中学数学竞赛讲义——平面向量

A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.2.化简()()AB DB CD BC +++=3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然.5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k =6.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是7.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为9.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是10.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为2,3π点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为12.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,12ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,将OP 表示成a ,b 的线性组合.13.已知O 是ABC ∆的外心,,4C π∠=若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.B10.练习 姓名：1.(1)已知向量,,,求作a b c ++.(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值.2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于3.已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x =4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p =5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b +=6.在扇形OAB 中,,3AOB C π∠=为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,则x y +的取值范围是7.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值12S S =8.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值.A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.解：(1)法1如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =. 由向量加法的平行四边形法则得OD a b =+.法2如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,AB b =, 则有向量加法的三角形法则有OB OA AB a b =+=+.(2)由向量加法的几何意义(即三角形法则)知：a b a b a b -≤+≤+,故|43|||43a b -≤+≤+,所以||a b +的取值范围是[1,7].当,a b 共线同向时||a b +取得最大值7,当||a b +共线反向时||a b +取得最小值1.2.化简()()AB DB CD BC +++=解：法1()()AB DB CD BC +++()()AB BC CD DB =+++.AC CB AB =+=法2()()AB DB CD BC +++()0.AB BC CD DB AB AB =+++=+=3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于 解：|| 2.a b c AB BD BC AD BC ++=++=+=4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然. 证明：若1m n +=,由OC mOA nOB =+及OC OA AC =+得OC OA AC mOA nOB =+=+, ∴(1)().AC m OA nOB nOA nOB n OB OA nAB =-+=-+=-= 所以,AC nAB =∴,,A B C 三点共线.若,,A B C 三点共线,则存在非零常数,λ使得,AC AB λ=即()AO OC AO OB λ+=+,∴(1)(1)OC AO OB OA OB λλλλ=-+=-+, 令1,m n λλ=-=,知1m n +=.∴当,,A B C 三点共线时1m n +=.5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k = 解：56.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是 解：27.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为解：设12,.AB e AD e ==21211(2)2.AE AD DE e e e e =+=+-=-12112(2)(2).AP AB AE e e e e e λμλμλμμ=+=+-=-+若P 在线段AB 上,则0,[0,1],[0,1].μλλμ=∈-∈若P 在线段BC 上,则12,[0,1].AP AB tBP e te t =+=+∈所以21,,t λμμ-==于是1[1,2].t λμ-=+∈ 若P 在线段CE 上,则12121123=(13),[0,1].AP AB BC CP e e tCE e e te t e e t =++=++=+--+∈ 所以213,1,t λμμ-=-=于是23[1,2].t λμ-=-∈-若P 在线段AE 上,则0,[0,1].λμ=∈于是[1,0].λμμ-=-∈- 所以λμ-的取值范围为[1,2].-8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为 解：59.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是解：110.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为2,3π点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是解：设OC 交AB 与M .则(1).OM OA OB λμλμ=++=设.OC tOM =于是,.x t y t λμ== 所以.OCx y t OM+==则x y +的最大值是2. 11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为 解：212.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,12ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,若OP 表示成a ,b 的线性组合.解：设,MP mMB NP nNA ==,则OP OM MP OM mMB =+=+111()(1).333a mb a m a mb =+-=-+ OP ON NP ON nNA =+=+111()(1)222b n a b na n b =+-=+-,所以1(1)3m n -=且1(1)2m n =-,从而21,55m n ==,所以1255OP a b =+.13.已知O 是ABC ∆的外心,,4C π∠=若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.解：C 在优弧AB 上,,(1).OC OA OB λμλμ'=++=.OC tOC t OA t OB λμ'==+().m n t λμ+=+数形结合知道m n +的取值范围为[B10.练习 姓名：1.(1)已知向量a ,b ,c ,求作a b c ++.(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值. 解：(1)略 (2) [4,6].2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于 解：120︒.3. 已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x = 解：()1,5a b +=-,又//()c a b +,则1.5x =-.4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p = 解：设,p xm yn =+则32(23)(42)(24)(32).a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--得243.322x y x y +=⎧⎨--=⎩解得7,413.8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则713.48m p n -+= 5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b += 解：56.在扇形OAB 中,,3AOB C π∠=为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,则x y +的取值范围是解：[1,37.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值12S S = 解：1.28.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值. 解：1,,2AC AB AD AM AB BM AB AD BD AD AB =+=+=+=-； 所以()()122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λλμλμλμμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以由平面向量基本定理得1,1,2λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩53λμ+=.。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒 有λ(μ a ±μ b )＝.考点一 运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二 运用向量加减法法则化简向量 例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)； （6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ， 使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基 底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫 作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标 的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标 的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相 应坐标．5．两向量共线的坐标表示 设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线． 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一 对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二 用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表 示，，.考点三 平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ， 设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ， 即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向 上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示 若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )， 则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式 设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一 求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数 量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二 求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

