江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中高一数学试题及答案

江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知全集{}1,0,1,2U =−， {} 1,1A =−，则集合U A =（ ） A ．{0,2} B ．{}1,0− C ．{0,1}D ．{1,2} 2．“1x =”是“2540x x −+=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题“x ∃∈R ，210x x −−>”的否定是（ ）．A ．x ∃∈R ， 210x x −−<B ．x ∃∈R ，210x x −−≤C ．x ∀∈R ，210x x −−≤D ．x ∀∈R ，2 10x x −−>4．已知223x x −+=，则1x x −+的值为（ ）．AB ．1 C． D ．1±5．函数22),0,03(1x x x f x x x⎧−≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）． A ．[]3,1− B ．(0),−∞ C ．(1),−∞ D ． (1],−∞6．下列四组函数中，()f x 与 ()g x （或 ()g t ）表示同一个函数的是（ ）A．()f x = ()g x x = B．()f x =2()g t = C ．22()1x x f x x +−=− ()2g x x =+ D ． ()f x x =()g t =7．已知实数0a >，0b >，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A．3+ B．1 C ．4 D．32 8．函数32()1x f x x =−的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．设集合{}220A x x x =−=，则下列表述不正确的是（ ）．A ．{}0A ∈B ．2A ∉C ．{}2A ∈D ． 0A ∈ 10．下列四个条件中，能成为 x y >的充分不必要条件的是（ ）A ．22xt yt >B ．xt yt >C ．x y >D ．110x y<< 11．下列命题中是真命题的有（ ）．A ．若函数()f x 在(0],−∞和(0,)+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B ．狄利克雷函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调； C ．若函数 ()f x 是奇函数，则一定有 (0)0f =；D ．若函数 ()f x 是偶函数，则可能有 (0)0f =； 12．已知 1a >， 1b >，且()1ab a b −+=，那么下列结论正确的有（ ）．A ．a b +有最大值2B ．a b +有最小值2 C ．ab1 D ．ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13．已知0,0()1,032,0x f x x x x >⎧⎪=−=⎨⎪−<⎩，则 ()()()6f f f = ．14．已知函数53()7c f x ax bx x=+++， 3( 5)f −= ，则 ()3f = ． 15．某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%．①10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 ．元；②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2g x f x x =−在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式() 1246()f x f x x +−+>−−的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．已知a ，b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+． 18．计算：（1）12ln 249e −⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）()223lg2lg5lg20log 3log 4+⋅+⋅．19．已知二次函数 ()f x 的值域为[)4,−+∞，且不等式0( )f x <的解集为()1,3−．（1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[2,2]x ∈−，都有 2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．20．某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为 S 平方米． （1）将S 表示为x 的函数；（2）求 S 的最大值．21．已知集合{A y y ==，集合{}220B x x x a a =−+−<． （1）若A B A ⋃=，求a 的取值范围；（2）在A B ⋂中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22．设()a f x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） （1）若 ()f x 的最小值为4，求a 的值；（2）用定义证明：()f x 在)+∞上是增函数； （3）在（1）的条件下，当1x >时，都有恒成立，求实数m 的取值范围．江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题参考答案1．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ．2．【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x −+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x −+=”的充分不必要条件．3．【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ．4．【答案】C ；【解析】由()212225x xx x −−+=++=，知1x x −+=，故选C ．5．【答案】D ； 【解析】当 0x <时，1()f x x=单调递减，范围为(0),−∞，当03x ≤≤时，2()2f x x x =−在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，范围是[]3,1−，所以函数值域为(1],−∞，故选D ．6．【答案】D ；【解析】A 选项，() f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7．【答案】B ；【解析】22(1)2a b a b +=++−=()112121a b a b ⎛⎫+++−=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭()21311b a a b +++≥+，当且仅当1a =且2b =时等号成立，故选B ． 8．【答案】A ； 【解析】 ()f x 定义域为(,1)(1,1)(1,)−∞−⋃−⋃+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．9．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选 ABC ． 10．【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠∣，则x y >，反之不成立，A 正确； B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，1()f x x =在(0,)+∞单调递减，若110x y<<，则x y >，反之不成立，D 正确； 故选ACD ．11．【答案】BD ； 【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误； B 选项，在任意区间I 上总可以取1x ，2x Q ∈，使()()12f x f x =，则 ()f x 在I 上不单调，B 正确； C 选项，1()f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，2()f x x =符合要求，D 正确；故选BD ．12．【答案】BD ；【解析】法一：令a b s +=，ab t =，由题意可得2s >，1t >，1t s −=，由基本不等式s ≥，则1t −≥1t >可得2214t t t −+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥，由2s >可得2440s s −−≥，则2s ≥+，1a b ==取等； 故选BD ；法二：由()1ab a b −+=可得(1)(1)2a b −−=，令10m a =−>，10n b =−>，则222a b m n +=++≥+=+m n ==(1)(1)133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+，m n == 故选BD ．13．【答案】-5【解析】()()()()()60(1)5f f f f f f ==−=−．14．【答案】9；【解析】(3)(3)7714f f +−=+=，所以(3)1459f =−=．15．【答案】130；15．【解析】①608010130+−=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，此时有0.8(120)0.7120x ⨯−≥⨯，解得15x ≤．16．【答案】3,2⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭； 【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +−+>−−，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +−+>+−+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32x <−． 17．【答案】详见解析． 【解析】法一：由基本不等式可得，222()a b b a a b b a +++≥=+ 当且仅当22a b b b a a==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即a b =时取等， 则原式得证．法二：223322()a b a b a b a b b a b a ⎛⎫++=+− ⎪⎝⎭ 由0a >，0b >，可得0a b +>，30b a >，30a b>，0ab >，则2222222()2()a b a b a b a b ab a b b a ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭， 由0a b +>可得22a b a b b a+≥+． 法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab−−−+−−+−+=+==， 由0a >，0b >可得()220a b a b b a +−+≥即22a b a b b a+≥+． 18．【答案】（1）32；（2）3． 【解析】（1）12l 2n 43322922e −⎛⎫++=+−= ⎪⎝⎭， （2）2223(lg2)lg5lg20log 3log 4(lg2lg5)23+⋅+⋅=++=．19．【答案】（1）2()23f x x x =−−；（2）7m <−【解析】（1）设2()f x ax bx c =++，由题意可知：(1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c −=−+==++==++=−⎧⎪⎨⎪⎩，解得123a b c ==−=−⎧⎪⎨⎪⎩，即2()23f x x x =−−；（2）243m x x <−−对[2,2]x ∈−恒成立，令2()43g x x x =−−，当[2,2]x ∈−，可知()[7,9]g x ∈−，故7m <−．20．【答案】（1）200102(520)S x x x=−−≤≤；（2）S的最大值为102− 【解析】（1）因为AB x =， 所以100AD x =，2EF x =−，1001FG x=−； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭因为020x <≤，100020x <≤，解得520x ≤≤，所以200102(520)S x x x =−−≤≤；（2）102102S ≤−=−x =所以S 的最大值为102−21．【答案】（1）01a ≤≤；（2）[1,0)(1,2]−⋃；【解析】（1）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，因为244x x −≤，所以[0,2]A =；集合B 的不等式可化为(1)()0x a x a +−−<，①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅时，即12a ≠时，此时02a ≤≤，012a ≤−≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；（2）集合A 中有三个整数0，1，2，{}()(1)0B x x a x a =−+−<； 由A B ⋂中有且仅有两个整数，可得B 中有0，1，2中的两个整数； 1a a <−即12a <时，(,1)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则10a −≤<，112a <−≤，解得10a −≤<； 若仅有1，2，则01a ≤<，213a <−≤，无解；1a a =−即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >−即12a >时，(1,)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则110a −≤−<，12a <≤，解得12a <≤；若仅有1，2，则011a ≤−<，23a <≤，无解；综上，实数a 的取值范围是[1,0)(1,2]−⋃．。

