,)1r n r r n n C S n F n r C C r +++===+.【点睛】本题考查集合子集的个数，考查子集最小数的和以及组合数的运算，考查计算、推理能力，属于中档题.。

2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题一、填空题1．集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，若A ∪B ＝B ，则x ＝________. 2．复数12iiz +=（i 是虚数单位）的虚部是_______． 3．24log 4log 2+=________.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为_______.5．在ABC ∆中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=__________．6．已知函数()sin())f x x x ϕϕ=++，0πϕ≤≤．若()f x 是奇函数，则π()6f 的值为____．7．已知3()log f x x =，若a ，b 满足(1)(21)f a f b -=-，且2a b ≠，则+a b 的最小值为_______．8．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为___．9．若抛物线24x y =的焦点到双曲线C ：22221x y a b-=(00)>>a b ，的渐近线距离等于13，则双曲线C 的离心率为____．10．设,m n 为空间两条不同的直线，,αβ为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若,m m αβP P ，则αβP ； ②若,m m P αβ⊥，则αβ⊥； ③若,m m n P P α，则n αP ； ④若,m P ααβ⊥，则m β⊥. 其中的正确命题序号是______.11．设0,0x y >>，向量a =r()1,4x -，b =r(),x y -，若a b r P r，则x y +的最小值为______．12．在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知CP =u u u v 4CA =u u u v ，23ACB π∠=，则CP CA ⋅=u u u v u u u v__________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________．14．若2101m x mx -<+()0m ≠对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是______．二、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ．16．在三角形ABC 中，已知1tan 2B =，cos C =. （1）求角A 的值； （2）若ABC ∆的面积为310，求边BC 的长. 17．建造一个容积为38m 、深为2m 的无盖长方体形的水池，已知池底和池壁的造价分别为120元2/m 和80元2/m ．（1）求总造价y （单位：元）关于底边一边长x （单位：m ）的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）如果要求总造价不超过2080元，求x 的取值范围； （3）求总造价y 的最小值．18．在直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:163x y C +=，若圆222:O x y R +=(0)R >的一条切线与椭圆C 有两个交点,A B ，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（1）求圆O 的方程；（2）已知椭圆C 的上顶点为M ，点N 在圆O 上，直线MN 与椭圆C 相交于另一点Q ，且2MN NQ =u u u u r u u u r，求直线MN 的方程.19．已知函数()()()222ln 12a ax x x R f x x a =+++∈. （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率为2，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间()1,e 上有零点，求实数a 的取值范围.（e 是自然对数的底数，2.71828e ≈⋅⋅⋅）20．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c ，对于给定的正整数k ，记n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+()n *∈N .若对任意的正整数n 满足：1nn bb +≤，且{}nc 是等差数列，则称数列{}n a 为“()H k ”数列.（1）若数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，证明：{}n a 为()H k 数列；（2）若数列{}n a 为()1H 数列，且112115a b c ==-=，，，求数列{}n a 的通项公式； （3）若数列{}n a 为()2H 数列，证明：{}n a 是等差数列 ．21．已知矩阵10A ⎡=⎢⎣02⎤⎥⎦，20B ⎡=⎢⎣1a ⎤⎥⎦，且AB BA = （1）求实数a ；（2）求矩阵B 的特征值. 22．在平面直角坐标系中，已知直线35:{(45x tl t y t==为参数). 现以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.23．已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥. 24．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直，长度分别为1，2，2.若DC AB λ=u u u v u u u v （R λ∈），且向量PC uuu v 与BD uuu v 夹角的余弦值为15.（1）求λ的值；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 25．已知()21221012211n n n x a a x a x a x++++=++++L ，n *∈N ．记()021?nn n kk T k a-==+∑．（1）求2T 的值；（2）化简n T 的表达式，并证明：对任意n *∈N 的，n T 都能被42n +整除．参考答案1．0 【解析】 【分析】因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，再根据函数xy e =的值域可以得出1x e =，从而可以求出x 的取值. 【详解】解：集合A ＝{0，e x }，B ＝{－1,0,1}，因为A ∪B ＝B ，所以A B ⊂，又0x e >，所以1x e =，即0x =. 故答案为：0. 【点睛】本题考查根据并集关系求集合，考查指数函数的值域和实数值的求法，属于基础题. 2．-1 【解析】 【分析】由题意，根据复数的运算，化简得2z i =-，即可得到复数z 的虚部． 【详解】 由题意，复数12i (12i)()2i i ()i z i i ++⋅-===-⋅-，所以复数z 的虚部为1-． 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类，其中解答中熟记复数的四则运算，正确化简、运算复数，再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3．52【解析】 【分析】根据对数的运算公式得到结果. 【详解】根据题干得到24log 4log 2+=22152+log 22+=22= 故答案为52. 【点睛】本题考查了对数的运算公式的应用，进行对数运算时通常是将对数化为同底的对数，再进行加减运算即可，较为基础. 4．56【解析】 【分析】直接模拟运行程序即得解. 【详解】 s=1-11=22,k=2,s=115+=236,k=3,输出s=56.故答案为：56【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 5．