2020届人教A版(文科数学)等差数列及其前n项和单元测试
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考点规范练29 等差数列及其前n 项和一、基础巩固1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 8=6,则S 9等于( )A. B.27 C.54 D.1082729==27.9(a 1+a 9)2=9(a 2+a 8)22.已知{a n }是公差为1的等差数列,S n 为{a n }的前n 项和.若S 8=4S 4,则a 10=( )A. B. C.10 D.12172192公差d=1,S 8=4S 4,∴,8(a 1+a 8)2=4×4(a 1+a 4)2即2a 1+7d=4a 1+6d ,解得a 1=.12∴a 10=a 1+9d=+9=.121923.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( )A.-12B.-10C.10D.123S 3=S 2+S 4,所以3S 3=(S 3-a 3)+(S 3+a 4),即S 3=a 4-a 3.设公差为d ,则3a 1+3d=d ,又由a 1=2,得d=-3,所以a 5=a 1+4d=-10.4.已知等差数列{a n }的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为( )A.110B.200C.210D.260{a n }的前n 项和为S n .∵在等差数列{a n }中,S 4,S 8-S 4,S 12-S 8成等差数列,又S 4=30,S 8=100,∴30,70,S 12-100成等差数列,∴2×70=30+S 12-100,解得S 12=210.5.已知数列{a n }是等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,{a n }的前n 项和为S n ,则使得S n 达到最大的n 是( )A.18B.19C.20D.211+a 3+a 5=105⇒a 3=35,a 2+a 4+a 6=99⇒a 4=33,则{a n }的公差d=33-35=-2,a 1=a 3-2d=39,S n =-n 2+40n ,因此当S n 取得最大值时,n=20.6.在等差数列{a n }中,若是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( )a n a 2n A.{1}B. C. D.{1,12}{12}{0,1,12}.若=1,则数列{a n }是一个常数列,满足题意;a n a 2n 若,a na 2n =12设等差数列的公差为d ,则a n =a 2n =(a n +nd ),1212化简,得a n =nd ,即a 1+(n-1)d=nd ,化简,得a 1=d ,也满足题意;若=0,则a n =0,不符合题意.故选B .a na 2n 7.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是 斤.a 1,a 2,…,a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a 1,a 2,…,a 8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a 1+×17=996,解得a 1=65.8×72所以a 8=65+7×17=184.8.在数列{a n }中,其前n 项和为S n ,a 1=1,a 2=2,当整数n ≥2时,S n+1+S n-1=2(S n +S 1)都成立,则S 15= .S n+1+S n-1=2(S n +S 1),得(S n+1-S n )-(S n -S n-1)=2S 1=2,即a n+1-a n =2(n ≥2),则数列{a n }从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S 15=1+2×14+14×132×2=211.9.若数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n S n-1=0(n ≥2),a 1=.(1)求证:成等差数列;{1S n}(2)求数列{a n }的通项公式.n ≥2时,由a n +2S n S n-1=0,得S n -S n-1=-2S n S n-1,所以=2.1S n ‒1S n -1又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.1S 1=1a 1{1S n}(1)可得=2n ,S n =.1S n 12n 当n ≥2时,a n =S n -S n-1==-.12n ‒12(n -1)=n -1-n2n (n -1)12n (n -1)当n=1时,a 1=不适合上式.12故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2.10.在等差数列{a n }中,a 3+a 4=4,a 5+a 7=6.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =[a n ],求数列{b n }的前10项和,其中[x ]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.设数列{a n }的公差为d ,由题意有2a 1+5d=4,a 1+5d=3,解得a 1=1,d=.25所以{a n }的通项公式为a n =.2n +35(2)由(1)知,b n =.[2n +35]当n=1,2,3时,1≤<2,b n =1;2n +35当n=4,5时,2≤<3,b n =2;2n +35当n=6,7,8时,3≤<4,b n =3;2n +35当n=9,10时,4≤<5,b n =4.2n +35所以数列{b n }的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.二、能力提升11.若数列{a n }满足:a 1=19,a n+1=a n -3(n ∈N *),则当数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A.6B.7C.8D.9a 1=19,a n+1=a n -3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列.∴a n =19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{a n }的前k 项和数值最大,则有k ∈N *.{a k ≥0,a k +1≤0,∴≤k ≤.{22-3k ≥0,22-3(k +1)≤0.∴193223∵k ∈N *,∴k=7.∴满足条件的n 的值为7.12.(2018安徽皖中名校联盟联考)已知数列{a n }为等差数列,其前n 项和为S n ,且2a 1+3a 3=S 6,给出以下结论:①a 10=0;②S 10最小;③S 7=S 12;④S 19=0.其中一定正确的结论是( )A.①②B.①③④C.①③D.①②④{a n }的公差为d ,则2a 1+3a 1+6d=6a 1+15d ,即a 1+9d=0,a 10=0,故①正确;若a 1>0,d<0,则S 9=S 10,且它们为S n 的最大值,故②错误;S 12-S 7=a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=5a 10=0,即S 7=S 12,故③正确;S 19==19a 10=0,故④正确.19(a 1+a 19)213.已知数列{a n }是等差数列,数列{b n }满足b n =a n a n+1a n+2(n ∈N *),设S n 为{b n }的前n 项和.若a 12=a 5>0,则当S n 取得最大值时,n 的值等于 .