是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率

注册计量师（一级）模拟试题与答案一、单选题（共56题，每题1分，共56分）1.一组将输入转化为输出的相互关联或相互作用的活动称为A、测量原理B、测量方法C、测量过程D、测量程序正确答案：C2.下列计量器具中（）是指示式测量仪器A、量块B、血压计C、钢卷尺D、电阻箱正确答案：B3.在比对工作中参考值的确定方法有多种，由主导实验室提出经专家组评审并征得（）同意后确定A、主导实验室的领导B、比对组织者C、同行专家D、参加实验室正确答案：D4.开展计量校准的技术依据是A、国家产品标准B、国家计量检定规程C、国家计量检定系统表D、国家校准规范5.在测量过程中确实是因记错读错数据，仪器的突然故障或外界条件的突变等异常情况引起的异常值，应随时发现随时剔除。

这种方法叫做A、物理判别法B、经验判别法C、系统判别法D、统计判别法正确答案：A6.开展校准可否依据实验室自己制定的校准规范？答案是（）A、不可以，该校准规范只能校准本实验室的仪器B、可以，但需要经过确认并获得客户对校准规范的认可C、可以，只要有校准规范就行D、不可以，只有依据国家计量校准规范才可以开展校准正确答案：B7.以（）表示的测量不确定度称标准不确定度A、测量值取值区间的半宽度B、实验标准偏差C、数学期望D、标准偏差正确答案：D8.计量法律法规的“法律责任”中所规定的责令改正是一种（）A、行政强制措施B、管理要求C、行政处罚D、行政处分9.概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值变化的函数。

概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的（）来表示A、数学期望B、曲线C、标准偏差D、方差正确答案：B10.比热容单位的国际符号是J/(kg.K),其名称的正确读法是A、焦每开千克B、焦每千克开C、焦除以千克开D、焦每千克每开正确答案：B11.计量技术机构应有相应措施以保证机构负责人和员工工作质量不受任何（）的压力和诱惑的影响A、顾客B、外部C、内部D、内部和外部正确答案：D12.标尺间隔相同时，如果标尺间距大则A、读数误差变小B、无法判断读数误差变大还是变小C、读数误差变大D、和读数误差无关正确答案：A13.计量器具的型式指某一计量器具、它的样机及它的技术文件（）等。

概率与统计中的随机变量与概率密度函数概率与统计是一门研究事件发生规律、分析数据造成的随机性的学科。

其中，随机变量和概率密度函数是重要的概念，在研究和描述随机现象时起到了关键作用。

一、随机变量的概念在概率与统计中，随机变量是对随机实验结果的数值描述。

换句话说，随机变量是一个取值不能预先确定的变量，其值是由随机试验的结果决定的。

随机变量可以是离散的或连续的。

离散随机变量是那些只能取一些特定值的变量，如投掷一个骰子得到的点数。

而连续随机变量是那些可以取集合中的任何值的变量，例如测量一件物品的重量。

二、概率密度函数的定义概率密度函数用于描述连续随机变量的概率分布。

简单来说，概率密度函数是一个函数，描述了连续随机变量落在某个区间内的概率。

概率密度函数通常用f(x)表示，其中x是连续随机变量的取值，f(x)表示x的概率密度。

对于概率密度函数f(x)，其满足以下两个条件：1. f(x)大于等于零，对于任意x都成立。

2. 在整个随机变量的范围内，概率密度函数的积分（或累加）为1。

三、随机变量与概率密度函数的关系随机变量和概率密度函数之间存在一定的关系。

对于一个连续的随机变量X，其概率密度函数为f(x)，我们可以通过求取在某个区间内的积分，来获得该随机变量落入该区间的概率。

更具体地说，对于一个区间[a,b]，随机变量X在该区间内的概率可以通过概率密度函数f(x)在该区间上的积分来计算。

P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx四、常见的概率密度函数在概率与统计中，有一些常见的概率密度函数用于描述各种类型的随机变量。

以下是其中几个常见的例子：1. 正态分布（高斯分布）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟形曲线。

