全等图形

初中全等图形教案教学目标：1. 理解全等图形的概念，掌握全等图形的性质和判定方法。

2. 能够运用全等图形解决实际问题，提高空间想象能力。

教学重点：1. 全等图形的概念和性质。

2. 全等图形的判定方法。

教学难点：1. 全等图形的判定方法的运用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 图形示例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入全等图形的概念，让学生回顾已学的图形知识。

2. 提问：什么是全等图形？全等图形有哪些性质？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解全等图形的概念：在平面上，如果两个图形的形状和大小完全相同，那么这两个图形叫做全等图形。

2. 讲解全等图形的性质：a. 全等图形的大小相等。

b. 全等图形的形状相同。

c. 全等图形的对应边和对应角相等。

3. 讲解全等图形的判定方法：a. SSS（Side-Side-Side）：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形全等。

b. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形有两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。

c. ASA（Angle-Side-Angle）：如果两个三角形有两角和它们的夹边分别相等，那么这两个三角形全等。

d. RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side）：如果两个直角三角形有一个直角和斜边相等，那么这两个直角三角形全等。

三、例题讲解（15分钟）1. 讲解例题，让学生理解全等图形的判定方法的运用。

2. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

四、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固全等图形的性质和判定方法。

2. 解答学生的问题，给予指导和帮助。

五、小结（5分钟）1. 总结全等图形的概念和性质。

2. 总结全等图形的判定方法。

教学反思：本节课通过讲解全等图形的概念和性质，以及全等图形的判定方法，使学生掌握了全等图形的基本知识。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，巩固所学知识。

但在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握全等图形的判定方法的运用，提高他们的空间想象能力。