{a n }的公差为d ,由a 12=a 5>0,得a 1=-d ,a 12<a 5,即d<0,765所以a n =d ,从而可知当1≤n ≤16时,a n >0;(n -815)当n ≥17时,a n <0.从而b 1>b 2>…>b 14>0>b 17>b 18>…,b 15=a 15a 16a 17<0,b 16=a 16a 17a 18>0,故S 14>S 13>…>S 1,S 14>S 15,S 15<S 16,S 16>S 17>S 18>….因为a 15=-d>0,a 18=d<0,所以a 15+a 18=-d+d=d<0,所以b 15+b 16=a 16a 17(a 15+a 18)>0,所以6595659535S 16>S 14,所以S n 中S 16最大.故答案为16.14.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2<0,且1,a 2,81成等比数列,a 3+a 7=-6.(1)求{a n }的通项公式;(2)求的前n 项和T n 取得最小值时n 的值.{S n n }∵a 3+a 7=-6=2a 5,∴a 5=-3.∵1,a 2,81成等比数列,∴=1×81.a 22又a 2<0,∴a 2=-9.∴等差数列{a n }的公差d==2.a 5-a 25-2=-3-(-9)5-2∴a n =a 2+(n-2)×2=2n-13.(2)∵S n ==n 2-12n.n (-11+2n -13)2∴=n-12.由n-12≤0,解得n ≤12.S n n 因此,当n=11或n=12时,的前n 项和T n 取得最小值.{S nn }15.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.(1)求通项公式a n ;(2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =,求非零常数c.S nn +c∵数列{a n }为等差数列,∴a 3+a 4=a 2+a 5=22.又a 3·a 4=117,∴a 3,a 4是方程x 2-22x+117=0的两实根.又公差d>0,∴a 3<a 4,∴a 3=9,a 4=13,∴{a 1+2d =9,a 1+3d =13,∴{a 1=1,d =4.∴通项公式a n =4n-3.(2)由(1)知a 1=1,d=4,∴S n =na 1+d=2n 2-n=2.n (n -1)2(n -14)2‒18∴当n=1时,S n 最小,最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,∴b n =,S nn +c=2n 2-n n +c ∴b 1=,b 2=,b 3=.11+c 62+c 153+c ∵数列{b n }是等差数列,∴2b 2=b 1+b 3,即×2=,62+c 11+c +153+c∴2c 2+c=0,∴c=-(c=0舍去),故c=-.1212三、高考预测16.已知各项均为正数的等差数列{a n }满足:a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求同时满足下列条件的所有a n 的和:①20≤n ≤116;②n 能够被5整除.∵a 4=2a 2,且a 1,4,a 4成等比数列,∴解得{a 1+3d =2(a 1+d ),a 1·(a 1+3d )=16,{a 1=2,d =2.∴数列{a n }的通项公式为a n =a 1+(n-1)·d=2+2(n-1)=2n.(2)∵n 同时满足:①20≤n ≤116;②n 能够被5整除,∴满足条件的n 组成等差数列{b n },且b 1=20,d=5,b n =115,∴项数为+1=20.115-205∴{b n }的所有项的和为S 20=20×20+×20×19×5=1 350.12又a n =2n ,即a n =2b n ,∴满足条件的所有a n 的和为2S 20=2×1 350=2 700.。
2.3等差数列前n 项和同步检测一、选择题1. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ,则=m ( ) A.3 B.4C.5D. 6答案:C解析:解答:由已知得,当m≥2时,21=-=-m m m S S a ,311=-=++m m m S S a ,因为数列}{n a 为等差数列,所以11=-=+m m a a d ,又因为02)(1=+=m m a a m S ,所以0)2(1=+a m ,因为0≠m ,所以21-=a ,又2)1(1=-+=d m a a m ,解得5=m .故选C.分析:利用当n ≥2时1--=n n n S S a ,求出m a 及1+m a 的值,从而确定等差数列}{n a 的公差,再利用前n 项和公式求出m 的值.2.已知{a n }是等差数列,a 1+a 2=4,a 7+a 8=28,则该数列前10项和S 10等于( ) A 、64B 、100C 、110D 、120答案:B解析:解答:设公差为d ,由a 1+a 2=4,a 7+a 8=28得112421328a d a d +=⎧⎨+=⎩ 1101091,2,101+2=1002a d S ⨯===⨯⨯解得,故选B . 分析:利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于a 1,d 的方程组,求出a 1和d ,代入等差数列的前n 项和公式求解即可. 3.等差数列{a n }的前n 项为S n ,若a 2+a 6+a 7=18,则S 9的值是( )A .64B .72C .54D .以上都不对答案:C 解析:解答:设公差为d ,由a 2+a 6+a 7=3a 1+12d =3a 5=18,得a 5=6.所以S 9=()1992a a +=9a 5=54,故选C分析:根据等差数列的性质m +n =p +q ,a m +a n =a p +a q ,代入等差数列的前n 项和公式求解即可.4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( ) A 、13B 、35C 、49D 、63答案:C解析:解答:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由a 2=3,a 6=11,得114511a d a d +=⎧⎨+=⎩110979767,,7+=4944424a d S ⨯===⨯⨯解得,故选C .分析:利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于a 1,d 的方程组,求出a 1和d ,代入等差数列的前n 项和公式求解即可.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n ﹣49,则当S n 取最小值时,项数n ( ) A 、1B 、23C 、24D 、25答案:C解析:解答:由a n =2n ﹣49,当n=1时,a 1=-47数列,则{a n }为等差数列()247249482nn S n n n -+-=⨯=-=(n ﹣24)2﹣242结合二次函数的性质可得当n =24时和有最小值 故选:C分析:由a n =2n ﹣49可得数列{a n }为等差数列,则可得()247249482n n S n n n -+-=⨯=-,()n N *∈结合二次函数的性质可求.6.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 7>0,a 8<0,则下列结论正确的是( )A .S 7<S 8B .S 15<S 16C .S 13>0D .S 15>0答案:C解析:解答:根据数列的增减性,由已知可知该等差数列{a n }是递减的,且S 7最大即S n ≤S 7对一切n ∈N *恒成立.可见选项A 错误;易知a 16<a 15<0,S 16=S 15+a 16<S 15,选项B 错误;S 15=152 (a 1+a 15)=15a 8<0,选项D 错误; S 13=132(a 1+a 13)=13a 7>0.分析:因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列),根据数列的增减性,即可.7.