(完整版)高中数学平面向量讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点 为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒 有λ(μ a ±μ b )＝.考点一 运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二 运用向量加减法法则化简向量 例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)； （6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ， 使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基 底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫 作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标 的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标 的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相 应坐标．5．两向量共线的坐标表示 设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线． 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上； 当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一 对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二 用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表 示，，.考点三 平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ， 设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ， 即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向 上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示 若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )， 则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式 设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一 求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数 量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二 求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

第八章 平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。

画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。

向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。

书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。

零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量。

定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。

加法和减法都满足交换律和结合律。

定理2 非零向量a, b 共线的充要条件是存在实数≠λ0，使得a=.b λ f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c ，存在唯一一对实数x, y ，使得c=xa+yb ，其中a, b 称为一组基底。

定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i, j 作为基底，任取一个向量c ，由定理3可知存在唯一一组实数x, y ，使得c=xi+yi ，则（x, y ）叫做c 坐标。

定义4 向量的数量积，若非零向量a, b 的夹角为θ，则a, b 的数量积记作a ·b=|a|·|b|cos θ=|a|·|b|cos<a, b>，也称内积，其中|b|cos θ叫做b 在a 上的投影（注：投影可能为负值）。

定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x 1, y 1), b=(x 2, y 2)， 1．a+b=(x 1+x 2, y 1+y 2), a-b=(x 1-x 2, y 1-y 2)， 2．λa=(λx 1, λy 1), a ·(b+c)=a ·b+a ·c ，3．a ·b=x 1x 2+y 1y 2, cos(a, b)=222221212121yx y x y y x x +⋅++(a, b ≠0),4. a//b ⇔x 1y 2=x 2y 1, a ⊥b ⇔x1x2+y 1y 2=0.定义5 若点P 是直线P 1P 2上异于p 1，p 2的一点，则存在唯一实数λ，使21PP P P λ=，λ叫P 分21P P 所成的比，若O 为平面内任意一点，则λλ++=121OP OP 。

