偏微分方程期末试题A卷

偏微分方程数值解试题(０6B ）参考答案与评分标准信息与计算科学专业一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, （3分)0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分)反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分）评分标准：)(λϕ的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分二（10分）、 对于两点边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du p v u a b a ba ==+=⎰⎰,),(1b a H v E ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdu p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22，则变分问题的Ritz 形式为求),(1*b a H u E ∈,使)(m in )(1*u J u J EH u ∈= （4分) 评分标准:空间描述与积分步骤３分，变分方程3分，极小函数及其变分问题４分,三(20分)、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧-====⨯=∈=∂∂+∂∂====x u u u u G y x y u x u y y x x 1||,0|,1|)1,0()1,0(),(,010102222 (１)建立该边值问题的五点差分格式(五点棱形格式又称正五点格式),推导截断误差的阶。

偏微分方程数学考试试题
1. 求解以下偏微分方程：
a. $ \frac{\partial u}{\partial t} = 3 \frac{\partial u}{\partial x} $
b. $ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 5 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
c. $ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
2. 考虑以下边界条件问题：
$ u(0,t) = 0 $
$ u(1,t) = 2t $
$ u(x,0) = \sin(\pi x) $
求解该问题的解析解。

3. 对于给定的偏微分方程，尝试通过变量分离的方法求解。

证明解的唯一性。

4. 考虑一维热传导方程：$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $
其中 $ \alpha $ 是热扩散系数。

解释在不同参数 $ \alpha $ 下方程的行为和性质。

5. 讨论偏微分方程的数值解法，比较有限差分法和有限元法的优缺点并举例说明。

6. 推导一维波动方程的解，并给出波动方程的初边值问题求解方法。

7. 请给出二阶常系数齐次线性偏微分方程的通解形式，并解释其中
每一个参数的物理意义。

8. 推导热传导方程的一维解，并讨论热源对温度分布的影响。

以上就是本次数学考试试题，请同学们认真作答，加油！。

偏微分⽅程数值解法期末考试题答案期末考试试题答案及评分标准学年学期：专业：数学与应⽤数学班级：数学课程：偏微分⽅程数值解法教学⼤纲：《偏微分⽅程数值解法》教学⼤纲（⾃编，2006）使⽤教材：《偏微分⽅程数值解法》教材作者：陆⾦甫、关治出版社：清华⼤学出版社⼀、判断题（每⼩题1分，共10分） 1、（O ） 2、（O ） 3、（X ） 4、（X ） 5、（O ） 6、（O ） 7、（O ） 8、（X ）9、（X ） 10、（O ）⼆、选择题（每⼩题2分，共10分） 11、（D ） 12、（A ） 13、（C ） 14、（B ）15、（C ）三、填空题（每⼩题2分，共20分）16、22222212nx x x +++ 17、A=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) 19、help 20、zeros(m,n) 21、inva(A)*b 或者A/b 22、A=sym('[cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3]')23、22221[()]2()()[()]0a s b s s c s '''-+= 24()i xv e d λλλ+∞-∞25、1(,)(,)j n j n u x t u x t τ+-四、计算题：（每⼩题12分，共36分）26、写成对流⽅程0u ua t x+=（,0x R t ∈>）的有限差分⽅程（两层显⽰格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式/h λτ=为⽹格⽐。

解：在点(,)j n x t 处，差分⽅程为110n n n nj jj ju u u u ahτ++--+=（0,1,2,j =±±，0,1,2,n =）（8分）便于计算的形式为11()n n n n j j j j u u a u u λ++=--，/h λτ= （4分）27、写出扩散⽅程22u ua t x=的有限差分⽅程（中⼼差分格式，⽤第n 层计算第n+1层），并把有限差分⽅程改写为便于计算的迭代格式，2/h µτ=为⽹格⽐。

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准专业班级信息与计算科学开课系室考试日期 2006.4.14命题教师王子亭偏微分方程数值解试题(06A)参考答案与评分标准信息与计算科学专业一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(21)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J nRx ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令),(2),()()()(2000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+-+=+=, (3分)因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若nR x ∈0满足bAx =0,则对于任意的x ,)(),(21)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==∈=+-=0)(,0)(),()(b u a u b a x f qu dxdu p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。

解: 设}0)()(),,(|{110==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分))().(),(v f fvdx dx quv dxdv dx du pv u a b a ba ==+=⎰⎰,),(10b a H v ∈∀ 即变分问题的Galerkin 形式. (3分)令⎰-+=-=b a dx fu qu dxdup u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式为求),(10*b a H u ∈,使)(min )(1*u J u J H u ∈= (4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=∈-=∂∂+∂∂∂0|)1,0()1,0(),(,12222G u G y x yux u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

2014—2015学年第二学期研究生期末考试试卷学 院： 数信学院 考试对象：2014级计算数学专业硕士研究生课程名称： 偏微分方程数值解法 课程类型： 学位专业课考试方式： 开 卷 考试时间： 120 分钟答题要求：请把答案写在答题纸上，写在试卷上无效。

本卷共5题，每题20分。

一． (40分) 对求解抛物型方程的初边值问题0,(0,2),0,(,)(2,),(,0)sin(),(0,2),t xx u u x t u x t u x t u x x x πππ-=∈>⎧⎪=+⎨⎪=∈⎩的常用的差分方法进行归纳总结，分析它们各自的优缺点，算出其精确解，用前面的数值方法模拟此问题，验证得到的有关结论的正确性。

