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第2讲 平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21． (2)①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2． 3．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0． [做一做]1．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2，4) C ．(6，10) D ．(－6，－10) 答案：A2．已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )A.⎝⎛⎭⎫1，83B.⎝⎛⎫－133，83C.⎝⎛⎭⎫133，43D.⎝⎛⎭⎫－133，－43 答案：D1．辨明三个易误点(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．(2)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．有关平面向量的两类本质平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． [做一做]3．已知e 1，e 2是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( ) A ．a ＝0，b ＝e 1＋e 2B ．a ＝3e 1＋3e 2，b ＝e 1＋e 2C ．a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋e 2D ．a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1－4e 2 答案：C4．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( )A ．－ 2B. 2 C ．－2或 2 D ．0答案：C考点一__平面向量基本定理及其应用__________如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .∵OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ， ∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .[规律方法] 用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．1.设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由题意，设e 1＋e 2＝m a ＋n b . 因为a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，所以e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2) ＝(m －n )e 1＋(2m ＋n )e 2.由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝1，2m ＋n ＝1，所以⎩⎨⎧m ＝23，n ＝－13.答案：23 －13考点二__平面向量的坐标运算________________已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM→＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M 、N 的坐标及向量MN →的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点， ∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．∴M (0，20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，∴N (9，2)．∴MN →＝(9，－18)．[规律方法] 平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．2.已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →的坐标是________．解析：由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，y )，则(2－x ，3－y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)．答案：(4，7)考点三__平面向量共线的坐标表示(高频考点)____平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小，属容易题．高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数；(2)利用两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点共线问题．(1)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫8，12x ，b ＝(x ，1)，其中x >0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )A ．4B ．8C ．0D ．2(2)已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．[解析] (1)a －2b ＝⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2，2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)， 由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0，故有⎝⎛⎭⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧8－2x ＝λ（16＋x ）12x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x >0)．(2)法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以P 点的坐标为(3，3)．法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线， 所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3， 所以P 点的坐标为(3，3)． [答案] (1)A (2)(3，3)[规律方法] (1)向量共线的两种表示形式设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.(2)两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．3.(1)已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－1 (2)(2015·河北唐山模拟)设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．(3)(2014·高考陕西卷)设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．解析：(1)若点A 、B 、C 不能构成三角形，则向量AB →，AC →共线，∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k ＋1)－2k ＝0，解得k ＝1.(2)∵b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反， ∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)． ∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2. ∴a ＝(－4，－2)．(3)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ.因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.答案：(1)C (2)(－4，－2) (3)12方法思想——求向量中的范围、最值问题(解析法)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3.如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，求x ＋y 的最大值．[解] 以O 为坐标原点，OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32.设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，则C (cos α，sin α)，由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12ysin α＝32y；所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α，所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以当α＝π3时，x ＋y取得最大值2.[名师点评] 本题首先通过建立平面直角坐标系，引入向量的坐标运算，然后用三角函数的知识求出x ＋y 的最大值．引入向量的坐标运算使得本题比较容易解决，体现了坐标法解决问题的优势，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．已知|a |＝|b |＝2，a ⊥b ，若向量c 满足|c －a －b |＝2，求|c |的取值范围．