专题学案：三力平衡及正交分解法

2.6.2 力的正交分解【学习目标】1、熟练掌握三力平衡问题的解法；2、学会用正交分解法解多个力的平衡问题；【重点难点】重点：正交分解法难点：用正交分解法解物体的平衡问题【自主学习】正交分解法1.正交分解法定义： 。

2.解题步骤：⑴明确研究对象.⑴受力分析，不要多力也不要少力.⑴建立直角坐标系，使尽量多的力在坐标轴上（物体处于平衡状态）⑴把不在坐标轴上的力分解到两坐标轴上⑴分别求出两坐标轴的合力F x 和F y⑴用勾股定理求出总合力22y x F F F +=合3.三个力共同作用在O 点，如图所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力。

F 1F 2F 3【交流讨论】正交分解法相比力的合成和力按效果分解的优点。

【成果展示】展示学生交流讨论成果【教师执导】教师引导、点拨、辨析、梳理，阐释内涵与外延等（略）【学以致用】例1、物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成300角的力F作用，F = 50N，物体仍然静止在地面上，如图所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？300【变式1】如图，位于水平地面上的质量为M的小木块，在大小为F、方向与水平方向成a角的拉力作用下沿地面作匀速直线运动。

求：（1）地面对物体的支持力？（2）木块与地面之间的动摩擦因数？【变式2】如图所示物块在力F的作用下匀速直线运动，已知物体的质量为20Kg，物体与地面的摩擦因数为0.2，推力与水平方向的夹角为37o。

求推力F的大小例2：如图所示重20N的物体在斜面上匀速下滑，斜面的倾角为370，求：（1）物体与斜面间的动摩擦因数。

（2）要使物体沿斜面向上匀速运动，应沿斜面向上施加一个多大的推力？（sin370=0.6, cos370=0.8 ）A600F受的质量为多少？参考答案【自主学习】正交分解法1.正交分解法定义： 将一个力分解为互相垂直的两个分力 。

2.解题步骤：⑴明确研究对象.⑴受力分析，不要多力也不要少力.⑴建立直角坐标系，使尽量多的力在坐标轴上（物体处于平衡状态） ⑴把不在坐标轴上的力分解到两坐标轴上⑴分别求出两坐标轴的合力F x 和F y⑴用勾股定理求出总合力22y x F F F +=合3.三个力共同作用在O 点，如图所示，F 1、F 2与F 3之间的夹角均为600，求合力。

物体的平衡与正交分解一、物体的平衡1、平衡态：2.平衡条件：二力平衡：三力平衡：多力平衡：二、力的正交分解（1）力的正交分解法：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法。

（2）正交分解的原理：一条直线上的两个或两个以上的力,其合力可由代数运算求得.但是，当物体受到多个力作用,并且这几个力只共面不共线时,其合力用平行四边形定则求解很不方便,为此建立一个直角坐标系,先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上, 分别求出两个不同方向的合力F x 和F y,然后可以由（ ）求合力。

例1：如图所示，一半径为r 的球重为G ，它被长为r 的细绳挂在光滑的竖直墙壁上.求：（1）细绳拉力的大小；（2）墙壁受的压力的大小.例2：重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好静止，若力F 与水平方向的夹角为300，求地面对物体的支持力和摩擦力。

例3、如图所示,质量为m 的小球用挡板固定在斜面上，处于静止状态，试求小球对挡板的压力F 1和对斜面的压力F 2.F例4、如图所示，电灯的重力G N =10，AO 绳与顶板间的夹角为45︒，BO 绳水平，则AO 绳所受的拉力F 1是多少？BO 绳所受的拉力F 2是多少？（提示：以结点0为研究对象）例5、如图所示，用绳子AC 和BC 悬一重力为100N 的物体，绳子AC 和BC 与天花板的夹角分别为30 和60，求每条绳子的拉力分别是多少?例6、重量为10N 的物体放在水平地面上，在斜向上的力F=4N 的作用下，恰好做匀速直线运动，若力F 与水平方向的夹角为300，求物体跟水平地面的动摩擦因数。

例7、质量为30kg 的小孩坐在10kg 的雪橇上，大人用与水平方向成37°斜向上的大小为100N 的拉力拉雪橇，使雪橇沿水平地面做匀速运动，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）求：（1）雪橇对地面的压力大小；（2）雪橇与水平地面的动摩擦因数的大小．例8、质量为m 的物体A 静止在倾角为300斜面上，求物体对斜面的压力与摩擦力例9、质量为m 的物体A 在倾角为370斜面上恰好匀速下滑，求物体与斜面的动摩擦因数F。