在等差数列{a n}中,a9=12a12+6,则数列{a n}的前11项和S11=( )A.24 B.48 C.66 D.132 答案:D解析:解答:由a9=12a12+6,得2a9-a12=12.由等差数列的性质得,a6+a12-a12=12,a6=12,S11=()11161111222a a a+⨯===132,故选D.分析:根据等差数列的性质m+n=p+q,a m+a n=a p+a q,代入等差数列的前n项和公式求解即可.8、数列{a n}中,a1=﹣60,且a n+1=a n+3,则这个数列的前30项的绝对值之和为()A、495B、765C、3105D、120答案:B解析:解答:∵a n+1﹣a n=3,∴a n=3n﹣63,知数列的前20项为负值,∴数列的前30项的绝对值之和为:﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+(s30﹣s20)=765 故选B.分析:在理解概念的基础上,由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言,归纳出数学表达式,对于绝对值的应用,若记不住它的前几项的绝对值和的表示,可以自己推导出来,但以后要记住.9、已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使得S n 达到最大值的n是()A、21B、20C、19D、18答案:B解析:解答:设{a n}的公差为d,由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②由①②联立得a1=39,d=﹣2,∴s n=39n+()12n n-×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,故当n=20时,S n达到最大值400.故选B.分析:求等差数列前n 项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题,但注意n 取正整数这一条件.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-3,a k +1=32,S k =-12,则正整数k 的值为( ).A .12 B.13 C.14 D.15 答案:B解析:解答: 根据数列前n 项和性质,可得S k +1=S k +a k +1=-12+32=212-, 又S k +1=()()111+2k k a a -+=()31322k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=212-,解得k =13. 分析:本题考查等差数列的前n 项和公式的合理运用,解题时要认真审题,注意等差数列的通项公式的合理运用即可.11.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( ) A 、5B 、4C 、3D 、2答案:C解析:解答:因为等差数列共有10项,奇数项之和为a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=15①, 偶数项之和为a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=30②,则②-①得5d=15,故d=3,故选C .分析:等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解,让每一个偶数项减去前一奇数项,有几对得到几个公差,让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数. 12.如果等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么S 7=( )A .14B .21C .28D .35 答案:C解析:解答:由等差数列的性质知,a 3+a 4+a 5=3a 4=12⇒a 4=4,所以a 1+a 2+a 3+…+a 7=(a 1+a 7)+(a 2+a 6)+(a 3+a 5)+a 4=7a 4=28. 分析:根据等差数列的性质m +n =p +q ,a m +a n =a p +a q ,代入等差数列的前n 项和公式求解即可.答案:C解析:解答:()()111212nn n na S d a n nn -+==+-,分析:本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用,认真审题即可。
1.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1= ( )A. B.- C. D.-【解析】选C.由题知公比q≠1,则S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,则a1=.【变式备选】设S n为等比数列{a n}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q= ( ) A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选B.由题意知,q≠1,则,两式相减可得=q3-q2,即=1,所以q=4.2.数列{a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于( )A.1B.-1C.D.2【解析】选D.由a n+1=λa n -1,得a n+1-1=λa n -2=λ.由于数列{a n -1}是等比数列,所以=1,得λ=2.3.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏【解析】选B.塔的顶层共有灯x 盏,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381可得x=3.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4,n ∈N *,则a n = ( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 【解析】选A.因为a n+1=S n+1-S n =2a n+1-4-(2a n -4),所以a n+1=2a n , 因为a 1=2a 1-4,所以a 1=4,所以数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,所以a n =4·2n-1=2n+1.填空题2.(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T15)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为 .【解析】由于{a n }是等比数列,设a n =a 11n q -,其中a 1是首项,q 是公比.所以1324a a 10,a a 5,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩⇔211311a a q 10,a q a q 5,⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得:1a 8,1q .2⎧=⎪⎨=⎪⎩故a n =n 412-⎛⎫⎪⎝⎭,所以a 1·a 2·…·a n =()()()32n 412-+-+⋯+-⎛⎫⎪⎝⎭=()1n n 7212-⎛⎫⎪⎝⎭=21749n 22412⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭.当n=3或4时,21749n 224⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦取到最小值-6,此时21749n 22412⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭取到最大值26.