热统题

1.写出热力学第一定律的数学表达式，简述其意义及本质。

2.热力学第二定律开尔文的表述，热力学第二定律的本质。

3. 热力学第二定律克劳修斯的表述，热力学第二定律的本质。

4.写出克劳修斯等式和不等式的表达式，并说明等式、不等式的条件5.运用热力学第一定律和热力学第二定律推导热力学基本微分方程6.写出热力学中熵的定义式及微分式，说明熵为何是态函数 答：7.简述熵增加原理，并举例其应用8.根据熵的定义式 说明熵为何是态函数，对于不可逆过程如何计算熵差，请举例说明。

答：因为此式初态和终态给定后，积分与可逆过程的路径无关，其中A 和B 是两个平衡态，所以积分可沿着由A 到B 的任意可逆过程进行，所以熵是态函数。

（3分）如果系统有平衡态A 经一个不可逆过程到达平衡态B ，可假设一个从A 到B 的可逆过程积分，从理论上说，平衡态A 和B 之间总是存在可逆过程的。

（2分）9.证明理想气体自由膨胀过程为不可逆过程（整个系统绝热）。

答：由热一律有U Q W ∆=+（1分），因绝热0Q =（1分），因自由膨胀0W =（1分），得0U ∆=又理想气体内能只与温度有关，即理想气体的温度不变，自由膨胀前后12T T =，理想气体222111ln ln ln 0V T V V S C R R T V V ∆=+=>（2分） 10. 写出热力学第二定律的数学表述，简述其物理意义。

(1.14.3)B B A A dQ S S T-=⎰dQ ds T =(1.14.3)B B A A dQS S T -=⎰11. 何为开系，闭系，孤立系？12.写出热力学函数U 、H 、F 和G 的全微分方程13. 根据热力学第二定律，说明两条绝热线不能相交。

14.写出麦克斯韦关系。

15.由=0说明气体经绝热膨胀过程可获得低温的原因答：当把气体的绝热膨胀看作准静态绝热过程时，气体的熵S 不变其中（3分）此式右方恒为正，所以随体积的增加压强下降，气体温度必然下降，从能量的角度看，气体在绝热过程中，减少内能而对外作功，膨胀后的气体分子间距增大，相互作用能增加，气体温度下降。

一、简答题（23分）1. 简述能量均分定理。

（4分）答：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值的平均值等于。

根据能量均分定理，单原子分子的平均能量为，双原子分子的平均能量2. 热力学方法和统计物理方法是研究关于热运动规律性的两种方法，试评论这两种方法各自的优缺点。

（5分）答：热力学：较普遍、可靠，但不能求特殊性质。

以大量实验总结出来的几条定律为基础，应用严密逻辑推理和严格数学运算来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。

统计物理：可求特殊性质，但可靠性依赖于微观结构的假设，计算较麻烦。

从物质的微观结构出发，考虑微观粒子的热运动，通过求统计平均来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。

两者体现了归纳与演绎不同之处，可互为补充，取长补短。

3. 解释热力学特性函数。

（4分）答：如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定，这个热力学函数即称为特性函数，表明它是表征均匀系统的特性的。

4.简述推导最概然分布的主要思路。

（5分）①写出给定分布下的微观状态函数表达式② 两边同时取对数，并求一阶微分③ 利用约束条件N ，E 进行简化④ 令一阶微分为0，求极大值⑤ 由于自变量不完全独立，引入拉格朗日未定乘子⑥ 最后得出粒子的最概然分布5. 试述克劳修斯和开尔文关于热力学第二定律的两种表述，并简要说明这两种表述是等效的。

(5分)答：克：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）；开：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）；联系：反证法 P31二．填空题（27分）1. （3分）熵的性质主要有① 熵是态函数 ； ② 熵是广延量 ； ③ 熵可以判断反应方向 ；④熵可以判断过程的可逆性 ；⑤ S=k ln 熵是系统微观粒子无规则运动混乱程度的度量 。