高考数学竞赛平面向量教案讲义一、平面向量的概念1. 向量的定义：在平面直角坐标系中，一个向量可以用一个有序数对(a, b)表示，其中a和b分别是向量在x轴和y轴上的分量。

2. 向量的表示方法：用箭头“→”表示向量，例如→v = (3, 2)。

3. 向量的长度（模）：向量→v的长度等于√(a²+ b²)，表示为|→v|。

4. 向量的方向：向量的方向由其分量的符号确定，正方向为右上方向，负方向为左下方向。

二、向量的加法和减法1. 向量的加法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的和表示为→v1 + →v2 = (a1 + a2, b1 + b2)。

2. 向量的减法：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的差表示为→v1 →v2 = (a1 a2, b1 b2)。

3. 三角形法则：对于任意三个向量→v1, →v2, →v3，有→v1 + →v2 + →v3 = (a1 + a2 + a3, b1 + b2 + b3)。

三、向量的数乘1. 数乘向量：给定向量→v = (a, b)，数k乘以该向量得到k→v = (ka, kb)。

2. 数乘的性质：k(→v1 + →v2) = k→v1 + k→v2，(k1 + k2)→v = k1→v + k2→v。

3. 数乘与向量长度的关系：|k→v| = |k||→v|。

四、向量的数量积（点积）1. 数量积的定义：两个向量→v1 = (a1, b1)和→v2 = (a2, b2)的数量积表示为→v1 ·→v2 = a1a2 + b1b2。

2. 数量积的性质：→v1 ·→v2 = →v2 ·→v1，(k→v1) ·→v2 = k(→v1 ·→v2)，→v1 ·(→v2 + →v3) = →v1 ·→v2 + →v1 ·→v3。

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

初中数学平面向量一、引言数学中的向量是一种重要的数学工具，具有广泛的应用。

在初中数学中，学习平面向量是数学教学的一个重要内容。

平面向量在几何图形的运动、力的合成以及解析几何中都有广泛的应用。

本文将介绍初中数学中平面向量的定义、性质、运算及应用。

二、平面向量的定义平面向量是有大小和方向的量，可以表示为箭头形式。

假设有向量AB，其中A和B为向量的起点和终点，用→ AB表示。

平面向量可由坐标表示或单位向量表示，坐标表示为(AB) = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。

单位向量表示为ā，即平面上的一个长度为1的向量。

三、平面向量的性质1. 平行性质：若两个向量的方向相同或相反，则它们平行；若两个向量的方向垂直，则称它们垂直。

2. 大小性质：向量的大小由向量的模表示，模记作|AB|。

向量的大小与其坐标的绝对值相关。

3. 零向量：零向量记作o，表示起点和终点相同的向量。

4. 逆向量：若向量AB的模为a，则向量BA的模为a，称其为向量AB的逆向量。

5. 直角三角形法则：若有两个向量AB和AC，则向量AB与向量AC的合向量为向量AD，其中D为以AC为一边，高为AB的直角三角形的顶点。

四、平面向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即，若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量CD+向量AB。

