江苏省南京市南京师范大学附属中学2021届高三考前模拟考试数学试题

2020-2021学年江苏省南京市师范大学附属实验学校高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的单调递减区间是( )A. B. C. D.参考答案：D2. 执行如图所示的程序框图，若输出的S值为－4，则条件框内应填写（）A. B. C. D.参考答案：D：第1次运算：，第2次运算：，第3次运算：，符合结束要求；这是一个当型循环，故选D3. 已知为不同的直线，为不同的平面，则下列说法正确的是A.B. C.D.参考答案：【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系．G4 G5【答案解析】D 解析：A选项可能有，B选项也可能有，C选项两平面可能相交，故选D.【思路点拨】分别根据线面平行和线面垂直的性质和定义进行判断即可．4. 设函数的导函数为，若为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则的图像可能为（）A．B．C. D．参考答案：C5. 设为虚数单位，则复数等于（）A．B．1－C．－1＋D．－1－参考答案：C略6. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（A）若则（B）若则（C）若，则（D）若，则参考答案：D略7. 设第一象限内的点（）满足若目标函数的最大值是4，则的最小值为（A）3 （B）4 （C）8 （D）9参考答案：B8. 对于函数，当实数属于下列选项中的哪一个区间时，才能确保一定存在实数对（），使得当函数的定义域为时，其值域也恰好是A．B．C．D．参考答案：D略9. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 ( )Ａ.２Ｂ. －２Ｃ.Ｄ.参考答案：A略10. 若直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，则点P（a，b）的位置是（）A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】根据直线与圆的位置关系，得到圆心到直线的距离大于半径，得到关于a，b的关系式，这个关系式正好是点到圆心的距离，得到圆心与点到距离小于半径，得到点在圆的内部．【解答】解：∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相离，∴，∴，∴点P（a，b）到圆心的距离小于半径，∴点在圆内，故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系，本题解题的关键是正确利用点到直线的距离公式，本题是一个基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域为．参考答案：12. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是参考答案：13. 已知函数,若,则.参考答案：或因为，所以，即，所以，即，解得或。

2021届江苏省南京师大附中高三上学期12月模拟数学试题一、单选题1．已知集合{}42M x x =-<<，{}2560N x x x =--<，则M N ⋃=（ ） A ．{}42x x -<< B ．{}42x x -<< C ．{}46x x -<< D ．{}26x x <<【答案】C【分析】根据不等式的解法，求得集合{}16N x x =-<<，结合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式256(6)(1)0x x x x --=-+<，解得16x -<<，即{}16N x x =-<<，又由{}42M x x =-<<，所以M N ⋃={}46x x -<<. 故选：C.2．若2z i =+，则22z z -=（ ）A ．0BCD 【答案】B【分析】计算出22z z -，然后根据复数模的计算方法可得结果. 【详解】由2z i =+，所以2222434z i i i =++=+ 所以()23422122z z i i i +-⨯+=--+=故2212z z i -=-+==故答案为：B3．已知,a b ∈R ，下列四个条件中，使a b <成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1a b <- B ．1ab +C ．22a b <D ．33a b <【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与a b <的关系，可得答案．【详解】解:A 选项: 因为1a b a b <-⇒<,1a ba b <<-所以1a b <-是a b <的充分不必要条件； B 选项:因为1ab a b +<,且1a b ab <+,所以1ab +是a b <的既不充分也不必要条件； C 选项:22a b a ba b <⇒<<，且22a ba b <<，所以22a b <是a b <的既不充分也不必要条件；D 选项33b a a b <⇔<，所以33a b <是a b <的充要条件； 故选:A4．赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方程”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图是一张弦图，已知大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，若直角三角形较小的锐角为α，则tan2α的值为（ ）A ．34B ．2425C ．127D ．247【答案】D【分析】首先根据题意设三角形较短的直角边为x ，则较长的直角边为1x +，从而得到()22125x x ++=，即可得到3x =，再计算tan α，tan2α即可. 【详解】设三角形较短的直角边为x ，则较长的直角边为1x +， 所以()22125x x ++=，解得3x =或4x =-（舍去）. 所以3tan 4α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==-. 故选：D5．函数ln ||()x f x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的定义域和奇偶性，利用对称性和函数值的符号进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠， ||()()ln x f x x f x x-=-+=-，则()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除BC ， 当0x >时，2()lnx x lnxf x x x x-=-=， 当0x >时，令()2g x x lnx =-，()22221212x x x g x x x x x⎛- -⎝⎭⎝⎭'=-==，当22x >时()0g x '>，即()g x 在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，当202x <<时()0g x '<，即()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，所以22x =时函数取得极小值，即最小值，()2min22211ln 2022g x g ln ==-=+>⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2x lnx >恒成立； 则此时()0f x >恒成立，排除D ， 故选：A ．6．已知随机变量X 的概率分布如表所示. X -1a1P16 1312当a 在(1,1)-内增大时，方差()D X 的变化为（ ） A ．增大 B ．减小 C ．先增大再減小 D ．先减小再增大【答案】D【分析】求出期望与方差，即可判断方差的单调性．【详解】解：由分布列可得1111()11(1)6323E X a a =-⨯+⨯+⨯=+，所以222111111()[1(1)][(1)][1(1)]363332D X a a a a =--+⨯+-+⨯+-+⨯21(225)9a a =-+， 所以当a 在1(1,)2-内增大时，()D X 减小， 当a 在1(2，1)内增大时，()D X 增大．故选：D ．7．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，连接AC ，MN 交于点P .已知13AP AC =且34AM AB =，若AN AD λ=，则实数λ的值为（ ） A ．12B ．35C ．23D ．34【答案】B【分析】由条件可知43AB AM =，1AD AN λ=，因为13AP AC =，代入AB 和AD ，利用三点共线，系数和为1，可求出λ的值. 【详解】34AM AB =，则43AB AM = AN AD λ=，则1AD AN λ=1141()3393AP AC AB AD AM AN λ==+=+ ∵P ，M ，N 共线，∴41193λ+=，∴35λ= 故选：B.