江苏省南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期期中考试数学试题(PDF版)

江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上1．已知全集{}1,0,1,2U =−， {} 1,1A =−，则集合U A =（ ） A ．{0,2} B ．{}1,0− C ．{0,1}D ．{1,2} 2．“1x =”是“2540x x −+=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题“x ∃∈R ，210x x −−>”的否定是（ ）．A ．x ∃∈R ， 210x x −−<B ．x ∃∈R ，210x x −−≤C ．x ∀∈R ，210x x −−≤D ．x ∀∈R ，2 10x x −−>4．已知223x x −+=，则1x x −+的值为（ ）．AB ．1 C． D ．1±5．函数22),0,03(1x x x f x x x⎧−≤≤⎪=⎨<⎪⎩的值域为（ ）． A ．[]3,1− B ．(0),−∞ C ．(1),−∞ D ． (1],−∞6．下列四组函数中，()f x 与 ()g x （或 ()g t ）表示同一个函数的是（ ）A．()f x = ()g x x = B．()f x =2()g t = C ．22()1x x f x x +−=− ()2g x x =+ D ． ()f x x =()g t =7．已知实数0a >，0b >，且1111a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A．3+ B．1 C ．4 D．32 8．函数32()1x f x x =−的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．设集合{}220A x x x =−=，则下列表述不正确的是（ ）．A ．{}0A ∈B ．2A ∉C ．{}2A ∈D ． 0A ∈ 10．下列四个条件中，能成为 x y >的充分不必要条件的是（ ）A ．22xt yt >B ．xt yt >C ．x y >D ．110x y<< 11．下列命题中是真命题的有（ ）．A ．若函数()f x 在(0],−∞和(0,)+∞上都单调递增，则()f x 在R 上单调递增；B ．狄利克雷函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数在任意一个区间都不单调； C ．若函数 ()f x 是奇函数，则一定有 (0)0f =；D ．若函数 ()f x 是偶函数，则可能有 (0)0f =； 12．已知 1a >， 1b >，且()1ab a b −+=，那么下列结论正确的有（ ）．A ．a b +有最大值2B ．a b +有最小值2 C ．ab1 D ．ab有最小值3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13．已知0,0()1,032,0x f x x x x >⎧⎪=−=⎨⎪−<⎩，则 ()()()6f f f = ．14．已知函数53()7c f x ax bx x=+++， 3( 5)f −= ，则 ()3f = ． 15．某水果店申报网上销售水果价格如下：梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x 元， 每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%．①10x =时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付 ．元；②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x 的最大值是 ．16．()f x 为定义在R 上的偶函数，2()()2g x f x x =−在区间[0,)+∞上是增函数，则不等式() 1246()f x f x x +−+>−−的解集为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．17．已知a ，b 均为正数，证明：22a b a b b a+≥+． 18．计算：（1）12ln 249e −⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）()223lg2lg5lg20log 3log 4+⋅+⋅．19．已知二次函数 ()f x 的值域为[)4,−+∞，且不等式0( )f x <的解集为()1,3−．（1）求()f x 的解析式；（2）若对于任意的[2,2]x ∈−，都有 2() f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范围．20．某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一块面积为100平方米的矩形区域ABCD 修建花圃，规定ABCD 的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域 EFGH 用来种花，且点A ，B ，E ，F 四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB x =米，种花区域EFGH 的面积为 S 平方米． （1）将S 表示为x 的函数；（2）求 S 的最大值．21．已知集合{A y y ==，集合{}220B x x x a a =−+−<． （1）若A B A ⋃=，求a 的取值范围；（2）在A B ⋂中有且仅有两个整数，求a 的取值范围．22．设()a f x x x=+（0x >，a 为大于0的常数） （1）若 ()f x 的最小值为4，求a 的值；（2）用定义证明：()f x 在)+∞上是增函数； （3）在（1）的条件下，当1x >时，都有恒成立，求实数m 的取值范围．江苏省南京师大附中2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试题参考答案1．【答案】A ；【解析】由补集定义知选A ．2．【答案】B ；【解析】因为{}1是{}2540x x x −+=的真子集，所以“1x =”是“2540x x −+=”的充分不必要条件．3．【答案】C ；【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C ．4．【答案】C ；【解析】由()212225x xx x −−+=++=，知1x x −+=，故选C ．5．【答案】D ； 【解析】当 0x <时，1()f x x=单调递减，范围为(0),−∞，当03x ≤≤时，2()2f x x x =−在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，范围是[]3,1−，所以函数值域为(1],−∞，故选D ．6．【答案】D ；【解析】A 选项，() f x x =，故错误；B 选项，定义域不同，故错误；C 选项，定义域不同，故错误；D 选项，是同一函数，故选D ．7．【答案】B ；【解析】22(1)2a b a b +=++−=()112121a b a b ⎛⎫+++−=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭()21311b a a b +++≥+，当且仅当1a =且2b =时等号成立，故选B ． 8．【答案】A ； 【解析】 ()f x 定义域为(,1)(1,1)(1,)−∞−⋃−⋃+∞，是奇函数，当x →+∞时，()f x →+∞，故选A ．9．【答案】ABC ；【解析】{}0,2A =，故选 ABC ． 10．【答案】ACD ；【解析】A 选项，若22xt yt >，则20t ≠∣，则x y >，反之不成立，A 正确； B 选项，当0t <时，x y <，B 错误；C 选项，若x y >，由y y ≥，则x y >，反之不成立，C 正确；D 选项，1()f x x =在(0,)+∞单调递减，若110x y<<，则x y >，反之不成立，D 正确； 故选ACD ．11．【答案】BD ； 【解析】A 选项，若(),0ln ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩是一个反例，A 错误； B 选项，在任意区间I 上总可以取1x ，2x Q ∈，使()()12f x f x =，则 ()f x 在I 上不单调，B 正确； C 选项，1()f x x=是一个反例，C 错误； D 选项，2()f x x =符合要求，D 正确；故选BD ．12．【答案】BD ；【解析】法一：令a b s +=，ab t =，由题意可得2s >，1t >，1t s −=，由基本不等式s ≥，则1t −≥1t >可得2214t t t −+≥，则3t ≥+1a b ==取等；s ≥，由2s >可得2440s s −−≥，则2s ≥+，1a b ==取等； 故选BD ；法二：由()1ab a b −+=可得(1)(1)2a b −−=，令10m a =−>，10n b =−>，则222a b m n +=++≥+=+m n ==(1)(1)133ab m n mn m n m n =++=+++=++≥+，m n == 故选BD ．13．【答案】-5【解析】()()()()()60(1)5f f f f f f ==−=−．14．【答案】9；【解析】(3)(3)7714f f +−=+=，所以(3)1459f =−=．15．【答案】130；15．【解析】①608010130+−=；②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，此时有0.8(120)0.7120x ⨯−≥⨯，解得15x ≤．16．【答案】3,2⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭； 【解析】由()f x 为偶函数，可知()g x 也为偶函数，且在R 上先减再增， 由(1)(2)46f x f x x +−+>−−，可知22(1)2(1)(2)2(2)f x x f x x +−+>+−+，即(1)(2)g x g x +>+， 可知12x x +>+，解得32x <−． 17．【答案】详见解析． 【解析】法一：由基本不等式可得，222()a b b a a b b a +++≥=+ 当且仅当22a b b b a a==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，即a b =时取等， 则原式得证．法二：223322()a b a b a b a b b a b a ⎛⎫++=+− ⎪⎝⎭ 由0a >，0b >，可得0a b +>，30b a >，30a b>，0ab >，则2222222()2()a b a b a b a b ab a b b a ⎛⎫++≥++=++=+ ⎪⎝⎭， 由0a b +>可得22a b a b b a+≥+． 法三：()()()()()222222222a b a b a b a b a b a b b a a b b a b a ab ab−−−+−−+−+=+==， 由0a >，0b >可得()220a b a b b a +−+≥即22a b a b b a+≥+． 18．【答案】（1）32；（2）3． 【解析】（1）12l 2n 43322922e −⎛⎫++=+−= ⎪⎝⎭， （2）2223(lg2)lg5lg20log 3log 4(lg2lg5)23+⋅+⋅=++=．19．【答案】（1）2()23f x x x =−−；（2）7m <−【解析】（1）设2()f x ax bx c =++，由题意可知：(1)0(3)930(1)4f a b c f a b c f a b c −=−+==++==++=−⎧⎪⎨⎪⎩，解得123a b c ==−=−⎧⎪⎨⎪⎩，即2()23f x x x =−−；（2）243m x x <−−对[2,2]x ∈−恒成立，令2()43g x x x =−−，当[2,2]x ∈−，可知()[7,9]g x ∈−，故7m <−．20．【答案】（1）200102(520)S x x x=−−≤≤；（2）S的最大值为102− 【解析】（1）因为AB x =， 所以100AD x =，2EF x =−，1001FG x=−； 所以()10020021102S x x x x ⎛⎫=−−=−− ⎪⎝⎭因为020x <≤，100020x <≤，解得520x ≤≤，所以200102(520)S x x x =−−≤≤；（2）102102S ≤−=−x =所以S 的最大值为102−21．【答案】（1）01a ≤≤；（2）[1,0)(1,2]−⋃；【解析】（1）因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，因为244x x −≤，所以[0,2]A =；集合B 的不等式可化为(1)()0x a x a +−−<，①B =∅，即0∆≤，解得12a =，符合； ②B ≠∅时，即12a ≠时，此时02a ≤≤，012a ≤−≤，解得01a ≤≤且12a ≠； 综上01a ≤≤；（2）集合A 中有三个整数0，1，2，{}()(1)0B x x a x a =−+−<； 由A B ⋂中有且仅有两个整数，可得B 中有0，1，2中的两个整数； 1a a <−即12a <时，(,1)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则10a −≤<，112a <−≤，解得10a −≤<； 若仅有1，2，则01a ≤<，213a <−≤，无解；1a a =−即12a =时，B =∅，不满足题意； 1a a >−即12a >时，(1,)B a a =−， 则B 中整数仅有有0，1或仅有1，2，若仅有0，1，则110a −≤−<，12a <≤，解得12a <≤；若仅有1，2，则011a ≤−<，23a <≤，无解；综上，实数a 的取值范围是[1,0)(1,2]−⋃．。

