最新-高中数学 234圆与圆的位置关系教案 新人教B版必修2 精品

圆与圆的位置关系学案学习目标：知识与技能目标 要求学生理解概念，能识别圆和圆的位置关系，并掌握两圆位置关系的判定和性质。

过程与方法目标 通过动手操作实验，使学生经历探究圆与圆位置关系变换的过程，获得新知。

情感、态度与价值观目标： 在达成以上目标的过程中，让学生体验到成功的喜悦，树立自信心；体验与他人合作的重要性，并在过程中受益。

学习重点 是：利用 圆与圆的位置关系推导出两圆半径、圆心距之间的数量关系。

【考纲解读】（1）探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；（2）了解三角形的内心和外心；了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；（3）能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.【知识要点】1、点与圆的位置关系有三种：设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ：（1）点在圆外⇔d>r （2）点在圆上⇔d =r （3）点在圆内⇔d<r2、直线与圆的位置关系有三种：设d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径：（1）直线与圆相离⇔d>r （2）直线与圆相切⇔d =r （3）直线与圆相交⇔d<r3、三角形的三边的中垂线的交点叫做三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等.4、三角形的三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心，内心到三边的距离相等.5、圆的切线（1）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.（2）切线的判定：经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.6、两圆的位置关系有五种：设R 、r （R>r ）为为两圆的半径，d 为圆心距：（1）两圆外离⇔d>R +r （2）两圆外切⇔d =R +r （3）两圆相交⇔R -r <d<R +r（4）两圆内切⇔d= R -r （5）两圆内含⇔0≤d <R -r7、切线长定理：圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点与圆心的连线平分切线的夹角.8、直角三角形内切圆的半径r =21(a +b -c ). 学习过程：1、如何确定点与圆位置关系？2、确定直线与圆的位置关系的方法？3、“日食”：月亮在太阳与地球之间绕地球旋转，当月亮遮住太阳射向地面的光线时便形成了“日食”如果把月亮与太阳看成两个圆，那么两个圆在作相对运动的过程中有几种位置关系产生呢？请同学们利用手中的学具（圆）小组内做演示，然后在练习本中画出并将其命名。

《圆和圆的位置关系》教学设计一、教学目标（一）知识技能1．掌握圆和圆的五种位置关系。

2．观察两圆位置关系的变化过程，感受在两圆和各种关系中两圆的半径与圆心距之间的数量关系，从而得到图形的“位置关系”与“数量关系”之间的联系。

（二）数学思考从运用数量关系来刻画图形位置关系的活动中，进一步增强数感，发展空间观念，同时提高学生用运动变化的观点观察和分析问题的能力。

（三）解决问题1．让学生经历观察、探究、归纳、总结等过程，从而得到两圆的“位置关系”与“数量关系”之间的联系。

能够用“位置关系”得出“数量关系”或是用“数量关系”来判断“位置关系”。

2．在解决问题的过程中，体会“公共弦”、“连心线”是研究两圆相交的桥梁。

（四）情感态度通过探究两个圆的位置关系，培养学生合作交流的意识和细致缜密的思维品质，培养学生学数学、用数学的意识，并从数学学习活动中获得成功的喜悦树立坚定的自信。

二、教学重点圆和圆的“位置关系”所对应的“数量关系”。

三、教学难点两圆相交的判定及有关计算和两圆或三个圆相切的画法。

四、教学方法自主探究——合作交流——问题驱动式教学。

五、教学媒体多媒体六、教学过程情景创设：通过观看日食现象，思考圆与圆的位置关系。

设计意图：展现生活中圆与圆组成的图形并由学生举出实例，丰富学生对客观世界中两个圆之间多种不同位置关系的感受，为学生自主探索提供可能。

问题2，试一试你能不能描述两圆的各种位置关系并分析存在多少个公共点？学生思考回答，师生共同总结：1．两个圆没有公共点，就说这两个圆相离或内含。

2．两圆只有一个公共点，就说这两圆相切，其中注意区分外切和内切。

3．两圆有两个公共点，就说这两个圆相交。

因此两园的位置关系为：（大屏幕投影）1外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离．2外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．3相交：两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交．4内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切．这个唯一的公共点叫做切点．（图4）5内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含．两圆同心是两圆内含的一个特例．设计意图：创设一种活动情境让学生依照两圆公共点个数，将两圆的位置进行分类，得到相离、相切、相交，然后引导学生讨论，如何准确的描述两圆更具体的位置关系，学生观察讨论他们之间的的区别，从面得出两圆的五种位置关系。

