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第24讲 连续系统的S域分析法教材

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第四章——连续时间系统的S域分析

第四章——连续时间系统的S域分析

第四章——连续时间系统的S域分析第4章连续时间系统的S 域分析4.1拉普拉斯变换的定义、收敛域（一）定义拉氏正变换：()()()0stf t F s f t e dt ∞-==L拉氏逆变换：()()112j st j F s F s e ds j σσπ+∞--∞=L（二）常用函数的拉氏变换[1] 阶跃函数()01stste u t e dt ss∞-∞-==-=L [2] 指数函数()1a s tatat ste ee e dt a sa s∞-+∞---??==-=++?L （σ>a -） [3] n t 函数[]21t s =L 232t s ??=??L1!nn n t s +??=??L [4] 冲激函数()()01stt t e dt δδ-∞-==L ()()0000st stt t t t e dt e δδ-∞---=-=L 4.2拉普拉斯逆变换（一）部分分式分解[1]极点为实数，无重根例求下示函数的逆变换()()()3259712s s s F s s s +++=++ 解用分子除以分母（长除法）可得()()()()()()322222222225971232277323232232332323221212s s s F s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s +++= ++++++=++++++++++=++++++++=++-++ 故有()()()222t t f t t t e e δδ--'=++-()0t ≥[2]包含共轭复数极点()()12cos sin tA jB A jB e A t B t s j s j αββαβαβ--??+-+=-+-++??L 例求下面函数的逆变换()()()223252s F s s s s +=+++解()()()()()()()()2222220123252312231212221212s F s s s s s s s s s j s j s k k k s s j s j +=++++=+++??+=+++-+=++++-++下面分别求系数012,,k k k()()725s k s F s =-=+=()()21123121225s j s j k s j s =-++-+==+++ 也即12,55A B =-=，故而可以得到其逆变换的函数表达式()()()27122cos 2sin 2555t t f t e e t t --??=-+()0t ≥[3]多重极点设有()()()()()()()()()()1111121111k kkk A s A s F s B s s p D s E S K K K s p D S s p s p -== -=+++---现记()()()11kF S s p F s =-则个系数的计算公式为：()()1111111!i i i s p d K F s i ds --==- 例求下示函数的逆变换()()321s F s s s -=+解将()F s 写成展开式()()()131112232111K K K K F s s ss s =++++++ 容易求得：()202s K sF s ===-为求出与重根有关的个系数，令()()()3121s F s s F s s-=+=故有11123S s K s=--==12122S d s K ds s =--??==213211222S d s K ds s =--??== ?于是有()()()323222111F s s ss s =++-+++ 所求逆变换为()232222t t t f t t e te e ---=++-()0t ≥4.3微分方程的S 域求解对于二阶连续时间LTI 系统，描述系统的微分方程为()()()()()1010,0y t a y t a y t b x t b x t t ''''++=+≥()()0,0y y --'为系统的初始状态。

连续时间系统的s域分析讲解

连续时间系统的s域分析讲解
思考题
|什么是拉普拉斯变换及其逆变换? |拉普拉斯变换存在的条件?
常用函数的拉氏变换(阶跃函数、指|
数函数等
北京工业大学信号与信息处理研究室
43
§4.3拉氏变换的基本性质|主要内容
z线性(叠加
z原函数的微分与积分
z延时、s域平移
z尺度变换
z初值、终值、卷积定理|重点:拉氏变换的基本性质|难点:基本性质公式的推导北京工业大学信号与信息处理研究室
求极限方法的傅里叶变换
——含有冲激函数,使分析计算较为麻烦。北京工业大学信号与信息处理研究室
一些信号不存在傅里叶变换
——傅里叶变换有一定限制傅里叶逆变换比较困难
傅里叶变换分析法
——只能确定零状态响应寻求更有效而简便的方法——拉普拉斯变换(LT: Laplace Transform p
北京工业大学信号与信息处理研究室
拉普拉斯变换、
第四章
连续时间系统的s域分析学习内容
1.拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2.常用函数的拉氏变换:阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.拉氏变换的性质。
4.拉氏逆变换。
4.拉氏逆变换。
5.利用拉氏变换法分析电路、s域元件模型。
6.系统函数的定义及物理意义。
北京工业大学信号与信息处理研究室
思考题| 1.拉氏变换的基本性质及其变换公式？北京工业大学信号与信息处理研究室
⋅=∫复频率。具有频率的量纲令⇒=+, j :s ωσ单边拉普((∫∞−=0d e t t f s F t
s则拉斯变换
0-系统和0+系统
北京工业大学信号与信息处理研究室
二.拉氏变换的收敛
收敛因子e -σt
可能满足绝对可积的条件