2. 向量的减法：若有向量AB和向量CD，则向量AB-向量CD = 向量AB+向量DC。

3. 数乘：数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

若有向量AB和实数k，则k倍的向量AB表示为kAB。

4. 向量的共线与共点：向量AB与向量CD共线的充分必要条件是存在实数k，使得向量AB = k向量CD。

向量AB与向量CD共点的充分必要条件是向量AB-向量CD为零向量。

5. 平移向量：平移向量是指一个向量加上同一个平移向量后仍保持平行关系。

若有向量AB和向量CD，则向量AB+向量CD = 向量AD，其中AD代表向量AB平移向量CD得到的新向量。

2019-2020年高中数学竞赛教案讲义（8）平面向量一、基础知识定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义 4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos 叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2 λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ， 3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=(a, b0), 4. a//bx 1y 2=x 2y 1, abx1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使，λ叫P 分所成的比，若O 为平面内任意一点，则。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

初中数学竞赛向量向量是数学中的重要概念之一，对于初中数学竞赛来说也是一个重要的考点。

本文将介绍向量的定义、加法和数乘、共线和共面、平行和垂直等基本概念，并分享一些解题技巧。

1. 向量的定义在平面内，向量由大小和方向组成。

设点A和点B（A≠B），则线段AB上的箭头就可以表示为向量。

通常用向量的首字母加箭头上标表示，如向量AB用 $\vec{AB}$ 表示。

2. 向量的加法和数乘2.1 向量的加法设向量 $\vec{AB}$ 的终点是B，向量 $\vec{BC}$ 的起点是B，那么向量 $\vec{AB}$ 加上向量 $\vec{BC}$ 就等于向量 $\vec{AC}$。

表示为：$\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}$。

2.2 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度改变为原来的某个倍数。

设向量$\vec{AB}$ 的长度是a，将a乘以k，得到向量的长度变为ka。

表示为：$k\vec{AB}=\vec{AB'}$，其中 $|\vec{AB'}|=ka$。

3. 共线和共面3.1 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，则这两个向量共线。

即向量$\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 共线的充要条件是存在实数k，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。

3.2 共面向量如果三个向量位于同一个平面上，则这三个向量共面。

假设向量 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 共面，那么存在实数m、n，使得 $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$。

4. 平行和垂直4.1 平行向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的方向相同或相反，则这两个向量平行。

即向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 平行的充要条件是存在实数k，使得 $\vec{a}=k\vec{b}$。

4.2 垂直向量如果向量 $\vec{a}$ 和向量 $\vec{b}$ 的乘积为0，则这两个向量垂直。

知识精要1. 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。

如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||；k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向，如果k=0或=0，那么k =。

2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则 （1） 实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)；（2） 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）=m +n ； （3） 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m 。

3. 平行向量定理如果向量与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使=m a 。

4. 单位向量长度为1的向量叫单位向量。

设e 为单位向量，则|e |=1。

单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。

对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。

由实数与向量的乘积可知：a =|a |a 0 ，a 0a 。

5. 向量的线性运算向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。

一般来说，如果a 、b 是两个不平行的向量，c 是平面内的一个向量，那么 c可以用a 、b表示，并且通常将其表达式整理成b y a xc +=的形式，其中x 、y 是实数。

6. 向量的合成与分解如果a、b是两个不平行的向量，b n a m c+=（m ，n 是实数），那么向量c 就是a m与b n 的合成；也可以说向量c 分解为a m 、b n 两个向量，这时向量a m、与b n 是向量c分别在a 、b 方向上的分向量，a m +b n是向量c 关于a 、b 的分解式。

