共点力平衡应用--三力平衡问题

核心模型 考点对点练 核心能力提升练
核心模型 考点对点练
提升训练
对点训练
典型考点一 静态平衡问题 1．(多选)如图所示，质量为 m 的木块 A 放在质量为 M 的三角形斜面体 B 上，现用大小不相等、方向相反的水平力 F1、F2 分别推 A 和 B，它们均静 止不动，且 F1<F2，重力加速度为 g，则( )
解析
2. 如图所示，光滑斜面的倾角为 30°，轻绳通过两个滑轮与 A 相连，轻 绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦。物块 A 的质量为 m， 不计滑轮的质量，挂上物块 B 后，当动滑轮两边轻绳的夹角为 90°时，A、 B 恰能保持静止，则物块 B 的质量为( )
2 A. 2 m
B. 2m
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
解析
6．如图所示，硬杆 OA 可绕过 A 点且垂直于纸面的轴进行转动，不计钢 索 OB 和硬杆 OA 的重力，∠AOB 等于 30°，如果钢索 OB 的最大承受拉力 为 2.0×104 N，求：
(1)O 点悬挂物的最大重力； (2)杆 OA 对 O 点的最大支持力。 答案 (1)1.0×104 N (2)1.7×104 N
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
A．A 受到四个力的作用 B．B 对 A 的摩擦力方向一定沿斜面向下 C．地面对 B 的摩擦力方向水平向右，大小为 F2－F1 D．地面对 B 的支持力大小一定等于(M＋m)g
答案 CD
核心概念 规律再现
核心模型 考点对点练 核心能力提升练
答案
A．FOA 逐渐增大
C．FOB 逐渐增大 答案 B
B．FOA 逐渐减小 D．FOB 逐渐减小

史上最全的物体在三个共点力作用下的平衡问题一、前期准备1、平衡状态：即物体保持静止或匀速直线运动状态，此时物体（系统）加速度和所受合外力均为0，包括静态平衡与动态平衡。

2、三力平衡的总体原则：三力中的任意一个力，必在其它两个力夹角的对顶角的范围内。

二、全国Ⅱ卷最常考的八种类型1、三力平衡时：有两力垂直时，采用力的合成与分解法。

(做出两力的合力与第三力是一对平衡力；将某力沿其他两力反方向分解，所得两分力与其他两力构成两平衡力，利用三角函数关系求解)例1、如下图所示，轻绳AO和BO共同吊起质量为m的重物．AO与BO垂直，BO 与竖直方向的夹角为θ，OC连接重物，则( )例2、在竖直墙壁与放在水平面上的斜面体M间放一光滑圆球，如图所示，斜面体M在外力作用下缓慢向左移动，在移动过程中下列说法正确的是（）A．球对墙的压力大小增大B．斜面体对球的支持力大小逐渐增大C．斜面体对球的支持力大小不变D．斜面体对球的支持力大小先减小后增大A．AO所受的拉力大小为mg cosθB．AO所受的拉力大小为mgsinθC．BO所受的拉力大小为mg cosθD．BO所受的拉力大小为mgcosθ2、三力平衡时：无垂直且题中给了特殊角度时，采用正交分解法。

例3、如图1－1－8所示，左侧是倾角为60°的斜面、右侧是四分之一圆弧面的物体固定在水平地面上，圆弧面底端切线水平，一根两端分别系有质量为m1、m2小球的轻绳跨过其顶点上的小滑轮．当它们处于平衡状态时，连接m2小球的轻绳与水平线的夹角为60°，不计一切摩擦，两小球可视为质点．两小球的质量之比m1∶m2等于()A．1∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．3∶43、三力动态平衡时：一力大小方向不变，一力方向不变，采用矢量三角形法。

（图解法）例4、如上右图所示，在一个半圆环上用两根细线悬挂一个重为G的物体，设法使OA线固定不动，将OB线从竖直位置沿半圆环缓缓移到水平位置OB′，则OA 与OB线中受到的拉力FA、FB的变化情况是( )A.FA、FB都增大B.FA增大，FB减小C.FA增大，FB先增大后减小D.FA增大，FB先减小后增大例5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，细绳上的拉力将( )A.逐渐增大B.逐渐减小C.先增大后减小D.先减小后增大例6、如图所示，一小球在斜面上处于静止状态，不考虑一切摩擦，如果把竖直挡板由竖直位置缓慢绕O点转至水平位置，则此过程中球对挡板的压力F1和球对斜面的压力F2的变化情况是（）A．F1先增大后减小，F2一直减小B．F1先减小后增大，F2一直减小C．F1和F2都一直减小D．F1和F2都一直增大4、三力动态平衡时：一力大小方向不变，两力方向均改变，两力夹角也发生改变，采用相似三角形法。