全等三角形的性质1. 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2. 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．3.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应． 4. 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等 （2）全等三角形的对应角相等（3）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等 （4）全等三角形的周长相等，面积相等 5. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角．CBA B'A'(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．类型一、全等图形的概念【例1】全等图形是指两个图形()A．大小相等B．形状相同C．完全重合D．以上都不对【变式1】下列说法中，正确的是()A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等【变式2】下列说法正确的是()A．形状相同的两个图形一定全等B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形面积一定相等D．两个正方形一定是全等图形【例2】下列各组图案中，不是全等形的是()A． B．C． D．【变式1】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【变式2】在下列各组图形中，是全等的图形是（）A B C D 【例3】如图（1）~(12)中全等的图形是和；和；和；和；和；和；（填图形的序号）【变式1】如图是淮口工业集中发展区中某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有组．【变式2】观察如图图形的特点：有几组全等图形？请一一指出：．类型二、全等三角形的性质：对应角相等【例4】如图，ABC DEF∠的度数是()B∠=︒，则FA∆≅∆，50∠=︒，100A．30︒B．50︒C．60︒D．100︒【变式1】已知ABC DEF∠的度数为()∠=︒，则FE∆≅∆，80∠=︒，50AA．30︒B．50︒C．80︒D．100︒【变式2】如图，已知ABC EFG∠等于()∆≅∆，则αA．72︒B．60︒C．58︒D．50︒【例5】已知图中的两个三角形全等，则1∠等于()A．70︒B．50︒C．60︒D．120︒【变式1】如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则α∠的度数为( )A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．62︒【变式2】已知图中的两个三角形全等，则x ∠的度数是( )A ．38︒B ．82︒C ．60︒D ．62︒【例6】如图，ABC ADE ∆≅∆，25B ∠=︒，105E ∠=︒，10EAB ∠=︒，则BAD ∠为()A ．50︒B ．60︒C ．80︒D ．120︒11. 如图，ACB ∆≅△A CB '，点A 和点A '，点B 和点B '是对应点，30BCB ∠'=︒，则ACA ∠'的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒12. 如图，ABC ADC ∆≅∆，40BCA ∠=︒，80B ∠=︒，则BAD ∠的度数为 ．类型三、全等三角形的性质：对应边相等【例7】如图，ABC DCB ∆≅∆，点A 和点D 是对应点，若6AB cm =，8BC cm =，7AC cm =，则DB 的长为( )A ．6cmB ．8cmC ．7cmD ．5cm【变式1】如图，ABC CDA ∆≅∆，7AC cm =，5AB cm =，8BC cm =，则AD 的长是( )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【例8】如图，已知ABC DAE ∆≅∆，2BC =，5DE =，则CE 的长为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【变式1】如图，ABC BDE ∆≅∆，若12AB =，5ED =，则CD 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】如图，OCA OBD ∆≅∆，3AO =，2CO =，则AB 的长为( )A ．1B ．3C ．4D ．5【例9】已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．11【变式1】已知ABC DEF ∆≅∆，2AB =，4AC =，DEF ∆的周长为10，则BC 的值为 ．【变式2】已知ABC DEF ∆≅∆，ABC ∆的周长为100cm ，30DE cm =，25DF cm =，那么BC = cm ．【例10】已知ABC ∆三边长分别为3，5，7，DEF ∆三边长分别为3，32x -，21x -，若这两个三角形全等，则x 为 ．【变式1】已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、32a b -、2a b +，则a b += ．类型四、全等三角形性质定理的综合运用【例11】如图，ACF ADE ∆≅∆，12AD =，5AE =，求DF 的长．【变式1】如图，ADE BCF ∆≅∆，8AD cm =，5CD cm =，试求BD 的长．【变式2】如图，ABC DEF ∆≅∆，3BF =，2EF =． 求FC 的长 ．【例12】如图，已知ABC DEC ∆≅∆，120∠=︒，求2∠的度数．【变式1】如图，ABC ADE ∆≅∆，88BAE ∠=︒，26CAD ∠=︒，求DAE ∠的度数．【变式2】如图，已知ADE ABC∠的度数．D∠=︒，求C∆≅∆，110DAE∠=︒，20【例13】已知，如图，ABC DEFAC DF．∆≅∆，求证：//【变式1】如图，A、B、C、D在同一直线上，且ABF DCE∆≅∆，那么AF DE、AC BD=吗？为什么？//【变式2】已知ABF DCE∆≅∆，E与F是对应顶点．证明//AF DE．【例14】如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且BAD ACE ∆≅∆，求证：BD CE DE =+．【变式1】如图，E 为线段AB 上一点，AC AB ⊥，DB AB ⊥，ACE BED ∆≅∆． （1）试猜想线段CE 与DE 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：AB AC BD =+．【变式2】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，ABC DFC ∆≅∆，你能判断DE 与AB 是否互相垂直吗？为什么？【例15】如图，已知ABC DEFEH=．AB=，2∆≅∆，80∠=︒，9B∠=︒，60A（1）求F∠的度数；（2）求DH的长．【变式1】如图，ACF DBE∆≅∆，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE AD∠的大小；⊥，62F∠=︒，求A（2）若9=，求AB的长．BC cm=，5AD cm【变式2】如图，CD AB∠=︒，C⊥于点D，BE AC∆≅∆，42⊥于点E，ABE ACDAB=，6AD=，G为AB延长线上一点．9（1）求EBG∠的度数．（2）求CE的长．【例16】如图，已知ABF CDE∆≅∆．（1）若30∠的度数；∠=︒，求EFCB∠=︒，40DCF（2）若10EF=，求BF的长．BD=，2【变式1】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，AC与BD交于点F，C∠=︒．D∠=︒，256AB=，3BC=，55（1）求AE的长度；（2）求AED∠的度数．【变式2】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD DE⊥于D，CE DE⊥于E，且ABD CAE=，求=，4BD cm∆≅∆，2AD cm（1）DE的长；（2）BAC∠的度数．知识模块一全等图形【演练1】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是()A．形状大小均相同B．形状相同，但大小不同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同【演练2】如图所示的图形是全等图形的是()A． B．C． D．【演练3】下列图形中全等图形是（填标号）．【演练4】从同一张底片上冲出来的两张五寸照片全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片全等图形（填“是”或“不是”)．知识模块二全等三角形的性质【演练1】如图，ABC DEF∠=︒．∠=︒，则DFB∆≅∆，120∠=︒，20【演练2】若ABC DEF∆≅∆，则根据图中提供的信息，可得出x的值为()A．30 B．27 C．35 D．40【演练3】如图，ABC DEC∠=︒，则BCE∠的度数为(DCB∠=︒，20∆≅∆，90ACB)A ．20︒B ．40︒C ．70︒D ．90︒【演练4】如图，若ABC DEF ∆≅∆，四个点B 、E 、C 、F 在同一直线上，7BC =，5EC =，则CF 的长是( )A ．2B ．3C ．5D ．7【演练5】已知ABC ∆≅△A B C '''，△A B C '''的周长为32cm ，9A B cm ''=，12B C cm ''=，则AC = ．【演练6】已知ABC ∆的三边分别是6，8，10，DEF ∆的三边分别是6，64x -，42x +，若两个三角形全等，则x 的值为 ．【演练7】如图，已知EFG NMH ∆≅∆，F ∠与M ∠是对应角，若 2.1EF cm =，1.1FH cm =， 3.3HM cm =，求MN 和HG 的长度．【演练8】如图，已知ABC DBE ∆≅∆，点D 在AC 上，BC 与DE 交于点P ，若160ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CBE ∠的度数；【演练9】如图，点A，O，B在同一直线上，且ACO BDO∆≅∆．证明：（1）点C，O，D在同一直线上；（2）//AC BD．【演练10】如图，已知ABC DEC-=．BD AE EC∆≅∆，求证：2【演练11】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若C∠=︒D∠=︒，607DE=，4BC=，35（1）求线段AE的长．（2）求DFA∠的度数．【演练12】如图，已知在四边形中ABCD，//⊥于点AD BC，过点A作AE BC∆≅∆．E，连接DE，46∠=︒，且ABE EDABAE（1）求ADE∠的度数；（2）若EDA DEC∆≅∆，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．。