注：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上进行分解。

热身练习1、 若是非零向量，则k 的方向是：当0<k 时，k 与_______方向2、 设k 是非零实数，是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________3、 如果是两个不平行的向量，那么52--叫做的______________________4、 对于非零向量，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0，那么向量可以记作____________5、 设是单位向量，若与方向相同，23=，请用表示：________________ 6、 已知ABC ∆的重心是点G ，则=++GC GB GA _______________ 二、选择题（每题3分，共计15分） 7、 下列式子中，错误的是（ ）A. 2=+B. ()0=-+a aC.()b a b a --=+- D. -=-8、 给出下列3个命题，其中真命题的个数是( )个（1）单位向量都相等 （2）单位向量都平行 （3）平行的单位向量必相等 A.0 B.1 C.2 D.39、 已知一个单位向量e ，设b a 、是非零向量，则下列等式中正确的是（ ）a =B. b =C. e =D.=10、 已知向量关系式(),x b a 062=-+，试用向量表示（满分5分）精解名题例1、下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行B. 已知a 、、是非零向量，如果a ∥，∥，那么a ∥C. 已知a 、、是非零向量，如果a +=2，a -=3，那么a 与是平行向量D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0=51例2、若k 为任意实数，则下列语句中，不正确的是（ C ）A. b k a k b a k+=+)(；B. b k a k b a k-=-)(C. 如果a b//，那么存在唯一实数k ，使得a k b=；D. 如果a k b=,k 为实数，那么a b //例3、若0 表示零向量，e表示单位向量，下列结论中，哪些是正确的？（1）若b a =，则b a=； （2）若b a=，则b a =； （3）0)(=-+a a；（4）若0=a，则0=a ； （5）若e a //，则e a a=；（6）若b a,是非零向量，则b ba a 11=解：（2）和（4）是对的；其余都是错的。