第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。

解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态方程。

证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。

1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。

a 和k 可以近似看作常数。

今使铜加热至100C ，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。

热统期末试卷及答案北师大一、选择题（每小题3分，满分24分）1、下列现象中，由于光的反射形成的是（）A.月光下的人影B.池塘的水底看起来比实际的浅C.拱桥在平静湖水中的倒影D.玻璃三棱镜分解了的太阳光2、下列物态变化中属于放热现象的是哪一组（）①初春，冰封的湖面解冻②盛夏，旷野里雾的形成③深秋，路边的小草上结了一层霜④严冬，冰冻的衣服逐渐变干、A.①②B.②③C.③④D.①④3、下列说法中，正确的是（）A.验电器的工作原理是同种电荷相互排斥B.宇航员在月球上无法用电磁波来通信C.只有镜面反射遵循光的反射定律D.只有凸透镜能成等大的像4、下列说法错误的是（）A.并联电路的干路电流等于各支路电流之和B.使用精密仪器和改进实验方法可以避免误差C.用安培定则可判断通电螺线管的极性D.1kWh=3。

6×106J5、潜水员逐渐从水里浮出水面的过程中，他受到的浮力（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.始终不变D.先增大后不变6、能说明将电能转化为机械能的是（）A.钻木取火B.水蒸气将塞子冲出C.通电导体在磁场中受力D.焦耳定律实验7、相向而行的甲、乙两物体的s﹣t图像，下列说法正确的是（）A.相遇时两物体通过的路程均为100mB.0﹣30s内甲、乙均做匀速直线运动C.甲的运动速度为10m/sD.甲、乙是同时出发的8、小雅同学在做电学实验时，不小心将电压表和电流表的位置互换了，如果此时将开关闭合，则（）A.两表都可能被烧坏B.两表都不会被烧坏C.电流表不会被烧坏D.电压表不会被烧坏，电流表可能被烧坏二、填空题（每小题2分，满分20分）9、人的眼睛像一架照相机，物体经晶状体成像与视网膜上，对于近视眼患者而言，远处物体成的像位于视网膜（），可佩戴（）透镜矫正。

10、滑冰运动员在训练中通过弯道时的情景，这一过程中她们的运动状态（）（选填“改变”或“不变”）；运动员穿的速滑冰鞋的冰刀表面要光滑、平整是为了（）。

11、弹奏前调整琴弦的松紧程度，可以改变琴声的（）；根据乐器发声的（），可以听出是什么乐器在演奏（选填“响度”、“音调”或“音色”）12、某工人用装置，将重150N的木块在10s内竖直向上匀速提升4m，此装置是（）滑轮（选填“定”或“动”），该工人拉力的功率为（）W（滑轮和绳的重力、摩擦均不计）13、可以直接从自然界获得的能源叫一次性能源，必须通过消耗一次能源才能获得的能源叫二次能源，石油、风能、天然气、煤、电能等能源中，属于可再生能源的两种是（），属于二次能源的是（）14、“六一”儿童节期间，小朋友在锦江山公园里荡秋千，当秋千从高处落下时，重力势能（）（选填“变大”、“变小”或“不变”），不再用力推时，秋千最后会停下来，在此过程中机械能转化为（）能、15、过桥米线是云南人爱吃的食物，路过米线馆可以闻见汤的香味，这是（）现象；“汤钵烫手”是汤钵和手之间发生了（）。

