热统4
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《热统》简答题
1.写出热力学第一定律的数学表达式，简述其意义及本质。
2.热力学第二定律开尔文的表述，热力学第二定律的本质。
3. 热力学第二定律克劳修斯的表述，热力学第二定律的本质。
4.写出克劳修斯等式和不等式的表达式，并说明等式、不等式的条件5.运用热力学第一定律和热力学第二定律推导热力学基本微分方程6.写出热力学中熵的定义式及微分式，说明熵为何是态函数 答：7.简述熵增加原理，并举例其应用8.根据熵的定义式 说明熵为何是态函数，对于不可逆过程如何计算熵差，请举例说明。
答：因为此式初态和终态给定后，积分与可逆过程的路径无关，其中A 和B 是两个平衡态，所以积分可沿着由A 到B 的任意可逆过程进行，所以熵是态函数。
（3分）如果系统有平衡态A 经一个不可逆过程到达平衡态B ，可假设一个从A 到B 的可逆过程积分，从理论上说，平衡态A 和B 之间总是存在可逆过程的。
（2分）9.证明理想气体自由膨胀过程为不可逆过程（整个系统绝热）。
答：由热一律有U Q W ∆=+（1分），因绝热0Q =（1分），因自由膨胀0W =（1分），得0U ∆=又理想气体内能只与温度有关，即理想气体的温度不变，自由膨胀前后12T T =，理想气体222111ln ln ln 0V T V V S C R R T V V ∆=+=>（2分） 10. 写出热力学第二定律的数学表述，简述其物理意义。
(1.14.3)B B A A dQ S S T-=⎰dQ ds T =(1.14.3)B B A A dQS S T -=⎰11. 何为开系，闭系，孤立系？12.写出热力学函数U 、H 、F 和G 的全微分方程13. 根据热力学第二定律，说明两条绝热线不能相交。
14.写出麦克斯韦关系。
15.由=0说明气体经绝热膨胀过程可获得低温的原因答：当把气体的绝热膨胀看作准静态绝热过程时，气体的熵S 不变其中（3分）此式右方恒为正，所以随体积的增加压强下降，气体温度必然下降，从能量的角度看，气体在绝热过程中，减少内能而对外作功，膨胀后的气体分子间距增大，相互作用能增加，气体温度下降。
考研_热统重点复习试题及解答
热统重点复习题2005一、名词解释：1、状态函数：任何一个物理量，只要它是描述状态的，是状态参量的单值函数，则该物理量就是状态函数。
2、内能：系统处于一定状态下是具有一定能量的，这种由系统热运动的宏观状态所决定的能量，就叫做内能。
3、自由能判据：对只有体积变化作功的系统，若体积、温度不变，则△F≤0该式表明：等温等容过程中自由能不增加，系统中发生的过程总是向着自由能减少的方向进行，平衡态时自由能最小。
4、吉布斯函数：1．定义G=U-TS+PV2．性质①是态函数，单位焦耳（J），广延量。
②由熵增加原理可知在等温等容过程中，有GA-GB≥W即等温等压过程中，除体积变化功外，系统对外作的功不大于吉布斯函数的减少。
即等温等压过程中，吉布斯函数的减少等于系统对外作的最大非膨胀功（最大功原理）.5、吉布斯判据：等温等压系统处在稳定平衡态的必要和充分条件是△G>0平衡态的吉布斯函数极小。
对等温等压系统中进行的过程，系统的吉布斯函数不增加，系统中发生的过程是向着吉布斯函数减少的方向进行，平衡态时，吉布斯函数最小（吉布斯判据）；6、黑体辐射：若一个物体在任何温度下都能将投射到它上面的电磁波全部吸收而无反射，则这种物体叫黑体，黑体的辐射叫黑体辐射。
7、熵判据：孤立系统处在稳定平衡态的必要和充分条件为△S<0平衡态熵极大。
8、自由能判据：等温等容系统稳定平衡态的必要和充分条件为△F> 0平衡态的自由能极小。
9、玻尔兹曼分布：玻尔兹曼分布是玻尔兹曼系统处于平衡态时的最概然（即最可几）分布，按照等概率原理，也就是系统微观状态数最多的分布。
10、玻尔兹曼关系：ΩSK=ln该式表明：熵是系统混乱程度（即无序度）的定量表示，它等于玻尔兹曼常数K乘以系统微观状态数的对数。
