2017北京101中学高一(上)期中数学

北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷一、 选择题：本大题共8小题，共40分.1. 设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N C M = （ ）A. {}1B. {}3,5C. {}1,3,4,5D. {}1,2,3,5,62. 已知平面直角坐标系内的点()1,1A ，()2,4B ，()1,3C -，则AB AC -=( )A. 8 D.10 3. 已知1sin cos 5αα+=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是（ ） A. 34-B. 43C. 34D.43- 4. 已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移8π个单位长度 B. 向右平移8π个单位长度 C. 向左平移4π个单位长度 D. 向右平移4π个单位长度5. 已知a 与b 是非零向量且满足()3a b a -⊥ ，()4a b b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ）A.6π B. 3π C. 23π D. 56π 6. 已知,,,E F G H 分别是四边形ABCD 的所在边的中点，若()()0AB BC BC CD +⋅+=，则四边形EFGH 是（ ）Ａ．平行四边形但不是矩形 Ｂ．正方形 Ｃ． 菱形 Ｄ．矩形 7. 设偶函数()log a f x x b =-在(),0-∞是递增函数，则()1f a +与()2f b +的大小关系是（ ）Ａ．()()12f a f b +=+ Ｂ．()()12f a f b +<+Ｃ．()()12f a f b +>+ Ｄ．不确定8. 已知O 为平面内一点，,,A B C 是平面内不共线的三点，且()12OP OB OC =++cos cos AB AC AB B AC C λ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭，()0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定过ABC ∆的（ ） Ａ．内心 Ｂ．垂心 Ｃ．重心 Ｄ．外心二、填空题：本大题共6小题，共30分9. 若()3f x x =，则满足()1f x <的x 的取值范围是___________.10. 若函数()234f x x x =-+在[]1,3x ∈-上的最大值和最小值分别为,a b ，则a b +=___11. 已知向量()2,1a = ，()1,2b =- ，若()9,8ma nb +=-，则m n -的值为_________.12. 若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--=_________.13. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点，若BE BA BD λμ=+(),R λμ∈，则________.λμ+=BD14. 已知点O 为三角形ABC 内一点，230OA OB OC ++= ，则ABC AOCSS ∆∆=__________.三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 设全集U R =，集合{}13A x x =-≤<，{}242B x x x =-≥-. （1）求()U C A B ；（2）若集合{}0C x x a =->，满足B C C = ，求实数a 的取值范围.16. 求值：()()()tan150cos 210sin 420sin1050cos 600︒-︒-︒︒-︒17. 已知()1,2a = ，()1,1b =，且a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.18. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，πϕπ-<≤）在6x π=处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为2π. （1）求()f x 的解析式； （2）求函数()4226cos sin 1226x x g x x f π--=⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域.19. 设函数()424xxf x =+ （1）用定义证明：函数()f x 是R 上的增函数； （2）证明：对任意的实数t 都有()()11f t f t +-=； （3）求值：1232015...2016201620162016f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.北京101中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试卷参考答案一、 选择题：本大题共8小题，共40分.二、填空题：本大题共6小题，共30分9. (),1-∞ 10.39411. 3- 12. 7513.34 14. 72三、解答题：本大题共5小题，共50分.15. 解：（1）依题意知：集合{}13A x x =-≤<，{}2B x x =≥（解不等式242x x -≥-可得：2x ≥） 故{}23A B x x =≤<又U R = 从而(){}23U C A B x x x ⋂=<≥或（2）易知集合{}{}0C x x a x x a =->=> 由B C C = 可得：B C ⊆ 故有2a <即所求实数a 的取值范围是(),2-∞16. 解：由诱导公式可得：()tan150tan 18030tan 303︒=︒-︒=-︒=-()()cos 210cos 210cos 18030cos30-︒=︒=︒+︒=-︒= ()()sin 420sin 420sin 36060sin 60-︒=-︒=-︒+︒=-︒= ()1sin1050sin 336030sin 302︒=⨯︒-︒=-︒=-()()1cos 600cos 600cos 318060cos 602-︒=︒=⨯︒+︒=-︒=-故原式4111422⎛ ⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭17. 解：根据向量的坐标运算可得：()1,2a b λλλ+=++由a 与a b λ+ 的夹角为锐角可得：()0a a b λ⋅+>而()1,2a =，故有()()1++22+=3+50λλλ>从而可得：53λ>-即所求实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18. 解：（1）由题意可得：()max 2f x A ==，22T T ππ=⇒= 于是222T ππωπ=== 故()()2sin 2f x x ϕ=+ 由()f x 在6x π=处取得最大值2可得：222626k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=+()k Z ∈又πϕπ-<< 故6πϕ=因此()f x 的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）由（1）可得：2sin 22sin 2cos 262662x x f x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故()()()4226cos 1cos 12cos 2x x g x x ---=-4226cos cos 24cos 2x x x +-=- ()()()2223cos 22cos 122cos 1x x x +-=-23cos 22x +=23cos 12x =+ 21cos 2x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ 令2cos t x =，可知01t ≤≤且12t ≠ 即211cos 0,,122x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦从而()7751,,442g x ⎡⎫⎛⎤∈⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦因此，函数()g x 的值域为7751,,442⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦19. 解：（1）证明：在定义域R 上任取两个自变量值12,x x 且12x x <()()()()()()()()()122112121212121242442424444242424242424x x x x x x x x x x x x x x f x f x +-+--=-==++++++ 由12x x <可得：12440xx-<从而()()120f x f x -< 即()()12f x f x <根据函数单调性的定义可得：函数()f x 在R 上为增函数.