17.5.2一次函数与一元一次方程-一元一次不等式的关系

一次函数与一元一次不等式的关系●教学目标（一）教学知识点1.一元一次不等式与一次函数的关系.2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较.（二）能力训练要求1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识.2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力.（三）情感与价值观要求体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.●教学重点了解一元一次不等式与一次函数之间的关系.●教学难点自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答.●教学方法研讨法即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用.●教具准备投影片两张第一张：（记作§1.5.1 A）第二张：（记作§1.5.1 B）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用.Ⅱ.新课讲授1.一元一次不等式与一次函数之间的关系.［师］大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式.［生］如y=2x－5为一次函数.［师］在一次函数y=2x－5中，当y=0时，有方程2x－5=0;当y＞0时，有不等式2x－5＞0;当y＜0时，有不等式2x－5＜0.由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式.下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系.2.做一做图1－21请大家讨论后回答：［生］（1）当y =0时，2x －5=0,∴x =25, ∴当x =25时，2x －5=0. （2）要找2x －5＞0的x 的值，也就是函数值y 大于0时所对应的x 的值，从图象上可知，y ＞0时，图象在x 轴上方，图象上任一点所对应的x 值都满足条件，当y =0时，则有2x －5=0,解得x =25.当x ＞25时，由y =2x －5可知 y ＞0.因此当x ＞25时，2x －5＞0; （3）同理可知，当x ＜25时，有2x －5＜0; （4）要使2x －5＞3,也就是y =2x －5中的y 大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x 轴，这条直线与y =2x －5相交于一点B （4，3），则当x ＞4时，有2x －5＞3.3.试一试如果y =－2x －5,那么当x 取何值时，y ＞0?［师］由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试.［生］首先要画出函数y =－2x －5的图象，如图1－22：图1－22从图象上可知，图象在x 轴上方时，图象上每一点所对应的y 的值都大于0，而每一个y 的值所对应的x 的值都在A 点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x －5=0,得x =－2.5,所以当x 取小于－2.5的值时，y ＞0.4.议一议兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m ，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑 3 m ，哥哥每秒跑4 m ，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20 m ？谁先跑过100 m ？（4）你是怎样求解的？与同伴交流.［生］［解］设兄弟俩赛跑的时间为x 秒.哥哥跑过的路程为y 1，弟弟跑过的路程为y 2，根据题意，得y 1=4xy 2=3x +9函数图象如图1－23：图1－23 从图象上来看：（1）当0＜x ＜9时，弟弟跑在哥哥前面；（2）当x ＞9时，哥哥跑在弟弟前面；（3）弟弟先跑过20 m ，哥哥先跑过100 m;（4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x 轴的平行线，它与y 1=4x ,y 2=3x +9分别有两个交点，每一交点都对应一个x 值，哪个x 的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m.Ⅲ.课堂练习1.已知y 1=－x +3,y 2=3x －4,当x 取何值时，y 1＞y 2？你是怎样做的？与同伴交流.解：如图1－24所示：图1－24当x 取小于47的值时，有y 1＞y 2. Ⅳ.课时小结本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式.Ⅴ.课后作业习题1.6Ⅵ.活动与探究作出函数y 1=2x －4与y 2=－2x +8的图象，并观察图象回答下列问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0？（2）x 取何值时，－2x +8＞0?（3）x 取何值时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立？（4）你能求出函数y 1=2x －4，y 2=－2x +8的图象与x 轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程.解：图象如下：图1－25分析：要使2x －4＞0成立，就是y 1=2x －4的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使－2x +8＞0成立的x ，即为函数y 2=－2x +8的图象在x 轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x ，根据函数图象与x 轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积.［解］（1）当x ＞2时，2x －4＞0;（2）当x ＜4时，－2x +8＞0;（3）当2＜x ＜4时，2x －4＞0与－2x +8＞0同时成立.（4）由2x －4=0,得x =2;由－2x +8=0,得x =4所以AB =4－2=2由⎩⎨⎧+-=-=8242x y x y 得交点C （3，2） 所以三角形ABC 中AB 边上的高为2. 所以S =21×2×2=2. §1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一）一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系；2.做一做（根据函数图象求不等式）；3.试一试（当x 取何值时，y ＞0）;4.议一议二、课堂练习三、课时小结四、课后作业参考练习1.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现：如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元.请问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？解：设商场计划投入资金为x 元，在月初出售，到月末共获利y 1元；在月末一次性出售获利y 2元，根据题意，得y 1=15%x +（x +15%x ）·10%=0.265x ,y 2=30%x －700=0.3x －700.（1）当y 1＞y 2,即0.265x ＞0.3x －700时，x ＜20000;（2）当y 1=y 2,即0.265x =0.3x －700时，x =20000;（3）当y 1＜y 2，即0.265x ＜0.3x －700时，x ＞20000.所以，当投入资金不超过20000元时，第一种销售方式获利较多；当投入资金超过20000元时，第二种销售方式获利较多.2.某医院研究发现了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2小时时血液中含药量最高，达每毫升6微克（1微克=10－3毫克），接着逐步衰减，10小时时血液中含药量为每毫升3毫克，每毫升血液中含药量y （微克），随着时间x （小时）的变化如图所示（成人按规定服药后）.（1）分别求出x ≤2和x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据图象观察，如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多少？图1－26解：（1）当x ≤2时，图象过（0，0），（2，6）点，设y 1=k 1x ,把（2，6）代入得，k 1=3∴y 1=3x .当x ≥2时，图象过（2，6），（10，3）点.设y 2=k 2x +b ,则有⎩⎨⎧=+=+3106222b k b k 得k 2=－83,b =427 ∴y 2=－83x +427 （2）过y 轴上的4点作平行于x 轴的一条直线，于y 1,y 2的图象交于两点，过这两点向x 轴作垂线,对应x 轴上的34和322，即在322－34=6小时间是有效的.。

