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偏微分方程重点知识点总结一、偏微分方程的基本概念1. 偏导数偏微分方程是指含有多个自变量的函数的偏导数的方程。
在一元函数中，我们只需要考虑函数关于一个自变量的变化率，而在多元函数中，我们需要考虑函数关于每一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念。
假设有一个函数f(x, y)，它对x的偏导数记作∂f/∂x，对y的偏导数记作∂f/∂y。
分别表示函数f关于x和y的变化率。
2. 偏微分方程的定义偏微分方程是一类包含多个自变量的偏导数的方程。
它通常表示物理、化学或工程问题中的一些基本规律。
偏微分方程通常可以用数学语言描述为F(x, y, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2,…) = 0其中u是未知函数，x和y是自变量，F是已知函数。
二、偏微分方程的分类1. 齐次偏微分方程和非齐次偏微分方程齐次偏微分方程是指方程中不含有常数项或只含有未知函数及其偏导数项的方程，非齐次偏微分方程是指方程中含有常数项或者其他函数的项的方程。
2. 线性偏微分方程和非线性偏微分方程线性偏微分方程是指偏微分方程中未知函数及其各阶偏导数只含一次且不含未知函数的乘积的方程，非线性偏微分方程是指未知函数及其各阶偏导数含有未知函数的乘积的方程。
3. 定解问题定解问题是指在偏微分方程中，给出一些附加条件，使得可以从整个解的集合中找到符合这些条件的特定解。
定解问题通常包括边界条件和初始条件。
三、偏微分方程的解法1. 分离变量法分离变量法是对于一些特定形式的偏微分方程，可以通过假设解具有特定的形式来进行求解。
例如，对于一些可以分离变量的方程，我们可以假设解为u(x, y) = X(x)Y(y)，然后将方程进行变形，从而可以将偏微分方程化简为两个常微分方程，然后对这两个常微分方程分别求解。
2. 特征线法对于二阶线性偏微分方程，可以通过引入特征线的方法进行求解。
特征线方法可以将二阶偏微分方程化为两个一阶偏微分方程，然后对这两个一阶偏微分方程进行分别求解。
1.偏微分方程的阶数由什么决定？o A. 方程中未知函数的最高阶导数o B. 方程中未知函数的个数o C. 方程中自变量的个数o D. 方程中常数的个数参考答案: A解析: 偏微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶偏导数决定。
2.下列哪个方程是二阶线性偏微分方程？o A. u x+u y=0o B. u xx+u yy=0o C. u x2+u y2=1o D. u xy+u=0参考答案: B解析: 二阶线性偏微分方程包含未知函数的二阶偏导数，且未知函数及其偏导数的系数为常数或仅依赖于自变量。
3.偏微分方程u t=u xx描述的是什么物理现象？o A. 弹性振动o B. 热传导o C. 流体动力学o D. 电磁波传播参考答案: B解析: u t=u xx是热传导方程，描述热量在均匀介质中的扩散。
4.以下哪个方程是波动方程？o A. u t=u xxo B. u tt=c2u xxo C. u xx+u yy=0o D. u x+u y=0参考答案: B解析: 波动方程通常形式为u tt=c2∇2u，其中c是波速。
5.偏微分方程u xx+u yy=0是哪种类型的方程？o A. 抛物型o B. 双曲型o C. 椭圆型o D. 非线性参考答案: C解析: u xx+u yy=0是拉普拉斯方程，属于椭圆型偏微分方程。
6.以下哪个是偏微分方程的初值条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: A解析: 初值条件通常设定在时间变量的初始时刻，如u(x,0)=f(x)。
7.以下哪个是偏微分方程的边界条件？o A. u(x,0)=f(x)o B. u(x,y)=f(x,y)o C. u(0,y)=f(y)o D. u(x,1)=f(x)参考答案: C解析: 边界条件通常设定在空间变量的边界上，如u(0,y)=f(y)。
偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。
3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。
证明解的唯一性。
4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。
解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。
5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。
6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。
7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。