（2）证明：因为()()114412424t tt tf t f t --+-=+++ ()()()()1114244242424t t t t tt---+++=++()()112448142444tt tt--++==+++ 故对任意的实数t 都有()()11f t f t +-= （3）由（2）可得：12015120162016f f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22014120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32013120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，...... ，20151120162016f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令1232015...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则2015201420131...2016201620162016f f f f M ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上下等式左右两边分别相加可得：201512M ⨯= 故可得：20152M = 因此，12320152015...20162016201620162f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

北京101中学2016-2017学年下学期高一年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．在中，，，，则边的值为（）．ABC △4a =60A =︒45B =︒bA ．B ．C ．D ．3642+1+【答案】A【解析】根据正弦定理，可得， sin sin a b A B =4sin 60sin 45b=︒︒∴， 4sin 45sin 60b ︒==︒∴项正确． A2．已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．{}n a 21a 3a 4a 2a A ． B ． C ． D ．933-6-【答案】D【解析】∵，，成等比数列，1a 3a 4a 所以有， 214ba a a =⋅，21(2)a d ⇒+， 11(3)a a d =+， 1a d ⇒⋅，24d =-又∵，∴， 2d =18a =-∴， 2826a =-+=-故选． D3．下列结论正确的是（）．A ．若，则B ．若，则 ac bc <a b <22a b <a b <C ．若，，则D ，则a b >0c <ac bc <<a b >【答案】C【解析】对于，若，不成立，A 0c <对于，若，均小于或，不成立，B a b 00b <对于，其中，，平方后有，不成立，D 0a ≥0b >a b <故选． C4．已知，，则的取值范围是（）．13a -≤≤24b ≤≤2a b -A ．B ．C ．D ．[]6,4-[]0,10[]4,2-[]5,1-【答案】A【解析】∵，∴， [1,3]a ∈-2[2,6]a ∈-∵，∴， [2,4]b ∈[4,2]b -∈--则， 2[6,4]a b -∈-故选． A5．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则（）．ABC △A B C a b c 2b ac =2c a =cos B =A ．B ．C ．D ．41434232【答案】B【解析】将代入得：， 2c a =222b ac a ==即，b =∴， 2222222423cos 244a cb a a a B ac a +-+-===故选． B6．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列三个函数：，，则（）．1si c )s (n o f x x x =+2()f x x =3()sin f x x =A ．，，为“同形”函数1()f x 2()f x 3()f x B ．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 1()f x 2()f x 3()f x C ．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 1()f x 3()f x 2()f x D ．，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数 2()f x 3()f x 1()f x 【答案】B【解析】∵， 1()sin cos f x x x =+，π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 2()f x x =+，3()sin f x x =则，为“同形”函数，且它们与不为“同形”函数， 1()f x 2()f x 3()f x 选． B7．已知函数，若且，则的值是（）．21()(2cos 1)sin2cos 42f x x x x =-+π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f α=αA ．B ．C ．D ．5π811π169π167π8【答案】C【解析】，1()cos 2sin 2cos 42f x x x x =+， 11sin 4cos 422x x =+， 1(sin 4cos 4)2x x =+， π44x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴， π9174π,π444α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭若即，()f α=ππ42π()42x k k +=+∈Z ，当时， ππ162kα=+1k =， 9π16α=故选． C8．已知，，且对任意，都有： (1,1)1f =(,)(,)f m n m n ∈∈N N **m n ∈N *①；②．(,1)(,)2f m n f m n +=+(1,1)2(,1)f m f m +=以下三个结论：①；②；③． (1,5)9f =(5,1)16f =(5,6)26f =其中正确的个数为（）．A ．B ．C ．D ．0123【答案】D【解析】∵，，(,1)(,)2f m n f m n +=+(1,1)1f =∴是以为首项，为公差的等差数列， {}(,)f m n 12∴． (1,)21f n n =-又∵，(1,1)2(,1)f m f m +=∴是以为首项为公比的等比数列， {}(,1)f m 12∴， (,1)21f n n =-∴．(,1)2 12f m n m n +=-+由，故（）正确． (1,5)2519f =⨯-=1由，故（）正确． (5,1)2416f ==2由，故（）正确． (5,6)242626f =+⨯=3故答案为． 3二、填空题共6小题．9．在等差数列中，，，则前项之和__________． {}n a 14739a a a ++=36927a a a ++=99S =【答案】99【解析】在等差数列中，，14739a a a ++=， 36927a a a ++=∴，，413a =69a =∴，又， 4622a a +=4619a a a a +=+∴数列的前项之和， {}n a 9199()92a a S +⨯=， 2292⨯=．99=10．已知，函数的最小值是__________． 1x >41y x x =+-【答案】 5【解析】∵， 1x >∴， 41y x x =+-， 411151x x =+-++=-≥当且仅当时，“”成立，故最小值为． 3x ==511．计算：__________． 1111133557(21)(21)n n ++++=⨯⨯⨯-+ 【答案】21nn +【解析】原式111111123352121n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭． 21nn =+12．在等比数列中，，，则数列的前项和__________． {}n a 12a =-454a =-{}n a n n S =【答案】13n -【解析】∵，∴，14254a a =-⎧⎨=-⎩327q =+即， 3q =+∴， 12(3)n n a -=⨯+∵，1(1)1n n a q S q-=-，2(13)13n --=-．13n =-13．在中，若，，成等差数列，且三个内角，，也成等差ABC △lgsin A lgsin B lgsin C A B C 数列，则的形状为__________． ABC △【答案】等边三角形【解析】∵，，成等差数列， lgsin A lgsin B lgsin C 得，即①， lgsin lgsin 2lgsin A C B +=2sin sin sin B A B =又三内角、、也成等差数列， A B C ∴， 60B =︒代入①得②， 3sin sin 4A B =设，， 60A α=︒-60B α=︒+代入②得， 3sin(60)sin(60)4αα︒+︒-=， 22313cos sin 444αα⇒-=即， 2cos 1α=∴， 0α=︒∴， 60A B C ===︒∴为等边三角形．14．给出下列命题：①若，则；②若，，则；③0a b <<11a b <0a >0b >2a b ab a b++若，则；④；⑤若，，则，；⑥正数0a b <<22a ab b >>lg9lg111⋅<a b >11a b>0a >0b <，满足，则的最小值为．