三力共点平衡问题的一题多解共点力作用下物体的平衡的条件是：物体所受的合外力为零。

在解决共点力作用下物体的平衡问题时通常可以用以下几种方法：正交分解法、相似三角形法、拉密定理（正弦定理） 法。

下面通过例题来说明三种方法的使用：例1、如图：一重力为G 的球用长为R 的不可伸长的细线挂在光滑的墙壁上，求墙的支持力和绳的拉力。

方法1：正交分解法： G T y = N T x = θGtg N ==G R R3=G 33 T=θcos G =G 332 方法2：相似三角形法：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形。

∵ABO ∆∽DCO ∆∴COBO DO AO DC AB == G N AO T BO N AB G 33=⇒== G T 332= 方法3：拉密定理（正弦定理）：物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则表示这三个力的有向线段必定构成首尾相连的封闭三角形，由正弦定理：Cc B b A a sin sin sin ==可知 213sin sin sin θθθG N T == 由三角形关系可知1θ=1500，2θ=1200，3θ=900所以G T 332= G N 33= 例2、如图所示，物体重力为30N ，∠ACB=300，求细绳AB 和杆BC 的作用力A T 、C T 。

解法一、正交分解法：G T cy = A cx T T =即：G T c =⨯030sin A c T T =⨯030cos ∴N T c 60= N T A 330=解法二、相似三角形法：ABC ∆∽BC T AB T AC G DBE C A ==⇒∆∴ N T c 60= N T A 330=解法三、正弦定理法： 00090sin 120sin 150sin C A T T G == ∴ N T c 60= N T A 330=从上面两个例题看，解决三个共点力作用下物体处于平衡状态时，可以用的方法是多种的，我们可以根据实际情况选择最简单的一种方法。

三力平衡问题的几种求解方法云南云天化中学张宝权三力平衡问题是共点力平衡问题的重点，因而也就成了人们经常注意的问题。

如何求解三力平衡问题？一般来讲，有如下几种基本的求解方法：(1)正交分解法；(2)正弦定理法；(3)相似比法；(4)力矩平衡；(5)余弦定理法。

如何灵活、熟练地运用以上这些方法，使三力平衡问题顺利、简捷地得以解决，这就要理解和掌握这些方法的内容、特点及条件。

下面举一个例题，分别阐述以上这五种方法。

题目：如图1所示，小圆环A吊着一重力为的砝码套在另一竖直放着的大圆环上，有一细线的一端拴在小环A上，另一端跨过固定在大圆环最高点B处的定滑轮后吊着一个重力为砝码。

如果小环、滑轮、绳子的质量和圆环之间、滑轮轴承处的摩擦都可略去不计，绳子又不可伸长。

求平衡时AB弦所对的圆心角。

分析：选取结点A为研究对象：点A受到绳A竖直向下的拉力且＝，受到绳AB沿AB方向的拉力且＝，受到大圆环沿OA方向的弹力N。

在以上这三个力的作用下，结点处于静止状态，属于三力平衡问题。

解法一：用正交分解法求解。

该方法的内容是：以研究对象所在位置为坐标原点，过原点沿某一方向作一条直线为x轴，过原点且与x轴垂直的一条直线为y轴，从而建立直角坐标系。

将不在两坐标轴上的力分别沿x轴和y轴上进行分解，若研究对象处于平衡状态，则有。

以上两式亦称为力的平衡条件。

在本题中，以结点A为坐标原点，过原点沿水平方向和竖直方向的直线分别为x轴和y轴，建立直角坐标系后，结点的受力情况如图2所示，从图中可以看出，力和N不在坐标轴上。

根据力的平衡条件有：将分别代入以上方程组后得：由(4)得：并代入(3)后化简得：。

注：此方法不仅可以求三力平衡问题，而且也可以求多个共点力的平衡问题。

因此，该方法是求共点力平衡问题的普遍适用的基本方法。

其难点是力的分解和解方程组。

解法二：用正弦定理求解。

该方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，若，那么下面等式成立：。

高中物理三力平衡教案教学目标：1. 了解三力平衡的概念及相关原理；2. 能够利用受力分析方法解决三力平衡问题；3. 能够运用三力平衡理论解决实际问题。

教学重点与难点：重点：三力平衡的概念和受力分析方法；难点：运用受力分析方法解决复杂的三力平衡问题。

教学准备：1. 教师准备PPT、实物模型等教学辅助工具；2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：一、导入（5分钟）教师通过引入一个简单的力的平衡问题，引起学生对于三力平衡的兴趣，并激发他们的思考和探索欲望。

二、理论讲解（15分钟）1. 介绍三力平衡的概念及相关原理；2. 讲解如何通过受力分析方法解决三力平衡问题；3. 展示实例，说明如何应用三力平衡理论解决实际问题。