A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数目.2.向量的基本运算.平行四边形法例,三角形法例.3.平面向量基本定理：假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么关于这一平面内的随意愿量a,有且只有一对实数1, 2 ,使得a 1e1 2e2 .我们把不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法例或平行四边形法例求作向量的和(1)如图,已知向量a,b,求作向量a+b.(2)若|a|4,|b|3,求ab的取值范围.2.化简(ABDB)(CDBC)3.已知正方形ABCD的边长为1,ABa, BCb,BDc,则|a bc|等于4.设O,A,B,C是平面内的四个点,OCmOAnOB.证明：若mn1,则A,B,C三点共线,反之亦然.5.已知向量a3,1 ,b1,3,ck,7,若ac//b,则k6.e1,e2为基底向量,已知向量ABe1ke2,CB2e1e2,CD3e13e2.若A,B,D 三点共线,则k的值是7.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延伸CD至E,使得DE2CD.动点P从点A出发,按ABCDEA沿梯形ABCE运动一周回到A点,DCEAPABAE.则的取值范围为PAB8.已知直角梯形ABCD中,AD//BC,ADC90,AD2,BC1,P是腰DC上的动点,则PA3PB的最小值为9.在平面直角坐标系中,O为原点,A1,0,B0,3,C3,0,动点D知足CD1 ,则OAOBOD的最大值是10.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为 OC xOA yOB ,此中x, y R ,则x y 的最大值是23, 点C在以O为圆心的圆弧AB 上改动.若11.平行四边形ABCD中,AB3,AD2,BAD120 ,P是平行四边形ABCD内一点,且AP1. 若APxAByAD,则3x2y的最大值为12. OAB中,设a OA , b OB ,且组合.1OMa ,31ON b ,点P为AN与B M 的交点,将OP 表示成 a , b 的线性213.已知O是ABC的外心,C,若OCmOAnOB,(m,nR),求mn的取值范围.4B10.练习姓名：1.(1)已知向量a,b,c,求作abc.(2)若|a|1,|b|5.求|a b|的最大值和最小值.2.若P为ABC的外心,且PAPBPC,则ABC的内角C等于3.已知向量a1,2,b2,3,cx,1,若c 与ab平行,则x4.设向量m2a3b,n4a2b,p3a2b,试用m,n表示p,则p5.已知平面向量a1,2,b2,m,且abab,则a2b6.在扇形OAB中,AOB,C为弧AB上的一个动点.若OCxOAyOB,3则xy的取值范围是7.已知点O是ABC内一点,若OA2OB3OC0,则OAB的面积S1与ABC的面积S2的比值S1S28.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若ACAMBD,求的值.A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数目.2.向量的基本运算.平行四边形法例,三角形法例.3.平面向量基本定理：假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么关于这一平面内的随意愿量a,有且只有一对实数1, 2 ,使得a 1e1 2e2 .我们把不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法例或平行四边形法例求作向量的和(1)如图,已知向量a,b,求作向量a+b.(2)若|a|4,|b|3,求ab的取值范围.解：(1)法1如图,在平面内任取一点O,作OAa,OBb .由向量加法的平行四边形法例得ODab.法2如图,在平面内任取一点O,作OAa,ABb,则有向量加法的三角形法例有OBOAABab.(2)由向量加法的几何意义(即三角形法例)知：ababab,故|43||a b|43,因此|a b|的取值范围是[1,7].当a,b共线同向时|ab|获得最大值7,当|a b|共线反向时|ab|获得最小值1.2.化简(ABDB)(CDBC)解：法1(ABDB)(CDBC)(ABBC)(CDDB)ACCBAB.法2(ABDB)(CDBC)AB(BCCDDB)AB0AB.3.已知正方形ABCD的边长为1,ABa, BCb,BDc,则|a bc|等于解：|a bc|ABBDBCADBC2.4.设O,A,B,C是平面内的四个点,OCmOAnOB.