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u xy u xz ( y1 x1 , , y n x n ) ( z1 x1 , , z n x n ) (( y1 x1 ) ( z1 x1 ), , ( y n x n ) ( z n x n ))
u xy ( y1 x1 , , y n x n )
F ;
,
称为具有加法和乘法法则的实数集空间。
实数空间关于加法和乘法法则有如下性质：
（1） （2）
x y yx
x ( y z ) ( x y) z
x, y F
x, y, z F
（3） F中存在称为关于加法的单位元素0，使得：
x0 x
x ( x) 0
F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得：
xF
1.1 矢量集合的运算
对实数域 F，定义n元有序组： ( x1 ,, xn ) x F ,, x ( x1 ,, xn ) ( x1 ,, xn ) 且当： ( x1 x1 ,, xn xn ) 必有： 由n元有序组构成的集合： En F F ( x1, xn ) xi F , xi , 1 i n
a4
-1
r1
r2 ：(取 s b2 b1
)
-1
a5
-2
图1－2
与 r3 ： (取 s (s , s ) ) a 3 b3 (1 t ) (a1 s ) t (b1 s ) a t b (1 t ) (2 s1 ,0 s 2 ) t (1 s1 ,2 s 2 ) a t b (1 t )( 2,2) t (4,4) a t b 2 s1 2 s 1 显然没有一组 ， 的解满足： 1 s 4
xo x
x V0
（4）V0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得：
（ 5） （ 6） ( ) x x x ( x y) x y （ 7） （8） F存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得：
1x x
x ( x ) o ( ) x ( x )
对任意给定的矢量 y V0 ，对不同的x所确定的 约束矢量空间 Vx，按平行性可确定一类约束矢 n y u E 量 x x y ∥ 。定义 空间中的每一点约束矢量， 对给定的 y V0 ，按有向直线段：
x x y ξ (1 t ) (o x ) t ( y x ) 0 t 1 , t F
( ( y1 x1 ), , ( y n x n ))
F
定义加法和数乘运算。显然所有以x为起点的矢量当 取 uxy为加法单位元素时，构成矢量空间 ，且记为Vx 。 Vx空间中的矢量称为约束矢量。 xy z (1 t ) x ty 0 t 1, t F 设 定义若存在非o的s位置矢量满足：
（7）∵ ∴ （8）∵
( x y) ( x1 y1 , xn yn ) ( x1 y1 , xn yn ) ( x y) x y
1 F 1x x
1x 1( x1 , x n )
证毕。 定义与 x 和 y 相关，且线性依赖参数 0≤t≤ 的矢量 z ：
( x1 y1 z1 , , xn y n z n )
∴ （4）∵ ∴ （5）∵ ∴ （6）∵ ∴
x + ( y + z ) = ( x + y) + z = x + y + z x o ( x1 0, xn 0) ( x1 , , x n ) o (0, ,0) V0
并称定义了实数域上的加法运算和数乘运算的集合为实数 域上的矢量空间。且仍记为V0 。 数域上的矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 , 、 F x y yx （ 1） ( x y) z x ( y z ) （ 2） （3）V0中存在称为关于加法的单位元素o，使得：
z (1 t ) x ty
定义连接 x 、y 两点的直线段是满足：
xy z (1 t ) x t y
0 t 1 , t F
仿射空间点的集合。 x、y两点的直线段给出空间x点指向y点的矢量uxy。 uxy是 空间由x点指向y点的有向直线段。对于任意空间的点x， 所有以x点为起点的矢量按：
x V0
证： （1）∵ ∴ （2）∵
x y ( x1 y1 , , x n y n ) ( y1 x1 , , y n x n )
x y yx
