热统答案第三版9第九章 系综理论

ln V T T0 T p p0 , V0
（2）
或
V T , p V T0 , p0 e
T T0 T p p0
.
（3）
考虑到 和 T 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T 的线性项，有
V T , p V T0 , p0 1 T T0 T p p0 .
lnV dT T dp .
（3）
若 1 , T 1 ，式（3）可表为
T p
1 1 lnV dT dp . p T
（4）
选择图示的积分路线，从 (T0 , p0 ) 积分到 T , p0 ，再积分到（T , p ） ，相应地体
U CV , T n
（4）
（c）根据题给的数据， J , Y , 对
L L0
的曲线分别如图 1-2 （a） ， （b） ， （c）
所示。
7
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强 p0 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能 U 与原来在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 p0V0 ，其中 V0 是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在 大气中的内能 U 0 由式（1.5.3）
J YA T2 T1
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
（2）
所以，有

习题九9-1 一系统由图示的状态。

经Q&/到达状态。

，系统吸收了320J热量，系统对外作功126J。

⑴若。

沥过程系统对外作功42J,问有多少热量传入系统？（2）当系统由b沿曲线ba返回状态。

，外界对系统作功84 J,试问系统是吸热还是放热？热量是多少?懈］由热力学第一定律Q = \E + A p得星=。

-4在a<b过程中，E b - E = M = 0 - A = 320 -126 = 194/在讪过程中Q2 =^ + 4 = 194 + 42 = 236/o在ba过程中Q, = E. - E b + & = -AE + & = -194-84 = -278J本过程中系统放热。

9-2 2mol氮气由温度为300K,压强为 1.013x10*）（latm）的初态等温地压缩到 2.026 xl05Pa（2atm）o求气体放出的热量。

［解］在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以Q T=A=/?TIn-^- = 2x8.3lx300x In-= -3.46x 103JM ］P,2mol 2即气体放热为3.46x103, o9-3 一定质量的理想气体的内能E随体积的变化关系为E- V图上的一条过原点的直线，如图所示。

试证此直线表示等压过程。

［证明］设此直线斜率为奴则此直线方程为E = ki，又E随温度的关系变化式为E = M—Cv ・T = k'TM mo i所以kV = k'T因此堂= C = C（C为恒量）T k又由理想气体的状态方程知，华=。

'（C'为恒量）所以P为恒量即此过程为等压过程。

9-4 2mol氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：⑴沿I一所一2路径。

（2）1 — 2 直线。

试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化。

［解］（1）在1-初一2这一过程中，做功的大小为该曲线下所围的面积，氧气对外做负功。

｛
第九章 系综理论
二 系统的微观状态与Г空间中体元的对应
系统由N 个粒子组成，粒子自由度r ，系统自由度N r ， Г空间是2N r 维。

在µ 空间中，粒子的每个状态占据体元 hr . 在Г空间中， 系统的每个微观状态占据体元 hNr .
孤立系统在能量 E—E+∆E 范围内，系统的微观状态数为 1 Nr Ed N! h E H E
第九章 系综理论
5. 刘维定理（代表点密度随时间的变化规律）
d [ qi pi ] 0 dt t qi pi i
如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻 域的代表点密度是不随时间改变的常数-------刘维尔定理 说明：①刘维尔定理完全是力学规律的结果，其中并未引入任何的统 计概念； ②相空间中的代表点在运动中没有集中或分散的倾向，而保持原 的密度。或者说一群代表点经一定时间后由一个区域移动到另一 个区域，在新区域中代表点的密度等于在出发点区域中的密度。
其中（q, p, t )为概率密度分布函数。 满足
（q, p, t )d 1
统计物理学的基本观点认为，力学量的宏观测量值等于相应微观量 对微观状态的统计平均值。
B(t) B(q, p) (q, p, t) d
不同微观状态在统计平均中的贡献由概率分布函数体现。要想计算 统计平均值，必须知道概率分布函数。
第九章 系综理论
§9.2
微正则分布
不同宏观条件下的系统的分布函数不同。本节讨论 孤立系 ( N、E、V 一定 ) 。 由完全相同的极大数目的孤立系统所组成的系综称为微 正则系综。微正则系综的概率分布称为微正则分布。 孤立系系是与外界既无能量交换又无粒子交换的系统。由 于绝对的孤立系是没有的。所以孤立系是指能量在 E—E+∆E 之间，且 ∆E<< E 的系统。尽管∆E 很小，但在此范围内，系统 可能具有的微观状态数仍是大量的，设其为Ω 。由于这些微观 状态满足同样的已经给定的宏观条件，因此它们应当是平权的。 一个合理的假设是，平衡态的孤立系，系统处在每个微观态上 的概率是相等的。 统计意义 即为等概率原理——微正则分布