南师附中集团2020-2021学年第一学期八年级数学期中试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．剪纸是我国最普及的民间艺术．下列剪纸作品中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列实数中，为有理数的是（）A．πB C D．03．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．3,4,5 B．5,13,15 C．7,14,25 D．8,12,204．△ABC是锐角三角形，若AB＝2，∠A＝45°，则AC的长可能是（）A．1 B．2 C3 D．45．从一个等腰三角形纸片的顶角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角等于（）A．90°B．72°C．108°D．90°或108°6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，M为AB中点．将△ACM沿CM翻折，得到△DCM(如图2)，P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合(如图3)，给出下列四个命题：①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③PC⊥BM；④∠BPC＝∠BMC．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．81的平方根是_______．8．小明体重为48.96kg，用四舍五入法将48.96kg精确到0.1kg可得近似值_____ kg．9．若等边三角形的边长是2cm，则它的高为_______cm．10．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，若S△ABD：S△ACD＝3：2，则AB：AC＝________．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点M在AB上，且∠ACM＝∠BAC，则CM的长为_______．12．如图，OP＝1，过P作PQ1⊥OP且PQ1＝1，以O为圆心，OQ1为半径画弧，交OP的延长线于P1；再过P1作P1Q2⊥OP1且P1Q2＝1，以O为圆心，OQ2为半径画弧，交OP的延长线于P2，则OP2的长为_______．13___2（填“＞”，“＜”或“＝”号）．14．如图，△ABC≌△ADE，且E在BC上．若∠DEA＝80°，则∠BED的度数为______．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，分别以AC，BC为边长，在三角形外作正方形ACFG和正方形BCED，AH⊥DE，分别交DE，BC于点H，P．若BP＝2，CP＝4，则正方形ACFG的面积为_______．16．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AC ＝6，AB ＝8，点P 是BC 上一动点，PQ ⊥BC ，△A 'B 'C '与△ABC 关于PQ 成轴对称，若重合部分是等腰三角形，则BP 的长应该满足的条件是_______．三、解答题17．（6分）求下列各式中的x（1）(2x )2＝4； （2）x 3－4＝－12．18．计算：（1；（2）()0231π+-+-． 19．（6分）如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：AD ∥BC ．20．如图，P 为∠AOB 的角平分线上的一点，PH ⊥OA ，垂直为H ．M 为PH 上一点，MN ⊥OB ，与OC ，OB 的交点分别为Q ，N ．求证：MP ＝MQ ．21．同学们在学习“探索三角形全等的条件”时，发现“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题．说明一个命题是假命题，只需要画出反例即可．如图，已知△ABC和A'B'，A'B'＝AB．请用直尺和圆规在图（2）中作△A'B'C'，使得∠A'＝∠A，B'C'＝BC，且△A'B'C'与△ABC不全等．（保留作图痕迹，不写作法）22．如图，在△ABC中，∠C＝90º，AB＝8，点D是BC上一点，AD＝BD＝5，求CD的长．23＝10＋x，其中0＜x＜1，则107＝(10＋x)2，即107＝100＋20x＋x2．因为0＜x＜1，所以0＜x2＜1，所以107≈100＋20x，解之得x≈0.35似值为10.35．的近似值（结果精确到0.01）．24．如图，PC＝PD，QC＝QD，PQ，CD相交于点E．求证：PQ⊥CD．（数学思考）已知三个点A，B和C，只允许用圆规作点D，使得C，D两点关于AB所在的直线对称．25．如图，等腰直角三角形ABC中，点D在斜边BC上，以AD为直角边作等腰直角三角形ADE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求证：BD2＋CD2＝2AD2．26．已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，两个三角形按图1所示的位置放置，点B，F重合，且点E，B，F，C在同一条直线上．如图2，现将△DEF 沿直线BC以每秒1个单位向右平移，当F点与C点重合时，运动停止．设运动时间为t秒．（1）若t＝2时，则CF的长是；（2）当t为何值时，△ADB是等腰三角形．参考答案1．B【解析】A沿水平的中间的一条直线折叠后可以将图形两部分重合，故A是轴对称图形；B找不到一条直线，使得把图形沿此直线折叠后图形的两部分能够重合，故B不是轴对称图形；C沿竖直的中间的一条直线折叠后可以将图形两部分重合，故C是轴对称图形；D沿竖直的中间的一条直线折叠后可以将图形两部分重合，故D是轴对称图形.故选B.点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图象是轴对称图形．2．D【解析】A中，π是无限不循环小数，故A是无理数；B B是无理数；C C是无理数；D中，0是整数，是有理数.故选D.；②特定结构的无限不循环小数，如0.1010010001…；③含有π的绝大部分数．3．A【解析】根据勾股定理逆定理，若a2+b2=c2，则a、b、c三条线段组成的三角形是直角三角形.A中，32+42=52，故A正确；B中，52+132≠152，故B错误；C中，72+142≠252，故C错误；D中，82+122≠202，故D错误.故选A.4．B【解析】过点B作BD⊥AC于点D，过点B作BE⊥AB，交AC于点E.如图,当点C在点D左侧时，△ABC是钝角三角形；当点C在点D和点E处时，△ABC是直角三角形；当点C在点E右侧时，△ABC是钝角三角形；当点C在点D和点E中间时，△ABC是锐角三角形，由此时A，，，选项中只有2符合此范围.故选B.5．D【解析】由题意，等腰△ABC中，从顶点A出发将△ABC剪成两个三角形，则剪痕必与底边BC相交，设交于点D.①当∠C=∠ADC时，此时∠B=∠ADC，不存在；②当∠ADC=∠CAD时，此时∠AD B=180°-∠ADC>∠BAC-∠CAD=∠BAD，且∠B≠∠ADB，则要使△ABD为等腰三角形，只有∠B=∠BAD，如图，设∠B=x，则∠C=∠BAD=x，∠ADC=∠CAD=2x，由∠B+∠BAC+∠C=180°，则x+3x+x=180°，则x=36°，则∠BAC=3x=108°；③当∠C=∠CAD时，若要使△ABD为等腰三角形，当∠B=∠BAD时，如图，此时∠B=∠BAD=∠C=∠CAD，由∠B+∠BAC+∠C=180°，则4∠B=180°，则∠B=45°，则∠BAC=90°；当∠BAD=∠ADB时，此时图形同②中成立时的情况.综上，∠BAC=90°或108°.故选D.点睛：判定三角形是等腰三角形时，可以用边相等，也可以用角相等判断，但一定要考虑全面.6．B【解析】由翻折的性质得∠A=∠D=∠PBM，∴BP∥AC，故①正确；∵在Rt△ABC中，M为斜边AB中点，∴AM=BM=CM,∴∠A=∠MCA，又∵∠A=∠D，∠MCA=∠MCD，∴∠A=∠MCA=∠D=∠MCD，∴∠BMC=∠A+∠MCA=∠MCD+∠MCA=∠PCA，∵BP∥AC，∴∠PCA=∠BPC，∴∠BPC=∠BMC，故④正确；若要使△PBC≌△PMC，则∠BCP=∠MCP，此时∠BCP=∠MCP=∠ACM=30°，则∠A=30°，题中无法确定∠A=30°，故②不一定成立；若要使PC⊥BM，则∠BPC+∠PBA=90°，又∠PBA+∠ABC=90°，则∠BP C=∠ABC，又易知∠ABC=∠BCM，∠BPC=∠ACP，则∠ACP=∠BCM，则∠BCP=∠ACM=∠MCP，则∠A=30°，题中无法确定∠A=30°，故③不一定成立.综上，①④正确.故选B.7．9 ；【解析】因为（±9）2=81，则81的平方根是±9.故答案为±9.点睛：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.8．49.0；【解析】48.96精确到0.1，则对6进行四舍五入，则48.96≈49.0.点睛：精确到某一位，对紧邻该位后的第1个数字进行四舍五入,表示近似数时，小数点最后一位如果是0，不能去掉.9【解析】=．考点：等边三角形的性质；勾股定理．点评：本题要求熟练运用等边三角形的性质及勾股定理，较为简单．10．3:2；【解析】过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，又∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=DF，又∵S△ABD=12AB·DE，S△ACD=12AC·DF，∴S△ABD：S△ACD=AB：AC=3：2.故答案为3：2.点睛：本题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.11．52；【解析】∵∠ACB＝90°，∴∠BCM=90°-∠ACM，∠B=90°-∠A，又∵∠ACM＝∠BAC，∴∠BCM=∠B，CM=AM，∴BM=CM=AM，又∵，∴CM=12AB=52.。