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,22.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21 B. 21-C.23 D. 23-3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x =D. △OMN 的面积为811.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为212.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 三、填空题13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 14.已知α、β均为锐角，且()225sin ,cos 105ααβ=+=，则cos 2β=________. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________.16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.四、简答题.17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 的面积为3，求ABC △的周长. 18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列； ①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.22.在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ，所以A B ={}210，，，故答案选B. 2.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=，则z 的虚部为为23，故答案选C. 3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2，由焦点在y 轴正半轴上，则0>-mn，即mn <0，所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件， 故答案选C.4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥，可得021=+-λ，解得21=λ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211，n ，则()312，=+n m，所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m，，因为[]π，，02>∈+<m n m，所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π，故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ） A. “宫、商、羽”的频率成等比数列 B. “宫、徵、商”的频率成等比数列 C. “商、羽、角”的频率成等比数列 D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题：等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为23a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为4323⨯a ，即89a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为2389⨯a ；即1627a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为431627⨯a ，即6481a ，则a ，89a ，6481a 成公比为89的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） E. 56x π=-F. 1112x π=-G. 1112x π=H. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π，而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ，即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06，π，且为相邻的对称中心，故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ，则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即π=T ，所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ，令2-=k ，解得1211π-=x ，故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x ，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x ，设()()22--='=x e x f x g x ，则()2-='x e x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B.8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点，12,x x ，则[)1,e k ∈ 则1e x k =，1ln x k =，21x k -=，21x k =+， 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-，令()2ln g k k k k k =+-，()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-， 而()12120k g k k k-''=-=>，所以()g k '在()e ，1上单调递增，则()()120g k g ''>=>， ()g k ∴在()e ，1上单调递增，且()21=g ，()2e e g =，())22,e g k ⎡∴∈⎣，故答案选D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A 正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为600015.015002400=-（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B 错误，选项C 正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D 正确；所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=，可令y =0，可解得202=x ，即52=c ，由双曲线的渐近线方程为x aby ±=，且222c y x =+，与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ，，所以()b a N ，-，又由ME ON ⊥，则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ，，，即0322=--b b a ，联立20222==+c b a ，解得b =4，a =2，所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=，△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ，所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，可取AB 的中点为点M ，连结A 1M ，可得A 1M ⊥AE ，又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ，所以A 1F ⊥AE ，故选项A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可得BC 1∥AD 1，则可得到BC 1∥平面AED 1，又因点P 在BC 1上，则点P 到平面AED 1的距离为定值，故选项B 错误；取B 1C 1的中点为点N ，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ，因为AE =D 1N =5，AD 1=22，NE =2，所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ，故选项C 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可设点1A 到平面1AED 的距离为h ，且在△AD 1E 中，D 1E =3，AE =5，AD 1=22，由余弦定理可得，()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ，所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ，则由1111D AA E AED A V V --=，可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ，即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ，解得h =34，故选项D 错误；综上答案选AC.12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-，则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线()y f x =的一条切线为y =0，故A 选项正确；令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=，解得x =0、2π、2π-，即为3个极值点，故B 选项正确；由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C 选项错误；因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ，所以函数()x f 为偶函数，则D 选项正确；综上，答案选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________. 【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr rr rr r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令32312=-r ，解得r =2，则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ，故答案为240.14.已知α、β均为锐角，且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角，且()0552cos 102sin >=+=βαα，，所以()πβα，0∈+，则()55sin 1027cos =+=βαα，，所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯，则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ，故答案为45. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时，e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立，此时b ∈R ；②当0x ≤时，b ax e x +≤，取对数得，b ax x +≤ln ，即ax x b -≥ln ，因为2a ≥，则可得到ln ln 2x ax x x -≤-，①()max ln 2b x x ≥-，令()x x x f 2ln -=，则()21-='x x f ，可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21上单调递减，所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，则b ≥ 2ln 1--，所以b 的取值范围为[)∞+--，2ln 1. