高中数学 向量 板块二 平面向量基本定理与坐标表示完整讲义(学生版)

设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，

其中实数t叫做参变数，简称参数.
（2）特殊：当t＝1 时，点M是中点，
O
2
M A
L
则OM＝OA OB (线段AB中点的向量表达式） 2
一、知识梳理
例2.设e1,e2是不共线的非零向量， 且a = e1 - 2e2,b = e1 + 3e2 （1)证明：a,b可以作为一组基底；
（2)以a,b为基底，求向量c = 3e1 - e2的分解式； 所以不存在，故a,b不共线，可以作为一组基底。
OA 1e1
a 1e1 2 e2
OB 2e2
一、知识梳理
如果e1 , e2 是同一平面内的两个 不共线的向量，那么对于这一平面内 的任意向量 a ，存在唯一一对实数 a1、a2，使 a = a1e1 + a2e2
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有
向量的一组基底，记为： e1，e2
新课引入
F1
F2
G
G与FG1,=FF2有1+什F2么关系? G=F1+F2叫做重力G的分解
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的 任意向量a，均可以分解为不共线的两个向量 λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时 λ2 a2 a
把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解
A
DB AB AD a b
MA AC 1 (a b) 1 a 1 b
2
22
MD 1 DB 1 a 1 b
2
22
M
a
B
一、知识梳理
已知点M是三角形AOB的边AB的中点，若OA＝a，OB＝b， 则OM 1（a b）

∴
x 3 ∴ 3
2. (教材改编题)如图所示，在△ABC中，D为BC的中点，
设AB=a,AC=b,则AD可用a,b表示为12 a+
1 2
b
.
3. 在正三角形ABC中，AB与BC的夹角为120°.
2.解析： A D 1 (A B A C ) 1 (a b )
2
2
3.解析：在正三角形ABC中，B＝60°， ∴与的夹角为60°，∴与的夹角为180°－60° ＝120°.
4. (2011·聊城模拟)已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),
3
且a∥b，则tanα= 4 .
5. 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若 AB=(2,4),AC=(1,3)，则BD=(B ) A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4)
O A a,O Bb 用, a、b为基底表示 OM
解 设 O M m a n b ( m , n R ) , 则
A M O M O A ( m 1 ) a n b ,
A D O D O A 1 b a a 1 b .
2
2
.
因为A，M，D三点共线，
所以
m 1 1
n 1
x1y2-x2y1=0
a= λb
基础达标
1. (原创题)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则向量2a+3b-
c的坐标1为( )
A
A. (-3,4)2 B. (3,4) C. (1,5) D. (3,-5)
解 (－析3,：3)－2a(＋2,31b)＝－(12 2c－＝32－(1,21,)2＋＋33(－－11),1＝)－(－12 (34,4,2))．＝(2,2)＋

d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高中数学课件 而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生

(2)基底：不共线的向量 e1，e2 叫作表示这一平面内所有向量的 一组基底．
2．关于两向量的夹角 (1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的 范围是[0°，180°]． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向．
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一
平面内两个不共线向量 e1，e2 的线性组合 λ1e1＋λ2e2，在具体求 λ1， λ2 时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理． (2)利用待定系数法，即利用定理中 λ1，λ2 的唯一性列方程组求 解．
跟踪训练 3 已知△OAB 中，延长 BA 到 C，使 AB＝AC，D 是将O→B分成 2 1 两部分的一个分点，DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝ a，O→B＝b.
2．两向量夹角概念的正确理解 (1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量 平行，零向量也可以与任一向量垂直．
(2)按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的 角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC 不是向量C→A与向量A→B的 夹角，∠BAD 才是向量C→A与向量A→B的夹角．
|自我尝试|
1．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作
为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数对不共线的
向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可以作为基
底中的向量．其中正确的说法是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
解析：平面内的一对向量只要不共线均可作为表示这个平面内 所有向量的基底，基底本身也可以用这组基底表示，故①错；②对； 由于零向量与平面内的任一向量共线，故③正确．