迁安市第三中学“1539问题导学型”课堂学习模式工具单——预学·导学案我自主我反馈我体验我成功《共点力平衡1》（1250）主编：审核：审批：使用时间：【学习目标】1．会用共点力平衡条件解决有关力的平衡问题。

2．能用合成法或分解法熟练解决三力平衡问题。

3．能用正交分解法解决平衡问题。

【自主学习】一、研究物体平衡的基本思路和基本方法（1）转化为二力平衡模型——合成法三力平衡条件:任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。

据平行四边形定则作出其中任意两个力的合力来代替这两个力，从而把三力平衡转化为二力平衡。

这种方法称为合成法。

（2）转化为四力平衡模型——分解法物体受三个共点力平衡时，也可以把其中一个力进行分解(一般采用正交分解法)，从而把三力平衡转化为四力平衡模型。

这种方法称为分解法。

【合作探究】例1、如图所示，在倾角为θ的斜面上，放一重力为G的光滑小球，球被竖直挡板挡住不下滑，求：球对斜面和挡板的弹力大小。

例2、一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图4-1所示），不计绳与钉子间摩擦。

如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？拓展：重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。

若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各如何变化？例3、如图所示，在半径为R的光滑半球面上高为h处悬挂一定滑轮，重力为G的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，小球在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化？小结：【针对训练】重为G的物体系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的支架BAD上，如图2（a）所示，若固定A端的位置，将OB绳子的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C的过程中，则以下说法正确的是（）A．OB绳上的拉力先增大后减小B．OB绳上的拉力先减小后增大C．OA绳上的拉力先减小后增大D．OA绳上的拉力一直逐渐减小【精讲点拨】如图，用细线AO、BO悬挂重物，BO水平，AO与竖直方向成30°角，若AO、BO能承受的最大拉力分别为10N和6N，OC能够承受足够大的拉力，（1）当AO绳达到最大时，BO绳的拉力是多大？（2）为使细线不被拉断，重物允许的最大重力为多少？（3）保持O点位置不变，缓慢移动B点，当OB绳移动到最不容易被拉断的位置时，重物允许的最大重力为多少？。

共点力平衡专题【典型例题】题型一：三力平衡例1、如下图，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球被竖直的木板挡住，不计摩擦，则球对挡板的压力是( )A．mgcosαB．mgtanαC.mg/cosαD．mg解法一：(正交分解法)：对小球受力分析如图甲所示，小球静止，处于平衡状态，沿水平和竖直方向建立坐标系，将FN2正交分解，列平衡方程为F N1＝F N2sin αmg＝F N2cos α可得：球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtan α，所以B正确．解法二：(力的合成法)：如图乙所示，小球处于平衡状态，合力为零．F N1与F N2的合力一定与mg平衡，即等大反向．解三角形可得：F N1＝mgtan α，所以，球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtanα.解法三：(效果分解法)：小球所受的重力产生垂直板方向挤压竖直板的效果和垂直斜面方向挤压斜面的效果，将重力G按效果分解为如上图丙中所示的两分力G1和G2，解三角形可得：F N1＝G1＝mgtanα，所以，球对挡板的压力F N1′＝F N1＝mgtanα.所以B正确．解法四：(三角形法则)：如右图所示，小球处于平衡状态，合力为零，所受三个力经平移首尾顺次相接，一定能构成封闭三角形．由三角形解得：F N1＝mgtan α，故挡板受压力F N1′＝F N1＝mgtanα.所以B正确．题型二：动态平衡问题例2、如下图，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。

设墙壁对B的压力为F1，A对B的压力为F2，则假设把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是〔〕A．F1减小 B．F1增大C．F2增大D．F2减小方法一解析法：以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，根据合成法，可得出F1＝Gtanθ，F2＝Gcosθ，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小。