连续时间系统的s域分析讲解

连续时间系统的s域分析讲解

1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)

连续时间信号与系统的S域分析课件

连续时间信号与系统的S域分析课件

VS
频谱分析
在信号处理中，频谱分析是了解信号特性 的重要手段。通过s域分析，可以将时域 信号转换为频域信号，实现对信号的频谱 分析，了解信号的频率成分和功率分布等 特性。
THANKS.
系统的实现与仿真
控制系统硬件实现
根据系统设计要求，选择合适的硬件设备，如 传感器、执行器、控制器等，搭建控制系统。
控制系统软件实现
编写控制算法程序，实现控制系统的软件部分。
系统仿真
通过仿真软件对控制系统进行模拟实验，验证系统设计的正确性和有效性。
s域分析的用
05
在通信系统中的应用
信号传输
在通信系统中，信号经常需要经过长距离传输。在传输过程中，信号会受到各种 噪声和干扰的影响，导致信号质量下降。通过s域分析，可以对信号进行滤波、 均衡等处理，提高信号的抗干扰能力，保证信号的传输质量。
调制解调
在通信系统中，调制解调是实现信号传输的关键技术。通过s域分析，可以对信 号进行调制和解调，将低频信号转换为高频信号，或者将高频信号转换为低频信 号，实现信号的传输和接收。
在控制系统中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，系统的稳定性是非常重要的。通过s域分析，可以对系统的极点和零点进行分析，判断系统的稳 定性，以及系统对外部干扰的抑制能力。
稳定性分类
根据系统对输入信号的响应速度 和超调量，可以将系统的稳定性 分为渐近稳定、指数稳定和超调 稳定等类型。
系的s域
04
系统的状态空间表示
状态空间模型
描述系统的动态行为，包括状态方程和输出 方程。
输出方程
描述系统输出与状态变量和输入之间的关系。
状态方程
描述系统内部状态变量的变化规律。

连续系统的S域分析及拉普拉斯变换性质

连续系统的S域分析及拉普拉斯变换性质
t
0
( j ) t
dt
j
b


1 s

b0
不定 无界

b

反因果信号的收敛域为某直线的左半平面
X
第
3、双边信号
8 页
f 3 ( t ) f1 ( t ) f 2 ( t )
b a时，收敛域如图
Fb 3 ( s ) Fb1 ( s ) Fb 2 ( s )
j
a
b

b a时， Fb1(s)与Fb2(s)没有共同的收敛域，Fb3（s）不存在
双边信号的收敛域为带状区域
X
第
4、时间有限信号 如：
9 页
f 4 ( t ) et
Fb 4 ( s )
T1 t T2
e t e st dt