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.【答案】32；1627π【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知，一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC-中，取BC中点为D，连结SD，AD，可作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD=====-=，则该正四面体的体积为111323133233ABCV S SO=⋅⋅=⋅⋅=△，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD 相切，过球心作OE SD⊥，则OE就是球半径，因为SO OD SD OE⨯=⨯，所以球半径236233696SO ODR OESD⨯⨯====，所以该球表面积的最大值为22316427Sππ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎪⎝⎭，所以答案为32；1627π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 3，求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】（1） A B c C b cos 4cos cos -=+，且2=a ，∴A a B c C b cos 2cos cos -=+， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中，π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=，∴A A A cos sin 2sin -=，在ABC ∆中，),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴21cos -=A ，则32π=A .（2）334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π，则34=bc ， 由余弦定理得：bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=，则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ，∴316)(2=+c b ， 在ABC ∆中，0,0>>c b ，∴334=+c b ，∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；①数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】（1） 选条件①x a x f =)(，∴n a n a a f =)(， )}({n a f 是首项为4，公比为2的等比数列，则11224+-=⨯=n n a n a ，则2log )1(2log 1a n a n n a +==+；2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+，则}{n a 为等差数列. （2）当2=a 时，12log )1(2+=+=n n a n ，又 n n b )21(=，∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------（*）1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------（**） ∴（*）减去（**）得：1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系11=AA ，2=AB ，BC AE ⊥∴，3=AE ，111=D A ，()0,0,0A ()1,0,01A ∴，()0,0,3E ，()1,1,01D ，()0,1,3C ，()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ，()1,1,01-=D D ，()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =，平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由（1）可设()0,,3m E ，11≤≤-m ，()0,,3m AE =∴，()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0，30-=∴y ，30=z ，()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ，设3n ，4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ，2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3①0或3①1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3①2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3①1取胜的概率为()f p . （①）求出()f p 的最大值点0p ;（①）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】（1）()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.（2）前三场赢两场，第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=，满足最大值点要求. （3）X 可能取的值为0、1、2、3①3X =⇒前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2X =⇒前四场赢两场，第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ①1X =⇒前四场赢两场，第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①0X =⇒前三场全输，或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①X 的分布列为：21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题 【解析】（1）当2a =时，()e 2e 2x x f x x -=+--，()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞（2）()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时，()0f x '<，()x f 单调递减；当ln x a >时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点， 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-，e a > 当0x >时，()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时，()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-，令0e 2ln 2x aa x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点， 综上：a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】（1）由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+（2）由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =，设AP ABBP BQλ==，()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=①×①得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①-①22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。

2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，若集合A ＝{x |（x +2）（x ﹣1）＞0}，则集合∁U A ＝（ ）A ．{x |﹣2＜x ＜1}B ．{x |﹣2≤x ≤1}C ．{x |x ＜﹣2}∪{x |x ＞1}D ．{x |x ≤﹣2}∪{x |x ≥1}2．“a ＝1”是“ab +1＝a +b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f （x ）=x x−1的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=√x 33，g （x ）＝|x |B ．f （x ）=√x 2，g （x ）＝（√x ）2C ．f （x ）=x 2+x x ，g （x ）＝x +1 D ．f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 25．若a log 25＝3，则5a ＝（ ）A ．125B ．9C ．8D ．66．若命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ＞1C ．m ＜1D ．m ≤17．已知x ，y 均为正数，且x +y ＝2，1x+1+1y 的最小值为（ ） A ．4B ．32C ．43D ．18．已知3a＝6b＝10，则2，ab，a+b的大小关系是（）A．ab＜a+b＜2B．ab＜2＜a+b C．2＜a+b＜ab D．2＜ab＜a+b二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．下列四个选项中，能推出1a ＜1b的有（）A．b＞0＞a B．a＞0＞b C．a＞b＞0D．0＞b＞a10．设集合M＝{x|（x﹣a）（x﹣1）＝0}，N＝{1，4}，则M∪N的子集个数可能为（）A．2B．4C．8D．1611．若函数f（x）与g（x）的值域相同，但定义域不同，则称f（x）和g（x）是“同象函数”，已知函数f（x）＝x2，x∈[0，1]，则下列函数中，与f（x）是“同象函数”的有（）A．g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]B．g（x）=1x+2，x∈[﹣1，+∞）C．g（x）＝|x|，x∈[−12，1]D．g（x）＝﹣4x2+4|x|，x∈[﹣1，1]12．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A．0点到3点只打开了两个进水口B．3点到4点三个水口都打开C．4点到6点只打开了一个出水口D．0点到6点至少打开了一个进水口三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2”的否定是 ．14．函数f （x ）=√4−x x−1的定义域为 ．15．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级M 计算公式为M ＝lg A kA 0（0≤k ≤10），其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅（单位：米），A 0＝10﹣6（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 倍．16．设x ，y 为实数，若对于满足4x 2+y 2+xy ＝10的全体x ，y ，不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39．18．（12分）设a 为实数，已知集合A ＝{x |x−3x−6＜0}，B ＝（a ，5）．（1）若a ＝﹣1，求A ∪B ； （2）若A ∩B ＝（3，5），求a 的取值范围．19．（12分）设a，b为实数，已知关于x的不等式ax2﹣3x+2＜0的解集A＝（1，b）．（1）求a，b的值；（2）若B＝{x|x2﹣（m+1）x+m＜0}，且A∩B＝B，求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣1． （1）求f （f （2））的值；（2）当x ∈[﹣2，3]时，求f （x ）的值域；（3）解不等式：f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10．21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形ABCD）上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为150cm2．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm的空白，且这两个梯形之间也留有5cm的空白．