正态分布具有均值和标准差作为参数，可用于描述许多自然和人造现象。

2. 均匀分布：均匀分布是指随机变量在给定区间内等可能地取各个值的分布。

其概率密度函数为常数，在区间内保持相等。

西安邮电大学研究生随机过程期末试题1单选(2分)随机过程的数学期望，是随机过程的( )平均，而非( )平均。

[单选题] *A.时间平均，统计平均B.集合平均，统计平均C.统计平均，集合平均D.统计平均，时间平均(正确答案)2单选(2分)随机过程X(t)的互相关函数，描述了( )个随机过程任意( )个不同时刻状态之间的相互关系(相关程度) [单选题] *A.1,2B.2,1C.2,2(正确答案)D.1,13单选(2分)如果两个随机过程相互独立，则这两个随机过程之间没有( )关系。

如果两个随机过程互不相关，则这两个随机过程之间没有( )关系 [单选题] *A.任何，任何B.任何，线性(正确答案)C.线性，线性D.线性，任何4单选(2分)实现遍历过程时间自相关的三部曲正确的顺序是( )，( )和( ) [单选题] *A.平移、点对点相乘、相加2.00/2.00(正确答案)B.相加、点对点相乘，平移C.相加、平移、点对点相乘D.点对点相乘、平移、相加5单选(2分)实现卷积运算的的四部曲( )，( )，( )和( ) [单选题] *A.点对点相乘、平移、反转、相加B.点对点相乘、平移、相加、反转C.反转、相加、点对点相乘，平移D.反转、平移、点对点相乘、相加(正确答案)6单选(2分)若平稳随机过程含有一个周期分量，则其自相关函数则含有一个( )的周期分量。

[单选题] *A.0.5倍周期B.1倍周期(正确答案)C.3倍周期D.2倍周期7单选(2分)。

[单选题] *A.20.00/2.00B.5C.0(正确答案)D.18单选(2分)。

[单选题] *A.(正确答案)B.C.D.9单选(2分)。

[单选题] *A.5(正确答案)B.0C.1D.20.00/2.0010单选[单选题] *A.B.(正确答案)C.D.11单选[单选题] *A.1B.00.00/2.00C.3D.2(正确答案)12单选[单选题] *A.无法判断B.不遍历(正确答案)C.可能遍历也可能不遍历D.遍历13单选[单选题] *A.是的B.无法判断0.00/2.00C.不是(正确答案)D.可能是也可能不是14多选(3分)确定随机试验的3个基本要素是什么？ *A.试验之前却不能断言它出现哪个结果1.00/3.00(正确答案)B.不同条件下可以重复C.相同条件下可以重复；(正确答案)D.结果不止一个；1.00/3.00(正确答案)15多选(3分)随机过程宽平稳的判据有？ *A.数学期望是一常数(正确答案)B.自相关函数只与时间间隔有关，(正确答案)C.均方值是常数D.均方值有限(正确答案)16判断(2分)某次试验的随机变量，可以描述该次随机试验的所有结果，对吗？[单选题] *A.对(正确答案)B.错17判断随机过程是把以时间t作为参数的随机函数的统称，对吗？ [单选题] *A.错B.对(正确答案)18判断(2分)随机过程的一维概率密度，描述的是随机过程在任一特定时刻对应的随机变量的一维概率密度。

随机变量的基本概念随机变量是概率论中的一个重要概念，它是描述随机现象结果的数学变量。

在概率论和数理统计中，随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的，它们在不同的概率分布下具有不同的特性。

本文将介绍随机变量的基本概念，包括随机变量的定义、分类、性质以及常见的概率分布。

一、随机变量的定义随机变量是对随机试验结果的数值描述，它的取值不是确定的，而是依赖于随机试验的结果。

随机变量通常用大写字母表示，如X、Y 等。

在数学上，随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。

1. 离散随机变量：如果随机变量只能取有限个或可数个数值，称为离散随机变量。

离散随机变量的取值是可以数清楚的，例如掷骰子的点数、抛硬币的正反面等。

2. 连续随机变量：如果随机变量在某一区间内可以取无穷多个数值，称为连续随机变量。

连续随机变量的取值是连续的，例如人的身高、温度等。

二、随机变量的分类根据随机变量的取值类型和分布特点，可以将随机变量分为不同的类型，常见的随机变量包括离散型随机变量、连续型随机变量和混合型随机变量。

1. 离散型随机变量：离散型随机变量的取值是有限个或可数个，通常用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）描述其分布特征。