7.6 晶体含有N 个原子. 原子在晶体中的正常位置如图中的“O ”所示. 当原子离开正常位置而占据图中的“⨯”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔（Frenkel ）缺陷.（a ）假设正常位置和填隙位置都是N ，试证明，由于在晶体中形成n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于()!2In.!!N S k n N n =-（b ）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u . 试由自由能F nu TS =-为极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为2u kTn Ne-≈ （设n N <<）.解: 固体中原子的相互作用使固体形成规则的晶格结构. 晶格的格点是原子的平衡位置. 当所有原子都处在其平衡位置时，固体的能量最低. 绝对零度下物质将尽可能处在其能量最低的状态. 由于量子效应，绝对零度下原子并非静止在格点上而是围绕格点作零点振动. 温度升高时，一方面晶格振动会随温度升高而变得剧烈；另一方面有的原子会离开其正常的格点位置占据填隙位置，有的原子离开正常的格点位置占据晶体表面的格点位置而形成新的一层，使固体出现缺陷，前者称为弗伦克尔缺陷，后者称为肖脱基（Shottky ）缺陷. 本题讨论弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷将在7.7题讨论.（a ）设晶体含有N 个原子，晶格中正常的格点位置亦为N . 当1N >>时可以认为填隙位置与正常位置数目相同. 当固体的N 个正常位置出现n 个缺位时，由于缺位位置的不同，可以有()!!!N n N n -个微观状态. 同样，由于填隙位置的不同，也可以有()!!!N n N n -个微观状态. 因此当固体中出现n 个缺位和n 个填隙原子时，可能的微观状态数为()()!!,!!!!N N Ωn N n n N n =⋅-- （1）形成弗伦克尔缺陷导致的熵为()ln !2ln.!!S k ΩN k n N n ==- （2）（b ）以u 表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差. 形成n 个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为.U nu = （3）自由能的改变为()()()!2ln!!2ln ln ln .F nu TSN nu kT n N n nu kT N N n n N n N n =-=--=-----⎡⎤⎣⎦ （4）假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求0.Fn∂=∂ 由式（4）得2ln 0,F N nu kT n n∂-=-=∂ 即ln,2N n un kT-= 由于n N <<，上式可以近似为2e.u kTn N -≈ （5）实际固体中u 的典型值约为1eV ，在300K 时，有208.7e 10.nN--≈= 高温下比值会增大.上述讨论中假设形成缺隐时固体的体积不变. 在这假设下应用了自由能判据，u 也成为与温度无关的常量.讨论中也忽略了形成缺陷与晶格振动的相互影响. 这些假设都是近似成立的.7.7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现如图所示的缺陷，称为肖脱基缺陷. 以N 表示晶体中的原子数，n 表示晶体中的缺陷数. 如果忽略晶体体积的变化，试用自由能为极小的条件证明，温度为T 时，有eWkTn N -≈ （设n N <<）其中W 为原子在表面位置与正常位置的能量差.解: 当n 个原子由内部的正常位置转移到表面的正常位置后，在原有的N 个正常位置中就有n 个缺位. 由于缺位位置的不同，可以有()!!!N Ωn N n =- （1）个微观状态. 所以形成n 个肖脱基缺陷后固体的熵增为()ln !ln!!S k ΩN k n N n ==-()()ln ln ln .k N N n n N n N n =----⎡⎤⎣⎦ （2）原子处在内部较之处在表面受到更多近邻原子的作用，因而具有较低的能量. 以W 表示原子在表面位置与正常位置的能量差. 当形成n 个肖脱基缺位后内能的增加为.U nW = （3）自由能的改变为()()()!ln!!ln ln ln .F nW TS N nW kT n N n nu kT N N n n N n N n =-=--=-----⎡⎤⎣⎦ （4）忽略固体体积的变化，温度为T 时平衡态自由能最小要求0.Fn∂=∂ 由式（4）得ln 0,F N nW kT n n∂-=-=∂ 即ln,2N n Wn kT-= 由于n N <<，上式可以近似为2e.W kTn N -≈ （5）W的典型值约为1eV ，在T=300K 时，有4017e 10.nN--≈= n 的数值随温度升高而增大.讨论中得到式（4）时所作的近似与7.6题的近似相仿. 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率m υ和方均根速率s .υ解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为()222e d d .2x y m υυkT x y m υυkTπ-+ （1） 速率分布为222e d .2m υkTm υυkTππ- （2） 平均速率为2220ed m υkTmυυυkT-+∞=⎰.2kTmπ=（3）速率平方的平均值为22320e d 2.m υkTm υυυkT kT m -+∞==⎰因此方均根速率为22.s kTυυm==（4） 最概然速率m υ条件22d e 0d m υkTυυ-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭确定. 由此可得.m kTυm=（5） 值得注意，上述,,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和24d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()22221,2x y z p p p ax bx mε=++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得出212ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为()222221.224x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ （1） 在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知()22222124x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++-⎪⎝⎭22.4b kT a=- （2）7.17 气柱的高度为H ，处在重力场中. 试证明此气柱的内能和热容量为0,e1mgH kTNmgH U U NkT =+--()222e1.e 1mgH kT V VmgH kT N mgh C C Nk kT =+-⎛⎫- ⎪⎝⎭解: 为明确起见，假设气体是单原子分子理想气体.在重力场中分子的能量为()2221.2x y z p p p mgz mε=+++ （1） 粒子的配分函数为()22221332301ed d d d d d 12πd de d x y zp p p mgzmx y zHmgzZ x y z p p p hm x y z h ββββ-++--=⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰()32312π11e ,mgHm A h mgβββ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （2） 其中d d A x y =⎰是气柱的截面积. 气柱的内能为1l n 32e 1mgH U N Z NmgH NkT NkT ββ∂=-∂=+--0,1mgH NmgHU NkT e β=+-- （3）式中03.2U NkT =气体的热容量为V UC T∂=∂ ()()222e 1.e 1mgHV mgH N mgH C Nk kT ββ=+-- （4） 上述结果显然也适用于双（多）原子分子气体，只要将0U 和0V U 理解为无外场时气体的内能和热容量. 当1mgHkT<<时，式（4）右方后两项相互消去而有.V V C C = （5）这意味着，当气柱不高，分子在气柱顶部（z =H ）与底部（z =0）的重力势能差远小于热运动能量的情形下，气柱的热容量与无外场时的热容量是相同的.当1mgHkT>>时，式（4）右方第三项趋于零，因此.V V C C nk =+ （6）这意味着，当气柱很高，分子在气柱顶部与底部的重力势能差远大于热运动能量的情形下，气柱在重力场中具有附加的热容量Nk .对于300K 的空气，相应于1mgHkT≈的H 约为410m . 因此在通常情形下，式（5）是适用的. 实际上大气温度随高度而降低，当气柱很高时，应用玻耳兹曼分布时所作的恒温假设并不成立.