平面向量的概念、运算及坐标表示（讲义）➢ 知识点睛一、平面向量的基本概念 1. 定义：既有，又有 的量叫做向量．−−→表示：a ， AB−−→模：向量 AB 的叫做向量的模，记作 ．2. 几个特殊的向量：零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量二、平面向量的线性运算1（几何意义）加法 减法 数乘定义求两个向量和的运算向量a 加上向量b 的， 即 a +(-b )=a -b实数与向量的 积是一个向量，记作λa法则法则法则λa = λ a当λ>0 时，λa 与 a 的方向 ； 当λ<0 时，λa 与 a的方向；当λ=0 时，λa =0运算律 交换律：λ(μa )= (λ+μ)a = λ(a +b )= (-λ)a = λ(a -b )=a +b =结合律： a -b =a +(-b )(a +b )+c =λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b三、向量相关定理1.共线向量定理：向量a（a≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使．扩充：对空间三点P，A，B，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线．−−→−−→① PA =λPB ；−−→−−→−−→②对平面任一点O，OP =OA+t AB ；−−→−−→−−→③对平面任一点O，OP =x OA+y OB（x +y =1）．2.平面向量基本定理（1）基底：平面内的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）定理：如果e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a= ．四、向量的坐标表示及运算1.坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i，j 作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．这样，平面内的任一向量a 都可由x，y 唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标，记作a= ．2.坐标运算设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a+b= ，a-b= ，λa= ．（1）坐标求法−−→设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB= ．（2）向量位置关系与坐标a∥b ⇔ ⇔ ．➢精讲精练1.下列四个命题：①若a = 0 ，则a 为零向量；②若a =b ，则−−→−−→ a=b 或a=-b；③若a∥b，则a =b ；④若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A，B，C，D 四点共线．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个2.根据图示填空：（1）a+b= ；（2）c-a= ；（3）a+b+d= ；（4）f-a-b= ；（5）c+d+e= ；（6）g-c-d= ．3.若a，b 为非零向量，且a +b =a +b ，则（）A.a∥b，且a 与b 方向相同B.a=bC．a=-bD．a，b 无论什么关系均可−−→−−→−−→4.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA + CD + EF =（）−−→−−→−−→A．0 B．BE C．AD D．CF−−→−−→−−→5.已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a，BC =b，AC =c，则a +b +c =（）A．0 B．3 C． 2 D．2 2−−→−−→−−→−−→6.平面上有A，B，C 三点，设m= AB +BC ，n= AB -BC ，若m，n 的长度恰好相等，则有（）A．A，B，C 三点必在同一直线上B．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形−−→ −−→ −−→7. 已知AB =a+5b，BC =-2a+8b，CD =3(a-b)，则（）A．A，B，D 三点共线B．A，B，C 三点共线C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线8.在△ABC 中，M 为边BC 上的任意一点，N 为AM 的中点，−−→−−→−−→若AN =λ AB +μ AC ，则λ+μ的值为（）A.12 B.13C.14D．1−−→9.如图，平面内有三个向量OA−−→，OB−−→，OC−−→，其中OA−−→与OB 的−−→−−→−−→−−→夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且OA =OB = 1，−−→ OC = 2−−→，若OC−−→=λOA −−→+μOB ，则λ+μ的值为．3λ λ λ +λ 10.已知 D ，E 分别是△ABC 的边 AB ，BC 上的点，且 AD = 1AB ，2 BE = 2BC ．若 −−→−−→ −−→ λ （ ， 为实数），则3 的值为 DE = ．1 AB +λ2AC 1 2 1 2−−→ 11.如图，在△ABC 中，1 −−→ −−→ −−→ −−→ ， ，若 =a ，−−→−−→BD = DC 2AE =3 ED AB AC =b ，则 BE =（）A ． 1 a + 1 bB ． - 1 a + 1 b3 3 24 C ． 1 a + 1 bD ． - 1 a + 1 b2 43 3−−→1 −−→ −−→ 1 −−→ 12.如图，在△AOB 中， OC = OA ，OD 4 = OB ，AD 与 BC 2−−→相交于点 M ，设 OA −−→OM =．−−→=a ， OB=b ，若以 a ，b 为基底，则13. 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A ，B ，C 的坐标分别为 (-2，1)，(-1，3)，(3，4)，则顶点 D 的坐标是．14. 若向量a=(1，1)，b=(-1，1)，c=(4，2)，则c=（）A．3a+b B．3a-bC．-a+3b D．a+3b15. 向量a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λ=．μ16. 已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，若a∥b，则2a+3b=（）A．(-5，-10) B．(-4，-8)C．(-3，-6) D．(-2，-4)17. 已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1，2)，若a+b 与c 共线，则m = ．【参考答案】➢知识点睛一、平面向量的基本概念−−→1. 大小，方向，长度，AB二、平面向量的线性运算加法：三角形，平行四边形，b+a，a+(b+c)减法：相反向量数乘：相同，相反，(λμ)a，λa+μa，λa+λb，-(λa)，λa-λb三、向量相关定理1. b=λa2. （1）不共线；（2）λ1e1+λ2e2四、向量的坐标表示及运算1. (x，y)2. (x1+x2，y1+y2)，(x1-x2，y1-y2)，(λx1，λy1)（1）(x2-x1，y2-y1)（2）b=λa，x2 =y2 =λ（x ，y ≠ 0 ）x1y1➢精讲精练1. B2. （1）c；（2）b；（3）f；（4）d；（5）g；（6）e3. A4. D5. D6. C7. A8. A9. 610. 1211. B12. 1 a +3 b7 713. (2，2)14. B15. 416. B17. -11 1。