《2.3.4 圆与圆的位置关系》教学设计古希腊大哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方吗？”芝诺风趣地打了一个比方：“如果用小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆的面积是多一些，但两圆之外的空白，都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触到的无知面就越多” （学然后知不足，教然后知困）然后引出课题。

提问：点与圆的位置关系？直线与圆的位置关系？圆与圆的位置关系有哪些？1.请学生简述日食形成过程中的数学问题，并举出生活中与两圆的位置关系有关的例子。

2.请学生演示两圆的运动过程，引出圆与圆的五种位置关系。

设计意图:让学生充分体会数学来源于生活，再次对圆与圆的位置关系有深刻的理解，活跃课堂气氛，提高学生的积极性。

师：初中时，我们是如何判断两圆的位置关系的？生：利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断。

设21O O 的长度为d外离r R d+> 外切r R d += 相交R r d r R +<<-内切r R d -= 内含r R d -<师：回忆一下前面学过的判断点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系都用了哪些方法？生：几何法和坐标法师：能说说坐标法的思路吗？生：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，用∆判断，直线与圆相交⇔>∆0；直线与圆相切⇔=∆0 ； 直线与圆相离⇔<∆0 注：一方面起到复习巩固的作用，一方面激发学习热情师：很好，如何判断圆与圆的位置关系？生：几何法和坐标法自主探究:1.例题：0324:,032;222221=++-+=--+y x y x C x y x C 圆已知圆判断两圆的位置关系？若相交求出公共弦所在的直线方程及公共弦长？（幻灯片） 问题：①.你能在同一坐标系中画出两个方程表示的圆吗？（学生做完图后用几何画板演示两圆的位置关系）②.根据你所画的图形，可以直观的判断两个圆的位置关系，如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？③.如何判断两圆的位置关系呢？具体步骤是什么？活动:教师引导学生观察图形思考。

2024年圆与圆的位置关系教案必修2一、教学目标知识与技能目标学生能够掌握圆与圆之间的五种位置关系（相离、外切、相交、内切、内含）的定义和判定方法。

学生能够利用几何图形和代数方法分析圆与圆的位置关系。

过程与方法目标培养学生运用直观图形辅助理解和解决问题的能力。

提高学生的逻辑推理能力和空间想象能力。

情感态度与价值观目标激发学生学习几何的兴趣和热情。

培养学生积极探索、合作交流的学习习惯。

二、教学重点和难点教学重点圆与圆的位置关系的五种类型的理解。

应用几何和代数知识分析、判定圆与圆的位置关系。

教学难点圆与圆相交、内切时半径与圆心距关系的理解和运用。

综合运用代数和几何知识解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课回顾之前学习的圆的基本性质，如半径、直径、圆心等概念。