一元一次不等式与一次函数【基础知识精讲】1.一元一次不等式与一次函数的关系。

两个一次函数有时根据需要，要比较其函数值的大小，这时问题就转化为一元一次不等式的问题。

另一方面，利用解不等式的方法也可以求出两个一次函数的值的大小。

事实上，不等式与函数和方程是紧密联系的一个整体。

2.一次函数的图象与一元一次不等式的关系。

一次函数y=kx＋b（k≠0）的图像是一条直线，当kx＋b＞0时，表示图像在x轴上方的部分；当kx＋b=0时，表示直线与x轴的交点；当kx＋b＜0时，表示图像在x轴下方的部分。

【考点聚焦】本章一元一次不等式与一次函数是中考热点，随着素质教育的逐步发展，突出了对创新意识的考查，加大了对“三个一次”（即一元一次方程，一次函数，一元一次不等式）综合应用考查及解决实际问题的考查。

题型有选择题、填空题及解决实际问题（多为压轴题）。

【典例精析】例1作出函数y=x－3的图象如图所示，并观察图象回答下列问题：（1）x取哪些值时，y＞0；（2）x取哪些值时，y＜0；（3）x取哪些值时，y＞3。

思路点拨：首先要认清一次函数的图象是一条直线，两点确定一条直线，所以需要知图象上两点的坐标，可取(3，0)和(0，－3)。

解：由图象可知：（1）当x＞3时，y＞0；（2）当x＜3时，y＜0；（3）当x＞6时，y＞3。

评注：（1）两点确定一条直线。

（2）大于往右看，小于往左看。

【试解相关题】兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9米，然后自己才开始跑。

已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？思路点拨：此题两问均牵扯到不等式问题，但需先列函数关系式。

解：设当时间为x秒时，跑过的路为y米，则y哥哥=4x，y弟弟=3x＋9如图所示，由图象知9秒前弟弟跑在哥哥前面；9秒后，哥哥跑在弟弟前面。

评注：通过以上两例，体会：刻画运动变化的规律需要用函数模型；刻画运动变化过程中的某一瞬间需要用方程模型。

17.5 实践与探索第2课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系【教学目标】知识目标：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系.过程与方法：通过观察，分析一次函数与一元一次不等式（或方程）的内在联系. 情感与态度：在探索新知的过程中体会数形结合的思想.【重点】利用图象解一元一方程、一元一次不等式.【难点】一次函数与一元一次不等式的关系.【教学方法】探究式教学法【教学过程】情境导入：通过上节课的学习我们知道，两个一次函数图象的交点坐标就是函数关系式所组成的二元一次方程组的解。

