公因数和公倍数的复习

公因数及公倍数的应用一．考点、热点回顾：一、公因数和最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个因数叫做它们的最大公因数。

例如：12的因数有：1，2，3，4，6，12。

30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。

12和30的公因数有：1，2，3，6，其中6是12和30的最大公因数。

2、求最大公因数的一般方法：（1）分解质因数：把各个数分别分解质因数，公有质因数的乘积，就是这几个数的最大公因数。

例如：求18和24的最大公因数。

18＝2×3×324＝2×2×2×318和24都含有质因数2和3，所以它们的最大公因数是2×3＝6。

（2）短除法：把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，一直除到各个商是互质数为止，然后把所有除数相乘，所得的积就是这几个数的最大公因数。

例如：求36，24，42的最大公因数。

2 36 24 423 18 12 216 4 7此时4与7互质，这三个数的公因数只有1，停止短除。

36，24，42的最大公因数是2×3＝6。

3、求两个数最大公因数的特殊情况：（1）当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。

（2）互质的两个数最大公因数是1。

二、公倍数和最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。

例如：8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，…12的倍数有：12、24、36、48、60、72，…8和12的公倍数有：24，48，72，…其中24是8和12的最小公倍数。

2、求最小公倍数的一般方法：（1）分解质因数：先把每个数分解质因数，再把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

例如：求12和30的最小公倍数。

12＝2×2×330＝2×3×512和30公有的质因数有2和3，独有的质因数有2和`5。

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧： 最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于 小数 （即处于除数、商、因数）的地位时，因 为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此 时，所求的数量就处于 因数的地位 。

如果出现相同的（公有的） /最长的 所求数量，即 求他们的公因数 /最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧： 通常从问题入手，所求的数量处于 大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时， 因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数， 此时，所求的数量应处于 倍数的地位 。

如果出现相同的（公有的） /最小的 所求数量， 即求他们的公倍数 / 最小公倍数的应用题。

补充部分公式 小长方形个数 小正方形个数 小长方体个数 高） 小正方体个数 体边长）=（大正方形边长*小长方形长）X （大正方形边长*小长方形的宽） =（大长方形的长*小正方形边长）X （大长方形的宽*小正方形边长） =（大正方体边长*小长方体长）X （大正方体边长*小长方体的宽）x （大正方体边长*小长方体 =（大长方体边长*小正方体边长）X （大长方体的宽*小正方体边长）X （大长方体的高*小正方剩余定理余数相同时，总数（被除数） 缺数相同时，总数（被除数） =最小公倍数＋余数 =最小公倍数－缺数 植树问题公式 不封闭型： 1、两端都栽 间隔个数 = 株数－ 1 株数 =间隔个数＋ 1 距离=一个间隔的长度X 间隔个数 2、只有一端都栽 间隔个数 = 株数 株数 =间隔个数 距离=一个间隔的长度X 间隔个数3 、两端都不栽间隔个数 = 株数＋ 1 株数 =间隔个数－ 1 距离=一个间隔的长度X 间隔个数 封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度X间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4 个顶点都栽：株数=（每边株数－1）X 4 备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18 厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4 厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24 厘米，宽18 厘米，高12 厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6 厘米，宽4 厘米，高2 厘米。

复习方程、公倍数和公因数教学内容：苏教版〈义务教育课程标准实验教科书数学〉五年级（下册）第114页第1-6题内容。

教学目标：1、通过复习让学生进一步加深对方程意义的理解，会用等式的性质熟练地解形如ⅹ+a=b、aⅹ=b和ⅹ÷a=b的简易方程，会熟练地列方程解决一些简单的实际问题。

2、通过复习让学生进一步理解公倍数、最小公倍数，公因数、最大公因数的含义，能在1-100的自然数中，熟练找出两个自然数的公因数和最大公因数，找出10以内两个自然数的的公倍数和最小公倍数。