三个共点力作用下的动态平衡问题一.要点精讲1．共点力作用于物体的同一点或作用线相交于一点的几个力。

2．平衡状态物体保持静止或匀速直线运动的状态。

3．共点力的平衡条件(1)F 合＝0或者⎩⎪⎨⎪⎧F x ＝0，F y ＝0。

(2)平衡条件的推论①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反。

②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。

③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反。

4.静态平衡与动态平衡：（1）静态平衡模型物体保持静止或匀速直线运动的状态，物体受到的各个力不变。

（2）动态平衡模型①物体受到的力在发生动态变化，但物体保持静止或匀速直线运动的状态②物体“缓慢”运动时，可把物体看作平衡状态处理，物体所受合力为0. 动态平衡问题较难！二.解决动态平衡问题的思路与法：1.解决问题切入思路 （1）解析法对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。

(2)图解法不需要列式计算，通过画图分析求解。

对于三个力作用下的平衡问题，通常①一个力大小、方向均不变，另一个力方向不变，通常画闭合三角形。

②一个力是恒力，另两个力方向的夹角保持不变的情况，可构造圆，来解决。

恒力对应的圆心角不变。

③当一个力是恒力，另一个力大小不变时，也可画圆来分析处理。

三.精选例题题型1：一恒两向变（一力不变，两力方向都变）——相似三角形把一光滑圆环固定在竖直平面内，在光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔，如图所示。

质量为m的小球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。

现拉动细线，使小球沿圆环缓慢下移。

力学专题04：共点力平衡七大题型解析
（原卷版）
共点力平衡问题是力学中经常遇到的一类问题，解析这类问题可以帮助我们深入理解平衡条件和力的合成分解。

本文将分析七大题型，帮助读者更好地掌握解决这类问题的方法。

1. 两力共线平衡问题：当两个力作用在同一直线上时，它们的合力为零，根据平衡条件可以解得未知力的大小和方向。

2. 三力共点平衡问题：当三个力作用在同一点上时，它们的合力为零，可以通过平衡条件解得未知力的大小和方向。

3. 四力共点平衡问题：当四个力作用在同一点上时，它们的合力为零，可以通过平衡条件解得未知力的大小和方向。

4. 三力共线平衡问题：当三个力作用在同一直线上时，它们的合力为零，可以通过平衡条件解得未知力的大小和方向。

5. 三力共面平衡问题：当三个力作用在同一平面上时，它们的
合力为零，可以通过平衡条件解得未知力的大小和方向。

6. 三力不共线平衡问题：当三个力作用在同一点上且不共线时，根据平衡条件可以解得未知力的大小和方向。

7. 多力平衡问题：当多个力作用在同一点上时，它们的合力为零，可以通过平衡条件解得未知力的大小和方向。

通过对以上七大题型的解析，我们可以掌握共点力平衡问题的
解题方法。

在解题过程中，我们应当注意使用合适的坐标系、合理
选择参考点，并利用力的平衡条件进行计算。

本文提供了对共点力平衡七大题型的解析，但并未引用无法确
认的内容。

读者可以根据自己的需要，参考本文的解题方法，独立
解决力学中的共点力平衡问题。

B
T
F
A
T F
当θ减 小…... O
G
轻棒OA,O端用铰链固定于墙.A 端挂一重物.如图.A端系一细绳子跨 过固定滑轮B将重物慢慢向上提.过 程中,轻棒所受的力F和细绳上的张力 T的变化情况是(C ) A.FT都增大; B. FT都减小; C.F不变,T减小; D. F减小,T不变, E. FT都不变. 如果物体只受三个力并保持平衡,则 这三个力定可构成一个封闭三角形. 根据：在变化中，力三角形FTG与 几何三角形AOB总是相似。得： G 不变 T 变小 F 不变
共点力作用下的物体平衡
合成法 分解法 正交分解法 矢量三角形法 动态三角形法 相似三角形法 定弦法
关于共点力. 作用在同一物体上的几个力的力作用线通过同一点,这几 个力就叫共点力.
凡把物体可看作质点时,该物体所受的力,可视为共点力. 如汽车运动…….
Q
F f
G
什么是物体的平衡?
物体保持静止或做匀速直线运动,物体就处于 平衡状态.
θ
F
S
N
F/G=tanθ F=G· tanθ
G
如果将磁铁水平向右移一点，θ角怎么变？ F变小，G不变，tanθ变小，θ变小。
力三角形TGQ与几何三角形LHR相 似,对应边成比例
L
T
Q
H R
G
T/L=G/H=Q/R.
T/=G· L/H. Q=G· R/H.
子图细光 长已绳滑 知穿球 求球过面 小半滑球 球径轮心 所为系竖 受 一直 各小小上 力球球方 的到放 大期在高 小滑球处 有 轮面 一 的上 绳如滑 轮 . R,
保持角Ѳ和小球的位置都不变，答拿着绳端P，在什 么位置最省力？设小球重G绳子P端最小力是多少？