11、系综：系综是指由大量结构完全相同、处于给定的相同宏观条件下彼此独立的假想系统的集合，其中每一个系综都与实际讨论的真实系统有相同的哈密顿，但有不同的微观状态，这种系统的集合叫统计系综（简称系综）。
GL.热统-Ch.4-1.多元复相系的热力学函数,热力学基本方程
参变量,是零次齐函数
i 由欧勒定理 ni n 0 可见 i T , p ; n i 1 j ( ji )
K
GL.热力学统计物理-Ch.4
7
GL.热统物理学-Ch.4
(5)一次齐函数( V, U, S )的表达式
对一次齐函数应用欧勒定理 f ( xi ) xi (
K i 1
U (T , p ; ni ) ni ni
)T , p ; n ( j i )
j
S (T , p ; ni ) ni (
K i 1
S (T , p ; ni )
)T , p ; n ( j i )
§4-3. 吉布斯相律
§4-5. 化学平衡条件※ §4-6. 混合理想气体系统的化学平衡※ §4-7. 热力学第三定律
GL.热力学统计物理-Ch.4 1
GL.热统物理学-Ch.4
§4-1.多元复相系热力学函数及其热力学基本方程
一. 多元复相系的热力学函数
1. 组元标记、相标记
多元复相系标记为
K个组元 ,组元指标为 i =1, 2, 3, , K 个相,相指标为 =1, 2, 3, ,
(6)任一相的偏摩尔量的表达式
偏摩尔体积 vi V (T , p ; ni ) ni U (T , p ; ni ) ni
T , p ; n j ( ji) T , p ; n j ( ji)
偏摩尔内能 ui
偏摩尔熵 si
i 1
1
1 i
1
• 偏摩尔吉布斯(即 摩尔化学势 i ) 是热力学函数的强度型
中国古代文学作品选课程教学改革策略_王双
又能为培养适应现代社会的富有竞争能力的人才创造了条件。
第四，为考研学生进行辅导。
据调查，我校毕业的学生考研的仅占４％左右，大部分毕业生都到各行政、机关、企事业单位工作。
对于少数考研学生而言，整合后的知识内容可能不满足考研的要求，老师可以专门给考研学生集中进行辅导，再增加整合后没有讲到的又与考研有关的内容，强化考研章节。
四、改革教学方法根据整合后的教学内容，传统的教学方法已不再适应新教学内容和新形势的发展，只有知己知彼地分析设计一种全新教学模式：精练地讲解整合后的重点内容＋渗透现代化知识的精彩的ＰＰＴ课件＋广泛的师生研讨＋课程内容相关知识拓展，并逐步形成“问题为纲，分层教学，师生互动，自主探索，协作讨论，课后辅导”的教学模式。
例如，封闭系：近独立粒子的麦－玻分布、玻耳兹曼统计、玻色统计、费米统计这些内容是统计热力学的重点、难点，所以占用学时也是最多的，配分函数可说是本章的关键。
一定要改变传统的教学方法，使用全新的教学模式教会学生能利用统计物理“三步曲”熟练计算配分函数，从而求出所有热力学函数，并拓展其内容，总结研究热物理问题的方法和思维，引导和协作学生研讨课程内容与前沿科学的新科技新成果的联系。
实践表明，利用整合后的课程内容和改革后的教学方法对２０１０级物理学专业（１）、（２）班的学生进行教学，并做了问卷调查：学生的补考率相对整合前少了，大多数学生对热物理学有了新的认识，不再感到热物理学知识的陈旧，也排除了物理学专业的学生流传下来的物理学既难学又没用的观点，对学习物理学不再有盲目感了，了解到热物理学与科学研究息息相关，而且非常重要。
例如：激光冷却、超导、超流现象都是与热物理学为基础的新科技成果。
激发了学生的学习兴趣，提高了学生的认识能力。
在高等教育改革不断推进的今天，作为物理学专业基础课和专业主干课程的“热学”和“热统”，其内容过多重叠而且知识陈旧。
怎样整合两门课程，优化课程设置，以达到高效的教与学的目的，达到培养服务地方经济的应用型、技能型人才培养的目标，是我们教师必须考虑的问题。
热统课件
Jq A B Je
珀尔贴系数：取决于两种金属的性质，并 与温度有关
3、汤姆孙效应（1854年发现）
当电流通过具有温度梯度的均匀导体时，除了 放出焦耳热外，导体还要放出另外的热量，称为汤 姆孙热.