3、体会数学与生活的密切联系，培养学生爱学、乐学，在活动中体验成功的良好品质。

教学重点：1、熟练掌握用等式的性质解形如ⅹ+a=b、aⅹ=b和ⅹ÷a=b的简易方程，理解好简单实际问题中数量间的相等关系，能正确熟练地列方程解答。

2、在1-100的自然数中，熟练找出两个自然数的公因数和最大公因数，熟练找出10以内两个自然数的的公倍数和最小公倍数。

教学难点：加深方程、公倍数、最小公倍数、公因数、最大公因数的意义理解，能运用这些知识解决实际问题。

教学准备：口算卡、课件。

教学过程：设计意图教学过程修改意见近学生的实际。

通过让学生说感想，培养学生珍惜美好生活，更加努力学习的品德。

通过讨论，归纳、总结小数乘法的计算方法，有利于理解知识的重、难点，培养学生的自一、创设情景，激发兴趣（1）师：同学们，这个学期第一单元学习过方程、第三单元学习过公倍数和公因数，课前老师让大家自学，整理学习过的知识内容，并填写表格。

现老师检查，并请个别同学汇报自学情况。

单元名称所学知识内容自己理解不太好的知识内容方程公倍数和公因数（2）师：同学们对这两个单元的内容整理得很好，从整理填写的表格来看，大部分同学对这两个所学知识掌握较好，但也有个别同学掌握不好，或遗忘了。

这节课老师和同学们一起复习方程、公倍数和公因数的知识内容。

二、复习方程1、概念理解。

（1）什么是等式？什么是方程？方程和等式有何异同？什么是解方程？什么是方程的解？如何对解方程进行检验？（2）等式有哪些性质？（3）用列方程解决实际问题的方法（步骤）是怎样的？2、概念辨析。

最大公约数与最小公倍数知识梳理：1、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b）。

如果（a、b）=1，则a和b互质。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

2、几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]= a×b。

3、两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：最大公约数×最小公倍数=两数的乘积。

即（a、b）×[a、b]= a×b典型例题：例1：一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？例2：有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？例3：五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？例4：有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？例5：工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。

已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。

这批工人最多有多少人？例6：甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？例7：用辗转相除法求568和1065的最大公约数。

例8：用尽可能大的整数作除数去除157,253,306三数，余数分别是7,3,6，问这个除数是几？例9：两个数的最大公约数是15，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？例10：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？例11：甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。

学科教师辅导教案授课类型复习（因数和倍数）教学目标理解因数和倍数的含义，掌握与最大公倍数和最小公因数相关实际问题星级★★★★考点图解知识梳理知识点一：因数和倍数1、几个非零自然数相乘，都叫它们积的因数，积是这几个自然数的。

因数与倍数是2、一个数最小的因数是，最大的因数是，一个数因数的个数是。

（找因数的方法：成对的找。

）3、一个数最小的倍数是它本身，最大的倍数。

一个数倍数的个数是。

（找一个数倍数的方法：从自然数 1、2、3、……分别乘这个数）4、一个数最大的因数等于这个数。

知识点二：质数和合数1按照一个数因数个数的多少可以把非 0 自然数分成三类①只有自己本身一个因数的②两个因数的数叫作质数（素数）。

最小的质数是。

在所有的质数中，是唯一的一个偶数。

③除了两个因数还有的数叫作合数。

（合数至少有个因数）最小的合数是。

按照是否是 2 的倍数可以把自然数分成两类。

最小的偶数是 .2. ，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的3. ，叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这两个数的，用符号[ ，]表示。