所以a 1·a 2·…·a n 的最大值为64. 答案:64 一、解答题3.(2016·全国卷Ⅲ·理科·T17)(本小题满分12分) 已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式. (2)若S 5=3132,求λ. 【解析】(1)由题意得a 1=S 1=1+λa 1,故a 1=11λ-, 由S n =1+λa n ,S n+1=1+λa n+1得a n+1=λa n+1-λa n ,所以n 1n a λ=a λ1+-, 因此数列{}n a 是以a 1=11λ-为首项,以λλ1-为公比的等比数列,a n =n 11λ1λλ1-⎛⎫⎪--⎝⎭.(2)由(1)得S n =1-nλλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭,又因为S 5=3132, 所以3132=1-5λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭,即5λλ1⎛⎫ ⎪-⎝⎭=132,解得λ=-1. 4.(2016·四川高考理科·T19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,求数列{a n }的通项公式.(2)设双曲线x 2-22n y a =1的离心率为e n ,且e 2=53,证明:e 1+e 2+…+e n >n n n 143 3--.【解题指南】(1)在S n+1=qS n +1中,用n-1代替n ,将两式相减判断出数列{a n }为等比数列,再结合等差中项求出公比,从而求出{a n }的通项公式.(2)先求出数列的通项公式,从而求出数列{e n }的通项公式,进而证明不等式.【解析】(1)由题S n+1=qS n +1①可知当n ≥2时,S n =qS n-1+1②,两式相减可得a n+1=qa n ,即{a n }从第二项开始为公比是q 的等比数列,当n=1时,代入可得a 1+a 2=qa 1+1,所以a 2=q ,即{a n }为公比是q 的等比数列.根据2a 2,a 3,a 2+2成等差数列,由等差数列性质可得2a 2+a 2+2=3a 2+2=2a 3,即2q 2-3q-2=0,求解可得q=2或q=-1 2,由题q>0可知,q=2,所以a n =2n-1,n ∈N *. (2)证明:由双曲线的性质可知,e n==由(1)可得, {a n }是首项为1,公比为q 的等比数列,故e 2=53==,即q=43,所以{a n }为首项为1,公比为43的等比数列,通项公式为a n =n 143-⎛⎫⎪⎝⎭(n ∈N *),所以e n=n 143-⎛⎫>= ⎪⎝⎭,e 1+e 2+…+e n >1+n2n 1n n n 1413444434333313--++=⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫-⎝⎭+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-,原式得证.5.(2016·四川高考文科·T19)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N *.(1)若a 2,a 3,a 2+ a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式.(2)设双曲线x 2-22ny a =1的离心率为e n ,且e 2=2,求22212e e e n+++. 【解题指南】(1)利用a n =S n -S n-1,两式相减,得出数列为等比数列,利用数列的通项公式得出结论.(2)先利用双曲线的离心率得到e n 的表达式,再解出q 的值,最后利用等比数列的求和公式求解计算.【解析】(1)由已知,S n+1=qS n +1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1. 又由S 2=qS 1+1得到a 2=qa 1,故a n+1=qa n 对所有n ≥1都成立. 所以,数列{}n a 是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而a n =q n-1.由a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,可得2a 3=a 2+a 2+a 3,所以a 3=2a 2,,故q=2. 所以a n =2n-1(n ∈N *).(2)由(1)可知,a n =q n-1.所以双曲线x 2-22ny a =1的离心率e n==由e2=解得q=所以,()()()2n 1221222 e e e 111q 1q n -⎡⎤++++++⎦=+⋯++⎣ =()2n2n 122q 1n 1q qn q 1--⎡⎤+++⋯+=+⎣⎦- =()n1n 31.2+- 6.(2016·江苏高考T20)(本题满分16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =12kt t t a a a +++,例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66,现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列错误!未找到引用源。
2.3 等差数列的前n 项和练习一.选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出来填在题后的括号内.1.等差数列{}n a 中,10120S =,那么110a a +=( )A. 12B. 24C. 36D. 482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和,其差为( )A. 0B. 90C. 180D. 3603.已知等差数列{}n a ,219n a n =-,那么这个数列的前n 项和n s ( )A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30,前2m 项的和为100,则它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中,125a =,175b =,100100100a b +=,则数列{}n n a b +的前100项和为( )A. 0B. 100C. 1000D. 100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列,则a b +=( ) A. 38 B. 1124 C. 1324 D. 3172二.填空题:本大题共4小题,每小题 4分,共16分,把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中,若638a a a =+,则9s = .8.等差数列{}n a 中,若232n S n n =+,则公差d = .9.在小于100的正整数中,被3除余2的数的和是 .10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,且满足733n n S n T n +=+,则88a b = . 【整合提高】三.解答题(本大题共2小题,每小题10分,共20分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤,11.在等差数列{}n a 中,40.8a =,11 2.2a =,求515280a a a +++L .12.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知312a =,12S >0,13S <0,①求公差d 的取值范围;②1212,,,S S S L 中哪一个值最大?并说明理由.参考答案:1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.08.69.1650 10.611.∵40.8a =,11 2.2a =,∴由1147a a d =+得0.2d =,∴51114010.2a a d =+= ∴5152805130293029303010.20.239322a a a a d ⨯⨯+++=+=⨯+⨯=L g . 12.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩g ,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S L 中6S 最大.。