在单位时间内，单位体积的导体放出的汤姆孙热 为：
q J T e
汤姆孙系数：与导体性质和温 度有关
热流与温度梯 度成正比
Jq T
2、扩散过程的菲克定律
粒子流与浓度 梯度成正比
Jn D n
3、导电过程的欧姆定律
J E V e
电流与电势梯度 成正比
4、动量输运的牛顿粘滞定律
动量流与流速梯 度成正比
dv Jpxy P xy dx
5、线性唯象律
y
是单位时间内流过单位截 面的熵，称为熵流密度 是单位时间内单位体积中产 生的熵，称为局域熵产生率
整个系统熵的增加率为：
dS d s sd d dt dt t
J d S
利用高斯定理将右边第一项化为面积分，得：
dS J d d S dt
1． 局域平衡，熵流密度与局域熵产生率。 2． 线性与非线性过程，昂萨格关系 。 3* ．温差电现象
教学要求：
了解局域熵产生率，昂萨格关系和用不可逆过程热力 学处理问题的一般程序。
5.1 局域平衡、熵流密度与域局熵产生率
一、热力学第二定律的推广 热力学第二定律不等式 : 推广为：
dS dQ dT
N ni d
(5.1.5)
三、熵流密度和局域熵产生率
讨论熵的变化快慢问题。 1、不可逆过程热力学的建立
d dS d eS iS dt dt dt
热统期末试题及答案
热统期末试题及答案正文：一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）在下列各题中，只有一个选项是正确的，请在答题卡上将相应选项的字母涂黑。
1. 热力学第一定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律2. 下列哪一个量是揭示物质分子热运动程度的参数？A. 温度B. 压强C. 体积D. 质量3. 在绝热条件下，一个物体放热，它的温度会：A. 升高B. 降低C. 不变D. 无法确定4. 理想气体的等温过程是指：A. 温度不变的过程B. 压强不变的过程C. 体积不变的过程D. 熵不变的过程5. 热力学第二定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律6. 下面哪一种物质不是理想气体？A. 氮气B. 氧气C. 氢气D. 水蒸气7. 理想气体状态方程是：A. PV=RuTB. P+V=RTC. P/T=RuD. PT=RuV8. 物体绝对零度对应的温度是：A. 0℃B. -273℃C. 273℃D. 100℃9. 混合气体总压强等于各组分分压之和，是根据下列哪个定律得出的？A. 理想气体状态方程B. 热力学第一定律C. 道尔顿定律D. 热力学第二定律10. 热力学第四定律是指：A. 热力学系统能量守恒定律B. 热力学第一定律C. 热力学第二定律D. 热力学第三定律二、计算题（共5题，每题10分，共计50分）1. 一定质量的理想气体，在常温常压下的密度为1.29 kg/m³，求该气体的摩尔质量。
2. 一摩尔单原子理想气体在体积不变的条件下，温度从300 K增加到600 K。
根据理想气体状态方程，求气体末压强与初始压强之比。
3. 理想气体初始状态为120 kPa、300 K，经过等温膨胀，最终体积为初始体积的2倍。
求等温膨胀的过程中气体对外做的功。
4. 一摩尔理想气体在绝热条件下进行等熵过程，初始温度为300 K，初始压强为200 kPa，最终体积为初始体积的4倍。
热力学与统计物理课程大纲分析
热力学与统计物理课程大纲分析1.引言《热力学与统计物理》（下文简称热统）作为物理专业的高级专业课程，包含热力学与统计力学两个重要局部，涵盖面广泛，理论要求高。
以国内流行的两本教材为例，仅根本理论局部便需要70学时以上，超过一般理工科院校的课程学时。
另外，对于局部特色型工科院校，物理学更多作为支撑学科，往往《热统》课程仅有48学时。
因此，针对目前工科院校专业课程的课程体系设置，结合笔者近几年的授课阅历，在本文中对48学时《热统》课程大纲做一探讨。
2.热力学大纲浅析由于在大一阶段有先行《热学》课程，因此，热统课程的热力学局部应作为热学课程的补充与提升。
两门课程应作为课程群体系共同建立，《热学》课程重点侧重现象介绍，让学生了解热学所讨论的内容；《热统》课程重点侧重理论提升，建立平衡态热力学函数分析的理论体系。
因此，笔者认为，《热统》课程中热力学局部应分三个局部，列举如下。