为了美观，要求纸张所在矩形ABCD的边AB的长度大于边BC的长度．设直角梯形的高为xcm．（1）求x的取值范围；（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？22．（12分）设a为实数，已知函数f（x）＝x2﹣4x+4a﹣a2．（1）若x1，x2是方程f（x）＝0的两个不等实根，求x12+x22的取值范围；（2）设集合A＝{x|f（x）≤0}．①若A中恰有一个整数，求a的取值范围；②设集合B＝{x|f（f（x）+2）≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围．2021-2022学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U＝R，若集合A＝{x|（x+2）（x﹣1）＞0}，则集合∁U A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2≤x≤1}C．{x|x＜﹣2}∪{x|x＞1}D．{x|x≤﹣2}∪{x|x≥1}解：A＝{x|（x+2）（x﹣1）＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣2}，则集合∁U A＝{x|﹣2≤x≤1}．故选：B．2．“a＝1”是“ab+1＝a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：⇒∵a＝1，∴ab+1＝b+1＝1+b，∴充分性满足．⇐∵ab+1＝a+b，a（b﹣1）＝b﹣1，∴a＝1或b＝1，∴必要性不满足，故选：A．3．函数f（x）=xx−1的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（x）=x=1+1，∴f （x ）的图象是将y =1x 的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到的，故选：A ．4．下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）A ．f （x ）=√x 33，g （x ）＝|x |B ．f （x ）=√x 2，g （x ）＝（√x ）2C ．f （x ）=x 2+x x ，g （x ）＝x +1D ．f （x ）＝|x |，g （x ）=√x 2 解：对于A ：f （x ）＝x ，g （x ）＝|x |，不是同一函数，对于B ：f （x ）＝|x |，g （x ）＝x （x ≥0），定义域不同，不是同一函数，对于C ：f （x ）的定义域是{x |x ≠0}，g （x ）的定义域是R ，不是同一函数，对于D ：f （x ）＝g （x ）＝|x |，是同一函数，故选：D ．5．若a log 25＝3，则5a ＝（ ）A ．125B ．9C ．8D ．6解：∵a log 25＝3，∴log 25a =3，∴5a ＝23＝8，故选：C ．6．若命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ＞1C ．m ＜1D ．m ≤1解：命题p ：∀x ∈R ，x 2﹣2x +m ≠0是真命题，则m ≠﹣（x 2﹣2x ），∵﹣（x 2﹣2x ）＝﹣（x ﹣1）2+1≤1，∴m ＞1．∴实数m 的取值范围是（1，+∞）．故选：B ．7．已知x ，y 均为正数，且x +y ＝2，1x+1+1y 的最小值为（ ） A ．4B ．32C ．43D ．1 解：x +y ＝2，即13(x +1+y)=1， 所以1x+1+1y =13（1x+1+1y ）（x +1+y ） =13（2+x+1y +y x+1）≥13（2+2√x+1y ⋅y x+1）=43，当且仅当x =12，y =32时取等号．故选：C ．8．已知3a ＝6b ＝10，则2，ab ，a +b 的大小关系是（ ）A ．ab ＜a +b ＜2B ．ab ＜2＜a +bC ．2＜a +b ＜abD ．2＜ab ＜a +b 解：∵3a ＝6b ＝10，∴a ＝log 310＞2，b ＝log 610＞1，∴ab ＞2，a +b ＞2，∴1a +1b =lg 3+lg 6＝lg 18＞1，∴a +b ＞ab ，故a +b ＞ab ＞2，故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，每题全选对者得5分，部分选对得2分，其他情况不得分．9．下列四个选项中，能推出1a ＜1b 的有（ ） A ．b ＞0＞aB ．a ＞0＞bC ．a ＞b ＞0D ．0＞b ＞a 解：1a ＜1b ⇔b−a ab ＜0，由b ＞0＞a ，可得b ﹣a ＞0，ab ＜0，即有b−a ab＜0，故A 能推出； 由a ＞0＞b ，可得b ﹣a ＜0，ab ＜0，即有b−a ab＞0，故B 不能推出； 由a ＞b ＞0，可得b ﹣a ＜0，ab ＞0，即有b−a ab＜0，故C 能推出； 由0＞b ＞a ，可得b ﹣a ＞0，ab ＞0，即有b−a ab ＞0，故D 不能推出．故选：AC ． 10．设集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＝0}，N ＝{1，4}，则M ∪N 的子集个数可能为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16解：∵集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣1）＝0}，N ＝{1，4}，当a ＝1时，M ∪N ＝{1，4}，M ∪N 的子集个数为22＝4，当a ＝4时，M ∪N ＝{1，4}，M ∪N 的子集个数为22＝4，当a ≠1，且a ≠4时，M ∪N ＝{a ，1，4}，M ∪N 的子集个数为23＝8，故选：BC ．11．若函数f （x ）与g （x ）的值域相同，但定义域不同，则称f （x ）和g （x ）是“同象函数”，已知函数f （x ）＝x 2，x ∈[0，1]，则下列函数中，与f （x ）是“同象函数”的有（ ）A．g（x）＝x2，x∈[﹣1，0]B．g（x）=1x+2，x∈[﹣1，+∞）C．g（x）＝|x|，x∈[−12，1]D．g（x）＝﹣4x2+4|x|，x∈[﹣1，1]解：函数f（x）＝x2，x∈[0，1]，值域是[0，1]，对于A：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，对于B：g（x）≠0，值域不同，不是同象函数，对于C：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，对于D：g（x）的值域是[0，1]，是同象函数，故选：ACD．12．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（）A．0点到3点只打开了两个进水口B．3点到4点三个水口都打开C．4点到6点只打开了一个出水口D．0点到6点至少打开了一个进水口解：设一个进水口的进水量为y1，出水量为y2，时间为t，由图可知，y1＝t，y2＝2t，从0～3时蓄水量由0变为6，说明0～3时2个进水口均打开，出水口关闭，故A正确，3～4时蓄水量为水平线，说明水量不发生变化，又由于水池至少打开一个水口，故3～4时所有水口均打开，故B正确，4～6时蓄水量随时间增加而减少且每小时减少一个单位，故该时段应为同时打开一个出水口，一个进水口，故C错误，0～3时2个进水口均打开，3～4时所有水口均打开，4～6时同时打开一个出水口，一个进水口，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2”的否定是 ∀n ∈N ，2n ≥n 2 ．解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“∃n ∈N ，2n ＜n 2“的否定是：“∀n ∈N ，2n ≥n 2”．故答案为：“∀n ∈N ，2n ≥n 2”．14．函数f （x ）=√4−x x−1的定义域为 {x |x ≤4且x ≠1} ．解：∵f(x)=√4−x x−1∴{4−x ≥0x −1≠0解得x ≤4且x ≠1 即函数f(x)=√4−x x−1的定义域为{x |x ≤4且x ≠1}故答案为：{x |x ≤4且x ≠1}15．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里式震级标准，里式震级M 计算公式为M ＝lgA k A 0（0≤k ≤10），其中A k 是地震仪接收到的k 级地震的地震波的最大振幅（单位：米），A 0＝10﹣6（单位：米），则8级地震的最大振幅是4级地震的最大振幅的 10000 倍．解：∵M ＝lgA kA 0（0≤k ≤10）， ∴A k A 0=10M ，即A k =10−6⋅10M =10M−6， ∴A 8A 4=108−6104−6=10000．故答案为：10000．16．设x ，y 为实数，若对于满足4x 2+y 2+xy ＝10的全体x ，y ，不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立，则实数m 的取值范围是 {m |m ≤﹣1或m ≥4} ．解：∵4x 2+y 2+xy ＝10，∴（2x +y ）2﹣3xy ＝10，即（2x +y ）2﹣10＝3xy ，∵2xy ≤(2x+y 2)2，∴8xy ≤（2x +y ）2， ∴（2x +y ）2﹣10≤38（2x +y ）2，解得，（2x +y ）2≤16，故﹣4≤2x +y ≤4，当且仅当x ＝1，y ＝2或x ＝﹣1，y ＝﹣2时，等号成立，故不等式2x +y ≤m 2﹣3m 恒成立化为4≤m 2﹣3m ，解得，m ≤﹣1或m ≥4；故实数m 的取值范围是{m |m ≤﹣1或m ≥4}，故答案为：{m |m ≤﹣1或m ≥4}．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）计算：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44；（2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39． 解：（1）（13）﹣2﹣（338）13+√(−2)44＝9−32+2=192； （2）（lg 2）2+lg 5•lg 20+log√39 ＝（lg 2）2+lg 5•（1+lg 2）+4＝lg 2（lg 2+lg 5）+lg 5+4＝lg 2+lg 5+4＝5．18．（12分）设a 为实数，已知集合A ＝{x |x−3x−6＜0}，B ＝（a ，5）．（1）若a ＝﹣1，求A ∪B ； （2）若A ∩B ＝（3，5），求a 的取值范围．解：（1）A ＝{x |x−3x−6＜0}＝{x |（x ﹣3）（x ﹣6）＜0}＝{x |3＜x ＜6}，因为a ＝﹣1，所以B ＝（﹣1，5），所以A ∪B ＝（﹣1，6）．（2）因为A ∩B ＝（3，5），所以a ≤3，故a 的取值范围为（﹣∞，3]．19．（12分）设a ，b 为实数，已知关于x 的不等式ax 2﹣3x +2＜0的解集A ＝（1，b ）．（1）求a ，b 的值；（2）若B ＝{x |x 2﹣（m +1）x +m ＜0}，且A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意知，1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两根，所以{1+b =3a 1×b =2a ，解得a ＝1，b ＝2． （2）由（1）知，A ＝（1，2），B ＝{x |x 2﹣（m +1）x +m ＜0}＝{x |（x ﹣1）（x ﹣m ）＜0}，因为A ∩B ＝B ，所以A ⊇B ，当B ＝∅时，m ＝1，当B ≠∅时，B ＝{x |1＜x ＜m }，且1＜m ≤2，综上所述，实数m 的取值范围为[1，2]．20．（12分）已知函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣1． （1）求f （f （2））的值；（2）当x ∈[﹣2，3]时，求f （x ）的值域；（3）解不等式：f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10．解：（1）∵函数f （x ）={kx +1，x ≤0−3x +1，x ＞0，且f （﹣1）＝﹣k +1＝﹣1，∴k ＝2， ∴f （2）＝﹣6+1＝﹣5，∴f （f （2））＝f （﹣5）＝﹣5k +1＝﹣9．（2）当x ∈[﹣2，3]时，根据f （x ）={2x +1，x ≤0−3x +1，x ＞0， 可得当x ∈[﹣2，0]时，f （x ）＝2x +1，f （x ）∈[﹣3，1]；当x ∈（0，3]时，f （x ）＝﹣3x +1，f （x ）∈[﹣8，1 ）．综上可得，f （x ）∈[﹣8，1]．（3）由不等式f （x ）+f （x ﹣2）＜﹣10，可得{x −2＜x ≤02x +1+2(x −2)+1＜−10①，或{x −2≤0＜x −3x +1+2(x −2)+1＜−10②，或 {x −2＞0−3x +1+[−3(x −2)+1]＜−10③， 解①求得 x ＜﹣2，解②求得x ∈∅，解③求得x ＞3．综上，不等式的解集为{x |x ＜﹣2 或x ＞3}．21．（12分）如图，某社团需要在一张矩形白纸（记为矩形ABCD ）上刊登两篇招新文章．这两篇文章所占版面是两个形状、大小完全相同的直角梯形，每个直角梯形的面积为150cm 2．这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与纸张的顶部、底部和两边都留有5cm 的空白，且这两个梯形之间也留有5cm 的空白．