0 (E1, E0 E1) 1(E1)2 (E0 E1) 上式表明对给定的E0，Ω0取决于E1，即取决于 能量E0在A1，A2间的分配。
根据等概率原理，系统在某一能量分配条件下的微 观状态数越大，该能量分配出现的概率就越大。
因为热平衡必对应概率最大的状态 所以A1，A2达到热平衡时应满足条件： 0 0
二、两种统计平均（1）时间平均（2）系综平均 系统的一个宏观量的测量一般会持续一段时间，如
t0 t t
其中 是一个宏观短而微观长的时间间隔。
宏观短是指在这个时间间隔内，系统的宏观量还 没有发生任何可观测的变化；
微观长是指从微观的角度，在该时间间隔内，系统 的微观运动状态已发生很大变化，从系统的相空间 角度看，系统的代表点已经在相空间中移动了相当 一段。
d ln dE dN dV
比较开系的热力学基本方程 dS dU P dV dN
TT T
P
kT
kT
等价于从热力学得到的单元两相平衡条件：
T1 T2 , P1 P2 , 1 2
下面来确定k的数值：
经典理想气体，1个分子处于V内，可能的微观
当系统处于s量子态时，微观量B的数值为Bs，则 B在一切可能微观状态上的平均值为
B(t) s (t)Bs
s
s (t) 称为分布函数，须满足归一化条件
s s (t) 1
经典系统：
可能的微观态在Γ空间中构成一个连续分布
不同的微观态由相空间的位置标记，
系统相空间的相体积元表示为：
d dq1...dq f dp1...dp f
N!h3N

EH EE
dq1 dq3N dp1 dp3N

《热力学与统计物理》考试大纲2015版第一章热力学的基本定律一、考核知识点（一）基本概念：平衡态、状态参量、状态方程、准静态过程、可逆过程、不可逆过程、功、热量、内能、熵。

（二）基本规律：理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程。

热力学第零定律、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理。

二、考核要求（一）识记：平衡态、状态方程。

定压膨胀系数、等容压缩系数、等温压缩系数。

准静态过程、可逆过程、不可逆过程。

理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理。

（二）重点掌握：分别能应用功、热量、内能、熵等概念及理想气体状态方程、范德瓦耳斯方程、热力学第一定律、热力学第二定律、熵增加原理等解决有关问题。

第二章均匀系的热力学关系及其应用一、考核知识点（一）基本概念：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数。

（二）基本规律：热力学基本方程组、麦克斯韦关系。

二、考核要求（一）识记：焓、自由能、吉布斯函数、特性函数、热力学基本方程组、麦克斯韦关系。

（二）重点应用：能够熟练确定研究体系的基本热力学函数、确定给定系统的特性函数。

能够熟练应用热力学基本方程组、麦克斯韦关系式及雅克比行列式进行热力学函数变换，寻求不同物理效应之间的关系。

第三章单元复相系的平衡和化学平衡一、考核知识点（一）基本概念：热动平衡判据、相、单元系的复相平衡条件、相变、相平衡、巨热力学势。

（二）基本规律：单元开放系的热力学基本方程组、热动平衡条件、平衡的稳定性条件，相变方向的判定、克拉珀龙方程、表面相影响下的平衡条件、爱伦菲斯特方程。

二、考核要求（一）识记：热平衡判据、单元系的复相平衡条件、单元开放系的热力学基本方程组、平衡稳定性条件、克拉珀龙方程。

（二）重点应用：能够应用热动平衡判据导出系统的平衡条件以及平衡的稳定性条件，能够熟练地应用克拉珀龙方程求证单元系的有关平衡性质。

能够利用热动平衡判据判定不同热力学过程的方向。

第四章多元系的复相平衡和化学平衡一、考核知识点（一）基本概念：偏摩尔量、多元复相系的平衡条件。

第九章 系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为∑-=ss s k S ρρln 其中sE s e Zβρ-=1是系统处在s 态的概率。