据此，我们可以利用图象法来求二元一次方程组的解。

能否利用图象来解一元一次方程、一元一次不等式？探究活动一1、一次函数 y= -x-2的图象与x轴的交点坐标为（，），与y轴的交点坐标为（，）2、在平面直角坐标系中画出该函数的图象3、观察图象，指出：(1)x 取什么值时，函数值y = 0？ (2)x 取什么值时，函数值y > 0？ (3)x 取什么值时，函数值y < 0？结论:1、求一元一次方程ax+b=0的解，就是求一次函数y=ax+b 的图象与x 轴交点的横坐标的值.2、求不等式ax+b>0（或<0）的解集，就是求一次函数y=ax+b 的图象在x 轴上方（或下方）时对应横坐标的取值范围. 跟踪训练1、根据下列一次函数的图像，直接写出下列不等式的解集。

(1)3x+6>0 (2)3x+6 ≤0(3) –x+3 ≥0 (4) –x+3<0x2、根据函数y= 的图像，直接写出：3.如右图, 一次函数 的图象经过点 ,则关于x 的不等式的解集为________________.探究活动二做一做：请在同一坐标系中画出函数 y ＝2x －5和y ＝－x ＋1的图象的解方程0525)1(=+-x 的解集不等式0525)2(>+-x ()的解集不等式552504<+-<x ()的解集不等式55253<+-x55+-x )0(≠+=k b kx y )2,3(--P 2->+b kx利用图象解不等式：(1)2x－5＞－x＋1 (2) 2x－5＜－x＋1 (3) 2x－5=－x＋1．跟踪训练能力跃升5.6.7超越自我7. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？ ◆一次函数与一元一次方程、不等式的关系 ◆数形结合的思想在解决问题中的直观性x my。

第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b -+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201mm m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________． 04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －2与y ＝kx ＋k 的交点为整点时，k 的取值可以取( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y x y kx k =-⎧⎨=+⎩得21221k x kk y k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数， ∴x 、y 均为整数，又当x 为整数时，y 为整数， ∴21k k +-为整数即可，2213311111k k k k k k k ++-+=-=-=------， ∵k －1是整数，∴k －1＝±1，±3时，x 、y 为整数， ∴k ＝－2，0，2，4． 所以选A ．【变式题组】01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q (p ≠q )，构成函数y ＝px －2和y ＝x ＋q ，并使这两个函数图象的交点在直线x ＝2的右侧，则这样的有序数对(p ，q )共有( ) A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对 02． (浙江竞赛试题)直线l ：y ＝px (p 是不等于0的整数)与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l 有( ) A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 03． (荆州竞赛试题)点A 、B 分别在一次函数y ＝x ，y ＝8x 的图像上，其横坐标分别是a 、b (a ＞0，b ＞0)．若直线AB 为一次函数y ＝kx ＋m 的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k 的值． 【例4】已知x 、y 、z 都为非负数，满足x ＋y －z ＝1，x ＋2y ＋3z ＝4，记ω＝3x ＋2y ＋z ．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x 、y 、z 中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x 、y 、z 的三元方程可变成关于x 、y 的二元方程，从而求出x 与y ，然后代入ω＝3x ＋2y ＋z 中，可得ω与z 的一次函数关系式，然后再求出z 的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y z x y z +=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x z y z =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x ＋2y ＋z ＝3(5z －2)＋2(3－4z )＋z ＝8z ．∵x 、y 、z 都为非负数，∴5203400z z z -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z ≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01． (荆州竞赛试题)已知x 满足不等式：31752233x xx -+--≥，|x －3|－|x ＋2|的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是( )A ．6B ．5C ．－5D ．－102． 已知非负数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5．设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m ＝________．03． (黄冈竞赛试题)若x ＋y ＋z ＝30，3x ＋y －z ＝50，x 、y 、z 均为非负数，则M ＝5x ＋4y＋2z 的取值范围是( ) A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140【例5】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∵y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)．∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S △ABC ＝12×2×3＝3．演练巩固·反馈提高01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________． 08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________． 10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________．11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________．13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l2、l1的解析式；⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，32 )．⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．l2第14题图。