展示几个生活中的例子，如两个轮胎的摆放关系，引出圆与圆位置关系的主题。

2. 讲解新课（1）圆与圆的位置关系定义相离：两个圆没有公共点。

外切：两个圆有一个公共点，且两圆的半径之和等于圆心距。

相交：两个圆有两个公共点。

内切：两个圆有一个公共点，且一个圆的半径等于两圆心之间的距离减去另一个圆的半径。

内含：一个圆完全在另一个圆内部，没有公共点。

（2）判定方法代数法：通过比较两圆半径之和（差）与圆心距的大小关系来判定。

几何法：通过绘制图形，观察两圆是否有公共点以及公共点的个数来判定。

（3）例题解析选择几个典型例题，如给定两圆半径和圆心距，判断两圆的位置关系。

引导学生运用代数法和几何法共同解决问题。

3. 学生练习提供一些基础题目让学生自主练习，巩固新知。

鼓励学生在练习过程中相互交流，互相帮助。

4. 课堂互动开展小组讨论，让学生分享解题思路和方法。

教师巡视指导，及时解答学生的疑问。

5. 总结提升总结圆与圆位置关系的判定方法。

强调几何与代数结合的解题思路。

四、教学方法和手段采用启发式教学法，通过问题引导学生主动思考。

利用多媒体教学资源，如PPT、几何画板等，辅助学生理解。

2.3.4圆与圆的位置关系教学目标（1）理解圆与圆的位置关系的种类；会用圆心距判断两圆的位置关系．（2）进一步培养学生用坐标法解决几何问题的能力。

重点分析判断圆与圆的位置关系．难点分析用坐标法判断圆与圆的位置关系．学法教具图片、多媒体板书设计圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系的判断方法：2、用坐标法判断圆与圆的位置关系3、应用举例教学过程与内容师生活动一、复习引入：1、点、直线与圆的位置关系有哪些？如何判断？2、初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？如何判断？点M ()b a ,与圆222r y x =+，直线2r by ax =+与此圆（1）相交⇔点M 在圆 。

（2）相离⇔点M 在圆 。

（3）相切⇔点M 在圆 。

二、研探新知：1、圆与圆的位置关系的判定：设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为;d设圆C ：222)()(r b y a x =-+-，圆C′：222)()(R n y m x =-+-()r R > 则两圆外离 d R r >+外切 d R r =+ 相交 ⇔ 圆心间的距离d -R r d R r <<+ 内切 d R r =- 内含 d R r <- 2、如果两圆0:11221=++++F y E x D y x C 和0:22222=++++F y E x D y x C 相交，则方程F y E x D y x ++++11220)(2222=+++++F y E x D y x λ)1(-≠λ表示过21,C C 的交点的圆系方程，1-=λ表示过21,C C 的交点的直线方程。

变形：过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程：()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++= 3、方程的方法研究两圆的位置关系以1O 为坐标原点，使x 轴通过12,,O O 建立直角坐标系xOy ，设2O 的圆心的坐标为(),0,d 这时两圆的圆心的距离等于||,d 两圆的方程分别为2221x y r += ①()2222x d y r -+= ②①－②整理可得22212,2r r d x d -+=将x 值代入①2222221212r r d y r d ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭()()()()()()()()()()2222222222122111211222121212212222212122224444r d r r r d dr r r d dr r r d d dr r d r r d r r d r r d dr r d d r r d ⎡⎤⎡⎤+---+-+-+-⎣⎦⎣⎦==++-++--+=⎡⎤⎡⎤+---⎣⎦⎣⎦= 若1212||||r r d r r -<<+，则20y y >⇒有两解，方程组有两解，两圆相交 若1212||||||r r d d r r -==+或，则0,y =方程组有一解，两圆内切、外切 若1212||||||d r r d r r <->+或，则y 无解，方程组无解，两圆不相交，相离或内含教 学 过 程 与 内 容 师生活动应用举例：例1：判断下列两个圆的位置关系：（1）222212:230,:4230C x y x C x y x y +--=+-++=（相交于两点）（2）222212:20,:2360C x y y C x y x +-=+--=（内切） 例2：两圆22221(4)()25x y x y a +=++-=和相切，试确定常数a 的值。