8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。
以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。
云南省考研数学与应用数学复习资料偏微分方程重点题型总结偏微分方程是数学与应用数学考研中的重要知识点之一。
在复习过程中，重点掌握并熟练应用偏微分方程的各类题型是非常关键的。
本文将从常见的偏微分方程题型入手，总结云南省考研中数学与应用数学偏微分方程的重点题型，帮助考生有针对性地进行复习。
一、一阶偏微分方程1. 一阶线性偏微分方程一阶线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = R(x, y)其中P、Q、R为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解。
2. 齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程的一般形式为：P(x, y)u_x + Q(x, y)u_y = 0其中P、Q为已知函数，u为未知函数。
解题思路：通过变量分离、常数变易等方法求解，并注意到齐次线性偏微分方程的解具有叠加性质。
二、二阶偏微分方程1. 二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程的一般形式为：Au_xx + 2Bu_xy + Cu_yy + Du_x + Eu_y + Fu = G(x, y)其中A、B、C、D、E、F为已知函数，G为已知函数或零函数。
解题思路：通过特征线法、变量分离、常数变易等方法求解。
2. 泊松方程泊松方程的一般形式为：△u = f(x, y)其中△表示拉普拉斯算子，u为未知函数，f为已知函数。
解题思路：通过分离变量、格林函数等方法求解。
三、特殊函数及其应用1. 分离变量法对于具有可分离变量的偏微分方程，可以通过引入新函数的方式将方程进行分离变量，从而得到解法。
2. 格林函数格林函数是求解边界值问题的重要工具，在特定边界条件下，通过格林函数的积分形式可以得到偏微分方程的解。
四、典型题型举例1. 求解一阶线性偏微分方程：例1：求解方程 yu_x - xu_y = 0解：通过变量分离的方法，得到解为 u = c ln|x| + f(y)2. 求解二阶线性偏微分方程：例2：求解方程 u_xx - u_yy = e^x解：通过特征线法，得到解为 u = f(x + y) + g(x - y) + C3. 求解泊松方程：例3：求解方程△u = x^2 + y^2解：通过使用极坐标系和分离变量法，得到解为 u = (r^2 - 2) / 4以上仅为部分偏微分方程的题型总结，考生可根据题目要求和题型特点，灵活运用不同的解题方法。
偏微分方程数值解总复习一、考虑一维经典的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=∈=(0)T )(0, ),(0u u t u t f dt du设函数),(u t f 在G ＝R T *],0[中连续，并且是关于u 满足Lipschitez 条件，即存在一个只依赖区域G ，而与变量t ，u 无关的常数L （称为Lipschitez 常数），使得对任意的（t ，u 1）和（t ，u 2）∈G ，都有2121),(),(u u L u t f u t f -≤-，这里的∙表示R 中的任一种范数。
给定等距分割：T t t t t n ≤<<<<= 2100，其中步长m m t t h -=+1，1,,1,0-=n m 。
在],[1+m m t t 上作：),(1m m m m u t hf u u +=+，1,,1,0-=n m这一方法称为Euler 方法。
如果记)(m t u 为微分方程在m t t =处的精确解，m u 为差分方程在m t t =处的精确解。
1、在],[h t t +上，定义算子：))(,()()(]);([t u t hf t u h t u h t u L --+=当2),(]);([≥=p h O h t u L p时，称数值方法是相容的。
2、当0→h 时，若)(m m t u u →，],0[T t m ∈，则称该数值方法是收敛的。
3、如果由初值0u 得到精确解m u ；由初值0v 得到精确解m v ，若存在常数C 和充分小的步长0h ，使得00v u C v u m m -≤-，0h h ≤，T mh ≤。
则称数值方法是稳定的。
证明：Euler 方法是相容的、收敛的、和稳定的。
证明1、 将)(h t u +在t 处做Taylor 展开，得2)(21))](,()([]);([h u h t u t f t u h t u L ξ''+-'=2)(21))](,()([h tuu f t f h t u t f t u t ξ=∂∂∂∂+∂∂+-'= )()))(((2122)(h O h t t,u f uft f t t u =∂∂+∂∂==ξ是微分方程的解所以该数值方法是相容的。