例2 一质量m＝6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数为μ＝13， 然后用两根绳A、B分别系在物块的两侧，如图3所示，A绳水平，B绳与水平面成37° 角，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：
(1)逐渐增大B绳的拉力，直到物块对地面的压力恰好 为零，则此时A绳和B绳的拉力分别是多大； 答案 80 N 100 N
例3 如图5所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为FN1， 木板对小球的支持力大小为FN2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢 地转到水平位置.不计摩擦，在此过程中
A.FN1始终减小，FN2始终增大
√B.FN1始终减小，FN2始终减小
C.FN1先增大后减小，FN2始终减小
例1 (多选)如图1所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转
向而转向，使风总从图示水平方向吹向小球P.P是质量为m的金属球，固定在一轻质
细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内转动，无风时金属丝自然下垂，有
风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、
图3
解析 FN＝0，对物块受力分析如图甲， 则水平方向：FTA＝FTBcos 37° 竖直方向：FTBsin 37°＝mg 联立解得：FTA＝80 N，FTB＝100 N
(2)将A绳剪断，为了使物块沿水平面做匀速直线运动，不改变B绳方向的情况下，B 绳的拉力应为多大.
答案 20 N
解析 将A绳剪断， 物体做匀速直线运动，受力分析如图乙. 水平方向：FTB′cos 37°＝Ff 竖直方向：FN′＝mg－FTB′sin 37° Ff＝μFN′ 代入数据解得FTB′＝20 N.

02
两类典型问题之一：三力平衡问题
三力平衡条件及判断方法
三力平衡条件
物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，则这三个力必定满足任意两个力的 合力与第三个力大小相等、方向相反。
判断方法
通过受力分析，确定物体所受的三个共点力，然后根据平衡条件判断物体是否 处于平衡状态。
图形法在三力平衡中应用
力的合成法
解题技巧和方法归纳
整体法与隔离法
对于多个物体组成的系统，可以采用整体法 或隔离法进行分析，简化问题。
图解法
将力沿两个相互垂直的方向进行分解，便于 列方程求解。
正交分解法
对于三力平衡问题，可以采用图解法进行分 析，直观明了。
相似三角形法
利用相似三角形的性质，将力的大小与三角 形的边长对应起来，简化计算。
结论
当单摆受到微小扰动时，能自动回复到原平衡状态，即保持动态 平衡。
案例二
弹簧振子动态平衡
问题描述
弹簧振子在振动过程中，其动态平衡状态为振子在经过平衡点时 的瞬时静止。
案例分析：动态平衡实例
分析方法
利用受力分析和振动方程，求出振子在 任意位置的加速度和速度，进而判断其 稳定性。
VS
结论
当弹簧振子受到微小扰动时，能自动回复 到原平衡状态，即保持动态平衡。
高中新教材物理必修件微 专题共点力平衡中的两类
典型问题
汇报人：XX 20XX-01-23
目录
• 共点力平衡基本概念与原理 • 两类典型问题之一：三力平衡问题 • 两类典型问题之二：多力平衡问题 • 实验探究：验证共点力平衡条件 • 拓展延伸：动态平衡与稳定性问题 • 总结归纳与复习提高
01
共点力平衡基本概念与原理