江苏省南京大学附属中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测数学试题一、单选题(★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A．B．C．D．(★★) 3. 《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知为上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．或(★★★) 5. 函数的图象大致为（）B．A．C．D．(★★★) 6. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度(★★) 7. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生二、多选题(★★★) 9. 已知，，下列四个结论正确的是（）A．的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象B．当时，函数取得最大值C．图象的对称中心是，D．在区间上单调递增(★★★) 10. 已知函数 f( x)＝，则下列结论正确的是（）A．函数f(x)不存在两个不同的零点B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值C．当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2(★★★) 11. 在长方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）A．A、M、N、B四点共面B．BN∥平面ADMC．直线与所成角的为D．平面平面(★★★) 12. 集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（）A．a的值可为2B．a的值可为C．a的值可为D．a的值可为三、填空题(★★) 13. 若集合，，且，则实数的值为_____(★) 14. 函数且的图象所过定点的坐标是________ .(★★★) 15. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________．(★★) 16. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________四、解答题(★★) 17. 已知函数．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间．(★★★) 18. 如图，四棱锥 S— ABCD的底面是正方形， SD 平面 ABCD，，点 E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角 C— AE— D的大小为，直线BE与平面 ABCD所成的角为，若，求的值(★★★★★) 19. 已知函数，，.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.(★★★) 20. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.（1）根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：(★★★) 21. 己知向量，，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.(★★★) 22. 已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.。

南京师范大学附属中学2020-2021学年度第一学期高三期中考试数学试题注意事项∶1.考试时间∶120分钟，试卷满分150分。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上。