第二十讲图形的全等考点综述：本部分内容是中考热点和重点之一。

它包括：全等三角形的性质和判定以、角平分线的性质以及利用尺规作三角形和角平分线。

全等三角形的性质和判定以填空题和解答题为主；角平分线的性质多结合其他知识一起考查。

中考课标要求考点精析考点1 全等图形（1）全等图形的概念和特征全等图形：能够完全重合的图形叫做全等图形。

全等图形的特征：两个图形全等，它们的形状和大小都相同。

（2）全等图形的识别方法①重叠法：能够完全重合的图形叫做全等图形。

②形状、大小完全相同的图形是全等图形。

考点2 全等三角形及其性质（1）全等三角形的有关概念能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角。

“全等”用“≌”表示，读作“全等于”。

（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等，周长相等，面积相等。

考点3 三角形全等的判定（1）一般三角形全等的判定①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简称“SAS”。

②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简称“ASA”。

③“角角边”定理：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称“AAS”。

④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等，简称“SSS ”。

（2）直角三角形全等的判定①利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等；②斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称“HL”定理。

2008年中考试题汇编（部分）一、选择、填空题：（1）（四川成都）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）(A)∠B=∠E,BC=EF （B）BC=EF，AC=DF(C）∠A=∠D，∠B=∠E （D）∠A=∠D，BC=EF（2）(2008年南通市)已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.（3）（2008年遵义市）如图，，，，，则等于（）A．B．C．D．（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）（4）（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．4B．3C．2D．（5）（山东滨州）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°。

第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。

例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。

A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

图形全等知识点总结一、定义1. 全等图形的定义：如果两个图形的所有对应的角相等，并且对应的边相等，那么这两个图形就是全等图形。

这个定义也可以简单描述为"三条边和三个角对应相等"。

2. 全等图形的表示：在表示全等图形时，通常使用符号"≌"或者"≡"，例如：△ABC≌△DEF。

3. 全等图形的记号：在表示全等图形时，通常将对应的顶点、线段等表示出来，比如△ABC≌△DEF，其中A对应D，B对应E，C对应F。

二、全等三角形1. 全等三角形的性质全等三角形的性质有以下几点：① 对应的角相等：在两个全等三角形中，对应的角是相等的。

② 对应的边相等：在两个全等三角形中，对应的边是相等的。

③ 全等三角形的充要条件：两个三角形全等的充分必要条件是它们的三对角相等。

2. 证明全等三角形的方法① SSS全等判定法：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。

② SAS全等判定法：如果两个三角形的一条边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。

③ ASA全等判定法：如果两个三角形的两个角和其中一条边分别相等，则这两个三角形全等。

④ AAS全等判定法：如果两个三角形的两个角和其中一条边分别相等，则这两个三角形全等。

3. 全等三角形的应用全等三角形的性质和判定法在几何学中有着广泛的应用，比如用于证明定理、解题、构造等方面。

在实际应用中需要根据具体的图形条件和问题要求来选择合适的方法。

三、全等四边形1. 全等四边形的性质全等四边形的性质有以下几点：① 对应的角相等：在两个全等四边形中，对应的角是相等的。

② 对应的边相等：在两个全等四边形中，对应的边是相等的。

③ 对角相等的四边形可能不全等：两个四边形如果只是对角相等，并不能断定它们全等。

2. 证明全等四边形的方法与三角形类似，全等四边形的判定法也有几种：① 全等的两个对边都相等。

② 三边一角和两边相邻的两个角全等。