常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项随机变量、泊松随机变量等。

2. 连续型随机变量：连续型随机变量的取值是连续的，通常用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）描述其分布特征。

常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

3. 混合型随机变量：混合型随机变量是离散型随机变量和连续型随机变量的组合，其取值既可以是离散的，也可以是连续的。

混合型随机变量的分布特征由概率质量函数和概率密度函数共同描述。

三、随机变量的性质随机变量具有一些重要的性质，包括期望、方差、协方差等，这些性质可以帮助我们更好地理解随机变量的特征和分布规律。

一．思考题1．什么是概率分布?答：概率分布是一个随机变量取任何给定值或属于某一给定值集的概率随取值而变化的函数，该函数称为概率密度函数。

2．试写出测量值X落在区间[ ] b a, 内的概率p与概率密度函数的函数关系式，并说明其物理意义。

答：p(a X b) p(x)dxb⎰a ≤ ≤ =式中，p(x)为概率密度函数，数学上积分代表面积。

物理意义:概率分布曲线概率分布通常用概率密度函数随随机变量变化的曲线来表示，如图所示。

测量值X落在区间[a,b]内的概率p 可用上式计算由此可见，概率p 是概率分布曲线下在区间[a,b]内包含的面积，又称包含概率或置信水平。

当p = 0.9，表明测量值有90%的可能性落在该区间内，该区间包含了概率分布下总面积的90%。

在(一∞～+∞)区间内的概率为1，即随机变量在整个值集的概率为l。

当p =1(即概率为1)表明测量值以100%的可能性落在该区间内，也就是可以相信测量值必定在此区间内。

3．表征概率分布的特征参数是哪些?答：期望和方差是表征概率分布的两个特征参数。

4．期望和标准偏差分别表征概率分布的哪些特性?答:期望μ 影响概率分布曲线的位置；标准偏差σ 影响概率分布曲线的形状，表明测量值的分散性。

5．有限次测量时，期望和标准偏差的估计值分别是什么?答：有限次测量时，算术平均值X 是概率分布的期望μ 的估计值。

即：∑ =nii xnX11＝有限次测量时，实验标准偏差s 是标准偏差σ 的估计值。

即：( )( )112--=∑=nx Xs xniipage254-2556．正态分布时，测量值落在μ ± kσ 区间内，k = 2 时的概率是多少?是如何得来的?答：测量值X 落在[a,b]区间内的概率为( ) ( )( )( ) ( ) 2 12 2221p a X b p x dx e dx u ubaxbaφ φσ πσμ≤ ≤ = ⎰ = ⎰ = ---式中，u = (x -μ )/σ已知：μ ± kσ ，k = 2，令δ＝x -μ ，设δ ≤ 2σ，即：u =δ /σ = ±2，2, 2 1 1 2 2 u = z = - u = z =p = ( x -μ ≤ 2σ )=ϕ =φ (2)-φ (- 2) = 2φ(2)-1 = 2⨯0.97725 -1 = 0.9545当k = 2时，置信概率为95.45%7．有哪些常用的概率分布?它们的置信区间半宽度与置信因子分别有什么关系? 答：①均匀分布：置信区间半宽度等于3倍的σ (x)标准偏差。