3.请用0.5毫术黑色墨水的签字笔按题号在答题纸上指定区域内作答∶在其它位置作答一律无效；考试结束后，请将答题纸、卡交回。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1.已知集合(){}{}214,,2,1,0,1,2A x x x B =-<∈=--R ，则A B =（ ）A. {}1,0,1,2-B. {}0,1,2C. {}0,1-D. {}1,2【答案】B【考点】集合的交集运算【解析】由题意可知{}31|<<-=x x A ，所以A B ={}210，，，故答案选B. 2.设2i1iz +=-，则z 的虚部为（ ） A.21B. 21-C.23 D. 23-【答案】C【考点】复数的运算【解析】由题意()()()()231111212i i i i i i i z +=+-++=-+=，则z 的虚部为为23，故答案选C. 3.设,m n ∈R ，则“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【考点】抛物线的方程、逻辑用语【解析】由题意抛物线20mx ny +=可化为y m n x -=2，由焦点在y 轴正半轴上，则0>-mn，即mn <0，所以“0mn <”是“抛物线20mx ny +=的焦点在y 轴正半轴上”的充分必要条件， 故答案选C.4.设λ为实数，已知向量()()1,2,1,m n λ=-=.若m n ⊥，则向量2m n +与m 之间的夹角为（ ） A.4πB.3π C.23π D.34π 【答案】A【考点】平面向量的数量积坐标公式、数量积定义、垂直的坐标计算【解析】由题意由m n ⊥，可得021=+-λ，解得21=λ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛=211，n ，则()312，=+n m ，所以()225103211222cos =⋅⨯+⨯-=⋅+⋅+>=+<m n m m n m m n m，，因为[]π，，02>∈+<m n m ，所以向量2m n +与m 之间的夹角为4π，故答案选A. 5.春夏时期《管子·地缘篇》记载了著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；…….依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（ ）A. “宫、商、羽”的频率成等比数列B. “宫、徵、商”的频率成等比数列C. “商、羽、角”的频率成等比数列D. “宫、商、角”的频率成等比数列 【答案】D【考点】文化题：等比数列的概念【解析】由题意可设“宫”的频率为a ，则经过一次“损”，可得“徵”的频率为23a ；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为4323⨯a ，即89a ，“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率为2389⨯a ；即1627a ；最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率为431627⨯a ，即6481a ，则a ，89a ，6481a 成公比为89的等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，故答案选D. 6.若函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示，则函数()f x 图像的一条对称轴是（ ） A. 56x π=-B. 1112x π=-C. 1112x π=D. 116x π=【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数()f x 的图象可知一个对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π，而06=⎪⎭⎫⎝⎛-πf ，即另一个对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛-06，π，且为相邻的对称中心，故函数()f x 的一条对称轴为12236πππ=+-=x ，则2632πππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=T ，即π=T ，所以函数()f x 的对称轴为直线()Z k k x ∈+=212ππ，令2-=k ，解得1211π-=x ，故答案选B. 7.函数()()2e 2x f x x x x =--∈R 的图像大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数x e y =与函数x x y 22+=的图象，得到有3个交点，即函数()x f 有3个零点，则故答案选B.法二：因为()0211<--=e f ，可排除选项A 、D ；且当-∞→x ，()()-∞→+-=2x x e x f x ，排除选项C ，故答案选B.法三：因为()22--='x e x f x ，设()()22--='=x e x f x g x ，则()2-='x e x g ，令()0='x g ，可得2ln =x ，所以当2ln <x 时，()0<'x g ，则()x g ，在()2ln ，∞-上单调递减；当2ln >x 时，()0>'x g ，则()x g ，在()∞+，2ln 上单调递增，又()()02ln 222ln 222ln 2ln <-=--='=f g ，即函数()x f 有两个极值点，排除选项C 、D ；而()0211<--=e f ，所以排除选项A ，故答案选B.8.设实数k ，已知函数()e ,01,1,1x x f x x x ⎧≤<=⎨-≥⎩若函数()f x k -在区间()0,+∞上有两个零点()1212,x x x x <，则()()211x x f x -的取值范围是（ ）.A. 21,e ⎡⎤⎣⎦B. )21,e ⎡⎣ C. )2e,e ⎡⎣ D. )22,e ⎡⎣【答案】D【考点】分段函数的零点、数形结合思想【解析】如图()f x k -有两个零点，12,x x ，则[)1,e k ∈ 则1e x k =，1ln x k =，21x k -=，21x k =+， 解得()()()22111ln ln x x f x k k k k k k k -=+-=+-，令()2ln g k k k k k =+-，()()21ln 12ln g k k k k k '=--+=-， 而()12120k g k k k-''=-=>，所以()g k '在()e ，1上单调递增，则()()120g k g ''>=>， ()g k ∴在()e ，1上单调递增，且()21=g ，()2e e g =，())22,e g k ⎡∴∈⎣，故答案选D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9.某人退休前后各类支出情况如下，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面说法正确的是（ ）A. 此人退休前每月储蓄支出2400元B. 此人退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍C. 此人退休工资收入为6000元/月D. 此人退休后的其他支出比退休前的其他支出少 【答案】ACD【考点】数据的分析与整理【解析】由图可知此人退休前储蓄为8000×0.30=2400（元），故选项A 正确；此人退休前的旅行支出为8000×0.05=400（元），退休后的收入为600015.015002400=-（元），退休后的旅行支出为6000×0.15=900（元），则选项B 错误，选项C 正确；退休后的其他支出为6000×0.25=1500（元），退休前的其他支出为8000×0.2=1600（元），则选项D 正确；所以答案选ACD.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点在圆22:20O x y +=上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于M 、N 两点，若点()0,3E 满足ME ON ⊥（O 为坐标原点），下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C 的虚轴长为4B. 双曲线CC. 双曲线C 的一条渐近线方程为32y x = D. △OMN 的面积为8 【答案】BD【考点】圆锥曲线的几何性质、双曲线与圆的位置关系【解析】由题意在圆22:20O x y +=，可令y =0，可解得202=x ，即52=c ，由双曲线的渐近线方程为x aby ±=，且222c y x =+，与圆22:20O x y +=联立可得()b a M ，，所以()b a N ，-，又由ME ON ⊥，则()()03=-⋅--=⋅→→b a b a ON ME ，，，即0322=--b b a ，联立20222==+c b a ，解得b =4，a =2，所以双曲线C 的虚轴长为8x y 2±=，△OMN的面积为842221=⨯=⨯⨯=b a S ，所以答案选BD.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 、F 分别为1BB 、CD 中点，P 是棱1BC 上的动点，则下列说法正确的有（ ） A. 1A F AE ⊥B. 三棱锥1P AED -的体积与点P 位置有关C. 平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面面积为92D. 点1A 到平面1AED 的距离为2 【答案】AC【考点】立体几何的位置关系、几何体的体积、表面积、截面面积等【解析】由题意在正方体1111ABCD A B C D -中，可取AB 的中点为点M ，连结A 1M ，可得A 1M ⊥AE ，又因为A 1F 在平面ABB 1A 1的射影为A 1M ，所以A 1F ⊥AE ，故选项A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可得BC 1∥AD 1，则可得到BC 1∥平面AED 1，又因点P 在BC 1上，则点P 到平面AED 1的距离为定值，故选项B 错误；取B 1C 1的中点为点N ，则平面1AED 截正方体1111ABCD A B C D -的截面为梯形AD 1NE ，因为AE =D 1N =5，AD 1=22，NE =2，所以可得等腰梯形AD 1NE 的面积为()()292232321222252222122=⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯+⨯=S ，故选项C 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，可设点1A 到平面1AED 的距离为h ，且在△AD 1E 中，D 1E =3，AE =5，AD 1=22，由余弦定理可得，()()101052223522cos 2221=⋅⋅-+=∠AE D ，所以31010352221sin 5222111=⨯⨯⨯=∠⨯⨯=∆AE D S AED ，则由1111D AA E AED A V V --=，可得到 23131111⋅=⋅∆∆D AA AED S h S ，即222213⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅=⋅h ，解得h =34，故选项D 错误；综上答案选AC. 12.已知函数()()2cos 4x f x x x ππ=+-∈R ，则下列说法正确的有（ ）A. 直线0y =为曲线()y f x =的一条切线；B. ()f x 的极值点个数为3；C. ()f x 的零点个数为4；D. 若()()()1212f x f x x x =≠，则120x x +=. 【答案】ABD【考点】函数的切线方程、导数的几何意义、函数的零点、极值点问题综合 【解析】由题意()2sin xf x x π'=-，则022f f ππ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线()y f x =的一条切线为y =0，故A 选项正确；令()2sin 00xf x x x π'=-=⇒=，解得x =0、2π、2π-，即为3个极值点，故B 选项正确；由B 选项可作出()f x 图像大致如右图所示，结合图像可知函数图象有3个零点，故C 选项错误；因为()()()()x f x x x x x f =-+=--+-=-4cos 4cos 22ππππ，所以函数()x f 为偶函数，则D 选项正确；综上，答案选ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13.二项式62x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为________.【答案】240【考点】二项展开式项的系数【解析】由题意展开式通式为()()()2312662666661121212rr r r r r r r r rrrr x C x x C x x C T ------+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，令32312=-r ，解得r =2，则展开式中3x 的系数为()240122426=-C ，故答案为240. 14.已知α、β均为锐角，且()sin ααβ=+=cos 2β=________. 【答案】45【考点】三角函数中二倍角公式与变角应用【解析】由题意因为α、β均为锐角，且()0552cos 102sin >=+=βαα，，所以()πβα，0∈+，则()55sin 1027cos =+=βαα，，所以()[]()()=+-+=-+=αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin 011050105102552102755==⨯-⨯，则54011021sin 212cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ββ，故答案为45. 15.设,a b 为实数，对于任意的2a ≥，关于x 的不等式e ax b x +≤（e 为自然对数的底数）在实数域R 上恒成立，则b 的取值范围为________. 【答案】[)1ln 2,--+∞【考点】函数的恒成立问题综合应用【解析】由题意①当0x ≤时，e 0,e ax b ax b x ++≥∴≤恒成立，此时b ∈R ；②当0x ≤时，b ax e x +≤，取对数得，b ax x +≤ln ，即ax x b -≥ln ，因为2a ≥，则可得到ln ln 2x ax x x -≤-，∴()max ln 2b x x ≥-，令()x x x f 2ln -=，则()21-='x x f ，可得()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛210，上单调递增，在⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21上单调递减，所以()2ln 121221ln 21max --=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f ，则b ≥2ln 1--，所以b 的取值范围为[)∞+--，2ln 1. 16.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为2的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为____；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为____.【答案】32；1627π 【考点】文化题：空间几何体的的体积与表面积、内切球问题【解析】由题意可知，一个正三角形面积为132222⨯⨯⨯，该六面体是由六个边长为2的正三角形构成的，所以该六面体可看成是由两个全等的正四面体组合而成，且全等的正四面体的棱长为2，如图，在棱长为2的正四面体S ABC -中，取BC 中点为D ，连结SD ，AD ，可作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，则2261623,,2363AD SD OD AD SO SD OD =====-=，则该正四面体的体积为111323133233ABC V S SO =⋅⋅=⋅⋅=△，所以该六面体的体积为两个正四面体的体积之和21223V V ==，当该六面体内有一球，如上图，且该球体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，过球心作OE SD ⊥，则OE 就是球半径，因为SO OD SD OE ⨯=⨯，所以球半径23633696SO OD R OE SD ⨯====，所以该球表面积的最大值为23164927S ππ⎛=⨯⨯= ⎝⎭，所以答案为32；1627π. 四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17.在ABC △中，设内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos cos 4cos ,2b C c B A a +=-=. （1）求角A 的值；（2）若三角形ABC 3，求ABC △的周长. 【考点】利用正余弦定理解三角形及面积公式的应用【解析】（1） A B c C b cos 4cos cos -=+，且2=a ，∴A a B c C b cos 2cos cos -=+， 由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==得A A B C C B cos sin 2cos sin cos sin -=+，即A A C B cos sin 2)sin(-=+, 在ABC ∆中，π=++C B A ,∴)sin(sin C B A +=，∴A A A cos sin 2sin -=，在ABC ∆中，),0(π∈A ，∴0sin ≠A ，∴21cos -=A ，则32π=A .（2）334332sin21sin 21====∆bc bc A bc S ABC π，则34=bc ， 由余弦定理得：bcabc c b bc a c b A 22)(2cos 22222--+=-+=，则3422342)(2122⨯-⨯-+=-c b ，∴316)(2=+c b ， 在ABC ∆中，0,0>>c b ，∴334=+c b ，∴周长为3342+=++c b a .18.已知函数()x f x a =（a 为常数，0a >且1a ≠）（1）在下列条件中选择一个条件____（仅填序号），使得依次条件可以推出数列{}n a 为等差数列，并说明理由；∴数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列； ∴数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；∴数列(){}n f a 是首项为4，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若()*12,2na b n ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S .【考点】开放性试题：等差数列的证明、错位相减法求和 【解析】（1） 选条件∴x a x f =)(，∴n a n a a f =)(， )}({n a f 是首项为4，公比为2的等比数列，则11224+-=⨯=n n a n a ，则2log )1(2log 1a n a n n a +==+；2log 2log )1(2log )2(1a a a n n n n a a =+-+=-+，则}{n a 为等差数列. （2）当2=a 时，12log )1(2+=+=n n a n ，又 n n b )21(=，∴n n n n b a )21)(1(+=⋅∴n n n S )21)(1(...)21(5)21(4)21(3)21(24321+++⨯+⨯+⨯+⨯=----------（*）1432)21)(1()21(...)21(4)21(3)21(221+++++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ----------（**） ∴（*）减去（**）得：1432)21)(1()21(...)21()21()21(121++-+++++=n n n n S 11112)21)(3(23)21)(1()21(211)21)(1(211])21(1[)21(1+++-+-=+--+=+---+=n n n n n n n n∴n n n S 233+-=.19.如图，在四棱锥1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=︒，1AA ⊥平面ABCD ，点E 是棱BC 上一点.（1）若E 时BC 中点，求证：平面1A DE ⊥平面11CC D D ;（2）即二面角1E AD D --的平面角为θ，且1cos 3θ=，求线段CE 的长.【考点】立体几何的位置关系证明、利用空间向量表示二面角 【解析】（1）证明：如图建立空间直角坐标系11=AA ，2=AB ，BC AE ⊥∴，3=AE ，111=D A ，()0,0,0A ()1,0,01A ∴，()0,0,3E ，()1,1,01D ，()0,1,3C ，()0,2,0D()1,1,01=AD ,()0,0,3=AE ，()1,1,01-=D D ，()0,1,3-=CD设平面E AD 1的法向量为()1111,,z y x n =，平面11C CDD 的一个法向量为()2222,,z y x n =()1,1,0030001111111-=⇒⎩⎨⎧==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴n x z y AE n AD n ()3,3,1331030022*********=⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎩⎨⎧=+-=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅n z y x y x z y CD n D D n 021=⋅n n .∴平面1A DE ⊥平面11CC D D . 由（1）可设()0,,3m E ，11≤≤-m ，()0,,3m AE =∴，()1,1,01=AD设平面1EAD 的一个法向量为()0003,,z y x n =⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴003000000133z y my x AD n AE n令m x =0，30-=∴y ，30=z ，()3,3,3-=∴m n 平面1ADD 的法向量()0,0,1=n ，设3n ，4n 所成角为ϕ23316cos cos 2±=⇒=+==∴m m m ϕθ 而()0,1,3C ，2311±=-=∴m CE .20.第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA-V200W ，已知这种球的质量指标ξ（单位：g ）服从正态分布()2270,5N .比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下：比赛中以3∴0或3∴1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3∴2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为()01p p <<.（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）.（2）第10轮比赛中，记中国队3∴1取胜的概率为()f p . （∴）求出()f p 的最大值点0p ;（∴）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据：()2~,N u ζσ，则()()0.6826,220.9644p X p X μσμσμσμσ-<<+≈-<<+≈. 【考点】正态分布的应用、随机变量的概率与分布列 【解析】（1）()(]()()2260,280265,2750.96440.6826~270,5,260,2650.135922p p N p ζ--∴===所以质量指标在(]260,265内的排球个数约10000.1359136⨯≈个.（2）前三场赢两场，第四场必赢()()()()()3342313334f p p p p p f p p p ⇒=⨯⨯-=-⇒'=-()304f p p '⇒=⇒=，满足最大值点要求. （3）X 可能取的值为0、1、2、3∴3X =⇒前三场全赢，或者前三场赢两场，第四场必赢.()33233311893444256p X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2X =⇒前四场赢两场，第五场必赢.()32243181244512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴1X =⇒前四场赢两场，第五场必输.()23243127144512p X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴0X =⇒前三场全输，或者前三场赢一场.()3313131130444256p X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴X 的分布列为：21.设a 为实数，已知函数()()e e 12x x f x a a x -=++--. （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当1a ≥时，若()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围.【考点】函数的单调性（不含参）的求解、函数零点问题 【解析】（1）当2a =时，()e 2e 2x x f x x -=+--，()()()2e 2e 1e e 2e 2e 1e e x x x x x x x xf x --+--'=--==令()0f x '=是ln 2x =，()f x 的单调递减区间为(),ln 2-∞，单调递增区间为()ln 2,+∞（2）()()()()2e 1e e 1e e e 1e ex x x xx x x xa a a f x a a -+-+--'=-+-== 令()0f x '=得ln x a =且当ln x a <时，()0f x '<，()x f 单调递减；当ln x a >时，()0>'x f ，()x f 单调递增，()()()min ln 1ln 21f x f a a a a ∴==+--要使()f x 有两个不同的零点， 则首先()()()11ln 01ln 01ln 10a a a a a a ⇒--<⇒-+-<<-，e a > 当0x >时，()()()()2e e 12e 1212x x x f x a a x a x x a x -=++-->+-->+-- 此时()()()()21111220f a a a a a +>++-+-=>当0x <时，()()e e 12e 2x x x x f x a a x a --=++-->-，令0e 2ln 2x a a x -≥<--⇒取00x <且02ln x a <-知()00f x >或取02x a=-知22202e 2af a a a a ⎛⎫->->⋅⎝⎭-⎪=故e a >时满足()f x 在()0,ln x a ()ln ,1a a +上各有一个零点， 综上：a 的取值范围为()e,+∞.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为23. （1）求,a b 的值；（2）当过点()6,0P 的动直线l 与椭圆C 交于不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，问：点Q 是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由.【考点】圆锥曲线中椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系求定直线【解析】（1）由题意知222323122b c a ab a b ca =⎧⎪⇒⎨=⎪⎧=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎩⎩+（2）由P A BQ A P Q B ⋅=⋅得AP AB BP BQ =，设AP ABBP BQλ==，()()()1221,,,,,A x y B x y Q x y AP PBAQ QBλλ⎧=-⎪∴⎨=⎪⎩ 1212611x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-∴⎨+⎪=⎪+⎩①②且210y y λ-=∴×∴得22122261x x x λλ-=-由,A B 均在圆上得22122222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ∴-∴22222222121221441x x x x λλλλλ-+-⇒=-⇒=-264,3x x ∴==即Q 在直线23x =上运动.。