高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。

与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。

第07课平面向量基本定理课程标准课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ，实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（）A ．已知向量(,2),(3,1)a b，且a 与b 的夹角为锐角，则23B ．ABC 中，π3,3b c C，则ABC 有两解C ．向量(1,2),(5,7)a b能作为所在平面内的一组基底D ．已知平面内任意四点O ，A ，B ，P 满足1233OP OA OB，则A ，B ，P 三点共线反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G 是ABC 的重心，点D 满足BD DC，若GD xAB y AC ，则x y 为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b ，则AE（）A ．1292525a bB ．16122525a bC ．4355a bD ．3455a b考法02用基底表示向量【典例2】如图，在ABC 中，4BD DC ，则AD（）A ．1455AB ACB ．4155AB ACC ．1566AB ACD ．5166AB AC 【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（）A ．OA ED DO B ．AB EF C ．OB OD D ．AH 和CE能构成一组基底考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ，60BAD ，点E 是BC 的中点，2CF FD ，则AE BF（）A ．6B ．2C ．2D ．6【变式训练】锐角三角形ABC 中，D 为边BC 上一动点（不含端点），点O 满足3AO OD，且满足AO AB AC ，则11的最小值为（）A ．43B ．34C ．3D ．163分层提分题组A 基础过关练1．在ABC 中，点D 在边AB 上，3AD DB .记,CA a CD b ，则CB（）A ．4133a bB ．1433a bC ．4133a bD ．1343a b2．在四边形ABCD 中，//AB CD ，若(,R)AC AB AD ，且3 ，则||||CD AB（）A ．13B ．3C ．12D ．23．如图，已知,,,2OA a OB b OC c AB BC ，则c（）A ．3122b aB ．2b aC ．2a bD ．3122a b4．若向量a 与b是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）A ．a 与a bB ．a b 与2a bC ．25a b 与410a bD ．2a b 与2a b5．如果21,e e表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．212,e e eB ．12212,2e e e eC ．21212,42e e e e D ．1212,e e e e 6．（多选）已知12,e e是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A ．若实数m ，n 使120me ne，则0m n B ．平面内任意一个向量a 都可以表示成12a me ne，其中m ，n 为实数C．对于m ，n R ，12me ne不一定在该平面内D ．对平面内的某一个向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使12a me ne7．（多选）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a表示出来的是（）A ．1(0,0)e ，2(1,2)eB ．1(1,2)e ，2(5,2)eC ．1(3,5)e ，2(6,10)eD ．1(2,3)e ，2(2,3)e8．（多选）已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量3ma b 与 2a m b共线，则实数m 的可能取值为（）A ．1BC ．4D ．39．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．12(1,0),(0,1)e eB ．12(1,2),(2,1)e eC ．1234(3,4),,55e eD ．12(2,6),(1,3)e e10．在平行四边形ABCD 中，2AE AD ，AF AB，若E ，C ，F 三点共线，则实数 ________.11．如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝________.我们把12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.12．已知下列四个命题：①若//a b ，//b c，则// a c ；②设a 是已知的平面向量，则给定向量b 和c，总存在实数 和 ，使a b c ；③第一象限角小于第二象限角；④函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x 的最小正周期为2π.正确的有________.题组B 能力提升练1．已知1e ，2e是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e ，17b e ；②121123a e e ，1232b e e；③12a e e ，1233b e e．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．若12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e ，21e eB ．12e e ，12e eC ．212e e ，212e e D ．122e e ，124e 2e3．若1e ，2e是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）．A ．12e e 和12e eB ．1232e e 和2146e e C ．123e e 和213e e D ．2e 和12e e4．如果12 e e ，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e 与12 e eB ．12 2e e 与12 2e eC ．12 e e 与12e e D ．12 2e e 与122e e 5．在给出的下列命题中，错误的是（）A ．设,,,O ABC 是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R，则点,,A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量c 都可以表示为(,) c a b R，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量,,OA OB OC 满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC，则ABC 为等腰三角形D ．已知平面向量,,OA OB OC 满足||||(0)OA OB OC r r |=|，且0OA OB OC，则ABC 是等边三角形6．（多选）设a是已知的平面向量，向量,,a b c 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；B ．给定向量b 和c，总存在实数 和 ，使a b c ；C ．给定单位向量b 和正数 ，总存在单位向量c和实数 ，使a b c ；D ．若2a ，存在单位向量,b c 和正实数, ，使a b c，则2 .7．（多选）下列说法中正确的为（）A ．已知 1,2a r ， 1,1b r 且a 与b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是5,3B ．向量 12,3e，213,24e不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b 且a 与b 同向，则a bD ．非零向量a ，b ，满足a b a b ，则a 与a b 的夹角为30°8．（多选）下列命题正确的是（）A ．AB MB BC OM CO ABB ．已知向量(6,2)a 与(3,)b k的夹角是钝角，则k 的取值范围是0k C ．若向量 12,3e，213,24e 能作为平面内所有向量的一组基底D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且1AB u u u r ，则（）A ．AH 与CF 能构成一组基底B ．0OD OFC ．OA OCD ．AC CD 10．设12,e e 是两个不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e ．（1）证明：,a b 可以作为一个基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e 的分解式．题组C 培优拔尖练1．在ABC 中，2360AB AC BAC ，，，N 为线段BC 的中点，M 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，两条直线AN 与BM 相交于点P ，则AP BC =（）A ．54B ．74C ．94D ．1142．如图，ABC 中，3BD DC ，AE mAB ，AF nAC ，0m ，0n ，则13m n （）A ．3B ．4C ．43D ．343．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED ，,DF FC AF 与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ，则 AG （）A ．341111a b B ．631111a b C ．451111a b D ．361111a b 4．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD ，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC 的平分线，则BC BA （）A ．4B ．3C ．2D ．125．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b ，则AF （）A ．1344a b B ．2133a b +r r C ．3144a b D ．1233a b 6．在三角形ABC 中，已知D ，E 分别为CA ，CB 上的点，且15AD AC ，13BE BC ，AE 与BD 交于O 点，若CO mCA nCB ，则mn 的值为___________.7．如图，在ABC 中，已知182,,,,49AD DC BE BC AF AE AB a AC b .(1)用向量,a b 分别表示AF 与BD ；(2)证明：,,B F D 三点共线.8．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，且2AB CD ，设,AD a BC b .(1)试用a 和b 表示AC ；(2)若点P 满足34AP a b ，且,,B D P 三点共线，求实数 的值.。