证： )l n (l n ββ∂∂-=Z Z k S 多粒子配分函数)1(1ss E sE e Z e Z ββρ--=⇒=∑ )2(ln ∑∑---=∂∂kE kE k kke e E Zβββ由(1)知 []s s s s s E Z E Z E Z e s ρβρβρβl n l n 1;l n l n +=-+=-⇒=-代至(2)得[]∑∑+=+=∂∂ss ss s s Z Z Z ρρββρρββl n 1l n 1l n l n 1l n ;于是 ∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=s s s k Z Z k S ρρββln ln ln 习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 证： ()222121;iziy ix Ni s sE p p p mE eZ s++==∑∑=-β 符号∏=iiz iy ix dp dp dp dp符号∏=ii i i dz dy dx dq()()2/33)(232332!!!!1222122212222N NNNp p p m N N p p p m NNp p p N m h N V Z dp e h N V dpeh N V dpdq e hN Z z y x Ni iziy ix Ni iz iy ix m⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=∑=⎰⎰⎰∞+∞-++-∞+∞-++-++-==βπβββ利用式（9.5.3）VNTkV Z Z Z P =∂∂=∂∂=⇒βββ1ln 1类似求S U ,。

习题9.3体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为1n 和2n ，温度为T 。

试由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵。

解：()()[]∏∏⎰∑=+++++-+jj j i i i i iz iy ix p p p p p p m n n dq dp dz dy dx dp dp dp e h n n Z jz jy jx iz iy ix 222222212)(321!!1β()2/3)(321)(2121212!!n n n n n n m h n n V Z +++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒βπ()kT n n PV VkT n n V Z P )(ln 12121+=⇒+=∂∂=⇒β习题9.5利用范氏气体的配分函数，求内能和熵。

Bt
B p, q 就是与微观量 B 相应的宏观量
上式也可以这么理解：
设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定宏 观条件下，这样的大量系统的集合称为统计系综。 那么在 t 时刻，运动状态在d 范围内的系统数就 与 p, q, t 成正比。 如果在 t 时刻 ，从统计系综中任 取一个系统，这个系统的状态处在 d 范围内的概率为
H p, q E, H p, q E E
E H p, q E E
等概率原理的量子表述： 如果用 表示在 E E E 能量范 围内系统可能的微观状态数 ，那么有
s
1

s
s
1
s 1,2,,
把理解经典统计理解为量子统计的经典极限，对于含有 N 个自由度为 r 的全 同粒子系统，在 E E E 的能量范围内系统的微观状态数 为
1 2
力平衡条件
p1 p2
ln 1 N 1 E1 ,V1
ln 2 N 2 E 2 ,V2
ln N V , E
1 2
相变平衡条件
1 2
ln E N ,V
dx dy dz dx
N
dyN dzN dpx 1 dpy dpz 1 dpx N dpy dpy
1 N
N
0
2m E


确定 空间中的一个曲面，称为能量曲面。 对于经典理论，在 空间中，一点代表代表着系统的 一个微观运动状态，随着时间的推移，这些微观运动状态
的代表点将在 相空间中构成一个连续的分布。 用 d dq1 dq f dp1 dp f 表示相空间中一个体积元， 则在 t 时刻，系统处在 d 内的概率可以表示为 p, q, t d

热统习题解答（全）第⼀章热⼒学的基本规律1.1 试求理想⽓体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。

解：理想⽓体的物态⽅程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=??-==??==??=βα1.2 证明任何⼀种具有两个独⽴参量T ，P 的物质，其物态⽅程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ，根据下述积分求得： ?-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态⽅程。

证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(??+??= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1积分后得 ?-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代⼊上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=?所以物态⽅程为：CT PV =与1mol 理想⽓体得物态⽅程PV=RT 相⽐较，可知所要求的物态⽅程即为理想⽓体物态⽅程。