三、案例分析（15分钟）1. 教师给出一些三力平衡的实际案例，让学生通过受力分析方法分析，并找出其中的平衡关系；2. 学生根据所学知识，尝试解决这些案例。

四、练习与讨论（15分钟）1. 学生在小组内进行练习，解决一些三力平衡的练习题；2. 学生将解题思路和解题过程与其他组员分享，进行交流和讨论。

五、总结与检测（10分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调学生在学习中的重点和难点；2. 教师出一道综合性的三力平衡问题作为检测题，检验学生对三力平衡理论的理解和应用能力。

六、作业布置（5分钟）教师布置相应的作业，巩固学生对三力平衡理论的掌握，并提醒学生复习本节课内容。

教学反思：通过本节课的学习，学生应该能够掌握三力平衡的概念，了解受力分析方法，并能够运用三力平衡理论解决实际问题。

同时，教师应在日常教学中多激发学生的思考欲望，提高学生的问题解决能力。

教学设计内容讲解三、案例分析例题1：如图所示,某幼儿园要在空地上做一个滑梯，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6m,设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因素取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？变式1：在光滑的斜面上放置带电+q的金属块，在空间增加水平向右的匀强电场，金属块能保持静止，缓慢增大斜面夹角θ，但要求物块一直保持静止状态，试分析斜面对物体的支持力和电场强度的变化情况。

变式2：如图，去掉斜面和电场，在墙壁上悬挂两个带电 +q的金属块A、B，A受B的库仑力而飞离墙壁，若A因漏电而缓慢运动，试分析细绳对A的拉力和两细绳夹角的变化情况。

引导学生应用相似三角形进行分析。

变式3：如图，一个与水平面成θ角的光滑导电滑轨上垂直放置着一个可自由移动的金属杆。

已知接在滑轨中的电动势为E，内阻为r，ab杆长L，质量为m，滑轨与a杆的电阻忽略不计。

求要使杆在滑轨上保持静止，磁感应强度的大小和方向可在什么范围内变化？求最小B的大小和方向。

引导学生应用图解法进行分析。

变式4：若要求磁感应强度始终与滑轨平面成（π−θ）向上，且金属棒一直静止，现缓慢增大滑轨平面与水平面的夹角，试分析金属棒所受弹力和磁力的变化。

引导学生应用正弦定理、拉密定理、辅助圆法总结提升1.静态平衡：选好对象，进行正确的受力分析，构造平行四边形或三角形，应用三角函数及几何知识解决问题。

2.动态平衡——化动为静研究对象：受三个力而处于动态平衡的物体构造矢量三角形已知一力恒定，一个角恒为直角解析法已知一力恒定，一个力方向恒定图解法已知一力恒定，两个力方向变化相似三角形已知一力恒定，另外两个力方向变化，一个角度不变正弦定理拉密定理辅助圆法。

三力平衡的四种解法处理三个力的平衡时，有四种解法。

（一）分解法：（二）合成法：（三）三角形法：（四）正交分解法：三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。

例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。

解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。

由正弦定理得：由直角三角形得：（三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解：先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。

例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。

在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？解：由三角形相似有由正弦定理有小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。

（2）同时用相似与正弦定理。

如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知α=45°, β=30°.求棒的重心位2010-11-16 12:24提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次绳与壁的夹角为a b2010-11-16 17:07最佳答案设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。

重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30°以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L)联立可求出L=3(3-√3)=3.8米在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目：一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？一般书中都有答案：弹簧伸长．（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））．图1 图2以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得N=mg，①T=2mgcosθ．②另外，根据胡克定律有T=k（2Rcosθ-L），③根据以上各式可得cosθ=（kL／2（kR-mg））．二、发现的问题到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．）但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？令cosθ=1，即θ=0得kL=2（kR－mg），即mg=（1／2）k（2R－L），这是一个重要的临界值．由cosθ的表达式可知，m越大，cosθ也越大，θ角就越小．当mg＜（1／2）k（2R－L）时，θ＞0，小环不在大环的最低点；随着m的逐步变大，θ逐步变小，当mg=（1／2）k（2R －L）时，θ=0，小环恰好降低到大环的最低点；以后随着m的再进一步变大，小环的位置不会再变化了（哪怕m增大到使cosθ的表达式变为负的）．由此可见，θ（或者cosθ）的表达式应该是“分段函数”，cosθ＝（kL）／（2（kR-mg）），mg≤（1／2）k（2R-L）1，mg≥（1／2）k（2R-L）这个问题还可以进一步研究下去．当mg≥（1／2）k（2R－L）以后，随着m的继续增大，θ≡0是不会再有变化了，但并不意味着就什么都不变．其实，当mg＜（1／2）k（2R －L）时，随着m的增大，弹簧拉力T和大环弹力N的大小始终满足T=2mgcosθ和N=mg，而且方向也相应改变．但一旦当mg≥（1／2）k（2R－L）后，m再增大时，T和N两个力的方向就都保持在竖直方向（与mg在同一直线）而不再改变，改变的仅仅是力的大小了．也就是说，T和N也是“分段函数”．T= k（2Rcosθ-L），（1／2）k（2R-L）k（2R-L），（1／2）k（2R-L）N= mg，（1／2）k（2R-L）k（2R-L）-mg，（1／2）k（2R-L）我们看其中N的第二段表达式“N=k（2R-L）-mg”，N＞0，表示N的方向向下，此时（1／2）k（2R－L）≤mg＜k（2R－L）；当N＜0，表示N的方向向上，此时mg＞k（2R－L）；而当mg=k（2R－L）时，N=0．也就是说，当m逐渐增大到mg=（1／2）k（2R－L）时，小环恰好降到最低点（θ=0），此时大环对小环的弹力N方向仍然是向下，大小仍等于mg（跟θ≠0时的情况相同）．不过随着m的进一步增大，N先是大小渐渐减小到0，然后再方向改变为向上并逐渐增大（弹簧弹力在这期间内则始终等于k（2R－L））．并不是小环一落到最低点大环对它的支持力马上变为向上的．有兴趣的读者可以自己画出T、N（的大小）还有θ随m的变化图线，都是一些“分段函数曲线”，其中都有一段水平段．度系数为弹簧与竖直方向的夹角，解得：联立求解得：。