数学补习（一）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。

从图象上看，这相当于已知 ，确定 的值。

2、一元一次不等式与一次函数的关系 （1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a ≠0）是一次函数y=ax+b （a ≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b 上使函数值y>0（x 轴上方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0 的解集；使函数值y<0（x 轴下方的图像）的x 的取值范围是ax+b 0的解集．典型例题例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题： （1）当x ＝0时，y ＝ ，当y ＝0时，x ＝ ； （2）写出直线对应的一次函数的表达式 ；（3）一元一次方程 12 x+2=0和一次函数 y= 12x+2 有什么联系？一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系（填写下表）1．二次函数与一元二次方程的关系：(1)一元二次方程c bx ax y ++=2就是二次函数c bx ax y ++=2当函数y 的值为0时的情况． (2)二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当0=y 时自变量x 的值，即一元二次方程02=++c bx ax 的根．(3)当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根 2．一元二次不等式与二次函数的关系一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况填上表。

一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）责编：杜少波【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、若直线y kx b =+与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为______.【答案】5x =【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标.【总结升华】当函数0y =时，就得到了一元一次方程kx b +＝0，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线y ax b =-，则关于x 的方程1ax b -=的解x ＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，即1a x b -=时，x ＝4．∴方程1ax b -=的解x ＝4．【变式2】如图，直线y kx b =+分别交x 轴和y 轴于点A 、B ，则关于x 的方程kx b +＝0的解为_______.【答案】2x =-；提示：方程kx b +＝0的解其实就是当0y =时一次函数y kx b =+与x 轴的交点横坐标．由图知：直线y kx b =+与x 轴交于点（－2，0），即当x ＝－2时，y kx b =+＝0.类型二、一次函数与一元一次不等式2、（2015•乐山模拟）如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣3，0）、B （0，1）两点，则不等式﹣kx ﹣b ＜0的解集为（ ）A ．x ＞﹣3B ．x ＜﹣3C ．x ＞3D ．x ＜3【思路点拨】求﹣kx ﹣b ＜0的解集，即为kx+b ＞0，就是求函数值大于0时，x 的取值范围．【答案】A ；【解析】解：∵要求﹣kx ﹣b ＜0的解集，即为求kx+b ＞0的解集，∴从图象上可以看出等y ＞0时，x ＞﹣3．故选：A ．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）A ．x ≥0B ．x ≤0C ．x ≥2D ．x ≤2【答案】A ；提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．3、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．A ．1->xB ．1-<xC ．2-<xD ．无法确定【答案】B ；【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当1-<x 时，x k b x k 21>+，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－2【答案】B ；提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．4、画出函数21y x =+的图象，并利用图象求：(1)方程2x ＋1＝0的解；(2)不等式2x ＋1≥0的解集；(3)当y ≤3时，x 的取值范围；(4)当－3≤y ≤3时，x 的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数21y x =+的图象，方程2x ＋1＝0的解从“数”看就是自变量x 取何值时，函数值是0，从“形”看方程2x ＋1＝0的解就相当于确定直线21y x =+与x 轴的交点，故图象与x 轴交点的横坐标就是方程2x ＋1＝0的解．同理：图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2x ＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：在坐标系内描点(0，1)和1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，并过这两点画直线，即得函数21y x =+的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线21y x =+与x 轴交点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴ 方程2x ＋1＝0的解为12x =-； (2)由图象可知：直线21y x =+被x 轴在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭点分成两部分，在点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭右侧，图象在x 轴的上方．故不等式2x ＋1≥0的解集为12x ≥-； (3)过点(0，3)作平行于x 轴的直线交直线21y x =+于点M ，过M 点作x 轴的垂线，垂足为N ．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值y ≤3，则当y ≤3时，自变量x 的取值范围是x ≤1；(4)过(0，－3)作x 轴的平行线交直线21y x =+于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤y ≤3．∴ 当－3≤y ≤3时，自变量的取值范围是－2≤x ≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：(1)一元一次方程0kx b y +=(0y 是已知数)的解就是直线y kx b =+上0y y =这点的横坐标；(2)一元一次不等式1y ≤kx b +≤2y (1y ，2y 是已知数，且1y ＜2y )的解集就是直线y kx b =+上满足1y ≤y ≤2y 那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式kx b +≤0y (或kx b +≥0y )(0y 是已知数)的解集就是直线y kx b =+上满足y ≤0y (或y ≥0y )那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015秋•蒙城县校级月考）画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6＞0的解；（3）若﹣2≤y≤2，求x 的取值范围．【答案】解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），故方程2x+6=0的解为x=﹣3；（2）观察图象知：当x ＞﹣3时，y ＞0，故不等式2x+6＞0的解为x ＞﹣3；（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题5、（1）如图，是函数y kx b =+的图象，它与x 轴的交点坐标是（－3，0），则方程kx b +＝0的解是_________；不等式kx b +＞0的解集是__________.（2）如图：OC ，AB 分别表示甲、乙两人在一次赛跑中．各自的路程S （米）和时间t （秒）的函数图象，根据图象写出一个正确的结论___________.【答案】（1）3x =-；3x <-；（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【解析】（1）从图象上得到函数的增减性及与x 轴的交点的横坐标，即能求得方程kx b +＝0的解和不等式kx b +＞0的解集．（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【总结升华】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解数形结合思想的应用．。