大学数学易考知识点偏微分方程的基本理论和解法大学数学易考知识点：偏微分方程的基本理论和解法一、引言数学作为一门基础学科，广泛应用于各行各业。
在大学数学课程中，偏微分方程是一个重要的知识点。
本文将介绍偏微分方程的基本理论和解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。
二、偏微分方程的基本概念1. 偏微分方程的定义偏微分方程是含有未知函数及其偏导数的方程。
它与常微分方程不同之处在于，偏微分方程中的未知函数不仅依赖于自变量，还依赖于各个自变量的偏导数。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的未知函数的偏导数的阶数和个数，可以分为常系数偏微分方程和变系数偏微分方程；根据方程类型，可以分为椭圆型、双曲型和抛物型等不同类型的方程。
三、偏微分方程的基本理论1. 解的存在性和唯一性对于线性偏微分方程，满足一定的初值条件和边值条件时，解的存在性和唯一性可以得到保证。
这一结论对于求解实际问题具有重要的意义。
2. 偏微分方程的解的性质偏微分方程解的性质包括可微性、连续性以及一定的物理意义。
解的性质可以通过数学推导和物理分析得到。
四、偏微分方程的解法1. 常系数偏微分方程的解法常系数偏微分方程包括常系数线性偏微分方程和常系数非线性偏微分方程。
对于常系数线性偏微分方程，可以使用特征线法、分离变量法等方法求解；对于常系数非线性偏微分方程，可以使用变量分离法等方法求解。
2. 变系数偏微分方程的解法对于变系数偏微分方程，一般的解法是利用变换法将其转化为常系数偏微分方程。
常用的变换方法包括相似变量法、积分因子法等。
五、应用实例1. 热传导方程的求解热传导方程是一个典型的偏微分方程，描述了物体内部温度随时间和空间的变化规律。
采用分离变量法或者变量分离法可以求解该方程，从而得到物体内部的温度分布。
2. 波动方程的求解波动方程描述了波动现象的传播规律。
通过变量分离法或者特征线法可以求解波动方程，得到波动的传播速度和波形。
六、总结通过对偏微分方程的基本理论和解法的介绍，我们可以看到偏微分方程是数学中一个重要且广泛应用的知识点。
偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。
偏微分方程习题及答案【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】题答案及评分标准学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治清华大学出版社一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）4、（x）5、（o）6、（o）7、（o）8、（x）9、（x） 10、（o）二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）三、填空题（每小题2分，共20分）?2?216、2?2??x1?x2?2?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])?(s)?1?(s)?c[??(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?224????v(?)ed? 25、i?xu(xj,tn?1)?u(xj,tn)?四、计算题：（每小题12分，共36分）?u?u?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a?t?x格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式???/h为网格比。
解：在点(xj,tn)处，差分方程为?1un?unjj??anunj?1?ujh?0（j?0,?1,?2,，n?0,1,2,）（8分）便于计算的形式为?1nnn???/h （4分） un?u?a?(u?ujjj?1j)，?u?2u?a2的有限差分方程（中心差分格式，用第n层27、写出扩散方程?t?x计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计算的迭代格式，???/h2为网格比。
高考数学冲刺复习偏微分方程考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，偏微分方程是一个重要且具有一定难度的考点。
对于很多考生来说，这部分内容可能会感到陌生和棘手，但只要掌握了正确的方法和要点，就能在考试中应对自如。
首先，我们来了解一下什么是偏微分方程。
简单来说，偏微分方程就是包含多元函数的偏导数的方程。
它在物理学、工程学、经济学等众多领域都有着广泛的应用。
偏微分方程的类型多种多样，常见的有椭圆型偏微分方程（如拉普拉斯方程）、抛物型偏微分方程（如热传导方程）和双曲型偏微分方程（如波动方程）。