．G和N的作用线必交于球心O点，则T的作用线必过O点．既然是三力平衡，可
以根据任意两力的合力与第三力等大、反向求解，可以根据力三角形求解，也 可用正交分解法求解．
解法一：用合成法 取足球作为研究对象，它们受重力G=mg、 墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力 作用而平衡，由共点力平衡的条件可知，
解法四：用正交分解法求解 取足球作为研究对象，受三个力作用， 重力G，墙壁的支持力N，悬绳拉力T，
如右图所示，取水平方向为x轴，竖直
方向为y轴，将T分别沿x轴和y轴方向进 行分解．由平衡条件可知，在x轴和y轴 方向上的合力Fx合和Fy合应分别等于零．即 Fx合=N-Tsin α=0① Fy合＝Tcos α－G＝0② 由②式解得：T＝G/cos α＝mg/cos α， 代入①得N＝Tsin α＝mgtan α. 【答案】 mg/cos α mgtan α
(2)图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形
定则画出不同状态下的力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段( 表示力)的长度变化判断各个力的变化情况． 图解法适用条件： 质点在三个力作用下处于平衡状态，其中一个力恒定，一个力的方向不 变，第三个力的大小和方向都变化的情况．具体做法是：合成两个变力， 其合力与恒力等值反向．
● 疑点辨析
对静止的理解：静止与速度v＝0不是一回事．物体保持静止状态，说明 v＝0，a＝0，两者必须同时成立．若仅是v＝0，a≠0，如上抛到最高点的物 体，此时物体并不能保持静止，上抛到最高点的物体并非处于平衡状态． 所以平衡状态是指加速度为零的状态，而不是速度为零的状态．
二、共点力作用下的平衡条件
静态平衡的求解
沿光滑的墙壁用网兜把一个足球 挂在A点(右图所示)，足球的质量为m，网兜 的质量不计，足球与墙壁的接触点为B，悬绳 与墙壁的夹角为α，求悬绳对球的拉力和墙壁 对球的支持力．

三力平衡的四种解法处理三个力的平衡时，有四种解法。

（一）分解法：（二）合成法：（三）三角形法：（四）正交分解法：三个共点力作用于物体使之平衡时，这三个力首尾相连，围成一个封闭的三角形.如有直角直接解直角三角形;如已知角用正余弦定理;如已知边,用力组成的三角形与边组成的三角形进行相似比。

例如图所示，一粗细不均匀的棒长L=6m，用轻绳悬挂于两壁之间，保持水平，已知α=450，β=300，求棒的重心位置。

解：三力平衡必共点，受力分析如图所示。

由正弦定理得：由直角三角形得：（三）有的多个力的平衡转化成三力的平衡求解：先把同一直线上的力先求和，后只剩下三个力的平衡，再求解。

例一重量为G的小环套在竖直放置的、半径为R的光滑大圆环上，一个倔强系数为k、自然长度为L（L<2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点。

在不计摩擦时，静止的弹簧与竖直方向的夹角θ是多大？解：由三角形相似有由正弦定理有小结：（1）由分析得出弹簧是伸长的。

（2）同时用相似与正弦定理。

如图所示,一粗细不均匀的棒,棒长AB=6m,用轻绳悬挂于两壁之间,保持水平,已知α=45°, β=30°.求棒的重心位2010-11-16 12:24提问者：丶埘绱丿|悬赏分：20 |浏览次数：441次绳与壁的夹角为a b2010-11-16 17:07最佳答案设A、B端绳子的拉力分别为F1、F2。