其中正确命题的序号是__________． x y 111x y+=2x y +6【答案】②③④⑤【解析】①令，，，， 2a =-1b =-112a =-11b=-，不符合． 11a b>②若，，则（当且仅当时，取等号）， 0a >0b >2a b+a b =， 11ab a b -=-+， 00=>≥，综上，．ab a b +2a b aba b++③若，则，， 0a b <<20a ab >>20ab b >>因此，，故③正确． 22a ab b >>④，2lg9lg11lg9lg112+⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，22lg99lg100122⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故④正确． ⑤若，， a b >111100b aa b a b ab->⇔->⇔>∴，则， 0a bab-<0ab <∴，，0a >0b <⑤正确． ⑥正数，满足，则， x y 111x y +=112(2)x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，2123y xx y=++++≥⑥错，∴②③④⑤正确．三、解答题（共5小题，分值分别为8分、8分、10分、12分、12分，共50分）15．在中，，，分别是角，，的对边，且，．求： ABC △a b c A B C c =105A =︒30C =︒（）的值． 1b （）的面积．2ABC △【答案】（）（122【解析】（）∵，，∴， 1105A=︒30C =︒45B =︒又，， C =1sin 2C =∴由正弦定理得：．sinsin b c B C =sin 2sin C Bb C==（），， 22b =c =sin sin105A =︒，sin(6045)=︒+︒，sin60cos 45cos60sin 45=︒︒+︒︒ =+∴，1sin 2ABCS bc A =△，122=⨯ =16．某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与150250y 年产量（吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的x 230400010xx y +=-平均成本最低？并求出该最低成本．【答案】年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低为万元． 20010【解析】设每吨的平均成本（万元/）， W t 则，400030301010y x W x x ==+--=≥当且仅当，（）的每吨平均成本最低，且最低成本为万元． 400010x x=200x =t 1017．已知函数（，为常数）．ππ()sin 2sin 2cos 266f x x x x a ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ∈R a （）求函数的最小正周期． 1（）求函数的单调递减区间．2（）当时，的最小值为，求的值．3π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2-a 【答案】见解析【解析】（），1ππ()2sin 2cos cos 22cos 22sin 266f x x x a x x a x a ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭所以的最小正周期． ()f x 2ππ2T ==（）单调递减区间为．22ππ,π()63k k k π⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （）当时，，3π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当即时，取得最小值． π7π266x +=π2x =()f x 所以，所以．ππ2sin 2226a ⎛⎫⋅++=- ⎪⎝⎭1a =-18．设数列的前项和为，，数列为等比数列，且，． {}n a n n S 22n S n ={}n b 11a b =2211()b a a b -=（）求数列和的通项公式． 1{}n a {}n b （）设，求数列的前项和． 2nn na cb ={}n c n n T【答案】（），（） 142n a n =-1124n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭2565499n n n T -=+【解析】19．已知点在函数的图象上，数列的前项和为，数列(,)()n n a n ∈N *()22f x x =--{}n a n n S {}n b 的前项和为，且是与的等差中项． n n T n T 6n S 8n （）求数列的通项公式．1{}n b （）设，数列满足，．求数列的前项和．283n n c b n =++{}n d 11d c =()n n l d c n d +∈=N *{}n d n n D （）在（）的条件下，设是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数，，恒32()g x 1x 2x 有成立，且（为常数，），试判断数列121221()()()g x x x g x x g x =+(2)g a =a 0a ≠121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭是否为等差数列，并说明理由． 【答案】见解析【解析】（）依题意得，故． 122n a n =--14a =-又，即，268n n T S n =+34n n T S n =+所以，当时，． 2n ≥113()43462n n n n n n b T T S S a n --=-=-+=+=--又也适合上式， 111134348b T S a ==+=+=-故．62n b n =--（）因为，283628321n n c b n n n n =++=--++=+，因此．121n n d n d c d +==+112(1)(*)n n d d n ++=+∈N 由于，所以是首项为，公比为的等比数列． 113d c =={}1n d +114d +=2所以，所以．111422n n n d -++=⨯=121n n d +=-所以． 23124(21)2222421n n n n D n n n ++-=++⋯+-=-=---△△（）方法一：3， 111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭则． 111111111(2)2(2)2(2)(2)221224241n n n n n n n n n n n d d g g g g g a g a d d ----++-++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===+=+++所以． 111122114n n n n d d g g a d d --++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=++因为已知为常数，则数列是等差数列．a 121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭方法二：因为成立，且， 121221()()()g x x x g x x g x =+(2)g a =所以， 111(2)2(2)2(2)2n n n n d g g g g --+⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 1221222(2)22(2)2(2)22(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤=++=⨯+⎣⎦，123313322(2)22(2)2(2)32(2)2(2)n n n n n g g g g g -----⎡⎤⎣⎦=⨯++=⨯+，1111(1)2(2)2(2)2(2)2n n n n n g g n g an ----==-⨯+=⋅=⋅ 所以． 11122124n n n n d g an a n d -++⎛⎫⎪⋅⎝⎭==+所以数列是等差数列．121n n d g d ⎧+⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎬+⎪⎪⎪⎪⎩⎭。