在高考中，对于偏微分方程的考查主要集中在以下几个方面：一、基本概念和术语考生需要理解偏导数、偏微分方程的阶、线性与非线性、齐次与非齐次等基本概念。
这些概念是后续解题的基础，只有清晰地理解了它们，才能正确地分析和解决问题。
例如，对于一个形如＼（u_{xx} ＋ u_{yy} ＝ 0\）的方程，我们要能够判断出这是一个二阶的椭圆型偏微分方程。
二、常见偏微分方程的解法1、分离变量法这是解决偏微分方程的一种常用方法。
通过将多元函数表示为多个单变量函数的乘积，然后将其代入方程中，分离变量，从而将偏微分方程转化为常微分方程进行求解。
比如，对于热传导方程＼（u_t ＝ k(u_{xx} ＋ u_{yy}）＼），在某些特定的边界条件下，可以使用分离变量法求解。
2、特征线法对于双曲型偏微分方程，特征线法是一种有效的解题手段。
通过寻找方程的特征线，将问题简化。
以波动方程＼（u_{tt} ＝ a^2 u_{xx}＼）为例，利用特征线法可以得到方程的通解。
三、定解条件定解条件包括初始条件和边界条件。
初始条件给出了问题在初始时刻的状态，边界条件则描述了问题在边界上的情况。
考生需要熟练掌握各种常见的初始条件和边界条件的形式，并能够根据给定的条件确定方程的特解。
例如，对于热传导方程，如果给定了初始温度分布和边界上的温度条件，就可以唯一确定方程的解。
偏微分方程i北师大考博
偏微分方程是数学的一个重要分支，它描述了事物的变化率依赖于多个变量的函数关系。
在北师大考博中，偏微分方程是一个常见的考试科目，因为它在物理、工程、经济和其他领域都有广泛的应用。
以下是偏微分方程的一些基本概念和类型：
1. 偏微分方程：一个包含未知函数的偏导数的方程。
例如，热传导方程、波动方程等。
2. 分类：根据方程的形式和未知函数的个数，可以将偏微分方程分为线性与非线性、一阶与高阶、常系数与变系数等类型。
3. 边界条件：描述函数在边界上的值的条件。
例如，固定边界、自由边界等。
4. 解法：常用的解法包括分离变量法、傅里叶级数法、有限差分法等。
对于偏微分方程的考试，考生需要掌握以下内容：
1. 偏微分方程的基本概念和分类。
2. 偏微分方程的解法，包括分离变量法、傅里叶级数法、有限差分法等。
3. 偏微分方程的应用，如热传导、波动等物理现象的描述。
4. 对于给定的偏微分方程，能够识别其类型和应用背景，并能够运用适当的解法求解。
为了准备北师大考博的偏微分方程考试，考生可以参考以下建议：
1. 系统学习偏微分方程的基本概念和理论，包括方程的分类、解法和应用。
2. 练习求解不同类型的偏微分方程，并理解其应用背景。
3. 了解偏微分方程在现代科技和工程中的应用实例，例如数值分析、计算流体动力学等。
4. 注意掌握数学软件（如MATLAB、Python等）在求解偏微分方程中的应用。
5. 在考试前进行模拟练习，熟悉考试形式和难度，提高应试能力。
偏微分方程知识点总结1. 什么是偏微分方程？偏微分方程是描述多个自变量和它们的偏导数之间关系的方程。
它在数学和物理学中起着重要的作用，并被广泛应用于各个领域。
2. 偏微分方程的分类偏微分方程可以分为几个主要的类型，包括：- 椭圆型方程：以拉普拉斯方程为代表，通常用于描述稳定的分布或调和情况。
- 抛物型方程：以热方程和扩散方程为代表，通常用于描述物质传导或扩散过程。
- 双曲型方程：以波动方程为代表，通常用于描述波动或振动的传播过程。
3. 常见的偏微分方程以下是几个常见的偏微分方程：- 热方程（Heat Equation）：用于描述温度在空间和时间中的传导过程。
- 波动方程（Wave Equation）：用于描述波动的传播过程，如声波、光波等。
- 扩散方程（Diffusion Equation）：用于描述物质在空间中的扩散过程。
- 广义拉普拉斯方程（Generalized Laplace Equation）：用于描述稳定的分布情况，例如电势分布。
4. 解偏微分方程的方法解偏微分方程的方法有多种，常见的方法包括：- 分离变量法：将方程中的未知函数表示为多个独立变量的乘积形式，从而将偏微分方程转化为一组常微分方程。
- 特征线法：根据偏微分方程的特征曲线，将方程转化为常微分方程，并通过求解常微分方程得到解析解。
- 有限差分法：将偏微分方程中的偏导数用差商近似表示，将区域离散化为一个个小区域，利用差分方程逐步逼近解析解。
- 有限元法：将区域划分为有限个子区域，通过对子区域进行逼近，得到整个区域的近似解。
5. 偏微分方程在实际应用中的重要性偏微分方程在各个领域中都有着广泛的应用，如：- 物理学：用于描述波动、传热、扩散等物理现象。
- 工程学：用于解决结构强度、热传导、流体力学等工程问题。
- 经济学：用于建立经济模型，描述经济增长、分配等问题。
- 生物学：用于研究生物传输、生物过程等生命科学问题。
以上是我对偏微分方程的知识点进行的简要总结，请您参考。
偏微分方程应用考试试题题目一：1. 一个热传导问题：矩形金属板的热传导方程为∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)，其中 u(x,y,t) 表示温度分布， x，y 为空间变量， t 为时间变量, α 是一个正常数。