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

③∵e1-2e 2= − 2 (4e2-2e1),∴e 1-2e 2 与 4e 2-2e1 共线 ,即 e1-2e2 与
4e2- 2e1 不可作为一组基底 ; ④设 e1+e2=λ(e1-e2),则 (1-λ)e1+(1+λ)e2=0, 1-������ = 0, 无解,∴e1+e2 与 e1-e2 不共线 ,即 e1+e2 与 e1-e2 可作 1 + ������ = 0, 为一组基底 . ∴
1.理解平面向量基本定理 剖析:(1)e1,e2是同一平面内的两个不共线向量. (2)对于给定的向量a,实数λ1,λ2存在且唯一.实数λ1,λ2的唯一性是 相对于基底e1,e2而言的. (3)只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,所 以基底的选取不唯一.一旦选定一组基底,则给定向量按照基底的 分解是唯一的. (4)平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即同一平面内 任意三个向量之间的关系是其中任何一个向量都可以表示为其他 两个不共线向量的线性组合. (5)零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量.
1
2
(
【做一做 2】 如图,在等边三角形 ABC 中, ������������与������������ 的夹角等于 )
A.60° C.120°
B.90° D.150°
1
2
解析 :延长 AB 到 D,使 AB=BD,如图 , 则 ������������ 与 ������������的夹角等于∠CBD. 又 ∠ABC=60° , 则 ∠CBD=180° -∠ABC=180° -60° = 120° ,所以 ������������ 与 ������������的夹角等于120° . 答案 :C

( B)
A．－6
B．6
C．9
D．12
2．[必修4·P101·A组T7改编]已知点A(0,1)，B(3,2)，向量
→ AC
＝(－4，－3)，则向
量B→C＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
3．[必修4·P96·例2改编]若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝ 0，52 ，则c可用向量
1．已知△ABC的三个顶点A，B，C的坐标分别为(0,1)，( 2 ，0)，(0，－2)，O
为坐标原点，动点P满足|C→P|＝1，则|O→A＋O→B＋O→P|的最小值是( A )
A． 3－1
B． 11－1
C． 3＋1
D． 11＋1
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且M→P＝12M→N，则P点的坐标为( B )
A．(－8,1)
B．－1，－32
C．1，32
D．(8，－1)
[解析]
设P(x，y)，则
→ MP
＝(x－3，y＋2)，而
1 2
→ MN
＝
1 2
(－8,1)＝
－4，12
，所以
x－3＝－4， y＋2＝12，
x＝－1， 解得y＝－32，
所以P－1，－32.
3．已知正△ABC的边长为2
3
，平面ABC内的动点P，M满足|
知识点二 平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x_轴__、__y_轴__正__方__向__相__同____的两个单位向量i，j作为基 底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(_x_，__y_) _叫做向量a的 直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1_,_0_)___，j＝__(_0_,1_)_____，0＝__(_0_,0_)___.

结 束
因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2． 2 m＝3， m－n＝1， 由平面向量基本定理，得 所以 2m＋n＝1， n＝－1. 3 2 答案： 3 1 － 3
课堂·考点突 课后·三维演
λ1e1＋λ2e2 λ1，λ2，使a＝___________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 ．
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
2．平面向量的坐标运算
结 束
(x1＋x2，y1＋y2) 2 (λx1，λy1) x2 ＋ y 1 1
结 束
―→ ―→ ―→ ―→ 1―→ 1 1 解：∵ BA ＝ OA － OB ＝a－b， BM ＝ BA ＝ a－ b， 6 6 6 ―→ ―→ ―→ 1 5 ∴ OM ＝ OB ＋ BM ＝ a＋ b． 6 6 ―→ ―→ ―→ 1―→ ∵ OD ＝a＋b， ∴ ON ＝ OC ＋ CD 3 1―→ 1―→ 2―→ 2 2 ＝ OD ＋ OD ＝ OD ＝ a＋ b， 2 6 3 3 3 ―→ ―→ ―→ 2 2 1 5 1 1 ∴ MN ＝ ON － OM ＝ a＋ b－ a－ b＝ a－ b． 3 3 6 6 2 6 ―→ 1 ―→ 1 5 ―→ 2 2 1 综上， OM ＝ a＋ b， ON ＝ a＋ b， MN ＝ a－ b． 6 6 3 3 2 6
课前·双基落实 课堂·考点突 课后·三维演
平面向量的基本定理及坐标表示
结 束
[谨记通法]
用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示 为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题 带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理， 如“题组练透”第2题．

