竞赛课件9：动量与动量守恒

v
B x
Mgh 2 gh M F t t 2 gh F l l 2 当左边绳全部落下并伸下时,h=l F Mg
挂钩不断的条件是
2 gh 甲 2
C
x
乙
FN > 2 Mg
一根铁链，平放在桌面上，铁链每单位长度的质量为 λ．现用手提起链的一端，使之以速度 v竖直地匀速上升，试求在从 一端离地开始到全链恰离地，手的拉力的冲量，链条总长为L． 图示是链的一微元段离地的情景，该段微元长 x L n 0 n 该段微元质量 m x
而在t时间内对系统有
F mA mB g t T mB vB
设绳断时A、B速度为V，绳断后A运 动时间为T;则在t+T时间内对系统有
A
B
F
如图所示，椭圆规的尺AB质量为2m，曲柄OC质量为m， 而套管A、B质量均为M．已知OC=AC=CB=l；曲柄和尺的重心分别在其中点上； 曲柄绕O轴转动的角速度ω为常量；开始时曲柄水平向右，求：曲柄转成竖直向上 过程中，外力对系统施加的平均冲量．
mv mΔv θ
F t 2 v S sin cos 90 mv 2 2 Fy 2v S sin cos 2sin4 cos2
2
2 Sv 2
2 2
2 Sv
2
根据基本不等式性质
1 当2cos 1 cos , cos 时 3 4 3 Sv 2
曲柄质心速度v
l
A
pt C
如图所示，光滑的水平面上停着一只木球和载人小车，木 球质量为m，人和车总质量为M，已知M∶m=16∶1，人以速率v沿水平面将木球 推向正前方的固定挡板，木球被挡板弹回之后，人接住球后再以同样的对地速率 将球推向挡板．设木球与挡板相碰时无动能损失．求人经过几次推木球后，再也 不能接住木球？
设圆环位移大小为x，并以向左为正:
R M O
m
有 0 m R x Mx
m 即 x R Mm
“－”表示环位移方向向 右
R x
气球质量为M，下面拖一条质量不计的软梯，质量为m 的人站在软梯上端距地面高为H，气球保持静止状态，求⑴人能安全 到达地面，软梯的最小长度；⑵若软梯长为H，则人从软梯下端到上 端时距地面多高？ ⑴以向下为正，用位移表速度
2 2
2 1 cos cos2
2
Fy Fmax
9
♠ 反冲模型
0 m1v1 m2 v 2
※系统总动量为零
Sm 2 在系统各部分相互作用过程的各瞬间，总有 v1 : v2 : t t 0m s m s
m1
※平均动量守恒 m M 0m 1 v1 m2 v 2 ※常以位移表示速度 S
♠ 动量定理
I p Ft mv mv
t
0
♠ 动量定理的应用
(1)遵从矢量性与独立性原理
(2)合理与必要的近似
(3)尽量取大系统与整过程 Ii pi
如图所示，顶角为2θ、内壁光滑的圆锥体倒立竖直固定在P点， 中心轴PO位于竖直方向，一质量为m的质点以角速度ω绕竖直轴沿圆锥内壁做匀 速圆周运动，已知a、b两点为质点m运动所通过的圆周一直径上的两点，求质点 m从a点经半周运动到b点，圆锥体内壁对质点施加的弹力的冲量．
0 m L x Mx
人对船的位移 向右取正
m 船对地的位移 x L ±未知待求 m M
x
O
S人
“－”表示船的位移方向向左
如图所示，质量为M、半径为R的光滑圆环静止 在光滑的水平面上，有一质量为m的小滑块从与O等高处 开始无初速下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大 小为________．
F m m g A B t mA mB V 其中 F F m m g mB g m A BA V g T T t t mA A mB m g Bm F m A mB g Ft vB mB m A mB g