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1） 平面向量的坐标表示 ：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影： ︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ） 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ） 叫做 向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直 ：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； 其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【 变 式】 设 x, y R, 向 量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（ ）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

平面向量的实际背景及基本概念[新知初探]1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量能比较大小．()(2)向量的模是一个正实数．()(3)单位向量的模都相等．()(4)向量AB与向量BA是相等向量．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的个数()A．1B．2C．3D．4答案：B3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用MN表示B．方向是由M指向NC．始点是M D．终点是M答案：D4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有______．答案：AB，DC向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[解析]对于①，|AB|＝|BA|＝AB，故①正确；对于②，平行向量包括方向相同或相反两种情况，故②错误；对于③，向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来，故③错误；对于④，0是一个向量，而0是一个数量，故④错误．[答案]①(1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手①是否有大小；②是否有方向．(2)理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：选A对于①，由共线向量的定义，知两向量不平行，方向一定不相同，故①正确；对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a|＝|b|，只能说明a，b的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误；对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[解](1)由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．(2)由于点B在点A正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如图所示．用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.解：如图所示．共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.(3)与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．解：与向量BC相等的向量有OD，AO，FE.2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？解：由正六边形性质知，△FOA为等边三角形，所以边长AF＝|a|＝1.寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量解析：选C向量AB∥CD包含AB所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错；C显然正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错．2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：选C由图可知OB，OC，AO是模相等的向量，其模均等于圆的半径，故选C.3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B根据共线向量定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B.4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C根据向量的基本概念可知与AE平行的向量有BE，FD，FC，共3个．5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|解析：选D由于a与b的方向不知，故AO与BO无法判断是否相等，故A、B选项均错．又AO与BO均为单位向量．∴|AO|＝|BO|，故C错D对．6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.解析：由勾股定理可知，BC＝AC2－AB2＝3，所以|BC|＝ 3.答案： 37．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因为a0，b0是单位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：若a＝b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；若|a|＝|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；零向量与任意向量平行，所以若|a|＝0或|b|＝0，则a∥b.答案：①③④9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC.(2)与OA的模相等的向量有：OB，OC，OD，BO，CO，DO，AO.10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．解：(1)向量AD，DC，CB，AB如图所示．(2)由题意知AD＝BC.所以AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形．