一次函数与方程及一元一次不等式一、核心纲要1. 一次函数与一元一次方程的关系直线y = hc + b(k 丰0)与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx + b = 0仗丰0)的解。

求直线y = kx + bb hb 与天轴交点时•，可令尸0,得到方程kx + b = 0,解方程得x = -Y ，直线y = kx + b 交％轴于点(-？, 0), 一?k kk就是直线y = kx + b 与兀轴交点的横坐标。

注：(I)从“数”看：kx + b = 0(k 0)的解O 在一次函数y = kx + b(k 0)中，令y=0时，兀的值。

(2)从“形”看：d + b = 0仗工0)的解o —次函数y = la + b(k^0)的图像与x 轴交点的横坐标。

2. 一次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一元一次不等式都可以转化为ax + b>0或ax + b<0 (a,b 为常数，QH O)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小)于0时，求自变量相应的取值范馬。

(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系：哪一个函数图像处于上方，则哪一个比较大。

特别说明：函数y 的图像在无轴上方oy>0；函数y 的图像在兀轴下方oyVO 。

3. 一次函数与二元一次方程(组)的关系(1) 一次函数的解析式y = kx + b(k^Q)^身就是一个二元一次方程，直线y = +上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程$ =总+ /?伙工0),因此二元一次方程的解也就有无数个。

(2) 一次函数y = kx + b(k^0)① 从“数”看：它是一个二元一次方程;② 从“形”看：它是一条直线。

二—直线y=kx-b(k=0)上的每一个点的横、纵坐标 廿:声T 的解<^=^>直线比与门的交点的横纵坐标 y ?=k ?x-rb ?4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解V =化无+也〜1'有唯一解O •百线V 二心兀+勺不平行于玄线V = + H 怎y = k 1x^b 1二兀一次方程y=kx-b(k= 0)的每一组解 方程组(1)二元一次方程组I y = k.x^b.亠，一亠，（2）二兀一次方程组{ 无解O直线y =斤[无+也平行于直线y = k^x + b^ o k{ = k2.b} b2I y = k2x + b2 y = k.x + b}（3）二元一次方程组{ 有无数多个解o直线y = 3 + ®与y = k^x + b^重合o k}= k»b、=[y = k2x^b25.比较两个函数值人小的方法（1）画图像，求交点；（2）过交点作平行于y轴的氏线：（3）谁高谁大。