1 【解析】试题分析：222sin 22sin cos 2cos 2cos 21sin sin 2A A A a A b c a A C C c bc+-====⨯=考点：正余弦定理解三角形 6．-1 【解析】函数为奇函数，则：()0sin 2sin 03f πϕϕϕ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，据此有：,33k k ππϕπϕπ+==-，令1k =可得：23ϕπ=，故：()22sin 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,22sin 166363f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.7．32【解析】 【分析】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，得(1)(21)1a b --=，所以212a b+=，所以123(3)22b a a b a b +=++≥【详解】由3()log f x x =，且()()121f a f b -=-，2a b ≠，所以33log (1)log (21)a b -=--，即3log (1)(21)0a b --=，所以(1)(21)1a b --=，得212a b+=，所以()121123(3)222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭2b aa b =，即a =时，等号成立，综上，+a b 的最小值为32+ 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要根据式子特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式 8．49【解析】分析： 先求黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型概率公式可得到结果.详解：黑白两个球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有339⨯=种放法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有224⨯=，所以黑白两球均不在一号盒的概率为49，故答案为49. 点睛：本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.9．3 【解析】 【分析】先求出抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为（0，1），和双曲线的一条渐近线方程为y ba=x ，根据点到直线的距离公式和离心率公式即可求出． 【详解】 抛物线x 2＝4y的焦点坐标为（0，1），双曲线C ：22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y ba=x ， ∴13a c==， ∴e ca==3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的简单性质，属于基础题. 10．②④ 【解析】 【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案． 【详解】对于①，若m ∥α，m ∥β，则α与β可能相交，故①错误；对于②，若m ⊥α，m ∥β，根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到α⊥β，故②正确；对于③，若m ∥α，m ∥n 则n 可能在α内，故③错误；对于④，若m ⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确； 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练掌握定理是关键． 11．9 【解析】 【分析】先根据向量平行得到1x +4y=1，再利用基本不等式即可求出最值．【详解】 ：因为a r∥b r， 所以4x+（1﹣x ）y=0， 又x ＞0，y ＞0， 所以1x +4y=1， 故x+y=（1x +4y ）（x+y ）=5+y x +4xy≥9． 当y x=4x y ，1x +4y =1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立． （x+y ）min =9． 故答案为9． 【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 12．6 【解析】22211()(2)24CP CA CB CP CA CB CA CB =+∴=++⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vQ213(16||4)24CB CB CB ∴=+-∴=u u u v u u u v u u u v ,所以21111()()2222CP CA CA CB CA CA CB CA CA CB CA ⋅=+⋅=+⋅=+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v1111624() 6.222=⨯+⨯⨯⨯-= 点睛：根据定义计算数量积的两种思路(1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． 13．√5−22【解析】 【分析】利用求根公式得到b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，表示目标b a+c =−1+√1+ac(a+c )2，借助均值不等式求最值. 【详解】∵b 2+2(a +c)b −ac =0 ∴b =−2(a+c )+√4(a+c )2+4ac2，∴ba+c =−(a+c )+√(a+c )2+aca+c=−1+√(a+c )2+aca+c=−1+√1+ac(a+c )2，=−1+√1+1a c +ca+2≤√5−22，当且仅当a=c 时取等号.【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】若0m > ,则当x →+∞时2101m x mx ->+ ,所以0m < ,从而221114m m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩ 或21114m m m⎧≤-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩所以112m -<<-或112m m ≤-∴<-点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 15．（1）详见解析（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）取PD 中点G ，连AG ，FG ，根据G ，E ，F 分别是PD ，AB ，PC 的中点，可知道四边形AEFG 为平行四边形，即可说明//EF 平面PAD（2）要证明平面PAC ⊥平面PDE ．由题意已知PA DE ⊥，即只需证明DE AC ⊥,根据矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，AB =，1BC =，即可说明DE AC ⊥，即平面PAC ⊥平面PDE ． 【详解】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F Q ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD =又E Q 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD//EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =I由AEH CDH ∆∆:及E 为AB 中点 得12AH AE CH CD ==又AB =Q 1BC =AC ∴13AH AC ==AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆: 90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PA AC A =IDE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的证明，其中要证线面平行有两个方向：①利用线面平行的判定定理：,,l m m l l ααα//⊂⊄⇒// ；②利用面面平行的性质定理：,l l αβββ//⊂⇒// ．