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课时跟踪检测(九) 等差数列的前n项和A级——学考水平达标1.已知数列{a n}的通项公式为a n=2-3n,则{a n}的前n项和S n等于() A.-错误!n2+错误!B.-错误!n2-错误!C。
错误!n2+错误!D。
错误!n2-错误!解析:选A ∵a n=2-3n,∴a1=2-3=-1,∴S n=错误!=-错误!n2+错误!. 2.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a7>0,a8<0,则下列结论正确的是( ) A.S7〈S8B.S15<S16C.S13>0 D.S15>0解析:选 C 由等差数列的性质及求和公式得,S13=13a1+a132=13a7>0,S15=错误!=15a8〈0,故选C。
3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于()A.63 B.45C.36 D.27解析:选B ∵a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质可知,S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列,所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,7a5+5a9=0,且a9>a5,则S n取得最小值时n的值为()A.5 B.6C.7 D.8解析:选B 由7a5+5a9=0,得a1d=-错误!.又a9〉a5,所以d>0,a1<0.因为函数y=错误!x2+错误!x的图象的对称轴为x=错误!-错误!=错误!+错误!=错误!,取最接近的整数6,故S n取得最小值时n的值为6。
第二节等差数列及其前n项和A组基础题组1.(2019广东惠州模拟)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2+a3+a4=15,a7=13,则S5=( )A.28B.25C.20D.18答案 B 由{a n}是等差数列,可得a2+a4=2a3,所以a3=5,所以S5===25,故选B.2.若等差数列{a n}的前n项和为S n,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是( )A.20B.36C.24D.72答案 C 由a2+S3=4及a3+S5=12,得解得∴a4+S7=8a1+24d=24.故选C.3.记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{a n}的公差为( )A.1B.2C.4D.8答案 C 设数列的公差为d,由已知条件和等差数列的通项公式与前n项和公式可列方程组,-故选C.即解得4.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为( )A.22B.21C.24D.23答案 D 因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-(n-1)=-n+,令a n=-n+>0,得n<23.5,因为n∈N*,所以使a k·a k+1<0的k值为23.5.(2019广东广州联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a m=4,S m=0,S m+2= m≥ 且m∈N*),则a2 017的值为( )A.2 018B.4 028C.5 037D.3 019答案 B 由题意得mmm m解得-∴a n=-4+(n- × = n-6,∴a2 017= × -6=4 028.故选B.6.若等差数列{a n}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于.答案3解析因为S17=× = a9=51,所以a9=3.根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,所以a5-a7+a9-a11+a13=3.7.在等差数列{a n}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99= .答案10解析S100=(a1+a100)=45,a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.8.设数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n-1.数列{b n}满足b1=2,b n+1-2b n=8a n.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明数列为等差数列,并求{b n}的通项公式.解析(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;当n≥ 时,a n=S n-S n-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.因为a1=1适合上式,所以a n=2n-1 n∈N*).(2)因为b n+1-2b n=8a n,所以b n+1-2b n=2n+2,即-=2.又=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列,得证.所以=1+2(n-1)=2n-1.所以b n=(2n- × n.9.(2016课标全国Ⅱ 分)等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2. 解析(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3.解得a1=1,d=.所以{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知,b n=.当n=1,2,3时 ≤<2,b n=1;当n=4,5时 ≤<3,b n=2;当n=6,7,8时 ≤<4,b n=3;当n=9,10时 ≤<5,b n=4.所以数列{b n}的前10项和为 × + × + × + × = .B组提升题组1.《九章算术》是我国古代第一部数学专著,全书收集了246个问题及其解法,其中一个问题为“现有一根九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”该问题中的第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A.升B.升C.升D.升答案 A 自上而下设各节竹子的容积为a1,a2 … a9,依题意有因为a2+a3=a1+a4,a7+a9=2a8,故a2+a3+a8=+=.选A.2.(2019吉林长春质量检测(一))在等差数列{a n}中,已知a6+a10=0,且公差d>0,则其前n项和取最小值时的n的值为( )A.6B.7或8C.8D.9答案 B 等差数列{a n}中,由a6+a10=0可得a1=-7d,则S n=(n2-15n),当n==7.5时,S n最小,又n∈N*,所以当n=7或n=8时前n项和最小,故选B.3.