反弹空气动量变化量

φ
F2
Δmv
p 2 v sin t S v sin 2 2 2 S v sin t
由动量定理,帆(船)对风的冲力 帆(船)受到的前进动力F2为
Δp
Δmv
F t 2 S v 2 sin2 t F2 2 S v 2 sin2 sin
专题9-例3
松开左缆绳,自由下落h时，左侧绳速度为 2 gh
挂钩所受的力由两部分组成：一是承静止悬挂在 钩下的那部分缆绳的重；一是受紧接着落向静止 部分最下端的绳元段的冲力F，挂钩不被拉断，这 两部分力的总和不得超过钩的最大负荷
因时间极短内,忽略重力冲量,元段的平均速度取
研究左边绳处于最下端的极小段绳元Δx:受右 边静止绳作用,使之速度在极短时间Δt内减为0, A 由动量定理 F t m v
h
对整个水车，水平方向受墙壁的压力F，在时间Δt内有质量为
2 gh t a的水获得速度 2 gh
由动量定理:
F t 2 gh t a 2 gh
F 2 ahg
水车加于墙壁的压力是该力的反作用力 ,大小为
F 2 ahg
逆风行船问题: 如图,帆船在逆风的情况下仍能 只依靠风力破浪航行．设风向从B向A．位于A点处的帆船要想在 静水中最后驶达目标B点，应如何操纵帆船？要说明风对船帆的作 用力是如何使船逆风前进达到目标的．
专题9-例4
设计如示航线
航向与风向成θ 角 风帆与船行方向成φ 角
F风对帆 A
航线
风向
B
F1
φ
F2
船帆 风向 B
A 只要适时地改变 船身走向，同时 调整帆面的方位， 船就可以依靠风 风吹到帆面，与帆面发生弹性碰撞后以同样的反射 角折回．风与帆的碰撞，对帆面施加了一个冲量， 力沿锯齿形航线 使船受到了一个方向与帆面垂直的压力F，这个力 沿船身方向及垂直于船身方向的分力F1和F2，F2正 从A驶向B．
船沿航线方向的动力大小与扬帆方向有关，帆面 与船行方向的夹角φ适当，可使船获得尽大的动力．
放风筝时，风沿水平方向吹来，要使风筝得到最大上 升力，求风筝平面与水平面的夹角．设风被风筝面反射后的方向遵 守反射定律．
Fy 设风筝面与水平成θ角，风对风 筝的冲力为F，其中作为风筝升 风筝截面 F 力的分量为Fy，风筝面积为S， m vt S sin 右图给出各矢量间关系 由动量定理：
分析受力： 运动半周动量变化量为 其中轨道半径r由 合外力冲量为
2
p 2mv 2mr
g
2
O
mg cot mr r
IG mg 重力冲量为 弹力冲量为 I mg 2cot 2 2 N

g I 2m cot
m a cot 2θ
b
是船沿航线前进的动力，F1则有使船侧向漂移的作 用，可以认为被水对船的横向阻力平衡．
续解
将风即运动的空气与帆面的碰撞简化为弹性碰撞! F1 设帆面受风面积为S，空气密度为ρ，风速为 v，在Δt时间内到达帆面并被反弹的空气质 F风对帆 量是 m v sin t S
⑵以向上为正，用位移表速度，
0 mH M L H Mm L H M H
0 mh M H h M h H Mm
H
L-汽球相对人 上升高度即绳 梯至少长度 人上升高度h
如图所示浮动起重机（浮吊）从岸上吊起m=2 t 的重物．开始时起重杆OA与竖直方向成60°角，当转到杆与竖直 成30°角时，求起重机的沿水平方向的位移．设起重机质量为 M=20 t，起重杆长l=8 m，水的阻力与杆重均不计．
专题9-例1
确定曲柄m、尺2m、套管A、B质 心的速度，确定质点系的动量变 化，对系统运用动量定理
曲柄、尺的质心及套管A、B的速度相关关系如示
p
p0
m l 动量 p 2 B 2 尺质心速度 vc l 动量 pc 2m l O v An v 套管A速度 A pAB 2 M l vC 套管B速度 5 系统动量大小不变为 p m 2 M l vC A 2 由动量定理，在从水平变成竖直过程中 v C C v 5 B I pt p0 2 m 2 M l v An t 2 O
设该元段从静止到被提起历时Δt， 那么竖直上升部分长x的链条在手的拉 力F、重力的冲量作用下，发生了末段 微元动量的变化，由动量定理:
x Δx F xg= v v2 t L 2 2 F v xg gvt v t 0, 力随时间线性变化，故可用算术平均力求整个过程手拉力F的总冲量： v 2 gL 1 L 2 Lv I v gL 2 2v v
专题9-例2
对木球与载人小车这个系统， 动量从初时的0，到最终末动 量至少为（M+m）v，是墙对 木球冲量作用的结果：
n 2mv m M v
17 n 2
经9次推木球后，再也接不住木球
一根均匀的不可伸缩的软缆绳全长为l、质量为M．开始时， 绳的两端都固定在邻近的挂钩上，自由地悬着，如图（甲）．某时刻绳的一端松 开了，缆绳开始下落，如图（乙），每个挂钩可承受的最大负荷为FN（大于缆绳 的重力Mg），为使缆绳在下落时，其上端不会把挂钩拉断，Mg与FN必须满足什 么条件？假定下落时，缆绳每个部分在达到相应的最终位置之后就都停止不动．
2 gh
B. 0
C. 2 2 gh
D. –v0