x y z ( x1 y1 ) z1 , , ( xn y n ) z n ( x1 y1 z1 ,, xn yn zn ) x ( y z ) ( x1 ( y1 z1 ), , ( xn ( y n z n ))
由此确定a=0.75 。 图中画出了计算结果 。
图1－1
1.2 自由矢量
设 V0是实数域上的矢量空间，x是 V0中任一给定 的位置矢量。 Vx是所有起点在x点的约束矢量空 间。对 V0中的所有矢量，按（1.1-7）式的平行 性，在 Vx中有对应的矢量。若矢量
y V0 , x y ( x1 y1,, xn yn ) V0
确定的矢量 u x x y 所构成的一类矢量，称为矢量 y 的等价类。 V0 中所有矢量按（1.2-1）所构成 的等价类的集合称为自由矢量集合。记为 V0 。 应当注意的是自由矢量的集合中的一个元素是 一类按平行性等价的约束矢量，而不是一个矢 量。
r1 ： (1 t) (2,0) t (1,2) 0 t 1 , t F
定义实数域上位置矢量的加法运算和数乘运算：
x y ( x1 y1, xn yn ) ( z1, zn ) z x, y,z V0 ; F x, y,z V0 ; F
x ( x1,, xn ) ( x1,, xn ) ( x1,, xn )
解：
ab (1 t ) ( x s ) ( y s ) a t b
(4t 2,3 2t ) a t b)
s b y (4, 0)
(2 (1 t ),3(1 t )) (2t , t ) a t b)
x F
（4） 存在唯一的元素,对每一个元素使得：
xF
( x) F
（5） （6） （7） （8）
(a b) x a (b x) ( a b) x a x b x
a ( x y) a x b x
1 x x
a , b , x F a , b , x F a , b , x , y F
张量分析
第一章 线性空间
若记实数集合为F，F中的元素记为a、b、c、…。 则加法法则将F中的任意两个元素 a , b F ; c F + ( a , b) c abc 乘法法则将F中的任意两个元素 a , b F ; c F ab c × ( a , b) c 显然具有加法法则和乘法则所确定的实数集中元 素间确定关系使得实数集构成一个空间。并记为：
r5 ： (1 t ) (3,1) t (4,1) 0 t 1 , t F
a1 -2
4
r2 3 a 2 b1 r1 2 1来自b2 b3 r3 a3
b4 r4
1 2 3
b5 r5 4 x1
与 a 2 b2 (1 t ) (a 1 s ) t (b1 s ) a t b (1 t ) (2 1.65,2.3 0) t (1 1.65,2 2.3) a t b (0.35 t ,2.3 2t ) a t b (0.35 t ,2.3 2t ) (0.65,4.3) 当 t b 时： (0.35 t ,2.3 2t ) (0,3) 当 t a 时： b 1 。显然由（1.1-7）式可知 r1∥r2 ，但 由此可得 a 0.35 ， 由（1.2-1）式可知 r1 和 r2 不等价（因为 a 0.35 0）。
例2：如图所示给定的5个矢量 r1、r2、r3、r4、r5 。 试确定其平行性和等价性。
x2
r2 ： (1 t) (0,3) t (0.65,4.3) 0 t 1 , t F r3 ： (1 t ) (2,2) t (4,4) 0 t 1 , t F r4 ： (1 t ) (1,1) t (1,1) 0 t 1 , t F
1 n
F
n个
E n 中的每一个元素称为点。 称为n维仿射空间。 x ( x1 , , x n ) , ( x1 ,, xn ) o ( 0,, 0), 记： 且分别称为放射空间的原点、位置矢量和负矢量。 对于n维仿射空间，所有的位置矢量构成一个集合：
V0 x ( x1 ,, xn ) xi , xi F ,1 i n
则起点在x的矢量 ux x y Vx 可由有向线段： x x y ξ (1 t ) x t ( x y) 0 t 1 , t F 确定。而 y V0 矢量可由有向线段： o y z (1 t ) o t (o y) 0 t 1 , t F 确定。容易验证 x x y ξ (1 t ) (o x) t ( y x) 0 t 1 , t F 满足（1.1-7）式（取 a 0, b 1, x o, y y, s x ）。 u x x y∥ y 因此 ：
xo x
( ) x ( )( x1 ,, xn ) (( ) x1 ,,( ) xn ) ( x1 ,, xn ) ( x1 ),, ) xn ) ( ) x ( x )