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠ a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1,知a n+1a n+2=λS n+1-1.两式相减得,a n+1(a n+2-a n)=λa n+1.由于a n+1≠ 所以a n+2-a n=λ.(2)存在.由a1=1,a1a2=λa1-1,可得a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.令2a2=a1+a3,解得λ=4.故a n+2-a n=4,由此可得,{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,所以a2n-1=1+(n- × = n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=3+(n- × = n-1.所以a n=2n-1,因为a n+1-a n=2,为常数.所以存在λ=4,使得{a n}为等差数列.4.设数列{a n}的各项都为正数,其前n项和为S n,已知对任意n∈N*,S n是和a n的等差中项.(1)证明:数列{a n}为等差数列;(2)若b n=-n+5,求{a n·b n}的最大项的值并求出取最大值时n的值.解析(1)证明:由已知可得2S n=+a n,且a n>0,当n=1时,2a1=+a1,解得a1=1.当n≥ 时,有2S n-1=+a n-1,-+a n-a n-1,所以2a n=2S n-2S n-1=--=a n+a n-1,所以--又因为(a n+a n-1)>0,所以a n-a n-1= n≥ .故数列{a n}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知a n=n.设c n=a n·b n,则c n=n(-n+5)=-n2+5n=--+,因为n∈N*,所以当n=2或n=3时,a n·b n取最大值,最大值为6.。
第1课时等差数列的前n项和课后篇巩固探究A组1.若等差数列{a n}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B.13C.14D.15解析∵S5==25,∴a2+a4=10.又a2=3,∴a4=7,∴公差d=2.∴a7=a4+3d=7+3×2=13.答案B2.在等差数列{a n}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项的和S11=()A.58B.88C.143D.176解析∵S11=,a1+a11=a4+a8=16,∴S11==88,故选B.答案B3.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S k+2-S k=24,则k=()A.8B.7C.6D.5解析由a1=1,公差d=2,得a n=2n-1.又S k+2-S k=a k+1+a k+2,所以2k+1+2k+3=24,得k=5,故选D.答案D4.若公差不为0的等差数列{a n}的前21项的和等于前8项的和,且a8+a k=0,则正整数k的值为()A.20B.21C.22D.23解析设等差数列{a n}的前n项和为S n,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.答案C5.已知数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,令b n= (a1+a2+…+a n),则数列{b n}的前10项和T10=()A.70B.75C.80D.85解析∵a n=2n+1,∴数列{a n}是等差数列,首项a1=3,其前n项和S n==n2+2n,∴b n=S n=n+2,∴数列{b n}也是等差数列,首项b1=3,公差为1,∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.答案B6设数列{a n}是等差数列,且a2+a3+a4=15,则该数列的前5项和S5=.解析由a2+a3+a4=15,得3a3=15,解得a3=5,故S5==5a3=25.答案257.在等差数列{a n}中,其前n项和为S n,若S12=8S4,则=.解析∵S12=12a1+d,S4=4a1+d,∴12a1+66d=32a1+48d.∴20a1=18d.∴.答案8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.答案1529.导学号04994034设数列{a n}的前n项和为S n,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.解依题意,得=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.(2017·江西上高二中期末)已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.解(1)∵a n+2=2a n+1-a n+2,n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×-(n-1)=n2-2n+1,∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.B组1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12解析设等差数列{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S9==9a5=9.答案C2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,则a n等于()A.nB.n2C.2n+1D.2n-1解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故a n=2n-1(n∈N*).答案D3.已知等差数列{a n},a2=6,a5=15,若b n=a2n,则数列{b n}的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186解析由等差数列{a n}易得公差d1=3.又b n=a2n,所以{b n}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.答案C4.设S n为等差数列{a n}的前n项和,S n=336,a2+a5+a8=6,a n-4=30(n≥5,n∈N*),则n等于()A.8B.16C.21D.32解析由a2+a5+a8=6,得3a5=6,所以a5=2.因为a5+a n-4=a1+a n=2+30=32,所以S n==336,解得n=21.答案C5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.解析当n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.答案166.在数列{a n}中,a n=4n-,a1+a2+…+a n=an2+bn+c,n∈N*,其中a,b为常数,则ab+c=.解析因为a n=4n-,即a n是关于n的一次函数,所以数列{a n}是等差数列,所以a1+a2+…+a n==2n2-n,因此a=2,b=-,c=0,故ab+c=2×+0=-1.答案-17.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=.(1)求证:是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴=2.又=2,∴是以2为首项,2为公差的等差数列.(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴S n=.当n≥2时,a n=S n-S n-1==-;当n=1时,S1=a1=.故a n=8.导学号04994035设S n为数列{a n}的前n项和,S n=λa n-1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a3=,求λ的值;(2)是否存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.解(1)因为S n=λa n-1,所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.由a1=λa1-1,可知λ≠1,所以a1=,a2=,a3=.因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列,则2a2=a1+a3,由(1)可得,所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n}是等差数列.。