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e 1c kT L m n hεε+∞=-⎰ （2） 二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3） 在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x x x x x----==+++--则d 111e 123xx +∞=+++-⎰11.n n∞==∑ （4） 式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.5 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场()22222212x y x V m x y z ωωω=++ 中运动. 如果原子是玻色子，试证明：在c T T ≤时将有宏观量级的原子凝聚在能量为()02xy z εωωω=++的基态，在3,0,N N ωω→∞→保持有限的热力学极限下，临界温度c T 由下式确定：31.202,c kT N ω⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭其中()13.x y z ωωωω=温度为T 时凝聚在基态的原子数0N 与总原子数N 之比为31.c N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解: 约束在磁光陷阱中的原子，在三维谐振势场中运动，其能量可表达为222222222111,222222y x z x y z p p p m x m y m z m m m εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 这是三维谐振子的能量（哈密顿量）. 根据式（6.2.4），三维谐振子能量的可能值为,,111,222xyzn n n x x y y zz n n n εωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,0,1,2,x y z n n n = （2）如果原子是玻色子，根据玻色分布，温度为T 时处在量子态,,x y z n n n 上的粒子数为,,11112221.e1x y z x x y y z z n n n n n n kT a ωωωμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=- （3） 处在任一量子态上的粒子数均不应为负值，所以原子气体的化学势必低于最低能级的能量，即()0.2xy z μεωωω<≡++ （4）化学势μ由()01,,1e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωωεμ⎡⎤+++-⎣⎦=-∑（5）确定. 化学势随温度降低而升高，当温度降到某临界值c T 时，μ将趋于0.ε临界温度c T 由下式确定：()1,,1,e1x x y y z z x y zn n n n n n kT N ωωω⎡⎤++⎣⎦=-∑（6） 或,,1,e1x y zx y zn n n n n n N ++=-∑（7） 其中(),,.ii icn n i x y z kT ω==在1i ckT ω<<的情形下，可以将i n 看作连续变量而将式（7）的求和用积分代替. 注意到在d d d x y z n n n 范围内，粒子可能的量子态数为3d d d ,c x y z kT n n n ω⎛⎫ ⎪⎝⎭即有3d d d ,1x zy x y zc n n n kT n n n N eω++⎛⎫= ⎪⎝⎭-⎰ （8）式中()13.x y z ωωωω=为了计算式（8）中的积分，将式中的被积函数改写为()()()011e 1e 1ee e .x y z x y z x y z x y z x y z n n n n n n n n n n n n l n n n l ++-++++∞-++-++==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=∑积分等于000030d d d e d e d e d e 111.202.y x z x y z x y z l n l n l n x y z n n n l l n n n n n n l ∞+∞+∞+∞---++=∞==-==∑⎰⎰⎰⎰∑ 所以式（8）给出13. 1.202C N kT ω⎛⎫= ⎪⎝⎭（9）式（9）意味着， 在,0N ω→∞→而3N ω保持有限的极限情形下，C kT 取有限值. 上述极限称为该系统的热力学极限.在c T T <<时，凝聚在基态的粒子数0N 由下式确定：30 1.202,kT N N ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭上式可改写为31.C N T N T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（10） 式（9）和式（10）是理想玻色气体的结果. 实验上实现玻色凝聚的气体，原子之间存在弱相互作用，其特性与理想玻色气体有差异. 互作用为斥力或吸力时气体的特性也不同. 关于互作用玻色气体的凝聚可参阅Dalfovo et al. Rev. Mod. Phys. 1999, 71（465）. 8.8 试根据普朗克公式证明平衡辐射内能密度按波长的分布为()58πd ,d ,e1hckThcu T λλλλλ=-并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m λ满足方程m hc x kT λ⎛⎫=⎪⎝⎭5 5.x e x -+=这个方程的数值解为 4.9651.x = 因此,4.9651m hcT kλ=m λ随温度增加向短波方向移动.解: 式（8.4.7）给出平衡辐射内能按圆频率的分布为()3231,d d .πe 1kT u T cωωωωω==- （1）根据圆频率与波长熟知的关系2cπωλ=，有22πd d .cωλλ= （2）如果将式（1）改写为内能按波长的分布，可得()58πd ,d .e1hc kThcu T λλλλλ=-- （3）令hcx kTλ=，使(),u T λ取极大的波长m λ由下式确定：0.d e 1x x = ⎪-⎝⎭（4） 由式（4）易得55e .x x --= （5）这方程可以用数值方法或图解方法求解. 图解方法如下：以x 为横坐标，y 为纵坐标，画出两条曲线1e ,,5x y xy -=-= 如图所示. 两条曲线的交点就是方程（5）的解，其数值约为4.96. 精确的数值解给出 4.9651.x = 所以使(),u T λ为极大的m λ满足4.9651m hcT kλ=32.89810m K.-=⨯⋅ （6）右方是常量，说明m λ随温度的增加向短波方向移动，称为维恩位移定律.值得注意，式（6）确定的使(),u T λ为极大的m λ与式（8.4.11）给出的使(),u T ω为极大的m ω并不相同. 原因是(),u T λ是单位波长间隔的内能密度，(),u T ω是单位频率间隔的内能密度. m λ与m ω分别由5d 0d e 1x x x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（4） 和0d e 1x x = ⎪-⎝⎭（7） 确定，其中.hcx kTkTωλ==由这两个方程解得m x 显然不同.8.9 按波长分布太阳辐射能的极大值在480nm λ≈处，假设太阳是黑体，求太阳表面的温度. 解: 由上题式（6）知32.89810m K.m T λ-=⨯⋅假设太阳是黑体，太阳表面温度的近似值为392.89810K 6000K.48010T --⨯==⨯ 8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1）式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6.4式（2）的结果乘以因子2. 0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch μεεμ==⋅⎰ 故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()00033043d 8πd 8π104U D Vch V ch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4） 根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34U p n V μ== （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m hπεεε=（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩（2）费米能量()0μ由下式确定：()()02204π4πd 0,A AN m m h hμεμ==⎰ 即()220.4π4πh N h m A mμ== （3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m NU m h h μεεμμ===⎰ （4）仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5） 因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ=（6）。