（1）热力学函数与热力学根本方程首先，应重点让学生了解各种热力学函数的定义，包括通常定义的状态参量（温度、体积、压强）以及热力学函数（内能、焓、克劳修斯熵、赫姆霍兹自由能、吉布斯自由能），说明其物理意义，并强调两者在本质上的共性。
其次，强调热力学的根本定律，特殊是热力学第肯定律和其次定律的数学表述。
第三，应强调物态方程的概念。
在热力学中，物态方程是反映热力学系统性质的根本方程，其形式一般为状态参量的函数关系。
结合热力学根本方程，两者将作为热力学函数分析的根本动身点。
（2）麦克斯韦关系首先，从热力学根本方程动身，依据全微分的性质，推导麦克斯韦关系。
结合课程需要，应适当补充相关的数学技巧，包括全微分、勒让德变换、雅克比行列式等。
其次，引入共轭量的概念。
麦克斯韦关系形式美丽，具有特别高的对称性。
通过引入共轭量的概念，学生可以较为便利的理解和记忆四个麦氏关系，提高在应用过程中的敏捷性。
第三，引入特性函数的概念。
一方面，在热力学局部，从特性函数动身，可以得到系统全部的热力学性质，同时依据其全微分，可以导出系统热力学稳定性的判据。
热统自学问题与作业
绪论1、《热统）研究的对象、任务？2、《热统》的研究方法是什么？热力学的方法与统计物理学的方法各有什么特点？二者关系如何？3、《热统》与普物《热学》有什么联系、区别？4、学习《热统》的主要目的是什么？第一章热力学的基本定律1、什么是系统？什么是孤立系、封闭系、开放系、单元系、多元系、单相系、多相系、均匀系？什么是外界？如何选取系统？2、什么是热力学平衡态？它有哪些主要特征？3、什么是状态参量？什么是内参量、外参量？什么是强度量、广延量？一个系统究竟需几个独立的参量确定？4、什么是状态方程？理想气体、范氏气体、顺磁固体的状态方程各是什么？昂尼斯方程如何？5、定压膨胀系数、定容压强系数、等温压缩系数的定义如何？意义如何？关系如何？6、什么叫热力学过程？什么叫准静态过程、非静态过程？什么叫可逆过程、不可逆过程？什么是弛豫时间？7、试说明作功、功的概念。
体积功、磁化功、极化功的元功各如何？8、试说明热传递、热量的概念。
9、试说明功与热量的异、同。
10、内能的概念如何？热力学第一定律的本质如何？11、试证明开尔文表述与克劳修斯表述的等价性。
12、试说明熵的定义、特点、作用、意义。
13、试说明熵增加原理的意义、热力学第二定律的实质。
14、试说明热力学第二定律的适用范围。
作业：P29：1、2、4、5、6、7、8 // 10、11、14、15、16 // 19、20、23、24、25、26、28、29．第二章均匀闭系的热力学关系及其应用l、试述焓、自由能、吉布斯函数的定义、性质、意义。
2、试述最大功定理。
3、试由热力学基本方程导出八个偏导数和麦克斯韦关系，麦克斯韦关系的作用何在？4、什么是特性函数？试证明U（S，V）、S（U、V）、H（S，P）、F（T，V）、G(T,P)是特征函数5、试举例说明“系数比较法”、“由全微分直接写出偏导数法”、“循环关系法”、“链式关系法”、“复合函数微分法”、“混合二阶偏导数法”的应用。
热力学统计物理第四版汪志诚答案及习题解答
热力学统计物理第四版汪志诚答案及习题解答在物理学的领域中，热力学统计物理一直是一门重要且富有挑战性的学科。
汪志诚所著的《热力学统计物理》第四版，更是众多学子深入学习这一领域的重要教材。
然而，在学习过程中，面对书中的习题，如何找到准确的答案和详细的习题解答，成为了许多同学的困扰。
首先，我们来谈谈为什么需要答案和习题解答。
对于初学者来说，通过自己的思考和计算完成习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
但当遇到困难时，如果没有及时的指导和正确的答案，很容易陷入误区，甚至对知识点产生误解。
答案和习题解答就像是学习道路上的指明灯，能够帮助我们检验自己的学习成果，发现问题并及时纠正。
那么，如何获取《热力学统计物理第四版汪志诚》的答案和习题解答呢？一方面，我们可以向老师请教。
老师拥有丰富的教学经验和专业知识，他们能够针对我们的问题给出准确、清晰的解答。
另一方面，我们还可以在图书馆或者学校的资料室查找相关的辅导书籍。
这些辅导书籍往往会针对教材中的习题提供详细的分析和解答过程。
此外，现在网络上也有许多学习资源。
一些教育网站或者学术论坛上，可能会有热心的学长学姐或者其他学习者分享他们的解题思路和答案。