圆与圆的位置关系一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系；过圆上一点的圆的切线方程，判断直线与圆相交、相切、相离的代数方法与几何方法；两圆位置关系的几何特征和代数特征．(二)能力训练点通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的教学，培养学生综合运用圆有关方面知识的能力．(三)学科渗透点点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化．二、教材分析1．重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用．(解决办法：(1)使学生掌握相切的几何特征和代数特征，过圆上一点的圆的代线方程，弦长计算问题；(2)给学生介绍圆与圆相交的圆系方程以及直线与圆相交的圆系方程．)2．难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明．(解决办法：仿照课本上圆x2+y2=r2上一点(x0，y0)切线方程的证明．)三、活动设计归纳讲授、学生演板、重点讲解、巩固练习．四、教学过程(一)知识准备我们今天研究的课题是“点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系”，为了更好地讲解这个课题，我们先复习归纳一下点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系中的一些知识．1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆 C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．(二)应用举例和切点坐标．分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：(1)从代数特征分析；(2)从几何特征分析．一般来说，从几何特征分析计算量要小些．该例题由学生演板完成．∵圆心O(0，0)到切线的距离为4，把这两个切线方程写成注意到过圆x2+y2=r2上的一点P(x0，y0)的切线的方程为x0x+y0y=r2，例2已知实数A、B、C满足A2+B2=2C2≠0，求证直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长．分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径，由教师完成．证：设圆心O(0，0)到直线Ax+By+C=0的距离为d，则d=∴直线Ax+By+C=0与圆x2+y1=1相交于两个不同点P、Q．例3求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2：x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程．解法一：相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0．∵所求圆以AB为直径，于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25．解法二：设所求圆的方程为：x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)∵圆心C应在公共弦AB所在直线上，∴所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0．小结：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练．(三)巩固练习1．已知圆的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率为1的切线方程；2．(1)圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是(2)两圆C1∶x2+y2-4x+2y+4=0与C2∶x2+y2+2x-6y-26=0的位置关系是______．(内切)由学生口答．3．未经过原点，且过圆x2+y2+8x-6y+21=0和直线x-y+5=0的两个交点的圆的方程．分析：若要先求出直线和圆的交点，根据圆的一般方程，由三点可求得圆的方程；若没过交点的圆系方程，由此圆系过原点可确定参数λ，从而求得圆的方程．由两个同学演板给出两种解法：解法一：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．∵(0，0)，(-2，3)，(-4，1)三点在圆上，解法二：设过交点的圆系方程为：x2+y2+8x-6y+21+λ(x-y+5)=0．五、布置作业2．求证：两圆x2+y2-4x-6y+9=0和x2+y2+12x+6y-19=0相外切．3．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．4．由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线交圆于A、 B两点，向圆x2+y2=r2作切线QC、QD，求：(1)切线长；(2)AB中点P的轨迹方程．作业答案：2．证明两圆连心线的长等于两圆半径之和3．x2+y2-x+7y-32=0六、板书设计。