2017-2018学年北京海淀十一学校高一上学期期中考试数学试题数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．设集合，集合，则 ________. 2．命题：2,0x x ∀∈≥R 的否定是 ． 3．满足条件的集合有__________个． 4．函数y x =的定义域为_________. 5．已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________． 6．设，，能表示从集合到集合的函数关系的是__________． A ． B ． 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C．D．7．函数的零点有__________个．8．__________．9．已知条件，条件，则是的__________．10．函数的最大值为_________.11．写出函数的单调递增区间__________．12．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．13．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．14．若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．15．已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．16．已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．17．已知函数224,0()4,0x x xf xx x x⎧+≥=⎨-<⎩，2(2)(),f a f a->则实数a的取值范围是_____________。

通州区2017-2018学年第一学期高一年级期中考试数学试卷第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|A x x x ==，那么（ ）．A ．0A ∈B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．{}0,1A ≠【答案】A【解析】{}2|A x x x ==， 解方程2x x =，即20x x -=， 得0x =或1， ∴{}0,1A =．故选A ．2．函数()lg(21)f x x =+的定义域为（ ）．A ．RB ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】()lg(21)f x x =+， 则210x +>，得12x >-，故()f x 定义域为1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．故选D ．3．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）．A ．2(1)y x =-B ．y =C ．2x y -=D ．0.5log y x =【答案】B【解析】A 中，2(1)y x =-在(,1)-∞上单调减， 在(1,)+∞上单调减，A 错误；B 中，y [0,)+∞上单调增，B 正确；C 中，122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上单调减，C 错误；D 中，0.512log log y x x ==，∵1012<<， ∴0.5log y x =在(0,)+∞上单调减，D 错误． 故选B ．4．下列各组函数中，()f x 与()g x 相等的是（ ）．A ．()1f x x =-，2()1x g x x =-B．()f x =()g x x = C ．()||f x x =，()g x =D ．2()ln f x x =，()2ln g x x =【答案】C【解析】A ．()1f x x =-定义域为R ，2()1x g x x=-定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故()()f x g x ≠，A 错误；B．()0f x =>，0x <时，()0g x x =<，故()()f x g x ≠．B 错误；C ．()||f x x =，()g x =∵||x ，且()f x 与()g x 定义域相同， ∴()()f x g x =，C 正确；D ．2()ln f x x =定义域为(,0)(0,)-∞+∞，()2ln g x x =定义域为(0,)+∞，故()()f x g x ≠，D 错误． 故选C ．5．已知函数2()f x x bx c =++的图象的对称轴是1x =，并且经过点(3,0)A ，则(1)f -等于（ ）．A ．6B ．2C ．0D ．4-【答案】C【解析】2()f x x bx c =++，对称轴为1212b bx -==-=⨯，得2b =-， 过(3,0)A ，知(3)93960f b c c =++=-+=， ∴3c =-，∴2()23f x x x =--， ∴(1)1230f -=+-=．6．函数12log 3x y x =-的零点所在的区间是（ ）．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】A 【解析】当14y =时， 1144121log 32304y =-=->，当1y =时，112log 1320y =-=-<．故y 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，故y 在(0,1)上有零点． 故选A ．7．若函数101(1)()lg (1)x x f x x x ⎧-=⎨>⎩≤，则((3))f f 等于（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】3x =时，()lg3f x =， 又lg31x =≤，∴(lg3)10lg31312f =-=-=， ∴((3))(lg3)2f f f ==．故选D ．8．数学老师给出一个定义在R 上的函数()f x ，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质：甲：在(,0]-∞上函数单调递减；乙：在[0,)+∞上函数单调递增； 丙：函数()f x 的图象关于直线1x =对称； 丙：(0)f 不是函数的最小值． 老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确，那么，你认为说法错误的同学是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】如果甲，乙两个同学回答正确， ∵在[0,)+∞上函数单调递增；∴丙说“在定义域R 上函数的图象关于直线1x =对称”错误． 此时(0)f 是函数的最小值，所以丁的回答也是错误的，与“四个同学中恰好有三个人说的正确”矛盾， 所以只有乙回答错误． 故选B ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合{}0,1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，则A B 等于__________． 【答案】{}1,3【解析】{}0,1,2,3A =，{}1,3,5,7B =，A 与B 的交集{}1,3A B =．10．1366log 4log 98+-=__________． 【答案】0【解析】1366log 4log 98+-1336log 49(2)=⨯- 6log 362=-22=- 0=．11．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f =__________． 【答案】2【解析】设y x α=，当2x =时，2α= ∴12α=．∴()f x =(4)2f ．12．设30.2a =，0.23b =，则两个数的大小关系是a __________b ．（填“>”或“<”） 【答案】<【解析】∵0.2x y =在R 上单调减， ∴300.20.21a =<=， ∵3x y =在R 上单调增， ∴0.20331b =>=， ∴1a b <<， 得a b <．13．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的110，要使通过玻璃的光线强度为原来的12以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（lg20.3010=，lg30.4771=） 【答案】6【解析】设至少需x 块玻璃板， 由题知111102x⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即91102x⎛⎫< ⎪⎝⎭， 取对数91lg lg 102x⎛⎫< ⎪⎝⎭，即(lg19lg10)lg2x ⋅-<-， 即(12lg3)lg2x ⋅->， lg25.8112lg3x >≈-，∴6x =．14．学校举办秋季运动会时，高一（1）班共有26名同学参加比赛，有12人参加游泳比赛，有9人参加田赛，有13人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有3人，同时参加游泳比赛和径赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的有__________人；同时参加田赛和径赛的有__________人．【答案】6，2【解析】设只参加游泳比赛有x 人， 则12336x -=+=， 得6x =．不参加游泳的人为261214-=， 参加田赛未参加游泳的人为936-=人， 参加径赛未参加游泳的人为13310-=人，则同时参加田赛和径赛的人为106142+-=人．三、解答题：本题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x m =-<． （1）若1m =，求A B ．