所以AB＝DC，则B地相对于A地的位移为“在北偏东60°的方向距A地6千米”．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF解析：选D根据相等向量的定义，分析可得：A中，AD与BC方向不同，故AD＝BC错误；B中，AC与BD方向不同，故AC＝BD错误；C中，PE与PF方向相反，故PE＝PF错误；D中，EP与PF方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故EP＝PF正确．2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．终点相同的两个向量不共线C．若a≠b，则a一定不与b共线D．单位向量的长度为1解析：选D A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，对于两个向量不相等，可能是长度不相等，但方向相同或相反，所以a与b可能共线．3．若a为任一非零向量，b为单位向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正确的是()A．①④B．③C．③④D．②③解析：选B a为任一非零向量，所以|a|＞0，故③正确；由向量、单位向量、平行向量的概念易判断其他式子均错误．故选B.4．在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，则如图所示的向量中相等向量有()A．一组B．二组C．三组D．四组解析：选A由向量相等的定义可知，只有一组向量相等，即CE＝EA.5．四边形ABCD满足AD＝BC，且|AC|＝|BD|，则四边形ABCD是______(填四边形ABCD的形状)．解析：∵AD＝BC，∴AD∥BC且|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD是平行四边形．又|AC|＝|BD|知该平行四边形对角线相等，故四边形ABCD是矩形．答案：矩形6.如图，O是正三角形ABC的中心，四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量AD相等的向量为________；与向量OA共线的向量为__________；与向量OA的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)解析：∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，易知四边形AOCD和四边形AOBE均为菱形，∴与AD相等的向量为OC；与OA共线的向量为DC，EB；与OA的模相等的向量为OB，OC，DC，EB，AD.答案：OC DC，EB OB，OC，DC，EB，AD7．如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点．(1)写出图中所示向量与向量DE长度相等的向量．(2)写出图中所示向量与向量FD相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE，FD共线的向量．解：(1)与DE长度相等的向量是EF，FD，AF，FC，BD，DA，CE，EB.(2)与FD相等的向量是CE，EB.(3)与DE共线的向量是AC，AF，FC；与FD共线的向量是CE，EB，CB.8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．解：(1)要使AB ＝0，当且仅当点A 与点B 重合，于是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－22.(2)如图，要使得AB 是单位向量，必须且只需|AB |＝1.由已知，l ∥m 且点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫0，－22， 所以B 1点的坐标是⎝⎛⎭⎫22，0.在Rt △AOB 1中，有|1AB |2＝|OA |2＋|1OB |2＝⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222＝1，即|1AB |＝1.上式表示，向量1AB 是单位向量． 同理可得，当B 2的坐标是⎝⎛⎭⎫－22，－2时，向量AB 2―→也是单位向量． 综上有，当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝22，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－2时，向量AB 是单位向量．平面向量的线性运算2．2.1 向量加法运算及其几何意义[新知初探]1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC结论向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC图形法则平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作OACB结论对角线OC就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a.2．向量加法的运算律运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量相加结果可能是一个数量．()(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．()(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．对任意四边形ABCD，下列式子中不等于BC的是() A．BA＋AC B．BD＋DA＋AC C．AB＋BD＋DC D．DC＋BA＋AD答案：C3．边长为1的正方形ABCD中，|AB＋BC|＝()A．2 B． 2C．1 D．2 2答案：B4．NQ＋QP＋MN＋PM＝______.答案：0向量加法及其几何意义[典例]如图1，图2，图3所示，求作向量和．[解]如图中①，②所示，首先作OA＝a，然后作AB＝b，则OB＝a＋b.如图③所示，作AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，再作CD＝c，则AD＝AC＋CD＝(a＋b)＋c，即AD＝a＋b＋c.应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题(1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．(3)求作三个或三个以上的向量和时，用三角形法则更简单．[活学活用]如图，已知a，b，c，求作向量a＋b＋c.解：作法：在平面内任取一点O，如图所示，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，则OC＝a＋b＋c.