第2讲　平面向量基本定理及坐标表示1.理解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交考试要求分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.01聚焦必备知识知识梳理1.平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个_______________的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝______________，|a|＝___________.常用结论夯基诊断×√×√2.回源教材(1)已知a ＝(4，2)，b ＝(6，y )，且a ∥b ，则y ＝____________.答案：3∵a ∥b ，∴4y ＝2×6，解得y ＝3.(2)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为____________.答案：(1，5)突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 1102突破核心命题考 点 一平面向量基本定理的应用DD　如图，取CD的中点G，连接BG，交AC于点H.∵BE∥DG，BE＝DG，∴四边形BEDG为平行四边形，∴BG∥DE.C1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.BA考 点 二平面向量的坐标运算DA1.利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解.2.向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.反思感悟ABB　建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，∴C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，考 点 三平面向量共线的坐标表示考向 1利用向量共线求参数B2利用向量共线求向量或点的坐标C平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R ).反思感悟突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(三十六)ADAD　因为a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)满足3y－x＝0，则该向量与2a＋b平行.检验易知A，D符合题意.BA4.如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不D能作为平面内所有向量的一个基底的是( )A.e1与e1＋e2B.e1－2e2与e1＋2e2C.e1＋e2与e1－e2D.e1－2e2与－e1＋2e2。

平面向量基本定理及坐标表示讲义一、知识梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21. (2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 注意：1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2≠0，y 2≠0，则a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( ) (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.( )(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( ) 题组二：教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________． 3．[已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.题组三：易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________. 5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________. 6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.三、典型例题题型一：平面向量基本定理的应用1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)2．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________．思维升华：平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 题型二：平面向量的坐标运算典例 (1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于 (2)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 引申探究：在本例(2)中，试用a ，c 表示b .思维升华：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．跟踪训练 (1)已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3，1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( )(2)已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于题型三：向量共线的坐标表示命题点1：利用向量共线求向量或点的坐标典例 已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________． 命题点2：利用向量共线求参数典例 已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝)sin 1,21(θ+，若a ∥b ，则锐角θ＝________. 思维升华：平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．跟踪训练：(1)已知向量a ＝(1,1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．四、反馈练习1．如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )A ．e 1与e 1＋e 2B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2C ．e 1＋e 2与e 1－e 2D ．e 1－2e 2与－e 1＋2e 2 2．设平面向量a ＝(－1,0)，b ＝(0,2)，则2a －3b 等于( ) A ．(6,3) B ．(－2，－6) C ．(2,1)D ．(7,2)3．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14 C ．1 D.516 4．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32bB.12a －32b C ．－32a －12bD ．－32a ＋12b5．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)6．已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn的值为( )A ．2 B.52C ．3D ．47．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________． 8．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 9．已知A (1,0)，B (4,0)，C (3,4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________.10．在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝____________.(用e 1，e 2表示)11．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________． 12．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．13．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________． 14．在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，P 为矩形内一点，且AP ＝52，若AP →＝λAB →＋μAD →(λ，μ∈R )，则5λ＋3μ的最大值为______．15．如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________．16．已知正三角形ABC 的边长为23，平面ABC 内的动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是________．。