【点睛】思路点睛：（1）点为两直线的交点，可利用向量共线的方法，先利用一条向量共线求出等量关系，再代入另一条向量共线，根据系数和为1，可求出参数值. （2）若,,P B D 三点共线，点A 为线外一点，则有AP AB AD λμ=+，且1λμ+=. 8．三棱锥A BCD -中，60ABC CBD DBA ∠=∠=∠=︒，2BC BD ==，ACD △） A ．16π B ．4πC ．163π D ．323π 【答案】D【分析】利用三角形全等和三角形的面积公式求出高AE ，求解直角三角形得,AC AD ，利用余弦定理得出90ACB ADB ∠=∠=，可得AB 为三棱锥外接球的直径，即可求出外接球体积. 【详解】2BC BD ==，60CBD ∠=︒，2CD ∴=，又,60,AB AB ABC DBA BC BD ====，ABC ABD ∴≅，则AC AD =，取CD 中点E ，连接AE ，又由ACD △的面积为11，可得ACD △的高11AE =， 则可得23AC AD ==，在ABC 中，由余弦定理2222cos60AC AB BC AB BC ⋅⋅-=+，21124222AB AB ∴=+-⨯⨯⨯，解得4AB =，则222AC BC AB +=，可得90ACB ∠=，90ADB ∴∠=，,AC BC AD BD ∴⊥⊥，根据球的性质可得AB 为三棱锥外接球的直径，则半径为2， 故外接球的体积为3432233ππ⨯=. 故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥外接球体积的求法，解题的关键是求出AB ，并判断出AB 为三棱锥外接球的直径.二、多选题9．某城市为了解景区游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年2月至7月A ，B 两景区旅游人数（单位：万人），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A ．根据A 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数的平均值在[34,35]内B ．根据B 景区的旅游人数折线图可知，该景区旅游人数总体呈上升趋势C ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得A 景区旅游人数极差比B 景区大D ．根据A ，B 两景区的旅游人数的折线图，可得B 景区7月份的旅游人数比A 景区多 【答案】ABD【分析】由折线图计算可得平均值和极差，知AC 正误；根据折线图走势和7月份数值，知BD 正误.【详解】对于A ，A 景区旅游人数平均值为[]14202645643634.234,356+++++≈∈，A 正确；对于B ，由B 景区折线图可知，该景区旅游人数逐月递增，即总体呈上升趋势，B 正确； 对于C ，A 景区极差为641450-=，B 景区极差为63261-=，B 景区极差大，C 错误；对于D ，B 景区7月份旅游人数为63万人，A 景区7月份旅游人数为36万人，可知B 景区7月份旅游人数比A 景区多，D 正确. 故选：ABD.10．已知F 为抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 3的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 第一象限），交拋物线的准线于点C ，则下列结论正确的是（ ） A ．AF FC = B ．2AF BF =C ．3AB p =D ．以AF 为直径的圆与y 轴相切【答案】AD【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10y >，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，求出A 、B 的坐标，利用平面向量的坐标运算可判断A 选项的正误，利用抛物线的焦半径公式可判断BD 选项的正误，利用抛物线的焦点弦长公式可判断C 选项的正误.【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则10y >，易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线l的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，即2p x y =+，联立2322px y y px ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去x2220py -=，10y >，解得1y =，23y p =-，所以，211322y x p p ==，同理可得216x p =，即点32p A ⎛⎫⎪⎝⎭、1,6B p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 对于A选项，联立322p x y px ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2p x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即点,2p C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，(),AF p =-，(),FC p =-，则AF FC =，A 选项正确； 对于B 选项，122p AF x p =+=，112623BF p p p =+=，则2AF BF ≠，B 选项错误；对于C 选项，1283AB x x p p =++=，C 选项错误； 对于D 选项，2AF p =，线段AF的中点为,2M p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，点M 到y 轴的距离为p ， 所以，以AF 为直径的圆与y 轴相切，D 选项正确. 故选：AD.【点睛】方法点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．11．下列命题正确的有（ ）A ．若a b c >>，0ac >，则()0bc a c ->B ．若0x >，0y >，2x y +=，则22x y +的最大值为4C ．若0x >，0y >，x y xy +=，则2x y xy ++的最小值为5+D ．若实数2a ≥，则12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ACD【分析】根据,,a b c 同号，由不等式性质可知A 正确；利用基本不等式可知B 错误；将已知等式变为111x y +=，由()1122323x y xy x y x y x y ⎛⎫++=+=++ ⎪⎝⎭配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可知C 正确； 构造函数()()ln 3xf x x x=≥，利用导数可确定()f x 单调递减，得()()21f a f a +<+，整理可得D 正确.【详解】对于A ，若0ac >，则ac 同号，又a b c >>，,,a b c ∴同号， 0bc ∴>，又0a c ->，()0bc a c ∴->，A 正确；对于B ，224x y +≥==（当且仅当22x y=，即1x y ==时取等号），22x y ∴+的最小值为4，B 错误；对于C ，x y xy +=，111x y∴+=，()11232223235x yx y xy x y x y x y x y x y y x ⎛⎫∴++=+++=+=++=++⎪⎝⎭55≥+=+（当且仅当23x y y x =时取等号），2x y xy ∴++的最小值为5+C 正确；对于D ，令()()ln 3x f x x x=≥，则()21ln 0-'=<xf x x ，()f x ∴在[)3,+∞上单调递减，当2a ≥时，213a a +>+≥，()()21f a f a ∴+<+，即()()ln 2ln 121a a a a ++<++，()()()1ln 22log 2ln 11a a a a a a +++∴+=<++，D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题D 选项中涉及到对数式与分式的大小比较，可采用构造函数的方式，将问题转化为函数值大小关系的比较，利用函数的单调性确定大小关系. 12．在数学中，布莱维尔不动点定理是拓补学例一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．()2x f x x =+为不动点函数B ．2()3f x x x =--为不动点函数C ．221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩为不动点函数D ．()ln 1f x x =-为不动点函数【答案】BC【分析】根据题中所给定义，只需判断f （x 0）＝x 0是否有解即可． 