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全等三角形 (3)SAS

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3、三角形全等的条件(SAS)

3、三角形全等的条件(SAS)

A O D C
B
证明: 证明
AOB和 COD中 在△AOB和△COD中 OA=OC ∠AOB=∠COD ∠ ______________ OB=OD
∴△AOB≌△COD( ≌
SAS )
知识应 用
的距离， 例2、如图，有一池塘，要测池塘端 、B的距离， 、如图，有一池塘，要测池塘端A、 的距离 可先在平地上取一个可以直接到达A和 可先在平地上取一个可以直接到达 和B 的点 C，连结 并延长到 使CD=CA.连结 并 并延长到D, 连结BC并 ，连结AC并延长到 连结 延长到E,使 连结DE,那么量出 的长， 那么量出DE的长 延长到 使CE=CB. 连结 那么量出 的长， 就是A、 的距离 为什么？ 的距离.为什么 就是 、B的距离 为什么？ 分析:如果能证明△ 分析:如果能证明△ABC ≌△DEC, 如果能证明 A 就可以得出AB=DE 就可以得出 在△ABC 和△DEC 中,CA=CD,CB=CE.
C 1 C 1 C D
D 2 D 2 B B
B D
B
• 巩固练习
如图， 如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C ， 在 上 ， ， ∠ 求证：∠A=∠D 求证： ∠ A D
B
E
F
C
2.如图，已知OA=OB,应填什么条件就得到： 如图，已知 应填什么条件就得到： 如图 应填什么条件就得到 只允许添加一个条件) △AOC≌ △BOD(只允许添加一个条件 ≌ 只允许添加一个条件
1 2 4 C A 3
B
D
变式2: 变式2: 已知:AD=CD，BD平分∠ 已知:AD=CD，BD平分∠ADC :AD=CD 平分 求证:∠A=∠C 求证:∠A=∠C
1 B 2 C 归纳： 归纳：证明两条线段相等或两个角相等可以通 过证明它们所在的两个三角形全等而得到。 过证明它们所在的两个三角形全等而得到。 D A

三角形全等的判定SAS

三角形全等的判定SAS

03
三角形全等的其他判定方 法
SSS判定定理
总结词
三边对应相等的两个三角形全等。
详细描述
SSS判定定理，即边边边全等定理，是 三角形全等判定的一种方法。如果两 个三角形的三组对应边分别相等，则 这两个三角形全等。
ASA判定定理
总结词
两角及夹角对应相等的两个定理， 也是三角形全等判定的一种方法。如 果两个三角形的两组对应角分别相等， 并且这两组对应角的夹边相等，则这 两个三角形全等。
每种判定定理都有其特定的适用范围和条件，使用时需要根据实际情况选择合适 的判定方法。
02
SAS判定定理
什么是SAS判定定理
总结词
SAS判定定理是三角形全等判定的一种重要方法，它基于三角形的两边和夹角 来判断两个三角形是否全等。
详细描述
SAS判定定理，即Side-Angle-Side判定定理，是指在两个三角形中，如果一个 三角形的两边与另一个三角形的两边相等，并且这两个相等的边所夹的角也相 等，那么这两个三角形就是全等的。
3. 根据一组复杂的边角条件，构 造一个全等的三角形，并解决相 关的几何问题。
感谢您的观看
THANKS
三角形全等的重要性
01
三角形全等是几何学中的基本概 念之一，是研究几何图形性质的 基础。
02
在解决实际问题中，如测量、绘 图、建筑等领域，三角形全等定 理的应用十分广泛。
三角形全等的分类
根据不同的判定条件，三角形全等可以分为SSS（三边全等）、SAS（两边及夹角全 等）、ASA（两角及夹边全等）、AAS（两角及非夹边全等）和HL（直角边斜边全 等）等五种类型。
2. 利用SAS判定定理证明 两个三角形全等，并找出 对应边和对应角。

全等三角形的判定SAS

全等三角形的判定SAS

例1：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在 平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D， 使CD=CA. 连接BC并延长到E，使CE=CB. 连接DE，那么量出 DE的长就是A、B的距离. 为什么？ 分析:如果能证明△ABC≌△DEC,
就可以得出AB=DE，在△ABC 和 △DEC中,CA=CD,CB=CE.如果能得出 ∠ACB=∠DCE, △ABC 和△DEC就全 等了.
例2：如图，AD=AE，点D、E 在BC上，BD=CE，∠1=∠2. 求证：∠B=∠C
思考：此题还能得到哪些结论？
①A小 结
证明三角形全等的方法：SSS，SAS，注意 SAS是两边一夹角对应相等时，才能证明 两个三角形全等；两边及一对角对应相等 时，两个三角形未必全等； 尺规作图：已知两边及夹角作三角形； 证明三角形全等的书写格式； 证明分别属于两个三角形的线段相等或角 相等的问题，常常通过证明这两个三角形 全等来解决； 已知条件包含两部分：①是已知中写出的， ②是图形中隐含的（如公共边、公共角、 对顶角、邻补角、外角、平角等），所以 挖掘已知条件归结成两句话：已知中找， 图形中看
D A A′
B
C
B′
C′
E
问：通过实验可以发现什么事实？
探究一反映的规律是：
两边和它们的夹角对应相等的两个三 角形全等 （简写成“边角边”或“SAS”）