1.3在00C 和1atm 下，测得⼀块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。

a 和k 可以近似看作常数。

今使铜加热⾄100C ，问（1）压⼒要增加多少⼤⽓压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压⼒增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=??+??=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475==?=?-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---?=??-??=---=-=?p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。

f i 1
qi
qi
p i
pi
0
由正则方程知
qi pi 0 qi pi
因此
t
f
i 1
qi
qi
pi
p i
0
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或应用正则方程得刘维尔方程的另一表述
f H H
t
i 1
qi
pi
pi
qi
注意：刘维尔定理完全是力学规律的结果。
由量子力学也可以证明量子刘维尔定理。
A1
＋
A2
＝
N1、E1、V1 N2、E2、V2
Ω1(N1,E1,V1) Ω2(N2,E2,V2)
孤立系A0
E1 E2 E0
Ω0(E1,E2) =Ω1(E1)Ω2(E2)
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总微观态数表示为E0与E1的函数： Ω0(E1,E0-E1)=Ω1(E1)Ω2(E0-E1)
也就是说复合系统的总态数取决于E1，或者说 取决于E0在两个子系统的能量分配。
设E1取某一定值 E1 时，Ω0取极大值
也就是说：
E1
微观态最多的最可几分布
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A0处于热力学平衡态，或者说 A1与A2达到热力学平衡
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即
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0 0 E1
1 E1
E1
2
E2
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d ln dE dV dN dS dU p dV dN
TT T
则有
p ;
kT
kT
因而，两个系统的平衡条件就是温度、压强及化学势 相等。

缩功； （4）压缩过程中传出的热量。 解： （1）多变指数
0.32 0.1 = 1.186 ∴n = = V 0 . ln( 1 ) ln 032 V2 0.012 ln(
2
p
Q p1v1 = p 2 v 2
n
n
p
)
ln
1
（2）空气终温
p T2 = T1 ( 2 ) p1
n −1 n
0.32 = (273.15 + 50) × ( ) 0.1
3
温升为 14℃。求（1）空气可能达到的最高压力； （2）压气机必需的功率。 解：
Q w = q m,W c∆t = q m, a 465 × 4.187 × 14 = 7.5715kW 3600 pV 0.1× 10 6 × 250 = 1 1 = = 0.08254 kg s R g T1 3600 × 287 × 293.15
9-4 三台空气压缩机的余隙容积比均为 6%， 进气状态均为 0.1MPa,27°C ， 出口压力为 0.5MPa ，
但压缩过程的指数分别为：n1=1.4、n2=1.25、n3=1,试求各压气机的容积效率（假设膨胀过程的 指数和压缩过程相同） 。 解： 据题意
Vc = 0.06 Vh 0.5 π= =5 0 .1
或
wc = p n RgT1 [( 2 ) p1 n −1
n −1 n
− 1] =
1.2 0.9 × 287 × 293.15 × [( ) 1.2 − 1 0.1
1.2 −1 1.2
− 1] = 2.23 × 10 5 J
kg
N = q m ,a ⋅ wc = 0.0825 × 2.23 × 10 5 = 18.4kW

N,V
22
系统热平衡条件 ： 1 2
热力学中类似的两个系统达到热平衡的条件：
US11
N1,V1
US22
N2,V2
比较可得：
1 kT
Skln
S U
N ,V

1 T
——熵与微观状态数的关系—玻耳兹曼关系。
•不仅适用于近独立粒子系统，也适用于粒子间存在相
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1 E (E 11) 2(E 2) 1(E 1) 2 E (E 22) E E 1 20
ln E 11(E1)N1,V1 ln E 22 (E2)N2,V2 ——系统热平衡条件

lnE(E)



ln V
N
,E
lnN 11E1,V1 lnN 22E2,V2



ln N
E,V
1 1
1 2 1 2
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•参量的物理意义
全微分： d ln d E d V d N
开系的热力学基本方程：
dSdUpdVdN
TT T 比较可得：
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1 kT
p kT
kT
1 1
1 2 1 2
T1 T2 p1 p2
1 2
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经典理想气体——确定常量k
(N,E,V)VN
在经典理想气体中，粒子的位置是互不相关的。一个 粒子出现在空间某一区域的概率与其它粒子的位置无关。 一个粒子处在体积为V的容器中，可能的微观状态数与V 成正比，N个粒子处在体积为V的容器中，可能的微观状 态数将与VN成正比。