【详解】对于A ：当002xx +=x 0时，该方程无解，故A 不满足；对于B ：当2003x x --=x 0时，解得x 0＝3或x 0＝﹣1，满足定义，故B 满足； 对于C ：当x 0≤1时，2021x -=x 0时，解得x 0＝1或x 012=-，当x 0＞1时，|2﹣x 0|＝x 0时，无解，故C 满足；对于D ：当0ln 1x -=x 0时，构造函数y ＝lnx ﹣1﹣x ， ∵y ＝lnx ﹣1﹣x 其导函数为y ′1x =-11x x-=， ∴0＜x ＜1时原函数递增，x ＞1时原函数递减； 故函数最大值为：y 1＝ln 1﹣1﹣1＝﹣2＜0， 所以lnx ﹣1﹣x ＜0恒成立，故D 不满足， 综上，BC 均满足， 故选：BC ．三、填空题13．已知数列{}n a ，{}n b 满足2log ,n n b a n N +=∈，其中{}n b 是等差数列且1020112a a =，则122020b b b ++⋅⋅⋅+=______.【答案】1010【分析】依据数列{}n b 是等差数列，可知102011b b +，然后以及等差数列得性质计算可得结果.【详解】由题可知：1020112a a =，所以2102201110201220112110log log log log 21a a b b a a +=+===由数列{}n b 是等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ 所以120202************...1b b b b b b +=+==+= 所以()12202010201110101010b b b b b ++⋅⋅⋅+=⨯+= 故答案为：101014．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆22:(3)8M x y -+=相交于A 、B两点，||AB =______.【分析】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用勾股定理可求得k 的值，即可求得b a，再由双曲线的离心率公式e =. 【详解】设双曲线的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±， 圆()2238x y -+=的圆心为()3,0C，半径为r =圆心C 到直线y kx =的距离为d =AB =2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即228+=，解得k =ba∴=，因此，该双曲线的离心率为c e a =====【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且1==PA AB ，2BC =，则二面角A PC B --的正弦值为______.【答案】63【分析】建立空间直角坐标系，分别计算平面APC 与平面PBC 的法向量，然后利用公式计算即可.【详解】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，2,0)C设平面APC 的法向量为()1111,,x n y z =1100n AC n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴111020z x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 不妨设11y =，则12x =-1(2,1,0)n =-设平面PBC 的法向量为()2222,,n x y z =2200n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22200y x y =⎧⎨-=⎩ 不妨设21x =，则21z =，20y =，2(1,0,1)n = 设A PB B --为α，则1212122cos cos,3n n n n n n α⋅====⋅ sin 3α=.16．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，已知,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，直线1312x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.记满足条件的所有ω的值的和为S ，则S 的值为______. 【答案】125【分析】根据函数得对称中心以及对称轴可知2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈，然后对k 进行取值并验证函数在所给区间得单调性即可得到结果. 【详解】由题意知131264T kT ππ+=+或133,1264TkT k Z ππ+=+∈ ∴51244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭或53244k ππω⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭∴2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈ ∵()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴191312122T ππ-≤ ∴12222ππωω≤⋅⇒≤ ①当2(14)5k ω=+时，取0k =知25ω=此时2()sin 515f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，27,515210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴25ω=符合 取1k =时，2ω=，此时()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，572,322x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭满足()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴2ω=符合 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当2k ≥时，2ω>也舍去 ②当2(34)5k ω=+时，取0k =知65ω= 此时6()sin 55f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1319,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 6321,55210x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，舍去 当1k ≤-时，0ω<，舍去，当1k 时，2ω>也舍去综上：25ω=或2，212255S =+=. 故答案为：125【点睛】关键点点睛：解决该问题的关键在于得到2(14)5k ω=+或2(34),5k k Z ω=+∈并对k 进行取值验证.四、解答题17．在①2cos 22cos12BB +=；②2sin tan b A a B =；③()sin sin()sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______. （1）求角B 的大小；（2）若4a c +=，求ABC 周长的最小值. 注：如果选择多个条件分別解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）3π；（2）6. 【分析】（1）选①，由升降幂公式得22cos cos 10B B +-=，进而得1cos 2B =，故3B π=；选②，由切化弦，正弦定理边角互化得2sin sin cos sin sin B A B A B =，进而得1cos 2B =，3B π=；选③，由()sin sin A B C +=得()sin sin sin a c A c C b B -+=，再根据正弦定理边角互化得222a c b ac +-=，进而根据余弦定理得3B π=（2）由正弦定理和三角恒等变化得()sin sin sin 6a c B b A CC +==++ ⎪⎝⎭再根据三角函数的性质求解即可. 【详解】（1）选① ∵2cos 22cos 12BB +=，∴22cos cos 10B B +-=， ∴ 1cos 2B =或cos 1B =-，∵()0,B π∈，∴1cos 2B =，3B π=.选②由切化弦，正弦定理边角互化得：2sin sin cos sin sin B A B A B =， ∵(),0,A B π∈，∴ sin 0,sin 0A B ≠≠， ∴ 1cos 2B =，3B π=.选③由内角和定理得：()sin sin A B C += ，∴()sin sin sin a c A c C b B -+=， 由正弦定理边角互化得：22()a c a c b -+=，即：222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,B π∈，∴3B π=.