第7章弯曲正应力(1,2)

z
a 166
560 375 10 N mm 21 mm 2 65586 104 mm4 148 MPa
6
21


或根据正应力沿梁高的线性分布关系的 12.5 560 z a 166
max 160MPa
21
ya a max y max
560 21 2 160 MPa 148 MPa 560 2
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
三、 举例
[例7-1]：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同， 但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
应力的分布规律
static relationship
Establish the formula
建立公式
一.几何变形 弯曲变形动画
（1）aa、bb弯成 弧线，aa缩短，bb 伸长,部分纵向线 段缩短，另一部分 纵向线段伸长。
M
m a
b m
n a
b n
M
（2）mm、nn变形后 仍保持为直线，且仍 与变为弧线的aa，bb 正交。
Pa 4
Pa P (l a ) 4 4
得
l a 2
[例7-3]受均布载荷的外伸梁材料许用应力[ ] 160MPa 校核该梁的强度。
10kN / m
200
2m
FS
25
45kN
4m
100
15kN
解：由弯矩图可见
M max 20kN m
20 15
20
M max 20 103 t 0.1 0.2 2 / 6 Wz t 30MPa< [ ]
d z
y
b
Iz bh3 / 12 bh 2 矩形截面 Wz h/2 h/2 6
h
z y D d
空心圆截面
πD Wz (1 4 ) 32
3
d α D
z y
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面（有两个抗弯截面模量） 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式 My σ Iz σc max
解：
A
C
l P 22
2
2
l 2
D
B
P2
A
B
主梁AB:
M max AB P (l a ) 4
M
(l a) / 2
(l a) / 2
M maxAB P(l a) / 4
P
副梁CD:
C a
D
M max CD
Pa 4
M
由 (M max ) AB (M max )CD
(M max ) CD
横截面上只有正应力，没有剪应力。
a
C
横力弯曲或剪切弯曲 （AC段和DB段）：
FS ≠ 0，M ≠ 0
l
F F
a
B
FS
横截面上既有正应力，又有剪应力。
M
Fa
梁弯曲动画
弯曲正应力公式推导思路
deformation geometric relationship physical relationship
例7-6 图示为由工字钢制成的楼板主梁的计算简 图。钢的许用弯曲正应力[ ]=152 MPa 。试选择 工字钢的号码。
F A FA 2.5m 2.5m 2.5m 10 m 2.5m
F
F=75kN
B FB
单位： kN· m
解：1、支反力为 作弯矩图如上。
3 FA FB F 102 .5 kN 2
σ max
M ymax Iz
Iz 引用记号 Wz —抗弯截面系数（或称为抗弯截面模量）， ymax 单位：m3、cm3，mm3。
则公式改写为
σ max
M Wz
请同学们思考等直梁最大正应 力公式如何写?
梁的抗弯截面系数（抗弯截面模量）：
（1）当中性轴Z为对称轴时
Iz πd 4 / 64 πd 3 实心圆截面 Wz d /2 d /2 32
12.5
A FA 5m C 10m B 375 kN.m FB z a 166 560 F
M 解：1、作弯矩图如上， M max
Fl 375 kN m 4
21
2、查型钢表得
56号工字钢 3、求正应力为
I z 65586cm4
Wz 2342cm3
max
12.5
560
M max 375 106 N mm 160 MPa 3 3 Wz 2342 10 mm M max y a a Iz
40 z
180
A
20
y 20
M M
max max
三.静力平衡
F N dA
A
A
E
y

0
M
y 设中性轴为z
M y z dA 0 M z y dA M
A
z
dA
FN dA 0
A


E dA 0 A
y
E


A
ydA 0

A
ydA S z 0
中性轴 Z必过截面形心
横截面对Z轴的静矩
②已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;
M max Wz [ ]
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
[M ] Wz [ ]
注意：在进行强度校核、选则截面尺寸、确 定许用荷载时，若 （1） （2）
[ ]t [ ]c
（塑性材料）只须校核Mmax处
（脆性材料）
[σ ]t [σ ]c
中性层
中性层与横截面的交线称为中性轴
横截面上任一点的线应变
y
dx
y
z
y
d

y ( y)d d dx d
dx
结论：一点的的线应变与它到中性层 的距离成正比。 二. 物理关系 y E E dx
y
dx

结论：一点的正应力与它到中性层的距离成正比。
l
P 1l 2 解： max1 Wz1 bh / 6 M max2 P2l max2 2 Wz2 hb / 6 由 max 1 max 2 [ ] 得:
M max1
P1 h P2 b
[例7-2]主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高 承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则 副梁的最佳长度a为多有正应力，又有切应力。 本章研究主要研究等直梁在平面弯曲时，其横截面上的 正应力、剪应力以及有关的强度计算。
§7-1梁横截面上的正应力·梁的正应力强度条件
一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲（CD段）：
FS = 0，M = const
F A
F
F
D
F
M
M
1.平面假设：
梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设：
梁由无数根纵向纤维组成，假设各纵向纤维之间互不 挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层。 中性轴
讨论 （1）应用正应力公式时，一般将 M和y 用绝对值代入. 根据截面
弯矩的正负号就可直接判断 的正负号. 例如截面弯矩M为正时，
中性轴以下为受拉区，则该区域各点的正应力为拉应力；而中性 轴以上为受压区，则该区域各点的正应力为压应力。 （2）梁某截面上的最大正应力发生在该横截面上离中性轴最 远的点处.
弯曲中心的概念
梁的正应力强度条件 及其解决的三问题
梁的切应力强度 条件及其计算
σydA M τdA F
A A s
dA M
dA FS
M
在横截面上，只有法向内力 元素σdA才能合成弯矩M， 只有切向内力元素τdA才能 合成剪力FS
dA
FS
y
dA
z
M
FS
M y z dA 0 zE
A
A
y

dA
E
zydA 0
A
y E
zydA I yz 0
M z y dA M
A
A
截面的惯性积（ y为对称轴）
M
y
yE dA M
A
y

y
A
2
dA I z
设中性轴为z
z
dA
截面对z轴（中性轴）的惯性 矩
Examine the deformation， then propose the hypothesis
Distribution regularity of deformation
变 形 几 何 关 系 物 理 关 系 静 力 关 系
观察变形， 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
yc max
M
σ t max
σ c max
My t max Iz My c max
Iz
Iz
M Wz1
M Wz 2
Iz yc max
z