作图
A
B
D
C
探究二：两边及一边 对角对应相等的两个 三角形全等吗？


归纳：两边及一边 对角对应相等的两 个三角形不一定全 等。
任意作一个∆ABC，在 ∆ABC的基础上作一个 ∆ABD，使得AC=AD， 且AD交BC于点D，观 察∆ABC和∆ABD全等吗？

全等三角形的判定(SAS)

全等三角形的判定(SAS)
2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC， 则需要增加的条件是 ( D ) A.∠A＝∠D B.∠E＝∠C C.∠A=∠C D.∠ABD＝∠EBC
练习: 在下列图中找出全等三角形进行连线.
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅣⅣ ⅢⅢ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
例.如果AB=CB ，∠ ABD= ∠ CBD，那么 △ ABD 和△ CBD 全等吗？
已知：如图,BA=BC,∠1= ∠2.
求证: (1) AD=CD；
(2) DB 平分∠ ADC.
1
证明: (1)在△ABD与△CBD中，B
2
AB=CB ∠1=∠2
BD=BD
(已知）， （已知）， （公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AD=CD. (2)∵△ABD≌△CBD（已证），
∴∠3=∠4，
全等三角形的判定(SAS)
复习回顾
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等.
A
D
B
C
E
F
问题1：如果两个三角形的有1个角对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题2：如果两个三角形有2个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
问题3：如果两个三角形有3个角分别对应相等， 那么这两个三角形会全等吗？
A
D
O
B
C
(2)如图, 在ΔABD和ΔACD中,
BD = CD
(已知)
∠ADB =∠ADC(已证)
A—D—=——AD———(—公——共——边—)——
∴ΔABD ΔACD(SAS).
A
D
B

全等三角形sas的证明过程

全等三角形sas的证明过程

全等三角形sas的证明过程1.引言1.1 概述概述部分的内容可以参考以下写法：引言部分旨在介绍全等三角形SAS的证明过程，全等三角形是几何学中一个重要的概念，指的是两个具有相同大小和形状的三角形。

在几何学中，SAS是三角形全等的一个重要条件，即已知两个三角形的一对边和夹角相等时，可以得出这两个三角形全等的结论。

本篇长文将从三个方面来阐述全等三角形SAS的证明过程。

首先，在正文部分的第2.1节，我们会详细介绍SAS三角形的定义和性质，包括全等三角形的概念、相等的边和夹角以及它们之间的关系。

然后，在第2.2节和第2.3节，我们将依次展示SAS三角形证明过程的第一个要点和第二个要点，分析和解释每个要点的推导过程和原理。

通过本篇长文的阐述，读者将能够更加深入地理解SAS三角形的证明过程，掌握这一重要几何概念的应用方法。

最后，结论部分将对全等三角形SAS的证明过程进行总结，并得出相关的结论。

通过深入研究全等三角形SAS的证明过程，不仅可以提升读者的几何学知识和问题解决能力，还能够帮助读者在实际应用中更好地理解和运用这一概念。

无论是在学术领域还是日常生活中，对全等三角形SAS的深入理解都具有重要的意义。

接下来，我们将详细阐述全等三角形SAS的证明过程，以期给读者带来全新的启示和思考。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述和证明全等三角形的SAS（边-边-角）定理：2.1 SAS三角形的定义和性质：首先我们将介绍并说明SAS 定理的定义和性质。