（2）由正弦定理得：sin sin sin b a cB AC +=+， 由于4a c +=，3B π=，∴()sin 2sin sin sin sin 36a c B b A CC C C ππ+===+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵ 20,3C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴6C π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎝，∴[)2,46b C π=∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当3C π=时，取得2b = ∴ABC 周长为[)46,8a b c b ++=+∈， ∴ABC 周长的最小值为6.【点睛】本题考查正弦定理边角互化，正余弦定理解三角形，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于由正弦定理得()sin sin sin 6a c B b A CC +==++ ⎪⎝⎭进而根据三角函数的性质得[)2,4b ∈，进而求解得答案.18．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n n =++. 【分析】（1）由22(2)21nn n S a n S =≥-，得到21221n n n n S S S S --=-，整理得1112n n S S --=，结合等差数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得121n n S =-，可得21n b n =-，化简111122121n c n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，结合裂项求和，即可求解.【详解】（1）由题意，数列{}n a 中，满足22(2)21nn n S a n S =≥-，可得而21221n n n nS S S S --=-，整理得112n n n n S S S S ---=，可得1112n n S S --=， 又由11a =，可得11111S a ==， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列.（2）由（1）知112(1)21nn n S =+-=-，可得21n b n =-， 则2244111111(21)(21)(21)(21)22121n n n c n n n n n n -+⎛⎫===+- ⎪-+-+-+⎝⎭所以11111111112335212122121n n T n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=+ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略： 1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式； 累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前n 项和. 2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.19．如图，在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，2PA PB PC AC ====.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 3BM . 【答案】（1）证明见解析；（22【分析】（1）取AC 的中点E ，连结PE ，BE ，利用边角关系得到PE AC ⊥，PE BE ⊥，结合线面垂直的判定定理可得PE ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设(,1,0)M x x -，01x ≤≤，求出直线PC 的方向向量与平面PAM 的法向量，利用线面角的求解公式得到关于x 的等式，求出x 的值，从而得到M 的坐标，利用空间两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）证明：取AC 中点E ，连接PE ，BE∵2PA PC AC ===，∴PE AC ⊥且3PE = ∵2AB BC ==∴2224AB BC AC +==，∴ABC 为Rt 且90ABC ∠=︒∴112BE AC ==，∴2224PE BE PB +==，∴PE BE ⊥ ∵AC BE E ⋂=，,AC BE ⊂平面ABC ， ∴PE ⊥平面ABC ∵PE ⊂平面P AC ， ∴平面PAC ⊥平面ABC .（2）如图建立空间直角坐标系，∴3)P ，(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,1,0)C 设(,1,0)M x x -，01x ≤≤，∴(0,1,3)PA =-，(,2,0)AM x x =- 设平面P AM 的法向量()000,,n x y z =∴00000003(2)03030(2)01x x n PA y z y n AM x x y x z ⎧-=⎪⎪⎧⎧⋅=-=⎪⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⎨⋅=+-=⎪⎪⎩⎪⎩=⎪⎪⎩∴3(23,1x n ⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭设PC 与平面P AM 所成角为θ，PC 与n 所成角为ϕ，(0,1,3)PC =-∴222332sin |cos |43||||3(2)24PC nx PC n x xθϕ⋅====⇒=⋅-⋅+∴21,,033M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，此时22112333BM ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究．20．某校高三年级举行班小组投篮比赛，小组是以班级为单位，每小组均由1名男生和2名女生组成.比赛中每人投篮n 次()*n N ∈，每人每次投篮及相互之间投篮都是相互独立的.已知女生投篮命中的概率均为13.男生投篮命中的概率均为23.（1）当2n =时，求小组共投中4次的概率；（2）当1n =时，若三人都投中小组获得30分，投中2次小组获得20分，投中1次小组获得10分，三人都不中，小组减去60分，随机变量X 表示小组总分，求随机变量X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）43243；（2）分布列见解析，409. 【分析】（1）分情况①男生投中2次，女生投中2次，②男生投中1次，女生投中3次，③男生投中0次，女生投中4次然后计算即可.（2）得到X 的所有可能取值并得到相应的概率然后列出分布列，最后根据期望公式计算即可.【详解】（1）①男生投中2次，女生投中2次概率为22221221221212433333333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⋅⨯+⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 32649632729729729243=+== ②男生投中1次，女生投中3次的概率为211222111232233333729C C ⎛⎫⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭ ③男生投中0次，女生投中4次的概率为2221111333729⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴共投中4次的锤子数学概率为3232143243729729243P =++=. （2）2212(30)3327P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，2122221211811(20)3333327273P X C C ⎛⎫==⨯⋅⨯+⋅⨯=+= ⎪⎝⎭ 212221124(10)333339P X C ⎛⎫==⨯+⨯⋅⨯= ⎪⎝⎭2124(60)3327P X ⎛⎫=-=⨯=⎪⎝⎭ ∴X 的分布列如下∴214440()302010602739279E X =⨯+⨯+⨯-⨯=. 【点睛】思路点睛：第（1）在于分情况计算，不重不漏；第（2）问基本做法：①得到X 的所有可能取值并计算概率；②列出分布列；③根据期望（或方差）公式计算.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，离A ，B ，斜率存在的直线l 与椭圆交于M ，N 两点（M 在x 轴上方，N 在x 轴下方），记直线MA ，NB 的斜率分别为1k ，2k .