人教版高中必修2(B版)2.3.4圆与圆的位置关系课程设计一、前言圆与圆的位置关系是高二数学中的重点内容，对于初学者来说有一定难度。

本文档将介绍人教版高中必修2(B版)2.3.4圆与圆的位置关系课程设计，旨在帮助学生更好地掌握该知识点。

二、课程设计2.3.4.1 课程目标通过本课程的讲解与练习，学生能够：1.掌握圆的相关概念。

2.掌握圆的判定方法。

3.掌握圆与圆的位置关系。

4.进一步提高数学思维能力。

2.3.4.2 课程内容1. 圆的相关概念1.圆的定义：平面上所有到定点距离相等的点的集合称为圆。

2.圆的要素：圆心、半径。

2. 圆的判定方法1.以圆心和半径确定圆。

2.以圆上两点确定圆。

3.以直径确定圆。

3. 圆与圆的位置关系1.外离：两个圆没有任何交点。

外离2.外切：两个圆相切，仅有一个交点。

外切3.相交：两个圆有两个交点。

相交4.内含：一个圆完全在另一个圆的内部。

内含4. 数学思维能力提高通过练习题的解题，促进学生思考能力的提高。

2.3.4.3 课程教学方法1.通过课堂讲解，介绍圆的相关概念、判定方法、位置关系，并结合实例进行讲解。

2.给学生提供练习题，以巩固学习成果，提高数学思维能力。

3.教师引导学生，结合课内外实际生活场景解决实际问题。

2.3.4.4 教学流程1.引入课程：通过例题引发学生对圆与圆的位置关系的兴趣。

2.课堂讲解：详细介绍圆的相关概念、判定方法和位置关系，并结合实例进行讲解。

3.练习题：提供适量的练习题，让学生巩固所学知识。

4.拓展应用：引导学生结合课内外实际生活场景解决实际问题。

5.课堂总结：通过总结，让学生掌握圆与圆的位置关系，提高数学思维能力。

2.3.4.5 教学评价1.通过练习题的掌握情况考核学生所学内容的掌握情况。

2.在拓展应用中，考核学生的数学思维能力。

3.平时考核学生在课堂中的表现，鼓励积极参与，激发学习热情。

三、总结通过本文档对人教版高中必修2(B版)2.3.4圆与圆的位置关系课程设计的详细介绍，我们可以看出该课程设计内容丰富、目标明确，能够有效提高学生的数学思维能力，让学生更好地掌握该知识点，为学生的高中数学学习打下坚实的基础。

2.3.4.圆与圆的位置关系[学习目标].1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法 .2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的 实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.[知识链接]1.判断直线与圆的位置关系的两种方法为代数法、几何法.2.两圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含. [预习导引]圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为 r 、r ，两圆的圆心距为 d ，则两圆的位置关系的判断方法 1 2 如下：外切相交图示1 21 2 112121212的关系 r 2(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. Δ>0⇒相交圆C 方程 1＝0⇒内切或外切 消元一元二次方程 Δ圆C 方程2 <0⇒外离或内含 Δ要点一.与两圆相切有关的问题例 1.求与圆 x 2＋y 2－2x ＝0 外切且与直线 x ＋ 3y ＝0 相切于点 M(3，－ 3)的圆的方程. 解.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)， 则a －12＋b 2＝r ＋1，①b ＋ 3＝ 3，② a －3 |a ＋ 3b |＝r .③2联立①②③解得 a ＝4，b ＝0，r ＝2，或 a ＝0，b ＝－4 3，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2 ＋y 2＝4 或 x 2＋(y ＋4 3)2＝36. 规律方法.两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为 O 、O ，半径分别为 r 、r ， 1 2 1 2 内切⇔|O O |＝|r －r |， 1 2 1 2则两圆相切外切⇔|O O |＝r ＋r .1 2 1 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪演练 1.求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)且半径为 1 的圆的方程. 解.设所求圆的圆心为 P(a ，b)，则 a －42＋b ＋12＝1.①(1)若两圆外切，则有 a －2 ＋b ＋1 ＝1＋2＝3，② 2 2 联立①②，解得 a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5) ＋(y ＋1) ＝1； 2 2 (2)若两圆内切，则有 a －2 ＋b ＋1 ＝|2－1|＝1，③ 2 2 联立①③，解得 a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3) ＋(y ＋1) ＝1. 2 2 综上所述，所求圆的方程为(x －5) ＋(y ＋1) ＝1 或(x －3) ＋(y ＋1) ＝1.2 2 2 2 要点二.与两圆相交有关的问题例 2.已知圆 C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所 1 2在的直线方程及公共弦长.x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0 ①解.设两圆交点为 A(x ，y )，B(x ，y )，则 A ，B 两点坐标是方程组1 12 2 ＋ －4 ＋2 －11＝0 ②x 2 y 2x y的解，①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0 即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆 C 的圆心(－1,3)，半径 r ＝3. 11 |－1×3－4×3＋6| 9＝ . 又 C 到直线 AB 的距离为 d ＝ 5 1 3 ＋－4 2 2 9 524 5 ∴|AB |＝2 r 2－d 2＝2 32－ 2＝ .124即两圆的公共弦长为 .5 规律方法.1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C：x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 与圆C：x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 相交，则两圆公共弦1 1 1 12 2 2 2所在直线的方程为(D－D)x＋(E－E)y＋F－F＝0.1 2 1 2 1 22.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪演练2.求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长.解.联立两圆的方程得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，两式相减得x－2y＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一.设两圆相交于点A，B，－2y＋4＝0x则A，B两点满足方程组，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0＝－4 ＝0 x＝0 y＝2x解得或.y所以|AB|＝－4－02＋0－22＝2 5，即公共弦长为2 5.方法二.由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0 的距离为|1－2×－5＋4|d＝＝3 5.1＋－22设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝2 5.要点三.直线与圆的方程的应用例3.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解.以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，x y则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，74即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离|－28|2865，而半径r＝3，∴d>r，d＝＝4＋722∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法.解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：跟踪演练3.台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(..)A.0.5小时C.1.5小时答案.BB.1小时D.2小时解析.以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40,0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知20千米|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时.故20千米/时选B.1.圆O：x＋y－2x＝0和圆O：x＋y－4y＝0的位置关系为(..)222212A.相离B.相交D.内切C.外切答案.B解析.圆O的圆心坐标为(1,0)，半径长r＝1；圆O的圆心坐标为(0,2)，半径长r＝2；1＝1122r－r<|O O|＝5<r＋r＝3，即两圆相交.2112122.圆x＋y＝1与圆x＋y＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(..)2222A.(1,0)和(0,1)C.(－1,0)和(0，－1)答案.C B.(1,0)和(0，－1)D.(－1,0)和(0,1)2＋2＝1，x y解析.由2＋2＋2x＋2y＋1＝0；x y＝0，＝－1x＝－1，y＝0.x解得或y3.圆x＋y－2x－5＝0和圆x＋y＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线2222方程为(..)A.x＋y－1＝0 C.x－2y＋1＝0答案.AB.2x－y＋1＝0 D.x－y＋1＝0解析.直线AB的方程为4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线.4.两圆x＋y＝r与(x－3)＋(y＋1)＝r(r>0)外切，则r的值是(..)222222A.10 C.5B.510 D.2答案.D解析.由题意可知3－02＋－1－02＝2r，∴r＝10.25.已知两圆x＋y＝10和(x－1)＋(y－3)＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是2222________.答案.x ＋3y ＝0 2＋ 2＝ 10x y 解析. 2x ＋6y ＝0，2＋ 2－x y2x －6y ＝10 即 x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方法通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操 作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实 际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解 决平面几何问题的思维过程：。