第一章绪论1、答：分为三类。

动量传递：流场中的速度分布不均匀（或速度梯度的存在）；热量传递：温度梯度的存在（或温度分布不均匀）；质量传递：物体的浓度分布不均匀（或浓度梯度的存在）。

2、解：热质交换设备按照工作原理分为：间壁式，直接接触式，蓄热式和热管式等类型。

●间壁式又称表面式，在此类换热器中，热、冷介质在各自的流道中连续流动完成热量传递任务，彼此不接触，不掺混。

●直接接触式又称混合式，在此类换热器中，两种流体直接接触并且相互掺混，传递热量和质量后，在理论上变成同温同压的混合介质流出，传热传质效率高。

●蓄热式又称回热式或再生式换热器，它借助由固体构件（填充物）组成的蓄热体传递热量，此类换热器，热、冷流体依时间先后交替流过蓄热体组成的流道，热流体先对其加热，使蓄热体壁温升高，把热量储存于固体蓄热体中，随即冷流体流过，吸收蓄热体通道壁放出的热量。

●热管换热器是以热管为换热元件的换热器，由若干热管组成的换热管束通过中隔板置于壳体中，中隔板与热管加热段，冷却段及相应的壳体内穷腔分别形成热、冷流体通道，热、冷流体在通道内横掠管束连续流动实现传热。

3、解：顺流式又称并流式，其内冷、热两种流体平行地向着同方向流动，即冷、热两种流体由同一端进入换热器。

●逆流式，两种流体也是平行流体，但它们的流动方向相反，即冷、热两种流体逆向流动，由相对得到两端进入换热器，向着相反的方向流动，并由相对的两端离开换热器。

●叉流式又称错流式，两种流体的流动方向互相垂直交叉。

●混流式又称错流式，两种流体的流体过程中既有顺流部分，又有逆流部分。

●顺流和逆流分析比较：在进出口温度相同的条件下，逆流的平均温差最大，顺流的平均温差最小，顺流时，冷流体的出口温度总是低于热流体的出口温度，而逆流时冷流体的出口温度却可能超过热流体的出口温度，以此来看，热质交换器应当尽量布置成逆流，而尽可能避免布置成顺流，但逆流也有一定的缺点，即冷流体和热流体的最高温度发生在换热器的同一端，使得此处的壁温较高，为了降低这里的壁温，有时有意改为顺流。

对于等压过程
V1 =
习题 1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送扫温 度较高的物体上去。如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的 效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效 率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收，则“效率”为何？ 解：A→B 等温过程
f (η, L, T ) = 0, L = L(η , T ) dL = (
∂L ∂L ) T dη + ( ) η dT ∂η ∂T
因
(
∂η ∂L L 1 )T = ; ( )T = ∂ L ∂L AY ( ) T ∂η ∂η ∂L L )η ; dL = dµ + Lα dT ∂T AY
Lα = (
Cp ∂S ⎞ ⎛ ∂S ⎞ 由关系 C p = T ⎛ ⎜ ⎟ ;⇒ ⎜ ⎟ = T ⎝ ∂T ⎠ p ⎝ ∂V ⎠ p
∂T ⎞ ⋅⎛ ⎜ ⎟ 。 ⎝ ∂V ⎠ p
习题 2.7 试证明在相同的压强降落下 ,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于 ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ 在节流过程中的温度降落。 （提示:证明 ⎜ ⎜ ∂p ⎟ ⎟ -⎜ ⎜ ⎟ ⎟ >0） ⎝ ⎠ S ⎝ ∂p ⎠ H
−1
xκ T = 4.858 * 10 −4 ; ∆V = 4.85 * 10 −4 − 100 * 7.8 * 10 −7
所以， x = 622 pn , ∆V = 4.07 *10 − 4 习题 1.4 描述金属丝的几何参量是长度 L ，力学参量是张力 η ，物态方程是
f (η, L, T ) = 0 实验通常在 1 p n 下进行，其体 积变化可 忽略。线 胀系数 定义为 α=
1 ∂L L ∂η ( )η 等杨氏摸量定义为 Y = ( ) T 其中 A 是金属丝的截面积，一般说 L ∂T A ∂L