（1）求椭圆的标准方程；（2）若213k k =，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析，(1,0). 【分析】（1）先求出a 的值，再结合离心率得出c 的值，进而求出b 的值，从而可得出椭圆C 的方程；（2）设直线MN 的方程为y kx m =+，点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，将直线MN 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，利用点差法可得34BM BN k k ⋅=-，结合条件213k k =，利用两点连线的斜率公式并代入韦达定理，通过化简计算得出k 、m 的关系，从而得出直线MN 所过的定点坐标．【详解】解：（1）由题意知22224231a a c b a a b c =⎧⎪=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）∵14MA MB k k ⋅=-，即114BM k k ⋅=-又∵213k k =，∴2134BM k k ⋅=-，34NB MB k k ⋅=-设直线MN 的锤子数学方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，(2,0)B()22222242444y kx mx k x kmx m x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()222148440k xkmx m +++-=0∆>，12221228144414km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∴21113224y y x x ⋅=---∴()()()12121243240kx m kx m x x x x +++-++=⎡⎤⎣⎦()()22121243(46)4120k x x km x x m ++-+++=()2222244843(46)41201414m km k km m k k --+⋅+-⋅++=++ 22230k m km ++=，∴(2)()0k m k m ++=∴2m k =-或m k =-但当2m k =-时，()22y kx m kx k k x =+=-=-，直线MN 恒过(2,0)M ，N 有一点与B 重合了，舍去∴m k =-，∴()1y kx m k x =+=-，直线MN 恒过定点(1,0).【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查椭圆的方程、点差法以及韦达定理设而不求法在椭圆综合问题中的应用，同时考查了计算能力．22．已知函数()1x f x e =-，()sin g x x =.（1）判断()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上零点的个数；（2）当[0,]x π∈时，()()()f x ag x a R ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）一个；（2）(,1]-∞.【分析】（1）由()1sin sin x F x e x x x =--≥-()0x ≥，令()sin x x x ϕ=-，利用的单调性判断出()0F x ≥可得答案；（2）令()1sin x G x e a x =--，()cos x G x e a x '=-，由1sin 0x e a x --≥在[0,]π上恒成立，得出1a ≤可得答案.【详解】（1）由()()10x t x e x x =--≥得()()100xt x e x '=-≥≥，所以()t x 是0x ≥上的单调递增函数，所以()()00t x t ≥=，即()10xe x x -≥≥， 所以()1sin sin x F x e x x x =--≥-()0x ≥，令()sin x x x ϕ=-，∴()1cos 0x x ϕ'=-≥∴()ϕx 在[)0,+∞上单调递增，故()(0)0x ϕϕ≥=，∴()0F x ≥当且仅当0x =时取“=”，∴()()()F x f x g x =-在[0,)x ∈+∞上只有一个零点.（2）1sin 0x e a x --≥在[0,]π上恒成立，令()1sin x G x e a x =--，()cos x G x e a x '=-，注意到(0)0G =，∴()(0)G x G ≥在[0,]π上恒成立，首先有(0)10G a '=-≥得出1a ≤（必要性），当1a ≤时，()1sin 1sin 0x x G x e a x e x =--≥--≥符合题意，当1a >时，()cos x G x e a x '=-，()sin 0xG x e a x ''=+>，所以()G x '在[0,]π上单调递增，又因为(0)10G a '=-<，()0x G e a π'=+>， 所以存在[]00,x π∈，使得0()0G x '=，且00x x <<时0()0G x '<，()G x 单调递减，又因为(0)0G =，所以0()0G x <与已知矛盾，综上：实数a 的取值范围为(,1]-∞.【点睛】本题考查了函数的零点、恒成立求参数的问题，解题的关键点是构造函数利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题、解决问题的能力.。

南师大附中2021届高三理科数学周测卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22i z =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（）． A ．75 B ．75- C ．7i 5 D ．7i 5- 2．设x ∈R ，则“2x >”是“22x >”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（）．A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺4．某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆．学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有( ).A ．6种B ．9种C ．12种D ．18种5．()621x y ++的展开式中，3xy 的系数为（）． A ．120 B ．480 C ．240 D ．3206．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是（）．A ．14B ．516C ．38D ．127．已知圆22:1O x y +=上恰有两个点到直线:1l y kx =+的距离为12，则直线l 倾斜角取值范围为（）． A ．ππ2π0,,323⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．π2π0,,π33⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．πππ2π,,3223⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．ππ2π,,π323⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．若函数()()224x f x x mx e =-+在区间[]2,3上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）．A ．2017,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2017,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．205,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则 A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列10．今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号1的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．由统计表可以看出，这连续14天内A ．周末日均的票房和观影人次高于非周末B ．影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升C ．观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同D ．每天的平均单场门票价格都高于20元11．若0a b c <<<，且1abc =，则A ．