人教版高中必修2(B版)2.3.4圆与圆的位置关系教学设计一、教学目标1.知识目标：掌握两个圆之间的位置关系，包括外离、内含、相交等。

2.能力目标：培养学生分析和解决简单的圆与圆位置关系问题的能力。

3.情感目标：增强学生的数学兴趣，激发学生学习数学的主动性和创造性。

二、教学内容本节课主要内容为圆与圆的位置关系，包括：1.两个圆的位置关系：相离、相切、相交、内含。

2.判断圆之间的位置关系的方法。

3.应用所学知识解决实际问题。

三、教学重点和难点1.教学重点：引导学生分析圆与圆的关系，理解大小关系与位置关系之间的联系。

2.教学难点：培养学生分析和解决简单的圆与圆位置关系问题的能力。

四、教学方法1.师生共同探究法。

2.视频教学法。

3.演绎法。

4.案例分析法。

五、教学过程5.1 导入新知1.教师播放相关视频，引导学生观察视频中圆与圆之间的位置关系。

2.教师简要介绍本节课的教学目标和内容。

5.2 学习新知1.教师通过教学演绎法，对外离、内含、相离、相交等圆与圆的位置关系进行讲解。

2.学生根据教师的讲解，识别不同位置关系的圆并进行分类。

3.学生通过讨论，总结不同类型的圆之间的位置关系。

5.3 巩固练习1.教师提供多组关于圆与圆的位置关系问题，让学生进行讨论并给出答案。

2.教师引导学生分析各组问题的解法及思路，并与学生一同探讨其他解法。

5.4 实际应用1.教师提供实际例子，引导学生将所学的知识与生活实际问题相结合，解决实际应用问题。

2.学生通过研究实际例子，总结应用所学知识解决实际问题的方法和步骤。

5.5 课堂小结1.教师对本节课的内容进行总结，并强调重点。

2.教师对学生的表现进行表扬或批评，并对下节课的预习内容进行介绍。

六、板书设计板书设计板书设计七、教学反思本节课采用了多种教学方法，有效地激发了学生的兴趣和学习积极性。

但是在教学过程中，由于学生的基础不同，有些学生掌握较快，有些学生学习有些吃力。

下一次教学中，我将在教学设计中针对不同层次的学生，制定不同的教学方案，更好地帮助学生掌握圆与圆的位置关系。

人教B版必修二《圆与圆的位置关系》教案及教学反思一、教学目标1.知识目标：a.理解和掌握圆与圆之间的位置关系；b.能够熟练应用相关知识解决实际问题；c.能够进一步提高数学思维和解决问题的能力。