热统期末试题及答案正文：一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）在下列各题中，只有一个选项是正确的，请在答题卡上将相应选项的字母涂黑。

1. 热力学第一定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律2. 下列哪一个量是揭示物质分子热运动程度的参数？A. 温度B. 压强C. 体积D. 质量3. 在绝热条件下，一个物体放热，它的温度会：A. 升高B. 降低C. 不变D. 无法确定4. 理想气体的等温过程是指：A. 温度不变的过程B. 压强不变的过程C. 体积不变的过程D. 熵不变的过程5. 热力学第二定律是指：A. 能量守恒定律B. 熵增加定律C. 焓守恒定律D. 等温过程定律6. 下面哪一种物质不是理想气体？A. 氮气B. 氧气C. 氢气D. 水蒸气7. 理想气体状态方程是：A. PV=RuTB. P+V=RTC. P/T=RuD. PT=RuV8. 物体绝对零度对应的温度是：A. 0℃B. -273℃C. 273℃D. 100℃9. 混合气体总压强等于各组分分压之和，是根据下列哪个定律得出的？A. 理想气体状态方程B. 热力学第一定律C. 道尔顿定律D. 热力学第二定律10. 热力学第四定律是指：A. 热力学系统能量守恒定律B. 热力学第一定律C. 热力学第二定律D. 热力学第三定律二、计算题（共5题，每题10分，共计50分）1. 一定质量的理想气体，在常温常压下的密度为1.29 kg/m³，求该气体的摩尔质量。