要证面面垂直，需利用面面垂直判定定理：在其中一个平面内找到一条直线说明这条直线垂直于另一个平面．属于基础题． 16．（1）4A π= （2）1BC =【解析】 【分析】（1）由题可知，cos 10C =-，根据同角三角函数关系求出sin ,tan C C ，在ABC ∆中，利用tan tan()A B C =-+，代入求出tan A ，即可得出A ∠；（2）利用正弦定理和三角形的面积公式13sin 210S AB BC B =⋅=，即可求出BC 的长. 【详解】解：（1）在ABC ∆中，1tan 2B =，cos C =.得sin 10C =，故tan 3C =- 所以()()()13tan tan 2tan tan()111tan tan 132B C A B C B C ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=-+=-=-=-⋅⎡⎤-⨯-⎢⎥⎣⎦. ∵0A π<<，所以4A π=（2）由（1）知45A =︒，设BC a =，利用正弦定理：sin sin AB BCC A=得：5a AB a ==，又22sin 1cos 2sin cos 1B B B B ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin 5B =，所以ABC ∆的面积为：1sin 2S AB BC B =⋅213321010a a =⨯==. 所以1a =，即1BC =. 【点睛】本题主要考查通过同角三角函数关系和正弦定理以及三角形面积公式，求三角形的内角和边长，同时考查学生的计算能力.17．（1）4320()480(0)y x x x=++>；（2）[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）2x =()m ，总造价最小为1760元．【解析】 【分析】（1）求出池底和池壁面积后可得函数解析式； （2）解不等式2080y ≤可得； （3）由函数单调性可得最小值． 【详解】（1）底边一边长x ，另一边长为842x x=， ∴482()2801202y x x =+⨯⨯+⨯4320()480x x =++，∴4320()480(0)y x x x=++>；（2）4320()4802080y x x=++≤，解得14x ≤≤；[1,4]x ∈时，总造价不超过2080元；（3）记4()f x x x=+，设1202x x <<≤，则12120,40x x x x -<-<， ∴121212121212()(4)44()()x x x x f x f x x x x x x x ---=+--=0>，即12()()f x f x >，()f x 递减，同理2x ≥时，()f x 递增，所以函数4320()480y x x=++在(0,2]上递减，在[2,)+∞上递增， ∴2x =时，min 4320(2)48017602y =⨯++=． ∴2x =()m ，总造价最小为1760元． 【点睛】本题考查函数的应用，解题关键民根据所给模型列出函数解析式，利用函数单调性求出最小值．18．（1）222x y +=（2）y x y x ==+【解析】 【分析】（1）先讨论切线斜率存在时，设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y ，由直线与椭圆方程联立方程组后消元韦达定理可得1212,x x x x +，代入12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r可得出,k m 的关系，从而可求得圆心到此直线的距离即圆半径，得圆方程，验证当斜率不存在的直线x =（2）设点()00,Q x y ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得023x N ⎛ ⎝⎭，由,Q N 分别在椭圆和圆上，联立方程组解得00,x y 后可得直线方程． 【详解】（1）设圆的切线为y kx b =+，点()()1122,,,A x y B x y .由方程组22,1,63y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222124260k x kbx b +++-=，得2121222426,1212kb b x x x x k k -+=-=++.因为0OA OB ⋅=u u u r u u u r，所以()()1122,,0x y x y ⋅=，即12120x x y y +=.又因为点()()1122,,,A x y B x y 在直线y kx b =+上，所以()()12120x x kx b kx b +++=，即()()22121210kx x kb x x b++++=.所以()()2222222126401212k bk b b k k+--+=++，化简得2222b k =+，所以圆O的半径R ==，所以圆O 的方程为222x y +=.此时，当切线为x =0OA OB ⋅=u u u r u u u r.（2）设点()00,Q x y，点M ，由2MN NQ =u u u u r u u u r，得0022,33x y N ⎛⎫⎪⎝⎭.代入椭圆和圆得220022001,63222,33x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点22Q ⎛-- ⎝⎭或Q ⎝⎭ .故直线MN的方程为y x =+y x =.【点睛】本题考查求圆的方程，考查直线与椭圆相交问题．直线与椭圆相交问题，用设而不求的思想方法．解题时注意体会．19．（1）函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（2）()222123e a e +-<<-【解析】 【分析】（1）求导，由导数的结合意义可求得0a =，进而得到函数解析式，再解关于导函数的不等式即可得到单调区间；（2）对a 进行分类讨论，利用导数，结合零点的存在性定理建立不等式即可求解． 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()2122ln 2'ax x ax x axf xx =+++⋅+()()()21ln 2221ln 1ax x ax ax x =+++=++，则()()'1212f a =+=，所以0a =，此时()2ln 1f x x x =+，定义域为()0,∞+，()()'2ln 1f x x =+， 令()'0f x >，解得1x e >；令()'0f x <，解得1x e<； 所以函数()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）函数()()222ln 12a ax x x f x x =+++在区间[]1,e 上的图象是一条不间断的曲线. 由（1）知()()()'21ln 1f x ax x =++，1）当0a ≥时，对任意()1,x e ∈，10ax +>，ln 10x +>，则()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点； 2）当0a <时，令()'0f x =，得1x e =或1a -，其中11e<，①若11a-≤，即1a ≤-，则对任意()1,x e ∈，()'0f x <，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递减，由题意得()1102a f =+>，且()222102f aae e e e =+++<，解得()222123e a e +-<<-，其中()()2223221432013e e e e e --+-=->-，即()222113e e+->-， 所以a 的取值范围是21a -<≤-；②若1e a -≥，即10a e-≤<，则对任意()1,x e ∈，()'0f x >，所以函数()f x 在区间[]1,e 上单调递增，此时对任意()1,x e ∈，都有()()1102af x f >=+>成立，从而函数()f x 在区间()1,e 上无零点；③若11e a <-<，即11a e -<<-，则对任意11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0f x >；所以函数()f x 在区间11,a⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，对任意11,x a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，都有()()1102af x f >=+>成立； 对任意1,x e a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()'0f x <，函数()f x 在区间1,e a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，由题意得 ()222102f aae e e e =+++<，解得()22213e a e+<-， 其中()222221134220333e e e e e e e e +----⎛⎫---==< ⎪⎝⎭，即()222113e e e +⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是()222113e a e+-<<-. 