题型一： 平面向量基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是( )A ．1e 与—2eB ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =( )A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c【例3】 如图,线段AB 与CD 互相平分,则BD 可以表示为 ( )A . AB CD -B . 1122AB CD -+ C.1()2AB CD - D. ()AB CD -- DBA【例4】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +C【例5】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向典例分析量BD ，AO ．【例6】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设对角线AC =a ，BD =b ，用a ，b 表示BC ，AB ．AC【例7】 在△ABC 中,已知 AM ︰AB =1︰3, AN ︰AC =1︰4，BN 与CM 交于点P ,且, AC AB a b ==,试 用, a b 表示AP .【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点,若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．F CBABA CPNM【例9】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、ODO．【例10】 如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=.【例11】 已知向量a ，b 不共线，()c ka b k =+∈R ，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例12】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）B 'D 'DCBA PA ．()AB AD λ+，(01)λ∈，B ．()AB BC λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭ABCH•MC ．()AB AD λ+，0λ⎛∈ ⎝⎭ D ．()AB BC λ-，0λ⎛∈ ⎝⎭【例13】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n +=．【例14】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+=．【例15】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的点．且1BF aFC a=-，1DE bEC b=-，若AC AE AF λμ=+，其中λ，μ∈R ，则λμ+=．FB【例16】 证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．OCA【例17】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．ONM CBA【例18】 在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设OA =a ，OB =b ，用a ,b 表示OM .【例19】 如图所示，OM AB ∥，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+，则x 的取值X 围是；当12x =-时，y 的取值X 围是．【例20】 已知P 是ABC ∆所在平面内一点,AP 的中点为Q ,BQ 的中点为R ,CR 的中点为S .证明:只有唯一的一点P 使得S 与P 重合.【例21】 点M 、N 、S 分别是OAB ∆的边OA 、OB 、AB 上的点，OA a =，OB b =，⑴若M 、N 分别是OA 、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P ，求OP ；⑵若OS 是AOB ∠的角平分线，求OS ．⑶若:1:3OM OA =，:1:4ON OB =，线段AN 与BM 交于点Q ，求OQ ．【例22】 如图，设P 、Q 为△AB C 内的两点，且2155AP AB AC =+，AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15B ．45 C ． 14 D ．13【例23】 如图，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别为边AB 、BC 上的点， 且::2:1AD DB DE CE ==，AE 、CD 交于点P ，求APC ∆的面积．ABCD E P【例24】 设正六边形ABCDEF 的对角线,AC CE 分别被内点,M N 分成为AM CNr AC CE==，如果,,B M N 共线，求r 的值．题型二: 平面向量的坐标表示与运算【例25】 设向量(2,3)AB =，且点A 的坐标为(1,2)，则点B 的坐标为．【例26】 若(2,1)a =，(3,4)b =-则34a b +的坐标为_________．【例27】 设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ． ()7,2【例28】 已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x =，y =．【例29】 若A (0, 1), B (1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC =【例30】 若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP =MN , 求P 点的坐标；【例31】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【例32】 若向量()1a x =-，与()2b x =-，共线且方向相同，求x【例33】 已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例34】 已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2B ．0C ．1D ．2【例35】 若向量a =（1，1），b =（-1,1），c =（4，2），则c = ( )A .3a +bB . 3a -b a +3b D. a +3b【例36】 在平面直角坐标系xoy 中，四边形AB CD 的边AB ∥DC,A D∥B C,已知点A (－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________.【例37】 已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k =．【例38】 在直角坐标系xOy 中，已知(3,13)A --，(0,2)B ，(2,12)C ，求证：A 、B 、C 三点共线．【例39】 已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A14B －14C －31D 31【例40】 已知(1,2),(3,2)a b ==-,当实数k 取何值时,k a ＋2b 与2a —4b 平行？【例41】 点(2,3)A 、(5,4)B 、(7,10)C ，若(R)AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上．【例，求线段AB 的其中一个四等分点P 的坐标．【例43】 若平面向量a ,b 满足1a b +=，a b +平行于x 轴，()21b =-，，则a =.【例44】 设O 为坐标原点，向量()12OA =，．将OA 绕着点O 按逆时针方向旋转90︒得到向量OB ，则2OA OB +的坐标为．【例45】 正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(03)OP =，，(40)OS =，，则RM =（ ）A ．7122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B ．7122⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．(74)，D ．7722⎛⎫⎪⎝⎭，【例46】 已知(10)(21)a b ==，，，， ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？【例47】 已知A （—2,4）、B （3,—1）、C （—3,—4）且CA CM 3=,CB CN 2=,求点M 、N 的坐标及向量MN 的坐标.【例48】 已知向量(2,2),(5,)a b k =-=，若a b +不超过5，则k 的取值X 围是．【例49】 已知向量(1sin )a θ=，，(13cos )b θ=，，则a b -的最大值为．【例50】 已知向量a =(1sin ,1)θ-，b =1(,1sin )2θ+，若a //b ，则锐角θ等于（ ）A ．30︒B ． 45︒C ．60︒D ．75︒【例51】 已知点O(0，0)，A (1，2)，B (4，5)及OP OA t AB =+，求(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限。