2. 一摩尔单原子理想气体在体积不变的条件下，温度从300 K增加到600 K。

根据理想气体状态方程，求气体末压强与初始压强之比。

3. 理想气体初始状态为120 kPa、300 K，经过等温膨胀，最终体积为初始体积的2倍。

求等温膨胀的过程中气体对外做的功。

4. 一摩尔理想气体在绝热条件下进行等熵过程，初始温度为300 K，初始压强为200 kPa，最终体积为初始体积的4倍。

绪论1、《热统）研究的对象、任务？2、《热统》的研究方法是什么？热力学的方法与统计物理学的方法各有什么特点？二者关系如何？3、《热统》与普物《热学》有什么联系、区别？4、学习《热统》的主要目的是什么？第一章热力学的基本定律1、什么是系统？什么是孤立系、封闭系、开放系、单元系、多元系、单相系、多相系、均匀系？什么是外界？如何选取系统？2、什么是热力学平衡态？它有哪些主要特征？3、什么是状态参量？什么是内参量、外参量？什么是强度量、广延量？一个系统究竟需几个独立的参量确定？4、什么是状态方程？理想气体、范氏气体、顺磁固体的状态方程各是什么？昂尼斯方程如何？5、定压膨胀系数、定容压强系数、等温压缩系数的定义如何？意义如何？关系如何？6、什么叫热力学过程？什么叫准静态过程、非静态过程？什么叫可逆过程、不可逆过程？什么是弛豫时间？7、试说明作功、功的概念。

体积功、磁化功、极化功的元功各如何？8、试说明热传递、热量的概念。

9、试说明功与热量的异、同。

10、内能的概念如何？热力学第一定律的本质如何？11、试证明开尔文表述与克劳修斯表述的等价性。

12、试说明熵的定义、特点、作用、意义。

13、试说明熵增加原理的意义、热力学第二定律的实质。

14、试说明热力学第二定律的适用范围。

作业：P29：1、2、4、5、6、7、8 // 10、11、14、15、16 // 19、20、23、24、25、26、28、29．第二章均匀闭系的热力学关系及其应用l、试述焓、自由能、吉布斯函数的定义、性质、意义。