T2
T1

T2
T1
f 4 ( t )e st dt
F ' (s)

t
s
f ( )d
lim f ( t ) f (0 ) lim SF ( s )
s
终值定理
lim f ( t ) f ( ) lim SF ( s )
t s 0
卷积 定理
f1 ( t ) * f 2 ( t )
f1 ( t ). f 2 ( t )
F1 ( )
t
5 页


s j

f ( t )e ( j ) t dt
象函数 正LT 原函数 逆LT
Fb ( s )



f ( t )e st dt
双边拉氏变换

信号与系统连续系统的s域分析

信号与系统连续系统的s域分析

h (t , s )
t h ( t , s ) 对t积分
h (t , s )
st

ln [ h ( t , s )] s t
h (t , s ) e
F (s)
0
f (t )e
st
dt
26
单边拉氏变换已考虑了初始条件
L

f (t ) F ( s )
d f (t ) L S F ( s ) f (0 ) dt
• 对有始信号而言
s t F s L f t f t e dt b 0 σ j 1 1 F f t L Fb s σ j 2 π j

se d s
s t
21
二、单边拉氏变换
st
dt
1 s
e
st
0

1 s
2.e
α t
e
st
dt
e
α s t

3.单位冲激信号
L t
α s

0
1 α s
σ
α

0

t e

st
dt 1
0 σ σ 0 的信号成为指数阶信号
；
2.有界的非周期信号的拉氏变换一定存在
3 . lim t e
t n t
0

0
4 . lim e
t
t
2
t
e
t
0

α

长快，找不到收敛坐标 ，
5.e
等信号比指数函数增

连续系统的s域分析知识讲解

或 f(t)←→ F(s)
▲
■
第 11 页
四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
▲
■
第1页
§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
▲
■
第2页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
▲
■
第 10 页
三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
▲
■
第5页
例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。

连续系统的S域分析

因果函数 的收敛域
为横轴， 平面（复平面） σ为横轴， jω 为纵轴的 s 平面（复平面），
α
收敛边界 可见对于因果信号， 可见对于因果信号，仅当 S平面 平面
σ
Re[s] = σ > α 时， 其拉氏变换才存在。 其拉氏变换才存在。其收敛域为 Re[s] > α 。
eβ t , t < 0 f2 (t ) = eβ tε(− t ) = 例5.1-2 设反因果信号 0 , t > 0 为实数， 求其双边拉氏变换 求其双边拉氏变换。 β 为实数，
σ 的值使
∫
∞ −∞
(t ) 乘以一个衰减因子 e−σ t ,适当 f 适当
f (t ) e−σ t 当 t → ±∞ 时,
−σ t
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件： 信号幅度趋于 ，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e
dt < ∞
例如
f (t ) = e ε (t )
2t
2t ∞ 2t
拉氏积分收敛。 那么对于 Re[s] = σ > σ，拉氏积分收敛。 0 解释: 解释 当
lim f (t ) e−σt = 0
∞
,
σ > σ0
∫
0
为有限值， f (t ) e−σt dt为有限值，则 f (t )的拉普拉斯变换
必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 必然存在，这是讨论拉氏变换收敛域的出发点。 为了达到这个要求， 应满足： 为了达到这个要求， f (t )应满足：
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e dt
0
不满足绝对可积的条件。 不满足绝对可积的条件。 只要
f (t )e

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析

若f (t)满足以下条件时，才存在付里叶变换 1 狄氏条件：1) f (t)在有限闭区间连续或有有限个第一类间断点； 2) f (t)在有限闭区间只有有限个极值点。
2 在(-, )内满足绝对可积，即 f (t) dt
由付里叶变换存在条件 可知，绝对可积条件较强，许多 函数都不满足此条件，如单位阶跃函数、正弦余弦函数、线 性函数等。 2拉普拉斯变换
F (s) f (t)et e jtdt
f (t)e( j)tdt f (t)est dt
其中 s j
F (s) f (t)est dt称作拉普拉斯(Laplace)变换
f (t) 1
F
(s)e
st
d称s 作拉普拉斯逆变换
2j
f (t) F (s)
单边拉氏变换
a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(s) a2F2 (s)
其收敛域至少是二函数收敛域的相重叠部分。
7
例1:求双曲函数的象函数
sht 1 (et et )
2
sht
1 2
(et
et
)
0
1 2
(et
et
)est
dt
1 2
s
1
1 1
2 s
1
s2 2
Res 0
et的收敛域Res ，et的收敛域Res ,
当n 2时
t2
2 s3
,依次类推
t n n(n 1)(n 2)2 1
s n1
6
4.冲击函数
(t) (t)est dt 1 0
5.正弦函数
sin kt sin ktest dt 1 e jkt e jkt est dt
0
0 2j