证明：若mn1,则A,B,C三点共线,反之亦然.证明：若mn1,由OCmOAnOB及OCOAAC得OCOAACmOAnOB,∴AC(m1)OAnOBnOAnOBn(OBOA)nAB.因此ACnAB,∴A,B,C三点共线.若A,B,C三点共线,则存在非零常数,使得ACAB,即AOOC(AOOB),∴OC(1)AOOB(1)OAOB,令m1,n,知mn1.∴当A,B,C三点共线时mn1.5.已知向量a3,1 ,b1,3,ck,7,若ac//b,则k解：56.e1,e2为基底向量,已知向量ABe1ke2,CB2e1e2,CD3e13e2.若A,B,D 三点共线,则k的值是解：27.如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,延伸CD至E,使得DE2CD.动点P从点A出发,按ABCDEA沿梯形ABCE运动一周回到A点,DCEAPABAE.则的取值范围为P 解：设AB e1,AD e2. AE AD DE e2 ( 2e1) e2 2e1.AB e1. A B APABAEe1(e22e1)(2)e1e2.若P在线段AB上,则0,[0,1],[0,1].若 P 在线段 BC 上,则A PAB tBP e 1 te 2 ,t [0,1].因此2 1, t ,于是 1 t [1,2].若P 在线段CE 上,则APABBCCPe 1e 2tCEe 1e 23te 1=(13t)e 1e 2,t[0,1].因此213t,1,于是23t [1,2].若P 在线段AE 上,则0,[0,1].于是[1,0]. 因此的取值范围为[1,2].8.已知直角梯形ABCD 中,AD//BC,ADC90,AD2,BC1,P 是腰DC 上的动点, 则PA3PB 的最小值为 解：59.在平面直角坐标系中,O 为原点,A1,0,B0,3,C3,0,动点D 知足CD1 , 则OAOBOD 的最大值是 解：17.10.给定两个长度为 1的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为OCxOA yOB ,此中 x, y R ,则 x y 的最大值是2 3,点C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上改动 .若 解：设OC 交AB 与M .则OMOAOB(1).设OCtOM.于是xt ,y t. 因此 xy tOC .OM则 x y 的最大值是 2.11.平行四边形ABCD 中,AB3,AD2,BAD120 ,P 是平行四边形ABCD 内一点,且AP1. 若APxAByAD ,则3x2y 的最大值为 解：2 12.OAB 中,设 a OA , bOB ,且组合.1 OM a ,31 ON b ,点 P 为 AN 与 BM 的交点 ,若OP 表示成 a , b 的线性2解：设 MPmMB ,NP nNA ,则 OP OMMP OMmMB11 1 a m(b a) (1 m)a mb. 3 3 3OP ONNP ON nNA 1 1 1b n(a b) na (1n)b ,22 2因此13(1 m) n且1m (1n) ,进而22 1m ,n,因此5 51 2OP ab .5 513.已知O是ABC的外心,C,若OCmOAnOB,(m,nR),求mn的取值范围.4解：C在优弧AB上,OCOAOB,(1).OCtOCtOAtOB mnt().数形联合知道mn的取值范围为[2,1)..B10.练习姓名：1.(1)已知向量a,b,c,求作abc.(2)若|a|1,|b|5.求|a b|的最大值和最小值.解：(1)略(2) [4,6].2.若P为ABC的外心,且PAPBPC,则ABC的内角C等于解：120.3.已知向量a1,2,b2,3,c x,1,若c 与ab平行,则x解：a b 1,5 ,又c / /(a b),则1 x ..54.设向量m2a3b,n4a2b,p3a2b,试用m,n表示p,则p解：设p xm yn, 则3a 2b x(2 a 3b) y (4a 2b )(2 x 4 y)a ( 3x 2 y)b.得2x 4y 3 3x 2y 2.解得xy74138.,则7 13p m n.4 85.已知平面向量a1,2,b2,m,且abab,则a2b 解：56.在扇形OAB中,AOB,C为弧AB上的一个动点.若OCxOAyOB,3则xy的取值范围是解：2 3 [1, ].37.已知点O是ABC内一点,若OA2OB3OC0,则OAB的面积S1与ABC的面积S2的比值S1S2解：1 2 .8.如图,正方形ABCD中,M是BC的中点,若ACAMBD,求的值.解：1AC AB AD, AM AB BM AB AD, BD AD AB；2因此1AC AM BD AB AD AD AB AB AD2 21,5因此由平面向量基本定理得.31,2。