这部分内容将包括对于三角形的定义，以及在已知两边和它们夹角的情况下，如何判断两个三角形是否全等的相关原理和推导过程。

2.2 第一个要点：接下来，我们将进一步深入讨论和证明定理的第一个要点。

在此部分中，我们将介绍和证明已知两个对应边相等的三角形（即SSS 定理）是否一定全等的相关证明过程。

2.3 第二个要点：然后，我们将探讨和证明定理的第二个要点。

4.3探索三角形全等的条件(3)SAS

4.3探索三角形全等的条件(3)SAS

课堂检测1：∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC， 那么（1）△ABC与△FED全等吗？为什么？ F （2）AC∥FD吗？为什么？ C 4 2 解:(1)全等。 E B 1 3 D 证明：∵BD=EC（已知） A ∴BD－CD＝EC－CD。 (2)∴∠1＝∠2 在△ABC与△FED中 ∴1800-∠1＝1800-∠2 AB＝EF（已知） ∴∠3＝∠4
A O B C D
思考：若给三个条件画全等的三角形，所 给条件可能有哪几种情况？ 三角 三边
四种情况
×
(sss)
(AAS)
★
两角一边 (ASA) 两边一角
第四章 三角形 4.3 探索 三角形全等的条件（3）
SAS
学习目标
1、通过观察会得出三角形全等判定4。
2、会运用判定4解决一些简单的问题。
三角形全等判定4：
两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 简写： “边角边”或“SAS”
理由: ∵在△EDH与△FDH中
F
ED=FD （已知） ∠EDH=∠FDH （已知）
H
DH= DH （公共角） ∴ △EDH ≌△FDH（SAS）
∴ EH=FH(全等三角形对应边相等）
3、在下列推理中填写需要 补充的条件，使结论成立：
A O B
D
在△AOB和△DOC中
AO=DO(已知)
C
∠ AOB ∠ DOC 对顶角相等 ) ______=________(
BO=CO(已知) ∴ △AOB≌△DOC（ SAS ）
4、在△AEC和△ADB中，
AD 已知) _AE ___=____( D
C
∠A= ∠A( 公共角) _____=____( AC AB 已知)

全等三角形的判定(SAS)(课堂PPT)


∴AM=BN
2020/4/1
20
在△AMD与△BND中
AM=BN ∠A=∠B AD=BD
(已证） （已证） （已知）
∴△AMD≌△BND（SAS） ∴DM=DN.
2020/4/1
21
全等三角形与其他图形的综合
• 如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG. 求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG. 证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，
2020/4/1
17
3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
证明： ∵AD//BC，
A
∴ ∠A=∠C，
E
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
D F
即 AF=CE.
B
C
在△AFD和△CEB中，
AD=CB (已知），
∠A=∠C (已证），
AF=CE (已证），
A
△ABC和△ABD满
足AB=AB ,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC
与△ABD不全等. B
C
D
2020/4/1
14
画一画：
画△ABC 和△DEF，使∠B =∠E =30°， AB =DE
=5 cm ，AC =DF =3 cm ．观察所得的两个三角形是
否全等？
M
D
C
A
B
结论 有两边和其中一边的对角分别相等的两个
(2)设AE与DG相交于M， AE与CG相交于N， 在△GMN和△DME中， 由(1)得∠CGD＝∠AED 又∵∠GMN＝∠DME， ∠DEM＋∠DME＝90° ∴∠CGD＋∠GMN＝90° ∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.

第三课时 三角形全等的判定(SAS)


把你们所画的三角形剪下来与同桌所画的三角 形进行比较，它们能互相重合吗？
如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那 么这两个三角形全等。简写成“边角边”或 “SAS” 用几何语言表达为： 在△ABC与△A`B`C`中 ∵ AB=A`B` ∠B=∠B`
ABຫໍສະໝຸດ CA`BC=B`C` ∴ △ABC≌△A`B`C`（SAS）
∴△ABD ≌△CBD(SAS)
已知：如图，AD∥BC,AD=CB. 求证: △ADC≌△CBA 证明：∵AD∥BC ∴ ∠1=∠2(两直线平行， 内错角相等) 在△ADC和△CBA中 ∵AD=CB（已知） ∠1=∠2(已证） AC=CA(公共边) ∴ △ADC≌△CBA(SAS)
A D 1
2
B C
(公共边) AB=BA ∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
因为全等三角形的对应角相等，对应边 相等，所以，证明分别属于两个三角形的线 段相等或角相等的问题，常常通过证明两个 三角形全等来解决。
例：如图，∠B＝∠E，AB＝EF， BD＝EC，那么△ABC与△FED全 C 等吗？为什么？ 1 3 B AC∥FD吗？为什么？ A 解：全等。∵BD=EC（已知）
§11.2 三角形全等 的判定(SAS)
知识回顾
上一节我们探究了两个三角形全等的判定方法: 三边对应相等的两个三角形全等，简写为 “边边边”或“SSS”
在△ABC和△DEF中， A
\ ≡ \
D
≡
〃 C E B ∴△ABC≌△DEF (SSS)
AB DE BC EF AC DF
D C
解：在△AOB和△COD中 ∵ OA=OC（已知） ∠AOB=∠COD(对顶角） OB=OD(已知) ∴ △AOB≌△COD(SAS)

三角形全等的判定(SAS)


D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
证明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1已知:
证明:
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D (已知)
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S B AB=AB ∠CBA= ∠ DBA BC=BD D S A
作业：
1、一张试卷 2、笔记补充完整
谢 谢 ！
三角形全等的判定定理
SAS
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相 等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一） 三边对应相等的两个三角形全等。 简称“边边边”或“SSS”
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可 无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想 出办法来吗？
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
A
△BOD≌ △COE
D E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
△ABD≌ △ACD
D B S A S AB=AC C