2、试述最大功定理。

3、试由热力学基本方程导出八个偏导数和麦克斯韦关系，麦克斯韦关系的作用何在？4、什么是特性函数？试证明U（S，V）、S（U、V）、H（S，P）、F（T，V）、G(T,P)是特征函数5、试举例说明“系数比较法”、“由全微分直接写出偏导数法”、“循环关系法”、“链式关系法”、“复合函数微分法”、“混合二阶偏导数法”的应用。

热统期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 热力学第一定律的表达式是：A. ΔU = Q - WB. ΔU = Q + WC. ΔH = Q - WD. ΔH = Q + W答案：B2. 以下哪个选项是热力学第二定律的表述？A. 能量守恒定律B. 熵增原理C. 热能自发地由高温物体传递到低温物体D. 热能自发地由低温物体传递到高温物体答案：B3. 理想气体的内能只取决于：A. 体积B. 温度C. 压力D. 物质的量答案：B4. 根据热力学第三定律，绝对零度是：A. 无法达到的B. 可以无限接近的C. 可以实际达到的D. 与温度无关答案：A5. 熵是表示系统无序程度的物理量，其单位是：A. JB. J/KC. KD. J/mol答案：B二、填空题（每空2分，共20分）1. 热力学系统可以分为__________和__________。

答案：孤立系统；开放系统2. 根据卡诺定理，热机的效率与__________有关。

答案：热源温度3. 理想气体的压强由分子的__________和__________决定。

答案：碰撞频率；平均动能4. 热力学温度T与理想气体的体积V和压强P的关系是__________。

答案：T ∝ (PV)^(1/2)5. 热力学第二定律的克劳修斯表述是：不可能从单一热源__________能量，而不产生其他影响。

答案：提取三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述热力学第一定律和第二定律的区别和联系。

答案：热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的体现，表明能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转换为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体。

而热力学第二定律则描述了能量转换的方向性，即自发过程总是向着熵增的方向进行，表明了热能转换过程中的不可逆性。

2. 解释什么是熵，以及熵增原理的意义。

答案：熵是热力学中描述系统无序程度的物理量，通常用来衡量系统状态的不确定性。

一．简要回答下列问题
a) 统计物理基本假设：等几率原理
b) 二级相变特点，并举出一个二级相变的例子
c) 最大功原理
d) 子相空间
二．已知某热力学系统内能U ，体积V 以及熵S 有如下关系：43/4U cS V -=, 其中c 是正常数。

求该系统的自由能F 和吉布斯函数G （用系统的温度T 和体积V 表示）。

三．简述焦耳-汤姆效应，以及利用它获得低温的原理。

四． N 个一维简谐振子组成的近独立粒子系统，遵从Boltzmann 分布，其能量表达式是22
20()22
m x x p E m ω-=+， 其中0x 为常数。

（1）定量计算高温条件下（KT ω>>）系统的内能和热容量；
（2）定性写出低温情形（KT ω<<）系统的内能与温度的依赖关系。

五光子的自旋量子数是1，自旋在动量方向的投影只有两个可能值。

假设二维光子体系处于平衡态，面积为S ，温度为T ，光子的静质量为零，即c p ε→=。

求该二维光子体系的内能U 和定容热容量？ 六考虑各向异性的三维自由电子（自旋为12
）气体，其能量与动量满足色散关系: 222222y x z x y z
p p p E m m m =++ , 这里,,x y z m m m 为正常数质量项。

假设系统的体积为V ，电子数为N ，
（1）求零温时系统的化学势(0)μ；
（2）求零温时系统的内能U ；
（3）不要计算判断低温下定容热容量与温度的关系是什么?。