向量加法运算[例2]化简或计算：(1)CD＋BC＋AB；(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.[解](1)CD＋BC＋AB＝(AB＋BC)＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)AB＋DF＋CD＋BC＋FA＝(AB＋BC)＋(CD＋DF)＋FA＝AC＋CF＋FA＝AF＋FA＝0.解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示，画出图形进行化简或计算．(2)要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将0写成0.[活学活用]如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心．则①AB＋CD＝________；②AB＋AF＋BC＝________；③OC＋OD＋EF＝________.解析：①AB＋CD＝AB＋AF＝AO.②AB＋AF＋BC＝AO＋BC＝AO＋OD＝AD.③OC＋OD＋EF＝OC＋OD＋OA＝OC.答案：①AO②AD③OC层级一学业水平达标1．下列等式错误的是()A．a＋0＝0＋a＝a B．AB＋BC＋AC＝0C．AB＋BA＝0 D．CA＋AC＝OA＋CO＋AC解析：选B由向量加法可知AB＋BC＋AC＝AC＋AC＝2AC.2．(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于()A．BC B．ABC．AC D．AM解析：选C原式＝AB＋MB＋BO＋BC＋OM＝(AB＋BC)＋(MB＋BO＋OM)＝AC＋0＝AC.3．下列各式不一定成立的是()A．a＋b＝b＋a B．0＋a＝aC．AC＋CB＝AB D．|a＋b|＝|a|＋|b|解析：选D A成立，为向量加法交换律；B成立，这是规定；C成立，即三角形法则；D不一定成立，只有a，b同向或有一者为零向量时，才有|a＋b|＝|a|＋|b|.4．在矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，则向量AB＋AD＋AC的长度等于() A．25B．4 5C．12 D．6解析：选B因为AB＋AD＝AC，所以AB＋AD＋AC的长度为AC的模的2倍，故答案是4 5.5．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|.其中正确的是() A．①③B．②③C．②④D．①②解析：选A∵在平行四边形ABCD中，AB＋CD＝0，BC＋DA＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．6．PQ＋OM＋QO＋MQ＝________.解析：原式＝PQ＋QO＋OM＋MQ＝PQ＋QM＋MQ＝PQ.答案：PQ7．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，AC＝c，BC＝b，则|a＋b＋c|＝________.解析：|a ＋b ＋c |＝|AB ＋BC ＋AC |＝|AC ＋AC |＝2|AC |＝2 2. 答案：2 28.如图，在平行四边形ABCD 中， (1)AB ＋AD ＝________； (2)AC ＋CD ＋DO ＝________； (3)AB ＋AD ＋CD ＝________； (4)AC ＋BA ＋DA ＝________. 解析：(1)由平行四边形法则可知为AC . (2)AC ＋CD ＋DO ＝AD ＋DO ＝AO . (3)AB ＋AD ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD .(4)AC ＋BA ＋DA ＝BA ＋AC ＋DA ＝BC ＋DA ＝0. 答案：(1)AC (2)AO (3)AD (4)09.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：①DG ＋EA ＋CB ； ②EG ＋CG ＋DA ＋EB .解：①DG ＋EA ＋CB ＝GC ＋BE ＋CB ＝GC ＋CB ＋BE ＝GB ＋BE ＝GE . ②EG ＋CG ＋DA ＋EB ＝EG ＋GD ＋DA ＋AE ＝ED ＋DA ＋AE ＝EA ＋AE ＝0.10．如图所示，中心为O 的正八边形A 1A 2…A 7A 8中，a i ＝1＋i i A A (i ＝1,2，…，7)，b j ＝j OA (j ＝1,2，…，8)，试化简a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7.解：因为3OA ＋7OA ＝0， 所以a 2＋a 5＋b 2＋b 5＋b 7＝23A A ＋56A A ＋2OA ＋5OA ＋7OA ＝(2OA ＋23A A )＋(5OA ＋56A A )＋7OA ＝6OA ＝b 6.层级二 应试能力达标1.已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( )A．FD＋DA＝FAB．FD＋DE＋EF＝0C．DE,＋DA＝ECD．DA＋DE＝FD解析：选D由向量加法的平行四边形法则可知，DA＋DE＝DF≠FD.2．下列命题错误的是()A．两个向量的和仍是一个向量B．当向量a与向量b不共线时，a＋b的方向与a，b都不同向，且|a＋b|＜|a|＋|b| C．当向量a与向量b同向时，a＋b，a，b都同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|D．如果向量a＝b，那么a，b有相同的起点和终点解析：选D根据向量的和的意义、三角形法则可判断A、B、C都正确；D错误，如平行四边形ABCD中，有AB＝DC，起点和终点都不相同．3．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足PA＋PB＝PC，则下列结论中正确的是()A．P在△ABC的内部B．P在△ABC的边AB上C．P在AB边所在的直线上D．P在△ABC的外部解析：选D PA＋PB＝PC，根据平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外部．4．下列命题正确的是()A．如果非零向量a，b的方向相反或相同，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同B．若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为三角形的三个顶点C．设a≠0，若a∥(a＋b)，则a∥bD．若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0解析：选C当a＋b＝0时，A选项不正确；若AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C三点共线或A，B，C为三角形的三个顶点，故B选项不正确；若a与b不共线，则a＋b与a不共线，故C选项正确；若|a|－|b|＝|a＋b|，则b＝0或b≠0(a与b反向共线，且|a|＞|b|)，故D选项不正确．