（2）若A B ≠∅，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|2x x <． （2）(1,)-+∞．【解析】（1）1m =时，{}|10B x x =-<， 即{}|1B x x =<， 又{}|12A x x =-<<， ∴{}|2A B x x =<． （2）A B ≠∅， {}|12(1,2)A x x =-<<=-， {}|0(,)B x x m m =-<=-∞，∵A B ≠∅， ∴1m >-，故m 的取值范围为(1,)-+∞．16．（满分13分）已知函数()12||(12)f x x x x =+--≤≤． （1）用分段函数的形式表示该函数． （2）画出该函数的图象．（3）写出该函数的单调区间及值域． 【答案】（1）1,02()13,10x x f x x x +⎧=⎨--<⎩≤≤≤．（2）如下图．（3）单调减区间[1,0)-，单调增区间[0,2]；[1,4]．【解析】（1）02x ≤≤时，||x x =，()121f x x x x =+-=+，10x -<≤时，||x x =-，()1213f x x x x =--=-， ∴1,02()13,10x x f x x x +⎧=⎨--<⎩≤≤≤．（2）（3）由（2）可知， ()f x 单调减区间为[1,0)-，单调增区间为[0,2]， max ()(1)4f x f =-=，min ()(0)1f x f ==，故()f x 值域为[1,4]．17．（满分13分）最新公布的《道路交通安全法》和《道路交通安全法实施条例》对车速、安全车距以及影响驾驶人反应快慢等因素均有详细规定，这些规定说到底主要与刹车距离有关，刹车距离是指从驾驶员发现障碍到制动车辆，最后完全停止所行驶的距离，即：刹车距离=反应距离+制动距离，反应距离=反应时间×速率，制动距离与速率的平方成正比，某反应时间为0.7s 的驾驶员以10m/s 的速率行驶，遇紧急情况，汽车的刹车距离为15m ． （1）试将刹车距离y 表示为速率x 的函数．（2）若该驾驶员驾驶汽车在限速为20m/s 的公路上行驶，遇紧急情况，汽车的刹车距离为50m ，试问该车是否超速？请说明理由． 【答案】（1）20.70.08y x x =+． （2）超速．【解析】（1）设制动距离2k =⋅速率，【注意有文字】 当反应时间为0.7s ，10m/s x =时， 215m 0.710m 10m k =⨯+⋅，得0.08k =． 故y 关于x 的函数为 20.70.08y x x =+．（2）当50m y =时， 2500.70.08x x =+，即243525000x x +-=， 设正根为1x ，负根舍去，∵2420352025002000⨯+⨯-=-<， ∴120(0,)x ∈， 故120x >， 所以该车已超速．18．（满分13分）已知函数1()e 1xf x a =-+． （1）证明函数1()e 1xf x a =-+在R 上单调递增． （2）是否存在实数a 使函数1()e 1x f x a =-+为奇函数？若存在，求实数a 的值；若不存在请说明理由．【答案】（1）证明见解析．（2）存在，12a =．【解析】（1）证明：设12x x >， 则12()()f x f x -， 1211e 1e 1x x a a ⎛⎫=--- ⎪++⎝⎭2111e 1e 1x x =-++ 1212e 1e 1(e 1)(e 1)x x x x +--=++ 1221e e 0(e 1)(e 1)x x x x -=>+⋅+． ∴()f x 在R 上单调递增． （2）当()f x 为奇函数时， ()()f x f x +-11e 1e 1x xa a -=-+-++ 1e 2e 1e 1xx x a =--++ e 12e 1x xa +=-+ 21a =- 0=． ∴12a =．故存在12a =，使()f x 为奇函数．19．（满分14分）设函数()y f x =（x ∈R 且0x ≠），对任意实数1x ，2x 满足1212()()()f x f x f x x +=． （1）求(1)f 和(1)f -的值． （2）求证：()y f x =为偶函数．（3）若()y f x =在(0,)+∞上为减函数，试求满足不等式(21)(1)f x f ->的x 的取值范围． 【答案】（1）0；0． （2）证明见解析． （3）110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】（1）当121x x ==时， 1(1)(1)()(1)f f f x f +==，得(1)0f =，当111x =-，21x =-时，(1)(1)[1(1)](1)0f f f f -+-=-⨯-==，∴2(1)0f -=， ∴(1)0f -=． （2）当21x =-时， 11()(1)()f x f f x +-=-，又(1)0f -=，∴11()()f x f x =-，又1x ∈R 且0x ≠， ()f x 定义域关于0x =对称，∴()f x 是偶函数．（3）∵()f x 在(0,)+∞上为减函数， 且()f x 是偶函数，∴()f x 在(,0)-∞上为增函数， 又(21)(1)f x f ->， 即使0|21|1x <-<，解得110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．20．（满分14分）集合A 是由满足以下性质的函数()f x 构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+>⎪⎝⎭． （1）若()f x A ∈，同时()g x A ∈，求证：()()f x g x A +∈． （2）试判断()lg f x x =是否在集合A 中，并说明理由． （3）设()f x A ∈且定义域为(0,)+∞，值域为(1,2)，3(1)2f <，试求出一个满足以上条件的函数()f x 的解析式．【答案】（1）证明见解析． （2）否．（3）1()13xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x >．【解析】（1）∵()f x A ∈，()g x A ∈， ∴对1x ∀，2x ∈R ， 12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 12121[()()]22x x g x g x g +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，∴121211221[()()()()]222x x x x f x g x f x g x f g ++⎛⎫⎛⎫+++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()f x g x A +∈．（2）()lg f x x =不在集合A 中， 当11x =，210x =时，12111[()()](lg1lg10)222f x f x +=+=， 1211lg 22x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵112>∴111lg 22>，∴1101[(1)(10)]22f f f +⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，矛盾，故()f x A ∉．（3）1()13xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0x >，(0,)x ∈+∞时， 1(0,1)3x⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴1()1(1,2)3xf x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，143(1)1332f =+=<，1x ∀，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，12121[()()]22x x f x f x f +⎛⎫+- ⎪⎝⎭121221111212333x x x x +⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦12122111122333x x x x +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦121222222211111223333x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122221110233x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴()f x A ∈， 故()f x 满足条件．。

1 / 8 2017北京市八一学校高一（上）期中 数 学 一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分） 1．设集合|12Axx，|Bxxa，若AB，则a的取值范围是（ ）． A．,2 B．,1 C．1, D．2, 2．下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是（ ）． A．1yx B．2(1)yx C．2xy D．0.5logyx