二．（20分） 设12[0,][0,]l l Ω=⨯，,u v 为确定在12h h I I Ω=⨯上的网函数，且在满足齐次边界条件，h -Λ表示Laplace 差分算子h u u u Λ=--，λ为h Λ的特征值，求证：(i) 算子h Λ是自共轭的，(,)(,)h h u v u v Λ=Λ。

(ii) 算子h Λ是正定的，2(,)h u u u εΛ=，其中1min 022288l l ελε=≥+=。

(iii) 有下列估计式22(,),h u u u u εμ≤Λ≤ 其中1max 022244l l μλμ=≤+=。

三．（20分） 用Fourier 分析方法证明四阶抛物型方程的周期初值问题00,(0,),0,(,)(,),(,0)(),(0,),t xxxx u u x L t u x t u x L t u x u x x L +=∈>⎧⎪=+⎨⎪=∈⎩ 的差分格式， （其中222221(2)nn n n x j j j j u u u u h δ-+=-+）， 是绝对稳定的，其截断误差为222(())O h hττ++。

四．(20分) 用能量不等式方法讨论变系数对流方程的初值问题 (,)0,,0,(,0)(),,t x u a x t u x R t T u x g x x R +=∈<≤⎧⎨=∈⎩(,)0a x t ≥， 的差分格式11100,(),n n n n j j j j n j j j u u a h u g x ϕϕτ++-⎧--+=⎪⎨⎪=⎩ 的稳定性。

第1 页共5页安徽大学20 08 —20 09 学年第二学期《偏微分方程》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）院/系年级专业姓名学号题号一二三四五总分得分一、填空题（每小题3分，共15分）1.1.对常系数方程对常系数方程x y z u au bu cu du f D ++++=作未知函数的变换可以将所有一阶微商消失可以将所有一阶微商消失. .2.2.设设:R R F ®是光滑凸函数，(,)u x t 是热传导放程0tu u -D =的解，则()u F 是热传导方程的(下解;上解；解).3.3.上半平面的上半平面的Green 函数G(x,y)G(x,y)为为，其中12(,)y y y =为上半平面中某固定点为上半平面中某固定点. .4．设函数u 在以曲面G 为边界的区域W 内调和，在W G 上有连续的一阶偏导数，则u dSn G ¶¶òò=，其中n 是G 的外法方向的外法方向. . 5.5.热传导方程热传导方程2()0t xx yy u a u u -+=的特征曲面为．得分二、计算题（每小题10分，共40分） 1．求解初值问题．求解初值问题0,(,)(0,)(,0),,t x u bu cu x t R u x g x R ++=δ¥ìí=Îî 其中，,b c R Î都是常数都是常数. .2.2.试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：试用延拓法求解半有界直线上的热传导方程的边值问题：2000,0,0,|(),|0.t xx t x u a u x t u x u j ==ì-=>>ï=íï=î得分3．试求解．试求解22008(),|,|.tt xx yy zz t t t u u u u t u xy u z ==ì-++=ïí==ïî4．写出定解问题：．写出定解问题：200(),0,0,|0,|0,|().t xx x x l t u a u f x x l t u u u g x ===ì-=<<>ï==íï=î解的一般形式解的一般形式. .三、判断分析题（三、判断分析题（1010分）分）试判断下面命题是否成立，并说明原因试判断下面命题是否成立，并说明原因. .在证明Hopf 引理的过程中，我们能够作出一个辅助函数()v x 满足满足 (a)(a)在球面在球面()R B y ¶上0;v =(b)v 沿球()R B y 的半径方向的方向导数vn¶¶<0<0；；(c)(c)在整个球在整个球()R B y 内下调和内下调和. .四、分析计算题（四、分析计算题（1515分）分）试判断下列方程试判断下列方程2222222sin cos cos 0u u u u x x x x x y y y¶¶¶¶---=¶¶¶¶¶ 的类型，并根据标准型求出此方程的通解的类型，并根据标准型求出此方程的通解. .得分得分五、证明题(下面两道题请任选一题)（20分）1．设G 是2R 中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明：中有界区域，试利用证明热传导方程解的最大值原理的方法证明： 满足方程0xx yy u u +=的函数u(x,y)在G 上的最大值不会超过它在边界G ¶上的最大值上的最大值. .2．试用能量法（即用格林第一公式法）证明n 维Laplace 方程的第三边值问题方程的第三边值问题 12n u(x)0,x=(x ,x ,,x ),0u u f ns s ¶W D =ÎWìï¶íæö+=>ç÷ï¶èøî 是常数的解的唯一性，其中W 为边界光滑的有界区域为边界光滑的有界区域. .得分。

偏微分方程考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 偏微分方程的一般形式是什么？A. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partialu}{\partial y} = 0 \)答案：B2. 以下哪个方程不是线性偏微分方程？A. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 3u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 1 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2\frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)D. \( u^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0 \)答案：D3. 波动方程的解通常表示为两个函数的和，这两个函数分别是？A. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x-ct) \)B. \( f(x+ct) \) 和 \( g(x+ct) \)C. \( f(x-ct) \) 和 \( g(x+ct) \)D. \( f(x+ct) \) 和 \( h(x-ct) \)答案：A4. 拉普拉斯方程的解是调和函数，以下哪个条件不是调和函数必须满足的？A. \( \Delta u = 0 \)B. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 0 \)C. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0 \) D. \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} = 1 \)答案：D5. 以下哪个条件不是偏微分方程解的存在性和唯一性定理所要求的？A. 初始条件B. 边界条件C. 系数的连续性D. 变量的离散性答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 偏微分方程 \( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \) 是一个 ________ 方程。