2.能力目标：a.发散思维能力：通过练习，进一步提高发散思考的能力；b.解决实际问题的能力：通过案例分析等方式，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感目标：a.通过教学，增强学生对数学学科的兴趣和热爱；b.注重学生思维的培养，培养学生的创造性能力。

二、教学重点和难点1.教学重点：a.理解和掌握圆与圆之间的位置关系；b.能够熟练应用相关知识解决实际问题。

2.教学难点：a.圆与直线、圆与圆之间各种位置关系的综合运用；b.数学思维的培养和发散能力的提高。

三、教学过程Step 1导入新知识，复习相关概念教师复习圆的相关概念，与学生一起探讨圆的性质。

Step 2教学“圆与圆的位置关系”1.教师呈现不同圆（大小、位置不同）之间的各种位置关系，让学生观察并分析其规律。

2.教师让学生结合练习题，探讨不同圆之间的位置关系及其特点。

3.教师带领学生一起解决一些典型的综合性问题，帮助学生进一步理解圆与圆的位置关系。

Step 3学生自主学习，思考问题1.让学生自主完成一些与课堂教学相关的作业，同时鼓励学生寻找与圆和圆的位置关系相关的实际问题进行思考。

2.老师引导学生通过观察和实践，发掘问题背后的规律和本质，锻炼学生的发散思维和解决问题的能力。

Step 4总结课堂内容教师和学生一起总结课堂所学，并讨论和交流解题思路和方法。

四、教学反思本堂课上，我采用以案例为主，以讲解为辅的方式教授了圆与圆的位置关系。

在教学过程中，我注重培养学生的发散思维能力，引导学生掌握解决实际问题的方法和技巧，让学生通过实践的过程，探究圆的特点和圆与圆之间的位置关系。

在教学中，我还特别强调了每个知识点的应用价值和实际意义，希望能够通过案例分析等方式增强学生对数学学科的兴趣和热爱。

教学设计课题：圆与圆的位置关系《圆与圆的位置关系》教学设计教学目标知识与技能（1）理解圆与圆的位置的种类.（2）掌握圆与圆的位置关系的代数方法与几何方法,能够利用上述方法判断两圆的位置关系.（3）体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.过程与方法（1）学生通过自主探究，结合教师引导，类比直线与圆的位置关系，得到圆与圆位置关系的判断方法。

通过圆与圆的位置关系的探究与应用过程，体验数形结合、转化、函数、方程等数学思想来解决数学问题的方法，学会用代数方法解决几何问题的能力，感受坐标法在研究几何问题中的作用。

（2）通过不同形式的自主学习和探究活动，体验数学发现和创造历程，提高抽象概括，分析总结，数学表达等基本数学思维能力。

情感态度与价值观通过师生互动、生生互动的教学过程，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，培养锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

教材分析本节课内容是人教B版教材必修二的内容，初中已经学过了几何法判断圆与圆的位置关系，高中课本重提是平面几何问题的深化，用坐标的方法来解决几何问题是解析几何的精髓，它为以后处理圆锥曲线做了铺垫。

另外，本节课内容可以帮助学生体会数形结合的思想。

所以本节课的内容在教材上起到了承上启下的作用。

学情分析本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究圆与圆的位置关系的判断方法。

通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。

教学重点圆与圆的位置关系及其判定教学难点通过方程组来研究圆与圆的位置关系教学准备教学设计、教学PPT、学生学案。

教学过程构，培养学生养成良好的学习习惯．3．构建新知在已有知识的基础上，通过几何画板的展示，让学生观察：圆心之间的距离与半径和与差的大小关系，从而得到判断两圆关系的方法。

教师通过多媒体展示两圆处于不同位置关系时，两圆圆心间的离和半径和与差的大小关系，由学生总结。