3．设13log2a，1.113b，0.312c，则（ ）． A．abc B．acb C．bca D．bac 4．满足条件11,2,3,4MU的集合M的个数是（ ）． A．4 B．3 C．2 D．1 5．已知0x是函数()21xfxx的一个零点，若10(1,)xx，20(,)xx，则（ ）． A．1()0fx，2()0fx B．1()0fx，2()0fx C．1()0fx，2()0fx D．1()0fx，2()0fx

6．已知函数2,3()(1),3xxfxfxx≥，则2(1log3)f的值为（ ）． A．3 B．6 C．12 D．24 7．已知函数2()2fxxx，()2(0)gxaxa若对任意1[1,2]x，总存在2[1,2]x，使得12()()fxgx，则实数a的取值范围是（ ）．

A．10,2 B．1,32 C．0,3 D．3, 8．设方程10|lg|xx的两根为1x，2x，则（ ）． A．1201xx B．121xx C．1210xx D．12110xx 二、填空题（共6道小题，每小题4分，共24分） 9．函数21xy的定义域是__________． 10．已知函数3log(23)ayx（0a且1a）的图象必经过点P，则P点坐标是__________． 11．已知函数()lgfxx，若()1fab，则20172017()()fafb__________． 12．当(1,2)x时，不等式2(1)logaxx恒成立，则实数a的取值范围是__________． 13．已知2|10,AxxpxxR，若ARI，则实数p的取值范围是__________． 14．给定集合1,2,3,,nAnL，nN，若f是nnAA的映射，且满足： ①任取i，njA，若ij，则()()fifj； ②任取nmA，若2m≥，则有(1),(2),,()mfffmL．则称映射f为nnAA的一个“优映射”． 例如：用表1表示的映射33:fAA是一个“优映射”． 表1 i 1 2 3

北京101中学2017-2018学年高一下学期数学期中考试试卷一、单选题1. ( 2分) 在等差数列{a n}中，如果a1+a2=25，a3+a4=45，则a1=（）A. 5B. 7C. 9D. 102. ( 2分) tan（－）= ，则tan =（）A. 2B. －2C.D. －3. ( 2分) 在△ABC中，若bcosA=a sinB，则∠A等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. ( 2分) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 己知a= ，c= ，cosA= ，则b=（）A. 1B. 2C.D.5. ( 2分) 设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A. a2+3>2aB. a2+b2>0C. a3+b3≥a2b+ab2D. a+ ≥26. ( 2分) 数列{a n}为公比为q（q≠1）的等比数列，设b1=a1+a2+a3+a4，b2=a5+a6+a7+a8，…，b n=a4n－+a4n－2+a4n－1+a4n，则数列（）3A. 是等差数列B. 是公比为q的等比数列C. 是公比为q4的等比数列D. 既非等差数列也非等比数列7. ( 2分) 在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（）A. 17mB. 16mC. 15mD. 14m8. ( 2分) 已知数列{a n}是等差数列，S n为其前n项和. 若，则=（）A. B. C. D.9. ( 2分) 下列函数中，最小值为4的函数是（）A. y=x3+B. y=sinx+C. y=log3 x+log x81D. y=e x+4e－x10. ( 2分) 某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是（）A. 不增不减B. 约增1.4%C. 约减9.2%D. 约减7.8%二、填空题11. ( 1分) △ABC中，cosAcosB－sinA sinB=－，则角C的大小为________.12. ( 1分) 已知sin ·cos = ，则tan =________.13. ( 1分) 已知数列{a n}的前n项和为S n，满足对于任意的n∈N*，a n= （2+S n），则数列{a n}的通项为a n=________.14. ( 1分) 定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为a n=________.15. ( 1分) 北京101中学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，若设音乐教室在A处，图书馆在B处，为测量A，B两地之间的距离，某同学选定了与A，B不共线的C处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC，BC；②测量∠A，∠B，BC；③测量∠C，AC，BC；④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是________.16. ( 1分) 有纯酒精a（a>1）升，从中取出1升，再用水加满，然后再取出1升，再用水加满，如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精________升.三、解答题17. ( 10分) 已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）－，x∈R.（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）设>0，若函数g（x）=f（x+ ）为奇函数，求的最小值.18. ( 10分) 已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和S n，且满足a3·a5=112，a1+a7=22.（1）求等差数列{a n}的第七项a7和通项公式a n；（2）若数列{b n}的通项b n=a n+a n+1，{b n}的前n项和S n，写出使得S n小于55时所有可能的b n的取值.19. ( 10分) 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，已知a= c.（1）若∠A=2∠B，求cosB；（2）若AC=2，求△ABC面积的最大值.20. ( 15分) 已知数列{a n}满足：a1=1，|a n+1－a n|=p n，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和.（1）若{a n}是递增数列，且a1，2a2，3a3成等差数列，求p的值；（2）若p= ，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{a n}的通项公式；（3）在（2）的条件下，令c n=n（a n+1－a n），求数列{c n}的前n项和T n.答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】等差数列的通项公式【解析】【解答】解：设数列的首项为，公差为，由题意结合等差数列的通项公式可得：，解得：.故答案为：D.【分析】先设等差数列首项为,公差为，通过等差数列的通项公式，即可得出答案。

北京市十一学校2017-2018学年度第1学段高一学部数学IIA教与学诊断（2017．11）一、填空题（本题共10题，每题2分，共20分）1.设集合，集合，则________.【答案】【解析】【分析】由题意，可先解一元二次不等式，化简集合B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【详解】由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故答案为:.【点睛】本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2.命题：的否定是．【答案】，【解析】试题分析：是全称命题，其否定为特称命题，故为.考点：全称命题的否定.3.满足条件的集合有__________个．【答案】3【解析】【分析】直接利用子集和真子集的定义写出集合A和其个数.【详解】满足条件的集合有：，，，故共有个．故答案为：3【点睛】本题主要考查集合子集和真子集的定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.函数的定义域为_________.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为．考点：函数的定义域．视频5.已知函数，，并且函数的最小值为，则的取值范围是__________．【答案】【解析】是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，min ＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3.综上，1<a≤3,故填(1，3].6.设，，能表示从集合到集合的函数关系的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的定义对每一个选项逐一分析得解.