为了美观，要求纸张所在矩形ABCD 的边AB 的长度大于边BC 的长度．设直角梯形的高为xcm ．（1）求x 的取值范围；（2）如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？解：（1）设AB ＝a ，AD ＝b （a ＞b ），梯形上底和下底的和为a ﹣3×5＝a ﹣15，所以直角梯形的面积为S =12×(a −15)x =150，解得a =300x +15，又因为b ﹣5×2＝x ，所以b ＝10+x ，因为a ＞b ，则300x +15＞10+x ，即（x ﹣20）（x +15）＜0，解得﹣15＜x ＜20，又x ＞0，所以x 的取值范围为（0，20）；（2）矩形ABCD 的面积为S ′=ab =(300x +15)(10+x)=3000x +15x +450≥2√3000x ⋅15x +450=450+300√2，当且仅当3000x =15x ，即x =10√2时取等号，所以当矩形ABCD 的长为5√2+15cm ，宽为10√2+10cm 时，纸的用量最少．22．（12分）设a 为实数，已知函数f （x ）＝x 2﹣4x +4a ﹣a 2．（1）若x 1，x 2是方程f （x ）＝0的两个不等实根，求x 12+x 22的取值范围；（2）设集合A ＝{x |f （x ）≤0}．①若A 中恰有一个整数，求a 的取值范围；②设集合B ＝{x |f （f （x ）+2）≤0}，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求a 的取值范围．解：（1）由题意f （x ）＝x 2﹣4x +4a ﹣a 2，则{x 1+x 2=4x 1x 2=4a −a 2， 且Δ＝4（a ﹣2）2＞0，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=2(a 2−4a +8)=2(a −2)2+8＞8，所以x 12+x 22＞8；（2）①由f （x ）的开口向上，对称轴为x ＝2，且判别式恒大于等于0，∴要使f （x ）≤0的解集A 中恰有一个整数，则{f(1)=−3+4a −a 2＞0f(2)=−(a −2)2≤0， 解得1＜a ＜3；②由题意A ⊆B ，又A ＝|x |2﹣|a ﹣2|≤x ≤2+|a ﹣2|，∴B ＝{x |﹣|a ﹣2|≤f （x ）≤|a ﹣2|}，f(x)min =f(2)=−4+4a −a 2=−(a −2)2≥−|a −2|，则|a ﹣2|（|a ﹣2|﹣1）≤0，∴1≤a ≤3．。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的求解问题，是基础题．2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．3．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键，比较基础．5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，4【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系应用问题，也考查了解不等式的问题，是基础题．7．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥2【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．10．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）【分析】不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．即可判断出结论．【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．∵{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜3}，∴不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件是C．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为2【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，不是定值，D不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定三相等条件的检验．12．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．【分析】由题意可得f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）f（1）＜0，且f（1）f（2）＜0，即：解得，故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，得到f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，是解题的关键．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是k＞2．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞2【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤m≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【点评】本题考查了命题的真假，不等式恒成立问题，考查了分类讨论与转化思想，是一道中档题．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为﹣2；﹣3．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．【点评】此题考查了交集、并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，属于基础题．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用对勾函数求最值是解决本题的关键．。

南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷分值：150 分 时间：120 分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,0,1}，B ={1,2,5}，则A⋂B = （ ）A ．{1}B ．{−1,0,1,5}C ．{−1,0,1,2,5}D ．{−1,0,2,5}2.不等式(x−3)(x +1)<0的解集是 （ ）A ．(−∞,−3)∪(1,+∞)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞)C ．(−3,1)D ．(−1,3)3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (1)]等于 （ ）x1234f (x )2341A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2x 2−kx +m <0的解集为(−1,t )（t >−1），则k +m 的值为 （ ）A ．−1B ．−2C ．1D ．25. 已知a,b ∈R ，则“”是“a b >1”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.若2x =5，lg 2≈0.3010，则x 的值约为 （ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6997.已知函数f (x )=ax 5+bx 3+2，若f (m )=7，则f (−m )=（ ）A.—7B.—3C.3D.78.函数y ＝x 4－2x 2的大致图象是 （ ）A .B .a bC.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上．9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是（）A.{5}B.{1,5}C.{1,3}D.{1,3,5}10. 下面命题为假命题的是（）A．若a>b>c，ac<0，则b−a>0cB．函数y＝1的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)xC．y＝x+1的最小值是2xD．y=x2与s=(t)2是同一函数11.已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是（）A.f(－3)＝4B.f(x)＝x2−2x+1C.f(x)＝x2D.f(3)＝9412. 已知函数f(x)＝{x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A.f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(－∞，4)C. f(1)＝3D.若f(x)＝3，则x的值是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京师大附中【最新】高一上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{2,4,6,8,10}A =，{4,8}B =，则A C B =（ ）. A ．{4,8}B ．{2,6}C ．{2,6,10}D ．{2,4,6,8,10}2．若21{0,,}x x ∈，则x =（ ）. A ．1 B ．1-C ．0或1D ．0或1-3．函数ln(1)y x =+-的定义域为（ ）.A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-4．下列各组的函数，()f x 与()g x 是同一个函数的是（ ）.A ．(),()f x x g x ==B ．0()1,()f x g x x ==C ．2(),()f x x g x ==D ．()1,()x f x g x x==5．已知函数2,10() ,01x x f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩，则下列图象错误的是（ ）.A ．(1)=-y f x 的图象B ．()y f x =的图象C ．()y f x =-的图象D ．()y f x =的图象6．已知2log 0x >，那么x 的取值范围是（ ）. A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1)-∞7．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个元素，则实数k 的值是（ ） A ．±2或-1B ．-2或-1C ．2或-1D ．-28．若函数2()(3)21f x k x kx =-++在(,0]-∞上为增函数，则k 的取值范围是（ ）.A ．[0,3)B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞9．已知函数21()x ax f x x++=，若对任意(1,)x ∈+∞，不等式()1f x >恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．[1,)-+∞10．若函数224,1()42,1x a x f x x ax a x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,4] B ．[3,4]C ．(1,3]D ．[4,)+∞二、多选题11．若指数函数x y a =在区间[1,1]-上的最大值和最小值的和为52，则a 的值可能是（ ）. A ．2B ．12C ．3D ．1312．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y （单位：千克）与时间x （单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）.A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品 13．下列四个说法中，错误的选项有（ ）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞上是单调增函数，在(0,)+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2yx ，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个C ．把函数22x y =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f =三、填空题14．若22,1()log ,1x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则((0))f f =_____15．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()(21)x f x x =+.则当0x >时，函数()f x =_____16．