224a b +>B ．lg lg 0a b +<C ．22a c +>D ．22a c +>12．已知函数()sin(sin )cos(cos )f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是A ．()f x 的图象关于直线x ＝2π对称 B ．()f x 的一个周期是2π C ．()f x 的最大值为2 D ．()f x 是区间(0，2π)上的增函数 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为_______．14．直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C 所成角的余弦值为__________．15．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5％，最初有0N 只，则至少经过______天才能达到最初的16000倍（结果需为整数，参考数据：ln1.050.0488≈，ln1.50.4055≈，ln16007.3778≈，ln160009.6803≈）．16．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A 、B （B 在右侧），若()220BA BF AF +⋅=，则C 的离心率为_____． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数()()πsin 0,06f x A x A ωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭满足下列条件：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2． （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和．18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差d ＞0，13=-a ，71221127满足，+++=S S S 求数列{}n a 的通项公式.19．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，PA PC =，BD PA ⊥，E 是BC 上一点，且3EC BE =，设AC BD O ⋂=．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）若60BAD ∠=︒，PA PE ⊥，求二面角A PE C --的余弦值．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线120-+=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR 、NR 的斜率分别为1k 、2k ，试问：21k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩．防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150，得到如下频率分布直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加A 店一个订单“秒杀”抢购，同时乙计划在该型号口罩的某网络购物平台上参加B 店一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单均由()2,n n n *≥∈N 个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A ，B 两店订单“秒杀”成功的概率均为()212n +，记甲，乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y ．①求X 的分布列及数学期望()E X ；②当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值．22．已知函数()ln g x x x =．（1）求曲线()y g x =在点(e ，(e)g )处的切线方程；（2）设21()()x f x g x +=，证明()f x 恰有两个极值点1x 和2x ，并求12()()f x f x +的值．。

2021年江苏省南京市师范大学附属实验学校高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知i是虚数单位，则(2+i)(3+i)=A、5-5iB、7-5iC、5+5iD、7+5i参考答案：C2. 里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．参考答案：6 ，100003. 已知函数，若，则实数的取值范围为A. B. C. D.参考答案：D略4. 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)的值为 ( ）A．－2B．－1 C．0D．1参考答案：D 5. （2016?贺州模拟）已知函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=（）A．19 B．17 C．15 D．13参考答案：A【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；规律型；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式，真假求解函数值即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（log232）=log24+1+=2+1+=19．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6. 若，则（）A．B．C．D．参考答案：D7. 已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+e x﹣（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对数的底数），则m的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（﹣，）参考答案：A略8. 已知是所在平面内一点，，现将一粒红豆随机撒在内，则红豆落在内的概率是（）A ．B ．C ．D ．参考答案：B 略9. 数列是等差数列，T n 、S n 分别是数列的前n 项和，且 则（ ）A ． B. C. D.参考答案：【知识点】等差数列的性质．D2【答案解析】C 解析：因为等差数列前n 项和中，S 2n+1=（2n+1）a n ，所以S 11=11a 6，T 11=11b 6，所以===，∴=．故选：C ．【思路点拨】直接利用等差数列前n 项和的性质，S 2n+1=（2n+1）a n ，求出的值．10. 若存在过点(1,0)的直线与曲线和都相切,则( )A或B或C或D或参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在长方形中，，为的中点，若，则的长为参考答案：212. 已知，，则的值为 ．13. 已知P 是抛物线y 2=4x 上的动点，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为M 、N 是圆（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=1上的动点，则|PM|+|PN|的最小值是 ．参考答案：﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P ，Q ，F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径．解答： 解：抛物线y 2=4x 的焦点为F （1，0），圆（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=1的圆心为Q （2，5）， 根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断出当P ，Q ，F 三点共线时P 到点N 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小为：﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．14. 函数的定义域为．参考答案：（﹣∞，0）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0求解绝对值的不等式得答案．【解答】解：由|x|﹣x ＞0，得|x|＞x，∴x＜0．∴函数的定义域为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．15. 