专题 处理平衡问题常用的几种方法1．力的合成法物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反；“力的合成法”是解决三力平衡问题的基本方法．2．正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，常用正交分解法列平衡方程求解：F x 合＝0，F y 合＝0.为方便计算，建立直角坐标系时以尽可能多的力落在坐标轴上为原则．易错点评1．进行受力分析时，一般是分析性质力，而不分析效果力；此外，分力与合力也不能同时进行分析．这样做可防止多力或漏力．2．对于三力平衡问题，一般是根据推论利用合成法求解．3．对于多力平衡问题，一般用正交分解法，用此法时，坐标轴不一定水平与竖直，应根据具体情况灵活选取．4．若不涉及物体间内部相互作用，一般用整体法，即以整体为对象；反之，若研究物体间内部的相互作用，则要用隔离法，选对象的原则是受力较少的隔离体．1如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m 的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是 ( )A ．mg cos αB ．mg tan αC.mgcos α D ．mg2如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。

一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m 1和m 2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m 1的小球与O 点的连线与水平线的夹角为α=60°。

两小球的质量比 m 2/m 1 为（ ）A ．B ．C ．D ．3如图，绳AO 能承受的最大张力为150N ，绳BO 能承受的最大张力为100N ，绳CO 的强度能吊起足够重的重物．α=60°，β=30°，求此装置能悬挂的最大重物是多少？4倾角为θ的斜面上有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ。

现用水平力F 推动木块，如图所示，使木块恰好沿斜面向上做匀速运动。

若斜面始终保持静止，求水平推力F 的大小。

共点力平衡中的三力平衡问题的教学设计【学习目标】1．进一步理解共点力作用下物体的平衡条件。

2．掌握求解三力平衡问题的常用方法：三力平衡原理和正交分解法。

【学习重点】三力平衡原理和正交分解法的理解和掌握。

【学习难点】三力平衡原理几种数学方法的掌握。

【学习导航】1．平衡状态是指物体处于_________状态或_____________状态。

2．动力学特征是：合力F合=____，加速度a = ____，速度v ___0或v____0。

【导学过程】一．三力平衡问题的特点1．物体受三个力作用平衡时，其中任意两个力的合力必跟第三个力是一对______力，且大小________，方向________。

2．三力汇交原理：如果一个物体受三个不平行外力的作用而平衡，这三个力的作用线必在同一_________上，而且必定____________。

二．三力平衡问题的求解方法1．三个力中，有两个力互相垂直，第三个力角度（方向）已知。

例1．(2011·广东高考)如图所示的水平面上，橡皮绳一端固定，另一端连接两根弹簧，连接点P 在F1、F2和 F3三力作用下保持静止。

下列判断正确的是( )A．F1>F2>F3B．F3>F1>F2C．F2>F3>F1D．F3>F2>F1解析：由于三力平衡，三力首尾相连构建封闭三角形，如图所示，由三角形的边角关系“大角对应大边”可知，B项正确。

2．三个力互相不垂直，但夹角（方向）已知《考试说明》中规定力的合成与分解的计算只限于两力之间能构成直角的情形。

三个力互相不垂直时，无论是用合成法还是分解法，三力组成的三角形都不是直角三角形，造成求解困难。

因而这种类型问题的解题障碍就在于怎样确定研究方法上。

解决的办法是采用正交分解法，将三个不同方向的力分解到两个互相垂直的方向上，再利用平衡条件求解。

例2.如图所示，用轻绳吊一个重为G的小球，施加力F使小球平衡时与竖直方向成θ角，求力F最小值。