第 2 章 二阶张量

a1 ⋅ N ⋅ a2 − a2 ⋅ N ⋅ a1 = (λ2 − λ1 )a1 ⋅ a2 = 0 ⇒ a1 ⋅ a2 = 0
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
=
N
•i j
N ⋅u=u⋅N
3
(2) 对任一实对称 2 阶张量，总能找到一组正交标准化基： ei
N = N1e1e1 + N2e2e2 + N3e3e3 ， Ni 为主分量， ei 为主方向。
i =1
i =1
i =1
定理：[T ⋅ u, T ⋅ v, T ⋅ w] = detT [u, v, w]
[ det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中 3 个矢量是否线性相关取决与它们的混合积
是否为零] 正则与退化
det T ≠ 0 的二阶张量－正则二阶张量；否则为退化的二阶张量
(1) T 为正则 ⇔ u(i) (i=1,2,3) 性无关，则T ⋅ u(i) 也线性无关。
i j
βj 1′
δβi1′
=
0
⇒
β N 1′ i i •j
−
λδ
i j
β 1′ i
=
0;
β Nj i 1′ • j
−
λδ
i j
βj 1′
=
0
( ) ( ) ⇒
N•i j
−
λδ
i j
β 1′ i
= 0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj 1′
=0
( ) ( ) ⇒ 同理1′ 推广到 i′ :
N•i j
−
λδ
i j
= Ti•k
Gkj
=
g
Ti• k
⎤ ⎦
1
(6) 二阶张量的缩并（求迹）： trT = T•ii ，
tr(T + S ) = T•ii + S•ii ， tr(T ⋅ S ) = T ⋅ ⋅S ， tr (T ⋅ ST ) = T : S
(7) 二阶张量与矢量的点积就是线性变换：
w =T ⋅u，
wi
Ω ⋅ u = ϕe3 × (u1e1+u2e2+u3e3) = ϕ(u1e2−u2e1)
将 u 在 e1 、 e2 平面投影，放大ϕ 倍，绕 e3 旋转 π 2 。
= Ti′j′ g i′ g j′
= Ti′• j′ g i′ g j′
=
T i′ • i′
gi′
g
j′
= T i′j′ gi′ g j′
同一坐标系 另一坐标系
(1) 不同坐标系中实体不变，但其分量不同： Tij ≠ Ti′j′,
T•j i
≠
T• i′
j′
,
Ti •j
≠
T ,i′ • j′
T ij ≠ T i′j′
=
(λ1
+ iλ2 )ai
⇒
ai
必为复数： ai
=αi
+ iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
j
α
j
+ iβ
j
= (λ1 + iλ2 ) α i + iβ i
( ) ( ) ⇒
N
i •
jα
j
+
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2 β i
+ i λ1β i + λ2α i
( ) ( ) ( ) ( ) ⇒
Ω1•3
2
=ϕ2
(3) 主方向：
特征方程： Ω•i j
−
λδ
i j
= λ3 + λη2Ω
=0
⇒ 一个零根： λ3 = 0 ；一对共轭虚根： λ1,2 = ± η2Ω i = ±ϕi ⇒ λ3 = 0 对应的特征方向的单位矢量为 e3 ， Ω ⋅ e3 = λ3e3 = 0
λ1,2 ± ϕi 对应的特征方向的单位矢量设为 g1 、 g2 ，则在 e3 、 g1 、 g2 坐标中，
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
N
i •
jα
j
−
iN
i •
j
β
j
=
λ1α i − λ2β i
− i λ1β i + λ2α i
=
λ1 − iλ2
α i − iβ i
⇒ N ⋅ a = λ a ⇒ λ = λ1 − iλ2 也是复根.
⇒ N ⋅a =λ a → a ⋅ N ⋅a = λ a ⋅a； N ⋅a = λ a → a⋅N ⋅a = λ a ⋅a
•i j
gi
g
j
=T
ji gi g j
协、逆变分量指标交换，混变分量互相交换
= Tij g j gi
= Ti• j g j gi
=
Ti •i
g
j
gi
= T ij g j gi
也可以分量不动，并矢交换
(3) 对称张量 N = N T
性质： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji 、 N•i j
=
N
•i j
⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
(4) 反偶矢量：定义 ω = − 1 ε : Ω ，称 ω 为 Ω 的反偶矢量 2
Ω = −ε ⋅ ω Ω⋅u = ω×u ω = ϕ e3
(5) 对应的线性变换
Ω ⋅ e1 = ω × e1 = ϕe3 ×e1= ϕe2 Ω ⋅ e2 = ω × e2 = ϕe3 ×e2= −ϕe1 Ω ⋅ e3 = ω × e3 = ϕe3 ×e3= 0
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
β i′ i
=0;
N
i •
j
−
λδ
i j
βj i′
=0
⇒
使转换系数
βii
′
和
βj i′
有非零解的条件:
N
i •
j
−
λδ
i j
=0
⇒ 求极值的计算等同于求特征值的计算。
2． 实反对称二阶张量 Ω
(1)
定义： Ωij
= −Ω ji 、 Ωij
=
−Ω
ji
、
Ω
i •
j
=
−Ω
•i j
、
Ωi•
j
=
−Ω
j •i
，