A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.2.化简()()AB DB CD BC +++=3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然.5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k =6.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是7.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为9.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是10.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为2,3π点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为12.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,12ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,将OP 表示成a ,b 的线性组合.13.已知O 是ABC ∆的外心,,4C π∠=若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.B10.练习 姓名：1.(1)已知向量a ,b ,c ,求作a b c ++.(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值.2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于3.已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x =4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p =5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b +=6.在扇形OAB 中,,3AOB C π∠=为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,则x y +的取值范围是7.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值12S S =8.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值.A10.平面向量基础一、基础知识1.在数学中,把既有大小,又有方向的量叫做向量.而把只有大小,没有方向的量叫做数量.2.向量的基本运算.平行四边形法则,三角形法则.3.平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使得1122.a e e λλ=+我们把不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.二、典型例题与基本方法1.利用三角形法则或平行四边形法则求作向量的和(1)如图,已知向量a ,b ,求作向量a +b . (2)若||4,||3a b ==,求a b +的取值范围.解：(1)法1如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,OB b =. 由向量加法的平行四边形法则得OD a b =+. 法2如图,在平面内任取一点O ,作OA a =,AB b =, 则有向量加法的三角形法则有OB OA AB a b =+=+.(2)由向量加法的几何意义(即三角形法则)知：a b a b a b -≤+≤+,故|43|||43a b -≤+≤+,所以||a b +的取值范围是[1,7].当,a b 共线同向时||a b +取得最大值7,当||a b +共线反向时||a b +取得最小值1.EABDC2.化简()()AB DB CD BC +++=解：法1()()AB DB CD BC +++()()AB BC CD DB =+++.AC CB AB =+=法2()()AB DB CD BC +++()0.AB BC CD DB AB AB =+++=+=3.已知正方形ABCD 的边长为1,,,,AB a BC b BD c ===则||a b c ++等于 解：|| 2.a b c AB BD BC AD BC ++=++=+=4.设,,,O A B C 是平面内的四个点,OC mOA nOB =+.证明：若1m n +=,则,,A B C 三点共线,反之亦然. 证明：若1m n +=,由OC mOA nOB =+及OC OA AC =+得OC OA AC mOA nOB =+=+, ∴(1)().AC m OA nOB nOA nOB n OB OA nAB =-+=-+=-= 所以,AC nAB =∴,,A B C 三点共线.若,,A B C 三点共线,则存在非零常数,λ使得,AC AB λ=即()AO OC AO OB λ+=+,∴(1)(1)OC AO OB OA OB λλλλ=-+=-+, 令1,m n λλ=-=,知1m n +=.∴当,,A B C 三点共线时1m n +=.5.已知向量()()()3,1,1,3,,7a b c k ===,若()//a c b -,则k = 解：56.12,e e 为基底向量,已知向量121212,2,33.AB e ke CB e e CD e e =-=-=-若,,A B D 三点共线, 则k 的值是 解：27.如图,四边形ABCD 是边长为1的正方形,延长CD 至E ,使得2DE CD =.动点P 从点A 出发, 按 A B C D E A -----沿梯形ABCE 运动一周回到A 点,AP AB AE λμ=+.则λμ-的取值范围为解：设12,.AB e AD e ==21211(2)2.AE AD DE e e e e =+=+-=-12112(2)(2).AP AB AE e e e e e λμλμλμμ=+=+-=-+若P 在线段AB 上,则0,[0,1],[0,1].μλλμ=∈-∈若P 在线段BC 上,则12,[0,1].AP AB tBP e te t =+=+∈所以21,,t λμμ-==于是1[1,2].t λμ-=+∈ 若P 在线段CE 上,则12121123=(13),[0,1].AP AB BC CP e e tCE e e te t e e t =++=++=+--+∈ 所以213,1,t λμμ-=-=于是23[1,2].t λμ-=-∈-若P 在线段AE 上,则0,[0,1].λμ=∈于是[1,0].λμμ-=-∈- 所以λμ-的取值范围为[1,2].-8.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1,AD BC ADC AD BC P ∠=︒==是腰DC 上的动点, 则3PA PB +的最小值为 解：59.在平面直角坐标系中,O 为原点,()(()1,0,,3,0A B C -,动点D 满足1CD =, 则OA OB OD ++的最大值是解：110.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ,它们的夹角为2,3π点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+,其中,x y R ∈,则x y +的最大值是解：设OC 交AB 与M .则(1).OM OA OB λμλμ=++=设.OC tOM =于是,.x t y t λμ== 所以.OCx y t OM+==则x y +的最大值是2. 11.平行四边形ABCD 中,3,2,120,AB AD BAD P ==∠=︒是平行四边形ABCD 内一点,且 1.AP = 若AP xAB y AD =+,则32x y +的最大值为 解：212.OAB ∆中,设a OA =,b OB =,且13OM a =,12ON b =,点P 为AN 与BM 的交点,若OP 表示成a ,b 的线性组合.解：设,MP mMB NP nNA ==,则OP OM MP OM mMB =+=+111()(1).333a mb a m a mb =+-=-+ OP ON NP ON nNA =+=+111()(1)222b n a b na n b =+-=+-,所以1(1)3m n -=且1(1)2m n =-,从而21,55m n ==,所以1255OP a b =+.13.已知O 是ABC ∆的外心,,4C π∠=若,(,),OC mOA n R O n B m ∈=+求m n +的取值范围.解：C 在优弧AB 上,,(1).OC OA OB λμλμ'=++=.OC tOC t OA t OB λμ'==+().m n t λμ+=+数形结合知道m n +的取值范围为[2,1).B10.练习 姓名：1.(1)已知向量a ,b ,c ,求作a b c ++.(2)若||1,||5a b ==.求||a b +的最大值和最小值. 解：(1)略 (2) [4,6].2.若P 为ABC ∆的外心,且PA PB PC +=,则ABC ∆的内角C 等于 解：120︒.3. 已知向量()()()1,2,2,3,,1a b c x ==-=,若c 与a b +平行,则x = 解：()1,5a b +=-,又//()c a b +,则1.5x =-.4.设向量23,42,32,m a b n a b p a b =-=-=+试用,m n 表示,p 则p = 解：设,p xm yn =+则32(23)(42)(24)(32).a b x a b y a b x y a x y b +=-+-=++--得243.322x y x y +=⎧⎨--=⎩解得7,413.8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则713.48m p n -+= 5.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-,且a b a b +=-,则2a b += 解：56.在扇形OAB 中,,3AOB C π∠=为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+,则x y +的取值范围是解：237.已知点O 是ABC ∆内一点,若230,OA OB OC ++=则OAB ∆的面积1S 与ABC ∆的面积2S 的比值12S S = 解：1.28.如图,正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC AM BD λμ=+,求λμ+的值. 解：1,,2AC AB AD AM AB BM AB AD BD AD AB =+=+=+=-； 所以()()122AC AM BD AB AD AD AB AB AD λλμλμλμμ⎛⎫⎛⎫=+=++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以由平面向量基本定理得1,1,2λμλμ-=⎧⎪⎨+=⎪⎩53λμ+=.。