如果矩形板的边界满足以下条件:u(0,y,t) = 100, u(L,y,t) = 200, 0 ≤ y ≤ H, 0 ≤ t，(1)∂u/∂y(x,0,t) = 0，∂u/∂y(x,H,t) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t，(2)u(x,y,0) = 0，0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ y ≤ H，(3)其中 L 和 H 是正常数。
(a) 在给定的边界条件和初始条件下，求出热传导问题的解 u(x,y,t)。
(b) 求出 u(x,y,t) 在 y = H/2 处的时间变化情况。
(c) 使用有限差分方法求出 u(x,y,t) 的近似解。
2. 一个扩散问题：一维扩散方程为∂u/∂t = D * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示某物质在空间 x 处的浓度分布，时间 t 为时间变量， D 是该物质的扩散系数。
如果在给定边界条件和初始条件下，扩散问题的解为：u(x,t) = A * exp(-α² * D * t) * sin(α * x + φ),其中 A，α 和φ 是常数。
(a) 求解上述扩散问题的边界条件和初始条件。
(b) 给定某初始条件，在一定时间范围内，描述u(x,t) 的变化情况。
题目二：1. 一个波动方程问题：一维波动方程为∂²u/∂t² = c² * ∂²u/∂x²，其中 u(x,t) 表示波动的振幅， x 为空间变量，t 为时间变量, c 是波速。
如果波动问题的解为：u(x,t) = A * sin(k * x - ω * t + φ),其中 A，k，ω 和φ 是常数。
陈泽光偏微分方程笔记（实用版）目录1.偏微分方程的概念及一般形式2.弱导数和分布导数的定义3.半线性抛物型偏微分方程的概述4.偏微分方程四大方程的内容5.结论正文一、偏微分方程的概念及一般形式偏微分方程是一种涉及多个自变量的微分方程，它联系着几个自变量、偏导数以及未知函数的等式。
偏微分方程的一般形式可以表示为：f(x1, x2,..., xn) = 0其中，f(x) 是已知函数，x(x1, x2,..., xn) 属于欧几里得空间 Rn，u(x) 表示未知函数。
二、弱导数和分布导数的定义弱导数和分布导数是偏微分方程中常见的概念。
弱导数是指函数在某点处的导数，它是一种局部性质。
分布导数是指函数在某点处的导数，它是一种全局性质。
在 Sobolev 空间中，弱导数和分布导数的定义可以参考 Lawrence C.Evans 的《Partial Differential Equation》一书。
三、半线性抛物型偏微分方程的概述半线性抛物型偏微分方程是一种特殊的偏微分方程，它的最高阶导数（即二阶导数）部分纯粹是线性的，它的非线性只出现在函数及其一阶导数项。
这样的方程称为半线性方程。
例如，在热平衡问题中，如果热传导系数是常数，但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的热源，则可得抛物型偏微分方程。
四、偏微分方程四大方程的内容偏微分方程四大方程包括：Laplace 方程（调和方程）、Poisson 方程（泊松方程）、Helmholtz 方程（亥姆霍兹方程）和 Maxwell 方程（麦克斯韦方程）。
这些方程在物理、工程等领域具有广泛的应用。
五、结论偏微分方程是一种重要的数学工具，它应用于许多领域，如物理、工程、生物学等。
《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2t x f u a u xx tt =-（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(),(002x u x u t x f u a u t t t xx tt ψϕ（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==)()(0002x u x u u a u t t t xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧===-==00),(002t t t xx tt u u t x f u a u其中，问题（I ）的解由达朗贝尔公式给出：ξξψϕϕd a at x at x t x u at x atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t x W t x u t⎰=);,(),(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧===-==),(002τττx f W W W a W t t t xx tt ，利用达朗贝尔公式得ξτξτττd f at x W t a x t a x ⎰-+--=)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：τξτξττd