南京师范大学附属实验学校2023-2024学年度第一学期高一年级期中考试数学试卷分值：150 分 时间：120 分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={−1,0,1}，B ={1,2,5}，则A⋂B = （ ）A ．{1}B ．{−1,0,1,5}C ．{−1,0,1,2,5}D ．{−1,0,2,5}2.不等式(x−3)(x +1)<0的解集是 （ ）A ．(−∞,−3)∪(1,+∞)B ．(−∞,−1)∪(3,+∞)C ．(−3,1)D ．(−1,3)3.已知函数f (x )由下表给出，则f [f (1)]等于 （ ）x1234f (x )2341A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2x 2−kx +m <0的解集为(−1,t )（t >−1），则k +m 的值为 （ ）A ．−1B ．−2C ．1D ．25. 已知a,b ∈R ，则“”是“a b >1”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.若2x =5，lg 2≈0.3010，则x 的值约为 （ ）A ．2.301B ．2.322C ．2.507D ．2.6997.已知函数f (x )=ax 5+bx 3+2，若f (m )=7，则f (−m )=（ ）A.—7B.—3C.3D.78.函数y ＝x 4－2x 2的大致图象是 （ ）A .B .a bC.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对但不全的得2分，错选或不选得0分，请把答案填写在答题卡相应位置上．9.满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的集合A可能是（）A.{5}B.{1,5}C.{1,3}D.{1,3,5}10. 下面命题为假命题的是（）A．若a>b>c，ac<0，则b−a>0cB．函数y＝1的单调减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)xC．y＝x+1的最小值是2xD．y=x2与s=(t)2是同一函数11.已知f(2x＋1)＝x2，则下列结论正确的是（）A.f(－3)＝4B.f(x)＝x2−2x+1C.f(x)＝x2D.f(3)＝9412. 已知函数f(x)＝{x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A.f(x)的定义域为RB. f(x)的值域为(－∞，4)C. f(1)＝3D.若f(x)＝3，则x的值是3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省宿迁市南京师范大学附属中学宿迁分校2020-2021学年八年级上学期数学期中考试试卷一、单选题（共8题；共16分）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图，AC=DF，∠1=∠2，如果根据“ASA”判定△ABC≌△DEF，那么需要补充的条件是（）A. ∠A=∠DB. AB=DEC. BF=CED. ∠B=∠E3.等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为( )A. 16B. 18C. 20D. 16或204.下列条件中，不能判定是直角三角形的是（）A. B.C. D.5.如图，△ABN≌△ACM，AB＝AC，BN＝CM，∠B＝50°，∠ANB＝60°，则∠MAC的度数等于（）A. 120°B. 70°C. 60°D. 50°.6.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，BC=8，则△DEF的周长是（）A. 21B. 18C. 15D. 137.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A. 6B. 5C. 4D. 38.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B′ 恰好落在CD上，若∠BAD＝110°，则∠ACB 的度数为( )A. 40°B. 35°C. 60°D. 70°二、填空题（共7题；共14分）9.等腰三角形的一个内角是，则它的底角的度数为________.10.如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是________11.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC＝BC，∠ACB＝90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为________cm.12.如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，则∠BED的度数为________13.已知△ABC的三边长分别为4、4、6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画________条.14.如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距离为6，则阴影部分面积为________。