三角形全等的判定SAS

全等关系， 以及其他几何结论。
02
SAS全等三角形的判定方法
边边角定理
总结词
两边及夹角对应相等的两个三角形全等。
详细描述
边边角定理是指，如果两个三角形有两条边分别相等，并且这两条边的夹角也相 等，那么这两个三角形全等。这个定理可以用来证明两个三角形全等，尤其是在 有些情况下，无法直接使用其他定理时，边边角定理可以发挥重要作用。
SAS全等三角形的定义
SAS全等是指通过边角边（Side-Angle-Side）条件确定两个 三角形全等。
SAS全等需要满足两个条件：两边及其夹角对应相等。
SAS全等三角形的性质
1
SAS全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2
SAS全等三角形具有与一般全等三角形相同的 性质，如对称性、旋转性等。
3
用于证明两个直角三角形全等
在直角三角形中，如果两条直角边相等，那么两个三角 形全等，这一结论可以用于证明其他三角形全等。
用于证明等腰三角形和等边三 角形全等
如果有两个等腰三角形，其中一个的顶角和另一个的底 角相等，那么这两个等腰三角形全等；如果一个三角形 的三条边都相等，那么这个三角形是等边三角形，这两 个结论也可以用于证明其他三角形全等。
SAS全等与ASA全等的关系
SAS全等与ASA全等的判定方法
SAS全等可以通过两边及其夹角对应相等来判定，而ASA 全等只需要两角及其夹边对应相等即可，因此SAS全等 比ASA全等更易于验证和判定。
SAS全等与ASA全等的适用情况
SAS全等适用于已知两边及其夹角对应相等的情况，而 ASA全等适用于已知两角及其夹边对应相等的情况，因 此SAS全等比ASA全更具有一般性。
SAS全等与SSA全等的应用条件
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南河镇中心学校备课活页 刘海成 预习评价： 预习评价：______________
A
A'
∴△ABC≌ 一、检查预习情况， B C 明 确 学 习 目 标 （5′） 二、 合作交流 （8′） 3、探究二：两边及其一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？ 三 、 展 示 提 升 通过画图或实验可以得出： （24′） 四、 穿插巩固 （5′） 五、 检测总结 （3′）
C
D
变式 3: 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠A=∠B
C D
1 A
2 B
A B
年级： 学科： 展示评价:____________ 年级：八年级 学科： 数学 年级主任签名处 彭朝阳 学科组长签名处 展示评价 导入语： 导入语 ： 节课我们 【学习目标】 1、掌握三角形全等的“SＡS”条件，能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题 知道满足三个条件 2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程． 画两个三角形有 4 种情形，三个角对 3、积极投入，激情展示，做最佳自己。 应相等；三条边对 应相等；两角和一 预习案 预习案 边对应相等；两边 一、自主学习 反馈 和一角对应相等； 1、复习思考 1、课本第 10 页第 2 题 前两种情况已经研 怎样的两个三角形是全等三角形？全等三角形的性质是什么？三角形全等的判定（一）的内容是 究了，今天我们来 什么？ 研究第三种两边和 一角的情况，这种 情况又要分两边和 2、探究一：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形是否全等？ 它们的夹角，两边 (1)动手试一试 及其一边的对角两 已知：△ABC 种情课堂流程 课堂流程 2、如图，已知 OA=OB,应填什么条件就得到△AOC≌△BOD 求作： ∆A ' B ' C ' ，使 A ' B ' = AB ， B ' C ' = BC ， ∠A ' = ∠A B (允许添加一个条件) B 第一课时 预习课 C 一、导入新课，明 确目标。 （3′） A O C D 二、自主预习，交 A 流笔记。 （25′） (2) 把△ A ' B ' C ' 剪下来放到△ABC上，观察△ A ' B ' C ' 与△ABC是否能够完全重合？ 三、质疑提问，师 生互动。 （10′） (3)归纳；由上面的画图和实验可以得出全等三角形判定（二）： 四、归纳知识，总 3 如图，AD⊥BC，D 为 BC 的中点，那么结论正确的有 结规律。 （7′） 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 （可以简写成“ ”或“ ”） A、△ABD≌△ACD B、∠B=∠C C、AD 平分∠BAC D、△ABC 是等边三角形 (4)用数学语言表述全等三角形判定（二） 在△ABC 和 ∆ A ' B ' C ' 中, 第二课时 展示课
AB = A ' B ' ∵ ∠B = BC =
B'
C'
第二课时展示案
变式 2: 如图，AC=BD,BC=AD,求证:∠C=∠D
C D
同组老师补 充
例1
如图，AC=BD，∠1= ∠2,求证:BC=级组意见
变式 1: 如图，AC=BD,BC=AD，求证:∠1= ∠2.