第53讲离散型随机变量及其分布列一、考情分析1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.二、知识梳理1.离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，x i，…，x n，X取每一个值x i(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，p n，则表称为离散型随机变量X.(2)离散型随机变量分布列的性质：①p i≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋p n＝1；③P(x i≤x≤x j)＝p i＋p i＋1＋…＋p j.3.常见离散型随机变量的分布列(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量p的二点分布.(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝C m M C n－mN－MC n N(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.三、 经典例题考点一 离散型随机变量分布列的性质【例1】 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1，2，3，4，5).(1)求a 的值； (2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710.解 (1)由分布列的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a＋5a ＝1，所以a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.(3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝25.规律方法 分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.考点二 超几何分布的应用典例迁移【例2】 (经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列.解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P (M )＝C 48C 510＝518.(2)由题意知X 可取的值为0，1，2，3，4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，P(X＝4)＝C16C44C510＝142.因此X的分布列为【迁移探究1】用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列. 解由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则P(X＝1)＝C16C44C510＝142，P(X＝2)＝C26C34C510＝521，P(X＝3)＝C36C24C510＝1021，P(X＝4)＝C46C14C510＝521，P(X＝5)＝C56C510＝142.因此X的分布列为【迁移探究2】用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.解由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，则P(X＝3)＝C44C16C510＝142，P(X＝1)＝C34C26C510＝521，P(X＝－1)＝C24C36C510＝1021，P(X＝－3)＝C14C46C510＝521，P(X＝－5)＝C56C510＝1 42，因此X的分布列为规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.考点三求离散型随机变量的分布列【例3】为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.解(1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝C120C1100C2200＋C1100C180C2200＝100199，P(X＝2)＝P(C)＝C120C180C2200＝16199，P(X＝0)＝P(D)＝C220＋C2100＋C280C2200＝83199，∴X的分布列为X 01 2P 8319910019916199规律方法求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率. [方法技巧]1.对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率.2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率.四、 课时作业1．（2020·浙江高三二模）已知随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-，若203x <<，则随x 增大（ ） A ．()E ξ增大()D ξ增大 B ．()E ξ减小()D ξ增大 C ．()E ξ减小()D ξ减小 D ．()E ξ增大()D ξ减小【答案】C 【解析】解：随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-， 124()012()333E x x x ξ∴=⨯+⨯+-=-，222224144218111()(0)(1)(2)()()3333339612D x x x x x x x x ξ=-+⨯+-++-+-=--+=-++.若203x <<，则随x 增大，()E ξ减小，()D ξ减小. 2．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744【答案】C【解析】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=.3．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布()2120,N σ，且成绩在区间()110,130内的人数占总人数的1725，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ） A ．10 B ．32 C ．34 D ．37【答案】B【解析】设测试成绩为ξ，则()2~120,N ξσ，又()()()178110130111013012525P P P ξξξ≤+≥=-<<=-=， 所以()()18411013022525P P ξξ≤=≥=⨯=， 所以成绩不低于130分的职工人数大约为42003225⨯=． 4．（2020·新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现解析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( ) A ．85 B ．85.5C ．86D ．86.5【答案】A【解析】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081854050⨯+⨯=+，故选：A ．5．（2020·黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则该变量的方差()D ξ=（ ）A ．43B ．113C ．89D ．329【答案】C【解析】1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由二项分布的方差公式可得()11841339D ξ⎛⎫=⨯⨯-=⎪⎝⎭. 6．（2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X 的方差是（ ）A ．165B ．6425C ．1625D ．645【答案】C【解析】由条件可知44,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以()411645525D X =⨯⨯=. 7．（2020·四川宜宾·高三其他（理））某同学投篮命中的概率为0.6，且各次投篮是否命中相互独立，他投篮3次，至少连续2次命中的概率是（ ） A ．0.504 B ．0.524 C ．0.624 D ．0.648【答案】A【解析】由题可知：若连续两次命中概率为：()220.610.60.288⨯⨯-=若连续三次命中概率为：30.60.216=所以他投篮3次，至少连续2次命中的概率是0.2880.2160.504+= 8．