学业分层测评(十一)(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.等差数列前n 项和为S n ,若a 3=4,S 3=9,则S 5-a 5=( ) A .14 B .19 C .28 D .60【解析】 在等差数列{a n }中,a 3=4,S 3=3a 2=9,∴a 2=3,S 5-a 5=a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 2+a 3)=2×7=14.【答案】 A2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2+a 4+a 15的值为确定的常数,则下列各数中也是常数的是( )A .S 7B .S 8C .S 13D .S 15【解析】 a 2+a 4+a 15=a 1+d +a 1+3d +a 1+14d =3(a 1+6d )=3a 7=3×a 1+a 132=313×13(a 1+a 13)2=313S 13.于是可知S 13是常数. 【答案】 C3.已知等差数列的前n 项和为S n ,若S 13<0,S 12>0,则此数列中绝对值最小的项为( )A .第5项B .第6项C .第7项D .第8项【解析】 由⎩⎨⎧S 12=12a 1+66d >0,S 13=13a 1+78d <0,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+112d >0,a 1+6d <0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 7<0,a 6>-d2,故|a 6|>|a 7|.【答案】 C4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=9,S 6=36,则a 7+a 8+a 9等于( )A .63B .45C .36D .27【解析】 ∵a 7+a 8+a 9=S 9-S 6,而由等差数列的性质可知,S 3,S 6-S 3,S 9-S 6构成等差数列,所以S 3+(S 9-S 6)=2(S 6-S 3),即S 9-S 6=2S 6-3S 3=2×36-3×9=45.【答案】 B5.含2n +1项的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为( ) A.2n +1nB.n +1nC.n -1nD .n +12n【解析】 ∵S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1=(n +1)(a 1+a 2n +1)2,S 偶=a 2+a 4+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2.又∵a 1+a 2n +1=a 2+a 2n,∴S 奇S 偶=n +1n .故选B. 【答案】 B 二、填空题6.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知S 3=9,a 4+a 5+a 6=7,则S 9-S 6= .【解析】 ∵S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列,而S 3=9,S 6-S 3=a 4+a 5+a 6=7,∴S 9-S 6=5.【答案】 57.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k = . 【解析】 ∵a n =⎩⎨⎧S 1,(n =1),S n -S n -1,(n ≥2),∴a n =2n -10.由5<2k -10<8, 得7.5<k <9,∴k =8. 【答案】 88.首项为正数的等差数列的前n 项和为S n ,且S 3=S 8,当n = 时,S n 取到最大值.【解析】 ∵S 3=S 8,∴S 8-S 3=a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=5a 6=0,∴a 6=0,∵a 1>0,∴a 1>a 2>a 3>a 4>a 5>a 6=0,a 7<0. 故当n =5或6时,S n 最大. 【答案】 5或6 三、解答题9.已知等差数列{a n }中,a 1=9,a 4+a 7=0. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)当n 为何值时,数列{a n }的前n 项和取得最大值? 【解】 (1)由a 1=9,a 4+a 7=0, 得a 1+3d +a 1+6d =0,解得d =-2, ∴a n =a 1+(n -1)·d =11-2n . (2)法一 a 1=9,d =-2, S n =9n +n (n -1)2·(-2)=-n 2+10n =-(n -5)2+25,∴当n =5时,S n 取得最大值.法二 由(1)知a 1=9,d =-2<0,∴{a n }是递减数列. 令a n ≥0,则11-2n ≥0,解得n ≤112. ∵n ∈N *,∴n ≤5时,a n >0,n ≥6时,a n <0. ∴当n =5时,S n 取得最大值.10.若等差数列{a n }的首项a 1=13,d =-4,记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求T n .【解】 ∵a 1=13,d =-4,∴a n =17-4n . 当n ≤4时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =na 1+n (n -1)2d =13n +n (n -1)2×(-4) =15n -2n 2;当n ≥5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =(a 1+a 2+a 3+a 4)-(a 5+a 6+…+a n )=S 4-(S n -S 4)=2S 4-S n =2×(13+1)×42-(15n -2n 2) =2n 2-15n +56.∴T n =⎩⎨⎧15n -2n 2,(n ≤4),2n 2-15n +56,(n ≥5).[能力提升]1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S 4=40,S n =210,S n -4=130,则n =( )A .12B .14C .16D .18【解析】 S n -S n -4=a n +a n -1+a n -2+a n -3=80, S 4=a 1+a 2+a 3+a 4=40,所以4(a 1+a n )=120,a 1+a n =30, 由S n =n (a 1+a n )2=210,得n =14.【答案】 B2.(2015·海淀高二检测)若数列{a n }满足:a 1=19,a n +1=a n -3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A .6B .7C .8D .9【解析】 因为a n +1-a n =-3,所以数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以a n =19+(n -1)×(-3)=22-3n .