【详解】项．当时，，故项错误；项．当时，，故项错误；项．当时，任取一个值，有两个值与之对应，故项错误；项．在时，任取一个值，在时总有唯一确定的值与之对应，故项正确．综上所述．故选．故答案为：D【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.7.函数的零点有__________个．【答案】1【解析】【分析】分别作出和的图象，观察两函数图像交点的个数即得解.【详解】函数的零点个数等价于方程解的个数，分别作出和的图象，由图可知，两函数图象有且只有个交点，故函数的零点有且只有一个．故答案为：1【点睛】（1）本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为方程解的个数，处理零点问题常用的方法有方程法、图像法和方程+图像法.8.__________．【答案】-15【解析】【分析】利用对数函数的运算法则和对数恒等式化简即可.【详解】．故答案为：-15【点睛】本题主要考查对数的运算法则和对数恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.9.已知条件，条件，则是的__________．【答案】充分不必要条件【解析】【分析】先求出和，再利用充要条件的定义判断.【详解】由题意，，或，故是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件【点睛】(1)本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.10.函数的最大值为_________.【答案】2【解析】试题分析：，即最大值为2.【考点】函数最值,数形结合【名师点睛】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.视频二、填空题（本题共10题，每题3分，共30分）11.写出函数的单调递增区间__________．【答案】和【解析】【分析】先化简函数函数得，再画出函数的图像得到函数的单调递增区间.【详解】由题意，函数，作出函数的图象如图所示：由图象知，函数的单调递增区间是和．故答案为：和【点睛】(1)本题主要考查函数图像的作法和函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是准确画出函数的图像.12.若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析:由题设可得,解之得,故应填答案.考点：含一个量词的命题的否定及二次函数的图像与性质的运用．13.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为__________．（），；（），；（），；（），．【答案】（）【解析】【分析】利用同一函数的定义对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于（），函数的定义域是，函数的定义域是，两个函数定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数的定义域是，函数的定义域是或，两个函数的定义域不同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，，两个函数的对应关系不相同，故这两个函数不是同一个函数；对于（），函数，定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域和对应关系都相同，故这两个函数是同一个函数．综上所述，各组中的两个函数表示同一个函数的是（）．故答案为：（）【点睛】(1)本题主要考查同一函数的判断方法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)两个函数的定义域和对应关系相同，则两个函数是同一函数.14.若函数（常数，）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________．【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性得到或，再利用它的值域为，求出a的值，即得函数的解析式.【详解】∵函数是偶函数，∴，即，∴或，又∵函数的值域为，∴，．故该函数的解析式．故答案为：【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法和函数的性质的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.已知奇函数，当时，有，则时，函数__________．【答案】【解析】【分析】利用代入法求函数的解析式.【详解】∵当时，有，∴当时，，有，又∵是奇函数，∴当时，．故答案为：【点睛】(1)本题主要考查函数解析式的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求奇偶函数在对称区间的解析式一般利用代入法求解.16.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先化简不等式为，再利用函数的单调性得到，解不等式即得x的取值范围.【详解】∵是偶函数，∴，∴不等式等价于，又∵在区间上单调递增，∴，解得，故满足的的取值范围是．故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)对于函数的单调性和奇偶性的问题，常用数形结合分析解答，提高解题效率.17.已知函数，则实数的取值范围是_____________。

北京首都师大附中2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）已知集合M={x∈Z||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是（）①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④∅∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．2．（5分）下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A．与y=x+1 B．y=x与（a＞0且a≠1）C．与y=x﹣1 D．y=lg x与3．（5分）给定映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），则在映射f下，（3，1）的原象是（）A．（1，3）B．（1，1）C．（3，1）D．4．（5分）设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a5．（5分）函数在（﹣∞，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A．f（a+1）=f（b+2）B．f（a+1）＞f（b+2）C．f（a+1）＜f（b+2）D．不能确定7．（5分）若指数函数f（x）=a x的图象与射线3x﹣y+5=0（x≥﹣1）相交，则（）A．a∈（0，] B．a∈[，1）C．a∈[，1）∪（1，+∞）D．a∈（0，]∪（1，+∞）8．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（）①y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，0是它的均值点；②函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，它的均值点是5；③函数f（x）=log2x在区间[a，b]（其中b＞a＞0）上都是平均值函数；④若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是（0，2）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题9．（5分）若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（4）=．10．（5分）已知函数，则=．11．（5分）若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是．12．（5分）函数的单调递减区间为．13．（5分）已知关于x的方程ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a 的取值范围是．14．（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是．三、解答题15．（8分）（Ⅰ）（Ⅱ）．16．（8分）已知集合A={x|x+4x=0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．17．（10分）某车间生产一种仪器的固定成本是10000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收益满足函数：H（x）=，其中x是仪器的月产量．