更加重要的是，我们研究的系统，总能量E 并没有确定 的数值，通过其表面分子不可避免和外界发生作用，使得在 能量E 附近有一个狭长的范围，即
E ≤ H (q, p) ≤ E +∆E
对宏观系统，表面分子远小于总分子数，故系统和外界的作 用很弱，故有：
∆E E
<<1
系统和外界微弱作用的影响 系统从初态出发沿着正则方程所确定的轨道运动， 经过一定时间（可能很短）之后，外界的作用使得 系统跃迁到另外一个状态，从而沿着另外一条正则 轨道运动，因此，系统的微观状态发生极其复杂的 变化。 在给定的宏观条件下，我们不能肯定系统在某一时 刻处在或者是不处在某一微观状态。 统计物理学的基本想法是：退一步，试图找到系统 处在某个微观状态的概率。而宏观量是相应微观量 在一切可能的微观状态上的平均值。
dΩ ≡ dqdp
则t 时刻，运动状态在这个体积元内的代表点数：
% % ρ(q, p, t)dΩ ≡ ρ(q1,L, q f ; p1,L, p f ; t)dΩ
t 时刻，系统处于这个体积元内的概率为：
ρ(q, p, t)dΩ =
% ρ(q, p, t) N
dΩ, ρ(q, p, t)称为(概率)分布函数
根据等概率原理，平衡态下孤立系统一切可能的微观状 态出现的概率都相等，因此，当A1的能量取某一个值时，孤 立系统总的微观状态数取极大值，这意味着相应的E1和E2是 最概然的能量分配。对于宏观系统，最概然的微观状态数实 际上可以当作是总的微观状态数，因此其他能量分配出现的 概率远远小于最概然能量分配出现的概率，由此可以认为最 概然微观状态数对应的E1和E2就是A1和A2达到热平衡时的内 能。
相空间&刘维尔定理 相空间 刘维尔定理

经dt时间后，d 内代表点数的增加为:
t
dt d t
dtd
(9.1.7)
计算通过平面 qi 进入 d 的代表点数。 在平面 qi上的边界 d
面积为
dA dq1 dqi 1dqi 1 dq f dp1 dp f
在dt时间内通过dA 进入d 的代表点必须位在以 dA 为底，以 qi dt
(9.1.5)
d 0 dt
(9.1.6)
证明式（9.1.6） 考虑相空间中一个固定的体积元 :
d dq1 dq f dp1 dp f
qi , qi dqi ; pi , pi dpi (i 1, 2,, f )
这体积元是以下述2 f 对平面为边界构成的:
在时刻t，在d 内的代表点数为 d 。经过时间dt之后，有些代表点 走出了这个体积元，另有些代表点走进了这个体积元，使得在这个 固定的体积元中的代表点数变为:
qi pi 0 qi pi
(i 1, 2,, f )
因此得:
qi pi 0 t pi i qi
(9.1.10)
刘维尔定理
d qi pi dt t pi i qi
为高的柱体内。柱体内的代表点数是:
qi dtdA
同样，在 dt 时间内通过平面 qi dqi 走出 d 的代表点数为:
i )qi dqi dtdA ( qi ) qi i )dqi dtdA (q (q qi
两式相减，得到通过一对平面 qi 及 qi dqi 净进入 d 的代表点数为:
代入式 (9.1.5)即得 :
d 0 dt

第九章 热平衡的统计规律思考题9-14 已知 基本高斯积分公式2x e dx ∞-=⎰或2x e dx +∞--∞=⎰若记2ax nn I ex dx ∞-=⎰，验证 1202I a -=、1112I a -=以及递推公式 2(1)2n n n I I a--=。