5．如果|AB|＝8，|AC|＝5，那么|BC|的取值范围为________．解析：根据公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|直接来计算．答案：[3,13]6．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解析：如图所示，设AB＝a，BC＝b，则AC＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC|＝82，∠BAC＝45°.答案：8 2 km北偏东45°7.如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：AB＋AC＝AP＋AQ.证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC，∴AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC.∵PB与QC大小相等，方向相反，∴PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.8.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d.(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则OD＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，所以|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.2．2.2向量减法运算及其几何意义[新知初探]1．相反向量与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；(2)－(－a)＝a；(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.[点睛]相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)几何意义：以O为起点，作向量OA＝a，OB＝b，则BA＝a－b，如图所示，即a －b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．[点睛]在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的差仍是一个向量．()(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()(4)相反向量是共线向量．()答案：(1)√(2)√(3)√(4)√2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是() A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反答案：A3．化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于()A．QP B．OQ C．SP D．SQ答案：B4．在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为______．答案：BA，CD向量的减法运算[典例]化简：(1)(AB－CD)－(AC－BD)；(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)．[解](1)(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.(2)(AC＋BO＋OA)－(DC－DO－OB)＝(AC＋BA)－(OC－OB)＝BC－BC＝0.(1)向量减法运算的常用方法(2)向量加减法化简的两种形式①首尾相连且为和；②起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．[活学活用]化简下列各式：(1)AB－AC－DB；(2)AB＋BC－AD；(3)AB－CD－DB.解：(1)AB－AC－DB＝CB＋BD＝CD.(2)AB＋BC－AD＝AC－AD＝DC.(3)AB－CD－DB＝AB＋DC＋BD＝AB＋BD＋DC＝AC.向量的减法及其几何意义[典例]如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.[解]法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作OC＝c，则CB＝a＋b－c.法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，则OC＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．在本例的条件下作出向量：①a－b＋c；②a－b－c.解：如图所示．利用已知向量表示未知向量[典例]如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB＝a，AC＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.[解]因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示BE与CE.解：BE＝AE－AB＝c－a，CE＝AE－AC＝c－b.2．[变条件]本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，BD＝BC＋CD＝b－a＋c.用几个基本向量表示其他向量的一般步骤(1)观察待表示的向量位置；(2)寻找相应的平行四边形或三角形；(3)运用法则找关系，化简得结果．层级一学业水平达标1．在三角形ABC中，BC＝a，CA＝b，则AB＝()A．a－b B．b－aC．a＋b D．－a－b解析：选D AB＝CB－CA＝－BC－CA＝－a－b.2．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|BC－AC|的值为()A．0 B．1C. 3 D．2解析：选B|BC－AC|＝|BC＋CA|＝|BA|＝1.3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A．EF＝OF＋OE B．EF＝OF－OEC．EF＝－OF＋OE D．EF＝－OF－OE解析：选B EF＝EO＋OF＝OF－OE.故选B.4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量OD等于()A．a＋b＋c B．a－b＋cC．a＋b－c D．a－b－c解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有OD＝OA＋AD＝OA＋BC＝OA＋OC－OB＝a－b＋c.5．