17-3方向导数与梯度

f y tan f x
要点： 1）点 P 在 D 上的任一向量 2）如果存在一 L 方向的射线，则可以引入方向导数 与梯度的关系 2） 三元函数 u f ( x , y , z )
gradf ( x , y , z )
f f f i j k y z x
3） 对于三元函数 u
f ( x, y, z )
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l 0
f f cos cos cos l x y z
2、 梯度 1） 二元函数 z f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P∈D,都可以定出一个向量：
= gradf ( x , y ) e = gradf ( x , y ) cos[ gradf ( x , y ), e ]
f 上式表示方向导数 l
影。 由梯度的定义可知：
即为梯度在射线 L 上的投
gradf ( x , y )
(
f 2 f 2 ) ( ) x x
f 0 则 x 轴到梯度的转角正切为： 如果 x
距离（ (x) (y) ）的比值，当 P 沿着 L 趋向 P 点时，
2 2
这个比值的极限存在，则这个极限为函数 z f ( x , y ) 在点 P 延 L 方向的方向导数，记作：
f l
f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim 且： l 0
方向导数和梯度
1、 方向导数
1） 定义：
现在讨论 z
f ( x , y ) 所确定的空间曲面在一点 P 沿
L
某一方向的变化率问题。
P

z
故f 在P0沿l的方向导数存在,且
Pl

fl (P0 )
lim 0
f
P

f (P0 )
P0
o
y
x
fx (P0)cos fy (P0)cos fz (P0)cos . //
说明: (1). 由定理1知,如 f 可微, 则任意方向的方向导数皆可用偏导数表示:
t 0
t lx2 ly2 lz2
故f 在(0,0,0)沿任意射线l的方向导数皆存在,
且 f
1.
l (0,0,0)
例3.
设f
(x,
y)


1, 0,
当0

y x2, 其余部分
x


证明:fl (0,0)=0,但f 在(0,0)不连续. y
教材P.126 例2
o
y
x
证明: 设P x0 x, y0 y, z0 z为l上任一点,由已知:
f P f (P0) f x0 x, y0 y, z0 z f x0, y0, z0
fx (P0)x f y (P0)y fz (P0)z o
记 x x x0, y y y0, z z z0,
则射线l 的方向余弦＝向量P0P的方向余弦为：
z Pl
z P0 x y
o
y
cos

x

,
cos

y

,
cos

z

.
x
问题：(1).方向导数的计算？
(2).方向导数与可微、偏导数之间的关系？

(2 x 3)i (4 y 2) j 6zk , 故 gradu(1,1,2) 5i 2 j 12k .
3 1 在 P0 ( , ,0)处梯度为 0. 2 2
三、小结
1、方向导数的概念
（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）
2、梯度的概念
（注意梯度是一个向量）
3、方向导数与梯度的关系
梯度的方向就是函数 f ( x , y ) 在这点增长 最快的方向 .
思考题
1. 讨论函数 z f ( x , y ) x y 在( 0,0) 点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？
2 2
2. 考虑下面各项之间的关系
f 可微
f 连续
f x , f y , f z 存在
故沿任意方向的方向导数均存在且相等.
p


x
y
x
为 l 上的另一点且 P U ( p). （如图）
考虑
z

, 如当 P 沿着 l 趋于 P时，
0
lim
f ( x x, y y ) f ( x, y )

存在, 称此极限为函数在点 p 沿方向 l
的方向导数.
记为
f f ( x x , y y ) f ( x , y ) lim . l 0
类似于二元函数，此梯度也是一个向量， 其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模 为方向导数的最大值.
例2
求函数 u x 2 2 y 2 3 z 2 3 x 2 y 在点 (1,1,2)处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
u u u gradu( x , y , z ) i j k x y z

其中
e l = (cos α , cos β , cos γ )
例3 n 是2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在 (1,1,1) 处指向外侧的法向量， 处指向外侧的法向量，
6 x 2 + 8 y 2 在该点沿 的方向导数. 求u = n 的方向导数. z | n |= 14 n = ( 2 x ,3 y , z ) (1,1,1) = ( 2,3,1) 解 1 2 3 cos α = cos γ = cos β = 14 14 14 6 8 6x 6x 8y u x ( 1 ,1 , 1 ) = = = uy = ( 1 , 1 ,1 ) 14 14 z 6x2 + 8 y2 z 6x2 + 8 y2
zx
( 1, 0 )
=e
2y
=1
zy
( 1, 0 )
= 2 xe 2 y
( 1, 0 )
=2
∂f ∂l
( 1, 0 )
1 1 2 = 1⋅ ) =− − + 2 ⋅ (− 2 2 2
例2 求 z = 3 x 2 y − y 2 切线方向（ 增大方向） 沿曲线在该点处切线方向（ x 增大方向）的 方向导数. 方向导数. 解
l = (1,0)
∂f ∂l ∂f
l = (−1,0) −
∂l
f x (0,0) = lim t →0
lim f ( t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) lim f ( − t ,0) − f (0,0) = lim t = 1 = t →0+ t →0+ t t ( 0,0 ) f ( t ,0) − f (0,0) = lim | t | 不存在 t →0+ t t