设前k 项和最大,则有⎩⎨⎧a k ≥0,a k +1≤0,所以⎩⎨⎧22-3k ≥0,22-3(k +1)≤0,所以193≤k ≤223.因为k ∈N *,所以k =7. 故满足条件的n 的值为7. 【答案】 B3.(2015·潍坊高二检测)设项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,则这个数列的中间项是 ,项数是 .【解析】 设等差数列{a n }的项数为2n +1, S 奇=a 1+a 3+…+a 2n +1 =(n +1)(a 1+a 2n +1)2=(n +1)a n +1,S 偶=a 2+a 4+a 6+…+a 2n =n (a 2+a 2n )2=na n +1,所以S 奇S 偶=n +1n =4433,解得n =3,所以项数2n +1=7,S 奇-S 偶=a n +1,即a 4=44-33=11为所求中间项. 【答案】 11 74.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1=12,d =-2. 【导学号:05920069】(1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项;(3){S n }有多少项大于零?【解】 (1)S n =na 1+n (n -1)2d =12n +n (n -1)2×(-2)=-n 2+13n .图象如图.(2)S n =-n 2+13n =-⎝⎛⎭⎪⎫n -1322+1694,n ∈N *, ∴当n =6或7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减.{S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6=S 7=42. (3)由图象得{S n }中有12项大于零......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求,为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间,提高工作效率,打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载,资料仅供参考!(本文档收集于网络改编,由于文档太多,审核难免疏忽,如有侵权或雷同,告知本店马上删除)。
一、选择题
1.(2018·武汉一模)在等差数列{an}中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5=( )
A.7 B.9
C.14 D.18
解析:选B S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9,选B.2.(2018·延安一模)数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1(n∈N*),则a2 018的值为( )
A.2 B.3
C.2 018 D.3 033
解析:选A Sn=2n-1,Sn-1=2n-3.(n≥2),两式作差得到an=2.检验n=1时a1=1,故a2 018=2 故选A.
3.(2018·曲靖一模)已知等差数列{an},公差d=2,S3+S5=18,则a1=( )
A.3 B.1
C.-1 D.2
解析:选C 由S3+S5=18得3a2+5a3=18,则a2=1,由d=2得a1=-1,故选C.
4.(2018·江门一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S5=30,则a7+a8+a9=( )
A.63 B.45
C.36 D.27
解析:选A 设等差数列{an}的公差为d,
由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
S3=3a1+3d =9,
S5=5a1+10d =30即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a1+d =3,
a1+2d =6解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a1=0,
d =3.
∴a7+a8+a9=3a1+21d =63.选A .
(2018·全国卷I 高考理科·T4)记S n 为等差数列的前n 项和.若
3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5= ( )
A.-12
B.-10
C.10
D.12 【解析】选B.3=2a 1+d+4a 1+
×d ⇒9a 1+9d=6a 1+7d ⇒3a 1+2d
=0⇒6+2d=0⇒d=-3,
所以a 5=a 1+4d=2+4×(-3)=-10. 二、填空题
2.(2018·北京高考理科·T9)设{a n }是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{a n }的通项公式为 .
【命题意图】本小题主要考查等差数列,属容易题,意在考查等差数列通项公式与基本运算能力,培养学生的运算能力,体现了逻辑推理、数学运算的数学素养.
【解析】由已知,设{a n }公差为d ,则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =2a 1+5d =36, 又a 1=3,所以d =6,所以{a n }的通项公式为a n =3+6(n -1)=6n -3(n ∈N *). 答案:a n =6n -3(n ∈N *) 二、解答题
3.(12分)(2018·全国卷I 高考理科·T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos ∠ADB. (2)若DC =2,求BC.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得=.
由题设知,=,
所以sin∠ADB=.
由题意知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.
(2)由题意及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC
=25+8-2×5×2×=25.
所以BC=5.
4.(2018·全国卷II高考理科·T17)(12分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=-7,S3=-1
5.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)求S n,并求S n的最小值.
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式的求解以及前n项和公式的运用,重点考查学生的运算能力.
【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.
(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.
5.(2018·全国卷II高考文科·T17)(12分)记S n为等差数列{a n}的前n项
和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{a n}的通项公式.
(2)求S n,并求S n的最小值.
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式的求解以及前n项和公式的运用,重点考查学生的运算能力.
【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.
所以{a n}的通项公式为a n=2n-9.
(2)由(1)得S n=n2-8n=(n-4)2-16.
所以当n=4时,S n取得最小值,最小值为-16.。