综上可得，实数a 的取值范围是()222123e a e+-<<-. 【点睛】本题考查导数的结合意义，及利用导数研究函数的的单调性及函数的零点问题.判断函数有无零点的方法： ①直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 20．（1）见解析； （2）n a n =； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）采用1n n n a S S -=-可进行求解，要验证1n =是否成立（2）（3）通过题干，将n n n k b a a +=-，n n n k c a a +=+进行联立求解，代换掉n b ，n c ，可求得数列{}n a 的通项公式 【详解】（1）当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==符合上式， 则21(1)n a n n =-≥，2,422∴=-=--n n b k c n k ，则1,+≤n n b b 14+-=n n c c对任意的正整数n 满足1n n b b +≤，且{}n c 是公差为4的等差数列，{}∴a a 为()H k 数列.（2）121,1,2==-=Q a b a ，由数列{}n a 为(1)H 数列，则{}n c 是等差数列，且123,5==c c 21∴=+n c n 即121++=+n n a a n ，1(1)+∴-+=-n n a n a n则{}-n a n 是常数列，110,-=∴=Q n a a n ，验证：11+=-=-n n n b a a ，1+∴≤n n b b 对任意正整数n 都成立 n a n ∴=．又由121++=+n n a a n ，1223+++=+n n a a n ， 两式相减，得：22n n a a +-=，211222(1)21,2(1)2-=+-=-=+-=k k a a k k a a k k ，n a n ∴=（3）由数列{}a a 为(2)H 数列可知：{}n c 是等差数列，记公差为d()()221222+++++∴-=+-+=--=n n n n n n n n c c a a a a b b d ， 132++∴--=n n b b d则()()123220+++-+-=-=n n n n b b b b d d 又1n n b b +≤，1+∴=n n b b ，数列{}n b 为常数列，则21+=-=n n n b a a b22+∴=+=-n n n n n c a a a b由()1112,2+++-=-=∴-=n n n n n n d c c a a d a a ， {}∴n a 是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及n a 与n S 的联系需用1n n n a S S -=-进行通项求解，但一定注意要验证1n =是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可 21．（1）0a =（2）1 【解析】 【分析】(1)分别计算,AB BA ,再根据AB BA =求解即可. (2)易得阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--,再令()0f λ=求解即可.【详解】解：()1因为1022020102a a AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,21022010202a a BA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦且AB BA =,所以0a =()2因为2001B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,矩阵B 的特征多项式为()()()21f λλλ=--令()0f λ=,解得2,1λλ== 【点睛】本题主要考查了矩阵的基本运算与特征值的计算,属于基础题. 22．65AB = 【解析】 【分析】先根据代入消元法将直线参数方程化为普通方程，根据将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据垂径定理求弦长：圆C 的圆心到直线l 的距离为，【详解】解：直线35:{(45x tl t y t==为参数)化为普通方程为，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为，则圆C 的圆心到直线l 的距离为，所以.考点：参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，垂径定理 23．证明见解析 【解析】 【分析】将1231233x x x x x x ++=化简可得2331121113x x x x x x ++=，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=， 所以2331121113x x x x x x ++=，又122331()x x x x x x ++⋅2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++≥++= ⎪⎝⎭， 所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.24．（1）2λ=；（2）5. 【解析】【详解】 （1）依题意，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)B D P ，因为DC AB λ=u u u r u u u r ，所以(,2,0)C λ，从而(,2,2)PC λ=-u u u r ，则由cos ,15PC BD 〈〉=u u u r u u u r ，解得10λ=（舍去）或2λ=. （2）易得(2,2,2)PC =-u u u r ，(0,2,2)PD =-u u u r ，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z =r ，则0n PC ⋅=u u u r r ，0n PD ⋅=u u ur r ，即0x y z +-=，且0y z -=，所以0x =， 不妨取1y z ==，则平面PCD 的一个法向量(0,1,1)n =r ，又易得(1,0,2)PB =-uu r ，故cos ,PB n PB n PB n〈〉=⋅⋅=u u u r u u u r r r u u u r r所以直线PB 与平面PCD考点: 1、空间两向量夹角余弦公式；2、利用向量求直线和平面说成角的正弦. 25．（1）30；（2）()21221nn n T n C -=+，证明见解析. 【解析】【分析】（1）由二项式定理得21i i n a C +=，利用公式计算2T 的值；（2）由组合数公式化简n T ，把n T 化为42n +的整数倍即可．【详解】由二项式定理，得()210,1,2,,21ii n a C i n +==+L ； （1）210221055535+3530T a a a C C C =++=+=；（2）因为()()()()()()()()()12121!212!1!!!!11n k n n n n n k n k k n k n k n n C k ++++++=++⋅=+-+⋅+-⋅+()221n k n n C +=+，所以()()()12121000212121n n nn k n k n n k n n k k k T k a k C k C -++-++====+=+=+∑∑∑ ()()()()11121212100021212121n n nn kn k n k n n n k k k n k n Cn k C n C +++++++++===⎡⎤=++-+=++-+⎣⎦∑∑∑ ()()()()()12212212001122121221221222n n n k n k n n n n n n k k n Cn C n C n +++++===+-+=+⋅+-+⋅⋅∑∑()221n n n C =+，()()()()122121212121221n n n n n n n n n T n C n C C n C ----∴=+=++=+，因为21n n C N *-∈，所以n T 能被42n +整除.【点睛】本题考查了二项式定理与组合数公式的应用问题，也考查了整除问题，是难题．。