但需要注意的是，在参考网络资源时，要确保其来源的可靠性和准确性，避免被错误的信息误导。
接下来，让我们具体分析一下这本教材中的一些习题。
比如，在热力学部分，关于热平衡和热力学第一定律的习题常常会涉及到能量的转化和守恒。
解题的关键在于准确理解各个物理量的含义，以及它们之间的关系。
通过分析系统与外界的能量交换，运用热力学第一定律进行计算。
在统计物理部分，关于麦克斯韦玻尔兹曼分布、费米狄拉克分布和玻色爱因斯坦分布的习题较为常见。
这些习题要求我们掌握不同分布的特点和适用条件，并能够运用它们来解决实际问题。
例如，通过计算粒子在不同能量状态下的概率分布，来确定系统的热力学性质。
在解答这些习题时，我们需要注意以下几点。
首先，要仔细审题，明确题目所给出的条件和要求。
GL.热统-Ch.1+2-3,4.基本热力学函数,特性函数
导出均匀系Байду номын сангаас其他热力学函数的表达式
解: G=F+pV → dG=dFpdVVdp(1)
引入方程 dF=SdTpdV 代入(1) 式,有dG=SdTpdVpdVVdp= SdTVdp 则有 dG(T, p) =SdTVdp ……(2)
GL.热力学统计物理-Ch.12
10
GL.热统物理学-Ch.12
则导出简单系的热力学函数熵的表达式为
S (T ,V ) dS = (CV T )dT + (p T )V dV S0
显然用类似方法也可以由基本热力学函数及热容写出其他
热力学函数(如 H, F, G )的表达式
GL.热力学统计物理-Ch.12
3
GL.热统物理学-Ch.12
例2:知简单系的物态方程 V=V(T, p)及Cp , 试由物态方程及其偏 导数与Cp表示出该系统的热力学函数熵 S和焓 H
2. 特性函数自由能 F=F(T, V )
• 基本量为: T, V, F(T, V ), (∂F/∂T )V , • 导出量为: p, S, U; 进而可得到 H=U+pV;
(∂F/∂V )T G=U+pVTS
例:由特性函数F=F( T, V )及其偏导数、及其自然变量, 导出
均匀系的其他热力学函数的表达式
GL.热力学统计物理-Ch.12
16
GL.热统物理学-Ch.12
例5:由特性函数 p(H,S)及其偏导数、及其自然变量,导出均匀系的
其他热力学函数的表达式
知CV 与能态方程为
CV (U T )V ;
(U V )T T (p T )V p
代入(1)式, 有 dU (T ,V ) CV dT T (p T )V p dV
解: G=F+pV → dG=dFpdVVdp(1)
引入方程 dF=SdTpdV 代入(1) 式,有dG=SdTpdVpdVVdp= SdTVdp 则有 dG(T, p) =SdTVdp ……(2)
GL.热力学统计物理-Ch.12
10
GL.热统物理学-Ch.12
则导出简单系的热力学函数熵的表达式为
S (T ,V ) dS = (CV T )dT + (p T )V dV S0
显然用类似方法也可以由基本热力学函数及热容写出其他
热力学函数(如 H, F, G )的表达式
GL.热力学统计物理-Ch.12
3
GL.热统物理学-Ch.12
例2:知简单系的物态方程 V=V(T, p)及Cp , 试由物态方程及其偏 导数与Cp表示出该系统的热力学函数熵 S和焓 H
2. 特性函数自由能 F=F(T, V )
• 基本量为: T, V, F(T, V ), (∂F/∂T )V , • 导出量为: p, S, U; 进而可得到 H=U+pV;
(∂F/∂V )T G=U+pVTS
例:由特性函数F=F( T, V )及其偏导数、及其自然变量, 导出
均匀系的其他热力学函数的表达式
GL.热力学统计物理-Ch.12
16
GL.热统物理学-Ch.12
例5:由特性函数 p(H,S)及其偏导数、及其自然变量,导出均匀系的
其他热力学函数的表达式
知CV 与能态方程为
CV (U T )V ;
(U V )T T (p T )V p
代入(1)式, 有 dU (T ,V ) CV dT T (p T )V p dV
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i
j j
i
交换前
交换后
j ( q i1 , q i2 , , q ir , p i1 , p i2 , , p ir )
i ( q j1 , q j2 , , q , p j1 , p j2 , , p jr ) jr