某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为参考答案：16【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=3，x=2，y=﹣2；第二次循环n=5，x=4，y=﹣4；第三次循环n=7，x=8，y=﹣6．第四次循环n=9，x=16，y=﹣8．∵输出y值为﹣8，∴输出的x=16．故答案为：16．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结16. 已知圆的方程为．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．参考答案：略17. 已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||= _________ ．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2021年江苏南京高三一模数学试卷-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2021年江苏南京高三一模第1题5分2021年江苏盐城高三一模第1题5分若1+ai2−i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）．A. 2B. −12C. 12D. −22、【来源】 2021年江苏南京高三一模第2题5分2021年江苏盐城高三一模第2题5分已知函数y=lg⁡(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sin⁡x的值域为N，则M∩N=（）．A. ∅B. (−2,1]C. [−1,1)D. [−1,1]3、【来源】 2021年江苏南京高三一模第3题5分2021年江苏盐城高三一模第3题5分函数f(x)=2x 5 3ln⁡|x|的图象大致为（）．A.B.C.D.4、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第4题5分2021年江苏南京高三一模第4题5分一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次．学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二．若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（）．A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第5题5分2021年江苏南京高三一模第5题5分化简sin2(π6−α)−sin2(π3+α)可得（）．A. cos⁡(2α+π3)B. −sin⁡(2α+π6)C. cos⁡(2α−π3)D. sin⁡(2α−π6)6、【来源】 2021年江苏南京高三一模第6题5分2021年江苏盐城高三一模第6题5分某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查，统计得下方的2×2列联表．则根据列联表可知参考公式：独立性检验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．下面的临界值表供参考：A. 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B. 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系7、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第7题5分2021年江苏南京高三一模第7题5分设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，圆F 1与双曲线的渐近线相切，过点F 2与圆F 1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为（ ）．A. 815B. √3C. 43D. 18、【来源】 2021年江苏南京高三一模第8题5分2021年江苏盐城高三一模第8题5分已知点A ，B ，C ，D 在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ．若AB =2，BC =4，AC 与平面ABD 所成角的正弦值为√105，则球O 表面上的动点P 到平面ACD 距离的最大值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2021年江苏南京高三一模第9题5分2021年江苏盐城高三一模第9题5分2020~2021学年3月江苏南京鼓楼区南京师范大学附属中学高一下学期月考第9题5分下列关于向量a →，b →，c →的运算，一定成立的有（ ）．A. (a →+b →)⋅c →=a →⋅c →+b →⋅c →B. (a →⋅b →)⋅c →=a →⋅(b →⋅c →)C. a →⋅b →⩽|a →|⋅|b →|D. |a →−b →|⩽|a →|+|b →|10、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第10题5分2021年江苏南京高三一模第10题5分下列选项中，关于x 的不等式ax 2+(a −1)x −2>0有实数解的充分不必要条件有（ ）．A. a =0B. a ⩾−3+2√2C. a >0D. a ⩽−3−2√211、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第11题5分2021年江苏南京高三一模第11题5分已知函数f(x)=log 2⁡(1+4x )−x ，则下列说法正确的是（ ）．A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)在(−∞,0]上为增函数D. 函数f(x)的值域为[1,+∞)12、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第12题5分2021年江苏南京高三一模第12题5分回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数．若正整数i 与n 满足2⩽i ⩽n 且n ⩾4，在[10i−1,10i −1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i ，在[10,10n −1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Q n ，则（ ）．A. P i <P i +1(2⩽i ⩽n −1)B. Q n <1n−1∑P i n i=2 C. Q n >1n−1∑P in i=2 D. ∑P i n i=2<1三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年江苏南京高三一模第13题5分2021年江苏盐城高三一模第13题5分若函数f (x )=sin⁡(2x +φ)为偶函数，则φ的一个值为 ．（写出一个即可）14、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第14题5分2021年江苏南京高三一模第14题5分(1+√2x 3)100的展开式中有理项的个数为 ．15、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第15题5分2021年江苏南京高三一模第15题5分在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2=2p 1x 与x 2=2p 2y 在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则p2p 1= ．16、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第16题5分2021年江苏南京高三一模第16题5分2021年湖北黄冈黄州区湖北省黄冈中学高三三模第16题5分罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：x 23+y 23=1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C 围成的图形的面积S 2（选填“>”“<”或“=”)，曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2021年江苏南京高三一模第17题10分2021年江苏盐城高三一模第17题10分设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n =a n 2+a n ．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 求证： ∑1a i 2+a i+12−1n i=1<12．