江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有下列陈述句：①247+=；②两个全等三角形的面积相等；③1x >．上述语句是命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()U A B ⋃=（ ） A ．{}2,3-B ．{}2,2,3-C ．{}2,1,0,3--D ．{}2,1,0,2,3-- 3．函数22y x x =--的零点是（ ）A ．()1,0-B ．()2,0C ．()1,0-或()2,0D ．1-和24．已知集合{}2,1A =-，{}2,1m B m =--，且A B =，则实数m 等于（ ）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1-和2 5．已知集合{}42M x x =-<<，{}260N x x x =--<，则M N ⋂=（ ）A ．{}43x x -<<B ．{}42x x -<<-C ．{}22x x -<<D ．{}23x x <<6．函数()f x =的定义域是（ ） A ．4x ≤且1x ≠ B ．[)4,+∞C ．()(),11,4-∞⋃D ．()(],11,4-∞⋃ 7．函数2()23f x x x =-+-，()0,3x ∈的值域为（ ）A ．()6,2--B ．()6,3--C ．(]6,2--D ．[]6,2--8．函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．[]1,1C ．[]0,4D ．[]1,3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知下列命题中，真命题的是（ ）A ．x ∀∈R ，210x +>；B ．x ∀∈N ，21x ≥；C ．x ∃∈Z ，31x <；D ．x ∃∈Q ，23x =；10．下列运算结果中，一定正确的是（ ）A ．347a a a ⋅=B ．()326a a -= Ca = Dπ=-11．下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若23a -<<，12b <<，则42a b -<-<C ．若0b a <<，0m <，则m m a b> D ．若a b >，c d >，则ac bd >． 12．设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ）A ．12m n+B12 C的最小值为2 D ．22m n +的最小值为2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知命题P ：“x R ∀∈，2230x x +->”，请写出命题P 的否定： ．14．设x R ∈，则“2x x =”是“1x =”的 条件（从“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”选一个填空）．15．已知函数224,02()log ,2x x x f x x x ⎧-≤≤=⎨>⎩则/()4=f f ⎡⎤⎣⎦ ． 16．方程243x x m -+-=有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．计算、化简下列各式的值：（1）162016(2020)449⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭ （2）23425log 3log 4log 5log 4⨯⨯⨯．18．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x ．（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x ．（3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f x ． 19．已知函数()f x mx x x =-，且(2)0f =．（1）求实数m 的值，并判断()f x 的奇偶性；（2）作出函数()f x 的图象，并指出()f x 的单调减区间；（3）求[)2,3x ∈-时函数的值域．20．关于x 的不等式1x a -<的解集为A ，关于x 的不等式102x x -≤-的解集为B ，若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．21．某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3m ，如果池底每21m 的造价为150元，池壁每21m 的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？22．已知2()4x f x x =+，(2,2)x ∈-． （1）用定义判断并证明函数()f x 在(2,2)-上的单调性；（2）若(2)(21)f a f a +>-，求实数a 的取值范围．江苏省南京师范大学附属实验学校2020-2021学年高一第一学期期中考试数学试卷参考答案一、1-5 CADCC 6-8 DCD二、9．AC 10．AD 11．BC 12．ABD三、13．x R ∃∈，2230x x +-≤ 14．必要不充分 15．-4 16．()3,1-四、解答题17．【答案】解：（1）60(2020)+--1216449-⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 10817399ππ=+-+-=+．（2）原式()232512log 32log 2log 5log 222⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ lg 3lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 2lg 5= 1=．18．答案：（1）令1t x =+则1x t =-．2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+．（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠．()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+． 249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--．（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭． 21()33f x x x∴=-． 19．答案解：（1）由函数()f x mx x x =-，且(2)0f =，可得240m -=，2m ∴=．∴函数()2f x x x x =-，()f x 的定义域为R ，且()2()()f x x x x -=⋅---⋅-2()x x x f x =-+=-，()f x ∴为奇函数．（2）222,0()22,0x x x f x x x x x x x ⎧-+≥⎪=-=⎨+<⎪⎩． 它的图象如图所示：结合图象可得()f x 的单调减区间为(,1)-∞-，(1,)+∞．（3）当[)2,3x ∈-时，结合函数的图象可得，(1)1f -=-，(1)1f =，(3)3f =-，可知[)2,3x ∈-时，函数的值域为(]3,1-．20．【答案】解：因为x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集， 解不等式1x a -<，得11a x a -+<<+， 所以{}11A x a x a =-+<<+， 解不等式102x x -≤-，得12x ≤<，所以{}12B x x =≤<． 因为集合B 是集合A 的真子集，所以112121a a a a -<⇒<⎧⎨+≥⇒≥⎩12a ∴≤<．21．【答案】解：容积为4800，深为3∴底面积为480016003=，设水池底面一边的长为x 米，则另一边的长为1600x米，又设总造价为y 元． 16001501600120233y x x ⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯ ⎪⎝⎭1600240000720x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 0x >240000720297600y ∴≥+⨯= 当且仅当1600x x=，即40x =时，y 有最小值297600元． 答：当水池的底面为边长为40米的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．22．答案（1）()f x 在(2,2)-上为增函数．证明：任取1x ，2(2,2)x ∈-，且12x x <，所以()()1212221244x x f x f x x x -=-++()()()()21122212444x x x x x x --=++． 因为1222x x -<<<，所以210x x ->，1240x x -<则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在(2,2)-上为增函数．（2）解：；由（1）知，()f x 在(2,2)-上单调递增，又(2)(21)f a f a +>-，所以222,2212,221,a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩解得40,13,223,a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩ 即102a -<<， 所以a 的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

2020-2021学年第一学期期中调研测试九年级 数学（试题满分：150分 考试时间：120分钟）一，选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列是一元一次方程的是()A. X ²−2x −3=0B. 2x+y=5C. x ²+1x=1D. x+1=02.圆心角为60°,半径为1的弧长为()A. Π²B. πC.6πD. 33.若关于x 的一元二次方程（m-1）x ²+2x+m ²-1=0有一个根为0，则m 的值是（ ）A. 1B. -1C. ±1D. ±24.下列说法中，不正确的是（ ）A.直径是最长的弦.B.同圆中，所有的半径都相等.C.圆既是轴对称图形又是中心对称图形.D.长度相等的弧是等弧.5.如果2是方程x ²−3x+k=0的一个根,则此方程的另一根为()A. 2B. 1C. −1D. −26.疫情期间，某口罩厂一月份的产量为100万只，由于市场需求量不断增大，三月份的产量提高到121万只，该厂二、三月份的月平均增长率为（ ）A.12%B.20%C.21%D.10%7.如图，的半径等于4，如果弦所对的圆心角等于90°，那么圆心O 到弦的距离为（ ）A ．B ．2C ．D ．8如图，点A ，B 的坐标分别为A(2,0),B(0,2),点C 为坐标平面内一点，BC=1,点M 为线段点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A. +1B. +21C. 2√2+1D. 22-21二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分）9.已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为___.10.已知(m −3)x ²−3x+1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是___.11.已知⊙O 的半径是3,OP=22，则点P 与⊙O 的位置关系是：点P 在⊙O___.12.若m 是方程x ²+x −1=0的一个根,则代数式2019−m ²−m 的值为___.13.已知x 为实数,且满足(x ²+3x)²+(x ²+3x)−6=0,则x ²+3x 的值为__14.已知圆锥的底面半径为4cm,母线长为6cm,则它的侧面积等于___cm ².15.如图所示△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠BAC 与∠BOC 互补则∠BOC 的度数为16.如图，点A为⊙O上一点，点P为AO延长线上一点，PB切⊙O于点B，连接AB，若∠APB=40°，则∠A的度数为_______．17.如图，扇形的圆心角为90°，半径OC=2，∠AOC=30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是___．18.中，AB为弦，交AB于AB点D，且OD=DC，P为上任意一点，连接PA，PB，若的半径为1，则的最大值为_____.三．解方程（共10小题，共96分）19.（8分）(1)(x−1)²=4； (2)2x²−4x+1=0.20.（8分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具。