2）描述方式：
用 μ 空间中N个点描述
例二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
n (n
1 2 ) n 0 ,1, 2 ,
所有能级等间距。能级为非简并。
例三、转子
转子的能量 量子理论要求
M
2
M
2
2I
2
l (l 1)
l 0 ,1, 2 ,
M Z m , m l , l 1, , l
• ③物质的宏观性质是大量微观粒子的集体表 现，宏观物理量是相应微观量的统计平均值。
⒉ 统计物理的基本原理——等概率原理 （见§⒍4）
• 对于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的 微观状态出现的概率相等。
• 它是平衡态统计物理的基本原理，平衡态统计规 律的建立以它为基础，不能用别的结论推导它。 • 适用于大量微观粒子组成的宏观系统且处于平衡 态。
广义坐标： q1 x q2 y q3 z
广义动量： p1 p x m x p2 p y my p3 p z m z
能量： 能量球
r
1 2m
( px py pz )
2 2 2
2m
例二、线性谐振子
自由度： 1 μ空间维数：2
质量为 m 的粒子在弹性力作用下,将在原点附近作圆 频率为ω 的简谐振动，称为线性谐振子。
l
• 满足的条件为
a
al
N
a
l l
l
E
a l a 1 a 2
• 数列
a l
， ，…， ，…称为1个分布
a l
（二）给定分布
下各种系统的微观状 a l 态数
（1）玻尔兹曼系统的微观状态数
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
对于Boltzmann系统可有9种不同的微观状态 量子态 量子态1 量子态 3 2 1 AB 2 AB 3 AB 4 A B 5 B A 6 A B 7 B A 8 A B
1 2I M 2I
( p
2 2
1 sin
2
p )
2
能量：
• 根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子 的总角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和时间都不随时间改变。由于 r 垂直于 M ，质 点的运动是在垂直于 M 的平面内运动。 如果选择轴 平行于 M ，质点的运动必在 xy 平面 z 上，这时 2, p 0
A A
A A
A A
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
量子 量子 量子 态1 态2 态3 1 2 A A A A A A
狄拉克（P。DIRAC，1902-1984）英国 物理学家。1926年发表题为《量子力学》 的论文，1932到1969年，狄拉克任剑桥 大学卢卡斯数学教授（牛顿曾任此职务， 现任为霍金)。1933年狄拉克和薛定谔、 海森伯一起分享当年度诺贝尔物理学奖金。
3
V h
3
0
2
0
p sin dpd d
2
p dp
2
p
2
代入上式，得： 4 V h
3 d
2 V h
3
(2m )
3 2
1 2 d
p dp
2 m d ( 2 m ) 2
2 V h
3
(2m ) 2 2 d
表示单位能量间隔内粒子可能的 量子态数，称为态密度。如果粒 子的自旋不为零，以上量子态数 公式需乘以自旋自由度。
r
微观粒子的运动必须遵守测不准关系，不可 能同时具有确定的动量和坐标，所以量子态不能 用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标 和广义动量来描述量子态，那么一个状态必然对 应于 空间中的一个体积元，而不是一个点，这 个体积元称为量子相格。自由度为1的粒子，相 格大小为普朗克常数 qp h 如果自由度为 r 相格大小为
所以：
l
l ( l 1) 2I
2
l 0 ,1, 2 ,
基态非简并，激发态简并，简并度： 2 l 1
四、系统微观状态的量子描述
玻尔兹曼系统（经典系统）： 粒子可分辨，每个量子态
上的粒子数 不受限制的全 同粒子系统；满足玻尔兹曼— 麦克斯韦（B。M）统计；
量子系统：
1. 玻色系统：由玻色子（自旋为整数）构成的系统，粒 子不可识