d f a t x u t t a x t a x ⎰⎰-+--=0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：τξτξξξψϕϕττd d f ad a at x at x t x u t t a x t a x at x at x ⎰⎰⎰-+--+-++++-=0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x , t )的依赖区间为：[x-at , x+at ];②决定区域：区间],[21x x 的决定区域为：{(x,t )|at x x at x -≤≤+21}③影响区域：区间],[21x x 的影响区域为：{(x,t )|at x x at x +≤≤-21} ④特征线：at x x ±=0 （3）解的验证：见课本P10, P142、三维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(),,,()(002z y x u z y x u t z y x f u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,(),,(0)(002z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==00),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u其中，问题（I ）的解由泊松公式给出：⎰⎰⎰⎰+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=M at M at S S dS t a dS t a t t z y x u ψπϕπ224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t z y x W t z y x u t⎰=0);,,,(),,,(其中，);,,,(τt z y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++-==),,,(00)(2τττz y x f W W W W W a W t t t zz yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=M t a S t a r dS r f a t z y x W )()(),,,(41);,,,(τττζηξπτ 从而问题（Ⅱ）的解为：dV ra rt f a t z y x u atr ⎰⎰⎰≤-=),,,(41),,,(2ζηξπ综上所述，原初值问题的解为：dV ra rt f a dS t a dS t a t t z y x u atr S S M at M at ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂=),,,(414141),,,(222ζηξπψπϕπ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000t z y x 的依赖区域为202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(t a z z y y x x =-+-+-决定区域为：202202020)()()()(t t a z z y y x x -≤-+-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000z y x 的影响区域为：22202020)()()(t a z z y y x x =-+-+- )0(>t④特征锥：202202020)()()()(t t a z z y y x x -=-+-+-惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29, P323、二维情形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(),,()(002y x u y x u t y x f u u a u t t t yy xx tt ψϕ（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),(),(0)(002y x u y x u u u a u t t t yy xx tt ψϕ （Ⅱ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==00),,()(002t t t yy xx tt u u t y x f u u a u其中，问题（I ）的解由二维泊松公式给出：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=⎰⎰⎰⎰∑∑M at M at d d y x