某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入. 若该公司【最新】全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过1000万元的年份是_____年.（参考数据：lg1.080.033≈）四、双空题17．已知关于x 的方程1()202xt --=有两个不等的实数根1x 和2x ，且12x x <.①实数t 的取值范围是_____； ②212x x -的取值范围是_____五、解答题18．求下列各式的值： （1）02(2)π-+-+ （2）9log 423(lg5)lg 2lg50++⨯.19．解关于x 的不等式()(1)0()x a x a R --≤∈. 20．已知集合{}{}2280,0,121xA x x xB xC x a x a x ⎧⎫=--<=>=+≤≤⎨⎬+⎩⎭.（1）求AB ；（2）若A C A ⋃=，求实数a 的取值范围.21．暑假期间，某旅行社为吸引游客去某风景区旅游，推出如下收费标准：若旅行团人数不超过30，则每位游客需交费用600元；若旅行团人数超过30，则游客每多1人，每人交费额减少10元，直到达到70人为止.（1）写出旅行团每人需交费用y （单位：元）与旅行团人数x 之间的函数关系式； （2）旅行团人数为多少时，旅行社可以从该旅行团获得最大收入？最大收入是多少？22．已知函数()131x mf x =++为奇函数. （1）求实数m 的值；（2）判断函数()f x 的单调性；（3）求不等式21(1)02f x x --+<的解集. 23．已知函数21()log [4(1)2]2x x f x k k k =⋅--++.（1）当0k =时，求函数的值域；（2）若函数()f x 的最大值是1-，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正数,a b ，当函数()f x 的定义域为[,]a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】A CB 表示A 中不包含B 的集合，容易选出答案。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）系统找不到该试题11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．2．【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．3．【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．4．【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．5．【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．6．【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．7．【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．8．【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．9．【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．10．11．【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，当且仅当即a＝1时取等号，D正确．故选：AD．12．【分析】由题意可得f（0）×f（1）＜0，f（1）×f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）×f（1）＜0，且f（1）×f（2）＜0，即：解得，故选：C．三、填空题13．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞214．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤x≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]15．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．16．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．四、解答题17．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．18．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．19．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．20．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣321．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）22．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]。

2023-2024学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x ＝3k +1，k ∈Z }，则集合A ∩B ＝（ ） A ．{0，2}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，0，2}D ．{1，﹣2}2．函数f(x)=√x 2+2x 的增区间是（ ） A ．[0，+∞）B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣∞，﹣2]D ．（﹣∞，﹣1]3．若命题“∃x ∈R ，使得x 2﹣2x +m ＝0”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．[1，+∞）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，1]4．已知幂函数f(x)=x −m2+2m的定义域为R ，且m ∈Z ，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．25．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于（﹣1，0），（2，0）两点，则关于x 的不等式cx 2+x ﹣b ＞0的解集为（ ） A ．(−12，1) B ．(−∞，−12)∪(1，+∞) C ．(−1，12)D ．(−∞，−1)∪(12，+∞)6．设n 为正整数，f(n)=1+12+13+⋯+1n，人们对于f （n ）的研究已经持续了几百年，迄今为止仍没有得到求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，f （n ）≈lnn +γ，其中γ称为欧拉﹣马歇罗尼常数，γ≈0.5772，至今还不确定γ是有理数还是无理数．由于上式在n 很大时才成立，故当n 较小时计算出的结果与实际值之间存在一定的误差，已知ln 2≈0.6931，用上式估算出的ln 4与实际的ln 4的误差绝对值近似为（ ） A ．0.03B ．0.12C ．0.17D ．0.217．函数f(x)=1+x 21−x 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知互不相同的实数x ，y ，z ，满足3x＝4y＝6z，则2z x 3−z2y 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．3二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 有下列陈述句：①247+= ；②两个全等三角形的面积相等；③ 1.x >上述语句是命题的个数为（ ） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C【解析】【分析】根据命题的定义，即可得答案；【详解】对①②，都是可以判断真假的陈述句，故①②是命题，对③，1x >不能判断真假，故③不是命题，故选：C.【点睛】本题考查命题的概念，考查对概念的理解，属于基础题.2. 已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=（ ） A. {}2,3-B. {}2,2,3-C. {}2,1,0,3--D. {}2,1,0,2,3-- 【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补公式，直接代入求解即可.【详解】先求{}1,0,1,2A B ⋃=-，{}()-2,3U A B ⋃=.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交并补运算，在高考中属于送分题，属于简单题.3. 函数2y x x 2=--的零点是（ ）A. ()1,0-B. ()2,0C. ()1,0-或()2,0D. 1-和2【答案】D【解析】【分析】函数2y x x 2=--的零点即方程220x x --=的根，解一元二次方程可得答案．【详解】函数2y x x 2=--的零点即方程220x x --=的根 ()()210x x -+=解得2x =或1x =-则函数2y x x 2=--的零点是1-和2故选：D4. 已知集合{}2,1A =-，{}2,1B m m =--，且A B =，则实数m 等于（ ） A. 2 B. 1- C. 2或1- D. 1-和2【答案】C【解析】【分析】令22m m -=，解出实数m 即可．【详解】令22m m -=，解得2m =或1-故选：C5. 已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x <<【答案】C【解析】【分析】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．6. 函数()1f x x =-的定义域是（ ） A. 4x ≤且1x ≠B. [)4,+∞C. ()(),11,4-∞⋃D. ()(],11,4-∞ 【答案】D【解析】【分析】由4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解不等式可得函数的定义域． 【详解】由4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得4x ≤且1x ≠ 故选：D7. 函数2()23f x x x =-+-，()0,3x ∈的值域为（ ） A. ()6,2--B. ()6,3--C. (]6,2--D. []6,2-- 【答案】C【解析】【分析】 利用配方法化简二次函数，求出对称轴以及端点对应的函数值，可得函数值域．【详解】()22()2312f x x x x =-+-=---开口向下，对称轴为1x =，且12f ，()36f =- 则函数的值域为(]6,2--故选：C8. 函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）. A. []22-,B. []1,1-C. []0,4D. []1,3【答案】D【解析】【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式1(2)1f x --化为121x --，解得答案．【详解】解：由函数()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，不等式1(2)1f x -≤-≤即为(1)(2)(1)f f x f ≤-≤-，又()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x ≥-≥-，即13x ≤≤，故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知下列命题中，真命题的是（ ）A. 2,10x x ∀∈+>RB. 2,1x x ∀∈≥NC. 3,1x x ∃∈<ZD. 2,3x x ∃∈=Q【答案】AC【解析】【分析】对四个选项逐个分析，可得出答案.【详解】对于A ，因为20x ≥，所以2110x +≥>，故A 是真命题；对于B ，取0x =，则01<，不满足21x ≥，故B假命题；对于C ，取0x =，满足01<，故C 是真命题；对于D ，令23x =，解得x =Q ，故D 是假命题.故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查学生的推理能力，属于基础题.10. 下列运算结果中，一定正确的是( )A. 347·a a a =B. 236()a a -=C.a = D. π=-【答案】AD【解析】【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．【详解】解：A 选项34347a a a a +==，正确；B 选项236()a a -=-，错误；C 选项当0aa =，当0a <a =-，错误；Dπ=-，正确．故选：AD ．【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．11. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若a b >，则22ac bc >B. 