9-15若气体密度的数量级为13/kg m ,估算气体分子间平均距离是液体分子间平均距离的多少倍。

9-16 在统计问题中，将相互独立的事件称为相乘事件，这是因为互相独立的事件同时发生的概率为各个时间发生概率的乘积。

例如，同时掷两组硬币，则两组硬币均出现“数字”一面的概率为111224⨯=。

两相加事件指的是互相排斥的事件，即或出现此事件、或出现彼事件。

例如，掷体筛子，出现1点或3点的概率应为 111663⨯=。

根据以上定义，试分析麦氏速度分布律（9.7）式、麦氏速率分布律（9.8）式和麦氏速度分量分布规律（例9.2（1）式）之间的关系。

9-17 由力学可知，声波在气体中传播的速度（声速）v =p 是气体压强，ρ是传播介质的密度。

假设声波传播可视为绝热过程，试证明声速v =（其中γ为比热容比）。

9-18 利用玻尔兹曼原理（9.28）式说明熵的可加性。

习题9-1 一氦氖气体激光管，工作时管内的温度是27摄氏度，压强是2.4mmHg ，氦气与氖气的压强比是7：1，问管内氖气和氦气的分子数密度各是多少？ 解：112221223112132227,712.40.3()882.1()16.7610()9.6610()P P P P P P P mmHg P mmHg P P n KT m KTP n KT n m --+===∴====∴==⨯=∴=⨯1，n =9-2 水蒸汽分解成同温度的氢气和氧气，内能增加百分之几？（不计分子的振动自由度） 解：因为22222H O H O =+，所以，2摩尔的水分分成2摩尔的氢和1摩尔的氧气2206522222H H i U vRT U RT U RT =∴=⨯⨯∴=⨯⨯2222()51512125%212O H H O H O U U U U RT U +--=⨯⨯∴==9-3 一能量为1012ev （1.602×10-19J ）的宇宙射线粒子射入一氖管中，氖管中含有氖气的0.1mol 。

第九章 系综理论习题9.1证明在正则分布中熵可表为ln s s sS k ρρ=-∑其中1sE s eZβρ-=是系统处在s 态的概率。

证：熵的统计表达式是ln (ln )Z S k Z ββ∂=-∂(1)多粒子配分函数111,sssE E E s sseZ eZ eZβββρρ---==⇒==∑∑∑(2)()ln kkkE E k kkkE kE e EeZ Zeββββ-----∂==∂∑∑∑ (3)由(2)知sE s eZ βρ-=(4)1ln ln ln ln s s s s E Z E Z βρρβ⇒-=+⇒-=+⎡⎤⎣⎦(5)(4)X(5)代至(3)得ln 111ln ln ln ln s s ssssZ Z Z ρρρρββββ∂=+=+⎡⎤⎣⎦∂∑∑;于是ln ln ln s ss Z S k Z k βρρβ⎛⎫∂=-=- ⎪∂⎝⎭∑证明2：准备工作11ln ln1(ln )11ln ln ()ln ln ln ln ln (ln )sssssssssE E s s ssE s sE E s ssE E ssE E ssS k k eeZZk eE Z Z k eE k eZZZ Z kekeZZ Zk ekeZ ZZ kk Z Z Zk k Z Z k Z βββββββββρρββββββββββββ---------=-=-=---=+∂=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-+∂∂=-∂∑∑∑∑∑∑∑∑∑习题9.2试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵证： ()222112sNE i xi yi zsi Z eE p p p mβ-===++∑∑符号 ixiy iz idp dpdp dp =∏ i i iid q d x d y d z =∏()()2222222112222333/2()2331!!2!!NNixiyizix iy iz mi i xyzN p p p p p p mNNNN N N p p p mx y z NNVZ edpdq edpN h N hVVm e dp dp dp Z N hN hβββπβ==+∞-++-++-∞+∞-++-∞∑∑==⎡⎤⎛⎫=⇒=⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰3/23/23ln 23ln ln !2N N N N Z V m U NkT N h πβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂∂=-=-==⎢⎥⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦3/23ln 1211ln ln !N N NN ZV m p V NkT V V N h Vπβββββ⎡⎤⎛⎫∂∂∂====⎢⎥⎪∂∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦3/233/233/233/22ln 23(ln )(ln )ln !223ln ln !223ln ln 225ln 2N N N N N N Z V m S k Z k Z U k N k N h V m k k N N k h V m N k kN N kN N k h V m kT N k N k N h πββββπβπβπ⎡⎤⎛⎫∂=-=+=+⎢⎥⎪∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦习题9.5 试根据正则分布导出实际气体分子的速度分布。