2020届江苏省南京师大附中高三上学期第一次模拟考试（二）数学试题一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B =I _____. 【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集. 【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B =I {1,3}. 故答案为：{1,3} 【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解. 【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8 【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟. 【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数. 【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5 【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________. 【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点. 【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关， 所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-. 故答案为：(0,2)- 【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____. 【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得: 2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4 【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】1 2【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C=种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C=种，所以其概率为23241=2CC.故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D-中，1AB=，2AD=，11AA=，E为BC的中点，则点A到平面1A DE的距离是______.6【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADEV-=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE===+=所以22211A D DE A E=+，所以1DE A E⊥，11623=2A DES=△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：6【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S ≤-，结束循环，输出n ，得出结果. 【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+， 22220log log ,3213S n =+==+， 222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =. 故答案为：4 【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____. 【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解. 【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有: 2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=. 故答案为：22(3)4x y -+= 【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标. 10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是______. 【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r 2221PO OM PO =-=-u u u r u u u u r u u u r ，只需求出PO u u u r 的取值范围即可得解. 【详解】由题可得：0OM ON +=u u u u r u u u r r，PO ⎡∈⎣u u ur()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r222[0,11]PO OM PO =-=-∈u u u r u u u u r u u u r故答案为：[0,1] 【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解. 【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩ 即1234k k λ==-. 故答案为：34- 【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x xk x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b abk a ab a ab ++-≤=+++恒成立， 令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，22121x x ++≥+Q 当且仅当22121x x +=+即x = 故k的最大值为故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠>o ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解. 【详解】设3BC =，3AC x =<， 则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠= 22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++， 故tan 3BAC ∠=. 故答案为：3 【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭. 故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()2m a =u r，向量s )(co ,n B cosC =r ，且//m n u r r .