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且()020.3P X ≤≤=，则()4P X >=（ ）A ．0.6B ．0.2C ．0.4D ．0.35【答案】B【解析】∵随机变量X 服从正态分布()22,N σ，∴正态曲线的对称轴是2x =， ∵()020.3P X ≤≤=， ∴()40.50.30.2P X >=-=.9．（2020·大连市普兰店区第三十八中学高三开学考试）已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84ξ<=P ，则(1)P ξ≤=（ ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.84【答案】A【解析】由(3)0.84(3)10.840.16P P ξξ<=⇒≥=-=， 因为正态分布()22,N σ的对称轴为：2x =，所以(1)(3)0.16P P ξξ≤=≥=.10．（2020·湖南高三其他（理））纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为（ ）．A ．34B ．3742C ．2137D ．542【答案】B【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ，满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ，因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ⨯⨯=-=-=⨯⨯，故选：B.11．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．150 B ．200C ．300D ．400【答案】C【解析】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 12．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(24)P ξ-<<=（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8【答案】D【解析】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =，因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=，故选：D13．（2020·浙江高三月考）袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，摸出一个红球的概率是13，有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，则ξ的数学期望()E ξ=（ ）A ．13181B ．14381C ．433243D ．593243【答案】A【解析】由题意，ξ能取的值为0，1，2，3，则()5132013243P ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ξ，()41511801133243P C ⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎝⎭ξ， ()232511802133243P C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ξ， ()322222341111111513113333333243P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξ， 则ξ的数学期望()32808051131012324324324324381E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ. 14．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（ ） A ．60 B ．70 C ．80 D ．90【答案】C【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.15．（2020·全国开学考试（理））宋代文学家欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，由此诠释出了“熟能生巧”的道理.已知铜钱是直径为4cm 的圆，正中间有一边长为1cm 的正方形小孔现先后两次随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则两次油滴均落入孔中的概率为（ ）A ．2116πB ．116πC ．214πD ．14π【答案】A【解析】解：圆的面积为22=4ππ⨯ 2cm ，正方形的面积为21cm ， 则一滴油滴落入孔中的概率14πP =， 所以两滴油滴均落入孔中的概率21114π4π16πP =⨯=. 16．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考（理））已知随机变量ξ服从二项分布25,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()21D ξ+=（ ）A ．125B ．8C ．245D ．5【答案】C【解析】因为随机变量ξ服从二项分布25,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22651555D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()2624212455D D ξξ=⨯=⨯+=，故选：C.17．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z 近似地服从正态分布()2453,99N ，估计这些考生成绩落在(]552,651的人数约为（ ）(附：()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=)A ．36014B ．72027C ．108041D ．168222【答案】B【解析】()2453,99ZN ，453,99μσ∴==，()3545520.6827P Z ∴<≤=，()2556510.9545P Z <≤=， ()()()2556513545525526512P Z P Z P Z <≤-<≤∴<≤=0.95450.68270.13592-==，这些考生成绩落在(]552,651的人数约为5300000.135972027⨯=.18．（多选题）（2020·山东青岛·高三开学考试）近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布2(,30)N μ和2(280,40)N ，则下列选项正确的是（ ）附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A ．若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B ．红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C ．白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D ．白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 【答案】ABD【解析】对于选项A ：+30=280，=250μμ，正确；对于选项B C ：利用σ越小越集中，30小于40，B 正确，C 不正确； 对于选项D ：(280320)=<<P X 1()0.68260.34132μμσ<<+≈⨯≈P X ，正确. 19．（多选题）（2020·广东珠海·高三月考）已知随机变量X 的取值为不大于()n n N *∈的非负整数，它的概率分布列为其中(0,1,2,3,,)i p i n =满足[0,1]i p ∈，且0121n p p p p ++++=．定义由X 生成的函数230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，()g x 为函数()f x 的导函数，()E X 为随机变量X 的期望．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X ，此时由X 生成的函数为1()f x ，则（ ） A ．()(2)E X g = B ．115(2)2f =C ．()(1)E X g =D ．