（1）将利润表示为月产量的函数（用f（x）表示）；（2）当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益=总成本+利润）18．（12分）已知函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）确定函数的解析式；（2）判断函数的单调性并用定义法证明；（3）解不等式：f（t﹣1）+f（t）＜0．19．（12分）如果函数f（x）满足在集合N*上的值域仍是集合N*，则把函数f（x）称为H 函数，例如：f（x）=x就是H函数．（1）判断下列函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，哪些是H函数？（只需写出结果，不用说明理由）（2）判断函数g（x）=[ln x]+1是否为H函数，并证明你的结论；（3）是否存在实数a，b，使得函数f（x）=[b•a x]是H函数？如果存在，求出实数a，b的值，如果不存在，请说明理由．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵集合M={x∈Z||x|≤3}，∴①2.5∉M，故错误；②0∈M，故错误③{0}∩M={0}，故正确；④∅⊆M，故错误⑤集合M是有限集，故错误．故选：B.2．B【解析】对于选项A：函数的定义域不包含1，而一次函数y=x+1的定义域是R，显然不是同一个函数．对于选项B：因为=x log a a=x，且定义域都为R，所以为同一个函数．对于选项C：函数=|x|﹣1与一次函数y=x﹣1的对应法则不同，故不是同一个函数．对于选项D：函数y=lg x的定义域为x＞0，而函数y=lg x2的定义域是x≠0，显然不是同一个函数．故选B．3．B【解析】∵映射f：（a，b）→（a+2b，2a﹣b），设映射f下（3，1）的原象是：（a，b）则（a+2b，2a﹣b）=（3，1）即a+2b=3，且2a﹣b=1解得a=1，b=1即映射f下（3，1）的原象是：（1，1）故选B4．A【解析】∵在x＞0时是增函数∴a＞c又∵在x＞0时是减函数，所以c＞b故答案选A.5．B【解析】依题意，，解得0≤a＜，故选B．6．B【解析】∵f（x）=log a|x﹣b|为偶函数，∴b=0∵f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上是增函数，∴0＜a＜1∴f（x）=log a|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减，∴0＜a+1＜b+2∴f（a+1）＞f（b+2）．故选：B．7．D【解析】当a＞1时，必会有交点，当a＜1时，过（﹣1，2）是临界点，当f（x）过（﹣1，2）时，a=，若要f（x）与射线有交点，其图象需在（﹣1，2）的上方，比如过（﹣1，3）点此时a=，由此可知a的取值范围为（0，]．综上a的范围是（0，]∪（1，+∞），故选：D．8．C【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论：对于①，若y=x2是区间[﹣1，1]上的平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=n2=﹣0，解可得n=0，即0是它的均值点，①正确；对于②，若函数f（x）=﹣x2+4x在区间[0，9]上是平均值函数，设其均值点为n，则有f（n）=﹣n2+4n==﹣5，解可得n=5或﹣1（舍）即5是它的均值点，②正确，对于③，函数f（x）=log2x在区间[a，b]都是平均值函数，则log2x=恒成立，明显错误，③错误；对于④，若函数f（x）=﹣x2+mx+1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则关于x的方程﹣x2+mx+1=在（﹣1，1）内有实数根，而﹣x2+mx+1=⇒x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1（舍），必有x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），④正确；其中①②④正确；故选：C．二、填空题9．2【解析】∵点（2，）在幂函数y=f（x）=x a的图象上，∴2a=，解得a=，∴f（x）=，f（4）==2．故答案为：2．10．【解析】∵函数，∴f（）==﹣2，=f（﹣2）=．故答案为：．11．[，3]【解析】∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：≤m≤3．故答案[，3].12．（2，5]【解析】由﹣x2+4x+5≥0，解得：﹣1≤x≤5，而函数y=﹣x2+4x+5的对称轴是x=2，故y=﹣x2+4x+5在[﹣1，2）递增，在（2，5]递减，故答案为：（2，5]．13．（﹣3，0）【解析】关于x的方程ax2+x+2=0对应的二次函数f（x）=ax2+x+2，若a＞0，即图象开口向上，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a+3＜0，则a∈∅；若a＜0，即图象开口向下，ax2+x+2=0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a+3＞0，则﹣3＜a＜0．综上可得a的范围是（﹣3，0）．故答案为：（﹣3，0）．14．[，]【解析】Rt△PCF中，PF==同理可得，Rt△P AB中，P A=∴P A+PF=+∵当A、B、P三点共线时，即P在矩形ADFE的对角线AF上时，P A+PF取得最小值=当P在点B或点C时，P A+PF取得最大值+1∴≤P A+PF≤+1，可得函数f（x）=AP+PF的值域为[，]．故答案为：[，]．三、解答题15．解：（I）原式=+=﹣（2+）=﹣．（II）原式=﹣﹣lg5+3lg2+lg100=9+3﹣（1﹣lg2）+3lg2+2=14+4lg2．16．解：（1）∵集合A={x|x+4x=0}={﹣4，0}，集合B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．A∪B=B，∴A⊆B，∴0，﹣4为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两根，由根与系数关系得：，解得a=1．（2）∵A∩B=B，∴B⊆A．①当B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2+1）=8a+8＜0，∴a＜﹣1．②当B≠∅时，当△=0时，即a=﹣1，此时B={0}⊆A，∴a=﹣1．当△=0，即a＞﹣1时，B=A，由（1）知a=1．综上所述{a|a≤﹣1，或a=1}．17．解：（1）设月产量为x台，则总成本为t=10000+100x，总收益满足函数：H（x）=，∵f（x）=H（x）﹣t，∴利润f（x）=．（2）当0≤x≤200时，f（x）=﹣（x﹣150）2+12500，∴f（x）max=f（150）=12500．当x＞200时，f（x）=﹣100x+30000在（200，+∞）上是减函数，∴f（x）max＜f（200）=10000＜12500，∴当月产量为150台时，该车间所获利润最大，最大利润是12500元．18．解：（1）∵函数是定义在（﹣1，1）上的奇函数，∴由f（0）=0，得b=0．又∵，∴，解之得a=1；因此函数f（x）的解析式为：，满足f（﹣x）=﹣f（x）为奇函数，（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则，∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．转化为f（t﹣1）＜﹣f（t）=f（﹣t），∴，解不等式得.19．解：（1）函数：①y=x2②y=2x﹣1③中，只有③是H函数．（2）函数g（x）=[ln x]+1是H函数．证明如下：任意x∈N*，[ln x]+1∈N*．不妨设[ln x]+1=k，k∈N*，由[ln x]+1=k，可得k﹣1≤ln x＜k，即1≤e k﹣1≤x＜e k．∵任意k∈N*，恒有e k﹣e k﹣1=e k﹣1（e﹣1）＞1成立，∴一定存在x∈N*，满足e k﹣1≤x＜e k，∴设任意k∈N*，总存在x∈N*，满足[ln x]+1=k，∴函数g（x）=[ln x]+1是H函数．（3）当b≤0时，有f（2）=[ba2]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数；当b＞0时，①若a≤0，有f（1）=[ba]≤0，∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．②若0＜a≤1，由指数函数性质得，ba x≤ba，∴任意x∈N*，都有f（x）=[ba x]≤[ba]．函数f（x）=[ba x]都不是H函数．③若a＞1，令ba m+1﹣ba m＞2，则m＞log a，∴一定存在正整数k，使得ba k+1﹣ba k＞2，∴任意n1，n2∈N*，使得ba k＜n1＜n2＜ba k+1，∴f（k）＜n1＜n2≤f（k+1）．又∵当x＜k时，ba x＜ba k，∴f（x）≤f（k）；当x＞k+1时，ba x＞ba k，∴f（x）≥f（k+1），∴函数f（x）=[ba x]都不是H函数．综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=[ba x]都不是H函数．。