解：因为a ⊥b ，不妨令a ＝(0，2)，b ＝(2，0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝2，得(x －2)2＋(y －2)2＝4，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(2，2)为圆心，2为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时到原点的距离最远， 而PO ＝OA －2＝22－2，P ′O ＝OA ＋2＝22＋2，所以22－2≤|c |≤22＋2.1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝( )A ．b －12aB ．b ＋12aC ．a ＋12bD ．a －12b解析：选A.BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a .2. (2015·宁夏质检)如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组： ①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B.AD →与AB →不共线，CA →与DC →不共线，而DA →与BC →共线，OD →与OB →共线，由平面向量基底的概念知①③可作为该平面内其他向量的基底．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)．若实数k 与向量c 满足a ＋2b ＝k c ，则c 可以是( )A ．(3，－1)B ．(－1，－3)C ．(－3，－1)D ．(－1，3) 解析：选D.∵a ＝(3，1)，b ＝(0，－2)， ∴a ＋2b ＝(3，－3)＝－3(－1，3)， 故向量c 可以是(－1，3)．4．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 解析：选A.AB →＝(4－1，－1－3)＝(3，－4)，则|AB →|＝32＋（－4）2＝5.与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 5. (2015·长春模拟)设向量OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP →|∶|PB →|＝2，则OP →＝( )A.13e 1－23e 2B.23e 1＋13e 2C.13e 1＋23e 2D.23e 1－13e 2 解析：选C.由题意知AP →＝2PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝3PB →，OP →＝OB →＋BP →＝OB →－13AB →＝OB→－13(OB →－OA →)＝13e 1＋23e 2. 6．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．解析：AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.答案：－547．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →＝(4，3)，PQ→＝(1，5)，则BC →＝________．解析：AQ →＝PQ →－P A →＝(－3，2)， ∴AC →＝2AQ →＝(－6，4)． PC →＝P A →＋AC →＝(－2，7)， ∴BC →＝3PC →＝(－6，21)． 答案：(－6，21) 8．(2015·九江模拟)P ＝{a |a ＝(－1，1)＋m (1，2)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1，－2)＋n (2，3)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．解析：P 中，a ＝(－1＋m ，1＋2m )，Q 中，b ＝(1＋2n ，－2＋3n )． 则⎩⎪⎨⎪⎧－1＋m ＝1＋2n ，1＋2m ＝－2＋3n .得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝－7. 此时a ＝b ＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)}9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．(1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． ∵k a －b 与a ＋2b 共线， ∴2(k －2)－(－1)×5＝0，即2k －4＋5＝0，得k ＝－12.(2)法一：∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →＝λBC →，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝mλ，解得m ＝32.法二：AB →＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )． ∵A 、B 、C 三点共线， ∴AB →∥BC →.∴8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，∴m ＝32.10. (2015·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将OB →分为2∶1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →、DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解：(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →.由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)如题图，EC →∥DC →.又∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45.1．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2) 解析：选D.∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．2．(2014·高考湖南卷)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]解析：选D.设D (x ，y )，则由|CD →|＝1，C (3，0)，得(x －3)2＋y 2＝1.又∵OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2. ∴|OA →＋OB →＋OD →|的几何意义是点P (1，－3)与圆(x －3)2＋y 2＝1上点之间的距离．由|PC |＝7知，|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是1＋7，最小值是7－1.故选D.3．设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动．Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．解析：令Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )， ∴⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)，∴y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是[－12，12]．答案：[－12，12]4. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．解析：由题意得，OC →＝kOD →(k <0)，又|k |＝|OC →||OD →|<1，∴－1<k <0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，mOA →＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)·OB →，∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m ＋n ＝k ，从而m ＋n ∈(－1，0)．答案：(－1，0)5．已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．解：(1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0， 故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2，4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4，4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →， ∴不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线．6. (选做题)如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量OP →＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →的坐标为(1，1)．(1)求|OP →|；(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．解：(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N . |ON →|＝1，|OM →|＝|NP →|＝1，∠ONP ＝120°， ∴|OP →|＝ |ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →|cos 120°＝ 3. (2)设|OA →|＝x ，|OB →|＝y . OP →＝mOA →＋nOB →(m ＋n ＝1)， 则OP →＝mOA →＋nOB →＝mx e 1＋ny e 2. 得⎩⎪⎨⎪⎧mx ＝1ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin 60°＝12xy sin 60°＝34xy .因为1x ＋1y ＝1≥2xy，所以xy ≥2，S △AOB ＝34xy ≥3，当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB 面积最小，最小值为 3.。