南京师大附中2020学年度第一学期高三年级期中考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1、已知集合A={x|0<x<2,x ∈R},B={x|x 2≤1},则A ∩B= 。

2、“x=y ”是“|x|=|y|”的 条件。

（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）3、已知4(,0),cos ,tan 225x x x π∈-==则 。

4、在复平面内，复数12z i=+对应的点位于第 象限。

5、在等比数列{a n }中，若a 7a 9=4,a 4=1,则a 12= 。

6、已知符号函数sgnx=1,00,01,0x x x >⎧=⎨⎩-<,则不等式（x+1）sgnx>2的解集是 。

7、已知向量a ,b 满足|a|=1,|b|=3,a 、b 之间的夹角为600，则a ·(a +b )= 。

8、已知数列{a n }的各项都为正数，它的前三项依次为1,a+1,2a+5,则数列{a n }的通项公式a n = 。

9、△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c=3,C=3π,a=2b,则b 的值为 。

10、曲线2xy x =+在点(-1,-1)处的切线方程为 。

11、已知函数y=sin(ωx+ψ)(ω>0,|ψ|<π)的图像如图所示，则ψ= 。

12、在△OAC 中，B 为AC 的中点，若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，则x-y= 。

13、定义在R 上的函数f(x)满足f(4)=1,f ’(x)为f(x)的导函数，已知y=f ’(x)的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足f(2a +b)<1，则11b a ++14、某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种在点P k (x k ,y k )处，其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时，111215[()()]5512()()55k k k k k k x x T T k k y y T T ----=+--⎧⎨--⎩=+-，T(a)表示非负实数a 的整数部分，例如T （2.6）=2，第11题图T （0.2）=0。

