偏微分方程数值解试题(06B)
参考答案与评分标准
信息与计算科学专业
一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2
1
)(n R x x b x Ax x J ∈-=
，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令
),(2
),()()()(2
000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+
-+=+=, (3分)
0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有
0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)
反之,若
n
R x ∈0满足
b
Ax =0,则对于任意的
x ,)(),(2
1
)0()1()(00x J x Ax x x J >+
==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分
二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧
==∈=+-=0
)(,0)()
,()('
b u a u b a x f
qu dx
du p dx d Lu
其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]
,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和
Galerkin 形式的变分方程。
解: 设}0)(),,(|{11
=∈=a u b a H u u H E
为求解函数空间,检验函数空间.取),(1
b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)
)().(),(v f fvdx dx quv dx
dv dx du p v u a b a b
a ==+=⎰⎰,),(1
b a H v E
∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)
令⎰-+=-=
b a dx fu qu dx
du
p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(1
*b a H u E
∈,使)(m in )(1
*u J u J E
H u ∈= (4分) 评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题
⎪⎩
⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u
x
u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就5/1=h 和N h /1=的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散kh y jh x k j ==,,差分格式为
0222
1
,1,2
,1,1=+-+
+-+--+h
u u u h
u u u k j jk k j k
j jk k j (5分)
应用Tayloy 展开得到,截断误差为)(][12444442h O y u
x u h jk +∂∂+∂∂,其阶为)(2h O (3分)
(2) 未知量为T u u u u U ),,,(22211211=,矩阵形式为F AU =,其中
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=3/13
/53/13/53/13/213/13/21,4110140110410114F A (4分) 求解得到解为 (3分)
⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛---=15/5215/215/202/1502/12/152
/12
L A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4]
L =
2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516
u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333
(3) 矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----B I
I B I
I B
,⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=4114114 B (5分) 评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形
式3分,B 的形式2分
四（20分）、对于初边值问题⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤==<<=≤<<<+∂∂=∂∂T t t u t u x x x u T
t x bu x u
a t
u 0,0),1(),0(10),()0,(0,10,22ϕ （1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即F BU AU k k τ+=+1的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性
（3）建立六点对称格式(Nicolson Crank -格式) 并写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为
k j k
j x k j
k j bu u h
a
u u +=-+2211δτ
, (5分) 应用Taylor 展开得到,误差主项为)()(12)(214244222h O x u ah t u k
j k j ++∂∂-
∂∂ττ,阶为)(2h O +τ (3分)
(2) },21,{,r r r diag B E A -==, (4分) 稳定条件为2/1≤r (3分) (3) 格式为
)(2))1((1122
1
k
j k j k j k j x k j
k j u u b u u h
a u u ++-+=
-+++θθδτ
, (3分) 低阶项归入)(τO 中,格式是无条件稳定的. (2分)