若23,12a b -<<<<，则42a b -<-<C. 若0,0b a m <<<，则m m a b > D. 若,a b c d >>，则ac bd > 【答案】BC【解析】【分析】 由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.【详解】解：A 项，若a b >，取0c，可得22ac bc =，故A 不正确； B 项, 若23,12a b -<<<<,可得：21b -<-<-，故42a b -<-<，故B 正确；C 项，若0,b a <<可得011b a>>，由0m <可得：m m a b >，故C 正确； C 项，举反例，虽然52,12>->-，但是5-<-4，故D 不正确；故选：BC.【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型. 12. 设正实数mn 、满足2m n +=，则下列说法正确的是( ) A. 12m n +B. 的最大值为12C. +的最小值为2D. 22m n +的最小值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式性质和“乘1法”逐项排除，注意等号成立的条件.【详解】A 选项，正实数mn 、满足2m n += 1211212()()(3)22n m m n m n m n m n ∴+=++=++13(322+≥+=，2n m m n = 当且仅当2n m m n =时，等号成立，故A 正确；B 选项，由2m n +=且0,0m n >>12m n +≤=，当且仅当1m n ==12≤，故B 正确；C 选项，由2m n +=且0,0m n >>得，222+=222]4∴≤+=2≤，故C 错误；D 选项，222()22m n m n ++≥=，故D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题注意考查基本不等式0,0)a b a b +≥>>的性质、“乘1法”.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知命题p ：“2230x x x ∀∈+->R ,”，请写出命题p 的否定：_____________【答案】2000230x x x ∃∈+-≤R ,【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，改变量词，否定结论，即可得出答案.【详解】命题p 为全称命题，其否定为：2000230x x x ∃∈+-≤R ,.故答案为：2000230x x x ∃∈+-≤R ,.【点睛】本题考查命题的否定，注意命题的否定是否定命题的结论，同时把全称量词与存在量词互换． 14. 设x ∈R ，则“2x x =”是“1x =”的_________条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空）.【答案】必要不充分【解析】【分析】利用必要不充分条件的定义可得答案．【详解】2x x =等价于1x =或0x =则2x x =不能推出1x =，而1x =可以推出2x x =即“2x x =”是“1x =”的必要不充分条件故答案为：必要不充分15. 已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则()4=f f ⎡⎤⎣⎦_________. 【答案】4-【解析】【分析】先求出()4f ，代入()4f f ⎡⎤⎣⎦可得答案．【详解】()24log 42f ==()()2422424f f f ∴==-⨯=-⎡⎤⎣⎦故答案为：4-16. 方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为_________.【答案】()3,1-【解析】【分析】 方程243x x m -+-=有四个互不相等实数根即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点，作出函数图象可得实数m 的取值范围． 【详解】方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根 即243y x x =-+与y m =-的图象有四个不同的交点 作出22243,04343,0x x x y x x x x x ⎧-+>=-+=⎨++≤⎩的函数图象如图所示：当2x =时，1y =-；0x =时，3y =，∴13m -<-<，()3,1m ∈-故答案为：()3,1-四、解答题：本题共6小题，共70分.答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 计算、化简下列各式的值：（1）()()1620434162320204349π-⎛⎫+--⨯+- ⎪⎝⎭；（2）23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯.【答案】（1）99π+；（2）1.【解析】【分析】（1）利用指数幂的性质化简求值即可;（2）利用对数换底公式求值即可.【详解】（1）60323(2020)+--1244164(3)49π-⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭10817399ππ=+-+-=+. （2）原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=.18. （1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x .（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x .（3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x . 【答案】（1）()2256f x x x =-+；（2）()23f x x =+或()29f x x =--；（3）21()33f x x x=-. 【解析】【分析】（1）用换元法，设1x t 求出x ，表示出()f t ，可得出()f x 的解析式.（2）通过()f x 为一次函数可设()f x kx b =+，然后再通过()f f x ⎡⎤⎣⎦的解析式，可求出,k b 的值.（3）由12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭可得出112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将两个方程联立可得出()f x 的解析式. 【详解】（1）令1t x =+则1x t =-. 2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+.()2256f x x x ∴=-+（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠.()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+.249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--.（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭②. 联立①式，②式 则21()33f x x x=-. 19. 已知函数()f x mx x x =-，且(2)0f =.（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶性；（2）作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调减区间；（3）求[)2,3x ∈-时函数的值域.【答案】（1）2m =，奇函数；（2）图见解析，减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞；（3）(]3,1-.【解析】【分析】（1）根据(2)0f =可求出m 的值，再根据x ∈R 分析()f x -与()f x 的关系，可判断()f x 的奇偶性. （2）将()f x 写成分段函数的形式，分别画出两段函数图像，再根据图像可得函数的单调减区间. （3）结合图像可得出函数的值域范围.【详解】（1）由函数()f x mx x x =-，且(2)0f =，可得240m -=， 2m ∴=.∴函数()2f x x x x =-，()f x 的定义域为R ，且()2()()f x x x x -=----2()x x x f x =-+=-，()f x ∴为奇函数. （2）222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥=-=⎨+<⎩. 它的图像如图所示：结合图像可得()f x 的单调减区间为(),1-∞-和()1,+∞（3）当[)2,3x ∈-时，结合函数的图像可得，()f x 的最大值为(1)1f =由于(1)1f -=-，(3)3f =-，可知[)2,3x ∈-时，函数的值域为(]3,1-.20. 关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】12a ≤<.【解析】【分析】由x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则集合B 是集合A 的真子集，解不等式化简集合A ，B ，列出不等式组可得实数a 的取值范围．【详解】因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+， 所以{}11A x a x a =-+<<+，解不等式102x x -≤-，得12x ≤<，所以{}12B x x =≤<. 因为集合B 是集合A 的真子集，所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩ 12a ∴≤<.21. 某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为48003m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？【答案】一边长50，另一边长32时造价最低为297600.【解析】试题分析：设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003xm ，又设水池总造价为y 元，总造价等于每单位造价乘以面积，所以48004800150120(2323)33y x =⨯+⨯⨯+⨯⨯，利用基本不等式求得最小值为297600，此时40x =.试题解析：设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为48003xm ，又设水池总造价为y 元， 根据题意，得 48004800150120(2323)33y x =⨯+⨯⨯+⨯⨯ 1600240000720()x x =+⨯+16002400007202297600x x ≥+⨯⋅=（元）， 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 取得最小值297600． 答：水池底面为正方形且边长为40m 时总造价最低，最低总造价为297600元．考点：应用问题，基本不等式．【方法点晴】在运用时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．实际应用问题先根据题意将函数解析式求出来，再用基本不等式求解.22. 已知2()4x f x x =+，(2,2)x ∈-. （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性；（2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数，任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，化简()()12f x f x -并判断与零的大小关系，得出结论；（2）利用函数的定义域和单调性，列出不等式组，解出实数a 的取值范围．【详解】（1）()f x 在(2,2)-上为增函数.证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <， 所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++. 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数.（2）解：由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：本题考查定义法判断函数的单调性，考查利用函数的单调性解不等式，考查学生计算能力，定义法证明单调性的步骤：1.取值，在定义域或者给定区间上任意取任取12,x x ，不妨设12x x <；2.作差，变形，对()()21f x f x -化简，通过因式分解或者配方法等，判断出差值的符号；3.定号，确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；4.判断，根据定义得出结论．。