（1）求角C 的大小；（2）求()3y sinA B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）转化条件得()2sin cos A C B C =+，进而可得cos C =，即可得解；（2）由56A B π+=化简可得2sin 3y A π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭，由50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）Q //m n u r r，∴()2cos cos a C B ，由正弦定理得2sin cos cos cos A C B C C B -=，∴)2sin cos sin cos sin cos A C B C C B =+即()2sin cos A C B C =+，又 B C A +=π-，∴2sin cos A C A =，又 ()0,A π∈，∴sin 0A ≠，∴cos C =， 由()0,C π∈可得6C π=.（2）由（1）可得56A B π+=，∴56B A π=-，∴5()()3632()y sinA B sinA A sinA A ππππ=-+=---=2sin 3sinA A A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，Q 50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴(]2sin 1,23A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，∴3()3y sinA sin B π=+-的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用，考查了三角函数的性质，属于中档题.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE P 平面PAB ； （2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行； （2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直. 【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点， 又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ； （2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD I 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ， 所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ， 所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥. 【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ V 的周长； （2）求1PF M V 面积的最大值. 【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M V 面积，即可求解最大值. 【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =， 因此，1PFQ V 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||24PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M V 面积的最大值为135. 【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小. 【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，30152b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小. 【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值. 【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2， 设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥， 设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米； （2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭， ()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小； ②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小； ③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，x ⎡∈⎢⎣时，()0S x '<，()S x 递减；x ⎤∈⎥⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此xb ==，即2AD AB b == 综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，n b n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅ 【解析】（1）112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，得到11(2)n n n n b b b b n +--=-…，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P . 【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=-…，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=…，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==， 所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+…，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++…，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+…，即11(2)n n n n b b b b n +--=-…，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =； （2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n nP n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <). （i ）求a 的取值范围； （ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大. 【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)axf x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解； （2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞ 当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a >时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1t x t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t t h t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.。