江苏省南京大学附属中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设集合122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}21B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}12x x -≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<2．设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )A ．1-B ．1C ．2D ．43．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（ ） A ．1191077B ．160359C ．9581077D ．2893594．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或25．函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．函数()()sin 2f x x πωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()sin3g x x =的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度7．已知1213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1ln 3=b ，13=c e ，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>8．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生二、多选题9．已知()sin 2f x x =，()cos2g x x =，下列四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的图象向左平移2π个单位长度，即可得到()g x 的图象B ．当8x π=时，函数()()f x g x -C ．()()y f x g x =+图象的对称中心是,028k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈D ．()()y f x g x =⋅在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．已知函数f (x )＝21xx x e+-，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f (x )不存在两个不同的零点 B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e <k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝25e，则t 的最大值为2 11．在长方体1111ABCD A B C D -中，142AA AB BC M N ===，，，分别为棱111C D CC ，的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．A 、M 、N 、B 四点共面B ．BN ∥平面ADMC ．直线BN 与1B M 所成角的为60D ．平面ADM ⊥平面11CDD C12．集合(){}|0A x y x y a a =+=>，，，(){|1}B x y xy x y =+=+，，若AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（ ）A ．a 的值可为2B ．aC ．a 的值可为2+D ．a 的值可为2-三、填空题13．若集合{}260M x x x =+-=，{}10N x mx =+=，且M N N =，则实数m的值为_____14．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________.15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与 丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________．16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________四、解答题17．已知函数2()2cos ()sin 212f x x x π=++．（1）若()1,(0,)f ααπ=∈，求α的值； （2）求()f x 的单调增区间．18．如图，四棱锥S —ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD a =，AD =点E 是SD 上的点，且(02)DE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有AC BE ⊥ （2）设二面角C —AE —D 的大小为θ，直线BE 与平面ABCD 所成的角为ϕ，若sin cos ϕθ=，求λ的值19．已知函数ln ()m xf x x+=，m R ∈，1x >. （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围.20．在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.（1）根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为ξ，求随机变量ξ的期望；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++21．己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-. （1）当63x ππ-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22．已知函数()log a f x x =（0a >，且1a ≠），且()31f =. （1）求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；（2）设函数()()()11g x f x f x =+--，试判断()g x 的奇偶性，并说明理由； （3）若不等式()()42xxf t f t ⋅≥-对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围.参考答案1．A 【分析】先解不等式，化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以{}12A B x x ⋃=-≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．C 【详解】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为 （,y x --），由已知（,y x --）在函数2x ay +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C ． 考点：函数求解析式及求值 3．C 【分析】首先明确两类灯球的个数，再利用古典概型及对立事件求出结果． 【详解】设一大二小与一大四小的灯球数分别为,x y ，则360241200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得120240x y =⎧⎨=⎩，若随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是一大四小的概率为2120236095811077C C -=. 故选C本题以古文化为背景，考查了古典概型公式，考查了对立事件的概念，考查了学生逻辑推理能力及运算能力，属于基础题． 4．A 【分析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>.综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．A 【分析】先判断函数的奇偶性，再求导判断函数的单调性解：函数的定义域为R ，因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=-+--=+=， 所以()f x 为偶函数，图像关于y 轴对称，所以排除B ， 设()()'sin 1cos 0g x x g x x x +⇒+=≥=， 所以当0x >时，()()00g x g >=所以'()2sin cos (sin )(1cos )0f x x x x x x x x x =++=+++>， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以排除B ，D ， 故选：A 【点睛】此题考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题 6．C 【分析】利用图象求出函数()y f x =的解析式，利用三角函数图象变换的基本原则可得出结论. 【详解】由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为5241243T πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， 不妨设0>ω，则23Tπω==，当512x π=时，函数()y f x =取得最小值，则()5332122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，得()24k k Z πϕπ=+∈， 2πϕ<，所以，0k =，4πϕ=，则()sin 3sin 3412f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，为了得到函数()sin3g x x =的图象，只需将函数()y f x =的图象向右平移12π个单位长度， 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，同时也考查了利用图象求解正弦型函数的解析式，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7．B 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别判定a ，b ，c 的范围，即可得出结果. 【详解】因为12110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1ln ln103b =<=，0131c e e >==， 所以c a b >>. 故选：B. 【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型. 8．C 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案． 【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样. 9．CD 【分析】对选项逐一验证，即得答案. A 项，求出()f x 向左平移2π个单位长度后的函数解析式，可得A 的正误；B 项，令()()()h x f x g x =-，由辅助角公式可得()24h x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，从而可判断B 的正误；C 项，由辅助角公式可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求其对称中心，从而可判断C 的正误；D 项，由倍角公式可得1sin 42y x =，可判断它在区间3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，可得D 的正误. 【详解】A 项，()f x 的图象向左平移2π个单位长度可得()sin 2sin 2sin 22y x x x ππ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，而()cos2g x x =，故A 错误.B 项，令()()()h x f x g x =-，则()sin 2cos 224h x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当8x π=时，20884h πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.C 项，sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.令2,4x k k Z ππ+=∈，,28k x k Z ππ∴=-∈. ∴函数()()y f x g x =+图象的对称中心是8,0,2k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故C 正确. D 项，1sin 2cos 2sin 42y x x x ==.当3,82x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时函数1sin 42y x =单调递增，故D 正确.故选：CD . 【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题. 10．BCD 【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，最后直接判断选项. 【详解】A.()2010f x x x =⇒+-=，解得12x -±=，所以A 不正确； B.()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-， 当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确.C.当x 趋向于+∞时，y 趋向于0，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D.由图像可知，t 的最大值是2，所以正确. 故选：BCD . 【点睛】本题考查了用导数分析函数的单调性、极值点，以及函数的图像等知识点，考察运算求解能力，属于基础题型. 11．CD 【分析】由空间中点与面的位置关系，直线与平面、平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案. 【详解】对于A ，A 、B 、M 在平面11ABC D 内，N 在平面11ABC D 外，故A 错误； 对于B ，若//BN 平面ADM ，又//BC 平面ADM ，则平面11//BCC B 平面ADM ，而平面11//BCC B 平面11ADD A ，矛盾，故B 错误． 对于C ，如图，取CD 中点E ，连接BE ，NE ，可得1//BE B M ，EBN ∠为直线BN 与1B M 所成角， 由题意可得BEN 为等边三角形，则60EBN ∠=︒，故C 正确；对于D ，在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11CDD C ，AD ⊂平面ADM ， ∴平面ADM ⊥平面11CDD C ，故D 正确 故选：CD. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，属于中档题. 12．BC 【分析】确定集合A 表示以四个点()0a ，，()0a -，，()0a -，，()0a ，为顶点的正方形，如在第一象限直线方程为x y a +=，在第四象限直线方程为x y a -=，集合B 表示四条直线1x =±和1y =±，它们有八个交点，是正八边形的八个顶点，求出交点坐标（只需相邻三个即可，题中求出了四个），由边长相等可求得a ． 【详解】集合A 表示以四个点()0a ，，()0a -，，()0a -，，()0a ，为顶点的正方形， 集合B ：()()1101x y x --==±，或1y =±，所以当A B 是平面上正八边形的顶点所构成的集合时，y 轴右边的4个交点为()11a -，，()11a -，，()11a -，，()11a -，-，21a =-，解得a =舍去），2=，解得2a =2-， 故选：BC ． 【点睛】本题考查集合交集的概念，正确理解集合的意义是解题关键． 13．0或12-或13【分析】先化简集合{}3,2M =-，再由M N N =，得到N M ⊆，分N =∅，和N ≠∅两种情况，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2603,2M x x x =+-==-，又M N N =，所以N M ⊆，若N =∅，则方程10+=mx 无解，只需0m =， 若N ≠∅，则{}110N x mx m ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭， 因为N M ⊆，所以只需13m -=-或12m-=，解得13m =或12m =-. 故答案为：0或12-或13. 【点睛】本题主要考查由交集的结果求参数，属于基础题型. 14．()1,0 【分析】由log 10a =知431x -=，解出x ，进而可知图象所过定点的坐标 【详解】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,0【点睛】本题考查对数函数的性质，属于简单题． 15．43钱 【解析】分析：根据条件列出等差数列相关条件，再根据基本量关系求首项. 详解：等差数列{}n a 前五项和为5，前两项和与后三项和相等，求首项，因为5123455S a a a a a =⎧⎨+=++⎩，所以11111115545,2234a d a a d a d a d a d⎧+⨯⨯=⎪⎨⎪++=+++++⎩ 1112114,=8063a d d a a d +=⎧∴=-⎨+=⎩，因此甲所得为43钱. 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用. 16．y = 【分析】由双曲线离心率公式可得223b a=，再由渐近线方程即可得解.【详解】因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2e ===，所以223b a =，所以该双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故答案为：y =. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的应用及渐近线的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.17．（1）522336πππαππα∴+==或即或； （2）()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 【详解】先通过降幂公式和三角恒等变换公式把f(x)转化成()sin(2)13f x x π=++.(1)再根据()1,(0,)f ααπ=∈,建立关于α的三角方程，求出α的值. （2）根据正弦函数的单调增区间求出f(x)的单调增区间.（1）；7(0,)(2)(,)333πππαπα∈+∈又即522336πππαππα∴+==或即或（2）()f x 单调递增，故2[2,2]()322x k k k Z πππππ+∈-+∈，即5[,]()1212x k k k Z ππππ∈-+∈， 从而()f x 的单调增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈．18．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出,AC BE ，证明0AC BE ⋅=即可；（2）利用向量法表示出sin ,cos ϕθ，即可建立方程求解. 【详解】（1）证法：以D 为原点，,,DA DC DS 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),,0,0),,0),,0),(0,0,)D A B C E a λ，∴(2,2,0),(2,,)AC a a BE a a λ=-=- ∴222200AC BE a a a λ⋅=-+⋅=，即AC BE ⊥；（2）由（1）得(2,0,),(0,2,),(2,,)EA a a EC a a BE a a λλλ=-=-=-. 设平面ACE 的法向量为(,,)n x y z =，则由,n EA nEC ⊥⊥得00n EA n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00z z λλ-=-=， 取2z =，得(,,n λλ=·易知平面ABCD 与平面ADE 的一个法向量分别为()0,0,2DS a =与()0,,0DC =.2sin ,cos 4DC n DS BE DS BEDC nϕθλ⋅⋅∴====⋅⋅+sin cos φθ=22λ=⇔=.由于(0,2]λ∈，解得λ=.【点睛】本题考查空间直线垂直的证明，考查空间角的求解，属于中档题. 19．（1）见解析；（2）12m ≥ 【解析】分析：（1）求出导函数21ln '()m xf x x--=，对m 分类讨论得出'()f x 正负，从而得()f x 的单调区间；（2）不等式为()2ln 1x m x <-，1x >恒成立，然后构造函数()()2ln 1,1g x x m x x =-->，问题转化为()max 0g x <，利用()g x 的导函数求得最大值，注意对m 分类讨论，再解不等式可得．详解：（1）()21ln 'm xf x x--=，1x > 当10m -≤时，即1m ≥时，1ln 0m x --≤在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 的单调减区间是[)1,+∞，无单调增区间．当10m ->时，即1m <时，由()'0f x >得()11,mx e -∈．由()'0f x <，得()1mx e ，-∈+∞，所以()f x 的单调减区间是()1me-+∞，，单调增区间是(11,m e -⎤⎦（2）由题意，()2ln 1x m x <-，1x >恒成立，()()2ln 1,1g x x m x x =-->，()max 0g x <()21122,1mx g x mx x x x-='-=>()()()()()00(1),1,1,10,m g x x g x x g x g ≤>>+'∞∴>>=①时，在递增舍去()()()()()10(1),1,21,10,m g x x g x x g x g ②时，在递减成立≥<>+∞∴><=' ()()()()()100(1),2,0,10m g x x x x g x g x g x g <<=>=⎛∴∈>>= ⎝''③时，递增，舍去综上，12m ≥．点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调性、最值，考查导数证明不等式，意在考查学生 对这些知识的掌握能力和分析推理能力转化能力. (2)解答本题的难点在于第2问中要构造新函数然后求函数的最大值，体现的主要是转化的思想． 20．（1）答案详见解析，有99%的把握；（2）95；（3）方案二.【分析】（1）根据已知数据得出列联表，再根据独立性检验得出结论； （2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为35P =，知ξ服从二项分布，即3(3,)5B ξ，可求得其期望和方差；（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元，若选方案二，设实际付款X 元，，则X 的取值为1200，1080，1020，求出实际付款的期望，再比较两个方案中的付款的金额的大小，可得出选择的方案. 【详解】（1）由已知得出联列表：所以2260(1081230)7.033 6.63522384020K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有99%的把握认为“手机支付族”与“性别”有关；（2）有数据可知，女性中“手机支付族”的概率为123205P ==， 3()5B ξ∴3, ，3()35E ξ=⨯=95（3）若选方案一，则需付款12001001100-=元若选方案二，设实际付款X 元，则X 的取值为1200，1080，1020，()020********=224P X C ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()11121111080==222P X C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2221111020=224P X C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1111200108010201095424E X ∴=⨯+⨯+⨯=11001095>∴，选择第二种优惠方案更划算【点睛】本题考查独立性检验，二项分布的期望和方差，以及由期望值确定决策方案，属于中档题. 21．（1）最大值为2，此时6x π=；最小值为－1，此时6x π=-. （22m ≤<【分析】（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ-≤≤时，解出26x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值；（2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围. 【详解】解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =⋅=+.根据()y f x =的图象过点12π⎛ ⎝和2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得到sin cos 66442sin cos33m n m n ππππ=+⎨⎪-=+⎪⎩，解得m ，1n =.()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭当63x ππ-≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x 最大值为2，此时6x π=，()f x 最小值为－1，此时6x π=-.（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位得2sin 22sin 2463y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π⎛⎫=-⎪⎝⎭令23x t π=-，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦sin 1t ≤<时， ()g x m =在[]0,2π有两个不同的解2sin 223x π⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭2m ≤<.【点睛】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型.22．（1）3a =；0,；（2）奇函数；答案见解析；（3）2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）解方程()3log 31a f ==即得函数的解析式和定义域；（2）先求出函数()g x 的定义域，再利用奇函数的定义判断函数的奇偶性； （3）等价于2114122x x x xt ≥=++，令122x x y =+，利用函数的单调性求函数的最小值即得解.【详解】（1）()3log 31a f ==，3a =；()()3log 0f x x x =>（2）()()()11g x f x f x =+--∴1010x x +>⎧⎨->⎩∴11x -<< ()()()()11g x f x f x g x -=--+=-∴()g x 为奇函数；（3）()3log f x x =∴()f x 是单调递增函数()()42x x f t f t ⋅≥-∴420x x t t ⋅≥->∴()412x x t +≥∴2114122x x x xt ≥=++ 令122xx y =+，[]1,2x ∈时该函数为增函数， ∴min 15222y =+=∴12552t ≥= 又∵20x t ->∴()min 22x t <=. 综上2,25t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】 本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的奇偶性的判定，考查不等式的恒成立问题和函数最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。