下列各式能化简为AD的个数是()①(AB－DC)－CB②AD－(CD＋DC)③－(CD＋MC)－(DA＋DM)④－BM－DA＋MBA．1 B．2C．3 D．4解析：选C①中，(AB－DC)－CB＝AB＋CD＋BC＝AB＋BD＝AD；②中，AD－(CD＋DC)＝AD－0＝AD；③中，－(CD＋MC)－(DA＋DM)＝－MD－DA－DM＝DM＋AD－DM ＝AD；④中，－BM－DA＋MB＝MB＋AD＋MB＝AD＋2MB.6．下列四个等式：①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③AB＋BC＋CA＝0；④a＋(－a)＝0，其中正确的是______(填序号)．解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．答案：①②③④7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.答案：0 28．在△ABC中，D是BC的中点，设AB＝c，AC＝b，BD＝a，AD＝d，则d－a ＝______，d＋a＝______.解析：根据题意画出图形，如图所示，则d－a＝AD－BD＝AD＋DB＝AB＝c；d＋a＝AD＋BD＝AD＋DC＝AC＝b.答案：c b9．化简：(1)MN－MP＋NQ－PQ；(2)BD＋DC＋AB－AC.解：(1)MN－MP＋NQ－PQ＝(MN＋NQ)－(MP＋PQ)＝MQ－MQ＝0.(2)BD＋DC＋AB－AC＝(BD＋DC)＋(AB－AC)＝BC＋CB＝0.10．设O是△ABC内一点，且OA＝a，OB＝b，OC＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示DC，OH，BH.解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，∴OD＝OA＋OB＝a＋b，∴DC＝OC－OD＝c－(a＋b)＝c－a－b.又四边形ODHC为平行四边形，∴OH＝OC＋OD＝c＋a＋b，∴BH＝OH－OB＝a＋b＋c－b＝a＋c.层级二应试能力达标1．已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则() A．a＋b＋c＋d＝0B．a－b＋c－d＝0C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0解析：选B如图，a－b＝OA－OB＝BA，c－d＝OC－OD＝DC，又四边形ABCD为平行四边形，则BA＝CD，即BA－CD＝0，所以BA＋DC＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.2．平面上有三点A，B，C，设m＝AB＋BC，n＝AB－BC，若m，n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：选C∵|m|＝|n|，AB＋BC＝AB－CB，AB－BC＝AB＋CB，∴|AB－CB|＝|AB＋CB|，如图．即▱ABCD的对角线相等，∴▱ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|AB|＝2，则|BC＋DC|＝()A. 3 B．2 3C. 2 D．2 2解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，∵BC＋DC＝AD＋DC＝AC，∠DAB＝60°，∴△ABD为等边三角形．又∵AB＝2，∴OB＝1.在Rt△AOB中，|AO|＝|AB―→|2－|OB―→|2＝3，∴|AC|＝2|AO|＝2 3.4．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：(1)|AB－AC|＝|AB＋AC|；(2)|BC－BA|＝|CB－CA|；(3)|AB－CB|＝|AC－BC|；(4)|AB－AC|2＝|BC－AC|2＋|CB－AB|2.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选D如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF等于________．解析：EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.答案：b－c6．对于向量a，b，当且仅当____________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.答案：a与b同向7.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，OF＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：(1)AC；(2)AD；(3)DF＋FE＋ED.解：(1)AC＝OC－OA＝c－a.(2)AD＝AO＋OD＝－OA＋OD＝－a＋d.(3)DF＋FE＋ED＝DO＋OF＋FO＋OE＋EO＋OD＝0.8.如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c.(2)a－b＋c.解：(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2 2.所以|a＋b＋c|＝2 2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－b，所以a－b＋c＝DB＋BF＝DF，且|DF|＝2，所以|a－b＋c|＝2.2．2.3向量数乘运算及其几何意义[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a－b)＝λa－λb.[点睛](1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.2．向量共线的条件向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.[点睛](1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)λa的方向与a的方向一致．()(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．()(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.()答案：(1)×(2)×(3)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()A．b＝2a B．b＝－2aC．a＝2b D．a＝－2b答案：A3．在四边形ABCD中，若AB＝－12CD，则此四边形是()A．平行四边形B．菱形C．梯形D．矩形答案：C4．化简：2(3a＋4b)－7a＝______.答案：－a＋8b。