《信号与系统》实验3(连续系统的s域分析)

实验三 连续系统的s 域分析学号： 姓名： 成绩：一、实验目的（1）熟悉拉氏变换。

（2）掌握系统响应s 域求法。

（3）熟悉系统的频率响应。

二、实验原理连续LTI 系统，在s 域可以用系统函数H(s)描述，其实质是系统冲激响应h(t)的拉氏变换。

)()()(s A s B s H =（1） 拉氏逆变换若H(s)的极点分别为p1,…,pn ，则H(s)可表示为：部分分式+多项式∑=+-+⋅⋅⋅+-+-=Mm m m n n s c p s r p s r p s r s H 02211)(由此可以方便的求出其拉氏逆变换（即对应的时间域信号）。

（2）s 域求响应变换到s 域，系统响应等于激励信号与系统函数相乘)()()(s H s E s R =（3）系统的频率响应如果系统函数H(s)的收敛域包含虚轴，则令s=j ω，得到系统的频率响应H(j ω)。

三、验证性实验 已知系统)(9)(3)(8)(6)()1()1()2(t e t e t r t r t r+=++，其系统函数为8693)(2+++=s s s s H 。

（1） 求零、极点。

程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 zs=roots(b); ps=roots(a);plot(real(zs),imag(zs),'go',real(ps),imag(ps),'rx'); grid;legend('zero','pole');-4-3.5-3-2.5-2问题：该系统的零点能够抵销什么形式的激励信号？（2） 求冲激响应h(t)（系统函数的逆变换） 程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8]; %分母多项式系数 [r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =1.5000 1.5000 p = -4 -2 k = [] 则t t e e t h s s s H 245.15.1)(25.145.1)(--+=+++=问题：该系统是不是稳定系统？（3） e(t)=u(t)时，求零状态响应ss s s s E s H s R st u L s E 8693)()()(1)]([)(23+++====程序： clear;b=[3,9]; %分子多项式系数 a=[1,6,8,0]; %分母多项式系数[r,p,k]=residue(b,a); %求留数、极点 t=0:0.1:10;f=r(1)*exp(p(1)*t)+r(2)*exp(p(2)*t)+r(3)*exp(p(3)*t); plot(t,f);02468100.511.5问题：响应的极点有哪些，与激励相同的极点是哪一个，对应着响应的什么分量？（4） 求频率响应H(j ω)。