重心距A为L,由水平方向受力平衡得：F1sin45°=F2sin30°以A端为支点，由杠杆平衡条件得：F2cos30°*AB=G*L再以B为支点，由杠杆平衡条件得：F1cos45°*AB=G*（AB-L)联立可求出L=3(3-√3)=3.8米在很多教学参考书和学习指导书中都能看到这样一个题目：一个质量为m的小环套在位于竖直平面内半径为R的光滑大圆环上．有一个劲度系数为k、自然长度为L（L＜2R）的轻弹簧，其一端与小环相连，另一端固定在大环的最高点，如图1所示．当小环静止时，弹簧处于伸长还是压缩状态？弹簧与竖直方向的夹角θ是多少？一般书中都有答案：弹簧伸长．（kＬ）／（2（kＲ－ｍｇ））．图1 图2以上答案的求解过程如下：如图2所示，用“穷举法”可以证明，弹簧对小环的弹力只可能是向里的，即弹簧必定伸长．根据几何知识，“同弧所对的圆心角是圆周角的两倍”，即图中弹簧拉力T在重力mg和大环弹力N所夹角的角平分线上．所以计算可得N=mg，①T=2mgcosθ．②另外，根据胡克定律有T=k（2Rcosθ-L），③根据以上各式可得cosθ=（kL／2（kR-mg））．二、发现的问题到此似乎题目已经解决了，但是再仔细一想却发现了新的问题．因为cosθ的取值范围是－1≤cosθ≤1．而上面cosθ的表达式中，由于各个参数k、L、R、m等可以独立变化取不同的值（只要满足L＜2R），因此表达式右边的值完全可能超出cosθ的值域，例如当m较大时（或L较大，或R、k较小，它们的效果是一样的），完全可能大于1，此时上式cosθ无解．（当m更大时甚至还可能是负的，θ也许有解，但这意味着θ是个钝角，显然也不符合实际．）但是，我们知道，无论m多大，小环必定会有一个平衡位置，θ必定会有一个确定的解，因此上面的解答必定是一个不完整的解．那么完整的解是怎样的呢？令cosθ=1，即θ=0得kL=2（kR－mg），即mg=（1／2）k（2R－L），这是一个重要的临界值．由cosθ的表达式可知，m越大，cosθ也越大，θ角就越小．当mg＜（1／2）k（2R－L）时，θ＞0，小环不在大环的最低点；随着m的逐步变大，θ逐步变小，当mg=（1／2）k（2R －L）时，θ=0，小环恰好降低到大环的最低点；以后随着m的再进一步变大，小环的位置不会再变化了（哪怕m增大到使cosθ的表达式变为负的）．由此可见，θ（或者cosθ）的表达式应该是“分段函数”，cosθ＝（kL）／（2（kR-mg）），mg≤（1／2）k（2R-L）1，mg≥（1／2）k（2R-L）这个问题还可以进一步研究下去．当mg≥（1／2）k（2R－L）以后，随着m的继续增大，θ≡0是不会再有变化了，但并不意味着就什么都不变．其实，当mg＜（1／2）k（2R －L）时，随着m的增大，弹簧拉力T和大环弹力N的大小始终满足T=2mgcosθ和N=mg，而且方向也相应改变．但一旦当mg≥（1／2）k（2R－L）后，m再增大时，T和N两个力的方向就都保持在竖直方向（与mg在同一直线）而不再改变，改变的仅仅是力的大小了．也就是说，T和N也是“分段函数”．T= k（2Rcosθ-L），（1／2）k（2R-L）k（2R-L），（1／2）k（2R-L）N= mg，（1／2）k（2R-L）k（2R-L）-mg，（1／2）k（2R-L）我们看其中N的第二段表达式“N=k（2R-L）-mg”，N＞0，表示N的方向向下，此时（1／2）k（2R－L）≤mg＜k（2R－L）；当N＜0，表示N的方向向上，此时mg＞k（2R－L）；而当mg=k（2R－L）时，N=0．也就是说，当m逐渐增大到mg=（1／2）k（2R－L）时，小环恰好降到最低点（θ=0），此时大环对小环的弹力N方向仍然是向下，大小仍等于mg（跟θ≠0时的情况相同）．不过随着m的进一步增大，N先是大小渐渐减小到0，然后再方向改变为向上并逐渐增大（弹簧弹力在这期间内则始终等于k（2R－L））．并不是小环一落到最低点大环对它的支持力马上变为向上的．有兴趣的读者可以自己画出T、N（的大小）还有θ随m的变化图线，都是一些“分段函数曲线”，其中都有一段水平段．度系数为弹簧与竖直方向的夹角，解得：联立求解得：。

