第五章 异方差性

于OLS估计得到的残差 ei 的分析
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异方差性的检验
问题在于用什么来表示随机误差项的方差 一般的处理方法：
Var(ui ) E(uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2) ei2
图示检验法
图示检验法
（一）相关图形分析 方差描述的是随机变量取值的（与其均值的）离散程度。因为被解释
变量Y与随机误差项u有相同的方差，所以分析Y与X的相关图，可以初 略地看到Y的离散程度与X之间是否有相关关系。
ui 的某些分布特征，可通过残差 ei 的图形对异方差进行观察。
对于一元回归模型，绘制出ei2 对Xi的散点图,对于多元回归模型，绘制出ei2 对Yi的散点图或ei2 与认为和异方差有关的X的散点图。
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图示检验法
（二）残差图形分析
e~i 2
e~i 2
X 同方差
e~i 2
X 递增异方差
e~i 2
X 递减异方差
每个企业所处的外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中 每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机
误差项的异方差性
产生异方差性的原因
产生异方差性的原因
（一）模型设定误差
假设正确的模型是：
Yi 1 2 X2i 3 X3i ui
假如略去了重要的解释变量X3 ，而采用 Yi 1 2 X2i vi
排序，再按戈德菲尔德匡特检验方法回归，否则即使存在异方差，也有可能用戈德菲
尔德匡特方法检验不出来。
用 EViews 给截面数据排序的方法：在 Workfile 窗口点击 Procs 键并选 Sort current page
功能，在打开的 Sort Workfile Series 对话窗填写以哪一个序列为标准（基准序列）排

Qt

ALt
K

t
eut
• U为随机误差项，它包含了资本K和劳动力L
以外的因素对产出Q的影响，比如能源、环境、
政策等。由于不同的地区这些因素不同造ui 成了 对产出的影响出现差异，使得模型中的 具有
异方差，并且这种异方差的表现是随资本和劳 动力的增加而有规律变化的。
(二）样本数据的观测误差
• 一方面，样本数据的观测误差常随着时间的 推移而逐步积累，引起随机误差项的方差增 加。另一方面，随着时间的推移，样本观测 技术会随之提高，也可能使得样本的观测误 差减少，引起随机误差项的方差减小。因此， 随着时间的推移，样本数据的观测误差会发 生变化，从而引起随机误差项的变化。
Yt 1 2 X 2i 3 X 3i ui (1)
Y 1 2 X 2 3 X 3
(2)
Yt 1' 2 X 2i ui'
(3)
Y 1' 2 X 2
(4)
由(2)、(4)得:1' 1 3 X3 (5)
由(1)、(3)、(5)得:
Var(ui )


2 i

f
(X
ji )
i 1, 2, , n
则称随机误差项存在异方差.
( 即回归模型中随机误差项的方差不是常数 )
例2：使用截面数据研究储蓄函数
假设 储蓄函数模型Y i 0 1X i ui
式中：Y i第i个家庭的储蓄额，X i第i个家庭的可支配收入，ui 代表除可支配收入以外影响储蓄额的其它因素，如利率、家庭 人口、文化背景等等。这里，同方差假设显然与事实不符。
ui' 1 3 X 3i ui 1'

钱还很多，这些余钱可用于购买奢侈消费品，也可用于储蓄或投资，其消费支出的方差 将会很大。显然，这里存在异方差现象。
又例如，使用截面资料建立储蓄模型（可能存在异方差）
Yi 1 2 X i ui
Yi : 第i个家庭的储蓄额; X i : 第i个家庭的可支配收入 ui : 除可支配收入之外的其它因素(如 : 利息、家庭人口、文化背景等)
销售收入 利润总额
商店名称
X
Y
回归值
残差
1、百货大楼 2、城乡贸易中心
… 19．新街口百货商场 20．星座商厦
160.0
12.8
10.2
2.634705
151.8
8.9
9.6
-0.717881
…
…
…
…
22.2
1.0
1.0
0.033928
20.7
0.5
0.9
-0.365935
资料来源：《北京统计年鉴》1997年卷 利润总额对销售收入的线性回归, Kt增大），观测误差降低， 引起ui偏离均值的程度不同，会产生异方差。
又例如，边学边改学习模型（人们在学习过程中，其行为误差随时间而减少）。
在给定的一段时间内，打字出错个数与用于打字练习的小时数的关系。随着打字练 习时间的增加，平均打错个数及打错个数的方差都有所下降。
E(2
xi u i xi2
2)2
E(
xi u i xi2
)2
xi2
u
2 i
E(
2
i j
xi x juiu j
)
E（
xi2
u
2 i
）
(xi2 ) 2
(xi2 ) 2
xi2

同方差
递增型异方差
递减型异方差
复杂型异方差
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2.借助X-e2散点图进行判断 观察散点的纵坐标是否随解释变量Xi的变化而 变化。
~2 e2e i ei e2 ~2
X 同方差 递增异方差
X
e2
~2 e i
~2 e 2 e i
X 递减异方差 复杂型异方差
X
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二、戈德菲尔德—夸特 （Goldfeld-Quanadt）检验
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说明1
矩阵表示： Y X u 随机扰动项向量 其方差—协 u1 u 方差矩阵不 2 u 再是： un n1 而是：
2 2 Var Cov ( ui ) 2 nn
ei X i v i
ei
1 vi Xi
ei X i v i 1 ei vi Xi
③利用上述回归的R2、t统计量、F统计量等判断，R2 好、t统计量和F统计量显著，即可判定存在异方差。 28
说明： 1.也可以用 e i 与可能产生异方差的多个解释变 量进行回归模拟； 2.戈里瑟检验的优点在于不仅检验了异方差是否 存在，同时也给出了异方差存在时的具体表现 形式，为克服异方差提供了方便。 3.试验模型选得不好，也可能导致检验不出是否 存在异方差性。
12 2 2 Var Cov ( ui ) 2 n nn
4
说明2
随机扰动项 ui具有异方差性，可理解释为被解释变量 的条件分散程度随解释变量的变化而变化，如下图所 示：var( ui ) i2 2 f ( X i)(i 1,2,, n)
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第二节 异方差性的后果