两个数的公倍数也是的。

8、两个素数的积一定是。

举例：3×5=15，15 是合数。

4.两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的。

举例：[6，8]=24，(6，8)=2，24 是 2 的倍数。

5.求最大公因数和最小公倍数的方法：（）①倍数关系的两个数，是较小的数，是较大的数。

举例：15 和 5，[15，5]=15，(15，5)=5②的两个数，最大公因数是 1，最小公倍数是它们的乘积。

举例：[3，7]=21，(3，7)=1④一般关系的两个数，求最大公因数用，求最小公倍数用大数。

知识点三：质因数和分解质因数1.质因数：如果一个数的因数是，这个因数就是它的。

2. 数叫作偶数，叫作奇数。

相邻偶数（奇数）相差 2。

知识点四：2 、5、3的倍数的特征2 的倍数的特征：个位是5 的倍数的特征：个位是3 的倍数的特征：各位上数字的和一定是 3 的。

小学六年级数学总复习资料（三）【最大公因数与最小公倍数】一、填空：1、如果自然数A除以自然数B商是17，那么A与B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

2、最小质数与最小合数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

3、能被5、7、16整除的最小自然数是（）。

4、5和12的最小公倍数减去（）就等于它们的最大公因数。

91和13的最小公倍数是它们最大公因数的（）倍。

5、已知两个互质数的最小公倍数是153，这两个互质数是（）和（）。

6、甲数=2×3×5×7，乙数=2×3×11，甲乙两数的最大公因数是（），最小公倍数是（）。

7、3个连续自然数的最小公倍数是60，这三个数是（）、（）和（）。

8、被2、3、5除，结果都余1的最小整数是（），最小三位整数是（）。

9、自然数m和n，n= m+1，m和n的最大公约数是（），最小公倍数是（）。

10、三个连续偶数的和是42，这三个数的最大公因数是（）。

11、三个不同质数的最小公倍数是105，这三个质数是（）、（）和（）。

12、把自然数a与b分解质因数，得到a=2×5×7×m，b=3×5×m ，如果a与b 的最小公倍数是2730，那么m = （）。

13、（273，231，117）=（），[273，231，117]=（）14、三个数的和是312，这三个数分别能被7、8、9整除，而且商相同。

这三个数分别是（）、（）和（）。

15、已知（A，40）=8，[A，40]=80，那么A=（）。

16、找一个与众不同的数（三个方法）并说明理由）：1、2、3、5、7、9、15 1：选（），因为（）；2：选（），因为（）；3：选（），因为（）。

17、按要求写互质数：两个都是质数（）和（）；两个都是合数（）和（）；一个质数和一个奇数（）和（）；一个偶数5和一个合数（）和（）；一个质数和一个合数（）和（）；一个偶数和一个合数（）和（）。

公因数和公倍数的知识点
嘿，朋友们！今天咱来聊聊公因数和公倍数，这可太有意思啦！
比如说，咱有一堆糖果要分给几个小伙伴，那能同时整除糖果总数和小伙伴人数的那个数，就是公因数啦！就像如果有 12 颗糖果要分给 3 个小伙伴或者 4 个小伙伴，3 就是 12 和 3 的公因数，4 也是 12 和 4 的公因数呀。

那公倍数呢？可以想象成大家要一起做一件事，找到一个相同的时间点或次数。

比如做课间操，一周里既能是 3 天做一次，也能是 6 天做一次，
那么 6 就是 3 和 6 的一个公倍数。

咱再深入想想，公因数就像是大家共同的“小默契”。

比如班级里分组，每组人数要一样，那班级总人数和每组人数的公因数就很关键啊，要是这个默契找不对，分组不就乱套啦？这多糟糕呀！而公倍数呢，就如同大家约好一起出去玩的时间，得找到那个大家都合适的点，不然总有人去不了多可惜呀！
举个例子吧，我和小伙伴们要去游乐场，我隔 4 天去一次，小张隔 6 天去一次，那我们要多久才能在游乐场再次相遇呢？这就是求 4 和 6 的公倍数呀！
公因数和公倍数在数学里用处可大啦！无论是算分数约分，还是解决生活中的实际问题，都少不了它们呢。

它们就像数学世界里的好帮手，默默地发挥着重要作用。

我们可一定得好好掌握它们呀，这样才能在数学的海洋里畅游无阻呀，你们说是不是呢？总之，公因数和公倍数真的非常非常重要，大家可别小瞧它们呀！。

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。

补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1距离=一个间隔的长度×间隔个数间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。