18、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第18题12分2021年江苏南京高三一模第18题12分在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=B+3C．(1) 求sin⁡C的取值范围．(2) 若c=6b，求sin⁡C的值．19、【来源】 2021年江苏南京高三一模第19题12分2021年江苏盐城高三一模第19题12分如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD//EF，DF⊥EF，EF=2CD=2．(1) 若DF=2，求二面角A−CE−F的正弦值．(2) 若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．20、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第20题12分2021年江苏南京高三一模第20题12分某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀．竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81．假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z 服从正态分布N(71,81)．(1) 估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万？(2) 该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11，⋯，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费．假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ⩽Z⩽μ+σ)≈0.68.21、【来源】 2021年江苏南京高三一模第21题12分2021年江苏盐城高三一模第21题12分设F为椭圆C：x 22+y2=1的右焦点，过点(2,0)的直线l与椭圆C交于A、B两点．(1) 若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程．(2) 设直线AF，BF的斜率分别为k1、k2(k2≠0)，求证：k1k2为定值．22、【来源】 2021年江苏盐城高三一模第22题12分2021年江苏南京高三一模第22题12分设函数f(x)=a x+e−x(a>1)．(1) 求证：f(x)有极值．(2) 若x=x0时f(x)取极值，且对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m，n∈Z，求n−m的最小值．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 B;9 、【答案】 A;C;D;10 、【答案】 A;C;11 、【答案】 A;D;12 、【答案】 B;D;;13 、【答案】π214 、【答案】34;;15 、【答案】18,1];16 、【答案】<;[1217 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;)．18 、【答案】 (1) (0,√22;(2) 2．3;19 、【答案】 (1) √5．3;(2) 1．;20 、【答案】 (1) 1.6万．;(2) 150.8万元．;21 、【答案】 (1) AF:y=x−1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;。

江苏省南京市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 2．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A BC ．2D ．2【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，所以b a =3，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以b a =3，2e ∴==或3. 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想. 3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7 B ．14C ．28D ．84【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，可求解得到114a =，利用求和公式和等差中项的性质，即得解 【详解】56104a a a +=+Q ，111111465a d a d a d ∴+-=-+-解得114a =．121211121()21842a a S a +∴===．故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.4．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m αP 且n αP ，则m n P B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βPC ．若m α⊥且m βP ，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．5．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.6．已知x,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．45【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【详解】不等式表示的平面区域如图：直线220x y +-=的斜率为2-，直线21x y --的斜率为12，所以两直线垂直，故BCD ∆为直角三角形，易得(1,0)B ，1(0,)2D -，(0,2)C ，52BD =，5BC =11555224BCD S BD BC ∆=⋅==. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 7．下列函数中，图象关于y 轴对称的为（ ）A ．()f x =B ．)(f x =，[]1,2x ∈-C ．si 8)n (f x x =D ．2()x xe ef x x-+= 【答案】D 【解析】 【分析】图象关于y 轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解. 【详解】图象关于y 轴对称的函数为偶函数； A 中，x ∈R ，()()f x f x -==-，故()f x =B 中，)(f x =的定义域为[]1,2-，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C 中，由正弦函数性质可知，si 8)n (f x x =为奇函数；D 中，x ∈R 且0x ≠，2((()))x x e f f e x x x -+==--，故2()x xe ef x x -+=为偶函数.故选：D. 【点睛】本题考查判断函数奇偶性. 判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x 都有()=()f x f x --，则函数()f x 是奇函数；都有()=()f x f x -，则函数()f x 是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数⇔函数图象关于原点(y 轴)对称．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =±C ．2y x =± D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b =，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．9．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种 B ．24种 C ．36种 D ．48种【答案】C 【解析】 【分析】先将甲、乙两人看作一个整体，当作一个元素，再将这四个元素分成3个部分，每一个部分至少一个，再将这3部分分配到3个不同的路口，根据分步计数原理可得选项. 【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体，5个人变成了4个元素，再把这4个元素分成3部分，每部分至少有1个人，共有24C 种方法，再把这3部分分到3个不同的路口，有33A 种方法，由分步计数原理，共有234336C A ⋅=种方案。