共点力平衡正弦定理法
共点力平衡正弦定理法，也称为三力平衡法，是一种通过正弦定理求解共点力平衡问题的方法。

在力的平衡问题中，如果有三个力共点于一个点，并且需要求解其中一个力的大小和方向，可以使用共点力平衡正弦定理法。

该方法的基本思路是，根据三力平衡条件，利用正弦定理求解未知力的大小和方向。

具体步骤如下：
1. 绘制力的合力图，并标明力的方向和大小。

2. 将已知力和未知力用标准线段表示。

3. 根据三力平衡条件，利用正弦定理建立方程。

根据正弦定理，三角形的任意两边的长度与其对应的角的正弦值成正比。

根据三力平衡条件，可以得到类似于下面的方程：sin(α)/F₁ =
sin(β)/F₂ = sin(γ)/F₃，其中α、β、γ为已知力的夹角。

4. 解方程得到未知力的大小和方向。

根据已知力的夹角和已知力的大小，可以求解未知力的大小和方向。

需要注意的是，在使用共点力平衡正弦定理法求解三力平衡问题时，要特别关注力的方向和大小的正负，以确保方程的正确建立和解的准确性。

同时，根据实际情况选择合适的力的分解和正负方向，也是解题的关键。

律
总
结
分析平衡问题的基本思路
1.明确平衡状态(合力为零).
2.巧选研究对象.
3.受力分析(画出规范的受力分析图).
4.列平衡方程(灵活运用力的合成法、效果分解法、正
交分解法).
5.求解或讨论(解的结果及物理意义).
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Part 3
课时对点练
基础对点练
考点一 平衡状态与平衡条件 1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是 A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态 B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
G cos
θ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
以风铃为研究对象，受力分析如图所示，可知
T与F的合力与重力是一对平衡力，方向竖直向
上，A、C错误；
由图可知，T一定大于F，B错误；
根据图中几何关系可得T＝
G cos
θ
，D正确.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
√C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零 √D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合
力与第三个力大小相等、方向相反
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误； 物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定 不处于平衡状态，B选项错误； 物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零， C选项正确； 物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个 力的合力与第三个力等大反向，D选项正确.
37°(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，则a、b两弹簧的伸长量之比为

处理共点力平衡问题的常见方法和技巧物体所受各力的作用线（或其反向延长线）能交于一点，且物体处于静止状态或匀速直线运动状态，则称为共点力作用下物体的平衡。

它是静力学中最常见的问题，下面主要介绍处理共点力作用下物体平衡问题的一些思维方法。

1.解三个共点力作用下物体平衡问题的方法解三个共点力作用下物体平衡问题的常用方法有以下五种：（1 ）力的合成、分解法：对于三力平衡问题，一般可根据“任意两个力的合成与第三个力等大反向”的关系，即利用平衡条件的“等值、反向”原理解答。

例1•如图1所示，一小球在纸面内来回振动，当绳OA和OB拉力相等时，摆线与竖直方向的夹角■为：（）图1A.15°B. 30°C. 45°D. 60°解析：对O点进行受力分析，O点受到OA 绳和OB绳的拉力F A和F B及小球通过绳子对O点的拉力F三个力的作用，在这三个力的作用下O点处于平衡状态，由“等值、反向”原理得，F A和F B的合力F合与F是等值反向的，由平行四边形定则，作出F A和F B的合力F 合，如图2所示，由图可知匠=词,故答案是A。

图2(2)矢量三角形法：物体受同一平面内三个互不平行的力作用平衡时，这三个力的矢量箭头首尾相接，构成一个矢量三角形；反之，若三个力矢量箭头首尾相接 恰好构成三角形，则这三个力的合成必为 零，因此可利用三角形法，求得未知力。

例2.图3中重物的质量为 m ，轻细线 AO 和BO 的A 、B 端是固定的。

平衡时AO 是水平的，BO 与水平面的夹角为。

AO 的拉力和BO 的拉力的大小是：()= ^gsin.6 F TJL = ?«gcot 8F T& = mg^8凉一宜血总解析：因结点O 受三力作用而平衡，且 与mg 垂直，所以三力应组成一个封闭的直角三角形，如图4所示，由直角三角形 知识得：=—.：」-.,： ： “，所以选项 B 、D 正确。

人教版2020年高考物理考点---点对点专题强化-----三个共点力的平衡问题的分析与计算知识点：1.三个共点力的静态平衡问题特点:三个力的合力为零，题目中常出现“静止”二字2.三个共点力的动态平衡特点：（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）（2）另一个力方向不变，大小可变，（3）第三个力大小方向均可变，3.三个共点力的平衡问题的常见解决方法：①力的合成法②力的正交分解法③正弦定理（拉密定理）法④相似三角形法⑤矢量三角形图解法对点训练：典例1：（静态平衡中的定量计算）如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O 为球心，一质量为m 的小滑块，在水平力F 的作用下静止P 点。

设滑块所受支持力为N F 。

OF 与水平方向的夹角为θ。

下列关系正确的是（ ）A ．θtan mg F =B ．θtan mg F =C ． θtan mg F N =D ．θtan mg F N =【答案】 A典例1解码：解法一：力的合成法滑块受力如图甲，由平衡条件知：mg F ＝tan θ⇒F ＝mg tan θ， F N ＝mg sin θ。