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Yzi (s)
Yzs ( s)
s2
2 5s
6
F (s)
2
Байду номын сангаас
5s
(s 2)(s 3) s2 1
1
j
e4
1
j
e4
4 3 2 2
s2 s3 sj sj
Yzi (s)
s2
s4 5s 6
2 1 s2 s3
y(t) 4e 2t 3e 3t 2 co s (t ) 2 e 2 t e 3 t (t )
2) 电容
i(t ) C du(t ) 或 u(t ) 1
t
i( )d
dt
C
I ( s) C [sU ( s) u(0 )]
U ( s)
1 C
1 s
0 i ( )d
1 s
I ( s )
U (s) 1 Cu(0 )
u(0 ) 1 I ( s)
s
Cs
Cs
+ i(t) u(t) C
图1
例1 设有方程 y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) e3t ,
y(0 ) 1, y(0 ) 2, 求y(t )。
t0
解 对方程取拉氏变换，得
[s2Y (s)
sy(0 )
y(0 )] 3[sY (s)
y(0 )]
2Y (s)
s
1 3
即
Y (s)
s2 8s 6
(s 1)(s 2)(s 3)
•首先，介绍拉普拉斯变换的定义、性质和反变换方法。
•然后，介绍拉氏变换分析LTI系统的两种方法：
•
已知微分方程的S域求解
•
已知电路的S域系统模型求解。
•最后，给出S域系统函数的定义，通过系统函数的零极点分布来 分析系统的稳定性。
第4章 主要内容
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
拉普拉斯变换的定义 单边拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换的方法 连续系统的S域分析方法 S域系统函数及应用
4
yzs (t)
yzi (t)
电路的 s 域模型
1. 电路基尔霍夫定律的复频域模型
n
1) KCL: ik (t ) 0
k 1
m
2) KVL:
uk (t ) 0
k 1
2. 电路元件的复频域模型
1) 电阻
u(t)=R·i(t)
n
Ik (s) 0
k 1 m
Uk (s) 0
k 1
U(s)=R·I(s)
s
3/8 1/8
( s 1) ( s 5)
iL (t )
(3 8
et
1 8
e 5t
)
A
U L (s) I L (s) s LiL (0 )
t0
uL (t )
(
3 8
et
5 8
e 5t
)V
t0
-
+
I(s)
1 Cs
U(s)
-
+
U(s) Cu(0-)
-
I(s)
1 Cs +
u(0 )
-s
1 ：复频域容抗
Cs
u(
0 s
)
、
C
u(
0
)
:
内部电源
3) 电感
u(t ) L di(t )
或 i(t) 1
t
u( )d
dt
L
U ( s ) L[ sI ( s ) i(0 )] LsI ( s) Li(0 )
第4章 连续系统的S域分析
•拉普拉斯变换是傅里叶变换的广义形式， •通过拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程， •同时将起始状态和输入信号一起考虑，一举求得全响应。 •通过拉普拉斯变换引入S域系统函数，其零极点联系了系统 的时域和频域特性，并可直观判断系统的稳定性。
第4章 连续系统的S域分析
•本章导读：
第 24 讲 连续系统的S域分析法
利用拉氏变换求解微分方程
利用拉氏变换的微分、积分性质可以将微分方程 转为简单的代数方程。
利用拉氏变换的微分、积分性质对微分方程进行 变换时，初始条件被自动计入，可以一举求得全解。
连续系统的S域分析
微分方程的S域求解
取变换
时域模型
S域模型
反变换
解S域方程
时域响应
所以
y(t) = L1[Y(s)]=4.5et 4e2t + 0.5e3t
( t 0 )
例2 描述某LTI系统的微分方程为：
y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) ，且 y(0-)=1，y’(0-)=-1 激励 f(t)=5cost (t)，求系统的全响应y(t)。
【解】 对微分方程取拉氏变换得：
I ( s)
1 1 L s
0 u( )d
1 s
U
(
s
)
i(0 ) U (s)
s
Ls
+ i(t) u(t) L
-
+ I(s) Ls
U(s) -
-
Li(0-) +
+ U(s)
-
I(s) Ls
i(0 ) s
L s：复频域感抗
Li(0
)、i (0 s
)：
内部电源
电路的复频域分析法
基本步骤： 1） 画 t=0- 等效电路，求初始状态； 2） 画 s 域等效模型； 3） 列 s 域电路方程（代数方程）； 4） 解 s 域方程，求出 s 域响应； 5） 反变换求时域响应。
s2Y (s) sy(0 ) y(0 ) 5sY (s) y(0 ) 6Y (s) 2F(s)
(s2 5s 6)Y (s) 2 F ( s ) sy ( 0 ) y ( 0 ) 5 y ( 0 )
Y(s)
2F (s)
s4
s2 5s 6 s2 5s 6
Yzs (s)
例 1 ：图示电路，开关动作前已进入稳
态，试求开关打开后电感支路电流和电感
两端电压。
解： t<0，开关k闭合，电路稳定，有：
iL (0 ) 0.5A
uC (0 ) 2V
t>0，开关打开，根据 s 域电路，有：
IL(s)
uC
(0 s
)
LiL (0
)
5
222 s
2 0.5s ( s 1)( s 5)