1225(2)4f =【答案】CD【解析】解：因为230123()i n i n f x p p x p x p x p x p x =+++++++，则1211123()'()23i n i n g x f x p p x p x ip x np x --==++++++，123()23i n E X p p p ip np =++++++， 令1x =时，123()23(1)i n E X p p p ip np g =++++++=，故选项A 错误，选项C 正确；连续抛掷两次骰子，向下点数之和为X ，则X 的分布列为：234567811()16161616161616f x x x x x x x x =++++++ 234567811234321225(2)2222222161616161616164f =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故选项B 错误；选项D 正确.20．（多选题）（2020·湖北葛洲坝中学高三月考）下列命题中正确的是（ ） A ．命题p ：0x ∃<，1x e x ->的否定p ⌝：0x ∀≥，1x e x -≤ B ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，(4)0.79P ξ≤=，则(2)0.21P ξ≤-=；C ．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为0.3y x m =-，若样本中心点为(), 2.8m -，则4m =D ．若随机变量()100,X B p ，且()20E X =，则()12D X =【答案】BC【详解】对于选项A ，命题p ：0x ∃<，1x e x ->的否定为p ⌝：0x ∀<，1x e x -≤，所以A 不正确； 对于选项B ，因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线关于1x =对称，所以(2)(4)10.790.21P P ξξ≤-=≥=-=，所以B 正确；对于选项C ，因为回归直线一定经过样本中心点，所以 2.80.30.7m m m -=-=-， 即4m =，所以C 正确； 对于选项D ，因为()100,XB p ，且()20E X =，所以10020p =，即0.2p =，所以()1000.20.816D X =⨯⨯=，所以D 不正确.21．（2020·云南师大附中高三月考（理））华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.据调查数据显示，2019年度华为手机（含荣耀）在中国市场占有率接近40%.小明为了考查购买新手机时选择华为是否与年龄有一定关系，于是随机调查100个2019年购买新手机的人，得到如下不完整的列表.定义30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.（1）将列表填充完整，并判断是否有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？（2）若采用分层抽样的方法从购买华为手机用户中抽出9个人，再随机抽3人，其中年轻用户的人数为X ，求X 的分布列和期望. 【详解】（1）易得由列表可得()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()210036122824 1.042 2.70640603664⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关系. （2）利用分层抽样抽取9个购买华为手机的用户， 易知其中有3个年轻用户，6个非年轻用户.现在其中随机抽取3人，设抽到的年轻用户人数为X ， 则X 可能的取值为0，1，2，3，易得()()336390,1,2,3i i C C P X i C i -===， 故分布列为()0123121281484E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 22．（2020·云南高三月考（理））某校从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定回答1相关问题做最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级4名选手，现从每个班级4名选手中随机抽取2人回答这个问题．已知这4人中，甲班级有3人可以正确回答这道题目，而乙班级4人中能正确回答这道题目的概率每人均为34，甲、乙两班级每个人对问题的回答都是相互独立，互不影响的．（1）求甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率；（2）设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X ，Y ，求随机变量X ，Y 的期望()E X ，()E Y 和方差()D X ，()D Y ，并由此解析由哪个班级代表学校参加大赛更好？【详解】解：（1）甲、乙两个班级抽取的4人都能正确回答的概率2232439432C P C ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭； （2）甲班级能正确回答题目人数为X ，X 的取值分别为1，2，()121341112C C P X C ===，()2432122C P X C ===，则()11312222E X =⨯+⨯=，()22313111222224D X ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 乙班级能正确回答题目人数为Y ，Y 的取值分别为0，1，2，∵3~2,4Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()33242E Y =⨯=，()3132448D Y =⨯⨯=，由()()E X E Y =，()()D X D Y <可知，由甲班级代表学校参加大赛更好．23．（2020·河南洛阳·月考（理））为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：Pass （通过）与Fail （失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节．复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败．假定买家每一关通过的概率均为13，且各关卡之间是否通过相互独立． （1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；（2）若闯关成功，则买家可赢得50元的购物红包．若闯关失败．则可获得10元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款．某日有8100人参与了游戏且均在该网店消费． （ⅰ）求该日所有买家所获红包总金额X 的数学期望：（ⅱ）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利8元/人，从中奖的买家的购物中平均获利120元/人（均不含所发红包在内）．试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由.【详解】解：（1）买家通过三关的概率为33311327C ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭， 买家参加复活环节并闯关成功的概率为222232121233381C C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以买家闯关成功的概率125278181P =+=． （2）（ⅰ）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率581P =，设这8100名买家中闯关成功的人数为Y ， 则()501081004081000X Y Y Y =+-=+， 且5~8100,81Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以Y 的数学期望为()5810050081E Y =⨯=， 所以该日所有买家所获红包总金额X 的数学期望为()()()40810004081000101000E X E Y E Y =+=+=元．（ⅱ）设电商该日剔除红包款后盈利Z 元，则()()()8810050012050019800E Z E X =⨯-+⨯-=元， 由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算．。