at d d y x at t a t y x u ηξηξηξψηξηξηξϕπ222222)()()(),()()()(),(21),,( 由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：ττd t y x W t y x u t⎰=);,,(),,(其中，);,,(τt y x W 是下述初值问题的解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-==),,(00)(2τττy x f W W W W a W t t t yy xx tt ，利用泊松公式得⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=M r d d y x r a r t f a t y x W t a r ηξηξηξπττ)(222)()(),,(21);,,( 从而问题（Ⅱ）的解为：⎰⎰⎰∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=at t a r M r d d y x r a r t f a t y x u 0)(2222)()(),,(21),,(ηξηξηξπτ综上所述，原初值问题的解为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑-=∑∑⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----+----∂∂=at t a r Mr M at M at d d y x r a r t f a d d y x at d d y x at t a t y x u 0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(ηξηξηξπηξηξηξψηξηξηξϕπτ（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00t y x 的依赖区域为2022020)()(t a y y x x ≤-+-；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(t a y y x x ≤-+-决定区域为：2022020)()()(t t a y y x x -≤-+- )(0t t ≤；③影响区域（锥体）：点)0,,(00y x 的影响区域为：222020)()(t a y y x x ≤-+- )0(>t④特征锥：2022020)()()(t t a y y x x -=-+-后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。
偏微分方程考试重点与作业内容
记号说明：
第一个数字为章，第二个数字为节，第三个数字为小节。
例如§3.1.2节就是第三章第一节的第二小节——Poisson公式。
考试重点：
1.§
2.1节一阶线性方程的特征线解法（要求会用特征线法求解一阶线性偏微分方程，
计算题）灵活运用
2.§2.2.2节解的表达式（要求牢记解的表达式，会运用解的公式求解全平面上的波动方
程或者证明相关问题，计算题或证明题）灵活运用
3.§2.2.5节半无界问题（掌握奇延拓和偶延拓，计算题或证明题）
4.§2.4.1节分离变量法（掌握分离变量的方法，会用分离变量的方法求解波动方程和热
传导方程，计算题）灵活运用
5.§3.1.1节Fourier变换（牢记Fourier变换和Fourier逆变换的公式，会求函数的Fourier
变换和逆变换，判断题、填空题、选择题）灵活运用
6.§3.1.2节Poisson公式（牢记Poisson公式，填空题、选择题、计算题）
7.§3.1.3节广义函数简介（掌握广义函数的相关定义，会求广义函数以及广义函数的导
数，判断题、填空题、选择题）灵活运用
8.§3.3.1节弱极值原理（书上例题和作业题很重要，证明题）
9.§4.1.1节基本解与Green公式（Green公式的应用，判断题、填空题、选择题）
10.§4.2.1节极值原理（书上例题和作业很重要，证明题）
11.§4.2.4节调和函数的性质（熟记调和函数的相关性质，判断题、选择题、填空题）
作业内容：
第一章29页16题（1）
第二章100页第三题；101页10题；102页11题、12题；104页23题的（1）（3）小题；
26题的（2）（3）小题；
第三章161页2题、3题、4题；162页5题；163页9题；166页18题；
第四章212页1题；213页4题；218页25题；
考试说明：
1.考试内容：考试内容出自上述重点章节，主要是书上例题、作业题；要求灵活运用的内
容，会在例题作业题的基础上做微小改动，比例不超过期末考试的30%。
2.考试分数：平时成绩20分(国培计划的自动满分)；期末考试80分。
3.考试题型：判断题；选择题；填空题；计算题；证明题
4.考试难度：考虑到大四学生实习的辛苦、找工作的焦虑、考研的烦躁，考试内容会尽量
简单。