江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有下列陈述句：①247+=；②两个全等三角形的面积相等；③1x >．上述语句是命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=（ ） A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3-- 3．函数22y x x =--的零点是（ ）A ．()1,0-B ．()2,0C ．()1,0-或()2,0D ．1-和24．已知集合{}2,1A =-，{}2,1m B m =--，且A B =，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1-和2 5．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N ⋂=（ ）A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<6．函数()f x =的定义域是（ ） A ．4x ≤且1x ≠ B ．[)4,+∞C ．()(),11,4-∞⋃D ．()(],11,4-∞⋃ 7．函数2()23f x x x =-+-，()0,3x ∈的值域为（ ）A ．()6,2--B ．()6,3--C ．(]6,2--D ．[]6,2--8．函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1C ．[]0,4D ．[]1,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知下列命题中，真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，210x +>；B ．x ∀∈N ，21x ≥；C ．x ∃∈Z ，31x <；D ．x ∃∈Q ，23x =；10．下列运算结果中，一定正确的是（ ）A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -= Ca = Dπ=-11．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23a -<<，12b <<，则42a b -<-<C ．若0b a <<，0m <，则m m a b> D ．若a b >，c d >，则ac bd >． 12．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12m n+B12 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题P ：“x R ∀∈，2230x x +->”，请写出命题P 的否定： ．14．设x R ∈，则“2x x =”是“1x =”的 条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空）．15．已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则/()4=f f ⎡⎤⎣⎦ ． 16．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算、化简下列各式的值：（1）162016(2020)449⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭ （2）23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯．18．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x ．（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x ．（3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x ． 19．已知函数()f x mx x x =-，且(2)0f =．（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶性；（2）作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调减区间；（3）求[)2,3x ∈-时函数的值域．20．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？22．已知2()4x f x x =+，(2,2)x ∈-． （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性；（2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷参考答案一、1-5 CADCC 6-8 DCD二、9．AC 10．AD 11．BC 12．ABD三、13．x R ∃∈，2230x x +-≤ 14．必要不充分 15．-4 16．()3,1-四、解答题17．【答案】解：（1）60(2020)+--1216449-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 10817399ππ=+-+-=+．（2）原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=．18．答案：（1）令1t x =+则1x t =-．2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+．（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠．()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+． 249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--．（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭． 21()33f x x x∴=-． 19．答案解：（1）由函数()f x mx x x =-，且(2)0f =，可得240m -=，2m ∴=．∴函数()2f x x x x =-，()f x 的定义域为R ，且()2()()f x x x x -=⋅---⋅-2()x x x f x =-+=-，()f x ∴为奇函数．（2）222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-=⎨+<⎪⎩． 它的图象如图所示：结合图象可得()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞．（3）当[)2,3x ∈-时，结合函数的图象可得，(1)1f -=-，(1)1f =，(3)3f =-，可知[)2,3x ∈-时，函数的值域为(]3,1-．20．【答案】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+， 所以{}11A x a x a =-+<<+， 解不等式102x x -≤-，得12x ≤<，所以{}12B x x =≤<． 因为集合B 是集合A 的真子集，所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩12a ∴≤<．21．【答案】解：容积为4800，深为3∴底面积为480016003=，设水池底面一边的长为x 米，则另一边的长为1600x米，又设总造价为y 元． 16001501600120233y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1600240000720x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0x >240000720297600y ∴≥+⨯= 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 有最小值297600元． 答：当水池的底面为边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．22．答案（1）()f x 在(2,2)-上为增函数．证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++． 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数．（2）解：；由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2020-2021南京师范大学附中树人学校高三数学上期中一模试卷附答案一、选择题1．已知等差数列{}n a 中，10103a =，20172017S =，则2018S =（ ） A ．2018B ．2018-C ．4036-D ．40362．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x x =；④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k的最大值是（ ） A ．1B ．32C ．2D ．34．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-5．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2 B ．4C ．16D ．8 7．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．368．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n+D ．2n n +9．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4-D ．(][),24,-∞-⋃+∞10．若a ，b ，c ，d∈R，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd B ．若a ＞b ，c ＞d ，则a+c ＞b+d C ．若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则c d a b> D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a ﹣c ＞b ﹣d11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 412．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ）A ．32B ．36C ．38D ．40二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且8a =，73b c +=ABC V 的面积为______．15．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 16．已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .17．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则112n na a a a a aa a +=⋅⋅⋅L _______________． 18．在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，5cos23C =，且cos cos 2a B b A +=，则ABC ∆面积的最大值为 ．19．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且asin B ＝－bsin 3A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝3c 2，求sin C 的值． 23．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1．（1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．25．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．26．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()3cos 23cos a C b c A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意首先求得10091a =，然后结合等差数列前n 项和公式求解前n 项和即可求得最终结果.详解：由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得：120171009201710092201720172017201722a a aS a +=⨯=⨯==， 则10091a =，据此可得：()12018201710091010201810091009440362a a S a a +=⨯=+=⨯=. 本题选择D 选项. 点睛：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ．当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ． 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。