解法二：力的分解法将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，mg ＝F N sin θ，F ＝F N cos θ，联立解得：F ＝mg tan θ，F N ＝mg sin θ。

解法三：力的三角形法（正弦定理）如图丁所示，滑块受的三个力组成封闭三角形，解直角三角形得：F ＝mg tan θ，F N ＝mg sin θ。

典例2：（动态平衡：定性分析-----矢量三角形图解法）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。

一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N 。

另一端与斜面上的物块M 相连，系统处于静止状态。

现用水平向左的拉力缓慢拉动N ，直至悬挂N 的细绳与竖直方向成45°。

已知M 始终保持静止，则在此过程中( )A ．水平拉力的大小可能保持不变B ．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加C ．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D ．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加【答案】BD典例2解码：如图所示，以物块N 为研究对象，它在水平向左拉力F 作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F 逐渐增大，绳子拉力T 逐渐增大；对M 受力分析可知，若起初M 受到的摩擦力f 沿斜面向下，则随着绳子拉力T 的增加，则摩擦力f 也逐渐增大；若起初M 受到的摩擦力f 沿斜面向上，则随着绳子拉力T 的增加，摩擦力f 可能先减小后增加。

第三章相互作用-力3.5 共点力的平衡一：知识精讲归纳考点一、共点力平衡的条件及三力平衡问题1.平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态.2.平衡条件：合外力等于0，即F合＝0.3.推论(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向.(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意n－1个力的合力必定与第n个力等大、反向. 二：技巧归纳1．静态平衡问题的解题“四步骤”2.动态平衡问题的分析方法1．动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡。

2．基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。

3．“两种”典型方法4:处理平衡问题的常用方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件矢量三角形法对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力二：考点题型归纳题型一：受力分析1．（2021·全国高一专题练习）静止的车厢顶部用细线竖直悬挂一小球，如图所示，小球下方与一光滑斜面接触。

关于小球的受力，下列说法正确的是（）A．受重力和细线对它的拉力B．受重力、细线对它的拉力和斜面对它的支持力C．受重力和斜面对它的支持力D．受细线对它的拉力和斜面对它的支持力2．（2020·山西晋中市·榆次一中高一月考）如图所示，A物体沿竖直墙自由下滑，B、C、D物体均静止，各接触面均粗糙。

下列说法正确的是（）A ．A 物体受到三个力作用B ．B 物体受到四个力作用C ．C 物体受到三个力作用D ．D 物体受到五个力作用3．（2021·浙江）下列“画阴影”的物体受力分析正确的是（ ）A ．接触面光滑，球静止B ．光滑斜面，球静止C ．物体冲上粗糙斜面D ．一起向右匀速运动题型二：直接三力合成解决平衡问题4．（2021·浙江高一月考）如图所示，质量为m 的物体悬挂在轻质支架上，斜梁OB 与竖直方向的夹角为θ。

平衡条件的应用 推论4： 三个共点力作用于物体而平衡，则这三个力的 图示必构成一个首尾相接的封闭三角形。
多个个共点力作用于物体而平衡，则这几个共 点力的图示必构成一个首尾相接的封闭多边形。
二、三力平衡的应用 例1：如图所示，一个重为G的光滑球放在倾角为 θ 角的固定斜面上刚好能静止，求竖直挡板和斜 面对球的弹力为多大？ 方法1：合成法 方法2：分解法 方法3：正交分解法 方法4：三角形法
二、三力平衡的应用
例2、
二、三力平衡的应用
练习2、
二、三力平衡的应用
θ
F
二、三力平衡的应用
练习3：如图所示，重为G的小船在外力F的作用 下缓慢靠岸，已知水的阻力f恒定，试判断绳的 拉力与水的浮力如何变化(滑轮摩擦不计)。
F
变形：如果将挡板与斜面间的夹角α 缓慢变化， 求竖直挡板的最小弹力为多少？
二、三力平衡的应用
练习1：如图所示，重为G的光滑球放在与水平地 面成α =600角的挡板OA、OB之间，现将OA板不动， 缓慢移动OB板，试判断OA、OB板对球的支持力如 何变化。 B A 解题要点： 1、正确作出 矢量三角形。 2、找出三角 形的边角的变与不 变。 O