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
全同粒子是可以分辨的（因为经 典粒子的运动是轨道运动，原则上 是可以被跟踪的）。如果在含有多 个全同粒子的系统中，将两个粒子 的运动状态加以交换，交换前后， 系统的力学运动状态是不同的。
i ( q i1 , q i2 , , q ir , p i1 , p i2 , , p ir ) j ( q j1 , q j2 , , q , p j1 , p j2 , , p jr ) jr
3
六、 分布和微观状态
（一）分布
• 设系统总能量E、粒子数N、体积V，粒子能 级 l l 1, 2 , ，第 能级的简并度 l ，粒子数 ， l 即 al
•
• •
能级
1 2 ，
简并度 粒子数
1 ， 2，…，l ，…
l ，…， ，…
，
l
a 1 ， 2 ，…，l a a
2
2m
px py pz 2m
2
2 2
2
2
2
2
m
2
nx n y nz
2 2
2
L
2
3
对 于
m
nx ny nz 1
有六个量子态与之对应： （1，0，0），（0，1，0），（0，0，1） （-1，0，0），（0，-1，0），（0，0，-1）
所以该能级为六度简并，而基态为非简并。 在V=L3内，Px到Px+dPx， Py到Py+dPy，Pz到Pz+dPz间可能的Px， Py， Pz的量子态数： 3 x y z x y z
海森伯（ W.K.Heisenberg， 1901～1976）
矩阵力学的奠基人，1927年提出“不确定 性”，阐明了量子力学诠释的理论局限性 1929年，提出基本粒子中同位旋的概念1932 年获诺贝尔物理学奖。
电子波 （上） 与光波 （下） 的比较
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。 微观粒子的运动状态用波函数或量子数来描述的。 在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,称为能级.如果一个能 级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。一个能 级的量子态数称为该能级的简并度。如果一个能级只 有量子态，该能级称为非简并的。
二、粒子运动状态的经典描述
μ 空间和相轨道
• 认为粒子有确定位置和轨道并遵从牛顿定律
μ 空间：以 个广义坐标g1，…，gr为横轴， r个广义动量P1，…，Pr为纵轴构成的2r维 直角空间叫 μ 空间。 粒子运动状态变化时，代表点在μ 空间描 绘的轨道叫相轨道。
例一、自由粒子
自由度： 3 μ空间维数：6
dn dn dn (
L
2
) dp dp dp
采用球极坐标，用
dn ( p , , ) V h
3 2
p, ,
代替 p x , p y , p z
4 V h
3
p sin dpd d
令 : 0 , : 0 2 积分：
dn ( p )
将 4 V h
q1 q r p1 p r h
r
例一、三维自由粒子
考虑处于长度为 L 的三维容器中自由粒子的运动状 态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动， 周期性边界条件要求粒子可能的运动状态，其德布罗意 波长 满足： L n , n 0 ,1, 2 , 2
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。
量子 量子 量子 态1 态2 态3 1 2 3 4 5 6 AA AA AA
玻色〈Satyendra Nath Bose，18941974〉印度物理学家。1924年提出 玻色－爱因斯坦凝聚。 1995年6月， 两名美国科学家康奈尔、维曼以及德 国科学家克特勒分别在铷原子蒸气中 第一次直接观测到了玻爱凝聚态。这 三位科学家也因此而荣获2001年度 诺贝尔物理学奖。
能量简化为
p 2I
2
M
2
2I
三、 粒子运动状态的量子描述 微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性）
德布罗意关系：
px
p k
A B △X
O
x
测不准关系
qp h
△P
在相格中的A、B两 点是不可区分的
h 2 6 .626 10
34
J s
L
x
x
px
L 2 L 2 L
nx
又： k x kx 2 L